Неперервні розв'язки системи нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом та їх властивості
Получены достаточные условия существования и единственности непрерывных N-периодических решений (N - целое положительное число) одного класса систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргуменом и исследованы их свойства. We obtain sufficient conditions for existence and uniqueness of cont...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7253 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Неперервні розв'язки систем нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом та їх властивості / Н.А. Богай // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 177-183. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860243759354085376 |
|---|---|
| author | Богай, Н.А. |
| author_facet | Богай, Н.А. |
| citation_txt | Неперервні розв'язки систем нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом та їх властивості / Н.А. Богай // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 177-183. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | Получены достаточные условия существования и единственности непрерывных N-периодических решений (N - целое положительное число) одного класса систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргуменом и исследованы их свойства.
We obtain sufficient conditions for existence and uniqueness of continuous N-periodic solutions (N is a positive integer) of a certain class of systems of nonlinear difference equations with continuous argument, and study properties of such solutions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:32:58Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 9
НЕПЕРЕРВНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ
РIВНЯНЬ З НЕПЕРЕРВНИМ АРГУМЕНТОМ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТI
Н. А. Богай
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
We obtain sufficient conditions for existence and uniqueness of continuous N -periodic solutions (N is a
positive integer) of a certain class of systems of nonlinear difference equations with continuous argument,
and study properties of such solutions.
Получены достаточные условия существования и единственности непрерывных N -периоди-
ческих решений (N — целое положительное число) одного класса систем нелинейных разност-
ных уравнений с непрерывным аргументом и исследованы их свойства.
Системи рiзницевих рiвнянь вигляду
x(t + 1) = F (t, x(t), x(t− 1), . . . , x(t− k)), (1)
де t ∈ R+ = [0,+∞), k ≥ 1, F : R+ × Rn × . . . × Rn → Rn, x(t) — невiдома вектор-
функцiя розмiрностi n, були об’єктом дослiдження багатьох математикiв (див. роботи
[1 – 4] i наведену в них лiтературу), i тому ряд питань їх теорiї достатньо добре вивчено.
Особливо це стосується питань iснування неперервних i неперервних N -перiодичних (N
— цiле додатне число) розв’язкiв таких рiвнянь. Зокрема, в [5, 6] отримано досить загаль-
нi достатнi умови iснування неперервних розв’язкiв систем лiнiйних рiзницевих рiвнянь
вигляду (1) i дослiджено їх структуру, в [7] встановлено умови iснування й єдиностi непе-
рервних N -перiодичних розв’язкiв деяких класiв нелiнiйних рiвнянь вигляду (1) у випадку,
коли F (t, x, x1, . . . , xk) ≡ F (t, x), i розроблено метод їх побудови. В данiй роботi продов-
жено дослiдження неперервних розв’язкiв систем нелiнiйних рiзницевих рiвнянь вигляду
(1). Основна мета — встановлення достатнiх умов iснування й єдиностi неперервних, не-
перервних N -перiодичних розв’язкiв таких рiвнянь i дослiдження їх властивостей. При
цьому пiд розв’язком системи рiвнянь (1) будемо розумiти вектор-функцiю x(t), яка є
однозначно визначеною при t ≥ −k i перетворює її в тотожнiсть при пiдстановцi.
1. Дослiдимо питання про iснування неперервних при t ≥ −k розв’язкiв.
Припустимо, що виконується така умова:
1) всi елементи вектора F (t, x0, x1, . . . , xk) є неперервними при t ∈ R+, xi ∈ Rn, i =
= 0, 1, . . . , k, функцiями.
