Оцінка розмірів зон нестійкості одновимірного рівняння Шредінгера з аналітичним квазіперіодичним потнціалом
Рассмотрено одномерное стационарное квазипериодическое уравнение Шредингера с аналитическим потенциалом. С помощью методов КАМ-теории построены границы зон неустойчивости, решения, соответствующие этим границам, и оценены размеры зон неустойчивости. Отдельно рассмотрен случай, когда потенциал являет...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7255 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оцінка розмірів зон нестійкості одновимірного рівняння Шредінгера з аналітичним квазіперіодичним потенціалом / О.М. Денисенко // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 188-203. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860261385701687296 |
|---|---|
| author | Денисенко, О.М. |
| author_facet | Денисенко, О.М. |
| citation_txt | Оцінка розмірів зон нестійкості одновимірного рівняння Шредінгера з аналітичним квазіперіодичним потенціалом / О.М. Денисенко // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 188-203. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассмотрено одномерное стационарное квазипериодическое уравнение Шредингера с аналитическим потенциалом. С помощью методов КАМ-теории построены границы зон неустойчивости, решения, соответствующие этим границам, и оценены размеры зон неустойчивости. Отдельно рассмотрен случай, когда потенциал является тригонометрическим многочленом конечного порядка.
This paper is concerned with a one-dimensional quasiperiodic Schr¨odinger equation with analytic potential. KAM-theory methods are applied to construct boundaries of instability zones and solutions for these boundaries. Sizes of instability zones have been estimated. In addition we have considered the case where the potential is a finite order trigonometric polynomial.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:55:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ОЦIНКА РОЗМIРIВ ЗОН НЕСТIЙКОСТI
ОДНОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ШРЕДIНГЕРА
З АНАЛIТИЧНИМ КВАЗIПЕРIОДИЧНИМ ПОТЕНЦIАЛОМ
О. М. Денисенко
МП "Дисит"НАН України
Україна, 03164, Київ, вул. Генерала Наумова, 15
e-mail: denysenko@pochta.ru
This paper is concerned with a one-dimensional quasiperiodic Schrödinger equation with analytic potenti-
al. KAM-theory methods are applied to construct boundaries of instability zones and solutions for these
boundaries. Sizes of instability zones have been estimated. In addition we have considered the case where
the potential is a finite order trigonometric polynomial.
Рассматривается одномерное стационарное квазипериодическое уравнение Шредингера с ана-
литическим потенциалом. С помощью методов КАМ-теории построены границы зон неустой-
чивости, решения, соответствующие этим границам, и оценены размеры зон неустойчивости.
Отдельно рассмотрен случай, когда потенциал является тригонометрическим многочленом
конечного порядка.
1. Вступ. Розглянемо стацiонарне рiвняння Шредiнгера з квазiперiодичним потенцiалом
−d
2ψ
dt2
+ εu(ωt)ψ = Eψ, −∞ < t < ∞, (1)
в якому u (ϕ) є дiйсною аналiтичною функцiєю на m-вимiрному торi Tm, ω ∈ Rm — век-
тор частот, E — дiйсний параметр (енергiя), ε — малий параметр.
