Інваріантні множини та порівняння динамічних систем
Предложена методика построения и исследования инвариантных множеств дифференциальных систем, которые описываются в виде конусных неравенств с применением оператора дифференцирования в силу системы. Обобщены известные условия позитивности линейных и нелинейных дифференциальных систем относительно тип...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7252 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Інваріантні множини та порівняння динамічних систем / А.М. Алілуйко, О.Г. Мазко // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 163-176. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859671268025958400 |
|---|---|
| author | Алілуйко, А.М. Мазко, О.Г. |
| author_facet | Алілуйко, А.М. Мазко, О.Г. |
| citation_txt | Інваріантні множини та порівняння динамічних систем / А.М. Алілуйко, О.Г. Мазко // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 163-176. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | Предложена методика построения и исследования инвариантных множеств дифференциальных систем, которые описываются в виде конусных неравенств с применением оператора дифференцирования в силу системы. Обобщены известные условия позитивности линейных и нелинейных дифференциальных систем относительно типичных классов конусов. Развивается методика сравнения и упорядочения семейства динамических систем.
Methods for a construction of invariant sets in a phase space of differential systems are suggested. These sets are described as cone inequalities with application of a derivative operator along the trajectories of the system. Well-known positivity conditions for linear and nonlinear differential systems with respect to representative classes of cones are generalized. A comparison and ordering technique is developed for a set of dynamical systems.
|
| first_indexed | 2025-11-30T14:00:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 925
IНВАРIАНТНI МНОЖИНИ ТА ПОРIВНЯННЯ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ
А. М. Алiлуйко, О. Г. Мазко
Iн-математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
e-mail: aliluyko@imath.kiev.ua
mazko@imath.kiev.ua
Methods for a construction of invariant sets in a phase space of differential systems are suggested. These
sets are described as cone inequalities with application of a derivative operator along the trajectories of
the system. Well-known positivity conditions for linear and nonlinear differential systems with respect to
representative classes of cones are generalized. A comparison and ordering technique is developed for a
set of dynamical systems.
Предлагается методика построения и исследования инвариантных множеств дифференциаль-
ных систем, которые описываются в виде конусных неравенств с применением оператора диф-
ференцирования в силу системы. Обобщаются известные условия позитивности линейных и
нелинейных дифференциальных систем относительно типичных классов конусов. Развивается
методика сравнения и упорядочения семейства динамических систем.
0. Вступ. У практичних дослiдженнях використовуються диференцiальнi та рiзницевi мо-
делi динамiчних об’єктiв, у фазовому просторi яких iснують iнварiантнi множини, зокре-
ма конуси. Побудова та класифiкацiя таких множин є однiєю з важливих задач якiсного
аналiзу динамiчних систем. Iнварiантнi множини систем необхiдно враховувати i викорис-
товувати в задачах аналiзу стiйкостi та керування (див., наприклад, [1, 2]).
У данiй роботi запропоновано методику побудови iнварiантних множин диференцi-
альних систем у виглядi конусних нерiвностей iз застосуванням оператора диференцiюва-
ння в силу системи i елементiв спряженого конуса. Як наслiдок, сформульовано узагаль-
нений принцип порiвняння скiнченної сiм’ї незалежних систем. Наведено кiлька прик-
ладiв застосування запропонованої методики для диференцiальних систем першого та
другого порядкiв. Вiдомi результати стосовно iнварiантностi конусiв є частинними випад-
ками встановленого критерiю iнварiантностi заданого класу множин. Зокрема, встанов-
лено достатнi умови iнварiантностi змiнного за часом елiпсоїдального конуса для деяко-
го класу нелiнiйних диференцiальних систем. Аналогiчнi результати для лiнiйних систем
встановлено в [3, 4].
1. Означення i допомiжнi факти. Опукла замкнена множина K дiйсного нормованого
простору E називається клином, якщо αK+ βK ⊂ K ∀α, β ≥ 0. Клин K з лезом K∩−K =
= {0} є конусом. Спряжений конус K∗ формують лiнiйнi функцiонали ϕ ∈ E∗, шо набу-
вають невiд’ємних значень на елементах K, причому K = {X ∈ E : ϕ(X) ≥ 0 ∀ϕ ∈ K∗}.
Простiр iз клином є напiвупорядкованим: X ≤ Y ⇐⇒ Y − X ∈ K. Конус K з непорож-
ньою множиною внутрiшнiх точок intK = {X : X > 0}— тiлесний. КонусK називається
нормальним, якщо iз 0 ≤ X ≤ Y випливає ‖X‖ ≤ ν‖Y ‖, де ν — унiверсальна константа.
Найменше таке число ν є константою нормальностi конуса. Якщо E = K − K, то ко-
c© А. М. Алiлуйко, О. Г. Мазко, 2007
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2 163
164 А. М. АЛIЛУЙКО, О. Г. МАЗКО
нус K є вiдтворюючим. Конус K є нормальним лише тодi, коли спряжений конус K∗ —
вiдтворюючий.
Нехай у банаховому просторi E1(E2) видiлено конус K1(K2). Оператор M : E1 → E2
називається монотонним, якщо iз X ≥ Y випливає MX ≥ MY . Монотоннiсть лiнiйного
оператора рiвносильна його позитивностi: X ≥ 0 =⇒ MX ≥ 0.
Динамiчна система, стан якої X(t) = Ω(t, t0)X0 у кожний момент часу t > t0 визначає
позитивний (монотонний) оператор Ω(t, t0) : X → X , є позитивною (монотонною) вiд-
носно деякого конуса. Система має iнварiантну множину Kt ⊂ X , якщо для будь-якого
t0 ≥ 0 iз X0 ∈ Kt0 випливає X(t) ∈ Kt при t ≥ t0. Якщо Kt — конус, то нерiвностi мiж
елементами простору в кожний момент часу t позначимо символами типу
Kt
≤ або
Kt
≥.
