Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу
Исследуется структура множества непрерывно дифференцируемых при t принадлежит R+ = [0;+∞) решений одной предельной задачи для систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нелинейного типа с нелинейными отклонениями аргумента, зависящих от неизвестной функции. We study the structure of...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7250 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу / Г.П. Пелюх, А.В. Вельгач // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 277-289. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859778135148462080 |
|---|---|
| author | Пелюх, Г.П. Вельгач, А.В. |
| author_facet | Пелюх, Г.П. Вельгач, А.В. |
| citation_txt | Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу / Г.П. Пелюх, А.В. Вельгач // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 277-289. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | Исследуется структура множества непрерывно дифференцируемых при t принадлежит R+ = [0;+∞) решений одной предельной задачи для систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нелинейного типа с нелинейными отклонениями аргумента, зависящих от неизвестной функции.
We study the structure of the set of solutions, which are continuously differentiable for t belongs R+ = [0;+∞), of a boundary-value problem for systems of nonlinear differential-functional equations of neutral type with nonlinear argument deviations depending on the unknown function.
|
| first_indexed | 2025-12-02T09:19:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 929
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ
РОЗВ’ЯЗКIВ ОДНIЄЇ ГРАНИЧНОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМИ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПУ
Г. П. Пелюх, А. В. Вельгач
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
We study the structure of the set of solutions, which are continuously differentiable for t ∈ R+ =
= [0;+∞), of a boundary-value problem for systems of nonlinear differential-functional equations of
neutral type with nonlinear argument deviations depending on the unknown function.
Исследуется структура множества непрерывно дифференцируемых при t ∈ R+ = [0;+∞)
решений одной предельной задачи для систем нелинейных дифференциально-функциональных
уравнений нейтрального типа с нелинейными отклонениями аргумента, зависящих от неиз-
вестной функции.
Системи нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь вигляду
x′(t + 1) = x′(t) + F (t, x(t), x(f(t, x(t))), x′(g(t, x(t)))), (1)
де t ∈ R+ = [0;+∞), F : R+ ×Rn×Rn×Rn → Rn, f : R+ ×Rn → R+, g : R+ ×Rn → R+,
були об’єктом дослiдження багатьох математикiв (див. [1 – 3] i наведену в них бiблiогра-
фiю). При цьому, як правило, вивчалися задачi, якi характернi для звичайних диференцi-
альних рiвнянь: iснування i єдинiсть розв’язкiв задачi Кошi, основної початкової задачi,
рiзного роду крайових задач. Але при дослiдженнi таких рiвнянь дуже часто виникає не-
обхiднiсть в дослiдженнi задач, якi враховують їх специфiку. Одна iз таких задач полягає
в описi структури множини неперервно диференцiйовних при t ∈ R+ розв’язкiв систем
рiвнянь вигляду (1), якi задовольняють умову
lim
t→+∞
[x(t + 1)− x(t)] = 0. (2)
У випадку, коли f(t, x) = f(t), g(t, x) = g(t), граничну задачу (1), (2) було вперше дослi-
джено в [4, 5], а при f(t, x) = f(t, x), g(t, x) = g(t) — в [6]. Продовжуючи цi дослiдження,
в данiй роботi вивчаємо структуру множини неперервно диференцiйовних i обмежених
при t ∈ [0;+∞) (разом iз першою похiдною) розв’язкiв граничної задачi (1), (2) у ви-
падку, коли обидвi функцiї f(t, x), g(t, x) залежать вiд невiдомої вектор-функцiї x(t) . При
цьому припускаємо, що вектор-функцiя F (t, x, y, z) i функцiї f(t, x), g(t, x) задовольняють
такi умови:
1) вектор-функцiя F (t, x, y, z) неперервна при t ∈ R+, x, y, z ∈ Rn, F (t, 0, 0, 0) ≡ 0, i
задовольняє спiввiдношення
|F (t, x′, y′, z′)− F (s, x′′, y′′, z′′)| ≤ η1(t, s)|t− s|+ η2(t, s)(|x′ − x′′|+ |y′ − y′′|+ |z′ − z′′|),
c© Г. П. Пелюх, А. В. Вельгач, 2007
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2 277
278 Г. П. ПЕЛЮХ, А. В. ВЕЛЬГАЧ
де η1(t, s), η2(t, s) — деякi неперервнi i невiд’ємнi при t, s ∈ R+ функцiї, x′, x′′, y′, y′′, z′, z′′ ∈
∈ Rn;
2) функцiї f(t, x), g(t, x) є невiд’ємними, неперервними при t ∈ R+, x ∈ Rn i такими,
що виконуються нерiвностi
|f(t, x′)− f(s, x′′)| ≤ l′(|t− s|+ |x′ − x′′|),
|g(t, x′)− g(s, x′′)| ≤ l′′(|t− s|+ |x′ − x′′|),
де l′, l′′ — деякi додатнi сталi, t, s ∈ R+, x′, x′′ ∈ Rn;
3) ряди
H1(t, s) =
∞∑
i=1
η1(t + i, s + i), H2(t, s) =
∞∑
i=1
η2(t + i, s + i),
H3(t) =
∞∑
i=1
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)dτ
рiвномiрно збiгаються при всiх t, s ∈ R+ i 3H1(t, s) ≤ θ1 < 1, 3H2(t, s) ≤ θ2 < 1, 3H3(t) ≤
≤ θ3 < 1.