Як вiдомо, в перiодичному випадку задача iснування розв’язкiв (1) вирiшується класич-
ною теорiєю Флоке, а матриця монодромiї мiстить iнформацiю про властивостi цих роз-
в’язкiв. У квазiперiодичному випадку звiднiсть (1) до системи зi сталими коефiцiєнтами
не завжди є можливою. Вивченню проблем звiдностi (1) при ε = 1 з використанням ме-
тодiв КАМ-теорiї [1 – 3] присвячено роботи [4 – 7]. Зокрема, в роботi [5] встановлено, що
довжина зони нестiйкостi, яка вiдповiдає вектору n ∈ Zm\ {0}, при достатньо великих
значеннях енергiї E оцiнюється величиною порядку O
(
exp
{
−‖n‖
/
ln1+β ‖n‖
})
, β > 0, де
‖n‖ =
m∑
j=1
|nj |. Однак при цьому квазiперiодичнi розв’язки у виглядi блохiвських функцiй
будуються поза пiдозрiлими на нестiйкiсть зонами, границi цих зон безпосередньо не ви-
значаються й про поведiнку розв’язкiв всерединi зон i на границi нiчого не говориться. У
роботi [6] побудовано границi зон нестiйкостi, розв’язки, якi їм вiдповiдають, та вивчено
поведiнку розв’язкiв усерединi цих зон. Зокрема, встановлено, що розмiр зони нестiй-
костi, яка вiдповiдає вектору n ∈ Zm\ {0}, при достатньо великих значеннях енергiї E
оцiнюється величиною порядку O (exp {−β ‖n‖}) , β > 0. Але зони, для яких встановле-
но цi результати, повиннi бути розташованi, в певному сенсi, не дуже щiльно. У роботi
[7] отримано важливий результат про звiднiсть системи, що еквiвалентна рiвнянню (1),
c© О. М. Денисенко, 2007
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2 188
ОЦIНКА РОЗМIРIВ ЗОН НЕСТIЙКОСТI ОДНОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ШРЕДIНГЕРА . . . 189
майже для всiх значень енергiї E. Цей результат деякою мiрою узагальнює результати
[5, 6] та, зокрема, дозволяє описати поведiнку розв’язкiв поза множиною точок стiйкостi.
Мета даної роботи полягає в побудовi границь зон нестiйкостi (що дозволяє оцiнити
розмiр цих зон) та розв’язкiв, якi вiдповiдають цим границям для випадку аналiтичного
потенцiалу. Зауважимо, що у роботах [4 – 7] розглядається рiвняння (1) при ε = 1. В данiй
же роботi встановлюється залежнiсть розв’язкiв та границь зон нестiйкостi вiд малого па-
раметра ε. Виявляється, якщо потенцiал у рiвняннi (1) є скiнченним тригонометричним
полiномом, то оцiнку розмiру зон нестiйкостi можна суттєво покращити. Цей випадок
розглядається окремо. При зведеннi рiвняння (1) використовується пiдхiд, аналогiчний
[6], але з тiєю вiдмiннiстю, що при визначеннi зон нестiйкостi не накладаються обмежен-
ня щодо щiльностi їх розташування.
Домовимось далi використовувати такi позначення: для векторiв z, x ∈ Cm
|z| = max
1≤j≤m
|zj | , ‖z‖ =
m∑
j=1
|zj |, (z, x) =
m∑
j=1
zjxj ;
для (p× p)-вимiрної матрицi H = (hij)
|H| = max
1≤i,j≤p
|hij | ,
а через diag (H) позначимо дiагональну матрицю, елементи якої складаються з дiаго-
нальних елементiв матрицiH . Нехай вектор частот ω = (ω1, . . . , ωm) задовольняє дiофан-
тову умову
|(n, ω)| ≥ Ω (‖n‖) , n ∈ Zm\ {0} , (2)
де Ω: [0,∞) → (0, 1] — монотонно спадна функцiя, яка задовольняє умови:
1) Ω (s) ≤ s−m+1, s > 0;
2) iснує монотонно зростаюча необмежена функцiя α : [0,∞) → [16,∞) така, що
α (s)
s
lnΩ (s) → 0 монотонно при s → ∞,
∫ ∞
a
ln
1
Ω (s)
α (s) ds
s2
< ∞, a > 0.
Позначимо µk =
1
2
(k, ω), k ∈ Zm\ {0}. Позначимо через A множину всiх дiйсних ана-
лiтичних функцiй на m-вимiрному торi Tm.
Визначимо, як i в [6], множини
M =
{
1
2
(k, ω) : k ∈ Zm\ {0}
}
,
< (Ω) =
{
µk =
1
2
(k, ω) :
∣∣∣∣µk −
1
2
(n, ω)
∣∣∣∣ ≥ Ω (‖n‖) , k 6= n ∈ Zm\ {0}
}
.
