Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. I
Розглянуто задачу оптимальної екстраполяції випадкового процесу зі значеннями в деякому сепарабельному гільбертовому просторі. Для випадкових процесів із обмеженими моментами другого порядку виведено формули для ефективного обчислення оптимальних відносно мінімуму середньоквадратичного відхилення оц...
Saved in:
| Published in: | Кибернетика и системный анализ |
|---|---|
| Date: | 2008 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72215 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. I / А.А. Фомин-Шаташвили, А.Д. Шаташвили // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 3. — С. 149-157. — Бібліогр.: 48 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860166287335882752 |
|---|---|
| author | Фомин-Шаташвили, А.А. Шаташвили, А.Д. |
| author_facet | Фомин-Шаташвили, А.А. Шаташвили, А.Д. |
| citation_txt | Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. I / А.А. Фомин-Шаташвили, А.Д. Шаташвили // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 3. — С. 149-157. — Бібліогр.: 48 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кибернетика и системный анализ |
| description | Розглянуто задачу оптимальної екстраполяції випадкового процесу зі значеннями в деякому сепарабельному гільбертовому просторі. Для випадкових процесів із обмеженими моментами другого порядку виведено формули для ефективного обчислення оптимальних відносно мінімуму середньоквадратичного відхилення оцінок у задачах екстраполяції (прогнозу) випадкових процесів.З використанням загального алгоритму для обчислення оптимального прогнозу випадкового процесу, у явному вигляді знайдено оптимальну оцінку екстраполяції для розв'язку нелінійного еволюційного диференціального рівняння в гільбертовому просторі H з необмеженими лінійними операторами. Якщо диференціальне рівняння містить малу нелінійність, ця оцінка розкладається за ступенями малого параметра.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:56:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.21
À.À. ÔÎÌÈÍ-ØÀÒÀØÂÈËÈ, À.Ä. ØÀÒÀØÂÈËÈ
ÎÁ ÎÄÍÎÌ ÌÅÒÎÄÅ ÝÔÔÅÊÒÈÂÍÎÃÎ ÂÛ×ÈÑËÅÍÈß
ÎÏÒÈÌÀËÜÍÛÕ ÎÖÅÍÎÊ Â ÇÀÄÀ×ÀÕ ÝÊÑÒÐÀÏÎËßÖÈÈ ÐÅØÅÍÈÉ
ÍÅËÈÍÅÉÍÛÕ ÝÂÎËÞÖÈÎÍÍÛÕ ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÕ
ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ Â ÃÈËÜÁÅÐÒÎÂÎÌ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ. I
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ýêñòðàïîëÿöèÿ, ïðîãíîç, ìåðà, ïëîòíîñòü Ðàäîíà–Íèêîäèìà,
ýâîëþöèîííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, êîððåëÿöèîííûé îïåðàòîð.
Îäíîé èç âàæíûõ ïðîáëåì â òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå
îïòèìàëüíûõ îöåíîê â çàäà÷àõ ýêñòðàïîëÿöèè è ôèëüòðàöèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ,
÷òî èìååò âåñüìà âàæíîå çíà÷åíèå ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ àêòóàëüíûõ ïðèêëàäíûõ
çàäà÷ íàóêè è òåõíèêè. Îïòèìàëüíàÿ ýêñòðàïîëÿöèÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà — ýòî
ïðåäñêàçàíèå çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà â áóäóùåì íàèëó÷øèì îáðàçîì ïî íà-
áëþäåíèÿì åãî çíà÷åíèé äî íàñòîÿùåãî ìîìåíòà âðåìåíè.
Çàäà÷à æå îïòèìàëüíîé ôèëüòðàöèè çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: ïóñòü íà-
áëþäàåòñÿ íåêîòîðûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, â êîòîðîì îäíîâðåìåííî ñîäåðæàòñÿ
èëè ñî÷åòàþòñÿ ïîëåçíûé ñèãíàë (îäèí ïðîöåññ) è ñëó÷àéíûé øóì (âòîðîé ïðî-
öåññ). Òðåáóåòñÿ îòäåëèòü (îòôèëüòðîâàòü) øóì îò ñèãíàëà è íàéòè íàèëó÷øåå (â
îïðåäåëåííîì ñìûñëå) ïðèáëèæåíèå äëÿ ñèãíàëà.
Ðåøåíèå çàäà÷è ëèíåéíîé ýêñòðàïîëÿöèè è ôèëüòðàöèè, ðàíåå äàííîå
À.Í. Êîëìîãîðîâûì [10, 11] è Í. Âèíåðîì [1, 2], ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëüíûì ëèøü
äëÿ ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà, à äëÿ îáùèõ ïðîöåññîâ îïòèìàëüíî ëèøü â êëàññå ëè-
íåéíûõ îöåíîê è ìîæåò îêàçàòüñÿ íå íàèëó÷øèì. Ïîýòîìó ðàçðàáîòêó ìåòîäîâ
ýôôåêòèâíîãî ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ çàäà÷ ñëåäóåò ñ÷èòàòü âåñüìà âàæíûì
êàê â òåîðåòè÷åñêîì, òàê è ïðàêòè÷åñêîì ïëàíå. Ðÿä èññëåäîâàíèé â ýòîì íàïðàâ-
ëåíèè ïðèíàäëåæàò Í. Âèíåðó [1, 2], Ë.À. Çàäå [9], Â.Ñ. Ìèõàëåâè÷ó [15–17],
Ð.Ë. Ñòðàòîíîâè÷ó [23, 24], À.Í. Øèðÿåâó, Ð.Ø. Ëèïöåðó, Á.È. Ãðèãåëèîíèñó
[12–14, 41–44, 6] è äðóãèì. Îäíàêî ïîëó÷åííûå èìè ðåçóëüòàòû îòíîñÿòñÿ â
îñíîâíîì ê ðàçëè÷íûì êëàññàì ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïî êðàéíåé ìåðå â òåîðåòè÷åñêîì ïëàíå
òåîðèÿ ëèíåéíîé ýêñòðàïîëÿöèè è ôèëüòðàöèè ðàçðàáîòàíà ïîëíîñòüþ â ðàáîòàõ
À.Í. Êîëìîãîðîâà, Í. Âèíåðà, À.Ì. ßãëîìà [1, 2, 10, 11, 45–48] è ìíîãèõ äðóãèõ àâ-
òîðîâ. Îáñòîÿòåëüíîå èçëîæåíèå ýòèõ ðåçóëüòàòîâ ìîæíî íàéòè â ìîíîãðàôèè Þ.À.
Ðîçàíîâà [18]. Êàê îòìå÷àëîñü ðàíåå, ëèíåéíàÿ ýêñòðàïîëÿöèÿ è ôèëüòðàöèÿ ïðèâî-
äèò ê íàèëó÷øèì îöåíêàì äëÿ ñëó÷àÿ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ.  ðàáîòàõ À.Ä. Øà-
òàøâèëè [33–37] â òîì ñëó÷àå, êîãäà ïðîöåññû ìàëî îòëè÷àþòñÿ îò ãàóññîâñêèõ, äëÿ
íåêîòîðîãî êëàññà ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ïîêàçàíî, ÷òî ïîðÿäîê îòêëîíåíèÿ íàèëó÷-
øèõ îöåíîê îò ëèíåéíûõ ðàâåí ïîðÿäêó îòêëîíåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà îò
ãàóññîâñêîãî.
