Категорные свойства разрешимости одного класса задач минимизации
Розглянуто задачу мінімізації на замкненій підмножині X рефлексивного банахова простору E напівнеперервного знизу функціоналу збуреного функціоналом Мінковського замкненого обмеженого опуклого околу нуля, що має властивість Кадеця - Клі. Доведено, що множина параметрів, за яких задача має розв'...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72206 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Категорные свойства разрешимости одного класса задач минимизации / В.В. Семенов // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 104-115. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859917728338411520 |
|---|---|
| author | Семенов, В.В. |
| author_facet | Семенов, В.В. |
| citation_txt | Категорные свойства разрешимости одного класса задач минимизации / В.В. Семенов // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 104-115. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто задачу мінімізації на замкненій підмножині X рефлексивного банахова простору E напівнеперервного знизу функціоналу збуреного функціоналом Мінковського замкненого обмеженого опуклого околу нуля, що має властивість Кадеця - Клі. Доведено, що множина параметрів, за яких задача має розв'язок, містить щільну в E \ X підмножину типу Gδ. Показано, що умову рефлексивності та умову наявності у цього околу властивості Кадеця - Клі не можна послабити. Розглянуто застосування до задач оптимізації лінійних систем з векторним критерієм якості.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:06:16Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.9
Â.Â. ÑÅÌÅÍÎÂ
ÊÀÒÅÃÎÐÍÛÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀ ÐÀÇÐÅØÈÌÎÑÒÈ ÎÄÍÎÃÎ ÊËÀÑÑÀ
ÇÀÄÀ× ÌÈÍÈÌÈÇÀÖÈÈ1
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ïëîòíîñòü, êàòåãîðèÿ Áýðà, ðàçðåøèìîñòü, ìèíèìèçàöèÿ, ïî-
ëóíåïðåðûâíîñòü, ñâîéñòâî Êàäåöà–Êëè, âåêòîðíàÿ îïòèìèçàöèÿ.
ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È È ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÇÀÌÅ×ÀÍÈß
Ïóñòü ( , )X � — ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî è x X� . Íàïîìíèì, ÷òî ñâîéñòâî
P x( ) íàçûâàåòñÿ òèïè÷íûì, åñëè ìíîæåñòâî { âûïîëíÿåòñÿ}x X P x X� �: ( ) ñî-
äåðæèò ñ÷åòíîå ïåðåñå÷åíèå îòêðûòûõ ïëîòíûõ â X ïîäìíîæåñòâ. Èç òåîðåìû
Áýðà î êàòåãîðèè ñëåäóåò, ÷òî â ïîëíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå ïðîèçâîëüíîå
ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå ñ÷åòíîå ïåðåñå÷åíèå îòêðûòûõ ïëîòíûõ ïîäìíîæåñòâ,
ÿâëÿåòñÿ ïëîòíûì. Òàêèå ìíîæåñòâà ÷àñòî íàçûâàþò ìàññèâíûìè.
Ïóñòü B — çàìêíóòîå îãðàíè÷åííîå âûïóêëîå ïîäìíîæåñòâî áàíàõîâà ïðî-
ñòðàíñòâà ( , )E
E
� òàêîå, ÷òî 0� int B; � B E: � � — ôóíêöèîíàë Ìèíêîâñêîãî
ìíîæåñòâà B. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî åäèíè÷íûé çàìêíóòûé øàð B E1( ) ÿâëÿåòñÿ ïîä-
ìíîæåñòâîì B. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî M � 1, ÷òî B E B1( ) � �
� � � �B E x E x MM E
( ) :{ } , è ïîýòîìó äëÿ x E� :
1
M
x x x
E B E
� �� ( ) . Ïîñ-
êîëüêó ìíîæåñòâî B ìîæåò áûòü íåñèììåòðè÷íûì, ôóíêöèîíàë � B â îáùåì ñëó÷àå
íå ÿâëÿåòñÿ íîðìîé.
Ïóñòü X E� — íåïóñòîå ìíîæåñòâî. Äëÿ îãðàíè÷åííîãî ñíèçó ôóíêöèîíàëà
f X: � � è òî÷êè y E� ðàññìîòðèì çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè
f x x yB
x X
( ) ( ) inf
�
�
� . (1)
×àñòíûì ñëó÷àåì (1) ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ: ïóñòü X — çà-
ìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà ( , )E
E
� , äëÿ y E� íóæíî íàéòè
òî÷êó x X� òàêóþ, ÷òî y x y x
E x X E
�
�
inf .
Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ
E X y E x X y x y x
E x X E
( ) : inf }� � � �
�
�
{ .
Ïåðâîé ïóáëèêàöèåé, ïîñâÿùåííîé êàòåãîðíûì ñâîéñòâàì ìíîæåñòâà E X( ) ,
ÿâëÿåòñÿ ñòàòüÿ Ñ.Á. Ñòå÷êèíà [1], ãäå äîêàçàíà ìàññèâíîñòü E X( ) äëÿ ïðîèçâîëüíî-
ãî íåïóñòîãî çàìêíóòîãî ïîäìíîæåñòâà X ðàâíîìåðíî âûïóêëîãî áàíàõîâà ïðî-
ñòðàíñòâà. Ýòà ðàáîòà ïîëîæèëà íà÷àëî èíòåíñèâíûì èññëåäîâàíèÿì êàòåãîðíûõ è
ïëîòíîñòíûõ ñâîéñòâ â òåîðèè íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ [2]. Â [3] ðåçóëüòàò
Ñ.Á. Ñòå÷êèíà îáîáùåí íà ñëó÷àé çàìêíóòûõ ïîäìíîæåñòâ ëîêàëüíî ðàâíîìåðíî
âûïóêëîãî ðåôëåêñèâíîãî ïðîñòðàíñòâà E. Â [4] Ñ. Â. Êîíÿãèí îïèñàë êëàññ áàíà-
õîâûõ ïðîñòðàíñòâ, â êîòîðûõ E X( ) ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì âòîðîé êàòåãîðèè äëÿ
ïðîèçâîëüíîãî çàìêíóòîãî ìíîæåñòâà X E� . Ýòî òàê íàçûâàåìûå ïðîñòðàíñòâà
Åôèìîâà–Ñòå÷êèíà — ðåôëåêñèâíûå ïðîñòðàíñòâà, â êîòîðûõ èç ñëàáîé ñõîäèìîñ-
òè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòîâ ñôåðû S E x E x
E1 1( ) :� � �{ } ê ýëåìåíòó èç
S E1( ) ñëåäóåò ñèëüíàÿ ñõîäèìîñòü (óñëîâèå Êàäåöà–Êëè). Â ñòàòüå [5] ðàññìîòðåíà
çàäà÷à ïîèñêà òî÷åê îáîáùåííîãî íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ. Îòëè÷èå îò êëàññè-
104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
1
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÃÔÔÈ Óêðàèíû, ãðàíò ¹ 0108U010308.