Тодi розв’язок x(t) системи рiвнянь (1) побудуємо таким чином. Оскiльки для довiль-
ного t ∈ R+ виконується спiввiдношення t − [t] = τ ∈ [0, 1), де [t] — цiла частина t, то
покладаючи
x(τ − i) = x−i(τ − i), i = 0, 1, . . . , k, (2)
де x−i(τ − i), i = 0, 1, . . . , k, — довiльнi неперервнi при τ ∈ [0, 1) вектор-функцiї, безпосе-
c© Н. А. Богай, 2007
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2 177
178 Н. А. БОГАЙ
редньо з (1) послiдовно отримуємо
x(τ + 1) = F (τ, x(τ), x(τ − 1), . . . , x(τ − k)) = F 1(τ, x0(τ), x−1(τ − 1), . . . , x−k(τ − k)),
x(τ + 2) = F (τ + 1, x(τ + 1), x(τ), x(τ − 1), . . . , x(τ − k + 1)) =
= F (τ + 1, F 1(τ, x0(τ), . . . , x−k(τ − k)), x0(τ), . . . , x−(k−1)(τ − k + 1)) =
= F 2(τ + 1, x0(τ), x−1(τ − 1), . . . , x−k(τ − k)),
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
x(τ + k + 1) = F (τ + k, x(τ + k), . . . , x(τ)) =
= F (τ + k, F k(τ + k − 1, x0(τ), x−1(τ − 1), . . . , x−k(τ − k)), . . .
. . . , F 1(τ, x0(τ), . . . , x−k(τ − k)), x0(τ)) =
= F k+1(τ + k, x0(τ), x−1(τ − 1), . . . , x−k(τ − k)), (3)
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
x(t) = x(τ + [t]) = F (τ + [t]− 1, x(τ + [t]− 1), . . . , x(τ + [t]− k − 1)) =
= F (τ + [t]− 1, F [t]−1(τ + [t]− 2, x0(τ), . . . , x−k(τ − k)), . . .
. . . , F [t]−k−1(τ + [t]− k − 2, x0(τ), . . . , x−k(τ − k))) =
= F [t](τ + [t]− 1, x0(τ), . . . , x−k(τ − k)).
Таким чином, ми побудували сiм’ю розв’язкiв, яка залежить вiд k + 1 довiльних не-
перервних при τ ∈ [0, 1) вектор-функцiй x−i(τ − i), i = 0, 1, . . . , k. Кожен розв’язок
цiєї сiм’ї є, взагалi кажучи, кусково-неперервним (розриви можуть виникати в точках
t = −k + 1,−k + 2, . . .). Щоб цi розв’язки були неперервними при всiх t ≥ −k, необхiдно,
очевидно, встановити деякi додатковi умови, якi повиннi задовольняти довiльнi функцiї
x−i(τ−i), i = 0, 1, . . . , k. Зокрема, якщо неперервнi при τ ∈ [0, 1) вектор-функцiї x−i(τ−i),
i = 0, 1, . . . , k, задовольняють умови
lim
τ→1−0
x−i(τ − i) = x1
−i 6= ±∞, i = 0, 1, . . . , k, (4)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
НЕПЕРЕРВНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 179
i виконуються рiвностi
x1
−i = x−i+1(−i + 1), i = 1, 2, . . . , k,
(5)
x1
0 = F (0, x0(0), x−1(−1), . . . , x−k(−k)),
то можна переконатися, що кожен розв’язок системи рiвнянь (1), який визначається за
допомогою спiввiдношення (3), є неперервним при всiх t ≥ −k.
Таким чином, доведено наступну теорему.
Теорема 1. Якщо вектор-функцiя F (t, x0, x1, . . . , xk) задовольняє умову 1, то систе-
ма рiвнянь (1) має сiм’ю неперервних при t ≥ −k розв’язкiв (3), яка залежить вiд k + 1
довiльних неперервних при τ ∈ [0, 1) вектор-функцiй x−i(τ − i), i = 0, 1, . . . , k, що задо-
вольняють умови (4), (5).
2. Дослiдимо тепер питання про iснування неперервних N -перiодичних (N — цiле до-
датне число) розв’язкiв системи рiвнянь (1). При цьому будемо припускати, що для неї
виконуються такi умови:
2) вектор-функцiя F (t, x0, x1, . . . , xk) є неперервною при t ∈ R, xi ∈ Rn, i = 0, 1, . . . , k,
i N -перiодичною вiдносно t;
3) вектор-функцiя F (t, x0, x1, . . . , xk) задовольняє умову Лiпшиця
|F (t, x
′
0, x
′
1, . . . , x
′
k)− F (t, x
′′
0 , x
′′
1 , . . . , x
′′
k)| ≤ L
k∑
i=0
|x′
i − x
′′
i |,
де t ∈ R, x
′
i, x
′′
i ∈ Rn, i = 0, 1, . . . , k, 0 < L < 1, |x| = max
0≤i≤n
{|xi|}.