Також визначимо функцiю
G (‖k‖) =
{
1, µk ∈ < (Ω) ,
Ω−6 (‖k‖) , µk ∈ M\< (Ω) .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
190 О. М. ДЕНИСЕНКО
Теорема 1. Нехай потенцiал u ∈ A, а вектор частот ω задовольняє умову (2). Тодi
iснують мала стала ε1 > 0, нескiнченно диференцiйовнi в крузi |ε| < ε1 функцiї λ− (ε)
i λ+ (ε) , λ− (ε) ≤ λ+ (ε) , λ− (0) = λ+ (0) = µ2
k, та iнтервал Jλ (µk, ε) = [λ− (ε) , λ+ (ε)]
такi, що:
A) якщо λ− (ε) = λ+ (ε) (тобто iнтервал вироджується у точку), то для E =
= λ− (ε) = λ+ (ε) рiвняння (1) має два лiнiйно незалежнi розв’язки
ψ1
(ω
2
t, ε
)
= exp
(
i
(
k,
ω
2
)
t
)
χ (ωt, ε) , ψ2
(ω
2
t, ε
)
= ψ∗1
(ω
2
t, ε
)
,
де функцiя χ (ϕ, ε) : Tm × {ε ∈ R : |ε| < ε1} → C є аналiтичною по ϕ та нескiнченно
диференцiйовною по ε;
B) якщо λ− (ε) < λ+ (ε) , то для E = λ± (ε) (тобто на краях iнтервалу Jλ (µk, ε))
рiвняння (1) має два лiнiйно незалежнi розв’язки
ψ1
(ω
2
t, ε
)
= exp
(
i
(
k,
ω
2
)
t
)
(χ1 (ωt, ε) + tχ2 (ωt, ε)) ,
ψ2
(ω
2
t, ε
)
= exp
(
i
(
k,
ω
2
)
t
)
χ2 (ωt, ε) ,
де функцiї χ1 (ϕ, ε) , χ2 (ϕ, ε) : Tm × {ε ∈ R : |ε| < ε1} → C є аналiтичними по ϕ та не-
скiнченно диференцiйовними по ε; при цьому має мiсце оцiнка розмiру iнтервалу Jλ (µk, ε):
|Jλ (µk, ε)| ≤ c |ε|G (‖k‖) exp (−β ‖k‖) ,
де сталi c та β не залежать вiд k i ε.
Теорема 2. Нехай потенцiал u (ωt) в рiвняннi (1) є тригонометричним многочленом
порядку p. Тодi має мiсце твердження теореми 1, причому |Jλ (µk, ε)| ≤ c |ε|r G (‖k‖) ×
× exp (−β ‖k‖) , де r = −
[
−‖k‖
p
]
, сталi c та β не залежать вiд k i ε.
2. Доведення теореми 1. Позначимо через M2 (C) сукупнiсть усiх (2× 2)-вимiрних
матриць з комплексними елементами, а через K — множину всiх (2× 2)-вимiрних мат-
ричних функцiй вигляду
(
b1 b2
b∗2 b∗1
)
, де b1, b2 ∈ C. Зауважимо, що K — кiльце вiдносно
операцiй додавання та множення; крiм того, якщо матрицяA має оберненуA−1, тоA−1 ∈
∈ K. За допомогою замiни(
ψ
ψ′
)
=
(
1 1
i
√
E −i
√
E
)(
y1
y2
)
перейдемо вiд рiвняння (1) до системи
dy
dt
=
(
i
√
E 0
0 −i
√
E
)
y +
ε√
E
V (ϕ) y, (3)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ОЦIНКА РОЗМIРIВ ЗОН НЕСТIЙКОСТI ОДНОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ШРЕДIНГЕРА . . . 191
де V (ϕ) =
u (ϕ)
2
(
−i −i
i i
)
. Якщо у системi (3) покласти
√
E = µk + σ, µk =
1
2
(k, ω), та
виконати замiну y = Lk (ϕ/2)x, де
Lk
(ϕ
2
)
=
exp
(
i
(
k,
ϕ
2
))
0
0 exp
(
−i
(
k,
ϕ
2
)) ,
то прийдемо до системи
dx
dt
=
(
iσ 0
0 −iσ
)
x+ εVk (ϕ, σ, ε)x, (4)
де
Vk (ϕ, σ, ε) =
u (ϕ)
2 (µk + σ)
(
−i −i exp (−i (k, ϕ))
i exp (i (k, ϕ)) i
)
.