Має мiсце наступна теорема.
Теорема 1. Якщо виконуються умови 1 – 3, то для довiльного неперервно диференцi-
йовного i обмеженого при t ∈ R+ (разом з першою похiдною) розв’язку x(t) задачi (1),
(2), похiдна якого задовольняє умову Лiпшиця
|x′(t)− x′(s)| ≤ l|t− s|, (3)
де l — додатна стала, t, s ∈ R+, iснує неперервно диференцiйовна при t ∈ R+, 1-перiо-
дична функцiя ω(t), перша похiдна якої задовольняє умову Лiпшиця, така, що при t → ∞
виконується спiввiдношення
x(t) = ω(t) + o(1). (4)
Доведення. Нехай γ(t) — довiльний неперервно диференцiйовний i обмежений при t ∈
∈ R+ (разом з першою похiдною) розв’язок задачi (1), (2), перша похiдна якого задоволь-
няє умову Лiпшиця (3) . Тодi на пiдставi умов 1 – 3 маємо тотожнiсть
γ(t) = ω(t) +
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + i, γ(τ + i), γ(f(τ + i, γ(τ + i))), γ′(g(τ + i, γ(τ + i))))dτ,
де
ω(t) = γ(t)−
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + i, γ(τ + i), γ(f(τ + i, γ(τ + i))), γ′(g(τ + i, γ(τ + i))))dτ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 279
Звiдси безпосередньо випливає, що спiввiдношення (4) виконується. Крiм цього, вектор-
функцiя ω(t) є, очевидно, неперервно диференцiйовною при всiх t ∈ R+. Покажемо, що
вона є перiодичною. Дiйсно, оскiльки згiдно з (2) маємо
γ(t + 1) = γ(t)−
∞∫
t
F (τ, γ(τ), γ(f(τ, γ(τ))), γ′(g(τ, γ(τ))))dτ,
то
ω(t + 1) = γ(t + 1)−
−
∞∑
i=0
∞∫
t+1
F (τ + i, γ(τ + i), γ(f(τ + i, γ(τ + i))), γ′(g(τ + i, γ(τ + i))))dτ =
= γ(t)−
∞∫
t
F (τ, γ(τ), γ(f(τ, γ(τ))), γ′(g(τ, γ(τ))))dτ−
−
∞∑
i=1
∞∫
t
F (τ + i, γ(τ + i), γ(f(τ + i, γ(τ + i))), γ′(g(τ + i, γ(τ + i))))dτ =
= γ(t)−
−
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + i, γ(τ + i), γ(f(τ + i, γ(τ + i))), γ′(g(τ + i, γ(τ + i))))dτ =
= ω(t),
тобто функцiя
ω(t) = γ(t)−
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + i, γ(τ + i), γ(f(τ + i, γ(τ + i))), γ′(g(τ + i, γ(τ + i))))dτ
є 1-перiодичною.