Åñòåñòâåííî, îáîáùåíèå çàäà÷ ëèíåéíîé ýêñòðàïîëÿöèè è ôèëüòðàöèè íåãà-
óññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ñóùåñòâåííî îñëîæíÿåòñÿ íåîáõîäèìîñòüþ ðàñ-
ñìàòðèâàòü âñå êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ èçó÷àåìûõ ïðîöåññîâ. Ïîýòîìó
çàäà÷è íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíûõ îöåíîê ìîãóò ðåøàòüñÿ ýôôåêòèâíî ëèøü â òîì
ñëó÷àå, êîãäà â çàìêíóòîé ôîðìå ïîëó÷åíà èíôîðìàöèÿ î âñåõ êîíå÷íîìåðíûõ
ðàñïðåäåëåíèÿõ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà.
Ñ àáñòðàêòíîé òî÷êè çðåíèÿ îïòèìàëüíîå ðåøåíèå çàäà÷ ýêñòðàïîëÿöèè è
ôèëüòðàöèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ÿâëÿåòñÿ äîâîëüíî ïðîñòûì è âûðàæàåòñÿ ñ
ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ â íåêîòîðîì ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå ïî ìåðå,
çàâèñÿùåé îò íåêîòîðîãî ôóíêöèîíàëüíîãî ïàðàìåòðà. Îäíàêî òàêîå ðåøåíèå
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 149
© À.À. Ôîìèí-Øàòàøâèëè, À.Ä. Øàòàøâèëè, 2008
íåëüçÿ ñ÷èòàòü ïðèåìëåìûì äî òåõ ïîð, ïîêà íåò êîíñòðóêòèâíûõ ìåòîäîâ îïèñà-
íèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îïåðàöèè èíòåãðèðîâàíèÿ. Âîçìîæíûì ïîäõîäîì ê ðåøå-
íèþ ýòîé ñëîæíîé ïðîáëåìû ìîæåò ñëóæèòü îïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè Ðàäîíà–Íè-
êîäèìà ñîîòâåòñòâóþùåé ìåðû èçó÷àåìîãî ïðîöåññà â ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðà-
íñòâå îòíîñèòåëüíî õîðîøî èçó÷åííîé ýòàëîííîé ìåðû. Ýòî ïîçâîëÿåò îïåðàöèþ
èíòåãðèðîâàíèÿ ïðîâîäèòü ñ ó÷åòîì ìåðû, ïîðîæäåííîé ýòàëîííûì âåðîÿòíîñ-
òíûì ïðîöåññîì, íàïðèìåð âèíåðîâñêèì èëè ãàóññîâñêèì. Ýòà èäåÿ âïåðâûå
áûëà èñïîëüçîâàíà À.Ä. Øàòàøâèëè â ðàáîòàõ [33–37]. Êðîìå òîãî, ïëîòíîñòè
âåðîÿòíîñòíûõ ìåð äëÿ íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíûõ îöåíîê â çàäà÷àõ ýêñòðàïîëÿ-
öèè è ôèëüòðàöèè äëÿ äâóõ ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ áûëè òàêæå èñïîëüçîâàíû â
ðàáîòàõ Â.Ñ. Ìèõàëåâè÷à [15–17], Ð.Ë. Ñòðàòîíîâè÷à [23, 24], À.Í. Øèðÿåâà,
Ð.Ø. Ëèïöåðà è Á.È. Ãðèãåëèîíèñà [12–14, 41–44, 6] è íåêîòîðûõ äðóãèõ
àâòîðîâ, êîãäà íàáëþäàåòñÿ îäíà êîìïîíåíòà ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà è íàõîäèòñÿ
îïòèìàëüíàÿ îöåíêà äëÿ äðóãîé êîìïîíåíòû.
Äëÿ íåìàðêîâñêèõ è íåãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ ðåçóëüòàòû äëÿ îïòèìàëüíûõ
îöåíîê â çàäà÷àõ ýêñòðàïîëÿöèè è ôèëüòðàöèè âïåðâûå áûëè ïîëó÷åíû À.Ä. Øà-
òàøâèëè â [33–37].  ýòèõ ðàáîòàõ ðàññìàòðèâàëñÿ êëàññ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ,
ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèÿìè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âèäà
dx t
dt
f t x t t
( )
( , ( )) ( )� � �� �
(1)
èëè
d x t
dt
F t x t x t x t t
m
m
m m( )
( , ( ), ( ), . . . , ( )) ( )( )� � ��� �1
(2)
è íåêîòîðûõ äðóãèõ óðàâíåíèé ïîäîáíîãî ðîäà, ãäå � — ïàðàìåòð, � ( )t — ãà-
óññîâ ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, ôóíêöèè f t x( , ) è F t x x xn( , , , . . . , )1 îáëàäàþò äîñ-
òàòî÷íî ãëàäêèìè ñâîéñòâàìè, îáåñïå÷èâàþùèìè ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåí-
íîñòü ðåøåíèé óðàâíåíèé (1) è (2), à ñàìè óðàâíåíèÿ (1) è (2) ðàññìàòðèâàþò-
ñÿ â íåêîòîðûõ êîíå÷íîìåðíûõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ èëè ñåïàðàáåëüíûõ
ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, èçëîæåííûå â [33–35], áûëè
ïîëó÷åíû ïðè íàëè÷èè â ÿâíîì âèäå ïëîòíîñòè Ðàäîíà–Íèêîäèìà
�
�
��
( ) ( )z
d
d
zx� , ãäå �x è �� — ìåðû, ïîðîæäåííûå ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè x t( )
è � ( )t , ñ èñïîëüçîâàíèåì ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðàëà Èòî.  ðàáîòàõ [20, 35, 36,
38–40] ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ � ( )z è â ÿâíîì âèäå
âû÷èñëåíû èõ âûðàæåíèÿ â òåðìèíàõ êîýôôèöèåíòîâ ðàññìàòðèâàåìûõ óðàâíåíèé
è èõ õàðàêòåðèñòèê.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàçðàáîòàí îäèí ìåòîä, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî áóäóò âû÷èñ-
ëåíû óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ, ò.å. îïòèìàëüíûå îöåíêè â çàäà÷àõ ýêñ-
òðàïîëÿöèè â ñìûñëå ìèíèìóìà ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ (ñì. [3, 4]). Ýòà
íåïðîñòàÿ çàäà÷à çäåñü ñâîäèòñÿ ê ïðîñòîìó è ýôôåêòèâíîìó ìåòîäó — âû÷èñëå-
íèþ áåçóñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íåêîòîðûõ èçâåñòíûõ ôóíêöèîíàëîâ
îò èçâåñòíûõ ãàóññîâûõ òðàåêòîðèé èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ê èíòåãðèðîâàíèþ èçâåñ-
òíûõ ôóíêöèé ïî èçâåñòíîé ãàóññîâîé ìåðå (ãàóññîâîìó ðàñïðåäåëåíèþ).
 íåêîòîðîì ñåïàðàáåëüíîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ðàññìàòðèâàåòñÿ
ñèñòåìà ýâîëþöèîííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé íåëèíåéíîãî è ñîîòâå-
òñòâóþùåãî åìó ëèíåéíîãî âèäà
dy t
dt
A t y t A t y t f t y t t
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( , ( )) ( )� � � � �1 � � ,
0 0 0 0� � � �t a y P, ( ) ( ) ( )� mod , (3)
dx t
dt
A t x t A t x t t
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � �1 � ,
150 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
0 0 0 0� � � �t a x P, ( ) ( ) ( )� mod , (4)
ãäå � — ïàðàìåòð, � ( )t — ãàóññîâ ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, îïðåäåëåííûé íà îò-
ðåçêå [ , ]0 a , íåëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ f t y t( , ( )), îïðåäåëåííàÿ íà îòðåçêå [ , ]0 a H� ,
ïðèíèìàåò ñâîè çíà÷åíèÿ èç H , ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóåìîé ôóíêöèåé ñî ñâîèì
êâàäðàòîì ïî íîðìå H äëÿ âñåõ y t H( ) è äèôôåðåíöèðóåìà ïî y, îïåðàòîðû
A t( ) è A t1 ( ) ÿâëÿþòñÿ ñåìåéñòâàìè íåîãðàíè÷åííûõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ,
ïðè ýòîì îïåðàòîð A t( ) ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîäÿùèì îïåðàòîðîì äëÿ ýâîëþöèîííî-
ãî ñåìåéñòâà îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ U t s( , ), à äëÿ îïåðàòîðà A t1 ( ) ñåìå-
éñòâî îïåðàòîðîâ U t s U t s A s1 1( , ) ( , ) ( )� , 0 � �t s a, ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì.
Ñèñòåìû (3) è (4) èçó÷àëèñü îäíèì èç àâòîðîâ äàííîé ðàáîòû, è ñîâìåñòíî ñ
Ò.À. Ôîìèíîé [25–30] áûëè ïîëó÷åíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ýêâèâàëåíòíîñòè
ìåð � y è �x è â ÿâíîì âèäå âû÷èñëåíû ïëîòíîñòè Ðàäîíà-Íèêîäèìà â òåðìèíàõ êî-
ýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèé (3) è (4) ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàñøèðåííîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî
èíòåãðàëà, ââåäåííîãî À.Â. Ñêîðîõîäîì [19].
 íàñòîÿùåé ñòàòüå, êàê è â ðàáîòàõ [33–37], èçó÷àþòñÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîé
ýêñòðàïîëÿöèè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3) ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàñïðåäåëåíèé (èëè
ìåð) ãàóññîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà x t( ), ÿâëÿþùåãîñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ
(4). Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â ýòîé ðàáîòå, çíà÷èòåëüíî îáîáùàþò ðåçóëüòàòû,
ïîëó÷åííûå â [33–37], ïî êðàéíåé ìåðå â äâóõ ñëó÷àÿõ: âî-ïåðâûõ, ïî óñëîâèÿì
ãëàäêîñòè êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèé (3) è (4) è, âî-âòîðûõ, ïðè áîëåå øèðîêèõ
óñëîâèÿõ ïðèìåíåíèÿ ðàñøèðåííîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðàëà Ñêîðîõîäà ê
ôóíêöèè f t y t( , ( )) â ñðàâíåíèè ñ óñëîâèÿìè ýòîé æå ôóíêöèè ñ æåñòêèìè îãðà-
íè÷åíèÿìè íà êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ, îáåñïå÷èâàþùèìè ñóùåñòâîâàíèå èí-
òåãðàëà Èòî. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî óêàçàííûå âûøå îáîáùåíèÿ â çíà÷èòåëüíîé
ñòåïåíè ðàñøèðÿþò îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ ïîëó÷åííûõ îïòèìàëüíûõ îöåíîê è
êà÷åñòâåííî óëó÷øàþò ìåòîäèêó èõ âû÷èñëåíèÿ.
Êàê áûëî ïîêàçàíî â ðàáîòàõ [26–30], ìåæäó ðåøåíèÿìè y t( ) è x t( ) óðàâíå-
íèé (3) è (4) ïðè ñîáëþäåíèè íåêîòîðûõ äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé ìîæíî óñòàíî-
âèòü ñâÿçü â âèäå íåëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé ñëåäóþùèì îáðàçîì:
Sy t y t R t s g s y s x t
a
x( ) : ( ) ( , ) ( , ( )) ( )� �
�
0
, 0 � � �s t a, (5)
è
Tx t x t R t s g s x s y t s t a
a
x( ) : ( ) ( , )~ ( , ( )) ( ),� � � � �
�
0
0 , (6)
ãäå íåëèíåéíûå îòîáðàæåíèÿ S è T âçàèìíî îäíîçíà÷íû, îáðàòèìû è ãîëî-
ìîðôíû, ïðè÷åì S T� � 1, à ìåæäó íåëèíåéíûìè ôóíêöèÿìè g ( )� è ~ ( )g �
èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå
~ ( , ( )) ( , ( ))g s x s g s Tx t� � , (7)
R t sx
2 ( , ) ÿâëÿåòñÿ êîððåëÿöèîííîé îïåðàòîðíîé ôóíêöèåé ãàóññîâñêîãî ñëó÷àé-
íîãî ïðîöåññà x t( ), à íåëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ g s( , )� îïðåäåëÿåòñÿ èç
ñîîòíîøåíèÿ
0 0
1
1
0
a a a
xI U t s U s u f u y u dsdu R t s g
� ��[ ( , )] ( , ) ( , ( )) ( , ) ( , ( ))s y s ds. (8)
 ðàáîòàõ [26–30] íàõîäÿòñÿ äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ôóíê-
öèè g s( , )� , âûïèñûâàåòñÿ åå ÿâíûé âèä, à òàêæå óñòàíàâëèâàþòñÿ äîñòàòî÷íûå
óñëîâèÿ äëÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ìåð � y è �x è ÿâíûé âèä ïëîòíîñòè Ðàäî-
íà–Íèêîäèìà: �
�
�
( ) ( )z
d
d
z
y
x
� , ~ ( ) ( )�
�
�
z
d
d
zx
y
� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 151
Ïîñêîëüêó ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â äàííîé ñòàòüå, èìåþò ñèëó äëÿ àáñòðàê-
òíîãî ñåïàðàáåëüíîãî ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà H (â ÷àñòíîñòè, H ìîæåò áûòü êî-
íå÷íîìåðíûì åâêëèäîâûì ïðîñòðàíñòâîì), òî ïîíÿòíî, ÷òî ïðè ðàññìîòðåíèè
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âûñøèõ ïîðÿäêîâ âèäà (2) çàäà÷è îïòèìàëüíîãî
ïðîãíîçà äëÿ ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé ëåãêî ñâîäÿòñÿ ê óæå ïîëó÷åííûì ðåçóëü-
òàòàì äëÿ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà. Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò óðàâíåíèå âûñøåãî ïî-
ðÿäêà, ðàññìîòðåííîå â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H , ïðèâåñòè ê óðàâíåíèþ ïåð-
âîãî ïîðÿäêà, ðàññìîòðåííîìó óæå â äðóãîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H1, êîòî-
ðîå ÿâëÿåòñÿ äåêàðòîâûì ïðîèçâåäåíèåì ïðîñòðàíñòâà H íà ñåáÿ ðîâíî ñòîëüêî
ðàç, êàêîâ ïîðÿäîê ðàññìîòðåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ.
 íàñòîÿùåé ñòàòüå óæå ñóùåñòâåííî îáîáùàþòñÿ ðåçóëüòàòû ðàáîò
À.Ä. Øàòàøâèëè [33–37]. Âî-ïåðâûõ, çäåñü ðàññìàòðèâàþòñÿ ñèñòåìû íåëèíåé-
íûõ è ëèíåéíûõ ê íèì ýâîëþöèîííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âèäà (3) è
(4), çàäàííûõ â áåñêîíå÷íîìåðíûõ ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ H ñ íåîãðàíè-
÷åííûìè ëèíåéíûìè îïåðàòîðàìè A t( ) è A t1 ( ) è ñ áîëåå øèðîêèìè ïðåäïîëîæå-
íèÿìè íà íåëèíåéíóþ ôóíêöèþ f t x t( , ( )). Âî-âòîðûõ, ðåçóëüòàòû ïîëó÷àþòñÿ â
òåðìèíàõ ðàñøèðåííîãî ñòîõàñòè÷åñêîãî èíòåãðàëà â ñìûñëå À.Â. Ñêîðîõîäà
[19], ÷òî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèîíàëû, çàâèñÿùèå îò âñåé òðàåêòîðèè
íàáëþäàåìîãî ïðîöåññà. Èìåííî äëÿ òàêèõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è òà-
êèõ ôóíêöèîíàëîâ â íàñòîÿùåé ðàáîòå èçó÷àþòñÿ çàäà÷è îïòèìàëüíûõ îöåíîê
äëÿ ýêñòðàïîëÿöèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèÿìè íåëèíåéíûõ
ýâîëþöèîííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âèäà (3), è ðàçðàáàòûâàþòñÿ
ïðÿìûå ìåòîäû äëÿ ýôôåêòèâíîãî âû÷èñëåíèÿ ýòèõ îöåíîê.
Äàííàÿ ñòàòüÿ ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé.  ïåðâîé ÷àñòè ðàññìîòðåíà îáùàÿ
ïðîáëåìà íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîé îöåíêè â çàäà÷àõ ýêñòðàïîëÿöèè ñëó÷àéíîãî
ïðîöåññà ñî çíà÷åíèÿìè â íåêîòîðîì áåñêîíå÷íîìåðíîì ñåïàðàáåëüíîì ãèëüáåð-
òîâîì ïðîñòðàíñòâå H . Çäåñü áóäåò äîêàçàíà îñíîâíàÿ òåîðåìà, ñîãëàñíî êîòîðîé
îïòèìàëüíàÿ îöåíêà ýêñòðàïîëÿöèè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà â âèäå óñëîâíîãî ìàòå-
ìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê âû÷èñëåíèþ áåçóñëîâíîãî ìàòåìà-
òè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïî ãàóññîâñêîé ìåðå. Ïðè ýòîì ñòðîèòñÿ àëãîðèòì, ïî
êîòîðîìó â ÿâíîì âèäå ìîæíî âû÷èñëèòü îïòèìàëüíóþ îöåíêó ýêñòðàïîëÿöèè.
Âî âòîðîé ÷àñòè ðàáîòû (êîòîðàÿ áóäåò îïóáëèêîâàíà â ïîçäíåå), ðåçóëüòà-
òû òåîðåìû 1 èç íàñòîÿùåé ñòàòüè ïðèìåíåíû ê ðåøåíèÿì íåëèíåéíûõ ýâîëþöè-
îííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ïîñòðîåíèÿ èõ îïòèìàëüíîé îöåíêè â
çàäà÷å ýêñòðàïîëÿöèè. Êðîìå òîãî, ïîëó÷åííàÿ îöåíêà ðàçëàãàåòñÿ ïî ñòåïåíÿì �
ìàëîé íåëèíåéíîñòè, ñîäåðæàùåéñÿ â óðàâíåíèè.
Ïóñòü { }�, ,� P — ôèêñèðîâàííîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî; H — ñåïà-
ðàáåëüíîå âåùåñòâåííîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì
( , )x y è íîðìîé | | | |x , x y H, ; �H — �-àëãåáðà èçìåðèìûõ ïîäìíîæåñòâ ïðîñòðà-
íñòâà H . 0áîçíà÷èì L L a H2 2 0� { }[ , ], ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà
îòðåçêå [ , ]0 a ñî çíà÷åíèÿìè èç H è èíòåãðèðóåìûõ ñî ñâîèì êâàäðàòîì ïî íîðìå
H . Î÷åâèäíî, ÷òî L2 ÿâëÿåòñÿ ãèëüáåðòîâûì ïðîñòðàíñòâîì. Îáîçíà÷èì â ïðî-
ñòðàíñòâå L2 ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ( , )f g L è íîðìó | | | |f L, f , g L 2 , è ââåäåì
èõ òàêèì îáðàçîì:
( , ) ( ( ), ( ))f g f t g t dtL
a
�
0
, | | | | | | ( )| |f f t dt
L
a
2
0
2�
, ãäå f g L, 2 , f t g t H( ), ( ) .
(9)
Ïîÿñíèì ïîñòàíîâêó çàäà÷è è ïðîâåäåì èññëåäîâàíèÿ äëÿ åå ðåøåíèÿ.
Ïóñòü TT — �-àëãåáðà ñîáûòèé, îïðåäåëåííûõ ïîâåäåíèåì ñëó÷àéíîãî ïðî-
öåññà y t( ) äî ìîìåíòà T . Çàäà÷à îïòèìàëüíîé ýêñòðàïîëÿöèè çàêëþ÷àåòñÿ â ñëå-
äóþùåì: íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü íåêîòîðûé ôóíêöèîíàë îïòèìàëüíîé îöåíêè
ïðîãíîçà â òî÷êå t T h� � , h
0, îáëàäàþùèé äâóìÿ ñâîéñòâàìè: âî-ïåðâûõ, îí
äîëæåí áûòü TT -èçìåðèìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé � è, âî-âòîðûõ, âåëè÷èíà �
äîëæíà èç âñåõ âîçìîæíûõ TT -èçìåðèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí äàâàòü âûðàæå-
152 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
íèþ M y T h( ( ))� � � 2 ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå. Òîãäà âåëè÷èíà � íàçûâàåòñÿ
îïòèìàëüíîé îöåíêîé âåëè÷èíû y T h( )� â ñìûñëå ìèíèìóìà
ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ.
Èç òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ èçâåñòíî óòâåðæäåíèå (ñì. [4]). Ñôîðìóëè-
ðóåì åãî çäåñü ñëåäóþùåé ëåììîé.
Ëåììà 1. Ïóñòü â íåêîòîðîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ðàññìàòðèâàåòñÿ
íåêîòîðàÿ �-àëãåáðà T, ïóñòü òàêæå � — íåêîòîðàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñî çíà÷å-
íèÿìè èç ïðîñòðàíñòâà H è M�2 � �. Åñëè äðóãàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà � T-èçìå-
ðèìà è îáëàäàåò òàêèì ñâîéñòâîì, ÷òî âåëè÷èíà M ( )� �� � �2 è ïðèíèìàåò ìè-
íèìàëüíîå çíà÷åíèå, òî âåëè÷èíà � îïðåäåëÿåòñÿ â âèäå óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñ-
êîãî îæèäàíèÿ � �� M ( / )T .
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðèìåíÿÿ ëåììó 1 ê ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å îïòèìàëü-
íîãî ïðîãíîçà, êîòîðûé îáîçíà÷èì â òî÷êå t T h� � ÷åðåç ~ ( )y T h� , ïðè óñëîâèè
My t2 ( )� � èìååì
~ ( ) ( ( ) / )y T h M y T h T� � � T . (10)
Èíûìè ñëîâàìè, çàäà÷à íàõîæäåíèÿ îïòèìàëüíîãî ïðîãíîçà ñëó÷àéíîãî ïðî-
öåññà y t( ) ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ â
ïðàâîé ÷àñòè (10).