Належнiсть диференцiальної системи
Ẋ = F (X, t), X ∈ X , t ≥ 0, (1.1)
вказаним класам можна встановити за допомогою елементiв спряженого конуса. Зокре-
ма, система (1.1) є позитивною i монотонною вiдносно тiлесного конуса Kt, якщо t <
< τ =⇒ Kt ⊆ Kτ i виконуються вiдповiднi умови [5]
X
Kt
≥ 0, ϕ ∈ K∗t , ϕ(X) = 0 =⇒ ϕ (F (X, t)) ≥ 0, (1.2)
X
Kt
≤ Y, ϕ ∈ K∗t , ϕ(X − Y ) = 0 =⇒ ϕ (F (Y, t)− F (X, t)) ≥ 0, (1.3)
де K∗t , t ≥ 0, — спряжений конус.
Iзольований стан рiвноваги X ≡ 0 динамiчної системи називаємо стiйким в Kt, якщо
для довiльних ε > 0 i t0 ≥ 0 можно вказати таке δ > 0, що iз X0 ∈ Sδ(t0) випливає
X(t) ∈ Sε(t) при t > t0, де Sε(t) = {X ∈ Kt : ‖X‖ ≤ ε}. Якщо при цьому для певного
δ0 > 0 iз X0 ∈ Sδ0(t0) випливає ‖X(t)‖ → 0 при t → ∞, то стан X ≡ 0 системи є
асимптотично стiйким в Kt. Якщо стан X ≡ 0 системи з iнварiантним конусом Kt стiйкий
(асимптотично стiйкий) за Ляпуновим, то вiн є стiйким (асимптотично стiйким) в Kt.
Аналогiчно означаються iнварiантнi множини, властивостi позитивностi i монотон-
ностi вiдносно конуса i стiйкостi в Kt для динамiчних систем iз дискретним часом.
Iнерцiєю симетричної матрицi S = ST ∈ Rn×n будемо називати трiйку чисел i(S) =
= {i+(S), i−(S), i0(S)}, де i+(S), i−(S) i i0(S) — вiдповiдно кiлькiсть додатних, вiд’ємних i
нульових власних значень S з урахуванням кратностей.
2. Побудова iнварiантних множин у фазовому просторi диференцiальних систем. Роз-
глянемо у банаховому просторi диференцiальну систему (1.1), де F : X × [0,∞) → X —
оператор, що задовольняє умови iснування та єдиностi розв’язкiв X(t) в деякiй областi
Ω ⊂ X з початковими умовами X(t0) = X0 ∈ Ω. Система (1.1) має iнварiантну множину
It ⊂ X , якщо iз X(t0) ∈ It0 випливає X(t) ∈ It при t > t0 ≥ 0.
Побудуємо iнварiантнi множини системи (1.1) у виглядi
It = {X ∈ Ω : V (X, t)
K
≥ 0}, (2.1)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
IНВАРIАНТНI МНОЖИНИ ТА ПОРIВНЯННЯ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ 165
де V : X × [0,∞) → E — деякий оператор,
K
≥ — нерiвнiсть, породжена заданим конусом
або клином K у просторi E . Для цього визначимо оператор диференцiювання Dt в силу
системи як (сильну) похiдну складної функцiї:
DtV (X, t) =
d
dτ
V (Ψ(τ, t, X), τ)|τ=t , (2.2)
де X(τ) = Ψ(τ, t, X) — розв’язок системи з початковою умовою X(t) = X . Будемо при-
пускати, що V (X, t) є неперервною функцiєю разом зi своїми частинними похiдними в
областi Ω× [0,∞).
Наведемо вiдомi вирази для оператора Dt, в яких використовуються не розв’язки сис-
теми (1.1), а її права частина F . Наприклад, якщо X = Rn i E = Rm, то
DtV (X, t) = V ′
X(X, t) F (X, t) + V ′
t (X, t),
де V ′
X(X, t) — матриця Якобi розмiру m× n, складена iз частинних похiдних функцiї V по
X . По аналогiї можна розглядати узагальнення даного спiввiдношення на основi застосу-
вання похiдних нелiнiйного оператора типу Гато i Фреше [6]. Наприклад, можна вважати,
що V ′
t (X, t) є сильною похiдною функцiї по t, а V ′
X(X, t) — похiдна Гато по X , тобто лiнiй-
ний обмежений оператор типу
V ′
X(X, t)H =
d
dτ
V (X + τH, t)|τ=0 .
Зауваження 2.1. У теорiї порiвняння систем застосовуються верхнi правi та лiвi похiднi
в силу системи типу Дiнi
D±
t V (X, t) = lim sup
τ→0±
1
τ
[V (X + τF (X, t), t + τ)− V (X, t)]
за умови, що функцiя V (X, t) не є диференцiйовною, а лише неперервною i локально
лiпшицевою по X (див., наприклад, [7, 8]).
Теорема 2.1. Нехай K — тiлесний конус. Тодi It є iнварiантною множиною системи
(1.1) тодi i тiльки тодi, коли при кожному t ≥ 0 виконується умова
X ∈ It, ϕ ∈ K∗, ϕ (V (X, t)) = 0 =⇒ ϕ (DtV (X, t)) ≥ 0. (2.3)
Доведення. Нехай X(t) — розв’язок системи (1.1) з початковою умовою X(t0) = X0 ∈
∈ It0 . Тодi оператор Dt дiє як диференцiювання за часом складної функцiї V (X(t), t) i
виконується рiвнiсть
t∫
t0
DτV (X(τ), τ) dτ = V (X(t), t)− V (X0, t0).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
166 А. М. АЛIЛУЙКО, О. Г. МАЗКО
Звiдси, зокрема, випливає, що V (X(t), t)
K
≥ V (X0, t0), якщо DtV (X, t)
K
≥ 0 при X ∈ It i
t ≥ t0. При цьому V (X(t), t)
K
> 0, якщо V (X0, t0)
K
> 0.