Позначимо
Πρ = {ϕ ∈ Cm : |Im ϕj | < ρ, j = 1, . . . ,m} ,
H0 =
{
σ ∈ C : |σ| < 1
2
}
× {ε ∈ C : |ε| < ε0} ,
D0 = Πρ ×H0.
За аналогiєю з [6] введемо норму матрицi R (ϕ):
‖R‖D0,k =
∣∣LkRL
−1
k
∣∣
D0
= sup
D0
∣∣LkRL
−1
k
∣∣ .
Врахувавши вигляд системи (4), розглянемо систему
dx
dt
= C0 (σ, ε)x+ εrL−1
k
(ϕ
2
)
P (ϕ, σ, ε)Lk
(ϕ
2
)
x, r ∈ N, (5)
з аналiтичними матрицями-функцiями C0 = diag (ic0,−ic0) та P . Нашою метою є побу-
дова iнтервалу Jσ (µk, ε) = [σ− (ε) , σ+ (ε)] та такої матричнозначної функцiї F (ϕ, σ, ε),
щоб перетворення змiнних x = F (ϕ, σ, ε), σ ∈ Jσ (µk, ε) зводило систему (3) до системи
dz
dt
= C (σ, ε) z, (6)
яка має властивостi trC (σ, ε) = 0, detC(σ, ε) = 0 при σ = σ± (ε) i detC(σ, ε) < 0 при
σ ∈ (σ− (ε) , σ+ (ε)) .
Покладемо g (‖k‖) =
{
1, µk ∈ < (Ω) ;
Ω (‖k‖) , µk ∈ M\< (Ω) .
Визначимо
Φ(δ) =
∞∫
0
e−s
Ωα(s) (s/δ)
ds, Φk(δ) =
1
g2 (‖k‖)
∞∫
0
e−s
Ωα(s) (s/δ)
ds.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
192 О. М. ДЕНИСЕНКО
З умов 1, 2 для функцiї Ω випливає, що Φ(δ) < ∞, Φk(δ) < ∞. Визначимо також
Ψ(δ) = infP
δj=δ
∞∏
ν=0
(Φ (δj))
2−ν−1
,
Ψk (δ) = infP
δj=δ
∞∏
ν=0
(Φk (δj))
2−ν−1
=
1
g2 (‖k‖)
Ψ (δ) , δ > 0.
З умови 2 для функцiї Ω випливає, що Ψ(δ) < ∞, Ψk (δ) < ∞. Покладемо ρn = ρ− 2
n−1∑
ν=0
δν ,
n ≥ 0. Якщо δ < ρ/2, то ρ = ρ0 > ρ1 > . . . > ρn → ρ− 2δ > 0. Для n ≥ 0 визначимо
γn = c1−2−n
n−1∏
ν=0
Φ3·2−ν−1
ν,k |ε|γ, де Φν,k = Φk(δν), γ = |P |D0
, c = 4m+11. Тодi |ε|γ = γ0 <
< γ1 < . . . < γn → γ∞ = cΨ3
k(δ)|ε|γ, i ми можемо вибрати |ε| настiльки малим, щоб
cΨ3
k (δ) γ |ε| < 1
16
. Також для n ≥ 0 визначимо Mn = |ε|r−1 γ2n
n , Ñn =
2n+1
δn
ln
1
γn
, sn =
= 4−n−2g2 (‖k‖) Ω2
(
Ñn
)
. Зауважимо, що оскiльки
Φn,k
(
n−1∏
ν=0
Φ2−ν−1
ν,k
)2n
= exp
(
lnΦn,k
∞∑
ν=n
2n−ν−1
)
n−1∏
ν=0
Φ2n−ν−1
ν,k ≤
≤ exp
( ∞∑
ν=n
2n−ν−1 lnΦν,k
)
n−1∏
ν=0
Φ2n−ν−1
ν,k =
∞∏
ν=0
Φ2n−ν−1
ν,k = Ψ2n
k (δ) ,
то cΦ3
n,kMn ≤ |ε|r−1 cΦ3
n,kc
2n−1
(
n−1∏
ν=0
Φ2−ν−1
ν,k
)3·2n
(|ε| γ)2
n
= |ε|r−1 γ2n
∞ .