Таким чином, залишається показати, що якщо похiдна неперервно диференцiйовного
i обмеженого розв’язку γ(t) задачi (1), (2) задовольняє умову Лiпшиця (3), то i похiдна
функцiї ω(t) також задовольняє умову Лiпшиця. Дiйсно, оскiльки
ω′(t) = γ′(t)−
∞∑
i=0
F (t + i, γ(t + i), γ(f(t + i, γ(t + i))), γ′(g(t + i, γ(t + i))))
i
|γ′(t)− γ′(s)| ≤ l|t− s|,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
280 Г. П. ПЕЛЮХ, А. В. ВЕЛЬГАЧ
то одержуємо
|ω′(t)− ω′(s)| ≤ |γ′(t)− γ′(s)|+
+
∞∑
i=0
∣∣F (t + i, γ(t + i), γ(f(t + i, γ(t + i))), γ′(g(t + i, γ(t + i))))−
− F (s + i, γ(s + i), γ(f(s + i, γ(s + i))), γ′(g(s + i, γ(s + i))))
∣∣ ≤
≤ l|t− s|+
∞∑
i=0
(
η1(t + i, s + i)|t− s|+ η2(t + i, s + i)×
×
(
|γ(t + i)− γ(s + i)|+ |γ(f(t + i, γ(t + i)))− γ(f(s + i, γ(s + i)))|+
+ |γ′(g(t + i, γ(t + i)))− γ′(g(s + i, γ(s + i)))|
))
≤
≤ l|t− s|+
∞∑
i=0
(
η1(t + i, s + i)|t− s|+ η2(t + i, s + i)×
×
(
M |t− s|+ M |f(t + i, γ(t + i))− f(s + i, γ(s + i))|+
+ l|g(t + i, γ(t + i)))− (g(s + i, γ(s + i))|
))
≤
≤ l|t− s|+
∞∑
i=0
(
η1(t + i, s + i)|t− s|+ η2(t + i, s + i)×
×
(
M |t− s|+ Ml′(|t− s|+ M |t− s|) + ll′′(|t− s|+ M |t− s|)
))
≤
≤
(
l + H1(t, s) + H2(t, s)
(
M + Ml′(1 + M) + ll′′(1 + M)
))
|t− s| ≤
≤ l̃|t− s|,
де l̃ = l + θ1 + θ2
(
M + Ml′(1 + M) + ll′′(1 + M)
)
, M = sup
t∈R+
|γ′(t)|.
Таким чином, ω′(t) задовольняє умову Лiпшиця.
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай виконуються умови 1 – 3. Тодi при достатньо малих l′, l′′ зада-
ча (1), (2) має єдиний неперервно диференцiйовний i обмежений при t ∈ R+ (разом з
першою похiдною) розв’язок, перша похiдна якого задовольняє умову Лiпшиця, такий,
що при t → +∞ виконується умова (4), де ω(t) — деяка неперервно диференцiйовна,
1-перiодична функцiя, перша похiдна якої задовольняє умову Лiпшиця
|ω′(t)− ω′(s)| ≤ p|t− s|, (5)
де p = const.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 281
Доведення. Нехай x(t) — довiльний неперервно диференцiйовний i обмежений при
t ∈ R+ (разом з першою похiдною) розв’язок задачi (1), (2), (4), перша похiдна якого
задовольняє умову Лiпшиця. Тодi неважко показати, що вiн задовольняє систему рiвнянь
x(t) = ω(t) +
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + i, x(τ + i), x(f(τ + i, x(τ + i))), x′(g(τ + i, x(τ + i))))dτ. (6)
Справедливим є i обернене твердження: якщо x(t) — неперервно диференцiйовний i обме-
жений при t ∈ R+ (разом з першою похiдною) розв’язок системи рiвнянь (6), перша
похiдна якого задовольняє умову Лiпшиця, то вiн є розв’язком системи рiвнянь (1) i за-
довольняє умови (2), (4). Отже, для доведення теореми достатньо показати, що система
рiвнянь (6) має єдиний неперервно диференцiйовний i обмежений при t ∈ R+ (разом з
першою похiдною) розв’язок, похiдна якого задовольняє умову Лiпшиця.