Нехай у деякий момент часу τ ≥ t0 значення функцiї V (Xτ , τ), де Xτ = X(τ), досягає
границi конусаK. Тодi для деякого ненульового функцiонала ϕ ∈ K∗ маємо ϕ(V (Xτ , τ)) =
= 0.
Разом з (2.1) розглянемо множину
Iε
t = {X ∈ Ω : Vε(X, t)
K
≥ 0}, Vε(X, t) = V (X, t) + εω(t)Y,
де ε > 0, Y
K
> 0, ω(t) — невiд’ємна неперервно диференцiйовна функцiя така, що ω(τ) = 0
i ω̇(τ) > 0. Покладемо, наприклад, ω(t) = arctan(t − τ). Тодi, очевидно, It ⊂ Iε
t причому
Iε
t → It при ε → 0, t ≥ τ .
Оскiльки Vε(Xτ , τ) = V (Xτ , τ) i ϕ(Y ) > 0, то для деякого δ > 0 згiдно з умовою (2.3)
маємо спiввiдношення
ϕ (DtVε(X, t)) = ϕ (DtV (X, t)) +
ε
1 + (t− τ)2
ϕ(Y ) ≥ 0, τ ≤ t ≤ τ + δ,
τ+δ∫
τ
ϕ (DtVε(X(t), t)) dt = ϕ(Vε(X(τ + δ), τ + δ)) ≥ 0.
Це означає, що траєкторiя X(t) в момент часу τ не може залишати множину Iε
τ , тобто
Vε(X(t), t)
K
≥ 0 при τ ≤ t ≤ τ + δ. Iнакше для деякого ϕ ∈ K∗ i як завгодно малого δ > 0
повинна виконуватись протилежна нерiвнiсть ϕ(Vε(X(τ + δ), τ + δ)) < 0.
Внаслiдок замкненостi конуса K при ε → 0 маємо
Vε(X(t), t) → V (X(t), t)
K
≥ 0, τ ≤ t ≤ τ + δ.
Отже, It є iнварiантною множиною системи (1.1).
Зворотне твердження є наслiдком теореми Лагранжа:
ϕ(V (X(τ + δ), τ + δ))− ϕ(V (X(τ), τ)) = δ ϕ(DξV (X(ξ), ξ)),
де ξ ∈ (τ, τ +δ). Якщо ϕ(V (X(τ), τ)) = 0 i X(τ +δ) ∈ Iτ+δ, то при достатньо малому δ > 0
необхiдно, щоб виконувалась нерiвнiсть ϕ(DτV (X(τ), τ)) ≥ 0.
Теорему доведено.
Зауваження 2.2. Умова (2.3) має мiсце, якщо для деякої неперервної скалярної функцiї
α(X, t) виконується конусна нерiвнiсть
DtV (X, t) + α(X, t)V (X, t)
K
≥ 0, X ∈ ∂It, t ≥ 0. (2.4)
Наведемо приклади застосування теореми 2.1 при побудовi iнварiантних множин i,
зокрема, конусiв типу (2.1) для деяких класiв систем.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
IНВАРIАНТНI МНОЖИНИ ТА ПОРIВНЯННЯ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ 167
Приклад 2.1. Розглянемо нелiнiйну систему
ẋ = A(x, t) x, x ∈ Rn, t ≥ 0. (2.5)
Множину (2.1) визначимо за допомогою конуса невiд’ємних векторiв K = Rn
+ i вектор-
функцiї V (x, t) = R(t) x, де R(t) — невироджена неперервно диференцiйовна матрична
функцiя. Тодi умова (2.4) виконується, якщо для деякої функцiї α(x, t) всi елементи мат-
рицi
Bα(t) = Ṙ(t)R−1(t) + R(t)[A(x, t) + α(x, t)I]R−1(t)
є невiд’ємними функцiями. Останнє обмеження зводиться до вигляду
bij(x, t) ≥ 0, i 6= j, x ∈ ∂K, t ≥ 0, (2.6)
де bij(x, t) — елементи матрицi Bα(t) при α = 0. В частинному випадку R(t) ≡ I множина
(2.1) є конусом K, а нерiвностi (2.6) узагальнюють вiдомi умови позитивностi лiнiйних
систем вiдносно K [2].
Приклад 2.2. Розглянемо випадок, коли множину (2.1) описує функцiя
V (x, t) = xT P (t)x + qT (t)x + r(t),
де симетрична матриця P (t), вектор-функцiя q(t) i скалярна функцiя r(t) є неперервними i
диференцiйовними при t ≥ 0. Нерiвнiсть (2.4), що забезпечує iнварiантнiсть цiєї множини
для системи (2.5), має вигляд
xT Pα(x, t)x + qT
α (x, t)x + rα(x, t) ≥ 0, x ∈ ∂It, t ≥ 0, (2.7)
де
Pα(x, t) = Ṗ (t) + α(x, t)P (t) + AT (x, t)P (t) + P (t)A(x, t),
qα(x, t) = q̇(t) + α(x, t)q(t) + AT (x, t)q(t),
rα(x, t) = ṙ(t) + α(x, t)r(t).
Зокрема, можна вимагати, щоб виконувались спiввiдношення Pα(x, t) ≥ 0, qα(x, t) ≡ 0
i rα(x, t) ≥ 0, з яких випливає iнварiантнiсть множини (2.1) у системi (2.5).