� Â.Â. Ñåìåíîâ, 2011
÷åñêîé çàäà÷è ñîñòîèò â èñïîëüçîâàíèè äëÿ îöåíêè îòêëîíåíèÿ ýëåìåíòîâ ôóíêöè-
îíàëà Ìèíêîâñêîãî çàìêíóòîé âûïóêëîé îêðåñòíîñòè íóëÿ áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà.
Ïðè íåêîòîðûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ (òèïà ðàâíîìåðíîé âûïóêëîñòè)
íà îêðåñòíîñòü, êîòîðàÿ ïîðîæäàåò ôóíêöèîíàë Ìèíêîâñêîãî, àâòîðû ïîëó÷èëè
àíàëîã óïîìÿíóòîãî ðåçóëüòàòà Ñ.Á. Ñòå÷êèíà. Îáîáùåíèþ ýòîãî ðåçóëüòàòà ïîñâÿ-
ùåíû ðàáîòû [6, 7].
Äðóãîå íàïðàâëåíèå èññëåäîâàíèé ñâÿçàíî ñ çàäà÷àìè ìèíèìèçàöèè
ôóíêöèîíàëîâ ñ âîçìóùåíèÿìè òèïà íîðìû. Ïóñòü f — çàäàííûé íà ìíîæåñòâå X
ôóíêöèîíàë.  1973 ã. Æ. Áàðàíæå [8] îáîáùèë ðåçóëüòàò Ñ.Á. Ñòå÷êèíà, äîêàçàâ
òèïè÷íîñòü ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è
f x y x
E x X
( ) inf
�
�
(2)
äëÿ çàìêíóòîãî íåïóñòîãî ïîäìíîæåñòâà X ðàâíîìåðíî âûïóêëîãî áàíàõîâà ïðî-
ñòðàíñòâà E è îãðàíè÷åííîãî ñíèçó ïîëóíåïðåðûâíîãî ñíèçó ôóíêöèîíàëà
f X: � �. Îáçîð ïîñëåäíèõ ðåçóëüòàòîâ, ñâÿçàííûõ ñ êàòåãîðíûìè ñâîéñòâàìè
ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è (2), ïðèâåäåí â [9].
Öåëü äàííîé ðàáîòû — ïîëó÷èòü ðåçóëüòàòû î òèïè÷íîñòè ðàçðåøèìîñòè äëÿ
çàäà÷è (1) ïðè óñëîâèÿõ, áëèçêèõ ê ïðåäïîëîæåíèÿì ðàáîò [3, 4] è áîëåå ñëàáûõ,
÷åì â [5]. Ðàññìîòðèì òàêæå ïðèëîæåíèå ýòèõ ðåçóëüòàòîâ ê çàäà÷àì îïòèìèçàöèè
ëèíåéíûõ ñèñòåì ñ âåêòîðíûì êðèòåðèåì êà÷åñòâà.
ÎÑÍÎÂÍÎÉ ÐÅÇÓËÜÒÀÒ: ÒÅÎÐÅÌÀ Î ÒÈÏÈ×ÍÎÑÒÈ ÐÀÇÐÅØÈÌÎÑÒÈ
Íàïîìíèì îäíî ãåîìåòðè÷åñêîå ïîíÿòèå [6, 7, 10].
Îïðåäåëåíèå 1. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî B E� èìååò ñâîéñòâî
Êàäåöà–Êëè, åñëè äëÿ ïðîèçâîëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê x Bn � èç óñëîâèé
� B nx( ) �1 è x xn � ñëàáî â E, � B x( ) �1 ñëåäóåò x xn E
� 0 .
Åñëè B B E� 1( ) , òî îïåðèðóåì èçâåñòíûì ñâîéñòâîì Êàäåöà–Êëè áàíàõîâà
ïðîñòðàíñòâà [11].
Ñôîðìóëèðóåì îñíîâíîé ðåçóëüòàò.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü ( , )E
E
� — ðåôëåêñèâíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî; B E� —
çàìêíóòàÿ îãðàíè÷åííàÿ âûïóêëàÿ îêðåñòíîñòü íóëÿ, êîòîðàÿ èìååò ñâîéñòâî
Êàäåöà–Êëè; X — íåïóñòîå çàìêíóòîå ïîäìíîæåñòâî ïðîñòðàíñòâà E; ôóíêöèîíàë
f X: � � îãðàíè÷åí ñíèçó è ïîëóíåïðåðûâåí ñíèçó. Òîãäà ìíîæåñòâî òî÷åê y E�
òàêèõ, ÷òî çàäà÷à
f x x yB
x X
( ) ( ) inf
�
�
� (3)
èìååò ðåøåíèå, ñîäåðæèò ïëîòíîå â E X\ ïîäìíîæåñòâî òèïà G� .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàçîáüåì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 1 íà íåñêîëüêî øàãîâ-ëåìì.
Äëÿ òî÷êè y E� îïðåäåëèì
r y f x x y
x X
B( ) ( ( ) ( ))�
�
inf � . (4)
Èçó÷èì ñâîéñòâà ôóíêöèîíàëà r E: � �, îïðåäåëåííîãî ñ ïîìîùüþ (4).
Ëåììà 1. Ôóíêöèîíàë y r y� ( ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà ñ êîíñòàíòîé 1.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ ïðîèçâîëüíûõ òî÷åê y y E1 2, � è x X� èìååì
r y f x x y f x x y y yB B B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1�
�
� � � .
Ïåðåéäÿ ê èíôèìóìó ïî x X� â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì
r y r y y yB( ) ( ) ( )1 2 2 1�
� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 105
Ïîñêîëüêó B E B1( ) � , èìååì � B E
y y( ) � äëÿ âñåõ y E� . Ñëåäîâàòåëüíî,
r y r y y y
E
( ) ( )1 2 2 1�
èëè r y r y y y
E
( ) ( )1 2 2 1
�
.