За допомогою спiввiдношень
x0(t) = ω(t), x′0(t) = ω′(t),
xm+1(t) = ω(t) +
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + i, xm(τ + i), xm(f(τ + i, xm(τ + i))), x′m(g(τ + i, xm(τ + i))))dτ,
(7)
x′m+1(t) = ω′(t)−
∞∑
i=0
F (t + i, xm(t + i), xm(f(t + i, xm(t + i))), x′m(g(t + i, xm(t + i)))),
m = 0, 1, 2, . . . ,
визначимо послiдовностi вектор-функцiй xm(t), m = 0, 1, 2, . . ., i їх похiдних i покажемо,
що вони рiвномiрно збiгаються до деякого неперервно диференцiйовного i обмеженого
при t ∈ R+ (разом з першою похiдною) розв’язку системи рiвнянь (6).
Використовуючи умови 1 – 3, за iндукцiєю покажемо, що вектор-функцiї xm(t) непе-
рервно диференцiйовнi при t ∈ R+ i для всiх m ≥ 0 виконуються нерiвностi
|xm(t)| ≤ M
1− θ
, |x′m(t)| ≤ M
1− θ
, (8)
де M = max
{
sup
t∈R+
|ω(t)|, sup
t∈R+
|ω′(t)|
}
, θ = max{θ1, θ2, θ3}.
Справедливiсть оцiнок (8) при m = 0 є очевидною. Припустимо, що оцiнки (8) спра-
ведливi для деякого m, i покажемо, що вони зберiгаються при переходi вiд m до m + 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
282 Г. П. ПЕЛЮХ, А. В. ВЕЛЬГАЧ
Дiйсно, на пiдставi умов теореми, (7) i (8) одержуємо
|xm+1(t)| ≤ |ω(t)|+
+
∞∑
i=0
∣∣∣ ∞∫
t
F (τ + i, xm(τ + i), xm(f(τ + i, xm(τ + i))), x′m(g(τ + i, xm(τ + i))))dτ
∣∣∣ ≤
≤ |ω(t)|+
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)(|xm(τ + i)|+ |xm(f(τ + i, xm(τ + i)))|+
+ |x′m(g(τ + i, xm(τ + i)))|)dτ ≤
≤ M + 3
M
1− θ
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)dτ ≤ M + 3H3(t)
M
1− θ
≤
≤ M + θ
M
1− θ
≤ M
1− θ
,
|x′m+1(t)| ≤ |ω′(t)|+
+
∞∑
i=0
|F (t + i, xm(t + i), xm(f(t + i, xm(t + i))), x′m(g(t + i, xm(t + i))))| ≤
≤ M +
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)
(
|xm(t + i)|+ |xm(f(t + i, xm(t + i)))|+
+ |x′m(g(t + i, xm(t + i)))|
)
≤
≤ M + 3
M
1− θ
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)dτ ≤ M + 3H2(t, t)
M
1− θ
≤
≤ M + θ
M
1− θ
≤ M
1− θ
.
Отже, нерiвностi (8) виконуються для довiльного m ≥ 0.
З огляду на (5) i умови теореми покажемо тепер, що для всiх m ≥ 0, t, s ∈ R+ викону-
ється умова
|x′m(t)− x′m(s)| ≤ l|t− s|, (9)
де
l =
p + θ
3 + θ
3
(
M
1−θ + M
1−θ l′
(
1 + M
1−θ
))
1− θl′′
3
(
1 + M
1−θ
) .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 283
На пiдставi (7), (8) i умов теореми при m = 1 маємо
|x′1(t)− x′1(s)| ≤ |ω′(t)− ω′(s)|+
+
∞∑
i=0
∣∣∣F (t + i, x0(t + i), x0(f(t + i, x0(t + i))), x′0(g(t + i, x0(t + i))))−
− F (s + i, x0(s + i), x0(f(s + i, x0(s + i))), x′0(g(s + i, x0(s + i))))
∣∣∣ ≤
≤ |ω′(t)− ω′(s)|+
∞∑
i=0
η1(t + i, s + i)|t− s|+
∞∑
i=0
η2(t + i, s + i)×
×
(
|ω(t + i)− ω(s + i)|+ |ω(f(t + i, ω(t + i)))− ω(f(s + i, ω(s + i)))|+