Далi без обмежень загальностi будемо вважати, що µk ≥ 1, ρ < 1.
Теорема 3. Нехай матрицi-функцiї P : D0 → M2 (C), C0 : H0 → M2 (C) є аналiтич-
ними, P : Re D0 → K, tr P = 0, C0 : Re H0 → K, C0 (σ, ε) = diag (ic0 (σ, ε) ,−ic0 (σ, ε)),
c0 (σ, 0) = σ та∣∣∣∣C0 (σ, ε)−
(
iσ 0
0 −iσ
)∣∣∣∣
D0
< L |ε| ≤ 1
8
, L = L (r, k) > 0.
Тодi iснують додатна стала ε1 < ε0, iнтервал Jσ (µk, ε) = [σ− (ε) , σ+ (ε)] , σ± (ε) ∈
∈ C∞ ({ε ∈ R : |ε| < ε1}) , σ± (0) = 0, та аналiтичне по ϕ й нескiнченно диференцiйовне
по σ, ε вiдображенняF : D∗ → M2 (C) , деD∗ = Πρ−2δ ×H∗, H∗ = Jσ × {ε ∈ R : |ε| < ε1},
‖F − I‖D∗,k < 2 |ε|r−1 γ∞, такi, що замiна змiнних x = F (ϕ, σ, ε) z зводить систему (5)
до системи (6), у якiй матриця C ∈ C∞ (H∗), C : H∗ → K, trC = 0, detC (σ, ε) = 0 при
σ = σ± i detC (σ, ε) < 0 при σ ∈ (σ−, σ+) , та має мiсце оцiнка
|Jσ (µk, ε)| ≤ 22m+25 |ε|r Ψ3
k (δ) exp (− (ρ− 2δ) ‖k‖) |P |D0
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ОЦIНКА РОЗМIРIВ ЗОН НЕСТIЙКОСТI ОДНОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ШРЕДIНГЕРА . . . 193
Позначимо Dn = Πρn ×Hn,ε0 , D′
n = Πρn ×H ′
n,ε0
, D′′
n = Πρn−δn ×Hn,ε0 , де
Hn,ε0 = {σ ∈ C : |σ − Jσn | < sn} × {ε ∈ C : |ε| < ε0} ,
H ′
n,ε0
= {σ ∈ C : |σ − Jσn | < sn/2} × {ε ∈ C : |ε| < ε0} .
Лема 1. Для довiльного l ∈ N iснує стала cl, яка не залежить вiд k, така, що
1
sl
n
≤ clg
−2l (‖k‖) γ−2n−2
n .
Доведення. Оскiльки δn < 1, то exp
(
−Ñn
)
≤ γ2n+1
n . Тому 4n+2 ≤ Ñm
n ≤ Ω−2
(
Ñn
)
. З
визначення Φn,k випливає, що
g−2 (‖k‖) Ω−α(Ñn)
(
Ñn
)
γ2n+1
n ≤ g−2 (‖k‖) Ω−α(Ñn)
(
Ñn
) ∞∫
Ñnδn
e−sds ≤ Φn,k.
Оскiльки Φ3
n,kγ
2n+1
n < 1, то Φn ≤ Φn,k ≤ γ
−2n+1/3
n . Тому
1
sl
n
≤ g−2l (‖k‖) Ω−4l
(
Ñn
)
≤ g−2l (‖k‖) Φ
4l/α(Ñn)
n γ
−2n·8l/α(Ñn)
n ≤
≤ g−2l (‖k‖) γ−2n·11l/α(Ñn)
n .
Лему доведено.
Наслiдок 1. Якщо у лемi 1 l = 1,то
1
sn
≤ g−2 (‖k‖) Φ
4/α(Ñn)
n γ
−2n·8/α(Ñn)
n ≤ Φn,kγ
−2n/2
n .
Наслiдок 2.
Mn−1
sl
n
≤ cl |ε|r−1 g−2l (‖k‖) γ2n/4
n ≤ cl |ε|r−1 g−2l (‖k‖) γ2n−2
∞ , l > 1,
Mn−1
sn
≤ Φn,k |ε|r−1 γ2n−2
∞ .