Приклад 2.3. Для нелiнiйної системи
ẋ = f(x, t), x ∈ Rn+1, t ≥ 0, (2.8)
побудуємо умови iнварiантностi змiнного елiпсоїдального конуса It, що описується у ви-
глядi (2.1) за умов
V (x, t) =
[
xT Q(t)x
hT (t)x
]
, K = R2
+,
де h(t) — власний вектор симетричної матрицi Q(t) з iнерцiєю i(Q(t)) ≡ {1, n, 0}, що
вiдповiдає її єдиному додатному власному значенню.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
168 А. М. АЛIЛУЙКО, О. Г. МАЗКО
Перевiримо умову (2.3), де
DtV (x, t) =
[
xT Q̇(t)x + fT (x, t)Q(t)x + xT Q(t)f(x, t)
ḣT x + hT (t)f(x, t)
]
.
Для цього достатньо використати лише два функцiонали iз K∗. Якщо ϕ(y) = y1, то згiдно
з (2.3) отримаємо обмеження
xT Q̇(t)x + fT (x, t)Q(t)x + xT Q(t)f(x, t) ≥ 0, x ∈ ∂It, t ≥ 0, (2.9)
де ∂It = {x ∈ It : xT Q(t)x = 0}. Якщо взяти ϕ(y) = y2, то одержимо нерiвнiсть
hT (t)f(0, t) ≥ 0, t ≥ 0. (2.10)
Тут враховано той факт, що iз xT Q(t)x ≥ 0 i hT (t)x = 0 випливає x = 0. Таку властивiсть
мають симетричнi матрицi iз вказаною iнерцiєю.
Умови (2.9) i (2.10) забезпечують iнварiантнiсть множини It в системi (2.8). Умова
(2.10) завжди виконується для систем iз нульовим положенням рiвноваги, тобто f(0, t) ≡
≡ 0. Такою є, наприклад, диференцiальна система (2.5). Згiдно з (2.4) маємо матричну
нерiвнiсть
Q̇(t) + α(x, t)Q(t) + AT (x, t)Q(t) + Q(t)A(x, t) ≥ 0, x ∈ ∂It, t ≥ 0, (2.11)
виконання якої iз заданою неперервною функцiєю α(x, t) забезпечує iнварiантнiсть мно-
жини It для системи (2.5).
Нерiвнiсть (2.11) є узагальненням вiдомих умов iнварiантностi елiпсоїдального конуса
для лiнiйних систем [3, 4].
Приклад 2.4. Розглянемо лiнiйну систему
ẋ = A(t)x + B(t)u,
u̇ = C(t)x + D(t)u,
x ∈ Rn, u ∈ Rm, t ≥ 0, (2.12)
де A(t), B(t), C(t) i D(t) — матричнi функцiї вiдповiдних розмiрiв n × n, n × m, m × n i
m×m з елементами aij , bij , cij i dij . Знайдемо умови iнварiантностi множини
It =
{[
x
u
]
: max
k
|xk| ≤ α(t) min
s
us
}
, (2.13)
де α(t) > 0 — диференцiйовна функцiя. Ця множина є нормальним тiлесним конусом i
може мати вигляд (2.1) з оператором
V : Rn+m × [t0,∞) → Rnm+m, V (x, u, t) =
u2
1e− x2
...
u2
me− x2
u
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
IНВАРIАНТНI МНОЖИНИ ТА ПОРIВНЯННЯ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ 169
де e = α2[1, . . . , 1]T , x2 = [x2
1, . . . , x
2
n]T . Роль конуса K в теоремi 2.1 вiдiграє конус невiд’-
ємних векторiв Rnm+m
+ .
Перепишемо умову (2.3) у виглядi
V (x, u, t)
K
≥ 0, us = 0 =⇒ cT
s x + dT
s u ≥ 0, (2.14)
V (x, u, t)
K
≥ 0, α2u2
s = x2
k =⇒ αα̇u2
s + α2us(cT
s x + dT
s u)− xk(aT
k x + bT
k u) ≥ 0, (2.15)
де aT
k , bT
k , cT
s i dT
s — рядки вiдповiдних матриць, k = 1, . . . , n, s = 1, . . . ,m. В умовi (2.14)
x = 0, i вона зводиться до вигляду dsj ≥ 0, j 6= s. В умовi (2.15) |xi| ≤ |xk| = αus ≤ αuj
∀i, j. Якщо xk > 0, то (2.15) є наслiдком спiввiдношень
αdsj − bkj ≥ 0, j 6= s,
α̇ + α(αcsk − akk) +
∑
j
(αdsj − bkj) ≥ α
∑
i6=k
|αcsi − aki|.
Дiйсно,
αα̇u2
s + α2us(cT
s x + dT
s u)− xk(aT
k x + bT
k u) = αuswsk,
wsk = [α̇ + α(αcsk − akk) + αdss − bks]us +
∑
i6=k
(αcsi − aki)xi +
∑
j 6=s
(αdsj − bkj)uj ≥
≥
α̇ + α(αcsk − akk) + αdss − bks − α
∑
i6=k
|αcsi − aki|
us +
∑
j 6=s
(αdsj − bkj)uj ≥
≥
α̇ + α(αcsk − akk) +
∑
j
(αdsj − bkj)− α
∑
i6=k
|αcsi − aki|
us ≥ 0.