+ |ω′(g(t + i, ω(t + i)))− ω′(g(s + i, ω(s + i)))|
)
≤
≤ p|t− s|+
∞∑
i=0
η1(t + i, s + i)|t− s|+
∞∑
i=0
η2(t + i, s + i)×
×
(
M |t− s|+ M |f(t + i, ω(t + i))− f(s + i, ω(s + i))|+
+ p|g(t + i, ω(t + i))− g(s + i, ω(s + i))|
)
≤
≤ p|t− s|+
∞∑
i=0
η1(t + i, s + i)|t− s|+
∞∑
i=0
η2(t + i, s + i)×
×
(
M |t− s|+ Ml′(|t− s|+ M |t− s|) + pl′′(|t− s|+ M |t− s|)
)
≤
≤ |t− s|
(
p + H1(t, s) + H2(t, s)(M + Ml′(1 + M) + pl′′(1 + M))
)
≤
≤ l|t− s|,
тобто оцiнка (9) виконується при m = 1. Припустимо, що умову (9) доведено для деякого
m, i покажемо, що вона зберiгається при переходi вiд m до m + 1. Дiйсно, з огляду на
спiввiдношення (7), (8) i умови 1 – 3 отримуємо
|x′m+1(t)− x′m+1(s)| ≤ |ω′(t)− ω′(s)|+
+
∞∑
i=0
∣∣∣F (t + i, xm(t + i), xm(f(t + i, xm(t + i))), x′m(g(t + i, xm(t + i))))−
− F (s + i, xm(s + i), xm(f(s + i, xm(s + i))), x′m(g(s + i, xm(s + i))))
∣∣∣ ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
284 Г. П. ПЕЛЮХ, А. В. ВЕЛЬГАЧ
≤ |ω′(t)− ω′(s)|+
∞∑
i=0
η1(t + i, s + i)|t− s|+
∞∑
i=0
η2(t + i, s + i)×
×
(
|xm(t + i)− xm(s + i)|+ |xm(f(t + i, xm(t + i)))− xm(f(s + i, xm(s + i)))|+
+ |x′m(g(t + i, xm(t + i)))− x′m(g(s + i, xm(s + i)))|
)
≤
≤ p|t− s|+
∞∑
i=0
η1(t + i, s + i)|t− s|+
∞∑
i=0
η2(t + i, s + i)×
×
(
M
1− θ
|t− s|+ M
1− θ
|f(t + i, xm(t + i))− f(s + i, xm(s + i))|+
+ l|g(t + i, xm(t + i))− g(s + i, xm(s + i))|
)
≤
≤ p|t− s|+
∞∑
i=0
η1(t + i, s + i)|t− s|+
∞∑
i=0
η2(t + i, s + i)
(
M
1− θ
|t− s|+
+
M
1− θ
l′(|t− s|+ M
1− θ
|t− s|) + ll′′(|t− s|+ M
1− θ
|t− s|)
)
≤
≤ |t− s|
(
p + H1(t, s) + H2(t, s)
(
M
1− θ
+
(
M
1− θ
l′ + ll′′
)(
1 +
M
1− θ
)))
≤
≤ |t− s|
(
p +
θ1
3
+
θ2
3
(
M
1− θ
+
(
M
1− θ
l′ + ll′′
)(
1 +
M
1− θ
)))
≤ l|t− s|.
Таким чином, умова Лiпшиця (9) має мiсце при t, s ∈ R+ i всiх m ≥ 1.
Тепер покажемо, що при всiх m ≥ 1, t ∈ R+ мають мiсце оцiнки
|xm(t)− xm−1(t)| ≤ Mθ̃m, |x′m(t)− x′m−1(t)| ≤ Mθ̃m, (10)
де θ̃ = θ
(
1 +
Ml′
3(1− θ)
+
ll′′
3
)
.
Дiйсно, при m = 1 маємо
|x1(t)− x0(t)| ≤
≤
∞∑
i=0
∣∣∣∣
∞∫
t
F (τ + i, x0(τ + i), x0(f(τ + i, x0(τ + i))), x′0(g(τ + i, x0(τ + i))))dτ
∣∣∣∣ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)(|ω(τ + i)|+ |ω(f(τ + i, ω(τ + i)))|+ |ω′(g(τ + i, ω(τ + i)))|)dτ ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 285
≤ 3M
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)dτ ≤ 3MH3(t) ≤ Mθ,
|x′1(t)− x′0(t)| ≤
∞∑
i=0
|F (t + i, x0(t + i), x0(f(t + i, x0(t + i))), x′0(g(t + i, x0(t + i))))| ≤
≤
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)(|ω(t + i)|+ |ω(f(t + i, ω(t + i)))|+ |ω′(g(t + i, ω(t + i)))|) ≤
≤ 3M
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i) ≤ 3MH2(t, t) ≤ Mθ.