Èçìåíèâ ïîðÿäîê y1 è y2, ïîëó÷èì | ( ) ( )|r y r y y y
E1 2 2 1
�
.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ôóíêöèîíàë � : E � �. Ôóíêöèîíàë y E* *� íàçû-
âàþò ëîêàëüíî �-îïîðíûì äëÿ � â òî÷êå y E� , åñëè ñóùåñòâóåò �
0 òàêîå, ÷òî
� � �( ) ( ) ,*
,*
y y y y y y y
E E E
�
� �
�
äëÿ âñåõ y E�� : y y
E
�
� � [12, 13].
 ðàáîòå [12] È. Ýêëàíä è Æ. Ëåáóð äîêàçàëè, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî �
0 ïî-
ëóíåïðåðûâíûé ñíèçó ôóíêöèîíàë, çàäàííûé íà ðåôëåêñèâíîì áàíàõîâîì ïðîñòðà-
íñòâå E, èìååò ëîêàëüíûå �-îïîðíûå ôóíêöèîíàëû íà ïëîòíîì â E ïîäìíîæåñòâå.
Çíà÷èò, äëÿ y r y� ( ) ìíîæåñòâî ñóùåñòâîâàíèÿ ëîêàëüíî �-îïîðíûõ ôóíêöèîíàëîâ
ïëîòíî â E.
Ëåììà 2. Ïóñòü y E* *� — ëîêàëüíî �-îïîðíûé ôóíêöèîíàë äëÿ r â òî÷êå
y E X� \ . Òîãäà
1 1
� �
M y MB� �sup * . (5)
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îïðåäåëåíèÿ ëîêàëüíî �-îïîðíîãî ôóíêöèîíàëà ïîëó÷àåì
r y r y
y y
y
y y
y y
y y
B B E E
E
B
( ) ( )
( )
,
( )
*
,*
�
�
�
�
�
�
� �
�
� ( )y y�
(6)
äëÿ âñåõ y E�� : y y
E
�
� �. Ëåâàÿ ÷àñòü (6) íå ïðåâûøàåò 1, ïîýòîìó, ó÷èòûâàÿ
íåðàâåíñòâî � � �
E B M� ( ) , èìååì sup
� B y M* 1 �.
Äîêàæåì îöåíêó ñíèçó â (5). Ñíîâà èç îïðåäåëåíèÿ ëîêàëüíî �-îïîðíîãî
ôóíêöèîíàëà äëÿ y E�� : y y
E
�
� � ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî
sup
�
�
�
�B
B E E
y y
y y
y y
* *
,
,
( ) *�
�
�
�
�
�
�
�
r y r y
y y
y y
y y
r y r y
B
E
B B
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
�
�
� � ( )y y
M
�
� .
Ïîñòðîèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( )�yn òàêóþ, ÷òî y yn� � è
r y r y
y y
n
B n
( ) ( )
( )
�
�
�
�
1.
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê x Xn � òàêèõ, ÷òî
0
1
2
�
�f x x y r y
n
n B n( ) ( ) ( )� .
Ïîëîæèì
� �
y y t x yn n n( ) , t
n x y
n
B n
�
1
� ( )
.
ßñíî, ÷òî �
� �
� �y y M y y
M
n
n E B n� ( ) 0. Äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n��
èìååì t n � ( , )0 1 ,
r y r y r y f x x y r y f xn n B n n n( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
� �
� �
{ } {� 1
�t x yn B n) ( )� }
�
t x y f x x y r yn B n n B n� �( ) ( ) ( ) ( ){ } .
106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
Ñëåäîâàòåëüíî,
1�
�
�
r y r y
y y
t x y f x x yn
B n
n B n n B n( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
�
� �{
�
�
r y
y yB n
( )
( )
}
�
�
�
t x y f x x y r y
t x y
f xn B n n B n
n B n
n� �
�
( ) ( ) ( ) ( )
( )
({ }
1
) ( ) ( )
( )
�
�
�
B n
n B n
x y r y
t x y
�
1 1
1
n f x x y r y
n
n B n( ( ) ( ) ( ))� ,
÷òî è òðåáîâàëîñü.
Ôóíêöèîíàë f îãðàíè÷åí ñíèçó íà X íåêîòîðûì ÷èñëîì c�� . Èìååì
f x c( )
� 0 , x X� ,
inf inf
x X
B
x X
Bf x c x y f x x y c
� �
�
( ( ) ( )) ( ( ) ( ))� � .
Ïîýòîìó ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî f x( ) � 0 äëÿ x X� .
Äëÿ �� ( , )0 1 ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî G� âñåõ òî÷åê y E X� \ , äëÿ êîòîðûõ ñó-
ùåñòâóþò y E* *� è �
0 òàêèå, ÷òî
1 1
� �
M y MB� �sup * ,
inf { f x y y x x X f x x y r y
E E B( ) , : , ( ) ( ) ( ) } (*
,* �
� �
�
� � 1 �) ( )r y .
Ëåììà 3. Äëÿ êàæäîãî �� ( , )0 1 ìíîæåñòâî G� ïëîòíî â E X\ .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñíà÷àëà ïîêàæåì, ÷òî åñëè �� ( , / )0 1 2M è y E* *� — ëî-
êàëüíî �-îïîðíûé ôóíêöèîíàë äëÿ r â òî÷êå y E X� \ , òî y G M� 2 � . Ïóñòü ��� ( , )0 1
òàêîå, ÷òî
r y r y y y y y y
E E E
( ) ( ) ,*
,*
�
� �
�
� (7)
äëÿ âñåõ y E�� : y y
E
�
� �� . Âûáåðåì ÷èñëî �� ( , )0 1 òàê, ÷òîáû M r y� ( ) �
1
2
.
Ïîëîæèì
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
M r y( )
,
2
0
1
4
.
Åñëè x X� óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó
f x x y r yB( ) ( ) ( )
� � �, (8)
òî M x y M r yB�� � �� � ��
� � � �( ) ( ( ) ) .
Ïîëîæèì � � �
y y x y�� ( ) . Òîãäà äëÿ �
� �
y y x y�� ( ) èìååì
y y M y y M x y
E B B�
� �
� �
� �� �� � �( ) ( ) .
Ïîäñòàâèâ y y x y� � �
�� ( ) â (7), ñ ó÷åòîì (8) èìååì
y y y y y y x y x y
E E E E E E
*
,
*
,
, ,
* *
�
�
� �
�
�� �� ���
� �
�r y x y r y( ( )) ( )��
�
�
�
�
f x x y f x x y x yB B B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 �� � � � �� � �.