Якщо xk < 0, то iз (2.15) отримуємо обмеження на коефiцiєнти
αdsj + bkj ≥ 0, j 6= s,
α̇− α(αcsk + akk) +
∑
j
(αdsj + bkj) ≥ α
∑
i6=k
|αcsi + aki|,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
170 А. М. АЛIЛУЙКО, О. Г. МАЗКО
використовуючи аналогiчнi оцiнки
wsk = [α̇− α(αcsk + akk) + αdss + bks]us +
∑
i6=k
(αcsi + aki)xi +
∑
j 6=s
(αdsj + bkj)uj ≥
≥
α̇− α(αcsk + akk) + αdss + bks − α
∑
i6=k
|αcsi + aki|
us +
∑
j 6=s
(αdsj + bkj)uj ≥
≥
α̇− α(αcsk + akk) +
∑
j
(αdsj + bkj)− α
∑
i6=k
|αcsi + aki|
us ≥ 0.
Отже, необхiднi та достатнi умови позитивностi системи (2.12) вiдносно конуса (2.13)
мають вигляд
αdsj ≥ |bkj |, j 6= s,
α̇± α(αcsk ∓ akk) +
∑
j(αdsj ∓ bkj) ≥ α
∑
i6=k |αcsi ∓ aki|,
(2.16)
де k, i = 1, n, s, j = 1,m. Для встановлення необхiдностi даних умов слiд покласти
xk = ±α us, xi = −sign(αcsi ∓ aki)αus, i 6= k,
та розглянути такi випадки: 1) всi компоненти вектора u збiгаються мiж собою, 2) одна iз
компонент u значно перевищує всi iншi компоненти.
Кожнiй функцiї α(t) > 0, що задовольняє систему нерiвностей (2.16), вiдповiдає iнва-
рiантний конус (2.13) системи (2.12).
Зазначимо, що систему нерiвностей (2.16) можна використовувати при побудовi керу-
вання у виглядi динамiчного компенсатора, що забезпечує позитивну стабiлiзацiю систе-
ми (2.12).
3. Диференцiальнi системи вищих порядкiв. Розглянемо диференцiальну систему (s+
+1)-го порядку
X(s+1) = F (X, X(1), . . . , X(s), t), X ∈ X , t ≥ 0, (3.1)
де F : X × . . . × X × [0,∞) → X — оператор, що задовольняє умови iснування та єди-
ностi розв’язку X(t) = X(0)(t) з початковими умовами X(i)(t0) = X
(i)
0 ∈ Ωi, i = 0, . . . , s.
Повний стан системи характеризують функцiї X(i)(t), що задовольняють диференцiальну
систему першого порядку
Ẋ0 = X1,
. . . . . . . . .
Ẋs−1 = Xs,
Ẋs = F (X0, . . . , Xs, t).
(3.2)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
IНВАРIАНТНI МНОЖИНИ ТА ПОРIВНЯННЯ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ 171
Тому iнварiантнi множини системи (3.1) будемо визначати у розширеному фазовому прос-
торi, тобто у просторi системи (3.2), у виглядi
It =
{
(X0, . . . , Xs) ∈ X × . . .×X : V (X0, . . . , Xs, t)
K
≥ 0
}
, (3.3)
де V : X × . . . × X × [0,∞) → E — деякий оператор,
K
≥ — нерiвнiсть, породжена за-
даним конусом або клином K у просторi E . Множину It будемо називати iнварiантною
множиною системи (3.1), якщо її розв’язки X(t) мають властивiсть
(X(0)
0 , . . . , X
(s)
0 ) ∈ It0 =⇒ (X(0)(t), . . . , X(s)(t)) ∈ It, t > t0 ≥ 0.
Будемо припускати, що функцiя V неперервна разом зi своїми частинними похiдними
в областi Ω0× . . .×Ωs× [0,∞), i побудуємо оператор диференцiювання DtV (X0, . . . , Xs, t)
в силу системи (3.2).
Теорема 3.1 Нехай K — тiлесний конус. Тодi It є iнварiантною множиною системи
(3.1) тодi i тiльки тодi, коли при кожному t ≥ 0 виконується умова
(X0, . . . , Xs) ∈ It, ϕ (V (X0, . . . , Xs, t)) = 0 =⇒ ϕ (DtV (X0, . . . , Xs, t)) ≥ 0, (3.4)
де ϕ ∈ K∗.
Доведення теорем 3.1 i 2.1 аналогiчнi. Оскiльки системи (3.1) i (3.2) еквiвалентнi, то
теорему 3.1 можна вважати наслiдком теореми 2.1.
Приклад 3.1. Розглянемо диференцiальну систему другого порядку
ẍ + B(t)ẋ + A(t)x = 0, (3.5)
де A(t) i B(t) — обмеженi матрицi. Побудуємо систему (3.2) i функцiю V , що описує мно-
жину It типу (3.3), у виглядi
ż = M(t)z, V (x, y, t) = zT Q(t)z,
де
M(t) =
[
0 I
−A(t) −B(t)
]
, Q(t) =
[
P (t) LT (t)
L(t) R(t)
]
, z =
[
x
y
]
.
Вираховуючи вираз
DtV (x, y, t) + α V (x, y, t) = zT (Q̇ + αQ + MT Q + QM)z = zT Hz,
маємо достатнi умови iнварiантностi множини It для системи (3.1) у виглядi матричної
нерiвностi
H =
[
Ṗ + αP −AT L− LT A L̇T + αLT − LT B −AT R + P
L̇ + αL−BT L−RA + P Ṙ + αR−BT R−RB + L + LT
]
≥ 0. (3.6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
172 А. М. АЛIЛУЙКО, О. Г. МАЗКО
Тут для спрощення не враховано залежнiсть вiд аргументiв усiх параметрiв.
Розглянемо випадок автономної системи i покладемо
Q =
[
S + BT RB BT R
RB R
]
, (3.7)
де S i R — симетричнi матрицi. Тодi нерiвнiсть (3.6) набирає вигляду
H =
[
α(S + BT RB)−AT RB −BT RA αBT R + S −AT R
αRB + S −RA αR
]
≥ 0.