Припустимо, що оцiнки (10) доведено для деякого m ≥ 1, i покажемо, що вони викону-
ються при m + 1. Дiйсно, на пiдставi (7) – (9) i умов 1 – 3 отримуємо
|xm+1(t)− xm(t)| ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
∣∣∣F (τ + i, xm(τ + i), xm(f(τ + i, xm(τ + i))), x′m(g(τ + i, xm(τ + i))))−
− F (τ + i, xm−1(τ + i), xm−1(f(τ + i, xm−1(τ + i))), x′m−1(g(τ + i, xm−1(τ + i)))
∣∣∣dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)
(
|xm(τ + i)− xm−1(τ + i)|+
+ |xm(f(τ + i, xm(τ + i)))− xm−1(f(τ + i, xm−1(τ + i)))|+
+ |x′m(g(τ + i, xm(τ + i)))− x′m−1(g(τ + i, xm−1(τ + i)))|
)
dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)
(
|xm(τ + i)− xm−1(τ + i)|+
+ |xm(f(τ + i, xm(τ + i)))− xm(f(τ + i, xm−1(τ + i)))|+
+ |xm(f(τ + i, xm−1(τ + i)))− xm−1(f(τ + i, xm−1(τ + i)))|+
+ |x′m(g(τ + i, xm(τ + i)))− x′m(g(τ + i, xm−1(τ + i)))|+
+ |x′m(g(τ + i, xm−1(τ + i)))− x′m−1(g(τ + i, xm−1(τ + i)))|
)
dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)
(
Mθ̃m +
M
1− θ
|f(τ + i, xm(τ + i))− f(τ + i, xm−1(τ + i))|+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
286 Г. П. ПЕЛЮХ, А. В. ВЕЛЬГАЧ
+ Mθ̃m + l|g(τ + i, xm(τ + i))− g(τ + i, xm−1(τ + i))|+ Mθ̃m
)
dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)
(
3Mθ̃m +
M
1− θ
l′Mθ̃m + ll′′Mθ̃m
)
dτ ≤
≤ 3H3(t)Mθ̃m
(
1 +
M
3(1− θ)
l′ +
ll′′
3
)
≤
≤ θ3Mθ̃m
(
1 +
M
3(1− θ)
l′ +
ll′′
3
)
≤ Mθ̃m+1,
|x′m+1(t)− x′m(t)| ≤
≤
∞∑
i=0
∣∣∣F (t + i, xm(t + i), xm(f(t + i, xm(t + i))), x′m(g(t + i, xm(t + i))))−
− F (t + i, xm−1(t + i), xm−1(f(t + i, xm−1(t + i))), x′m−1(g(t + i, xm−1(t + i)))
∣∣∣ ≤
≤
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)
(
|xm(t + i)− xm−1(t + i)|+
+ |xm(f(t + i, xm(t + i)))− xm−1(f(t + i, xm−1(t + i)))|+
+ |x′m(g(t + i, xm(t + i)))− x′m−1(g(t + i, xm−1(t + i)))|
)
≤
≤
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)
(
|xm(t + i)− xm−1(t + i)|+
+ |xm(f(t + i, xm(t + i)))− xm(f(t + i, xm−1(t + i)))|+
+ |xm(f(t + i, xm−1(t + i)))− xm−1(f(t + i, xm−1(t + i)))|+
+ |x′m(g(t + i, xm(t + i)))− x′m(g(t + i, xm−1(t + i)))|+
+ |x′m(g(t + i, xm−1(t + i)))− x′m−1(g(t + i, xm−1(t + i)))|
)
≤
≤
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)
(
Mθ̃m +
M
1− θ
|f(t + i, xm(t + i))− f(t + i, xm−1(t + i))|+
+ Mθ̃m + l|g(t + i, xm(t + i))− g(t + i, xm−1(t + i))|+ Mθ̃m
)
≤
≤
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)
(
3Mθ̃m +
M
1− θ
l′Mθ̃m + ll′′Mθ̃m
)
≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 287
≤ 3H2(t, t)Mθ̃m
(
1 +
M
3(1− θ)
l′ +
ll′′
3
)
≤ θ2Mθ̃m
(
1 +
M
3(1− θ)
l′ +
ll′′
3
)
≤ Mθ̃m+1.