Ïîäåëèâ ýòî íåðàâåíñòâî íà ���
0 , ïîëó÷èì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 107
y x y x y x y M x y
M
r
E E
B E B
*
,
, ( ) ( ) ( )
*
�
�
�
� �
�
��
� �
�
1
2
( )y .
Îòñþäà ïðèõîäèì ê îöåíêå
f x y y x f x M x y
M
r y
E E
B( ) , ( ) ( ) ( ) ( )*
,*
�
�1
2
� �
�
�
�
�
( )( ( ) ( )) ( ) ( )1
2
1
3
2
0
M f x x y M f x
M
r y
M
B� � �
� �
��� ��
�
�
�
�
�
�r y( ) .
Òàêèì îáðàçîì, èìååì
inf f x y y x x X f x x y r y
E E
B( ) , : , ( ) ( ) ( )*
,*
�
� �
�
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�
�
1
3
2
1 2
M
r y M r y
�
�( ) ( ) ( ) ,
ò.å. y G M� 2 � .
Óòâåðæäåíèå ëåììû ñëåäóåò èç ïëîòíîñòè â E X\ ìíîæåñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ
ëîêàëüíî �-îïîðíûõ ôóíêöèîíàëîâ äëÿ r. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü y E X�� \ è �0 0
.
Òîãäà ñóùåñòâóåò òî÷êà y E X� \ òàêàÿ, ÷òî y y
E
�
� �0 è â òî÷êå y ôóíêöèîíàë r
èìååò ëîêàëüíî
�
2M
-îïîðíûé ôóíêöèîíàë. Òàêèì îáðàçîì, y G� � .
Ëåììà 4. Ìíîæåñòâî G� îòêðûòî â E.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü y G� � . Îáîçíà÷èì
M f x y y x x X f x x y r yy
E E
B,
*
,
( ) , : , ( ) ( ) ( )
*� � ��
�
� �
�
�
inf
�
�
�
,
ãäå y E* *� , �
0 — ôóíêöèîíàë è ÷èñëî òàêèå, ÷òî
1 1
� �
M y MB� �sup * , M r yy, ( ) ( )� �
1 .
Âûáåðåì òàêîå �
0 , ÷òî
�
�
�
3
, �
�
�
�
2 1( )M
,
2� �sup
�B y* , (9)
ãäå 2 1 0� ���
M r yy, ( ) ( ) .
Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî y B y y E y y
E
�� � �
�� �( ) ~ : ~{ } âûïîëíÿåò-
ñÿ íåðàâåíñòâî
inf f x y y x x X f x x y r y
E E
B( ) , : , ( ) ( ) ( )*
,*
�
�
� � � �
�
�
�
�� �
�
�( ) ( )1 � r y ,
ò.å. B y G� �( ) � . Åñëè y y
E
�
� � , f x x y r yB( ) ( ) ( )
� � � � � (x X� ), òî
f x x y f x x y y y r y y yB B B E
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
�
� �
� � �
�� � � �
� �
� �
� � r y r y r y r y y y r y r y
E
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3� � � �.
Îòñþäà äëÿ òî÷åê x ñëåäóåò f x y y x M
E E
y( ) ,*
,
,*
� � . Èç íåðàâåíñòâà (9)
ïîëó÷èì 2� ��sup
�
B
E E
yy f x y y x M* *
,
,( ) ,
*
. Äëÿ âûðàæåíèÿ f x( )
�
y y x
E E
*
,
,
*
èìååì ðÿä îöåíîê ñíèçó:
108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
f x y y x f x y y x y y x
E E E E E E
( ) , ( ) , ,*
,
*
,
*
,* * *
�
�
�
�
�
�
�
2� ��sup B y
E E
y M y y x*
,
*
,
,
*
�
�
�
� � � � ��sup supB y By M y r y*
,
* ( ) ( )1
�
�
� �
� � � �( ) ( ) ( )( ( ) ( ))*1 1r y y r y r yBsup
�
�
� �
� � � �( ) ( ) ( )*1 1r y y y yB E
sup
�
�
�
� � � � �( ) ( ) ( )*1 1r y yBsup
�
�
�
� � � � ��( ) ( ) { *1 1 1r y y M MBsup } { }
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
2
1
2
1
2
1{ }M r y r y( ) ( ) ( ) ( ) .
Îòñþäà ïîëó÷èì
inf f x y y x x X f x x y r y
E E
B( ) , : , ( ) ( ) ( )*
,*
�
�
� � � �
�
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�
� �
2
1 1( ) ( ) ( ) ( )r y r y .
Òàêèì îáðàçîì, y G� � � .
Ïîëîæèì G G n
n
�
�
�
1
2
/� . Èç ëåììû 4 âûòåêàåò, ÷òî ìíîæåñòâî G èìååò òèï G� ,
à èç ëåììû 3 è òåîðåìû Áýðà î êàòåãîðèè ñëåäóåò åãî ïëîòíîñòü â E X\ .
Òåîðåìà 1 âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé çàêëþ÷èòåëüíîé ëåììû.
Ëåììà 5. Åñëè y G� , òî ñóùåñòâóåò x X� :
f x x y f x x yB x X B( ) ( ) min ( ) ( )
�
�� �{ }.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü y G� . Òîãäà ñóùåñòâóþò y En
* *,� �n
0 òàêèå, ÷òî
1 1
� �
M
n
y
M
n
B nsup * , f x y y x
n
r yn
E E
( ) , ( )*
,*
�
�
�
�
�
�1
1
äëÿ âñåõ x X� : f x x y r yB n( ) ( ) ( )
� � � .
Ïóñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü x Xn � òàêàÿ, ÷òî f x x y r y
n
n B n( ) ( ) ( )
� �
1
.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî lim ( ) ( ) ( )
n
n B nf x x y r y
��
�{ }� . Ìèíèìèçèðóþùàÿ ïîñëåäî-
âàòåëüíîñòü ( )x n îãðàíè÷åíà, òàê êàê x y M r y
n
n E E
�
�
�
�
�
�
�( )
1
. Èç ðåôëåêñèâ-
íîñòè áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà ( , )E
E
� ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ó ( )x n ïîäïîñëåäî-
âàòåëüíîñòè, ñëàáî ñõîäÿùåéñÿ ê íåêîòîðîìó ýëåìåíòó x E� . Ïîýòîìó ìîæíî ñ÷è-
òàòü, ÷òî
f x x y r yn B n( ) ( ) ( )
�� ,
f x An( ) � , � B nx y B( )
� ,
x y x yn
�
â òîïîëîãèè ( , )*E E . (10)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 109
Çàôèêñèðóåì n
2 è òàêîå k 0 �� , ÷òî 1 0/ k n� � . Ïîñêîëüêó äëÿ k k� 0
f x x y r y
k
r yk B k n( ) ( ) ( ) ( )
� � � �
1
,
èìååì
f x y y x
n
r yk n k
E E
( ) , ( )*
,*
�
�
�
�
�
�1
1
� �k k 0.
Ïåðåéäÿ ê ïðåäåëó ïðè k � �, ïîëó÷èì
A y y x
n
r yn
E E
�
�
�
�
�
�
�*
,
, ( )
*
1
1
.
Èç íåðàâåíñòâà
A y x y A y y xB n B B n B
�
�
sup sup* *( ) ( )� �
�
�
�
�
�
�
�
�A y y x
n
r yn
E E
*
,
, ( )
*
1
1
è sup
�B ny* 1 ïîëó÷èì (ïîñëå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïðè n � �)
A x y r yB
�� ( ) ( ) . (11)
Ôóíêöèîíàë Ìèíêîâñêîãî � B ñëàáî ïîëóíåïðåðûâåí ñíèçó, ïîýòîìó èç (10)
ñëåäóåò
� �B
n
B nx y x y B( ) lim ( )
�
�
��
.
Ïðèíÿâ âî âíèìàíèå (11), ïîëó÷èì
r y A x y A B r yB( ) ( ) ( )�
� �� ,
îòêóäà
� �B
n
B nx y B x y( ) lim ( )
� �
��
.
Ïîñêîëüêó x y x yn
�
â òîïîëîãèè ( , )*E E , � �B n Bx y x y( ) ( )
�
, à
ìíîæåñòâî B èìååò ñâîéñòâî Êàäåöà–Êëè, òî x xn E
� 0 . Ìíîæåñòâî X E�
çàìêíóòî, ïîýòîìó x X� . Èç ïîëóíåïðåðûâíîñòè ñíèçó ôóíêöèîíàëà f ïîëó÷èì
f x f x A
n
n( ) lim ( )� �
��
.
 òî æå âðåìÿ
r y f x x y A B r yB( ) ( ) ( ) ( )�
� �� ,
îòêóäà
f x x y r yB( ) ( ) ( )
�� ,
÷òî è äîêàçûâàåò ëåììó.
Çàìå÷àíèå 1. Äëÿ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà G äîêàçàíî äàæå áîëüøå, ÷åì óêàçàíî
â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû 1. Ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ y G� çàäà÷à (3) êîððåêòíà ïî Òèõî-
íîâó â îáîáùåííîì ïîíèìàíèè, ò.å. ìíîæåñòâî åå ðåøåíèé íåïóñòî, à ïðîèçâîëü-
íàÿ ìèíèìèçèðóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èìååò ñèëüíî ñõîäÿùóþñÿ ê íåêîòîðîìó
ðåøåíèþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
ÎÒÐÈÖÀÒÅËÜÍÛÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ
Ïîêàæåì, ÷òî áåç ðåôëåêñèâíîñòè áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà E èëè áåç ñâîéñòâà Êà-
äåöà–Êëè ìíîæåñòâà B ðåçóëüòàò òèïà òåîðåìû 1 íå èìååò ìåñòà. Ñëåäóþùèå
äâå òåîðåìû — îáîáùåíèå èçâåñòíûõ ðåçóëüòàòîâ Ñ.Â. Êîíÿãèíà [4] î õàðàêòå-
ðèçàöèè ïðîñòðàíñòâ Åôèìîâà–Ñòå÷êèíà.
Íà÷íåì ñî ñëó÷àÿ íåðåôëåêñèâíîãî áàíàõîâà ïðîñòðàíñòâà ( , )E
E
� .
110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
Òåîðåìà 2. Ïóñòü ( , )E
E
� — íåðåôëåêñèâíîå áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî; f � 0 .
Òîãäà ñóùåñòâóþò íåïóñòîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî X E� è íåïóñòîå îòêðûòîå ìíî-
æåñòâî O E X� \ òàêèå, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè y O� ýêñòðåìàëüíàÿ çàäà÷à
� B
x X
x y( )
�
�
inf íå èìååò ðåøåíèé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî êëàññè÷åñêîé òåîðåìå Äæåéìñà [11, c. 17] ñóùåñòâóåò
ôóíêöèîíàë x E* *� òàêîé, ÷òî x x x
E E
B
*
,
*,
*
� �
sup 1� �
x B. Ðàññìîòðèì äâà
ìíîæåñòâà: çàìêíóòîå îãðàíè÷åííîå
X B E x E x x
E E
� � ��
�
�
�
�
�
1 0( ) : ,*
,*
�
è îòêðûòîå
O y E y
M
y E x y
E E E
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
: : ,*
,*
1
2 1
0� .
Ïóñòü y O� . Ñíà÷àëà ïîêàæåì, ÷òî
inf
x X
B
E E
x y x y
�
�� ( ) ,*
,*
. (12)
Äåéñòâèòåëüíî, åñëè x X� , òî
x y x y x y x x y
E E E E
B B
*
,
*
,
, , ( ) ( )
* *
�
�
�
� � .
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê z Bn�
òàêèõ, ÷òî
n
n
�
1
� �x z n
E E
*
,
,
*
1 . Ïîëîæèì y y
x y
x z
zn
E E
n
E E
n�
*
,
*
,
,
,
*
*
. Òî÷êè yn ïðèíàäëåæàò ìíî-
æåñòâó X , òàê êàê
x y x y
x y
x z
x zn
E E E E
E E
n
E E
n
E E
*
,
*
,
*
,
*
,
*
,
, ,
,
,
,
* *
*
*
*
�
� 0 ,
y y
x y
x z
z y
n
n
x y zn E E
E E
n
E E
n E E E E
n E
� �
�
*
,
*
,
*
,
,
,
,
*
*
*
1
� � � �
y x y z y y z M y
E E E
n E E B n E E
2 2 1 2 1*
,
, ( ) ( )
*
� .
