Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем

Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем

Наведено формулу багатовимірного B-сплайну, деякі корисні дослідження в галузі лінійних трансформацій незалежних експоненціально розподілених випадкових величин, уявлення про їх щільність за допомогою багатовимірних експоненціальних сплайнів та їх застосування. Наведено ілюстрацію з відповідним прик...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Published in:Кибернетика и системный анализ
Date:2011
Main Author: Костадинова, С.Р.
Format: Article
Language:Russian
Published: Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Subjects:
Системный анализ
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72209
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем / С.Р. Костадинова // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 146-152. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72209
record_format dspace
spelling Костадинова, С.Р.
2014-12-19T22:04:58Z
2014-12-19T22:04:58Z
2011
Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем / С.Р. Костадинова // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 146-152. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72209
519.2
Наведено формулу багатовимірного B-сплайну, деякі корисні дослідження в галузі лінійних трансформацій незалежних експоненціально розподілених випадкових величин, уявлення про їх щільність за допомогою багатовимірних експоненціальних сплайнів та їх застосування. Наведено ілюстрацію з відповідним прикладом.
ru
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
Кибернетика и системный анализ
Системный анализ
Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем
spellingShingle Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем
Костадинова, С.Р.
Системный анализ
title_short Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем
title_full Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем
title_fullStr Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем
title_full_unstemmed Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем
title_sort сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем
author Костадинова, С.Р.
author_facet Костадинова, С.Р.
topic Системный анализ
topic_facet Системный анализ
publishDate 2011
language Russian
container_title Кибернетика и системный анализ
publisher Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
format Article
description Наведено формулу багатовимірного B-сплайну, деякі корисні дослідження в галузі лінійних трансформацій незалежних експоненціально розподілених випадкових величин, уявлення про їх щільність за допомогою багатовимірних експоненціальних сплайнів та їх застосування. Наведено ілюстрацію з відповідним прикладом.
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72209
citation_txt Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем / С.Р. Костадинова // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 146-152. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT kostadinovasr splainfunkciidlâissledovaniâiprognozirovaniâsistem