Зауважимо, що з урахуванням умов теореми 3 з теореми про неявну функцiю випли-
ває iснування такої додатної сталої ε1, ε1 < ε0, що в крузi |ε| < ε1 iснує єдина дiйсна
аналiтична функцiя σ0 (ε) така, що c0(σ0, ε) = 0.
Доведення теореми 3 базується на використаннi наступної iндуктивної леми.
Лема 2. Припустимо, що на n-му кроцi (n ≥ 0) вже побудовано iнтервал Jσn(µk, ε) =
= [σ−n (ε) , σ+
n (ε)] (σ−0 (ε) = σ+
0 (ε) = σ0(ε)) та аналiтичне вiдображення Fn : Dn →
→ M2 (C) (F0 = I) таким чином, що:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
194 О. М. ДЕНИСЕНКО
1n) iснує додатна стала ε1, ε1 < ε0, яка не залежить вiд n, така, що функцiї σ−n , σ
+
n
є аналiтичними на множинi Jε,n = {ε ∈ C : |Jε − ε| < ε1sn} , де Jε = (−ε1, ε1) ;
2n)
∣∣σ−n (ε)− σ−n−1 (ε)
∣∣ ≤ 4Mn−1,
∣∣σ+
n (ε)− σ+
n−1 (ε)
∣∣ ≤ 4Mn−1, якщо n ≥ 1;
3n) Fn : Re Dn → K;
4n) ‖Fn − Fn−1‖Dn,k ≤ |ε|r−1 γ2n−1
∞ , якщо n ≥ 1;
5n) замiна змiнних x = Fn (ϕ, σ, ε) zn зводить систему (5) до системи
dzn
dt
= Cn (σ, ε) zn + Pn (ϕ, σ, ε) zn,
у якiй матрицi-функцiї Pn : Dn → M2 (C) , Cn : Hn → M2 (C) є аналiтичними, Pn :
Re Dn → K, tr Pn = 0, P0 = εrL−1
k PLk, Cn : Re Hn,ε0 → K, tr Cn = 0, на множинi
Re Hn,ε1 detCn (σ, ε) = 0 при σ = σ±n i detCn (σ, ε) < 0 при σ ∈ (σ−n , σ
+
n ) , та мають
мiсце оцiнки
‖Pn‖Dn,k ≤ Mn,
(7)
‖Cn − C0‖D′
n,k ≤ 2 |ε|r−1 γ∞,
∥∥∥∥ ∂∂σ (Cn − C0)
∥∥∥∥
D′
n,k
≤ 4 |ε|r−1√γ∞,
до того ж
1
4
|Jσn | ≤ |bn| ≤ 2 |Jσn | на множинi Jσn×Jε, де bn — будь-який з недiагональних
елементiв матрицi Cn.
Тодi iснують iнтервал Jσn+1 (µk, ε) =
[
σ−n+1 (ε) , σ+
n+1 (ε)
]
та аналiтичне вiдображен-
ня Fn+1 : Dn+1 → M2 (C), для яких виконуються умови 1n+1 − 5n+1.
Доведення. Визначимо на (n+ 1)-му кроцi Cn+1 (σ, ε) = Cn (σ, ε) + P̄n (σ, ε), де
P̄n (σ, ε) =
1
(2π)m
∫
Tm
Pn (ϕ, σ, ε ) dϕ.
Тодi ‖Cn+1 − Cn‖Dn,k ≤ Mn, i оскiльки cΦ3
n,kMn ≤ |ε|r−1 γ2n
∞ , то за нерiвнiстю Кошi та
наслiдком 1 леми 1∥∥∥∥ ∂∂σ (Cn+1 − Cn)
∥∥∥∥
D′
n,k
≤ Mn
sn − sn/2
=
2Mn
sn
≤ 2 |ε|r−1 (
√
γ∞)2
n
.
Визначимо матрицю wn+1 (ϕ, σ, ε) як розв’язок гомологiчного рiвняння(
∂wn+1
∂ϕ
, ω
)
+ [wn+1, Cn] = Qn − Q̄n, Qn = L−1
k SÑn
(
LkPnL
−1
k
)
Lk (8)
(
наприклад, Q0 = εrL−1
k SÑ0
(
LkP0L
−1
k
)
Lk = εrL−1
k SÑ0
PLk = εrL−1
k
∑
‖j‖≤Ñ0
pje
i(j,ϕ)Lk
)
.