Ïîñêîëüêó y Xn � , èìååì
inf
x X
B B n B
E E
n
E E
nx y y y
x y
x z
z
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �( ) ( )
,
,
*
,
*
,
*
*
�
�
�
�
�
�
� �
x y
x z
n
n
x y
E E
n
E E
E E
*
,
*
,
*
,
,
,
,
*
*
*
1
,
îòêóäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî (12).
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 111
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà x X� òàêàÿ, ÷òî � B
E E
x y x y( ) ,*
,*
� .
Ðàññìîòðèì òî÷êó z
y x
x yB
�
� ( )
. Òîãäà z B�
è x z
E E
*
,
,
*
� 1. Ïîëó÷èëè ïðîòè-
âîðå÷èå ñ âûáîðîì ôóíêöèîíàëà x E* *� .
Ñóùåñòâóåò àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò, åñëè ðàññìîòðåòü ìíîæåñòâî B, êîòîðîå
íå èìååò ñâîéñòâà Êàäåöà–Êëè.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü ( , )E
E
� — áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî; B E� — çàìêíóòàÿ
îãðàíè÷åííàÿ âûïóêëàÿ îêðåñòíîñòü íóëÿ, êîòîðàÿ íå èìååò ñâîéñòâà Êàäåöà–Êëè;
f � 0. Òîãäà ñóùåñòâóåò íåïóñòîå çàìêíóòîå ìíîæåñòâî X E� è íåïóñòîå îòêðûòîå
ìíîæåñòâî O E X� \ òàêèå, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè y O� ýêñòðåìàëüíàÿ çàäà-
÷à � B
x X
x y( )
�
�
inf íå èìååò ðåøåíèé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî E íåðåôëåêñèâíî, òî óòâåðæäå-
íèå óæå äîêàçàíî (òåîðåìà 2). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî E — ðåôëåêñèâíîå ïðîñòðàíñòâî.
Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî B, à ïîòîìó è
B, íå èìååò ñâîéñòâà Êàäåöà–Êëè, ñóùåñòâóåò
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê z Bn �
òàêàÿ, ÷òî z zn � ñëàáî â E, �
�B nz( )
�
�B z( ) 1 , inf
k n
n k E
z z
� äëÿ íåêîòîðîãî �
0. Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë
x E* *� òàêîé, ÷òî x z x
E E
B
*
,
*,
*
� �
sup 1 . Òîãäà èìååì x z n
E E
*
,
,
*
� 1.
Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî 1 1
1
2
1
2
�
x z
n
n
E E
*
,
,
*
. Ïîëîæèì y
n
zn n�
�
�
�
�
�
�1
1
è ðàñ-
ñìîòðèì äâà ìíîæåñòâà:
X X n
n
�
�
�
1
� (X B y y x E x xn n n
E E
�
� �� � �( ) { : , }*
,*
� 0 ),
O y E y
ME
� � �
�
�
�
�
�
�
:
( )
�
3 2 1
.
Äîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî X çàìêíóòî. Ïóñòü u X k�� , u X n��� è k n
. Òîãäà
äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k è n èìååì
u u u u z z z z y y y y
E n n k k n n k k E
�
�� � �
��
�
�
�
�� �z z z y y z y u y uk n E n n E k k E k E n E
�
�
� � �1 1
3 3 10n k
.
Ìíîæåñòâà X n çàìêíóòûå, à íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî n — «
�
10
-îòäåëåííûå» îäíî
îò äðóãîãî. Ïîýòîìó ìíîæåñòâî X X n
n
�
�
�
1
� çàìêíóòîå.
Ðàññìîòðèì òî÷êè y O� è x X� . Òîãäà äëÿ íåêîòîðîãî n�� èìååì x X n� ,
x x x y
n
x z
nE E
n
E E
n
E E
*
,
*
,
*
,
, , ,
* * *
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
1
1
1
1
�
�
�
�
�
�
�
� �
1
1
2
1
n
.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî � �x X
� �B B
E E
x y y x x y x( ) ( ) ,*
,*
�
�
�
112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
�
x y x x x y
E E E E E E
*
,
*
,
*
,
, , ,
* * *
1 . (13)
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî
inf
x X
B
E E
x y x y
�
� � ( ) ,*
,*
1 . (14)
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü v y y
x y
x z
zn n
E E
n
E E
n�
*
,
*
,
,
,
*
*
. Òî÷êà vn ïðè-
íàäëåæèò ìíîæåñòâó X Xn � , òàê êàê
x v y x y
x y
x z
zn n
E E
E E
n
E E
n
E E
*
,
*
*
,
*
, ,
, ,
,
,
*
*
*
*
�
�
�
�x y
x y
x z
x z
E E
E E
n
E E
n
E E
*
,
*
,
*
,
*
,
,
,
,
,
*
*
*
*
0 ,
v y y
x y
x z
z y
n
n
x y zn n E E
E E
n
E E
n E E E E
n � �
*
,
*
,
*
,
,
,
,
*
*
*
2
1 E
�
� � � �
y x y z y y z M y
E E E
n E E B n E E
2 2 1 2
3
*
,
, ( ) ( )
*
�
�
.
Ïîñêîëüêó v Xn � , äëÿ êàæäîãî n��
inf
x X
B B n B n
E E
n
E E
nx y v y y
x y
x z
z
�
�
�
�
�
� � �( ) ( )
,
,
*
,
*
,
*
*
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� B n
E E
n
E E
n
n
z
x y
x z
z1
1
*
,
*
,
,
,
*
*
� �
1
1
1
1 2
1n
x y
x z n
n
n
x y
E E
n
E E
E E
*
,
*
,
*
,
,
,
,
*
*
*
. (15)
Ó÷òÿ ñòðîãîå íåðàâåíñòâî (13), ïîëó÷èì èç îöåíêè (15) ðàâåíñòâî (14) è äîêàçà-
òåëüñòâî íåäîñòèæèìîñòè â íåì èíôèìóìà.
ÏÐÈÌÅÍÅÍÈÅ ÒÅÎÐÅÌÛ 1 Ê ËÈÍÅÉÍÛÌ ÑÈÑÒÅÌÀÌ
Ñ ÂÅÊÒÎÐÍÛÌ ÊÐÈÒÅÐÈÅÌ ÊÀ×ÅÑÒÂÀ
Èñïîëüçóåì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ îïòèìàëüíûõ
ðåøåíèé, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà çàäà÷ âåêòîðíîãî óïðàâëåíèÿ ëèíåéíûìè ñèñòåìàìè.
Ïóñòü ( , )E
E
� , ( , )H
H
� , ( , )W
W
� è ( , )V
V
� — áàíàõîâû ïðîñòðàíñòâà;
U H� — ïîäìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé; B H� — çàìêíóòàÿ îãðàíè÷åí-
íàÿ âûïóêëàÿ îêðåñòíîñòü íóëÿ; ïðîñòðàíñòâî E ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åíî çàìêíóòûì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 113
âûïóêëûì è îñòðûì êîíóñîì K E� ; e K� \ { }0 — ôèêñèðîâàííûé ýëåìåíò òàêîé,
÷òî
!e K .
Ðàññìîòðèì ýêñòðåìàëüíóþ çàäà÷ó
"( , ) ( )y h h h e KB
�� 0 -min, (16)
Ly F h
�( ) 0 , h U� . (17)
Çäåñü L V W: � — ëèíåéíûé íåïðåðûâíûé îïåðàòîð, F H W: � — íåëèíåéíûé
îïåðàòîð, ": V H E# � — çàäàííîå îòîáðàæåíèå, h H0 � — ôèêñèðîâàííûé ýëå-
ìåíò-ïàðàìåòð.
Çàìå÷àíèå 2. Ïóñòü çàäàíî îòîáðàæåíèå f X E: � . Ïîä çàäà÷åé f K� -min
ïîíèìàåì çàäà÷ó ïîèñêà òî÷åê x X0 � òàêèõ, ÷òî f X f x K( ) ( ( ) \ )� 0 0
�${ } .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî:
1) ïðîñòðàíñòâî óïðàâëåíèé ( , )H
H
� ðåôëåêñèâíî;
2) ìíîæåñòâî B H� èìååò ñâîéñòâî Êàäåöà–Êëè;
3) ìíîæåñòâî U H� çàìêíóòî;
4) îïåðàòîð F H W: � íåïðåðûâåí;
5) îïåðàòîð L V W: � — ëèíåéíûé òîïîëîãè÷åñêèé èçîìîðôèçì V â W , ïðè-
÷åì R L F U( ) ( )% ;
6) îòîáðàæåíèå " :V H E# � K -îãðàíè÷åíî ñíèçó, K -ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó
â òîïîëîãèè ( , )*V V è òîïîëîãèè ( , )*H H (â êàæäîé òî÷êå ( , )y h V H� � � # âû-
ïîëíÿåòñÿ: � îêðåñòíîñòè O E� òî÷êè "( , )y h� � � òàêàÿ îêðåñòíîñòü V V0 � òî÷êè
y V�� è òàêàÿ îêðåñòíîñòü H H0 � òî÷êè h H�� , ÷òî "( , )V H O K0 0 � ) [14];
7) ( ) : , \* * * *
,*
K l K l l l K
E E
� �
� � ${ { }}0 0 .
Çàìå÷àíèå 3.  êëàññè÷åñêîé ðàáîòå [15, òåîðåìà 2.1] äîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå
ñåïàðàáåëüíîñòè E âñåãäà ( )*K $. Åñëè ïðîñòðàíñòâî E íåñåïàðàáåëüíî, òî ìíî-
æåñòâî ( )*K ìîæåò áûòü ïóñòûì.
Èç òåîðåìû 1 âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 4. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ 1–7. Òîãäà ñóùåñòâóåò ìàññèâíîå
ìíîæåñòâî M H U� \ òàêîå, ÷òî çàäà÷à (16), (17) èìååò ýôôåêòèâíîå ðåøåíèå.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü h U� . Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé ýëåìåíò
y y h V� �( ) òàêîé, ÷òî
Ly F h
�( ) 0 ,
y c F h
V W
� ( ) , c
0 . (18)
Ðàññìîòðèì îòîáðàæåíèå &: H E� : U ' h h y h h� �& "( ) ( ( ), ) . Ïîêàæåì, ÷òî
îòîáðàæåíèå & — K -ïîëóíåïðåðûâíî ñíèçó íà ìíîæåñòâå U .
Ðàññìîòðèì òî÷êè h U�� , y y h V� � � �( ) è îêðåñòíîñòü O E� òî÷êè
"( , )y h E� � � . Èç óñëîâèÿ 6 âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ îêðåñòíîñòåé V0 è H 0
òî÷åê y V�� è h H�� ñîîòâåòñòâåííî, ÷òî "( , )V H O K0 0 � . Èç íåïðåðûâíîñòè
îïåðàòîðà F è îöåíêè (18) ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîé îêðåñòíîñòè H H00 0�
òî÷êè h �, ÷òî ( )( )L F H V
�1
00 0 . Èòàê, & "( ) ( , )H V H O K00 0 0� � , ÷òî è òðåáî-
âàëîñü äîêàçàòü.
Ðàññìîòðèì ýëåìåíò e K* *( )� òàêîé, ÷òî e e
E E
*
,
,
*
�1, è çàäà÷ó
e y h h h
E E
B
*
,
, ( , ) ( )
*
"
�� 0 inf , Ly F h
�( ) 0 , h U� ,
êîòîðóþ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
e h h h
E E
B
h U
*
,
, ( ) ( )
*
&
�
�
� 0 inf . (19)
114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
Ôóíêöèîíàë h e h
E E
� *
,
, ( )
*
& ïîëóíåïðåðûâåí ñíèçó è îãðàíè÷åí ñíèçó
íà U . Ïîýòîìó èç òåîðåìû 1 ñëåäóåò, ÷òî ìíîæåñòâî òàêèõ h H0 � , ÷òî çàäà÷à (19)
èìååò ðåøåíèå, ñîäåðæèò ïëîòíîå â H U\ ïîäìíîæåñòâî òèïà G� .
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî ðåøåíèå (19) — ýôôåêòèâ-
íîå ðåøåíèå çàäà÷è (16), (17).
Ïóñòü h U� — ðåøåíèå (19). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî h U� íå ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâ-
íûì ðåøåíèåì (16), (17). Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ òî÷êà h U�� , ÷òî
& &( ) ( ) ( ) ( ) \h h h e h h h e KB B� �
�
� �0 0 0{ } .
Îòñþäà èìååì, ñ ó÷åòîì e e
E E
*
,
,
*
�1,
e h h h e h h h
E E
B
E E
B
*
,
*
,
, ( ) ( ) , ( ) ( )
* *
& &� �
�
� �0 0 ,
÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïòèìàëüíîñòè h.