first_indexed 2025-11-25T05:56:19Z
last_indexed 2025-11-25T05:56:19Z
_version_ 1850505645263945728
fulltext ÓÄÊ 519.2 Ñ.Ð. ÊÎÑÒÀÄÈÍÎÂÀ ÑÏËÀÉÍ-ÔÓÍÊÖÈÈ ÄËß ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß È ÏÐÎÃÍÎÇÈÐÎÂÀÍÈß ÑÈÑÒÅÌ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñïëàéí, ýêñïîíåíöèàëüíûé ñïëàéí, ìíîãîìåðíûé ñïëàéí, ïëîò- íîñòü âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà. Òåîðèÿ ìíîãîìåðíûõ ñïëàéíîâ áåðåò ñâîå íà÷àëî ñ 1976 ã., êîãäà Êàðë äå Áîð [5] äàë ñâîå îïðåäåëåíèå Â-ñïëàéíîâ ìíîãèõ ïåðåìåííûõ, à Ìè÷åëè è Äàìåí [4] îïóáëèêîâàëè âïîñëåäñòâèè ïåðâûå ðàáîòû â ýòîì íàïðàâëåíèè.  íàñòîÿùåå âðå- ìÿ ýòà òåîðèÿ íàõîäèòñÿ â ïðîöåññå èíòåíñèâíîãî ðàçâèòèÿ è ìíîãèå âîïðîñû îæèäàþò ñâîåãî ðåøåíèÿ.  äàííîé ñòàòüå ðàññìîòðåíà èäåÿ ðàçâèòèÿ è ïðèëîæåíèÿ ìíîãîìåðíûõ ýêñ- ïîíåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ ñ öåëüþ àïïðîêñèìàöèè. Äàíà ÿâíàÿ ôîðìóëà ìíîãîìåð- íîãî Â-ñïëàéíà, èçëîæåíû èññëåäîâàíèÿ àâòîðà â îáëàñòè ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâà- íèé íåçàâèñèìûõ ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è äàåòñÿ ôîðìóëà äëÿ èõ ïëîòíîñòåé ñ ïîìîùüþ ìíîãîìåðíûõ ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ èññëåäîâàíèÿ è ïðîãíîçèðî- âàíèÿ ñèñòåì ðàçíîãî õàðàêòåðà — êàê òåõíè÷åñêèõ, òàê è ñîöèàëüíûõ. Ïóñòü t t t r0 1, , ..., ïðåäñòàâëÿåò r �1 òî÷êó â k -ìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàí- ñòâå Rk ñ êîîðäèíàòàìè ñîîòâåòñòâåííî t t t ti i i k i '� ( , , ..., )1 2 , i r� 0,..., . Äîïóñòèì, ÷òî r k� è t t t r0 1, , ..., — òî÷êè «îáùåãî ïîëîæåíèÿ». Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî j k�1, ..., è ðàçëè÷íûõ 0 1 1� ��i i rj, ..., äåòåðìèíàíòû îòëè÷íû îò íóëÿ: 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 2 1 1 t t t t t t i j i i j i i j ij j � � � � � � � � � � . (1) Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå � � �� � �1 1t tr r � , (2) ãäå � i , i r�1, ..., , — ðÿä íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäå- ëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ïëîòíîñòÿìè âåðîÿòíîñòåé f x e i x � ( ) � � , x � 0 . Îñíîâíàÿ çàäà÷à — äàòü ïðåäñòàâëåíèå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà � êàê ìíîãîìåðíîé ðàçäåëåííîé ðàçíîñòè îïðåäåëåííûõ ôóíêöèé. Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå � — ðàçäåëåííîé ðàçíîñòè (� � �� � �( )1 � k ) äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ôóíêöèè f x x k( , ..., )1 k ïåðåìåííûõ [1]. Âåëè÷èíà [ , ..., ] : ! ! [ ,..., ] t t f r D fr t t r 0 0 � � � � íàçûâàåòñÿ � -ðàçäåëåííîé ðàçíîñòüþ ôóíêöèè f x x k( , ..., )1 â òî÷êàõ t t Rr k 0, ..., , ãäå � � � �! ! ! !� 1 2 � k , D f x x f k k � � � � � � � �� � � �� � � � �� � � �� 1 1 � , 146 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 © Ñ.Ð. Êîñòàäèíîâà, 2011 [ , ..., ]t t r0 — âûïóêëàÿ îáîëî÷êà òî÷åê t t r0, ..., . Êðîìå òîãî, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âûïîëíåíî ðàâåíñòâî � �1 1� � � � �� k r k . Ïðèâåäåì ÿâíóþ ôîðìóëó ìíîãîìåðíîãî Â-ñïëàéíà. Òåîðåìà 1. Ìíîãîìåðíûé Â-ñïëàéí M x x x r( | , ..., )0 ÿâëÿåòñÿ � -ðàçäåëåííîé ðàçíî- ñòüþ (� � � � � � �( )1 � k ) ïî àðãóìåíòó � � ôóíêöèè � � � � � � 1 1 1 1 11( ) ( )� �� � � � x xk k k k � , ò.