Застосуємо вiдомий критерiй невiд’ємної визначеностi блочної матрицi з невиродженим
дiагональним блоком:[
P LT
L R
]
≥ 0 ⇐⇒ R > 0, P ≥ LT R−1L.
Стосовно матрицi H отримаємо наступний результат.
Наслiдок 3.1. Нехай R = RT < 0 i для деякого α < 0 виконується матрична нерiв-
нiсть
α2S − α(BT S + SB)− (S −AT R)R−1(S −RA) ≤ 0. (3.8)
Тодi автономна система (3.5) має iнварiантну множину
I = {(x, y) ∈ Rn ×Rn : xT (S + BT RB)x + 2yT RBx + yT Ry ≥ 0}. (3.9)
Зауваження 3.1. При умовi S < 0 завжди iснує таке α < 0, що задовольняє не-
рiвнiсть (3.8). Але в цьому випадку Q < 0 i I = {0}. Якщо i(S) = {1, n − 1, 0}, то
i(Q) = {1, 2 n − 1, 0} i множина (3.9) є об’єднанням двох протилежних елiпсоїдальних
конусiв у розширеному фазовому просторi системи (3.5). Цiкавим є також випадок, ко-
ли S = AT R + RA > 0. Тодi вираз (3.8) дещо спрощується, i при умовах наслiдку 3.1 за
теоремою Ляпунова необхiдно, щоб матрицi A i B були гурвiцевими.
Наслiдок 3.2. Якщо для деякої функцiї α(t) при t ≥ 0 виконуються система нерiвно-
стей
bsj(t) ≤ − 1
α(t)
< 0, j 6= s,
α̇(t)− α(t)
∑
j
bsj(t) ≥ |α2(t)ask(t) + 1|+ α2(t)
∑
i6=k
|asi(t)|,
(3.10)
де i, j, k, s = 1, n, то система (3.5) має iнварiантний конус
It =
{
(x, y) ∈ Rn ×Rn : max
k
|xk| ≤ α(t) min
s
ys
}
. (3.11)
Останнє твердження є наслiдком критерiю (2.16) позитивностi системи (2.12) (див.
приклад 2.4).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
IНВАРIАНТНI МНОЖИНИ ТА ПОРIВНЯННЯ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ 173
4. Порiвняння та впорядкування диференцiальних систем. У теорiї стiйкостi динамiч-
них систем застосовуються методи порiвняння, що базуються на вiдображеннi простору
станiв головної системи в простiр станiв допомiжної системи порiвняння (див., наприклад,
[7, 8]). Системи порiвняння будуються в класах позитивних або монотонних систем вiднос-
но заданих конусiв. Змiннi за часом конуси в задачах порiвняння запропоновано в [5].
Наведемо узагальнену методику порiвняння диференцiальних систем, яка є наслiдком
викладеного методу побудови iнварiантних множин (п. 2). Ця методика дозволяє порiв-
нювати динамiчнi властивостi двох i бiльше динамiчних систем, що функцiонують у рiз-
них просторах.
Розглянемо сiм’ю незалежних систем
(Si) : Ẋi = Fi(Xi, t), Xi ∈ Xi, t ≥ 0, i = 1, s. (4.1)
Для спрощення запису введемо наступнi позначення:
X = (X1, . . . , Xs), F (X, t) = (F1(X1, t), . . . , Fs(Xs, t)), X = X1 × . . .×Xs.
Нехай E — деякий простiр, що мiстить клин K, i задано оператор W : X × [0,∞) → E .
Припустимо, що кожнiй початковiй умовi X(t0) = X0 ∈ Ω вiдповiдає єдиний розв’язок
X(t) сiм’ї систем (4.1) в деякiй областi Ω ⊂ X при t ≥ t0 ≥ 0, а W (X, t) є неперервною
функцiєю разом зi своїми частинними похiдними в областi Ω̂ = Ω × [0,∞). Крiм того,
доцiльно вважати, що оператор W не є скрiзь позитивним вiдносно K.
Означення 4.1. Системи (4.1) називаємо порiвнянними, якщо для довiльного t0 ≥ 0
виконується умова
W (X(t0), t0)
K
≥ 0 =⇒ W (X(t), t)
K
≥ 0, t > t0. (4.2)
При цьому W є оператором порiвняння даних систем.
Побудуємо оператор диференцiювання DtW (X, t) в силу систем (4.1) i сформулюємо
наступний результат.
Теорема 4.1. Нехай K — тiлесний конус. Тодi системи (4.1) є порiвнянними тодi i
тiльки тодi, коли при кожному t ≥ 0 виконується умова
W (X, t)
K
≥ 0, ϕ ∈ K∗, ϕ (W (X, t)) = 0 =⇒ ϕ (DtW (X, t)) ≥ 0. (4.3)
Останнє твердження є очевидним наслiдком теореми 2.1.
Сформулюємо основнi твердження вiдомого принципу порiвняння для двох i трьох
систем з нульовими положеннями рiвноваги, якi можна вважати наслiдками теореми 4.1.
Нехай спочатку s = 2. Покладемо W (X, t) = X2 − V (X1, t), де V : X1 × [0,∞) → X2
— скрiзь позитивний оператор вiдносно нормального тiлесного конуса K ⊂ X2. Тодi iз
конусної нерiвностi
DtV (X1, t)
K
≤ F2(V (X1, t), t) (4.4)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
174 А. М. АЛIЛУЙКО, О. Г. МАЗКО
i належностi F2 класу квазiмонотонних операторiв F ∈ F , що визначається умовою (1.3)
з конусом Kt = K, випливає наступна властивiсть розв’язкiв систем:
0
K
≤ V (X1(t0), t0)
K
≤ X2(t0) =⇒ 0
K
≤ V (X1(t), t)
K
≤ X2(t), t > t0 ≥ 0.