 íàñòîÿùåé ñòàòüå ðàçðàáîòàí îäèí ýôôåêòèâíûé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ óñëîâ-
íîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïëîòíîñòè Ðàäîíà–Íèêîäèìà
ìåð, ïîðîæäåííûõ èçó÷àåìûìè ïðîöåññàìè îòíîñèòåëüíî íåêîòîðûõ äðóãèõ âå-
ðîÿòíîñòíûõ ìåð. Ñóòü çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: â ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ
(10) ïðîâîäèòñÿ èíòåãðèðîâàíèå ïî ìåðå, ïîðîæäåííîé ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì
y t( ) â ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå. Èñïîëüçóÿ áàéåñîâñêèé ïîäõîä, âíà÷àëå
ïîêàæåì, ÷òî ïðè íàëè÷èè ïëîòíîñòè Ðàäîíà–Íèêîäèìà ìåðû, ïî êîòîðîé ïðîâî-
äèòñÿ èíòåãðèðîâàíèå â (10), îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ìåðû, ñîîòâåòñòâóþùåé
íåêîòîðîìó äðóãîìó ñëó÷àéíîìó ïðîöåññó (åñòåñòâåííî, áîëåå ïðîñòîìó), èíòåã-
ðèðîâàíèå â (10) ìîæíî ïðîâîäèòü óæå ïî âòîðîé ìåðå. Öåííîñòü ýòîãî øàãà
çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âòîðàÿ ìåðà äîëæíà áûòü õîðîøî èçó÷åííîé, òàê êàê
èñõîäíàÿ ìåðà ìîæåò áûòü ñëîæíî óñòðîåííîé è ìàëî îáîçðèìîé.
Èòàê, ïóñòü �x — ìåðà, ïîðîæäåííàÿ ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì x t( ) íà �- àëãåá-
ðå �H , ïîðîæäåííîé ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì x t( ), t a [ , ]0 , à �� — ìåðà, ïîðîæ-
äåííàÿ ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì � ( )t , t a [ , ]0 . Ïóñòü òàêæå X — ñåïàðàáåëüíîå âå-
ùåñòâåííîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî, à C X( ) — ïðîñòðàíñòâî ôóíêöèé, çàäàí-
íûõ íà îòðåçêå [ , ]0 a ñî çíà÷åíèÿìè èç X . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàññìàòðèâàþòñÿ
ñëó÷àéíûå ïðîöåññû x t( ) è � ( )t , t a [ , ]0 , ñî çíà÷åíèÿìè èç ïðîñòðàíñòâà X , âû-
áîðî÷íûå ôóíêöèè êîòîðûõ ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó C Xa ( ). Ñóæåíèå ìåð �x
è �� íà ïðîñòðàíñòâî C XT ( ), T a� , îáîçíà÷èì ÷åðåç �x
T è �
�
T ñîîòâåòñòâåííî,
à ïëîòíîñòü Ðàäîíà–Íèêîäèìà d dx
T T� �
�
/ (åñëè îíà ñóùåñòâóåò) — ÷åðåç �T ( )� .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïëîòíîñòè �T ( )� è �T h� �( ) äëÿ T T h a, [ , ]� 0 ñóùåñòâóþò
è îáîçíà÷èì ÷åðåç
� �
� �
�
�
T T
T h T
T
T h
M T h
� � �
� ��
( , )
( ) ( ) /
( )
,
( ) *{ T }
(11)
ãäå çíàê ( )� — èíòåãðèðîâàíèå ïî ìåðå, ñîîòâåòñòâóþùåé ñëó÷àéíîìó ïðîöåñ-
ñó � ( )t , à TT
* — �-àëãåáðà ñîáûòèé, ïîðîæäåííàÿ âåëè÷èíàìè � ( )s , s T� . Äî-
êàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü â ñåïàðàáåëüíîì âåùåñòâåííîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðà-
íñòâå X ðàññìàòðèâàþòñÿ äâà ñëó÷àéíûõ ïðîöåññà, x t( ) è � ( )t , è ïóñòü ìåðû �x
è �� , ïîðîæäåííûå èìè, ñîîòâåòñòâåííî ýêâèâàëåíòíû è ñóùåñòâóåò ïëîòíîñòü
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 153
Ðàäîíà–Íèêîäèìà d d z zx a� � ��/ ( ) ( )� , à òî÷êè T , T h a� [ , ]0 . Òîãäà
~ ( ) ( ) /x T h M x T h T� � � �{ T }
� ��
� �
�
� � ��M T h
x
x
T h T
T
T
T
( ) *( ) ( ) /
( ( ) | )
( ) ( )
� � �
�
�
{ T }
0
0
. (12)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü
n nf x t x t� ( ( ), . . . , ( ))1 — íåêîòîðàÿ TT -èçìåðèìàÿ
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ãäå n-ìåðíàÿ ôóíêöèÿ f z zn( , . . . , )1 — èçìåðèìàÿ îãðàíè-
÷åííàÿ ôóíêöèÿ. Ñ ó÷åòîì íåêîòîðûõ ñâîéñòâ óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæè-
äàíèÿ (ñì. [3]) èìååì ñëåäóþùóþ öåïî÷êó ðàâåíñòâ:
M M f x t x t M f t tT n T n T n�
� � � ��� �( ( ), . . . , ( )) ( ( ), . . . , (( )
1 1 )) ( ( ))� �T � �
�
� ��
M f t t
M T h
n
T h T( )
( ) *
( ( ), . . . , ( ))
( ) ( ( )) /�
�
� �
� � �
�
1
{ T }
T
T
( ( ))
( ( ))
�
� �
�
� �
� � � ��M M f t t T hn T h T
( ) ( ) *( ( ), . . . , ( )) ( ) ( ( )) /� � � � � � �{ T }1
� � � ��M f t t T hn T h
( ) ( ( ), . . . , ( )) ( ) ( ( ))� � � � � �1
� � � �Mf x t x t x T h Mx T hn n( ( ), . . . , ( )) ( ) ( )1
. (13)
Òàêèì îáðàçîì,
M Mx T hT n n�
� �( ) . (14)
Ôîðìóëà (14) èìååò ìåñòî äëÿ âñåõ îãðàíè÷åííûõ TT -èçìåðèìûõ ôóíêöèé
n . Ïîñêîëüêó ëþáóþ TT -èçìåðèìóþ âåëè÷èíó
ìîæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ñ ïî-
ìîùüþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé âèäà
n , òî ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó â âûðàæåíèè (14)
ïðè n � �, ïîëó÷àåì äëÿ ëþáîé TT -èçìåðèìîé âåëè÷èíû
ðàâåíñòâî
M Mx T hT�
� �( ) . (15)
Îòñþäà â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè
èìååò ìåñòî ôîðìóëà (12), ñëåäîâàòåëüíî òå-
îðåìà äîêàçàíà.
Òàêèì îáðàçîì, ïåðâûé øàã ê óïðîùåíèþ ñäåëàí. Õîòÿ â ïðàâîé ÷àñòè (12) èí-
òåãðèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî ýòàëîííîé ìåðå, òåì íå ìåíåå âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ðåøå-
íèå îñíîâíîãî âîïðîñà ýôôåêòèâíîãî âû÷èñëåíèÿ îïòèìàëüíîãî ïðîãíîçà îñòàåòñÿ
îòêðûòûì, òàê êàê åùå íå ñóùåñòâóåò îáùèõ ïðàâèë äëÿ âû÷èñëåíèÿ óñëîâíûõ ìàòå-
ìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé, â ÷àñòíîñòè äëÿ ïðàâîé ÷àñòè (12).
Äëÿ äàëüíåéøåãî óïðîùåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è èç âñåâîçìîæíûõ âûáî-
ðîâ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà � ( )t ñëåäóåò âûáðàòü òîò, êîòîðûé ïðèâåäåò ê ïîñòðîå-
íèþ àëãîðèòìà, è ñ åãî ïîìîùüþ â ÿâíîì âèäå ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå îïòè-
ìàëüíîãî ïðîãíîçà. Êàê âûÿñíèëîñü ïðè èññëåäîâàíèè, òàêèì ïðîöåññîì îêàçàë-
ñÿ ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ.  ñâÿçè ñ ýòèì ïðåäïîëîæèì, ÷òî � ( )t —
ãàóññîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, çàäàííûé íà îòðåçêå [ ; ]0 a ñî çíà÷åíèÿìè èç
ïðîñòðàíñòâà H ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è êîððåëÿöèîííîé
îïåðàòîðíîé ôóíêöèåé R t s2 ( , ).
Èç òåîðèè ëèíåéíîé ýêñòðàïîëÿöèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ èçâåñòíî, ÷òî â
ïðîìåæóòêå [ , ]T T h� , ãäå ìû ñòðîèì ïðîãíîç äëÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà x t( ), ãà-
óññîâñêèé ïðîöåññ � ( )t ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàçëîæåíèÿ
� �( ) ( ) ( ), [ , ]t l t t t T T hT T� � � , (16)
ãäå
l t l t M t t T T hT T T( ) ( , ( )) ( ) / , [ , ]*� � � �� �{ T } , (17)
ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îïòèìàëüíûì ïðîãíîçîì ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà � ( )t , à
154 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
�T t( ) — ãàóññîâà äîáàâêà, íå çàâèñÿùàÿ îò �-àëãåáðû TT
* . Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè
â òåîðåìå 1 äîïóñòèòü, ÷òî ïðîöåññ � ( )t — ãàóññîâñêèé, òî ïðàâàÿ ÷àñòü (12)
ïðèíèìàåò íàèáîëåå ïðîñòîé âèä, òàê êàê óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå
ïðåîáðàçóåòñÿ â áåçóñëîâíîå. Òåì ñàìûì áóäåò ïîñòðîåí àëãîðèòì ýôôåêòèâ-
íîãî âû÷èñëåíèÿ îïòèìàëüíîãî ïðîãíîçà èññëåäóåìîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà
x t( ). Äåéñòâèòåëüíî, èñïîëüçóÿ ðàçëîæåíèå (16) è òî, ÷òî âûðàæåíèå l tT ( ) ÿâ-
ëÿåòñÿ TT
*-èçìåðèìîé âåëè÷èíîé, à ãàóññîâà äîáàâêà �T t( ) íå çàâèñèò îò
�-àëãåáðû TT
* , î÷åâèäíî ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé âàæíîé ôîðìóëå:
� � � �
�T
T
T h T x
T h x M T h( , ( ) | ) ( ) ( ( )) / |*
( ) ( )
� � � � �� � � �0 0
{ T } T �
� � � � �
� � �
�M u T h u u
u l T h x
T T h T
T
( ) ( ( )) ( , ( ))
( , ( )
� � � �{ }1 2 3
1 | ),
( ) | ,
( , ( ) | ) .
0
2 0
3 0
T
T
T
T
u x
u l x
� �
� � �
�
�
�
�
�
(18)
Çíàê ( )� îçíà÷àåò èíòåãðèðîâàíèå ïî ìåðå, ïîðîæäåííîé ãàóññîâñêèì ñëó÷àéíûì
ïðîöåññîì �T t( ) (î÷åâèäíî, ÷òî îíà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ìåðå îñíîâíîãî ãàóññîâñêîãî ïðî-
öåññà � ( )t , òàê êàê � �T Tt t l t( ) ( ) ( )� � , l tT ( ), t T T h �[ , ], ÿâëÿåòñÿ íåñëó÷àéíîé âåëè-
÷èíîé), à âåëè÷èíû u u1 2, , u3 — íåêîòîðûå ïàðàìåòðû, âìåñòî êîòîðûõ â ðåçóëüòàòå
èíòåãðèðîâàíèÿ ïîäñòàâëÿþòñÿ u l T h xT
T
1 0
� � �( , ( ) | ), u x T
2 0
� �( ) | ,
u l xT
T
3 0
� � �( , ( ) | ), ãäå x T( ) |�
0
— ÷àñòü òîé òðàåêòîðèè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà x t( ), êî-
òîðàÿ íàáëþäàëàñü íà îòðåçêå [ , ]0 T .
Òàêèì îáðàçîì, ñ ïîìîùüþ âòîðîãî ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà � ( )t ñ ó÷åòîì åãî
ñâîéñòâ è ðàñïðåäåëåíèé íàì óäàëîñü ïîñòðîèòü ýôôåêòèâíî íåêîòîðûé ôóíêöè-
îíàë � T t( , ), ãäå t T T h �[ , ], à — íåêîòîðàÿ ÿâíàÿ âåëè÷èíà, çàâèñÿùàÿ îò íà-
áëþäàåìûõ çíà÷åíèé ïðîöåññà x t( ) äî ìîìåíòà t T� , êîòîðûé âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïî-
ìîùüþ áåçóñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïî èçâåñòíîé ãàóññîâîé ìåðå. Â
÷àñòíîñòè, äëÿ ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìà âû÷èñëåíèÿ îïòèìàëüíîãî ïðîãíîçà ñëó-
÷àéíîãî ïðîöåññà x t( ) ïðè óñëîâèè, ÷òî îí íàáëþäàåòñÿ äî ìîìåíòà t T� , ò.å. èç-
âåñòíà åãî òðàåêòîðèÿ îò íóëÿ äî t T� , � �x T( ) |
0
. Ó÷èòûâàÿ âñå ïðåäûäóùèå
ðàññóæäåíèÿ, èç (12) îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì ôîðìóëó
~ ( )
( ( ) | )
( , ( ) | )x T h
x
T h x
T
T T
T� �
�
� �1
0
0
�
� ,
( )19
ãäå ôóíêöèîíàë �T
TT h x( , ( ) | )� �
0
âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (18), à
�T
Tx( ( ) | )�
0
— ïëîòíîñòü Ðàäîíà-Íèêîäèìà ìåðû �x
T îòíîñèòåëüíî ìåðû �
�
T .
Ïîíÿòíî, ÷òî åñëè ïëîòíîñòè �T ( )� è �T h� �( ) ñóùåñòâóþò, òî ôîðìóëà (19)
ýôôåêòèâíî ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü îïòèìàëüíûé ïðîãíîç ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà
x t( ) â òî÷êå t T h� � , è òàêèì îáðàçîì ïîñòàâëåííàÿ çäåñü çàäà÷à áóäåò ðåøåíà.
Ïîýòîìó ïðè íàëè÷èè ÿâíîãî âûðàæåíèÿ ïëîòíîñòè Ðàäîíà-Íèêîäèìà � a ( )� íà
îòðåçêå [ , ]0 a î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïòèìàëüíîãî ïðîãíîçà ñëó÷àéíîãî
ïðîöåññà x t( ) â òî÷êå t T h� � , h
0, ïðè óñëîâèè, ÷òî îí íàáëþäàåòñÿ äî
ìîìåíòà t T� , ìîæíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (19).
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1.  è í å ð Í . Íåëèíåéíûå çàäà÷è â òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Ìèð. — 1961.— 160 c.
2. W i e n e r N . Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series // W. Eng. Appl.
Cambridge. — New York, 1949. — 163 p.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 155
3. à è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Ââåäåíèå â òåîðèþ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Ì.:
Íàóêà. — 1965. — 548 c.
4. à è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Ò. 1. — Ì.: Íàóêà,
1971. — 661 c.
5. Ã è õ ì à í È . È . , Ñ ê î ð î õ î ä À . Â . Î ïëîòíîñòÿõ âåðîÿòíîñòíûõ ìåð â
ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ // ÓÌÍ. — 1966. — 21, âûï. 6. — Ñ. 83–152.
6. à ð è ã å ë è î í è ñ Á . È . , Ø è ð ÿ å â À . Í . Î çàäà÷å Ñòåôàíà è îïòèìàëüíûõ ïðàâèëàõ
îñòàíîâêè ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 1966. — 2,
âûï. 4. — Ñ. 612–631.
7. Ä à ë å ö ê è é Þ . Ë . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá îïòèìàëüíîì ïðîãíîçèðîâàíèè
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, íåëèíåéíî ñâÿçàííûõ ñ ãàóññîâñêèìè // Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. —
1975. — Âûï. 3. — Ñ. 30–33.
8. Ä à ë å ö ê è é Þ . Ë . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î õàðàêòåðèñòè÷åñêîì ôóíêöèîíàëå
óñëîâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ // Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — 1976. — Âûï. 4. — Ñ. 49–51.
9. Z a d e h L . Extension of Wiener’s theory of predictions // J. Appl. Phys. — 1950. — N 21. —
Ð. 645–655.
10. Ê î ë ì î ã î ð î â À . Í . Ñòàöèîíàðíûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå //
Áþë. ÌÃÓ. — 1941. — 2, âûï. 6. — Ñ. 1–40.
11. Ê î ë ì î ã î ð î â À . Í . Èíòåðïîëèðîâàíèå è ýêñòðàïîëèðîâàíèå ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ñåð. ìàòåìàòèêè. — 1941. — ¹ 5. — Ñ. 3–14.
12. Ë è ï ö å ð Ð . Ø . , Ø è ð ÿ å â À . Í . Ýêñòðàïîëÿöèè ìíîãîìåðíûõ ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ ïî
íåïîëíûì äàííûì // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 1968. — 8, âûï. 1. — Ñ. 17–38.
13. Ë è ï ö å ð Ð . Ø . , Ø è ð ÿ å â À . Í . Î ñëó÷àÿõ ýôôåêòèâíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ îïòèìàëüíîé
íåëèíåéíîé ôèëüòðàöèè, èíòåðïîëÿöèè è ýêñòðàïîëÿöèè // Òàì æå. — 1968. — 8, âûï. 3. —
Ñ. 57–571.
14. Ë è ï ö å ð Ð . Ø . , Ø è ð ÿ å â À . Í . Ñòàòèñòèêà ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Íàóêà, 1974.
15. Ì è õ à ë å â è ÷  . Ñ . Áàéåñîâñêèé âûáîð ìåæäó äâóìÿ ãèïîòåçàìè î ñðåäíåì çíà÷åíèè
íîðìàëüíîãî ïðîöåññà // Âåñò. Êèåâ. óí–òà. — 1958. — ¹ 1. — Ñ. 101–104.
16. Ì è õ à ë å â è ÷ Â . Ñ . Ïîñëåäîâàòåëüíûå àëãîðèòìû îïòèìèçàöèè è èõ ïðèìåíåíèå. I //
Êèáåðíåòèêà. — 1965. — ¹ 1. — Ñ. 45–56.
17. Ì è õ à ë å â è ÷ Â . Ñ . Ïîñëåäîâàòåëüíûå àëãîðèòìû îïòèìèçàöèè è èõ ïðèìåíåíèå. II //
Òàì æå. — 1965. — ¹ 2. — Ñ. 85–89.
18. Ð î ç à í î â Þ . À . Ñòàöèîíàðíûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. — Ì.: Ôèçìàòãèç, 1963.
19. Ñ ê î ð î õ î ä À .  . Îá îäíîì îáîáùåíèè ñòîõàñòè÷åñêèõ èíòåãðàëîâ // Òåîðèÿ
âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 1975. — 20, âûï. 2. — Ñ. 223–238.
20. Ñ ê î ð î õ î ä À . Â . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè ãàóññîâñêèõ
ìåð ïðè íåëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàò. ñòàòèñòèêà. — 1976. —
Âûï. 15. — Ñ. 139–151.
21. Ñ î õ à ä ç å Ã . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá ýêâèâàëåíòíîñòè ãàóññîâñêèõ ìåð ïðè
íåëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. — 1978. —
240, ¹ 4. — Ñ. 790–793.
22. Ñ î õ à ä ç å Ã . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Íåëèíåéíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ãàóññîâñêèõ ìåð â
ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå // Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — 1979. — Âûï. 7. — Ñ. 109–114.
23. Ñ ò ð à ò î í î â è ÷ Ð . Ë . Óñëîâíûå ïðîöåññû Ìàðêîâà // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå
ïðèìåíåíèÿ. — 1960. — 5, âûï. 2. — Ñ. 172–195.
24. Ñ ò ð à ò î í î â è ÷ Ð . Ë . Óñëîâíûå ìàðêîâñêèå ïðîöåññû è èõ ïðèìåíåíèå ê òåîðèè
îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. — Ì.: ÌÃÓ. — 1966.
25. Ô î ì è í à Ò . À . Îá ýêâèâàëåíòíîñòè äâóõ ãàóññîâûõ ìåð, ïîðîæäåííûõ ðåøåíèÿìè
ëèíåéíûõ ýâîëþöèîííûõ óðàâíåíèé â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå // Äîêë. ÍÀÍ Óêðàèíû. —
2004. — ¹ 2. — C. 37–42.
26. Ô î ì è í à Ò . À . Íåêîòîðûå ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ãàóññîâñêèõ
ìåð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå: Àâòîðåô. äèñ. êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê / Äîíåöê, 2005. — 156 c.
27. Ô î ì è í à Ò . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá ýêâèâàëåíòíîñòè ìåð ïðè íåêîòîðûõ
ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ýâîëþöèîííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ â
åâêëèäîâîì è ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâàõ // Ïðèêëàäíà ñòàòèñòèêà. Àêòóàðíà òà ôiíàíñîâà
ìàòåìàòèêà. — 2000. — ¹ 2. — Ñ. 105–119.
156 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
28. Ô î ì è í à Ò . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î ìåðàõ, ïîðîæäåííûõ óðàâíåíèÿìè ñî
ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè // Òàì æå. — 2002. — ¹ 2. — Ñ. 61–80.
29. Ô î ì è í à Ò . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá ýêâèâàëåíòíîñòè äâóõ ãàóññîâñêèõ ìåð â
åâêëèäîâîì è ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâàõ. Ñëó÷àéíûå îïåðàòîðû è ñòîõàñòè÷åñêèå
óðàâíåíèÿ // Utrecht, the Netherlands. — Tokyo, Japan. — 2003. — 11, N 4. — Ð. 351–371.
30. Ô î ì è í à Ò . À . , Ñ î õ à ä ç å à . À . , Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Íåêîòîðûå äîñòàòî÷íûå
óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíîñòè ìåð, èíäóöèðóåìûõ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè
êîýôôèöèåíòàìè // Ibid. — 2003. — 12, ¹ 3. — P. 267–275.
31. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá îäíîì êëàññå àáñîëþòíî íåïðåðûâíûõ íåëèíåéíûõ
ïðåîáðàçîâàíèé ãàóññîâñêèõ ìåð // Òðóäû ÂÖ ÀÍ ÃÑÑÐ. — 1965. —5, ¹ 1. — C. 69–105.
32. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î ïëîòíîñòÿõ ìåð, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåøåíèÿì ñòîõàñòè÷åñêèõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, íàõîäÿùèõñÿ ïîä âîçäåéñòâèåì ãàóññîâñêèõ ïðîöåññîâ // Òàì
æå. — 1966. — 7, ¹ 1. — Ñ. 43–58.
33. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îá îïòèìàëüíîì ïðîãíîçèðîâàíèè äëÿ íåêîòîðîãî êëàññà ñëó÷àéíûõ
ïðîöåññîâ // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàò. ñòàòèñòèêà. — 1970. — Âûï. 1. — C. 222–239.
34. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î ìíîãîìåðíîì îïòèìàëüíîì ïðîãíîçèðîâàíèè è ôèëüòðàöèè
îäíîãî êëàññà ìíîãîìåðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ // Ìàò. ôèçèêà. — 1970. — ¹ 7. —
C. 178–185.
35. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îïòèìàëüíàÿ ýêñòðàïîëÿöèÿ è ôèëüòðàöèÿ äëÿ îäíîãî êëàññà
ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. I // Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàò. ñòàòèñòèêà. — 1970. — Âûï. 2. —
Ñ. 235–253.
36. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Îïòèìàëüíàÿ ýêñòðàïîëÿöèÿ è ôèëüòðàöèÿ äëÿ îäíîãî êëàññà
ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. II // Òàì æå. — 1970. — Âûï. 3. — Ñ. 211–231.
37. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Ïðîãíîç è ôèëüòðàöèÿ ôóíêöèîíàëîâ îò ðåøåíèé íåëèíåéíûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè ôóíêöèÿìè // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. — 1970. — 194, ¹ 1.
— Ñ. 35–37.
38. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î ïëîòíîñòÿõ ìåð, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåøåíèÿì íåêîòîðûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñî ñëó÷àéíûìè êîýôôèöèåíòàìè // Òàì æå. — 1970. — 194, ¹
2. — Ñ. 275–277.
39. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î ïðåîáðàçîâàíèè ìåð â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñ ïîìîùüþ
ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. — 1973. — Âûï. 2.
— Ñ. 113–120.
40. Ø à ò à ø â è ë è À . Ä . Î ïðåîáðàçîâàíèÿõ ãàóññîâñêîé ìåðû â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå,
ïîðîæäåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè // Òàì æå. — Ñ. 120–128.
41. Ø è ð ÿ å â À . Í . Îá îïòèìàëüíûõ ìåòîäàõ â çàäà÷àõ ñêîðåéøåãî îáíàðóæåíèÿ // Òåîðèÿ
âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 1963. — 7, âûï. 1. — Ñ. 26–51.
42. Ø è ð ÿ å â À . Í . Î ìàðêîâñêèõ äîñòàòî÷íûõ ñòàòèñòèêàõ â íåàääèòèâíûõ áàéåñîâñêèõ
çàäà÷àõ ïîñëåäîâàòåëüíîãî àíàëèçà // Òàì æå. — 1965. — 9, âûï. 2. — Ñ. 670– 686.
43. Ø è ð ÿ å â À . Í . Ïîñëåäîâàòåëüíûé àíàëèç è óïðàâëÿåìûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû //
Êèáåðíåòèêà. — 1965. — ¹ 3. — Ñ. 1–24.
44. Ø è ð ÿ å â À . Í . Î ñòîõàñòè÷åñêèõ óðàâíåíèÿõ â òåîðèè óñëîâíûõ ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ //
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 1966. — ¹ 11. — Ñ. 200–206.
45. ß ã ë î ì À . Ì . Ââåäåíèå â òåîðèþ ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé // ÓÌÍ. — 1952. —
¹ 5. — Ñ. 3–168.
46. ß ã ë î ì À . Ì . Ýêñòðàïîëèðîâàíèå, èíòåðïîëèðîâàíèå è ôèëüòðàöèÿ ñòàöèîíàðíûõ
ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ñ ðàöèîíàëüíîé ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ // Òðóäû Ìîñêîâ. ìàò.
îáùåñòâà. — 1955. — ¹ 4. — Ñ. 237–278.
47. ß ã ë î ì À . Ì . Ýôôåêòèâíûå ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ àïïðîêñèìàöèîííûõ çàäà÷ äëÿ
ìíîãîìåðíûõ ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ñ äèñêðåòíûì ñïåêòðîì // Òåîðèÿ
âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 1960. — 5, ¹ 3. — Ñ. 265–292.
48. ß ã ë î ì À . Ì . Ïðèìåðû îïòèìàëüíîãî íåëèíåéíîãî ýêñòðàïîëèðîâàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ
ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ // Òåç. äîêë. íà VI Âñåñîþç. ñîâåùàíèè ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòè è ìàò.
ñòàòèñòèêå. — Âèëüíþc, 1960.
Ïîñòóïèëà 25.05.2007
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 157
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72215 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:56:40Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Фомин-Шаташвили, А.А. Шаташвили, А.Д. 2014-12-19T22:16:40Z 2014-12-19T22:16:40Z 2008 Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. I / А.А. Фомин-Шаташвили, А.Д. Шаташвили // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 3. — С. 149-157. — Бібліогр.: 48 назв. — рос. https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72215 519.21 Розглянуто задачу оптимальної екстраполяції випадкового процесу зі значеннями в деякому сепарабельному гільбертовому просторі. Для випадкових процесів із обмеженими моментами другого порядку виведено формули для ефективного обчислення оптимальних відносно мінімуму середньоквадратичного відхилення оцінок у задачах екстраполяції (прогнозу) випадкових процесів.З використанням загального алгоритму для обчислення оптимального прогнозу випадкового процесу, у явному вигляді знайдено оптимальну оцінку екстраполяції для розв'язку нелінійного еволюційного диференціального рівняння в гільбертовому просторі H з необмеженими лінійними операторами. Якщо диференціальне рівняння містить малу нелінійність, ця оцінка розкладається за ступенями малого параметра. ru Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України Кибернетика и системный анализ Системный анализ Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. I Article published earlier |
| spellingShingle | Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. I Фомин-Шаташвили, А.А. Шаташвили, А.Д. Системный анализ |
| title | Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. I |
| title_full | Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. I |
| title_fullStr | Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. I |
| title_full_unstemmed | Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. I |
| title_short | Об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. I |
| title_sort | об одном методе эффективного вычисления оптимальных оценок в задачах экстраполяции решений нелинейных эволюционных дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве. i |
| topic | Системный анализ |
| topic_facet | Системный анализ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72215 |
| work_keys_str_mv | AT fominšatašviliaa obodnommetodeéffektivnogovyčisleniâoptimalʹnyhocenokvzadačahékstrapolâciirešeniinelineinyhévolûcionnyhdifferencialʹnyhuravneniivgilʹbertovomprostranstvei AT šatašviliad obodnommetodeéffektivnogovyčisleniâoptimalʹnyhocenokvzadačahékstrapolâciirešeniinelineinyhévolûcionnyhdifferencialʹnyhuravneniivgilʹbertovomprostranstvei |