Таким чином, оцiнки (10) виконуються при t ∈ R+ i всiх m ≥ 1. Оскiльки при достатньо
малих l′, l′′ виконується нерiвнiсть
θ̃ = θ
(
1 +
Ml′
3(1− θ)
+
ll′′
3
)
< 1,
то iз (10) безпосередньо випливає, що послiдовностi вектор-функцiй {xm(t)}, m = 0, 1, 2 . . . ,
i їх похiдних рiвномiрно збiгаються при t ∈ R+. Бiльш того, вектор-функцiя x(t) =
= lim
m→∞
xm(t) є неперервно диференцiйовним розв’язком системи рiвнянь (6), мають мi-
сце нерiвностi
|x(t)| <
M
1− θ
, |x′(t)| <
M
1− θ
,
i x′(t) задовольняє умову Лiпшиця
|x′(t)− x′(s)| ≤ l|t− s|
(в цьому легко переконатися, якщо в (8) – (10) перейти до границi при m → ∞).
Покажемо тепер, що система рiвнянь (6) не має iнших неперервно диференцiйовних
i обмежених при t ∈ R+ (разом з першою похiдною) розв’язкiв, перша похiдна яких за-
довольняє умову Лiпшиця. Дiйсно, нехай система (6) має ще один неперервно диференцi-
йовний i обмежений при t ∈ R+ (разом з першою похiдною) розв’язок y(t), перша похiдна
якого задовольняє умову Лiпшиця
|y′(t)− y′(s)| ≤ l|t− s|, t, s ∈ R+.
Тодi на пiдставi умов теореми i (6) отримуємо
|x(t)− y(t)| ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
∣∣∣F (τ + i, x(τ + i), x(f(τ + i, x(τ + i))), x′(g(τ + i, x(τ + i))))−
− F (τ + i, y(τ + i), y(f(τ + i, y(τ + i))), y′(g(τ + i, y(τ + i)))
∣∣∣dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)
(
|x(τ + i)− y(τ + i)|+ |x(f(τ + i, x(τ + i)))−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
288 Г. П. ПЕЛЮХ, А. В. ВЕЛЬГАЧ
− y(f(τ + i, y(τ + i)))|+ |x′(g(τ + i, x(τ + i)))− y′(g(τ + i, y(τ + i)))|
)
dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)
(
|x(τ + i)− y(τ + i)|+ |x(f(τ + i, x(τ + i)))−
− x(f(τ + i, y(τ + i)))|+ |x(f(τ + i, y(τ + i)))− y(f(τ + i, y(τ + i)))|+
+ |x′(g(τ + i, x(τ + i)))− x′(g(τ + i, y(τ + i)))|+
+ |x′(g(τ + i, y(τ + i)))− y′(g(τ + i, y(τ + i)))|
)
dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)
(
|x(τ + i)− y(τ + i)|+ M
1− θ
l′|x(τ + i)− y(τ + i)|+
+ |x(f(τ + i, y(τ + i)))− y(f(τ + i, y(τ + i)))|+ ll′′|x(τ + i)− y(τ + i)|+
+ |x′(g(τ + i, y(τ + i)))− y′(g(τ + i, y(τ + i)))|
)
dτ ≤
≤ ||x(t)− y(t)||
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)
(
3 +
M
1− θ
l′ + ll′′
)
dτ ≤
≤ ||x(t)− y(t)||θ3
(
1 +
M
3(1− θ)
l′ +
ll′′
3
)
≤ θ̃||x(t)− y(t)||,
|x′(t)− y′(t)| ≤
∞∑
i=0
∣∣∣F (t + i, x(t + i), x(f(t + i, x(t + i))), x′(g(t + i, x(t + i))))−
− F (t + i, y(t + i), y(f(t + i, y(t + i))), y′(g(t + i, y(t + i)))
∣∣∣ ≤
≤
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)
(
|x(t + i)− y(t + i)|+ |x(f(t + i, x(t + i)))−
− y(f(t + i, y(t + i)))|+ |x′(g(t + i, x(t + i)))− y′(g(t + i, y(t + i)))|
)
≤
≤
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)
(
|x(t + i)− y(t + i)|+ |x(f(t + i, x(t + i)))−
− x(f(t + i, y(t + i)))|+ |x(f(t + i, y(t + i)))− y(f(t + i, y(t + i)))|+
+ |x′(g(t + i, x(t + i)))− x′(g(t + i, y(t + i)))|+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
+ |x′(g(t + i, y(t + i)))− y′(g(t + i, y(t + i)))|
)
≤
≤
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)
(
|x(t + i)− y(t + i)|+ M
1− θ
l′|x(t + i)− y(t + i)|+
+ |x(f(t + i, y(t + i)))− y(f(t + i, y(t + i)))|+ ll′′|x(t + i)− y(t + i)|+
+ |x′(g(t + i, y(t + i)))− y′(g(t + i, y(t + i)))|
)
≤
≤ ||x(t)− y(t)||
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)
(
3 +
M
1− θ