Це означає, що виконується умова (4.2), тобто системи (4.1) є порiвнянними в сенсi озна-
чення 4.1.
Припустимо, що оператор порiвняння V має додатковi властивостi
V (0, t) ≡ 0, ‖V (X, t)‖ ≥ v(X) > 0, X 6= 0, t ≥ 0, (4.5)
де v(x) ≥ 0 — неперервна функцiя така, що v(0) = 0 i v(X) ≤ v(Y ) =⇒ ‖X‖ ≤ ‖Y ‖. Тодi
має мiсце наступне твердження.
Теорема 4.2. Нехай скрiзь позитивний оператор V задовольняє спiввiдношення (4.4),
(4.5), причому F2 ∈ F , F1(0, t) ≡ F2(0, t) ≡ 0. Тодi розв’язок X1 ≡ 0 системи (S1) стiйкий
(асимптотично стiйкий) за Ляпуновим, якщо стiйким (асимптотично стiйким) в K є
розв’язок X2 ≡ 0 системи (S2).
Розглянемо випадок s = 3 i побудуємо оператор порiвняння у блочному виглядi
W (X, t) = [V (X2, t)−X1, X3 − V (X2, t)],
де V : X2 × [0,∞) → X1 — деякий оператор. Нехай простори X1 i X3 збiгаються i мiс-
тять нормальний тiлесний конус K1. Тодi якщо F1 ∈ F , F3 ∈ F i виконуються конуснi
нерiвностi
F1(V (X2, t), t)
K1
≤ DtV (X2, t)
K1
≤ F3(V (X2, t), t), (4.6)
то розв’язки системи (S2) можна порiвняти з розв’язками систем (S1) i (S3) у виглядi
X1(t0)
K1
≤ V (X2(t0), t0)
K1
≤ X3(t0) =⇒ X1(t)
K1
≤ V (X2(t), t)
K1
≤ X3(t), t > t0 ≥ 0.
Це означає, що виконується умова (4.2) з конусом K = K1 × K1, тобто системи (4.1)
є порiвнянними за означенням 4.1. Легко бачити, що в цьому випадку умова (4.3) є на-
слiдком спiввiдношень (4.6) i припущень вiдносно F1 i F3. При умовi (4.2) система (S1) є
нижньою, а система (S3) — верхньою системою порiвняння для системи (S2) (див., на-
приклад, [5, 8]).
Теорема 4.3. Нехай оператор V задовольняє спiввiдношення (4.5), (4.6), причому F1 ∈
∈ F , F3 ∈ F i Fi(0, t) ≡ 0, i = 1, 3. Тодi розв’язок X2 ≡ 0 системи (S2) стiйкий (асимпто-
тично стiйкий) за Ляпуновим, якщо стiйким (асимптотично стiйким) в −K1 є розв’я-
зок X1 ≡ 0 системи (S1) i стiйким (асимптотично стiйким) в K1 є розв’язок X3 ≡ 0
системи (S3).
Зазначимо, що теореми 4.2 i 4.3 виконуються також при вiдповiдних умовах F2 ∈ F2
i F1 ∈ F1, F3 ∈ F1, де F2, F1 i F1 — деякi бiльш загальнi класи операторiв, означенi за
допомогою змiнного нормального вiдтворюючого конуса Kt [5].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
IНВАРIАНТНI МНОЖИНИ ТА ПОРIВНЯННЯ ДИНАМIЧНИХ СИСТЕМ 175
Задачi впорядкування i виявлення домiнуючої (у певному розумiннi) системи сiм’ї
s ≥ 2 незалежних систем формулюються у виглядi загальної задачi порiвняння. Дiйсно,
розглянемо блочний оператор
W (X, t) =
[
V2(X2, t)− V1(X1, t), . . . , Vs(Xs, t)− Vs−1(Xs−1, t)
]
, (4.7)
де Vi : Xi × [0,∞) → E1, i = 1, s, — деякi оператори. Нехай простiр E1 мiстить клин K1 i
виконується властивiсть порiвняння систем (4.2), деK = K1× . . .×K1. Тодi розв’язки сiм’ї
систем (4.1) впорядкованi у виглядi
V1(X1(t), t)
K1
≤ V2(X2(t), t)
K1
≤ . . .
K1
≤ Vs(Xs(t), t), t > t0, (4.8)
при умовi, що дане впорядкування виконується в довiльний початковий момент t = t0 ≥
≥ 0. Зокрема, якщо Vi(Xi, t) = ‖Xi‖Xi — норма у просторi Xi, то розв’язки систем (4.1)
впорядкованi за нормами
‖X1(t0)‖X1 ≤ . . . ≤ ‖Xs(t0)‖Xs =⇒ ‖X1(t)‖X1 ≤ . . . ≤ ‖Xs(t)‖Xs , t > t0.
У випадку тотожних операторiв Vi = E будемо мати
X1(t0)
K1
≤ . . .
K1
≤ Xs(t0) =⇒ X1(t)
K1
≤ . . .
K1
≤ Xs(t), t > t0.
При цьому система (Ss) є домiнуючою в сiм’ї систем (4.1).
У випадку тiлесного конуса K теорема 4.1 дає критерiй вказаного типу впорядку-
вання сiм’ї систем (4.1) у виглядi (4.3).
Приклад 4.1. Розглянемо сiм’ю систем
Ẋi = Ai(Xi, t)Xi, Xi ∈ Rni , t ≥ 0, i = 1, s, (4.9)
де Ai — матрицi розмiрiв ni × ni, неперервно залежнi вiд Xi i t.
Задамо оператор (4.7), поклавши
Vi(Xi, t) = XT
i Qi(t)Xi, Qi(t) ≡ QT
i (t), i = 1, s.
Тодi
λmin(Hi)XT
i Xi ≤ DtVi(Xi, t) = XT
i HiXi ≤ λmax(Hi)XT
i Xi,
де Hi = AT
i Qi + QiAi + Q̇i. Застосовуючи теорему 4.1, можна встановити, що для впо-
рядкованостi систем (4.9) у виглядi (4.8) з конусом K = Rs−1
+ достатньо, щоб в областi Ω̂
виконувались спiввiдношення
Hj ≤ βjQj , αj+1Qj+1 ≤ Hj+1, βj ≤ αj+1, j = 1, s− 1, (4.10)
де βj(Xj , t) i αj+1(Xj+1, t) — деякi неперервнi скалярнi функцiї. Якщо всi матрицi Qi > 0
є додатно визначеними, то в (4.10) виконуються оцiнки
βj ≥ λmax(Hj − λQj), αj+1 ≤ λmin(Hj+1 − λQj+1), j = 1, s− 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
176 А. М. АЛIЛУЙКО, О. Г. МАЗКО
Областi можливого розмiщення спектрiв σ(Ai)
при умовах впорядкованостi (4.10) s = 4 систем.
де λmax(·) (λmin(·)) — максимальне (мiнiмальне) власне значення вiдповiдної в’язки мат-
риць. У цьому випадку маємо достатнi умови впорядкованостi систем (4.9) у виглядi (4.8):
λmax(Hj − λQj) ≤ λmin(Hj+1 − λQj+1), j = 1, s− 1.
Нехай всi матрицi Qi не залежать вiд часу i є додатно визначеними. Тодi при виконаннi
матричних нерiвностей в (4.10) спектри матриць Ai повиннi бути розмiщенi у вiдповiдних
областях (рисунок), причому сусiднi областi можуть мати спiльнi точки лише на лiнiях
границь.
Якщо Qi ≡ I i в областi Ω̂ виконуються нерiвностi
λmax(AT
j + Aj) ≤ λmin(AT
j+1 + Aj+1), j = 1, s− 1,
то розв’язки систем (4.9) впорядкованi за евклiдовою нормою, тобто
‖X1(t0)‖ ≤ . . . ≤ ‖Xs(t0)‖ =⇒ ‖X1(t)‖ ≤ . . . ≤ ‖Xs(t)‖, t > t0.
1. Hirsch M. W., Smith H. Competitive and cooperative systems: mini-review. Positive systems // Lect. Notes
Control and Inform. Sci.— 2003.— 294.— P. 183 – 190.
2. Красносельский М. А., Лифшиц Е. А., Соболев А. В. Позитивные линейные системы. — М.: Наука,
1985. — 256 с.
3. Stern R. J., Wolkowicz H. Invariant ellipsoidal cones // Linear Algebra and Appl. — 1991.— 150. — P. 81 – 106.
4. Алiлуйко А. М., Мазко О. Г. Iнварiантнi конуси та стiйкiсть багатозв’язних систем // Зб. праць Iн-ту
математики НАН України. — 2005. — 2, № 1. — С. 28 – 45.
5. Мазко А. Г. Устойчивость и сравнение состояний динамических систем относительно переменного
конуса // Укр. мат. журн. — 2005. — 57, № 2. — С. 198 – 213.
6. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. — М.: Физматгиз, 1962. —
233 с.
7. Матросов В. М., Анапольский Л. Ю., Васильев С. Н. Метод сравнения в математической теории сис-
тем. — Новосибирск: Наука, 1980. — 480 с.
8. Лакшмикантам В., Лила С., Мартынюк А. А. Устойчивость движения: метод сравнения. — Киев:
Наук. думка, 1991. — 248 с.
Одержано 19.10.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7252 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-30T14:00:36Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Алілуйко, А.М. Мазко, О.Г. 2010-03-26T10:51:46Z 2010-03-26T10:51:46Z 2007 Інваріантні множини та порівняння динамічних систем / А.М. Алілуйко, О.Г. Мазко // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 163-176. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7252 517.925 Предложена методика построения и исследования инвариантных множеств дифференциальных систем, которые описываются в виде конусных неравенств с применением оператора дифференцирования в силу системы. Обобщены известные условия позитивности линейных и нелинейных дифференциальных систем относительно типичных классов конусов. Развивается методика сравнения и упорядочения семейства динамических систем. Methods for a construction of invariant sets in a phase space of differential systems are suggested. These sets are described as cone inequalities with application of a derivative operator along the trajectories of the system. Well-known positivity conditions for linear and nonlinear differential systems with respect to representative classes of cones are generalized. A comparison and ordering technique is developed for a set of dynamical systems. uk Інститут математики НАН України Інваріантні множини та порівняння динамічних систем Article published earlier |
| spellingShingle | Інваріантні множини та порівняння динамічних систем Алілуйко, А.М. Мазко, О.Г. |
| title | Інваріантні множини та порівняння динамічних систем |
| title_full | Інваріантні множини та порівняння динамічних систем |
| title_fullStr | Інваріантні множини та порівняння динамічних систем |
| title_full_unstemmed | Інваріантні множини та порівняння динамічних систем |
| title_short | Інваріантні множини та порівняння динамічних систем |
| title_sort | інваріантні множини та порівняння динамічних систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7252 |
| work_keys_str_mv | AT alíluikoam ínvaríantnímnožinitaporívnânnâdinamíčnihsistem AT mazkoog ínvaríantnímnožinitaporívnânnâdinamíčnihsistem |