å. M x x x x x xr r k k( | , ..., ) [ , ..., ] ( ( ) (0 0 1 1 1 11� � � � � �� � � � � �� x k k) )� �� 1 èëè M x x x x x xr r( | , ..., ) [ , ... ] ! ( )! ( )0 0 1 1 � � � � � � � � � � � �� �� � � � , ãäå âåêòîð � � � � � � �( )1 � k , � �1 1� � � � �� k r k . ßâíàÿ ôîðìóëà ìíîãîìåðíîãî Â-ñïëàéíà, êîãäà óçëû ðàñïîëîæåíû â «îáùåì ïîëîæåíèè», âûâåäåíà Àëè è Ìåäîì [3] â òåðìèíàõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòåé ëè- íåéíûõ êîìáèíàöèé ñïåéñèíãîâ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ðàññìîòðåííûå ïðèìåðû ñ èñïîëüçîâàíèåì ÿâíîé ôîðìóëû ìíîãîìåðíîãî Â-ñïëàéíà èç òåîðåìû 1 äàþò îäèíàêîâûå ðåçóëüòàòû ñ òåìè, êîòîðûå âû÷èñëåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû Àëè è Ìåäà. Ïðèâåäåì òåîðåìó î ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåí- íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ìíîãîìåðíûõ ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ. Äîêàçàòåëü- ñòâî òåîðåìû äàíî â [2]. Òåîðåìà 2. Ïóñòü íóëåâîé âåêòîð t Rk 0 0 0 0� ( , , ..., ) è âåêòîðû t t r1, ..., íàõî- äÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè. Ïóñòü òàêæå � � �� � �( )1 � k — ôèêñèðîâàííûé âåêòîð ñ öåëî÷èñëåííûìè ïîëîæèòåëüíûìè êîîðäèíàòàìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ � �1 1� � � � �� k r k . Òîãäà ñëó÷àéíûé âåêòîð � � �� � �1 1t tr r � èìååò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé f x� ( ), x Rk , x x x k '� ( , ..., )1 , îòíîñèòåëüíî k -ìåð- íîé ëåáåãîâîé ìåðû � k . Åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå � -ðàçäåëåííîé ðàçíîñòè â òî÷êàõ t t t r0 1, ..., ôóíêöèè f z z r e z x dk k i k i i i i( , ..., ) ! ( )1 1 1 1 0 � � � � � � � � � � � � � �� � , ãäå ( )y y� � , åñëè y � 0, è ( )y � � 0 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Ïðèìåð. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà � � 1 2 � �� � � �� : � � � � � � � 1 1 2 3 2 2 3 15 0 5� � � � � � � � , , , , (3) ãäå � i , i �1 2 3, , , — íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ïðåäñòàâèì âåêòîð � � 1 2 � �� � � �� â âèäå � � � � �1 2 0 1 2 0 0 1 0 15 1 0� �� � � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , ,5 1 3 � � � � � � , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 147 ãäå � � � �0 1 2 3, , , — íåçàâèñèìûå ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ èç òåîðåìû 2, ïîëó÷àåì t 0 0 0 0 � � � � � � �* , t 1 1 0 � � � � � � , t 2 15 1 � � � � � � , , t 3 0 5 1 � � � � � � , . Íà ðèñ. 1, 2 äàíû ãåîìåòðè÷åñêèå èíòåðïðåòàöèè ïðèìåðà, ãäå l y y1 2 12: � , l y y2 2 1 1 15 : , � , D1 è D2 äàíû íèæå. Âíà÷àëå íàéäåì ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé âåêòîðà ( )� �1 2 ' êëàññè÷åñêèìè ìåòî- äàìè, äîáàâëÿÿ íîâóþ ïîäõîäÿùóþ êîîðäèíàòó � �3 3� è ïîëó÷àÿ ïëîòíîñòü âåðîÿò- íîñòåé âåêòîðà ( )� �1 2 ' íà îñíîâàíèè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé âåêòîðà ( )� � �1 2 3 ' . Ââîäÿ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � � � � � � � � � 1 1 2 3 2 2 3 3 3 15 0 5� � � � � � � � � � � , , , , , ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå y x x x y x x y x 1 1 2 3 2 2 3 3 3 15 0 5� � � � � � � � � � � , , , , , (4) ãäå ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé f � � �1 2 3 ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ( , , )y y y1 2 3 � � �1 2 3, , èìååò âèä f y y y f x y y y x y y y� � � � � �1 2 3 1 2 31 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3( , , ) ( ( , , ), ( , ,� ), ( , , )) | |x y y y J3 1 2 3 , J — ÿêîáèàí, îïðåäåëÿåìûé íèæå. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � � �1 2 3, , íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåíû. Ñëåäîâàòåëüíî, èõ ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé ðàâíà ÿêîáèàí J — äåòåðìèíàíò ìàòðèöû 148 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 Ðèñ. 1 y2 y3 y1 l1 l2 Ðèñ. 2 y2 y3 y1 h ( , )0 0 ( , )1 0 ( . , )1 5 1( . , )0 5 1 D2 D1 �� � � � ��� � ��� ñëó÷àÿõ,îñòàëüíûõâ0 ,0,0,0åñëè, ),,( 321 )( 321 321 3211 xxxe xxxf xxx ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � x y x y x y x y x y x y x y x y x 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3� � � � � � � � � � � � � � � � � �y , à ñèñòåìà x y y y y y y x y y y y y x y 1 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 2 3 3 1 15( , , ) , , ( , , ) , ( , � � � � � y y y2 3 3, ) � � � � � � ïðåäñòàâëÿåò îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå äëÿ (4): x y x y y x y y y 3 3 2 2 3 1 1 2 315 � � � � � � � � � � � , , , . Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé âåêòîðà ( )� � �1 2 3 ' èìååò âèä f y y y e y y y D y y y � � �1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 5 1 2 3( , , ) , ( , , ) ( , ) � � � � åñëè , 0 � � � ãäå D y y y y y y y y y� � � � � � �{ }( , , ) : , , ,1 2 3 3 2 3 1 2 30 0 15 0 . Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ f � � �1 2 3 ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ( , , )y y y1 2 3 ïî ïåðåìåííîé y3 ïîëó÷àåì f y y e e e y y D e y y y y � �1 2 1 2 2 1 2 0 5 0 5 1 2 1 ( , ) ( ) ( , ) , , , � � � � � äëÿ 2 1 20 5 1 2 2 0 � � � � � � � � e y y D y y, ( , ) ,äëÿ ãäå D y y y y y1 1 2 2 1 215 0 0� � � �{( , ): , , }, D y y y y y y2 1 2 2 1 2 115 0 0 5 0� � � � �{( , ) : , , , }. Äàëåå áóäåì èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó äëÿ f z z k( , ..., )1 èç òåîðåìû 2, ãäå r � 3 , k � 2 , �1 1� , t 0 0 0 � � � � � � , t 1 1 0 � � � � � � , t 2 15 1 � � � � � � , , t 3 0 5 1 � � � � � � , . Î÷åâèäíî, ÷òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî � �1 1� � � � �� k r k . Äëÿ ôóíêöèè f z z k( , ..., )1 ïîëó÷àåì f z z e z x z x d( , ) ! ( ) ( )1 2 0 1 1 0 2 2 0 3 � � � � � � � � � � � �� . Îáîçíà÷èì I k r ìíîæåñòâî âñåõ ñî÷åòàíèé èç r �1 ýëåìåíòà { }0 1 2, , , ..., r ïî k . Äëÿ êàæäîé êîìáèíàöèè èç k èíäåêñîâ i i i Ik k r� �( , , )0 1� ïðåäñòàâëÿåì f t i{ } ñëå- äóþùèì îáðàçîì: f t t t f di k i i t t k k i ik { }: [ , , ] [ ,..., ] � � � � � 1 1 1 0 1 0 1� � � , ãäå � k�1 — ëåáåãîâà ìåðà â ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè ( )k �1 , [ , ..., ]t t i ik0 1� — âû- ïóêëàÿ îáîëî÷êà òî÷åê t t i ik0 1, ..., � . Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ, êîãäà � k i i i x x k k � � � �1 0 1 1 0([ , , ] )� . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 149 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ, â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ, 150 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Åñëè òî÷êè t t t Rr k 0 1, , ,� íàõîäÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè, à � � �� � �( )1 � k — ìóëüòèèíäåêñ, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ � �1 1� � � � �� k r k , òî � -ðàçäåëåííàÿ ðàçíîñòü ôóíêöèè f èìååò âèä [1] [ , ..., ] )t t f c f tr i i i Ik r 0 � �� � ( , ãäå c r k d t e d t t i r k i l l k i l l � � � � � � � � � � ( ) ! !( )! [ ( , , )] ( , , 1 1 0 1 1 1 0 0 1 ) ,..., � � � � � l r i i ik , el l � ( , , , , , , )0 0 0 1 0� � �� �� � , l k�1, ,� ; d t y y t t y t t i i i k k i k i k k ( , , )� � � � � 1 1 1 0 1 0 1 1 1 � � � � � � � .  ñèëó âûøåèçëîæåííîãî ïîñëå ðÿäà âû÷èñëåíèé ìîæíî ïîëó÷èòü ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé f y y e e e y y D e y y y � �1 2 1 2 2 1 2 0 5 0 5 1 2 1 , , , ( , ) ( ) ( , ) , � � � � � äëÿ y y y e y y D2 1 20 5 1 2 2 0 � � � � � � � � , ( , ) ,äëÿ Ñäåëàåì íåêîòîðûå êîììåíòàðèè ê òåîðåìå 2. Äîêàæåì, ÷òî ïëîòíîñòü âåðîÿò- íîñòåé f x� ( ), x Rk , åñòü ìíîãîìåðíûé ýêñïîíåíöèàëüíûé ñïëàéí, óìíîæåííûé íà êîíñòàíòó. Ôîðìóëà äëÿ ôóíêöèè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâà- íèé íåçàâèñèìûõ ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïîëó÷åíà â òåîðåìå 3, äîêàçà- òåëüñòâî åå äàíî â [6].  äàëüíåéøåì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî t Rk 0 0 0 0� � * ( , ..., ) . Äàäèì åùå îäíî ïðåäñòàâëåíèå �: � � � �� � � �0 0 1 1t t tr r � . Åñëè îáîçíà÷èòü d t t x t t t t x x i i i j i i j i j j j j ( , ..., , , ):1 1 11 1 1 1 1 � � � � � � � � � � (5) äëÿ êàæäîãî j k� 1 2, , ..., è d x( ; )� �1 äëÿ j � 0, òî ïîëó÷èì d t t t i i ij j( , ..., , ; )1 1 1 0� � ïðè óñëîâèè, ÷òî òî÷êè íàõîäÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ äëÿ êàæäîãî j r�1 2, , ..., : a t t x i i j( , ..., , )1 0� , åñëè d t t d t t i i i ij j( , ..., , ; ) / ( , ..., , )*1 10 1 1 0� , è a t t x a t t x d t t i i i i i ij j j( , ..., , ) ( , ..., , ; ) / ( , ...,1 1 10� � , ; )*0 1 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, à òàêæå A t t x a t x a t t x a t i i i i is( , ..., , ) max ( , ( , ), ( , , ), , (1 1 1 20� � i i t xs1 , ..., , )), j k�1 2, , ..., ; ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 151 c t t x d t t x d t t i i i i i ij j j( , ..., , ) ( , ..., , ; ) / ( , ...,1 1 10� � , ; )*0 1 , åñëè d t t d t t i i i ij j( , ..., , ; ) / ( , ..., , )*1 10 1 1 0� ; c t t x i i j( , ..., , )1 � � , åñëè d t t d t t i i i ij j( , ..., , ; ) / ( , ..., , )*1 10 1 1 0� ; c t t x i i j( , ..., , )1 0� , åñëè d t