Має мiсце наступна теорема.
Теорема 2. Якщо виконуються умови 2, 3, то система рiвнянь (1) має єдиний непе-
рервний N -перiодичний розв’язок.
Доведення теореми проведемо за допомогою методу послiдовних наближень. Послi-
довнi наближення xm(t), m = 0, 1, . . . , визначимо спiввiдношеннями
x0(t) = 0,
xm(t) = F (t− 1, xm−1(t− 1), xm−1(t− 2), . . . , xm−1(t− k − 1)), m = 1, 2, . . . .
(6)
Беручи до уваги умови теореми, неважко показати, що всi вектор-функцiї xm(t), m ≥ 0,
є неперервними при t ∈ R N -перiодичними вектор-функцiями.
Покажемо, що при t ∈ R i всiх m ≥ 0 виконуються оцiнки∣∣xm(t)− xm−1(t)
∣∣ ≤ MΘm−1, (7)
де M = max
t
∣∣F (t, 0, . . . , 0)
∣∣, Θ = L(k + 1) < 1.
Дiйсно, на пiдставi (6) i умови 2 маємо∣∣x1(t)− x0(t)
∣∣ =
∣∣F (t− 1, 0, . . . , 0)
∣∣ ≤ M,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
180 Н. А. БОГАЙ
тобто оцiнка (7) виконується при m = 1. Припустимо, що вона виконується для деякого
m ≥ 1. Тодi, враховуючи умови теореми, спiввiдношення (6) i оцiнки (7), знаходимо∣∣xm+1(t)− xm(t)
∣∣ =
∣∣F (t− 1, xm(t− 1), xm(t− 2), . . . , xm(t− k − 1))−
− F (t− 1, xm−1(t− 1), xm−1(t− 2), . . . , xm−1(t− k − 1))
∣∣ ≤
≤ L
k+1∑
j=1
∣∣xm(t− j)− xm−1(t− j)
∣∣ ≤ LMΘm−1(k + 1) = MΘm.
Тим самим ми показали, що вектор-функцiї xm(t), m = 0, 1, . . . , якi визначаються спiввiд-
ношеннями (6), є неперервними N -перiодичними i задовольняють при всiх t ∈ R, m ≥ 0
умову (7). Тодi, очевидно, послiдовнiсть вектор-функцiй xm(t), m = 0, 1, . . . , рiвномiр-
но збiгається до деякої неперервної N -перiодичної функцiї ϑ(t), яка задовольняє систему
рiвнянь
ϑ(t) = F (t− 1, ϑ(t− 1), . . . , ϑ(t− k − 1)). (8)
В цьому можна переконатись, якщо в (6) перейти до границi при m → +∞. Оскiльки
тотожнiсть (8) має мiсце при всiх t ∈ R, то
ϑ(t + 1) ≡ F (t, ϑ(t), . . . , ϑ(t− k)),
тобто вектор-функцiя ϑ(t) = lim
t→+∞
xm(t) є неперервним N -перiодичним розв’язком сис-
теми рiвнянь (1).
Доведемо тепер, що побудований вище неперервний N -перiодичний розв’язок ϑ(t)
системи рiвнянь (1) є єдиним.
Дiйсно, нехай iснує ще один неперервний N -перiодичний розв’язок w(t) системи рiв-
нянь (1) такий, що ϑ(t) 6= w(t). Тодi на пiдставi умов теореми i тотожностей
ϑ(t) = F (t− 1, ϑ(t− 1), . . . , ϑ(t− k − 1)),
w(t) = F (t− 1, w(t− 1), . . . , w(t− k − 1))
одержуємо
|ϑ(t)− w(t)| ≤ L
k+1∑
j=1
|ϑ(t− j)− w(t− j)| ≤ L(k + 1)‖ϑ(t)− w(t)‖,
або
‖ϑ(t)− w(t)‖ ≤ Θ‖ϑ(t)− w(t)‖,
де ‖ϑ(t) − w(t)‖ = max
t
|ϑ(t) − w(t)|. Iз останнього спiввiдношення випливає ϑ(t) ≡ w(t).
Отримана суперечнiсть завершує доведення теореми.
3. Дослiдимо неперервнi асимптотично перiодичнi розв’язки.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
НЕПЕРЕРВНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 181
Продовжимо дослiдження системи рiвнянь (1) у припущеннi, що виконуються умови
2, 3. Згiдно з теоремою 2 система рiвнянь (1) має в цьому випадку єдиний неперервний N -
перiодичний розв’язок ϑ(t) = lim
m→+∞
xm(t), де вектор-функцiї xm(t), m = 0, 1, . . . , визна-
чаються спiввiдношеннями (6). Тодi за допомогою взаємно однозначної замiни змiнних
x(t) = y(t) + ϑ(t) (9)
дослiдження системи рiвнянь (1) можна звести до дослiдження системи
y(t + 1) = F̃ (t, y(t), y(t− 1), . . . , y(t− k)), (10)
де
F̃ (t, y(t), y(t− 1), . . . , y(t− k)) = F (t, y(t) + ϑ(t), y(t− 1) + ϑ(t− 1), . . . , y(t− k)+
+ ϑ(t− k))− F (t, ϑ(t), ϑ(t− 1), . . . , ϑ(t− k)).
Беручи до уваги умови 2, 3, легко переконатися, що вектор-функцiя F̃ (t, y0, y1, . . . , yk) є
неперервною при t ∈ R, yi ∈ Rn, i = 0, 1, . . . , k, F̃ (t, 0, . . . , 0) ≡ 0 i задовольняє умову
|F̃ (t, y
′
0, y
′
1, . . . , y
′
k)− F̃ (t, y
′′
0 , y
′′
1 , . . . , y
′′
k )| ≤ L
k∑
i=0
|y′
i − y
′′
i |. (11)
Покажемо, що система рiвнянь (10) має сiм’ю неперервних при t ≥ −k розв’язкiв
y(t) = y(t, y0(τ), . . . , y−k(τ − k)) (y−i(τ − i), i = 0, 1, . . . , k, — довiльнi неперервнi вектор-
функцiї), якi задовольняють умову
lim
t→+∞
y(t) = 0. (12)
Дiйсно, покладемо
y(τ − i) = y−i(τ − i), i = 0, 1, . . . , k, (13)
де y−i(τ − i), i = 0, 1, . . . , k, — довiльнi неперервнi при τ ∈ [0, 1) вектор-функцiї, що
задовольняють умови
lim
τ→1−0
y−i(τ − i) = y1
−i 6= ±∞, i = 0, 1, . . . , k,
y1
−i = y−i+1(−i + 1), i = 1, 2, . . . , k, (14)
y1
0 = F̃ (0, y0(0), y−1(−1), . . . , y−k(−k)).
Тодi безпосередньо iз (10) послiдовно отримуємо
y(τ + 1) = F̃ (τ, y0(τ), y−1(τ − 1), . . . , y−k(τ − k)),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
182 Н. А. БОГАЙ
y(τ + 2) = F̃ (τ + 1, y(τ + 1), y0(τ), . . . , y−k+1(τ − k + 1)),
y(τ + k + 1) = F̃ (τ + k, y(τ + k), . . . , y(τ)), (15)
y(τ + k + 2) = F̃ (τ + k + 1, y(τ + k + 1), . . . , y(τ + 1)),
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
y(t) = y(τ + [t]) = F̃ (τ + [t]− 1, y(τ + [t]− 1), . . . , y(τ + [t]− k − 1)).
Всi розв’язки, що визначаються спiввiдношеннями (15), є, очевидно, неперервними
при всiх t ≥ −k (випливає iз (13), (14)). Крiм цього, на пiдставi (11), (15) одержуємо∣∣y(τ + 1)
∣∣ ≤ M̃L(k + 1) = M̃Θ,
∣∣y(τ + 2)
∣∣ ≤ L(M̃Θ + M̃ + . . . + M̃) ≤ M̃L(k + 1) = M̃Θ,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·∣∣y(τ + k + 1)
∣∣ ≤ M̃Θ,∣∣y(τ + k + 2)
∣∣ ≤ L(M̃Θ + . . . + M̃Θ) = M̃ΘL(k + 1) = M̃Θ2,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·∣∣y(τ + 2k + 2)
∣∣ ≤ M̃Θ2,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·∣∣y(τ + jk + i)
∣∣ ≤ M̃Θj+1, j ≥ 0, i = j + 1, j + 2, . . . , j + k + 1,
де M̃ = max
{
max
τ
∣∣ y−i(τ − i), i = 0, 1, . . . , k
}
. Оскiльки 0 < Θ < 1, то з останнiх спiв-
вiдношень випливає, що довiльний розв’язок, який визначається за допомогою (15), задо-
вольняє умову (12). Звiдси i з (9) випливає наступна теорема.
Теорема 3. Якщо виконуються умови 2, 3, то система рiвнянь (1) має сiм’ю непе-
рервних при t ≥ −k розв’язкiв x(t) = ϑ(t) + y(t), де ϑ(t) — неперервний N -перiодичний
розв’язок цiєї системи, а y(t) = y(t, y0(τ), . . . , y−k(τ − k)) визначається формулами (15),
в яких функцiї yi(τ−i), i = 0, 1, . . . , k, задовольняють умови (13), (14), для яких має мiсце
спiввiдношення lim
t→+∞
[x(t)− ϑ(t)] = 0.
1. Birkhoff G. D. General theory of linear difference equations // Trans. Amer. Math. Soc. — 1911. — 12, № 2.
— P. 242 – 284.
2. Guldberg A., Wallenberg G. Theorie der linearen Differenzengleichungen. — Berlin, 1911. — 288 S.
3. Митропольский Ю. А., Мартынюк Д. И., Самойленко А. М. Системы эволюционных уравнений с
периодическими и условно-периодическими коэффициентами. — Киев: Наук. думка, 1984. — 216 с.
4. Миролюбов А. А., Солдатов М. А. Линейные неоднородные разностные уравнения. — М.: Наука,
1986. — 127 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
НЕПЕРЕРВНI РОЗВ’ЯЗКИ СИСТЕМ НЕЛIНIЙНИХ РIЗНИЦЕВИХ РIВНЯНЬ . . . 183
5. Пелюх Г. П., Богай Н. А. Дослiдження структури множини неперервних розв’язкiв систем лiнiйних
рiзницевих рiвнянь з неперервним аргументом // Нелiнiйнi коливання. — 2005. — 8, № 3. — С. 351 –
359.
6. Пелюх Г. П. К теории линейных разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Докл.
АН РАН. — 1994. — 336, № 4. — С. 451 – 452.
7. Пелюх Г. П. О существовании периодических решений нелинейных разностных уравнений // Укр. мат.
журн. — 2002. — 54, № 12. — С. 1626 – 1633.
Одержано 29.05.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7253 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:32:58Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Богай, Н.А. 2010-03-26T10:52:42Z 2010-03-26T10:52:42Z 2007 Неперервні розв'язки систем нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом та їх властивості / Н.А. Богай // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 177-183. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7253 517.9 Получены достаточные условия существования и единственности непрерывных N-периодических решений (N - целое положительное число) одного класса систем нелинейных разностных уравнений с непрерывным аргуменом и исследованы их свойства. We obtain sufficient conditions for existence and uniqueness of continuous N-periodic solutions (N is a positive integer) of a certain class of systems of nonlinear difference equations with continuous argument, and study properties of such solutions. uk Інститут математики НАН України Неперервні розв'язки системи нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом та їх властивості Article published earlier |
| spellingShingle | Неперервні розв'язки системи нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом та їх властивості Богай, Н.А. |
| title | Неперервні розв'язки системи нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом та їх властивості |
| title_full | Неперервні розв'язки системи нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом та їх властивості |
| title_fullStr | Неперервні розв'язки системи нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом та їх властивості |
| title_full_unstemmed | Неперервні розв'язки системи нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом та їх властивості |
| title_short | Неперервні розв'язки системи нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом та їх властивості |
| title_sort | неперервні розв'язки системи нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом та їх властивості |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7253 |
| work_keys_str_mv | AT bogaina neperervnírozvâzkisisteminelíníinihríznicevihrívnânʹzneperervnimargumentomtaíhvlastivostí |