l′ + ll′′
)
≤
≤ ||x(t)− y(t)||θ2
(
1 +
M
3(1− θ)
l′ +
ll′′
3
)
≤ θ̃||x(t)− y(t)||,
де
||x(t)− y(t)|| = max{ sup
t∈R+
|x(t)− y(t)|, sup
t∈R+
|x′(t)− y′(t)|}.
Звiдси випливає
||x(t)− y(t)|| ≤ θ̃||x(t)− y(t)||,
що може мати мiсце лише у випадку, коли x(t) ≡ y(t). Отримана суперечнiсть завершує
доведення теореми 2.
1. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967. — 548 с.
2. Хейл Дж. Теория дифференциально-функциональных уравнений. — М.: Мир, 1984. — 421 с.
3. Самойленко А. М., Пелюх Г. П. Ограниченные на всей вещественной оси решения систем нелинейных
дифференциально-функциональных уравнений и их свойства // Укр. мат. журн. — 1994. — 46, № 6. —
С. 737 – 747.
4. Пелюх Г. П. Асимптотичнi властивостi розв’язкiв систем нелiнiйних диференцiально-функцiональних
рiвнянь з нелiнiйним вiдхиленням аргументу // Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання (Укр.
мат. конгрес-2001). — Київ, 2002. — С. 94 – 100.
5. Пелюх Г. П. Об асимптотических свойствах решений нелинейных дифференциально-функциональных
уравнений // Дифференц. уравнения. — 2003. — 39, № 1. — С. 45 – 49.
6. Пелюх Г. П. О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-
функциональных уравнений нейтрального типа // Нелiнiйнi коливання. — 2002. — 5, № 1. — С. 58 – 65.
Одержано 19.05.2006
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7250 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-02T09:19:37Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пелюх, Г.П. Вельгач, А.В. 2010-03-26T10:49:57Z 2010-03-26T10:49:57Z 2007 Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу / Г.П. Пелюх, А.В. Вельгач // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 277-289. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7250 517.929 Исследуется структура множества непрерывно дифференцируемых при t принадлежит R+ = [0;+∞) решений одной предельной задачи для систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нелинейного типа с нелинейными отклонениями аргумента, зависящих от неизвестной функции. We study the structure of the set of solutions, which are continuously differentiable for t belongs R+ = [0;+∞), of a boundary-value problem for systems of nonlinear differential-functional equations of neutral type with nonlinear argument deviations depending on the unknown function. uk Інститут математики НАН України Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу Article published earlier |
| spellingShingle | Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу Пелюх, Г.П. Вельгач, А.В. |
| title | Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_full | Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_fullStr | Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_full_unstemmed | Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_short | Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_sort | про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7250 |
| work_keys_str_mv | AT pelûhgp prostrukturumnožinineperervnodiferencíiovnihrozvâzkívodníêígraničnoízadačídlâsistemidiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹneitralʹnogotipu AT velʹgačav prostrukturumnožinineperervnodiferencíiovnihrozvâzkívodníêígraničnoízadačídlâsistemidiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹneitralʹnogotipu |