Математические модели оптимизации страхового дела
Розглянуто новий підхід до наближеної оптимізації страхового бізнесу, що полягає в оптимізації чистого прибутку (дивідендів) компанії у разі обмеження на ймовірність розорення. Ймовірність замінюється на її експоненційну оцінку зверху. Це дозволяє виключити складне ймовірнісне обмеження і декомпозув...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72208 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математические модели оптимизации страхового дела / Б.В. Норкин // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 128-145. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859695623397179392 |
|---|---|
| author | Норкин, Б.В. |
| author_facet | Норкин, Б.В. |
| citation_txt | Математические модели оптимизации страхового дела / Б.В. Норкин // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 128-145. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто новий підхід до наближеної оптимізації страхового бізнесу, що полягає в оптимізації чистого прибутку (дивідендів) компанії у разі обмеження на ймовірність розорення. Ймовірність замінюється на її експоненційну оцінку зверху. Це дозволяє виключити складне ймовірнісне обмеження і декомпозувати задачу за окремими напрямками бізнесу. Таким способом наближено розв'язання задачі оптимізації тарифів, страхового портфеля, договорів перестрахування та оперативного керування компанією.
|
| first_indexed | 2025-12-01T00:57:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
Á.Â. ÍÎÐÊÈÍ
ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈ ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ ÑÒÐÀÕÎÂÎÃÎ ÄÅËÀ1
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñòðàõîâàÿ ìàòåìàòèêà, ïðîöåññ ðèñêà, âåðîÿòíîñòü ðàçîðå-
íèÿ, îïòèìèçàöèÿ, îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, ñòðàõîâîé ïîðòôåëü, ïåðåñòðàõî-
âàíèå, ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Ñóòü ñòðàõîâîãî áèçíåñà ñîñòîèò â ïîëó÷åíèè ìàêñèìóìà ÷èñòîé ïðèáûëè ïðè
äîñòàòî÷íûõ ñòðàõîâûõ ðåçåðâàõ äëÿ ïîêðûòèÿ âîçìîæíûõ ñòðàõîâûõ òðåáîâàíèé
ñ çàäàííîé ñòåïåíüþ íàäåæíîñòè [1, 2]. Â êîíêóðåíòíîé ñðåäå êîìïàíèÿ ñòðåìèò-
ñÿ óâåëè÷èòü ñâîþ äîëþ íà ðûíêå.
Äëÿ óñîâåðøåíñòâîâàíèÿ áèçíåñà èñïîëüçóþòñÿ ãèáêèå (íîâûå) ñòðàõîâûå òàðè-
ôû (öåíû), ïåðåñòðàõîâàíèå ðèñêîâ, ââåäåíèå íîâûõ ñòðàõîâûõ ïðîäóêòîâ, ðàñøèðå-
íèå äèëåðñêîé ñåòè, èñïîëüçîâàíèå ðåêëàìû, èíâåñòèöèé è äð. [3]. Âñå ýòî òðåáóåò
ðàñõîäîâ, êîòîðûå, êîíå÷íî, îñóùåñòâëÿþòñÿ ëèáî çà ñ÷åò ïîñòóïàþùèõ ïðåìèé,
ëèáî çà ñ÷åò óìåíüøåíèÿ ñòàðòîâîãî ðåçåðâà. Ðàñõîäû óìåíüøàþò ñòðàõîâûå ðåçåð-
âû èëè äîõîäû êîìïàíèè è òåì ñàìûì âëèÿþò íà åå íàäåæíîñòü. Ïîýòîìó òðåáóåòñÿ
òîíêàÿ áàëàíñèðîâêà ìåæäó çàäà÷àìè ìàêñèìèçàöèåé ïðèáûëè è ïîääåðæàíèåì ñòà-
áèëüíîñòè êîìïàíèè. Ñòðàõîâîé áèçíåñ îñíîâàí íà çàêîíå áîëüøèõ ÷èñåë — ÷åì
áîëüøå ñêëàäûâàåòñÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ðèñêîâ), òåì áîëåå ïðîãíî-
çèðóåìî èõ ñðåäíåå. Ãðàìîòíûé ñòðàõîâîé áèçíåñ — íàóêîåìêèé âèä äåÿòåëüíîñòè,
â êîòîðîì èñïîëüçóþòñÿ ñëîæíûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåñ-
ñîâ, ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, îïòèìèçàöèè è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ.
Òðàäèöèîííàÿ òåîðèÿ ìèêðîýêîíîìèêè ñòðàõîâàíèÿ îñíîâàíà íà ïîíÿòèè îæè-
äàåìîé ïîëåçíîñòè [2, 4]. Ýêîíîìè÷åñêèå àãåíòû, âêëþ÷àÿ ñòðàõîâûå êîìïàíèè,
ðóêîâîäñòâóþòñÿ ïðèíöèïîì ìàêñèìèçàöèè îæèäàåìîé ïîëåçíîñòè. Ôóíêöèè
ïîëåçíîñòè ïîçâîëÿþò êà÷åñòâåííî îáúÿñíèòü ìíîãèå ÿâëåíèÿ ýêîíîìèêè, íî ìà-
ëîïðèãîäíû äëÿ ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ, ïîñêîëüêó îíè íå èçìåðèìû ôèçè÷åñêèìè
èëè èíûìè ïðÿìûìè ìåòîäàìè.
Äðóãîé ïîäõîä ê àíàëèçó ñòðàõîâîé äåÿòåëüíîñòè îñíîâàí íà èññëåäîâàíèè äî-
õîäíîñòè è ðèñêà (âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ).  êà÷åñòâå ìåðû äîõîäíîñòè ìîæåò âûñòó-
ïàòü êàïèòàë êîìïàíèè â êîíöå ïëàíîâîãî ïåðèîäà [1, 3, 5] èëè ñðåäíÿÿ äîõîäíîñòü
ñòðàõîâîé äåÿòåëüíîñòè [6], à â êà÷åñòâå ìåðû ðèñêà — äèñïåðñèÿ êàïèòàëà [1, 3, 5],
âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ [1, ãë. 10], åå ýêñïîíåíöèàëüíûå îöåíêè ñâåðõó [6, 7], êîýô-
ôèöèåíò Ëóíäáåðãà [2, ðàçä. 14.5], ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ìàêñèìàëüíûõ ñóì-
ìàðíûõ ïîòåðü [2, ðàçä. 13.6, 14.4, 14.5] è äðóãèå õàðàêòåðèñòèêè ñîáûòèÿ ðàçîðåíèÿ.
 ýòîì ïîäõîäå îñíîâíàÿ ïðîáëåìà — âû÷èñëåíèå èëè îöåíêà âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ
ñòðàõîâîé êîìïàíèè. Äàííîé ïðîáëåìå ïîñâÿùåíà îáøèðíàÿ ëèòåðàòóðà [1, 2, 7–9].
 ðàáîòàõ [6, 10] ðàññìàòðèâàëèñü çàäà÷è îïòèìèçàöèè ïåðåñòðàõîâàíèÿ ðèñ-
êîâ â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé ìîäåëè êîëëåêòèâíîãî ðèñêà Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà,
à èìåííî, ìàêñèìèçèðîâàëñÿ ñðåäíèé òåìï ðîñòà êàïèòàëà êîìïàíèè ïðè îãðàíè÷å-
íèè íà âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ, îöåíåííóþ äëÿ áåñêîíå÷íîãî èíòåðâàëà âðåìåíè.
 êà÷åñòâå ïåðåìåííûõ îïòèìèçàöèè âûñòóïàëè ïàðàìåòðû äîãîâîðîâ ïåðåñòðàõî-
âàíèÿ. Ïîñêîëüêó âû÷èñëèòü âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ íå ïðîñòî, òî â îãðàíè÷åíèè
èñïîëüçîâàëàñü åå âåðõíÿÿ îöåíêà, à èìåííî, åêñïîíåíöèàëüíàÿ ãðàíèöà Êðàìå-
ðà–Ëóíäáåðãà. Â [2] ïðè âûáîðå ïàðàìåòðîâ ïåðåñòðàõîâàíèÿ ìàêñèìèçèðîâàëñÿ
128 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
1 Ðàáîòà ïîääåðæàíà ãðàíòîì ¹ GP/F27/0088 ïðåçèäåíòà Óêðàèíû äëÿ ìîëîäûõ ó÷åíûõ.
© Á.Â. Íîðêèí, 2011
êîýôôèöèåíò Ëóíäáåðãà, êîòîðûé âõîäèò ñî çíàêîì ìèíóñ â ýêñïîíåíöèàëüíóþ
îöåíêó âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðèìåíÿåòñÿ äðóãîé êðèòåðèé îïòèìèçàöèè — óðîâåíü
÷èñòîé ïðèáûëè (äèâèäåíäîâ) ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ. Ìû
ïðèìåíÿåì ýòîò ïîäõîä äëÿ ðåøåíèÿ ðÿäà çàäà÷ óïðàâëåíèÿ ñòðàõîâûì áèçíåñîì,
à èìåííî, äëÿ âûáîðà íà÷àëüíîãî ñòðàõîâîãî ðåçåðâà, îïòèìèçàöèè òàðèôîâ,
ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ, äîãîâîðîâ ïåðåñòðàõîâàíèÿ è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äèâè-
äåíäíîé ïîëèòèêîé êîìïàíèè. Ïðè ýòîì âìåñòî òî÷íîé âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ èñ-
ïîëüçóåòñÿ åå îöåíêà.  êà÷åñòâå ïåðåìåííûõ îïòèìèçàöèè âûñòóïàþò êàê ïàðà-
ìåòðû äîãîâîðîâ ïåðåñòðàõîâàíèÿ, òàê è èíûå õàðàêòåðèñòèêè äåÿòåëüíîñòè ñòðà-
õîâîé êîìïàíèè: öåíû ïîëèñîâ, óðîâíè èíâåñòèöèé â òó èëè èíóþ ñôåðó
äåÿòåëüíîñòè êîìïàíèè è äð. Èñêîìûìè âåëè÷èíàìè âûñòóïàþò óðîâåíü äèâèäåí-
äîâ è äðóãèå ïàðàìåòðû óïðàâëåíèÿ êîìïàíèåé, ðàññ÷èòàííûå êàê ôóíêöèè íà÷àëü-
íîãî êàïèòàëà. Ïîäîáíûé ïîäõîä äëÿ êîìïàíèè â öåëîì ðàññìîòðåí â [7]. Ïîëó÷åí-
íûå ôóíêöèè ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ òåêóùåãî óïðàâëåíèÿ êîìïàíèåé, à èìåííî,
â ýòè ôóíêöèè ïîäñòàâëÿåòñÿ òåêóùåå ñëó÷àéíîå çíà÷åíèå êàïèòàëà è ïîëó÷åííûå
ïàðàìåòðû óïðàâëåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ äëÿ îïåðàòèâíîãî óïðàâëåíèÿ êîìïàíèåé.
Îäíàêî ïðè òàêîì óïðàâëåíèè ïðîöåññ ñòàíîâèòñÿ íåëèíåéíûì, õîòÿ òåêóùåå
óïðàâëåíèå ñòðîèëîñü èñõîäÿ èç ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî ïîñëå âûáîðà íîâûõ ïàðàìåò-
ðîâ óïðàâëåíèÿ ñ ýòîãî ìîìåíòà îíè ìåíÿòüñÿ íå áóäóò. Ïîýòîìó âîçíèêàåò íåîáõî-
äèìîñòü â ïîâòîðíîé îöåíêå âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ íîâîãî íåëèíåéíî óïðàâëÿåìî-
ãî ïðîöåññà ðèñêà, â êîòîðîì ïðåìèè çàâèñÿò îò òåêóùåãî êàïèòàëà. Ýòî óæå íå
êëàññè÷åñêèé ïðîöåññ ðèñêà, äëÿ íåãî íå ïðèìåíèìû êëàññè÷åñêèå ìîäåëè îöåíêè
ðèñêà ðàçîðåíèÿ, íî ïðèìåíèì îáùèé ìåòîä Ìîíòå-Êàðëî è ìåòîä ïîñëåäîâàòåëü-
íûõ ïðèáëèæåíèé [11–14]. Ïîâòîðíàÿ îöåíêà ðèñêà òåì áîëåå îïðàâäàíà, ïîñêîëü-
êó â ïðîöåññå îïòèìèçàöèè ïàðàìåòðîâ äåÿòåëüíîñòè êîìïàíèè èñïîëüçîâàëèñü
óïðîùåííûå îöåíêè äëÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ îöåíêè ìàëûõ
âåðîÿòíîñòåé ðàçîðåíèÿ íåîáõîäèìî îãðîìíîå ÷èñëî èñïûòàíèé â ìåòîäå Ìîí-
òå-Êàðëî, ïîýòîìó èìååò ñìûñë ïðèìåíÿòü åãî íà ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ
ñèñòåìàõ (ìíîãîÿäåðíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìàøèíàõ èëè êëàñòåðàõ).
Òàêèì îáðàçîì, îñíîâíûå íàøè èííîâàöèè — ýòî ìàêñèìèçàöèÿ ÷èñòîé ïðè-
áûëè (äèâèäåíäîâ), ÿâëÿþùåéñÿ ðàçíèöåé ìåæäó ñòðàõîâûìè ïðåìèÿìè è îò÷èñëå-
íèÿìè â ñòðàõîâîé ðåçåðâ, è çàìåíà îãðàíè÷åíèÿ íà âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ åå ýêñ-
ïîíåíöèàëüíîé îöåíêîé Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà (ðàíåå ýòîò ïðèåì èñïîëüçîâàëñÿ
â [6]).  ñîâîêóïíîñòè ýòè äâà ïðèåìà ïîçâîëÿþò ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ êîýôôè-
öèåíòà Ëóíäáåðãà â ÿâíîì âèäå, èñêëþ÷èòü ñëîæíîå âåðîÿòíîñòíîå îãðàíè÷åíèå èç
ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è, äåêîìïîçèðîâàòü çàäà÷ó îïòèìèçàöèè ñòðàõîâîãî ïîðòôåëÿ
è âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêèå ðåøåíèÿ. Äëÿ çàäà÷è îïåðàòèâíîãî
îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äèâèäåíäíîé ïîëèòèêîé êîìïàíèè ïðè îãðàíè÷åíèè íà
âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ èñïîëüçóþòñÿ îïòèìàëüíûå äëÿ òåêóùåãî ñîñòîÿíèÿ ñòàöèî-
íàðíûå ñòðàòåãèè, êîòîðûå âû÷èñëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêè. ×èñëåííûìè ðàñ÷åòàìè
c ïîìîùüþ ïàðàëëåëüíîãî ìåòîäà Ìîíòå-Êàðëî ïîêàçàíî, ÷òî ïîëó÷åííàÿ òàêèì
îáðàçîì àäàïòèâíàÿ ñòðàòåãèÿ çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò îïòèìàëüíóþ äëÿ íà÷àëü-
íîãî êàïèòàëà ñòàöèîíàðíóþ ñòðàòåãèþ êàê ïî óðîâíþ ñóììàðíûõ äèâèäåíäîâ, òàê
è ïî âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ. Íîâûì ÿâëÿåòñÿ òàêæå ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðè-
áëèæåíèé äëÿ îöåíêè ðèñêà ðàçîðåíèÿ êîìïàíèè, êîãäà ïðåìèè è äèâèäåíäû çàâè-
ñÿò îò òåêóùåãî êàïèòàëà êîìïàíèè.
ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈß ÏÀÐÀÌÅÒÐÎÂ ÑÒÐÀÕÎÂÎÉ ÄÅßÒÅËÜÍÎÑÒÈ
ÏÐÈ ÎÃÐÀÍÈ×ÅÍÈÈ ÍÀ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÜ ÐÀÇÎÐÅÍÈß
Ïóñòü â ïîðòôåëå êîìïàíèè èìååòñÿ ni äîãîâîðîâ ñòîèìîñòè pi i -ãî òèïà ñ ïó-
àññîíîâñêîé èíòåíñèâíîñòüþ ïîñòóïëåíèé òðåáîâàíèé � i (ïî îäíîìó äîãîâîðó)
è ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íåçàâèñèìûõ òðåáîâàíèé Fi ( )� , i n� � �1 2, � . Áóäåì
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 129
ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ìîìåíòû ïîñòóïëåíèÿ è ðàçìåðû âñåõ ñòðàõîâèõ òðåáîâàíèé
íåçàâèñèìû. Ïóñòü èìååòñÿ j m�1, ..., òåêóùèõ âèäîâ äåÿòåëüíîñòè, íàïðàâëåí-
íûõ íà ñîâåðøåíñòâîâàíèå áèçíåñà, ñ ïîñòîÿííûìè èíòåíñèâíîñòÿìè x j è çàòðà-
òàìè b xj j( ) , òàêèì îáðàçîì, îáùèå çàòðàòû íà íèõ â åäèíèöó âðåìåíè ðàâíû
i
m
j jb x
�
�
1
( ) . Îáîçíà÷èì âåêòîð x x x Xm� �( , ..., )1 , ãäå X R m� — íåêîòîðîå ìíî-
æåñòâî äîïóñòèìûõ ðåøåíèé. Âñÿêàÿ àêòèâíîñòü âåäåò ê èçìåíåíèþ ÷èñëà äîãî-
âîðîâ â ïîðòôåëå êîìïàíèè, ò.å. n xi ( ) — ÷èñëî äîãîâîðîâ i -ãî òèïà çàâèñèò îò
âåêòîðà àêòèâíîñòåé x .  ÷àñòíîñòè, â êà÷åñòâå ïåðåìåííîé îïòèìèçàöèè ìî-
æåò âûñòóïàòü ñàìî êîëè÷åñòâî äîãîâîðîâ n j j-ãî òèïà, òîãäà b nj j( ) âûðàæàåò
ñòîèìîñòü îáñëóæèâàíèÿ ýòèõ äîãîâîðîâ. Â ýòèõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ñóììàðíûå
ñòðàõîâûå òðåáîâàíèÿ ïî êàæäîìó òèïó äîãîâîðà íà ëþáîì êîíå÷íîì èíòåðâà-
ëå âðåìåíè — ñëîæíûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ, ïîýòîìó ñóììàðíûå ñòðàõîâûå
òðåáîâàíèÿ ïîðòôåëÿ — òàêæå ñëîæíûé ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ [2, ðàçä. 12.4,
13.3], â êîòîðîì ñîâîêóïíûå ïðåìèè c x p n x
i
n
i i( ) ( )�
�
�
1
, èíòåíñèâíîñòè ïðèõîäà
òðåáîâàíèé � �( ) ( )x n xi i
i
n
�
�
�
1
è ðàñïðåäåëåíèå òðåáîâàíèé
F n x F n xx i i i
i
n
i i
i
n
( ) ( ) ( ) ( )/� ��
� �
� �� �
1 1
(1)
çàâèñÿò îò âåêòîðà x.
Çàäà÷à ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ñîñòîèò â ìàêñèìèçàöèè ÷èñòîé òåêóùåé ïðèáûëè
(íåòòî-ïðåìèè, äèâèäåíäîâ) D ïðè îãðàíè÷åíèÿõ íà ñòàáèëüíîñòü (áåçîïàñíîñòü)
áèçíåñà:
D
x X D
�
�
max
, 0
, (2)
� � �T i i
i
n
j j
j
m
xu p n x b x D x F, ( ) ( ) , ( ),
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
1 1
, (3)
ãäå � �T u c F( , ~, ~,
~
) — âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ êîìïàíèè íà èíòåðâàëå âðåìåíè
[ , ]0 T � � ; ïàðàìåòð u îáîçíà÷àåò íà÷àëüíûé ñòðàõîâîé ðåçåðâ êîìïàíèè;
~ ( )c p n xi i
i
n
�
�
�
1
b x Dj j
j
m
( )
�
�
1
— ðàçìåð ÷èñòîé ñîâîêóïíîé ïðåìèè â åäèíèöó
âðåìåíè; ~ ( )� �� x — èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà íåçàâèñèìûõ òðåáîâàíèé;
~
F Fx� — âå-
ðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçìåðà îäíîãî ñëó÷àéíîãî òðåáîâàíèÿ â îáùåì ïîòîêå
òðåáîâàíèé; � — ïàðàìåòð íàäåæíîñòè áèçíåñà, 0 1� �� . Ïîñòàíîâêà (2), (3)
ïðåäïîëàãàåò, ÷òî êîìïàíèÿ ñòàáèëüíî ôóíêöèîíèðóåò â òå÷åíèå äëèòåëüíîãî (â
èäåàëå áåñêîíå÷íîãî) èíòåðâàëà âðåìåíè [ , ]0 T , ïðè ýòîì ïàðàìåòðû åå áèçíåñà ïðè
ôèêñèðîâàííîì óïðàâëåíèè x íå ìåíÿþòñÿ.
Îáû÷íî ôóíêöèÿ �T ( )� íå èçâåñòíà â ÿâíîì âèäå. Îíà èëè çàäàíà ïðèáëèæåí-
íûìè ôîðìóëàìè (àïïðîêñèìàöèÿìè), èëè íàõîäèòñÿ ïóòåì ðåøåíèÿ âñïîìîãàòåëü-
íîé âû÷èñëèòåëüíîé çàäà÷è, íàïðèìåð îáðàùåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà èëè ðå-
øåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ [9]. Òàêèì îáðàçîì, ïî-
ñòàíîâêà (2), (3) — ñëîæíàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ çàäà÷à.
Äëÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ �T ( )� ðàññìàòðèâàåìîãî ñëîæíîãî ïðîöåññà ðèñêà
èìååò ìåñòî îöåíêà Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà [9],
� � � �T
Ruu c F u c F e( , ~, ~,
~
) ( , ~, ~,
~
)� ��
ïðè óñëîâèè, ÷òî ñóùåñòâóåò ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå (êîýôôèöèåíò Ëóíäáåðãà)
R óðàâíåíèÿ
0
1
�
�
�e F y dy cRy(
~
( )) ~ / ~� .
130 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
Òàêîå ðåøåíèå çàâåäîìî ñóùåñòâóåò, åñëè ~ (
~
( )) ~�
0
1
�
�
�F y dy c è ñòðàõîâûå òðå-
áîâàíèÿ ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû. Åñëè çàìåíèòü â îãðàíè÷åíèè (3) âåðîÿòíîñòü
ðàçîðåíèÿ �T ( )� åå ýêñïîíåíöèàëüíîé îöåíêîé e Ru
, òî ýòî îãðàíè÷åíèå óñèëèò-
ñÿ, ò.å. ñóçèòñÿ îáëàñòü äîïóñòèìûõ ðåøåíèé çàäà÷è. Ðàññìîòðèì âìåñòî (2), (3)
çàäà÷ó
D
x X D R
�
�
max
, ,0 0
, (4)
e Ru
� �, (5)
�( ) ( ( )) ( ) ( )x e F y dy p n x b x DRy
x i i
i
n
j j
j
m
0 1 1
1
�
� �
� � �
�
. (6)
Åñëè äîïóñòèìûå ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ñóùåñòâóþò, òî, î÷åâèäíî, â îïòèìàëü-
íîì ðåøåíèè îãðàíè÷åíèå-íåðàâåíñòâî e Ru
� � âûïîëíÿåòñÿ êàê ðàâåíñòâî. Ýòî
ïîçâîëÿåò èñêëþ÷èòü âåëè÷èíû R è D èç ïîñòàíîâêè çàäà÷è, R u� ( / ) ln ( / )1 1 � ,
D p n x b x x ei i
i
n
j j
j
m
y u�
� �
�
� � �( ) ( ) ( ) (( / ) ln ( / )
1 1 0
1 1� � F y dyx ( )) �
�
� � �
�
� � � �p n x b x n x ei i
i
n
j j
j
m
i i
i
n
y u( ) ( ) ( ) ( / ) ln (
1 1 1 0
� 1/ )� �
�
�
�
�
�
�
� ��
� �
� �1
1 1
� �i i i
i
n
i i
i
n
n x F n x dy( ) ( ) ( )/
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�p e F y dy n xi i
y u
i i
i
� �
0
1
1
1( / ) ln ( / )( ( )) ) ( )
n
j j
j
m
b x� �
�
( )
1
.
 ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé çàäà÷å:
D x a u n x b xi i
i
n
j j
j
m
x X
( ) ( , ) ( ) ( ) max�
�
� � �
� ��
1 1
, (7)
ãäå êîýôôèöèåíòû
a u p p I ui i i i i( , , ) ( , )� � ��
, I u e F y d yi
y u
i( , ) ( ( ))( / ) ln ( / )� ��
�
�
0
1 1 (8)
ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû íåçàâèñèìî è äî ðåøåíèÿ îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è (7).
Óòâåðæäåíèå 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå èíòåãðàëû I ui ( , )� â (8) êîíå÷íû. Åñëè
â îïòèìàëüíîì ðåøåíèè x � çàäà÷è (7) çíà÷åíèå öåëåâîé ôóíêöèè íåîòðèöàòåëüíî,
D x( )� 0 , òî íàáîð { }D D x R u x� � � �� �( ), ( / ) ln ( / ),1 1 � ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ðå-
øåíèåì çàäà÷è (4)–(6), à ïàðà { }D D x x� � �� ( ), — äîïóñòèìîé äëÿ çàäà÷è (2), (3).
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì D�� âåðõíþþ ãðàíü çíà÷åíèé öåëåâîé ôóíêöèè (4)
íà äîïóñòèìîì ìíîæåñòâå (5), (6). Åñëè x � — îïòèìàëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è (7), òî
î÷åâèäíî, { }D D x R u x� � � �� �( ) , ( / ) ln ( / ),1 1 � ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìûì ðåøåíèåì
çàäà÷è (4)–(6). Ïîýòîìó îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå D�� â (4)–(6) íå ìåíüøå D x( )� .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî D D x�� �� ( ) . Òîãäà ñóùåñòâóåò äîïóñòèìûé äëÿ (4)–(6) íàáîð
( , , )� � �D R x òàêîé, ÷òî D D D x�� � � � ( ) 0 . Ïðè ýòîì áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæ-
íî ñ÷èòàòü, ÷òî (5) âûïîëíÿåòñÿ êàê ðàâåíñòâî, ò.å. � �R u( / ) ln ( / )1 1 � . Òîãäà ïàðà
( , )� �D x ÿâëÿåòñÿ äîïóñòèìîé äëÿ çàäà÷è (7), (8), è, ñëåäîâàòåëüíî, � � �D D x( ), ÷òî
ïðîòèâîðå÷èò ðàíåå óñòàíîâëåííîìó íåðàâåíñòâó � � �D D x( ) . Òàêèì îáðàçîì,
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 131
D D x** *( )� è, ñëåäîâàòåëüíî, { }D D x R u x� � � �� �( ) ( / ) ln ( / ),1 1 � — îïòèìàëüíîå
ðåøåíèå çàäà÷è (4)–(6).
Ïî ïîñòðîåíèþ R u� � �( / ) ln ( / )1 1 0� ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíûì êîðíåì óðàâ-
íåíèÿ
�( ) ( ( )) ( ) ( )x e F y dy p n x b xRy
x i i
i
n
j j
j
m
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
0 1 1
1
�D .
Ïîýòîìó ñîãëàñíî [9, òåîðåìà 3.8] äëÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ �( )� ñïðàâåäëèâî
íåðàâåíñòâî Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà è, òàêèì îáðàçîì, { }D D x x� � �� ( ), — äîïóñòè-
ìîå ðåøåíèå çàäà÷è (2), (3).
Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî.
Ïðè a u pi i( , , )� � 0 ñîîòâåòñòâóþùåå ñëàãàåìîå â (7) îòðèöàòåëüíî, ýòî îçíà÷à-
åò, ÷òî äàííûé âèä ñòðàõîâàíèÿ óáûòî÷åí ïðè äàííûõ ïàðàìåòðàõ u pi, ,� . Òàêèì
îáðàçîì, âåëè÷èíû p u I ui i i
� �( , ) ( , )� � � çàäàþò íèæíþþ ãðàíèöó áåçóáûòî÷íûõ öåí
äëÿ äîãîâîðîâ i-ãî òèïà ïðè äàííîì ñòðàõîâîì ðåçåðâå u è óðîâíå íàäåæíîñòè �.
 òåêóùåé äåÿòåëüíîñòè ñòðàõîâîé êîìïàíèè âåëè÷èíû p Ii t i i t
� �( , ) ( , )� � � � � ,
ãäå � t — òåêóùèé (â ìîìåíò t ) ñòðàõîâîé ðåçåðâ, ïîêàçûâàþò âåëè÷èíû òåêóùèõ
áåçóáûòî÷íûõ ñòðàõîâûõ òàðèôîâ (ïðåìèé). Ñðàâíåíèå ôàêòè÷åñêèõ òàðèôîâ pi
ñ îðèåíòèðàìè pi t
� ( , )� � ïîçâîëèò ìåíåäæåðàì êîìïàíèè ðàññòàâèòü ïðàâèëüíûå
àêöåíòû ïî ðàñøèðåíèþ èëè ñâîðà÷èâàíèþ òîãî èëè èíîãî âèäà ñòðàõîâàíèÿ ñ ó÷å-
òîì ïðèíÿòîãî óðîâíÿ ðèñêà �.
Çàìå÷àíèå. Çàäà÷è (4)–(6) è (8), (9) äàþò òîëüêî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ïðîá-
ëåìû îïòèìèçàöèè äèâèäåíäîâ. Ðåàëüíûå äèâèäåíäû çà âðåìÿ T ìåíüøå DT , ïî-
ñêîëüêó îíè òåðÿþòñÿ â ñëó÷àå ðàçîðåíèÿ, íî áîëüøå ( )1
� DT , ïîñêîëüêó âåðîÿò-
íîñòü ðàçîðåíèÿ ìåíüøå �.
ÈËËÞÑÒÐÀÒÈÂÍÛÅ ×ÈÑËÅÍÍÛÅ ÄÀÍÍÛÅ È ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÈ
Ïðîèëëþñòðèðóåì ïðåäëàãàåìûé ïîäõîä ê îïòèìèçàöèè ñòðàõîâîãî áèçíåñà íà
ðÿäå çàäà÷.  äàëüíåéøåì áóäåì ñîïðîâîæäàòü òåîðåòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ÷èñ-
ëåííûìè ðàñ÷åòàìè. Èñõîäíûå äàííûå äëÿ ðàñ÷åòîâ âçÿòû èç ðàáîòû [6] è ïðè-
âåäåíû â òàáë. 1.
Çäåñü ~� i îáîçíà÷àåò èíòåíñèâíîñòü ïóàññîíîâñêîãî ïîòîêà ñòðàõîâûõ òðåáîâà-
íèé ïî äîãîâîðàì i -ãî òèïà; ci — èíòåíñèâíîñòü ïîòîêà ïðåìèé; ôóíêöèè ðàñïðå-
äåëåíèÿ òðåáîâàíèé ýêñïîíåíöèàëüíû ñî ñðåäíèì � i , F y ei
y i( ) /�
1 � .
Ïîòîê òðåáîâàíèé ìîæíî ìîäåëèðîâàòü ñëîæíûì ïóàññîíîâñêèì ïðîöåññîì ñ èí-
òåíñèâíîñòüþ ïîñòóïëåíèÿ òðåáîâàíèé � �� �� i i 11 9. , ñ èíòåíñèâíîñòüþ ïîñòóïëå-
íèÿ ïðåìèé c c
i i� �� 122. è ðàñïðåäåëåíèåì òðåáîâàíèé F y F y
i i i i i( ) ( ) /� � �� � ,
132 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
Ò à á ë è ö à 1
Ïàðàìåòðû
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ
i �1 i � 2 i � 3 i � 4 i � 5 i � 6 i � 7
~� �i i in� 0.2 0.5 1 1.2 2 3 4
�i 3 2 3 2 1 0.3 0.1
c p ni i i� 0.8 1.2 3.5 2.8 2.4 1 0.5
� �i i ic/ 0.7500 0.8333 0.8571 0.8571 0.8333 0.9000 0.8000
� � � �� �� �i i i i i/ 0.8655 . Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñòðàõîâàÿ íàãðóçêà � ���
�c / ( ) 1
�
�� �i i i i ic / .� � 1 0 1845 . Îöåíêà Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà äëÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðå-
íèÿ èìååò âèä �( )u e eRu u� �
�0.0773 , ãäå R � 0.0773 — êîýôôèöèåíò Ëóíäáåðãà,
ÿâëÿþùèéñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ �
0
1
�
�
�e F y dy cRy( ( )) .
Ýêñïîíåíöèàëüíîå ïðèáëèæåíèå F y e y( ) /�
1 � ðàñïðåäåëåíèÿ ñòðàõîâûõ
òðåáîâàíèé ïðèìåíÿåòñÿ â àïïðîêñèìàöèè Äå Âèëüäåðà [9, ðàçä. III, § 5]. Ïðè ýòîì
èñõîäíûé ïðîöåññ ñ ïàðàìåòðàìè ( , , )� � � çàìåíÿåòñÿ ïðîöåññîì ñ ïàðàìåòðàìè
� � �
m
m
3
23
2.4151, � �� �
2
3
1 3
2
2
m m
m
0.2305 , � �� �
9
2
2
3
3
2
m
m
3.4135 ,
ãäå m j i i ij� �( / )1 � � � — j -é ìîìåíò èñõîäíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ òðåáîâàíèé
F y F y
i i i( ) ( / ) ( )� �1 � � , � ij
j
iy dF y�
�
�
0
( ) — j -é ìîìåíò ðàñïðåäåëåíèÿ òðåáî-
âàíèé F yi ( ).  äàííîì ñëó÷àå m1 � 0.8655, m2 � 3.3462, m3 � 24.2445. Ñîîòâå-
òñòâóþùàÿ àïïðîêñèìàöèÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ èìååò âèä
�
�
�
� �( ) ( )u e e
u
u�
�
�
�
�1
1
1 0.8127 0.0776 . (9)
 ðàáîòå [2, ñ. 375] ïðåäëàãàåòñÿ òàêæå èñïîëüçîâàòü ýêñïîíåíöèàëüíóþ àïïðîêñè-
ìàöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ òðåáîâàíèé
~
( ) / ~
F y e y�
1 � ñî ñðåäíèì ~ / ( )� � �m m2 12 1.9330,
îñòàâëÿÿ íåèçìåííîé ñòðàõîâóþ íàãðóçêó.  ýòîì ñëó÷àå àïïðîêñèìàöèÿ âåðîÿò-
íîñòè ðàçîðåíèÿ èìååò âèä
~( ) ( )~
�
�
�
� �u e e
u
u�
�
�
�
�1
1
1 0.8443 0.0806 . (10)
Åñëè òðåáîâàíèÿ ïî îòäåëüíûì âèäàì ñòðàõîâàíèÿ íåýêñïîíåíöèàëüíû, òî
óêàçàííûå ýêñïîíåíöèàëüíûå ïðèáëèæåíèÿ ìîæíî ïðèìåíÿòü ê îòäåëüíûì êîìïî-
íåíòàì ïîðòôåëÿ.
ÍÅÊÎÒÎÐÛÅ ÇÀÄÀ×È ÎÏÒÈÌÈÇÀÖÈÈ ÑÒÐÀÕÎÂÎÃÎ ÁÈÇÍÅÑÀ
Çàäà÷à 1 (îöåíêà áåçóáûòî÷íûõ ñòðàõîâûõ òàðèôîâ). Ïåðåïèøåì (7) â âèäå
( ( ) ( ) ( , )) ( ) maxc x x I u b xi i i
i
n
j
m
j j
x X
�
� � �
� �� �
1 1
,
ãäå c x p n xi i i( ) ( )� , � �i i ix n x( ) ( )� . Îòðèöàòåëüíîñòü ñëàãàåìîãî ( ( ) ( ) ( , ))c x x I ui i i
� �
îçíà÷àåò çàâåäîìóþ óáûòî÷íîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî âèäà ñòðàõîâàíèÿ ïðè äàí-
íûõ ( , )u � .
Åñëè F y ei
y i( ) /�
1 � è u i� � �ln( / )1 , òî
I u e F y dy ei
y u
i
y u( , ) ( ( ))( / )ln ( / ) ( / )ln ( /� ��
�
� �
� �
0
1
0
11 � �) /
�y i dy
�
�
�1
1 1 1
1
0( / ) ln ( / ) / ln (
( / )ln( / ) /
u
e
u
ui
y u y i
i
i
� �
�
�
� �
1 1 1/ ) ( / ) ln ( / )�
�
� �
�
i
i u
.
Ïðè
u u
c
i
i
i i i
�
( )
/
ln�
�
� � �1
1
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 133
âûïîëíåíî c I ui i i
� �( , ) 0, òàêèì îáðàçîì, u i ( )� çàäàåò ìèíèìàëüíûé óðîâåíü
ñòðàõîâîãî ðåçåðâà, ïðè êîòîðîì ñîîòâåòñòâóþùèé âèä ñòðàõîâàíèÿ ìîæåò áûòü
áåçóáûòî÷åí.  ñëó÷àå íåýêñïîíåíöèàëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé òðåáîâàíèé âû÷èñëå-
íèå âåëè÷èí I ui ( , )� òðåáóåò ïðèìåíåíèÿ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Íàïðèìåð,
äëÿ ãðàíèöû âåðîÿòíîñòè íåïëàòåæåñïîñîáíîñòè � �
10 3 âåëè÷èíû u i ( )10 3
ñî-
îòâåòñòâåííî ðàâíû 82.8931, 82.8931, 145.0629, 96.7086, 41.4465, 20.7233, 3.4539.
Çàäà÷à 2 (îöåíêà áåçîïàñíîãî ñòðàõîâîãî ðåçåðâà). Çàäà÷à îöåíêè âåëè÷èíû
ñòðàõîâîãî ðåçåðâà, îáåñïå÷èâàþùåãî çàäàííûé óðîâåíü áåçîïàñíîñòè, ÿâëÿåòñÿ
êëàññè÷åñêîé çàäà÷åé àêòóàðíîé ìàòåìàòèêè [1]. Ïóñòü ýâîëþöèÿ ñòðàõîâûõ ðåçåð-
âîâ êîìïàíèè àãðåãèðîâàíî îïèñûâàåòñÿ êëàññè÷åñêèì ïðîöåññîì ðèñêà ñ èíòåí-
ñèâíîñòüþ ïîñòóïëåíèÿ ïðåìèé c, ïóàññîíîâñêèì ïîòîêîì ñòðàõîâûõ òðåáîâàíèé
ñ èíòåíñèâíîñòüþ � è ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ òðåáîâàíèé F y( ) ñî ñðåäíèì �,
� � � c . Òîãäà çàäà÷à (4)–(6)ìàêñèìèçàöèè äèâèäåíäîâ ïðèíèìàåò âèä
D
D R
�
max
,0 0
, (11)
e Ru
� �, (12)
� e F y dy c DRy( ( ))1
0
�
�
� . (13)
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò ðåøåíèå u � ( )� óðàâíåíèÿ
� �e F y dy cy u( / ) ln ( / )( ( ))1
0
1
�
�
� . (14)
Òàê êàê ëåâàÿ ÷àñòü (14) ìîíîòîííà ïî u, òî ðåøåíèå u � ( )� åäèíñòâåííî. Òàêîå ðå-
øåíèå çàâåäîìî ñóùåñòâóåò, åñëè �� � c è ñòðàõîâûå òðåáîâàíèÿ îãðàíè÷åíû. Åñëè
ðàñïðåäåëåíèå òðåáîâàíèé ýêñïîíåíöèàëüíî ñî ñðåäíèì �, òî u
c
� �
( )
/
ln�
�
�� �1
1
.
Óòâåðæäåíèå 2. Åñëè u u �( )� , ãäå u � ( )� — êîðåíü óðàâíåíèÿ (14), òî ðåøå-
íèå çàäà÷è (11)–(13) ñóùåñòâóåò è ðàâíî
D u c e F y dyy u�
�
�
�( ) ( ( ))( / )ln ( / )� �1
0
1 , R u u� �( ) ( / ) ln( / )1 1 � . (15)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèÿ I u e F y dyy u( ) ( ( ))( / )ln ( / )�
�
�� �
0
1 1 íåîòðèöàòåëüíà,
ìîíîòîííî óáûâàåò ïî u è I u c( ( ))� �� , ïîýòîìó ïðè u u � ( )� âûïîëíåíî
0 � �I u c( ) è, ñëåäîâàòåëüíî, 0 � �D u c* ( ) . Î÷åâèäíî, R u* ( ), D u* ( ) ñîñòàâëÿþò äî-
ïóñòèìîå ðåøåíèå çàäà÷è (11)–(13). Äëÿ ëþáûõ äîïóñòèìûõ ( , )R D âûïîëíåíî
R R u � ( ) è
0 1 1
0 0
�
�
�
� �
� �
�
� �e F y dy e F y dy cR y Ry( ( )) ( ( )) .
Îòñþäà
D c e F y dy c e F y dy D uRy R y�
�
�
� �
�� �
�
� �
�
( ( )) ( ( )) ( )1 1
0
,
ñëåäîâàòåëüíî, ïàðà ( ( ), ( ))D u R u� � îïòèìàëüíà, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ïðè u u � ( )� ãàðàíòèðóåòñÿ, ÷òî âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ ~( , )� �u D � . Âåëè÷èíà
u � ( )� ñëóæèò îöåíêîé ìèíèìàëüíîãî áåçîïàñíîãî óðîâíÿ ñòðàõîâûõ ðåçåðâîâ, à âå-
ëè÷èíà
c D e F y dyy u
�
�
�
�� �( / )ln ( / )( ( ))1
0
1
134 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíûì óðîâíåì îáÿçàòåëüíûõ îò÷èñëåíèé â ñòðàõîâîé ðåçåðâ.
Åñëè â òåêóùèé ìîìåíò t âûïîëíåíî � �t u �( ), òî êîìïàíèÿ ãàðàíòèðîâàííî
íàõîäèòñÿ â áåçîïàñíîñòè íà óðîâíå �. Åñëè � �t u� �( ), òî òðåáóåìûé óðîâåíü
íàäåæíîñòè � íå ãàðàíòèðóåòñÿ.
Ïóñòü ïîðòôåëü äîãîâîðîâ êîìïàíèè çàäàí òàáë. 1 ñ ýêñïîíåíöèàëüíûìè ðàñ-
ïðåäåëåíèÿìè ñòðàõîâûõ òðåáîâàíèé. Â àãðåãèðîâàííîì âèäå ýâîëþöèÿ ðåçåðâîâ
êîìïàíèè îïèñûâàåòñÿ ñëîæíûì ïóàññîíîâñêèì ïîòîêîì ñ èíòåíñèâíîñòüþ
� �� �� i i 12 2. , ñóììàðíûìè ïðåìèÿìè c c
i i� �� 11 9. è ðàñïðåäåëåíèåì òðåáîâàíèé
F y F y
i i i i i( ) ( ) /� � �� � , � � � �� �� �i i i i i/ 0.8655. Ïðè u
i
i� �(max )ln( / )� �1
� 20.7233 ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (14) èìååò âèä
�
�
� �
�e F y dy
u
y u
i
i
i
( / )ln ( / )( ( ))
/ ( / ) ln( / )
1
0
1
1 1 1
�
�
� � ,
à óðàâíåíèå
i
i
i i
i
u
c� �
�
�
� �1 1 1/ ( / ) ln( / )
èìååò ðåøåíèå u �
�( )10 3 89.3883, êîòîðîå òàêæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì (14).
Ïóñòü ðàñïðåäåëåíèå ñòðàõîâûõ òðåáîâàíèé àïïðîêñèìèðóåòñÿ ýêñïîíåíöè-
àëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì F y e y( ) /�
1 � ñî ñðåäíèì �, òîãäà âåðîÿòíîñòü ðàçîðå-
íèÿ èìååò âèä [9, òåîðåìà 3.3]
� �
��
��
�
� �
( , ) ( )
, ,
,
( )
( ( ))
u D D
e c D
c D
D u
D
� �
�
�
�
�
�
�
�1
1
1
1
�
ãäå �
��
( )D
c D
�
1. Çàäà÷ó îïòèìèçàöèè äèâèäåíäîâ ñôîðìóëèðóåì â ñëåäóþùåì
âèäå:
D
D c
�
� �
max
0 ��
, (16)
�
�
�
�
� �( , )
( )
( )
( ( ))u D
D
e
D u
D�
�
�
�1
1
1 . (17)
Îãðàíè÷åíèå çàäà÷è ìîæíî çàïèñàòü êàê
1
1
1
1
1
�
�
�
�
�
�� � �
� �
�
�( )
ln ( ( )) ln
D
u
D ,
ãäå ëåâàÿ ÷àñòü ìîíîòîííî óáûâàåò ê íóëþ ñ ðîñòîì D îò 0 äî c
��. Òàêèì
îáðàçîì, ðåøåíèå çàäà÷è (16), (17) ñóùåñòâóåò, åñëè
u u
c
c
�
� ( )
/
ln
/
�
�
��
��
�1
,
è ðàâíî D c�
� �( )1 � ��, ãäå �� — ðåøåíèå îòíîñèòåëüíî � óðàâíåíèÿ
1
1
1
�
�
�
�
�
�
� �e
u
( ) .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 135
 êà÷åñòâå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ìîæíî âçÿòü çíà÷åíèå �
�
�
� �
�
ln( / )
/
1
1 u
, åñëè
îíî íàìíîãî ìåíüøå åäèíèöû.
Çàäà÷à 3 (îïòèìèçàöèÿ ñòðàõîâûõ òàðèôîâ). Ïóñòü îïòèìèçèðóåìûìè ïåðå-
ìåííûìè ÿâëÿþòñÿ ñòîèìîñòè ñòðàõîâûõ ïîëèñîâ, ò.å. ñòðàõîâûå òàðèôû (ïðåìèè)
x i 0, i n�1 2, , ..., . Òîãäà êîëè÷åñòâî äîãîâîðîâ i-ãî òèïà (ñïðîñ íà ñòðàõîâûå óñëó-
ãè) n xi i( ) â ïîðòôåëå êîìïàíèè çàâèñèò îò èõ öåíû x l hi i i� [ , ] . Î÷åâèäíî, ÷òî
n xi i( ) óáûâàåò ñ ðîñòîì x i . Îáîçíà÷èì âåêòîð x x x n� ( , ..., )1 . Òîãäà
c x n x xi i i
i
n
( ) ( )�
�
�
1
— ñóììàðíàÿ ïðåìèÿ, (18)
� �( ) ( )x n xi i i
i
n
�
�
�
1
— èíòåíñèâíîñòü ïîñòóïëåíèÿ òðåáîâàíèé, (19)
F n x F n xx i i i i
i
n
i i i
i
n
( ) ( ) ( ) / ( )� ��
� �
� �� �
1 1
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ
îäíîãî òðåáîâàíèÿ.
(20)
Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ çàäà÷à (7) ïðèíèìàåò âèä
f x a x n xi i i
i
n
x l h i ni i i
( ) ( ) ( ) max
[ , ], ,...,
� �
� � �
�
1 1
, (21)
ãäå êîýôôèöèåíòû ai çàäàþòñÿ âûðàæåíèåì a x x I ui i i i i( ) ( , )�
� � . Çàäà÷à (21)
ñåïàðàáåëüíà è ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ n çàäà÷ îäíîìåðíîé îïòèìèçàöèè
f x a x n xi i i i i i
x l hi i i
( ) ( ) ( ) max
[ , ]
� �
�
, (22)
ðåøåíèå êîòîðîé ëåãêî íàõîäèòñÿ ñêàíèðîâàíèåì çíà÷åíèé x l hi i i� [ , ] . Åñòåñ-
òâåííî ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ÷èñëî äîãîâîðîâ n xi i( ) è ñóììàðíàÿ ïðåìèÿ x n xi i i( )
ïî íèì óáûâàþò ñ óâåëè÷åíèåì öåíû x i äîãîâîðà, ïîýòîìó ìíîæèòåëü a xi i( )
ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ñ ðîñòîì x i è ìîæåò ìåíÿòü çíàê. Òàêèì îáðàçîì, öåëåâàÿ
ôóíêöèÿ f xi i( ) ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé a xi i( ) è ìî-
íîòîííî óáûâàþùåé x n xi i i( ) ôóíêöèé è îäíîìåðíàÿ îïòèìèçàöèîííàÿ çàäà÷à (22)
ìíîãîýêñòðåìàëüíà.
Çàäà÷ó (22) ìîæíî ïåðåïèñàòü â òåðìèíàõ öåíû ïîëèñà x i è ïðåìèè
c x x n xi i i i i( ) ( )� :
f x c x I u xi i i i i i i
x l hi i i
( ) ( )( ( , ) / ) max
[ , ]
�
�
�
1 � � .
Îòìåòèì, ÷òî â íàøåé ïîñòàíîâêå êîëè÷åñòâî äîãîâîðîâ n xi i( ) ñ÷èòàåòñÿ ñòà-
áèëüíûì è ðàâíîâåñíûì, ñîîòâåòñòâóþùèì öåíå ïîëèñà x i . Â ðàáîòàõ [3, 5] ðàñ-
ñìîòðåíà äðóãàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è îïòèìèçàöèè ñòðàõîâûõ òàðèôîâ, â êîòîðîé
÷èñëî äîãîâîðîâ ñëó÷àéíî ñ ðàñïðåäåëåíèåì, çàâèñÿùèì îò öåíû ïîëèñà.
Çàäà÷à 4 (îïòèìèçàöèÿ ýêñöåäåíòíûõ äîãîâîðîâ ïåðåñòðàõîâàíèÿ [6]). Ïóñòü
ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ âûïîëíÿåò n âèäîâ ñòðàõîâàíèÿ, ïðè÷åì ïî êàæäîìó âèäó i ïî-
òîê ñòðàõîâûõ òðåáîâàíèé ïóàññîíîâñêèé ñ ïàðàìåòðîì � i , òðåáîâàíèÿ èìåþò ýêñ-
ïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñî ñðåäíèì � i , à ïðåìèè â åäèíèöó âðåìåíè ñîñòàâ-
ëÿþò âåëè÷èíó ci . Ìîìåíòû ïîñòóïëåíèÿ è âåëè÷èíû âñåõ òðåáîâàíèé ñ÷èòàþòñÿ
íåçàâèñèìûìè. Åñëè îæèäàåìûå òðåáîâàíèÿ ïî òîìó èëè èíîìó âèäó ñòðàõîâàíèÿ
âåëèêè, òî êîìïàíèÿ ìîæåò ïåðåñòðàõîâàòü òàêèå ðèñêè ó ïåðåñòðàõîâùèêà. Íàïðè-
ìåð, ïî ýêñöåäåíòíîìó äîãîâîðó ïåðåñòðàõîâàíèÿ êîìïàíèÿ ïðîâîäèò âûïëàòó ïî
òðåáîâàíèþ i-ãî òèïà íå áîëüøå âåëè÷èíû x i . Îñòàëüíàÿ ÷àñòü òðåáîâàíèÿ ïîêðû-
âàåòñÿ ïåðåñòðàõîâûâàþùåé êîìïàíèåé. Òàêèì îáðàçîì, ðàçìåð âûïëàò ïî i-ìó
âèäó ñòðàõîâàíèÿ áóäåò èìåòü ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ
136 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
F y x
F y y x
y x
y
i i
i i
i
i( , )
( ), ,
,
exp( / ),
�
�
�
åñëè
åñëè
åñ
1
1 � ëè
åñëè
y x
y x
i
i
�
�
�
�
�
�
�
,
, .1
ñî ñðåäíèì � � �
i i i i i
xx ydF y x e i i( ) ( , ) ( )/� �
�
�
0
1 . Îáîçíà÷èì x x x n� ( , ..., )1 . Òîãäà
îáùèé ïîòîê òðåáîâàíèé áóäåò ïóàññîíîâñêèì ñ èíòåíñèâíîñòüþ � ��
�
�
i
n
i
1
, à ðàçìåð
âûïëàò èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F y F y xx
i
n
i i i( ) ( , )�
�
�
1
, ãäå � �i i� / . Ñðåäíèé
ðàçìåð âûïëàò äëÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè èìååò âèä � �( ) ( )x x
i
n
i i�
�
�
1
. Ïî ýêñöå-
äåíòíîìó äîãîâîðó ïåðåñòðàõîâàíèÿ êîìïàíèè îñòàåòñÿ òîëüêî ÷àñòü
i i ix c( )
ïðåìèè ci , à îñòàëüíàÿ ÷àñòü ( ( ))1
i i ix c , èãðàþùàÿ ðîëü ñòîèìîñòè ïåðåñòðà-
õîâêè, ïåðåäàåòñÿ ïåðåñòðàõîâùèêó. Òàêèì îáðàçîì, èíòåíñèâíîñòü ñòðàõîâûõ
âçíîñîâ â êîìïàíèþ (ïðåìèé) ðàâíà c x c x
i
n
i i i( ) ( )�
�
�
1
. Ñðåäíèé òåìï íàêîïëå-
íèÿ êàïèòàëà èìååò âèä
f x c x x( ) ( ) ( )�
�� .
Äëÿ âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ � �( , , )u Fx ðàññìàòðèâàåìîãî ñëîæíîãî ïðîöåññà
ðèñêà èìååò ìåñòî îöåíêà Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà, � �( , , ) ( )u F ex
R x u�
, ãäå R x( ) —
êîðåíü îòíîñèòåëüíî R óðàâíåíèÿ
0
1
�
�
�e F y dy c xRy
x( ( )) ( ) / � , èëè â ðàçâåðíó-
òîì âèäå
��
i
x
R y
i
n i
ie d y c x
0
1
1
��
�
�( / ) ( ) / ,
êîòîðîå â äàííîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä
�
�
�i
i
R x
i
n
i i i
i
n
R
e x ci i
( / )
( ) ( )( / )
�
� �
� �
1
11
1 1
.
 ðàáîòå [6] ðåøàëàñü ñëåäóþùàÿ çàäà÷à: ìàêñèìèçèðîâàòü ïî x 0 ôóíêöèþ
ñðåäíåãî òåìïà íàðàñòàíèÿ êàïèòàëà f x c x x( ) ( ) ( )�
�� ïðè îãðàíè÷åíèè
e R x u
�( ) �, ãäå íà÷àëüíûé êàïèòàë u è óðîâåíü íàäåæíîñòè � çàäàíû. Ýòî îãðàíè-
÷åíèå àâòîìàòè÷åñêè âëå÷åò âûïîëíåíèå îãðàíè÷åíèÿ íà âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ
� � �( , , )u Fx � .
Ñòîèìîñòü ïåðåñòðàõîâàíèÿ â ðàáîòå [6] áðàëàñü ïðîïîðöèîíàëüíîé ñðåäíåìó
ðàçìåðó òðåáîâàíèÿ ê ïåðåñòðàõîâûâàþùåé êîìïàíèè � �i i ix
( ) ïðè äàííîì
óðîâíå ïåðåñòðàõîâàíèÿ x i , ò.å.
� � �
i i i i
x
x x e i i( ) ( ) / ( )/� �
1 , òîãäà
c x c x c e
i
n
i i i
i
n
i
xi i( ) ( ) ( )/� �
� �
� �
1 1
1
� ,
f x c x x c e
i
n
i i i
xi i( ) ( ) ( ) ( )( )/�
�
�
��� � � �
1
1 .
 ðàáîòå [6] ìåòîäîì ñòîõàñòè÷åñêèõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé íàéäå-
íû ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è. Òðè òàêèõ ïðèáëèæåííûõ ðå-
øåíèÿ (ïîñëå 2000 ñòîõàñòè÷åñêèõ èòåðàöèé ïî ïåðåìåííîé x è 10 èòåðàöèé ïî
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 137
äâîéñòâåííîé ïåðåìåííîé) ïðèâåäåíû â òàáë. 2. Âî âñåõ òðåõ ñëó÷àÿõ çíà÷åíèå
îïòèìàëüíîãî ïðèðîñòà êàïèòàëà ðàâíî 1.4.
Íåäîñòàòîê ýòîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíà ïðåäïîëàãàåò
èñïîëüçîâàíèå âñåãî íàêîïëåííîãî ðåçåðâà íà ïîêðûòèå ñòðàõîâûõ òðåáîâàíèé è íå
ïîêàçûâàåò, êàêóþ ÷àñòü äîõîäà ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ íåïðîèçâîäñòâåííûõ
íóæä áåç óâåëè÷åíèÿ ðèñêà íåïëàòåæåñïîñîáíîñòè.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàññìàòðèâàåòñÿ íåñêîëüêî èíàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è, à èìåí-
íî, ìàêñèìèçèðóåòñÿ ðàçìåð íåïðîèçâîäñòâåííûõ îò÷èñëåíèé îò ïðèáûëè D (äèâè-
äåíäîâ) ïðè òîì æå îãðàíè÷åíèè ïî íàäåæíîñòè, e R x D u
�( , ) �, è äàåòñÿ àíàëèòè-
÷åñêîå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è.
 ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ êîíñòàíòû Ëóíäáåðãà R x D( , ) ïðèíè-
ìàåò âèä
0
1
�
�
�
e F y dy c x DRy
x( ( )) ( ( ) ) / � èëè â ðàçâåðíóòîé çàïèñè
��
i
x
R y
i
n i
ie dy c x D
0
1
1
��
�
�
( / ) ( ( ) ) / .
Îòñþäà D ìîæíî âûðàçèòü êàê
D c x e dy
i
n
i i i i
x
R y
i
i�
�
�
!
"
#
#�
� �
1 0
1
� �( ) ( / ) .
Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ âèäíî, ÷òî ÷åì ìåíüøå R , òåì áîëüøå D , ïîýòîìó â îïòèìóìå
îãðàíè÷åíèå e R x D u
�( , ) � äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ êàê ðàâåíñòâî. Îòñþäà ïðè ìàêñè-
ìàëüíîì D ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå R
u
�
1 1
ln
�
è äëÿ D ïîëó÷àåì âûðàæåíèå
D x c x e dy
i
n
i i i i
x
u y
i
i( ) ( ) ((ln )/ / )�
�
�
!
"�
�� �
1 0
1
� � � #
#
,
êîòîðîå íóæíî ìàêñèìèçèðîâàòü ïî x 0. Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ D x( ) ñåïàðà-
áåëüíà, ò.å.
D x D x
i
n
i i( ) ( )�
�
�
1
, D x c x e dyi i i i i i
x
u y
i
i( ) ( ) ((ln )/ / )�
�
�
� � �
0
1 .
Ïîýòîìó ìàêñèìèçàöèÿ ïî âåêòîðó x 0 ðàñïàäàåòñÿ íà ìàêñèìèçàöèþ ôóíêöèé
D xi i( ) ïî ïåðåìåííûì x i 0, i n�1, ..., . Âçÿâ èíòåãðàëû â ÿâíîì âèäå, ïîëó÷èì
D x c x
u
ei i i i i
i
i
u xi( ) ( )
((ln ) / / )
( ((ln )/ / )� �
�
�
�
� �
� �
1
1 i
1),
ãäå (ïî íåïðåðûâíîñòè) óñëîâèìñÿ ñ÷èòàòü, ÷òî âòîðîå ñëàãàåìîå ðàâíî ( )
� i ix
ïðè � �i u� / ln( / )1 (êîãäà çíàìåíàòåëü ðàâåí íóëþ).
138 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
Ò à á ë è ö à 2
Ðåøåíèÿ
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ
i �1 i � 2 i � 3 i � 4 i � 5 i � 6 i � 7
x1 3.2 2.4 3.4 2.6 1.9 0.76 0.59
x2 3.4 2.2 3.5 2.5 1.8 0.78 0.4
x3 3.2 2.3 3.4 2.4 1.7 0.7 0.5
Ïóñòü òåïåðü
� �i i i ix x( ) ( ) /� , êàê â ñòàòüå [6]. Äëÿ ïðîèçâîäíîé �D xi i( ) ïðè
� �i u$ / ln ( / )1 èìååì
� �
�
�
�
�
�
�
D x
c
e e
c
ei i
i
i
x
i
u
x
i
i
i i
i i
i( ) /
ln
�
�
�
�
�
� �
1
1
x i i
i
x
ui i
i
c
e
/
ln
� �
� �
1
1
�
�
�
�
�
��
,
à ïðè � �i u� / ln( / )1 áóäåò � �
D x
c
ei i
i
i
x
i
i i( ) /
�
�� .
Òàêèì îáðàçîì, ïðè � �i u� / ln ( / )1 è ci i i � � îïòèìàëüíîå ðåøåíèå
x
c u c
i i
i
i i
i
i i
� � ��
� � � � �
ln
ln ( / )
ln
1
.
Ïðè � �i u$ / ln ( / )1 è ci i i � � îïòèìàëüíîå ðåøåíèå
x
u c
i
i
i i
� �
ln ( / )
ln
1 � � �
.
Åñëè ci i i� � � , òî x i
� � 0. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ci i i� � � êîìïàíèÿ îò-
êàçûâàåòñÿ îò òàêîãî âèäà ñòðàõîâàíèÿ.
Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ÷èñëåííîãî ïðèìåðà D x( )� � 0.4411, f x( )� � 0.8877
è îïòèìàëüíîå ðåøåíèå èìååò âèä
x � � ( . , . , . , . , . , . , .16658 1 557 8926 8926 1 557 61 1 1 290 0 0 0 0 0 21) .
Òàáë. 3 äàåò ñðàâíåíèå ðåøåíèé x x x x* , , ,1 2 3 ïî êðèòåðèÿì c x( ), ��( )x , f x( ),
D x( ), R x( ), e R x u
( ) .
Çàäà÷à 5 (îïòèìèçàöèÿ êâîòíûõ äîãîâîðîâ ïåðåñòðàõîâàíèÿ [10]). Ïóñòü ïîðò-
ôåëü êîìïàíèè òàêîé æå, êàê â çàäà÷å 4, íî â îòëè÷èå îò çàäà÷è 4 ñòðàõîâàÿ êîìïà-
íèÿ ïðîâîäèò âûïëàòó ïî i-ìó âèäó ñòðàõîâàíèÿ â ðàçìåðå x i �100 % îò îáùåé ñóì-
ìû âûïëàòû, à îñòàëüíóþ ÷àñòü ( ) %1 100
�x i — ïåðåñòðàõîâóþùàÿ êîìïàíèÿ,
0 1� �x i . Ðàçìåð âûïëàò äëÿ ñòðàõîâîé êîìïàíèè ïî i-ìó âèäó ñòðàõîâàíèÿ èìååò
ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F y x ei i
y xi i( / ) / ( )�
1 � ñî ñðåäíèì � �i i i ix x( ) � , óñðåä-
íåííàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä F y F y xx
i
n
i i i( ) ( / )�
�
�
1
, ãäå � �i i� / ,
ñî ñðåäíèì � ( )x x
i
n
i i�
�
�
1
. Ñóììà ñòðàõîâîé ïðåìèè ci ðàñïðåäåëÿåòñÿ ìåæäó
ñòðàõîâîé êîìïàíèåé è ïåðåñòðàõîâùèêîì â ïðîïîðöèè
i ix( ) è 1
i ix( ) , òàêèì
îáðàçîì, ( ( ))1
i i ix c èãðàåò ðîëü ñòîèìîñòè ïåðåñòðàõîâàíèÿ.  ÷àñòíîñòè, ìî-
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 139
Ò à á ë è ö à 3
Ðåøåíèÿ
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ
c x( ) ��( )x f x( ) D x( ) R x( ) e
R x u
( )
x� 5.6760 4.7883 0.8877 0.5505 0.1727 0.0010
x1 9.2336 7.8007 1.4329 0.000 0.1724 0.0010
x2 9.1707 7.7474 1.4234 0.000 0.1724 0.0010
x3 9.0357 7.6328 1.4029 0.000 0.1769 0.0008
æåò áûòü
i i i ix q x( ) � , 0 1� �qi . Ñðåäíèé òåìï íàðàñòàíèÿ êàïèòàëà èìååò âèä
f x c x x c x x
i
i i i i i i( ) ( ) ( ) ( ( ) )�
�
���
� � .
 îöåíêå Êðàìåðà–Ëóíäáåðãà âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ � �( , , ) ( )u F ex
R x u�
âå-
ëè÷èíà R x( ) ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ
� � �
i
Ry
i
n
i
n
i
R x y
e F y dy e dyi i
01 1 0
11
�
� �
�
�� � �
�( ( )) ( / ( )) �
�
� �
� �
�
�
i
i ii
n
i i i
i
n
x R
x c
( / ( ) )
( )
11 1
.
 ðàáîòå [10] ñòàâèëàñü ñëåäóþùàÿ çàäà÷à: ìàêñèìèçèðîâàòü ïî x 0 ôóíêöèþ
ñðåäíåãî òåìïà íàðàñòàíèÿ êàïèòàëà f x c x x( ) ( ) ( )�
�� ïðè îãðàíè÷åíèè e R x u
�( ) �,
ãäå íà÷àëüíûé êàïèòàë u è óðîâåíü íàäåæíîñòè � çàäàíû.
Ðàññìàòðèì äðóãóþ ïîñòàíîâêó: ìàêñèìèçèðîâàòü ðàçìåð ÷èñòîé ïðèáûëè D
ïðè îãðàíè÷åíèè e R x u
�( ) �.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ êîíñòàíòû
Ëóíäáåðãà R x D( , ) ïðèíèìàåò âèä
0
1
�
�
�
e F y dy c x DRy
x( ( )) ( ( ) ) / � èëè â ðàçâåð-
íóòîì âèäå
��
i
R x y
i
n
e dy c x Di i
0
1
1
�
�
�� �
( /( )) ( ( ) ) / .
Îòñþäà D ìîæíî âûðàçèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
D c x e dyi i i i
R x y
i
n
i i�
�
�
!
"
#
#
�
�
��
� �( ) ( / ( ))
0
1
1
.
Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ âèäíî, ÷òî ÷åì ìåíüøå R , òåì áîëüøå D , ïîýòîìó â îïòèìóìå
îãðàíè÷åíèå e R x D u
�( , ) � äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ êàê ðàâåíñòâî. Îòñþäà ïðè ìàêñè-
ìàëüíîì D ñîîòâåòñòâóþùåå çíà÷åíèå R
u
�
1 1
ln
�
è äëÿ D ïîëó÷àåì âûðàæåíèå
D x c x e dyi i i i
u x yi i( ) ( ) ((ln )/ / ( ))�
�
�
!
"
#
#
�
��
� � �
0
1
i
n
�
�
1
,
êîòîðîå íóæíî ìàêñèìèçèðîâàòü ïî x 0. Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ D x( ) ñåïàðà-
áåëüíà, ò.å.
D x D x
i
n
i i( ) ( )�
�
�
1
, D x c x e dyi i i i i i
u x yi i( ) ( ) ((ln )/ / ( ))�
�
��
� � �
0
1 .
Ïîýòîìó ìàêñèìèçàöèÿ ïî âåêòîðó x 0 ðàñïàäàåòñÿ íà ìàêñèìèçàöèþ ôóíêöèé
D xi i( ) ïî ïåðåìåííûì x i 0, i n�1, ..., . Âçÿâ èíòåãðàëû â ÿâíîì âèäå, ïîëó÷èì
Ïóñòü òåïåðü
i i ix x( ) � , êàê â [10]. Òîãäà ôóíêöèÿ D xi i( ) äîñòèãàåò ìàêñè-
ìóìà ïðè
x u
u
c
i
i
i i
i
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
%
&
�
'�
( , ) min ,
ln( / )
�
� �
� �
1
1
1 .
Òàáë. 4 çàäàåò îïòèìàëüíûå êâîòû îòâåòñòâåííîñòè è ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåìèé
140 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
D x
c x
u x
x
u
i i
i i i
i
i i i
( )
( )
((ln ) / / ( )
,
ln( / )
,
�
�
�
�
� � � �1 1
�
�
�
�
�� â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.
ìåæäó ñòðàõîâîé êîìïàíèåé ñ ïîðòôåëåì, çàäàííûì òàáë. 1, è ïåðåñòðàõîâùè-
êîì ïðè íà÷àëüíîì ñòðàõîâîì ðåçåðâå u � 40 è u � 80. Âåðîÿòíîñòü íåïëàòåæåñ-
ïîñîáíîñòè îãðàíè÷åíà âåëè÷èíîé � �
10 3.
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÅ ÓÏÐÀÂËÅÍÈÅ ÑÒÐÀÕÎÂÎÉ ÊÎÌÏÀÍÈÅÉ
Ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ðåøåíèÿ D u� ( , )� , x u� ( , )� çà-
äà÷ 1–5 ìîæíî òðàêòîâàòü êàê îïòèìàëüíûå ñòàöèîíàðíûå ñòðàòåãèè, çàâèñÿùèå
îò íà÷àëüíîãî ðåçåðâà (ñîñòîÿíèÿ) u è ãàðàíòèðóþùèå âûïîëíåíèå (ôàçîâîãî)
îãðàíè÷åíèÿ ïî áåçîïàñíîñòè óðîâíÿ �. Íàéäåííûå â ðåçóëüòàòå îïòèìèçàöèè
ïàðàìåòðû äåÿòåëüíîñòè ñòðàõîâîé êîìïàíèè êàê ôóíêöèè íà÷àëüíîãî ðåçåðâà
(îïòèìàëüíûå ñòàöèîíàðíûå ñòðàòåãèè) ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ îïåðàòèâíîãî
óïðàâëåíèÿ êîìïàíèåé. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè äåÿòåëüíîñ-
òè êîìïàíèè, òàêèå êàê îò÷èñëåíèÿ â ñòðàõîâîé ðåçåðâ c y( ), èíòåíñèâíîñòü ïðè-
õîäà òðåáîâàíèé �( )y , ðàñïðåäåëåíèå òðåáîâàíèé F y ( )� çàâèñÿò îò âåêòîðà ïà-
ðàìåòðîâ y. Ïóñòü â ðåçóëüòàòå îïòèìèçàöèè ìû íàøëè âåêòîð y u( ) êàê ôóíêöèþ
íà÷àëüíîãî êàïèòàëà u. Îáîçíà÷èì � t òåêóùåå ñëó÷àéíîå çíà÷åíèå ñòðàõîâûõ ðå-
çåðâîâ êîìïàíèè. Ïîäñòàâëÿÿ â âåêòîð-ôóíêöèþ y u( ) âìåñòî u òåêóùåå çíà÷åíèå
êàïèòàëà � t , ïîëó÷àåì íåêîòîðûé çàêîí ïîçèöèîííîãî îïåðàòèâíîãî óïðàâëåíèÿ
y t( )� ïàðàìåòðàìè êîìïàíèè, êîòîðûé áóäåì íàçûâàòü êâàçèñòàöèîíàðíûì îïòè-
ìàëüíûì óïðàâëåíèåì. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî c c yt t( ) ( ( ))� �� , à èíòåíñèâíîñòü ïî-
òîêà òðåáîâàíèé � è èõ ðàñïðåäåëåíèå F èçìåíÿþòñÿ òîëüêî â ìîìåíòû � ïðè-
õîäà òðåáîâàíèé è ðåàëèçàöèè ñîîòâåòñòâóþùèõ âûïëàò, ò.å. � � � �( ) ( ( ))t y� �0
è F Ft y( ) ( )( )� ��
��� 0
ïðè t � .  òàêîì ñëó÷àå ìîäåëü ñòîõàñòè÷åñêîé ýâîëþöèè
ñòðàõîâûõ ðåçåðâîâ ïðèíèìàåò âèä
� �t
t
s tu c ds S t� �
�
0
0( ) , , (23)
ãäå u 0 — íà÷àëüíûé êàïèòàë; c c y( ) ( ( ))� �� — íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, âû-
ðàæàþùàÿ èíòåíñèâíîñòü ïîñòóïëåíèÿ äåòåðìèíèðîâàííûõ ïðåìèé êàê ôóíêöèþ
òåêóùåãî êàïèòàëà; S zt
k
N
k
t
�
�
�
1
— àãðåãèðîâàííûå ñëó÷àéíûå ñòðàõîâûå òðåáîâà-
íèÿ; z k — ñëó÷àéíûå òðåáîâàíèÿ â ìîìåíòû t k ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ
Ftk
( )� ; N t — ÷èñëî ïîñòóïèâøèõ ê ìîìåíòó t ñëó÷àéíûõ òðåáîâàíèé. Îïðåäå-
ëèì ôóíêöèþ U u t( , ) êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè:
dU
dt
c U� ( ), U u( )0 � , t 0. (24)
Äëÿ âåðîÿòíîñòè � � �( ) ,u t ut� ( �Pr { }0 0 0 íåðàçîðåíèÿ ïðîöåññà (23) èìå-
åò ìåñòî èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå [11]
� � � � �
�
� �( ) ( ) ( ( , ) ) ( )
( , )
( )
( )u u e U u z dF z d
U u
u
y u�
�
� �
0 0
, u 0. (25)
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 141
Ò à á ë è ö à 4
Ïàðàìåòðû
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ
i �1 i � 2 i � 3 i � 4 i � 5 i � 6 i � 7
xi
�
( , )40 10 3 0.2586 0.2523 0.1432 0.2148 0.5045 0.9905 1.0000
xi
�
( , )80 10 3 0.5172 0.5045 0.2864 0.4395 1.0000 1.0000 1.0000
Äðóãèå ïîäõîäû ê îïòèìàëüíîìó óïðàâëåíèþ ïàðàìåòðàìè ñòðàõîâîé êîìïàíèè
ðàññìîòðåíû â ðàáîòàõ [3, 5, 15].
ÎÖÅÍÊÀ ÐÈÑÊÀ ÐÀÇÎÐÅÍÈß
Äëÿ îöåíêè ðèñêà ðàçîðåíèÿ óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (23) íåîáõîäèìî îöåíèòü
èëè íàéòè âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ � �( ) ( )u u�
1 . Íàïðèìåð, ýòî ìîæíî ñäåëàòü
ïðÿìûì ìåòîäîì Ìîíòå-Êàðëî [1], ìîäåëèðóÿ ñëó÷àéíûå òðàåêòîðèè ïðîöåññà
ðèñêà è ïîäñ÷èòûâàÿ äîëþ ðàçîðèâøèõñÿ òðàåêòîðèé. Íåäîñòàòîê ýòîãî ìåòîäà —
åãî íèçêàÿ òî÷íîñòü ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ u . Äðóãîé ïîäõîä ñîñòîèò â ïðèáëè-
æåííîì ðåøåíèè èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (25). Â ðàáîòàõ [11–14] äëÿ ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ (25) ðàçðàáîòàí è îáîñíîâàí ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé:
� � � �
�
� �k
U u
u k
y uu u e U u z dF z�
�
�
� �1
0 0
( ) ( ) ( ( , ) ) (
( , )
( )
( ) ) d�, k � 0 1 2, , , ... ,
ãäå � 0( )u — íåêîòîðàÿ íà÷àëüíàÿ ôóíêöèÿ, íàïðèìåð � 0 1( )u ) .
ÏÐÈÌÅÐ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß
Ïóñòü ýâîëþöèÿ ñòðàõîâûõ ðåçåðâîâ êîìïàíèè àãðåãèðîâàíî îïèñûâàåòñÿ êëàñ-
ñè÷åñêèì ïðîöåññîì ðèñêà ñ èíòåíñèâíîñòüþ ïîñòóïëåíèÿ ïðåìèé c, ïóàññîíîâ-
ñêèì ïîòîêîì ñòðàõîâûõ òðåáîâàíèé ñ èíòåíñèâíîñòüþ � è ýêñïîíåíöèàëüíîé
ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ òðåáîâàíèé F y( ) ñî ñðåäíèì �, �� � c.
Ñòàöèîíàðíàÿ îïòèìàëüíàÿ äëÿ äàííîãî íà÷àëüíîãî êàïèòàëà u ñòðàòåãèÿ èìå-
åò âèä (15)
D u c
u
� �
( )
( / ) ln ( / )
��
� �1 1
. (26)
Îïðåäåëèì àäàïòèâíóþ ñòðàòåãèþ
D c e F y dy ct
y
t
t�
�
�
�
�( ) ( ( ))
( / )
( / )ln ( / )� �
��
� �
� �1
0
1
1 ln ( / )1 �
(27)
ïðè
� �
�
�� �
t u
c
�
� ( )
/
ln
1
1
, (28)
D t
� �( )� 0 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. (29)
Òîãäà âåëè÷èíû îò÷èñëåíèé â ðåçåðâíûé ôîíä èìåþò âèä
c c D e F y dyt t
y t( ) ( ) ( ( ))
(
( / )ln ( / )� � �
��
�
� ��
�
�
�
�
�
0
1 1
1 / ) ln ( / )� �t 1
ïðè � �t u � ( ) è c ct( )� � â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Îòìåòèì, ÷òî �� �� �c ct( ) .
Ñìûñë àäàïòèâíîé ñòðàòåãèè (26)–(29) ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè íåáîëüøèõ çíà-
÷åíèÿõ êàïèòàëà � �t u �( ) äèâèäåíäû íå áåðóòñÿ, à ïðè áîëüøèõ � �t u�� � ( ) ÿâëÿ-
þòñÿ â íåêîòîðîì ñìûñëå ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìûìè, D c� �� �
( ) � �. Åñëè èç-
ìåðÿòü êàïèòàë ïî îòíîøåíèþ ê ìèíèìàëüíî áåçîïàñíîìó óðîâíþ u � ( )� â îòíîñè-
òåëüíûõ ïåðåìåííûõ � � �t t u� �/ ( ) è îáîçíà÷èòü ñòðàõîâóþ íàãðóçêó � � ��
c / 1,
òî (27) ïðèìåò âèä
D ct
t
� �
�
( )
( )
�
��
� �
1
1
1
, � t 1.
142 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
Îïðåäåëèì U u t( , ) êàê ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè:
dU
dt
c U� ( ), U u u( , )0 � , t 0 .
Åñëè u u �( )� , òî
dU
dt U
�
��
� �1 1( / ) ln ( / )
. Ïîýòîìó U u t( , ) ÿâëÿåòñÿ åäèíñò-
âåííûì êîðíåì óðàâíåíèÿ U u
U
u
t
��
�
� �ln ln
1
, êîòîðîå çàìåíîé ïåðåìåííûõ
U u x� �( )1 ïðèâîäèòñÿ ê âèäó x
t
u u
x� � �
�� � �ln ( / )
ln ( )
1
1 . Çàìåòèì, ÷òî êîýôôè-
öèåíò ïðè ln ( )1� x ìåíüøå åäèíèöû,
� � � �
�
��ln( / ) ln ( / )
( )
1 1
1 1
u u c
� �
�
�
�
�
� �
�
, ïîýòîìó
óðàâíåíèå âñåãäà èìååò åäèíñòâåííîå ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå x � , ïðè÷åì
�� �� � �t
u
x
t
u u
� �
�
�
�
�
�� / ln( / )
1
1
.
Åñëè u u� � ( )� , òî
dU
dt
c U u
U
U u
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, ( ),
( / ) ln ( / )
, ( ),
�
��
� �
�
1 1
ïîýòîìó
U u t
u ct t t u u c
u x t t t
( , )
, ( ( ) ) / ,
( )( ( )),
�
� � � �
�
� �
� ��
0
1
�
� �
�
�
� ,
ãäå x t�� ( ) — êîðåíü óðàâíåíèÿ x
t t
u c
x�
�
�
�
�
�
� �
�
�
��
�
��( )
( )
ln ( )1 1 , ïðè÷åì
� �
� ��
��
�
( )
( )
( )
( )
( )
(t t
u
x t
c t t
u
c t
� �
�
�
�
�
��
�
�
�
��
�
�
t
u
�
�
)
( )�
.
Çàìåòèì, ÷òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âèäà x a b x� � �ln ( )1 , ãäå a 0, 0 1� �b ,
ëåãêî íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà x a b xk k� � � �1 1ln ( ) ,
x 0 0� , k � 0 1, , ... .
Ñðåäíÿÿ ïðèáûëü çà âðåìÿ T çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì
*� �� �( ) ( )T E
T
D dtt
T
1
0
� , (30)
à âåðîÿòíîñòü íåðàçîðåíèÿ (çà áåñêîíå÷íîå âðåìÿ) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
� � � � �
�
� �( ) ( ( , ) ) ( )
( , )
u e U u z dF z d
U u
�
�
� �
0 0
,
ãäå U u( , )� — ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (24).
×ÈÑËÅÍÍÀß ÎÖÅÍÊÀ ÊÀ×ÅÑÒÂÀ ÊÂÀÇÈÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÎÃÎ
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÃÎ ÓÏÐÀÂËÅÍÈß
 ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòàõ ñðàâíèâàëèñü òðè (i �1 2 3, , ) ñòðàòåãèè óïðàâëåíèÿ
äèâèäåíäíîé ïîëèòèêîé êîìïàíèè:
+ ñòàöèîíàðíàÿ ñòðàòåãèÿ (26) (i �1), îïòèìàëüíàÿ äëÿ äàííîãî íà÷àëüíîãî êà-
ïèòàëà u êîìïàíèè è ãàðàíòèðóþùàÿ âåðîÿòíîñòü íåðàçîðåíèÿ �;
+ ìîäèôèöèðîâàííàÿ ñòàöèîíàðíàÿ ñòðàòåãèÿ (26) ( )i � 2 , â êîòîðîé
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 143
D
c
u
u
t
t
t
�
�
�
�
�
�
�
��
( ) ( / ) ln ( / )
, ( ),
, ;
�
��
� �
� �
�
1 1
0 0+ êâàçèñòàöèîíàðíàÿ îïòèìàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ (27)–(29) (i � 3), êîãäà â êàæäûé
ìîìåíò âðåìåíè t ïðèìåíÿåòñÿ îïòèìàëüíàÿ äëÿ òåêóùåãî êàïèòàëà � t ñòàöèîíàð-
íàÿ ñòðàòåãèÿ.
Ïàðàìåòðû ìîäåëè èìåëè ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: íà÷àëüíûé êàïèòàë u � 30, èí-
òåíñèâíîñòü ïðèõîäà ïðåìèé c � 2, ñðåäíåå çíà÷åíèå òðåáîâàíèé � �1 1. , èíòåíñèâ-
íîñòü ïðèõîäà òðåáîâàíèé � �1 5. . Òîãäà ñòðàõîâàÿ íàãðóçêà � ���
�c / .1 0 2121,
à ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûå äèâèäåíäû (â ïðîöåíòàõ ê ïðåìèÿì) ðàâíû
( / ) . %1 175
��� c .
Îöåíêà ñòðàòåãèé óïðàâëåíèÿ îñóùåñòâëÿëàñü ïóòåì ìîäåëèðîâàíèÿ N � 20000
(N � 50000 äëÿ � � 0 05. ) òðàåêòîðèé (23) äî äîñòèæåíèÿ ìîìåíòà âðåìåíè
t max �1000 èëè äî äîñòèæåíèÿ ìàêñèìàëüíîãî ïîòîëêà êàïèòàëà � max � 5000, èëè
äî ìîìåíòà t ruin ðàçîðåíèÿ òàêîãî, ÷òî � t ruin
� 0 . Ðàñ÷åòû ïðîâîäèëèñü äëÿ ðàçëè÷-
íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà íàäåæíîñòè 0 01 1. � �� . Ïðè ýòîì ïîäñ÷èòûâàëèñü äîëÿ
ðàçîðèâøèõñÿ òðàåêòîðèé p i
ruin è ñîáðàííûå äèâèäåíäû * i t( )max (30) íà íåðàçî-
ðèâøèõñÿ òðàåêòîðèÿõ, íîðìèðîâàííûå íà îáùèé îáúåì ñîáðàííûõ ïðåìèé ct max.
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïðèâåäåíû â òàáë. 5. Îíè ïîêàçûâàþò, ÷òî âòîðàÿ ñòðàòåãèÿ
çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò ïåðâóþ ïî âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ, à òðåòüÿ íå óñòóïàåò
âòîðîé ïî âåðîÿòíîñòè ðàçîðåíèÿ, íî çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò åå ïî ñîáðàííûì
äèâèäåíäàì.
ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ
 íàñòîÿùå ðàáîòå ðàññìîòðåí ïîäõîä ê ïðèáëèæåííîé îïòèìèçàöèè ñòðàõîâîãî
áèçíåñà, çàêëþ÷àþùèéñÿ â îïòèìèçàöèè äèâèäåíäîâ (÷èñòîé ïðèáûëè) ïðè îãðà-
íè÷åíèè íà âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ, ïðè÷åì âìåñòî òî÷íîãî çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòè
èñïîëüçóåòñÿ åå ýêñïîíåíöèàëüíàÿ îöåíêà ñâåðõó.  êà÷åñòâå ïåðåìåííûõ îïòè-
ìèçàöèè ìîãóò âûñòóïàòü ðàçíîîáðàçíûå ïàðàìåòðû ñòðàõîâîé äåÿòåëüíîñòè: ñî-
ñòàâ ïîðòôåëÿ ñòðàõîâûõ äîãîâîðîâ, ñòðàõîâûå òàðèôû, âèäû è óðîâíè ïåðå-
144 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1
Ò à á ë è ö à 5
� u� ( )� pruin
1 pruin
2 pruin
3 *1
100
c
� %
*2
100
c
� %
*3
100
c
� %
1.00 0.0000 0.8731 0.1943 0.1717 17.50 16.91 16.88
0.90 0.6623 0.8156 0.1658 0.1535 17.18 16.70 16.81
0.70 2.2420 0.6663 0.1025 0.1133 16.41 16.12 16.67
0.50 4.3569 0.4858 0.0598 0.0693 15.35 15.19 16.48
0.30 7.5678 0.2926 0.0329 0.0429 13.69 13.61 16.23
0.10 14.4734 0.0937 0.0168 0.0175 9.89 9.86 15.80
0.09 15.1357 0.0821 0.0163 0.0150 9.51 9.49 15.77
0.05 18.8303 0.0457 0.0127 0.0105 7.32 7.30 15.58
ñòðàõîâàíèÿ, èíâåñòèöèè â ðåêëàìó è äð. Â äàííîé ïîñòàíîâêå îêàçûâàåòñÿ, ÷òî
îãðàíè÷åíèå, îòâå÷àþùåå çà âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ, âûïîëíÿåòñÿ êàê ðàâåíñòâî.
Ýòî ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü â ÿâíîì âèäå êîíñòàíòó Ëóíäáåðãà, èñêëþ÷èòü ñëîæíîå
âåðîÿòíîñòíîå îãðàíè÷åíèå èç ïîñòàíîâêè çàäà÷è, äåêîìïîçèðîâàòü çàäà÷ó è âî
ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêèå ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ. Òàêèì ñïîñîáîì
ïðèáëèæåííî ðåøåíû çàäà÷è îïòèìèçàöèè ïîðòôåëÿ ñòðàõîâûõ äîãîâîðîâ, ñòðàõî-
âûõ òàðèôîâ, äîãîâîðîâ ïåðåñòðàõîâàíèÿ. Äëÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ
äèâèäåíäíîé ïîëèòèêîé ñòðàõîâîé êîìïàíèè ïðåäëîæåíî èñïîëüçîâàòü îïòè-
ìàëüíîå êâàçèñòàöèîíàðíîå óïðàâëåíèå, êîòîðîå â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ðàâ-
íî îïòèìàëüíîìó äëÿ òåêóùåãî ñîñòîÿíèÿ ñòàöèîíàðíîìó óïðàâëåíèþ ñ ó÷åòîì
îãðàíè÷åíèÿ íà âåðîÿòíîñòü ðàçîðåíèÿ. Ñìûñë ýòîãî óïðàâëåíèÿ ñîñòîèò â òîì,
÷òî ïðè íåáîëüøèõ çíà÷åíèÿõ ñòðàõîâîãî ðåçåðâà äèâèäåíäû íå áðàòü, à ïðè
áîëüøèõ ðåçåðâàõ áðàòü ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìûå. Âñå òåîðåòè÷åñêèå ðåçóëüòà-
òû ïðîèëëþñòðèðîâàíû ÷èñëåííûìè ðàñ÷åòàìè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. B e a r d R . E . , P e n t i k ��a i n e n T . , P e s o n e n E . Risk theory. The stochastic basis of insurance. 3-rd
edition. — London; New York: Chapman and Hall, 1984. — 408 p.
2. Á à ó ý ð ñ Í . , Ã å ð á å ð Õ . , Ä æ î í ñ Ä . , Í å ñ á è ò ò Ñ . , Õ è ê ì à í Ä æ . Àêòóàðíàÿ ìàòåìà-
òèêà. — Ì.: ßíóñ-Ê, 2001. — 656 ñ.
3. à ë ó õ î â à Å .  . , Ç ì å å â Î . À . , Ë è â ø è ö Ê . È . Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñòðàõîâàíèÿ. —
Òîìñê: Èçä-âî Òîìñê. óí-òà, 2004. — 178 ñ.
4. ß ñ ò ð å ì ñ ü ê è é Î . ² . , à ð è ö å í ê î Î . à . Îñíîâè ì³êðîåêîíîì³êè: 2-ãå âèä., ïåðåðîáë. ³ äîïîâí.
— Êè¿â: Çíàííÿ-Ïðåñ, 2007. — 580 ñ.
5. Ç ì å å â Î . À . Èññëåäîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ïðîöåññîâ ñòðàõîâàíèÿ ïðè íåñòàöèîíàðíûõ
ïîòîêàõ ñòðàõîâûõ ðèñêîâ: Àâòîðåô. äèñ. … ä-ðà ôèç.-ìàò. íàóê. — Òîìñê: Èçä-âî Òîìñê. óí-òà,
2005. — 34 ñ.
6. Í à ê î í å ÷ í û é À . Í . Îïòèìèçàöèÿ ïðîöåññîâ ðèñêà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1996.
— ¹ 5. — Ñ. 42–48.
7. C � z e k P . , H ��a r d l e W . , W e r o n R . (Eds.) Statistical tools for finance and insurance. — N.Y.:
Springer, 2005. — 517 p.
8. A s s m u s s e n S . Ruin probabilities. — Singapur: World Scientific. — 385 p.
9. Ë å î í å í ê î Ì . Ì . , Ì ³ ø ó ð à Þ . Ñ . , Ï à ð õ î ì å í ê î ß . Ì . , ß ä ð å í ê î Ì . É . Òåîðåòèêî-
éìîâ³ðí³ñí³ òà ñòàòèñòè÷í³ ìåòîäè â åêîíîìåòðèö³ òà ô³íàíñîâ³é ìàòåìàòèö³. — Êè¿â: ²íôîðìòåõ-
í³êà, 1995. — 380 ñ.
10. Ë þ á ÷ å í ê î Ã . È . , Í à ê î í å ÷ í û é À . Í . Ìåòîäû îïòèìèçàöèè ñëîæíûõ ïóàññîíîâñêèõ ïðî-
öåññîâ ðèñêà // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1998. — ¹ 2. — Ñ. 87–96.
11. Í î ð ê è í Á . Â . Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé äëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé
òåîðèè ïðîöåññîâ ðèñêà // Òàì æå. — 2004. — ¹ 4. — C. 61–73.
12. Í î ð ê è í Á .  . Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèé
èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ñòðàõîâîé ìàòåìàòèêè // Òàì æå. — 2006. — ¹ 5. — Ñ. 157–164.
13. Í î ð ê è í Á . Â . Î ðåøåíèè îñíîâíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ àêòóàðíîé ìàòåìàòèêè ìåòîäîì
ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé // Óêð. ìàò. æóðí. — 2007. — 59, ¹ 12. — C. 112–127.
14. Í î ð ê è í Á .  . Ñòîõàñòè÷åñêèé ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé äëÿ îöåíêè ðèñêà íåïëàòå-
æåñïîñîáíîñòè ñòðàõîâîé êîìïàíèè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2008. — ¹ 6. —
Ñ. 116–130.
15. G e r b e r H . U . An introduction to mathematical risk theory. — Philadelphia: S. S. Huebner Foundation
for Insurance Education, 1979. — 164 p.
Ïîñòóïèëà 02.07.2009
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 145
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72208 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T00:57:15Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Норкин, Б.В. 2014-12-19T22:04:17Z 2014-12-19T22:04:17Z 2011 Математические модели оптимизации страхового дела / Б.В. Норкин // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 128-145. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72208 519.21 Розглянуто новий підхід до наближеної оптимізації страхового бізнесу, що полягає в оптимізації чистого прибутку (дивідендів) компанії у разі обмеження на ймовірність розорення. Ймовірність замінюється на її експоненційну оцінку зверху. Це дозволяє виключити складне ймовірнісне обмеження і декомпозувати задачу за окремими напрямками бізнесу. Таким способом наближено розв'язання задачі оптимізації тарифів, страхового портфеля, договорів перестрахування та оперативного керування компанією. Работа поддержана грантом № GP/F27/0088 президента Украины для молодых ученых. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Математические модели оптимизации страхового дела Article published earlier |
| spellingShingle | Математические модели оптимизации страхового дела Норкин, Б.В. Системный анализ |
| title | Математические модели оптимизации страхового дела |
| title_full | Математические модели оптимизации страхового дела |
| title_fullStr | Математические модели оптимизации страхового дела |
| title_full_unstemmed | Математические модели оптимизации страхового дела |
| title_short | Математические модели оптимизации страхового дела |
| title_sort | математические модели оптимизации страхового дела |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72208 |
| work_keys_str_mv | AT norkinbv matematičeskiemodelioptimizaciistrahovogodela |