t i i j( , ..., , ; )*1 0 1 0� è d t t x d t t i i i ij j( , ..., , ; ) / ( , ..., , )1 10 1 0� ; c t t x i i j( , ..., , )1 � � , åñëè d t t i i j( , ..., , ; )*1 0 1 0� è d t t x d t t i i i ij j( , ..., , ; ) / ( , ..., , )1 10 1 0� ; C t t x c t x c t t x c t i i i i is( , ..., , ) min ( , ( , ), ( , , ), , (1 1 1 20� � i i t xs1, ..., , )) ; B t t x A t t x C t t i i i i i is s( , ..., , ) max ( , ..., , ), ( , ...,1 1 1� { s x, )} . Òåîðåìà 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà � � �� � �1 1t tr r � â òî÷êå x Rk èìååò âèä f x i r i i i r i i i j k r i i k k j k � ( ) , , � � � � � � � � � � � � 1 2 2 1 1 0 0 0 1 0 1 � � k j k i j k r i i d t t � � � � � � 1 1 1 1 1 ,..., ( , ..., ; ) � � �( ( , ..., , ; )) ( ( , ..., , ; )) ( *d t t d t t x r i i j i i r k jk k1 10 1 0 � � � � � � k jj r k )!0 � ��( ( , ..., , )) ( ( , ...,( ,..., , )A t t x e B t i i l A t t x ik i ik 1 1 1 t x e l i l B t t x l j k i ik , )) ! ( ,..., , )� � � 1 0 , ãäå t Rk 0 0� * ; âåêòîðû t t r1, ..., Rk íàõîäÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè; 0 10 � ; ( )�� ���m e 0 (çäåñü m — íåîòðèöàòåëüíîå öåëîå). Ðåçóëüòàòû èç òåîðåì 1, 2 è 3 ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ àëãîðèòìèçàöèè êîìïüþòåðíûõ âû÷èñëåíèé è ðåøåíèÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷. Âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäå- ëåíèå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè èç íåçàâèñèìûõ ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íàõîäèò øèðîêîå ïðèëîæåíèå â òåîðèè ðèñêà, â òåîðèè î÷åðå- äåé, â ìíîãîôàêòîðíîì àíàëèçå íàäåæíîñòè è â ïñèõîëîãèè. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòà- òû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ èññëåäîâàíèÿ è ïðîãíîçèðîâàíèÿ âëèÿíèÿ ñóáúåêòèâíîãî ôàêòîðà íà ýêîíîìè÷åñêèå è ñîöèàëüíûå ñèñòåìû. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. À ê î ï ÿ í À . À . , Á î ÿ í î â Á . Ä . Òåîðèÿ íà ñïëàéí ôóíêöèèòå. — Ñîôèÿ: Íàóêà è èçêóñòâî, 1990. — 182 ñ. 2. Ê î ñ ò à ä è í î â à Ñ . Ð . , È ã í à ò î â Ö â . Ëèíåéíè òðàíñôîðìàöèè íà åêñïîíåíöèàëíî ðàçïðåäåëå- íè ñëó÷àéíè âåëè÷èíè è ìíîãîìåðíè åêñïîíåíöèàëíè ñïëàéíè // Ãîä. Íà ÑÓ, Ñòîïàíñêè ôàêóëòåò. — 2006. — 5. — Ñ. 109–114. 3. A l i M . M . , M e a d E . R . On the distribution of several linear combinations of order statistics from the uniform distribution // The University of Western Ontario, 1968. — P. 22–41. 4. D a h m e n W . , M i c c h e l l i C . A . On the linear independence of mulivariate B -splines. II. Complete configurations. — Preprint 460, Bonn, 1981. 5. D e B o o r C . Splines as linear combinations of B -splines. Approximation Theory. II. — New York: Acad. Press, 1976. — P. 1–47. 6. I g n a t o v Z v . G . , D i a l o M . O . , K o s t a d i n o v a S . R . The density of linear transformations of in- dependent exponential random variables // XXXIV Spring Conf. of UBM, 2005. — P. 164–168. Ïîñòóïèëà ïîñëå äîðàáîòêè 23.05.2008 152 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1

Similar Items