Çàìå÷àíèå 4. Îïèðàÿñü íà ðåçóëüòàòû ðàáîò [16–18], ìîæíî ïîëó÷èòü ïîäî-
áíûå ðåçóëüòàòû äëÿ çàäà÷ âåêòîðíîé ìàêñèìèçàöèè ëèíåéíîé ñèñòåìû âèäà
"( , ) ( )y h h h e KB
�� 0 -max,
Ly F h
�( ) 0 , h U� .
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ñ ò å ÷ ê è í Ñ . Á . Àïïðîêñèìàòèâíûå ñâîéñòâà ìíîæåñòâ â ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàí-
ñòâàõ // Rev. Roum. Math. Pur. et Appl. — 1963. — 8, N 1. — P. 5–18.
2. Ê î í ÿ ã è í Ñ . Â . Îá àïïðîêñèìàòèâíûõ ñâîéñòâàõ ïðîèçâîëüíûõ çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ â áàíàõî-
âûõ ïðîñòðàíñòâàõ // Ôóíäàìåíò. è ïðèêë. ìàòåìàòèêà. — 1997. — 3, ¹ 4. — C. 379–389.
3. L a u K . - S . Almost Chebyshev subsets in reflexive banach spaces // Indiana Univ. Math. J. — 1978. —
27, N 5. — P. 791–795.
4. Ê î í ÿ ã è í Ñ . Â . Îá àïïðîêñèìàòèâíûõ ñâîéñòâàõ çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ â áàíàõîâûõ ïðîñòðàí-
ñòâàõ è õàðàêòåðèçàöèè ñèëüíî âûïóêëûõ ïðîñòðàíñòâ // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. — 1980. — 251, ¹ 2. —
C. 276–280.
5. D e B l a s i F . S . , M y j a k J . On a generalized best approximation problem // J. Approx. Theory. —
1998. — 94. — P. 54–72.
6. L i C . On well posed generalized best approximation problems // Ibid. — 2000. — 107. — P. 96–108.
7. N i R . X . Existence of generalized nearest points // Taiwanese J. Math. — 2003. — 7, N 1. —
P. 115–128.
8. B a r a n g e r J . Existence de solutions pour des problemes d’optimisation non convexes // J. Math. Pures
Appl. — 1973. — 52. — P. 377–406.
9. L i C . , P e n g L . H . Ðorosity of perturbed optimization problems in Banach spaces // J. Math. Anal.
Appl. — 2006. — 324. — P. 751–761.
10. N i R . X . Derivatives of generalized farthest functions and existence of generalized farthest points // Ibid.
— 2006. — 316. — P. 642–651.
11. Ä è ñ ò å ë ü Ä æ . Ãåîìåòðèÿ áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâ. — Êèåâ: Âèùà øê., 1980. — 215 ñ.
12. E k e l a n d I . , L e b o u r g G . Generic frechet-differentiability and perturbed optimization problems in
Banach spaces // Trans. Amer. Math. Soc. — 1976. — 224, N 2. — P. 193–216.
13. Î á å í Æ . - Ï . , Ý ê ë à í ä È . Ïðèêëàäíîé íåëèíåéíûé àíàëèç. — Ì.: Ìèð, 1988. — 510 ñ.
14. P e n o t J . , T h e r a M . Semi-continuous mappings in general topology // Archiv der Math. — 1982. —
38. — P. 158–166.
15. Ê ð å é í Ì . Ã . , Ð ó ò ì à í Ì . À . Ëèíåéíûå îïåðàòîðû, îñòàâëÿþùèå èíâàðèàíòíûì êîíóñ
â ïðîñòðàíñòâå Áàíàõà // Óñïåõè ìàò.íàóê. — 1948. — ¹ 1. — Ñ. 3–95.
16. C å ì å í î â Â . Â . Ëèíåéíûé âàðèàöèîííûé ïðèíöèï äëÿ âûïóêëîé âåêòîðíîé ìàêñèìèçàöèè //
Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 2. — Ñ. 105–114.
17. Ñ å ì å í î â  .  . Òèïîâ³ñòü ðîçâ’ÿçíîñò³ äåÿêèõ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî êåðóâàííÿ // Äîï. ÍÀÍ
Óêðà¿íè. — 2008. — ¹ 8. — Ñ. 36–42.
18. Ñ å ì å í î â Â . Â . Î ðàçðåøèìîñòè çàäà÷ ìàêñèìèçàöèè â ñîïðÿæåííûõ ïðîñòðàíñòâàõ // Ïðîáëåìû
óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2009. — ¹ 2. — Ñ. 89–93.
Ïîñòóïèëà 14.11.2008
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 115
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72206 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:06:16Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Семенов, В.В. 2014-12-19T21:49:15Z 2014-12-19T21:49:15Z 2011 Категорные свойства разрешимости одного класса задач минимизации / В.В. Семенов // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 104-115. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72206 Розглянуто задачу мінімізації на замкненій підмножині X рефлексивного банахова простору E напівнеперервного знизу функціоналу збуреного функціоналом Мінковського замкненого обмеженого опуклого околу нуля, що має властивість Кадеця - Клі. Доведено, що множина параметрів, за яких задача має розв'язок, містить щільну в E \ X підмножину типу Gδ. Показано, що умову рефлексивності та умову наявності у цього околу властивості Кадеця - Клі не можна послабити. Розглянуто застосування до задач оптимізації лінійних систем з векторним критерієм якості. Работа выполнена при финансовой поддержке ГФФИ Украины, грант № 0108U010308 ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Категорные свойства разрешимости одного класса задач минимизации Article published earlier |
| spellingShingle | Категорные свойства разрешимости одного класса задач минимизации Семенов, В.В. Системный анализ |
| title | Категорные свойства разрешимости одного класса задач минимизации |
| title_full | Категорные свойства разрешимости одного класса задач минимизации |
| title_fullStr | Категорные свойства разрешимости одного класса задач минимизации |
| title_full_unstemmed | Категорные свойства разрешимости одного класса задач минимизации |
| title_short | Категорные свойства разрешимости одного класса задач минимизации |
| title_sort | категорные свойства разрешимости одного класса задач минимизации |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72206 |
| work_keys_str_mv | AT semenovvv kategornyesvoistvarazrešimostiodnogoklassazadačminimizacii |