Перетворення координат x = Fn+1 (ϕ, σ, ε) zn+1, де Fn+1 (ϕ, σ, ε) = Wn+1 (ϕ, σ, ε) ×
× Fn (ϕ, σ, ε), Wn+1 = wn+1 +
√
1− detwn+1I , зводить систему (5) до системи
dzn+1
dt
= Cn+1 (σ, ε) zn+1 + Pn+1 (ϕ, σ, ε) zn+1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ОЦIНКА РОЗМIРIВ ЗОН НЕСТIЙКОСТI ОДНОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ШРЕДIНГЕРА . . . 195
в якiй
Pn+1 = W−1
n+1
(
−
(
∂Wn+1
∂ϕ
, ω
)
−Wn+1Cn+1 + (Cn + Pn)Wn+1
)
=
= W−1
n+1
(
−
(
∂
√
1− detwn+1
∂ϕ
, ω
)
+ Pn − P̄n −Qn + Q̄n+
+ Pn (Wn+1 − I)− (Wn+1 − I) P̄n
)
.
Оскiльки detWn+1 = 1, tr Pn = 0, tr Cn = 0, tr Cn+1 = 0, то
tr Pn+1 = tr W−1
n+1
(
∂Wn+1
∂ϕ
, ω
)
=
(
∂ (detWn+1)
∂ϕ
, ω
)
= 0.
Далi знайдемо та оцiнимо розв’язок рiвняння (8). Оскiльки права частина (8) має нульо-
вий слiд та нульове середнє, то ми можемо теж саме вимагати вiд розв’язку wn+1. Позна-
чимо wn+1 =
(
w1 w2
w3 −w1
)
, а праву частину (6) через
(
q1 q2
q3 −q1
)
, wj =
∑
l 6=0
wj
l e
i(l,ω)t,
qj =
∑
l 6=0
qj
l e
i(l,ω)t, j = 1, 2, 3. Якщо Cn =
(
c1 c2
c3 −c1
)
, то
w1
l
w2
l
w3
l
= B−1
l
q1l
q2l
q3l
, де
Bl =
i(l, ω) c3 −c2
2c2 i(l, ω)− 2c1 0
−2c3 0 i(l, ω) + 2c1
, l 6= 0.
Зрозумiло, що на множинi Jσn × Jε detCn ≤ 0, а тому detBl 6= 0, l 6= 0. Покажемо,
що detBl 6= 0 i на множинi {σ ∈ C : |σ − Jσn | < sn} × Jε,n. Оскiльки |(l, ω)| ≥ Ω (‖l‖),
|(l ± k, ω)| ≥ g (‖k‖) Ω (‖l‖), то (l, ω)2 ≥ g2 (‖k‖) Ω2
(
Ñn+1
)
≥ 16sn, l 6= 0. Далi, оскiль-
ки
∣∣∣∣ ∂∂σ detCn
∣∣∣∣ ≤ 3
2
, то detBl ≤
3
2
sn. Тодi
∣∣∣(l, ω)2 − 4 detCn
∣∣∣ ≥ (l, ω)2 − 6sn ≥ 5
8
(l, ω)2.
Повторюючи мiркування з роботи [6], неважко отримати наступнi оцiнки в областi D′′
n =
= Πρn−δn ×Hn:
‖wn+1‖D′′
n,k ≤ 2m+9Φn,k ‖Q‖Dn,k ≤ 2m+9Φn,kMn,
‖Pn −Qn‖D′′
n,k ≤ 2mΦn,kM
2
n,∣∣∣√1− detwn+1 − 1
∣∣∣
D′′
n
≤ |detwn+1|D′′
n
≤ 4m+10Φ2
n,kM
2
n,
‖Wn+1 − I‖D′′
n,k ≤ 2m+10Φn,kMn,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
196 О. М. ДЕНИСЕНКО
з яких випливає умова 4n+1, а також оцiнки в областi Dn+1:∣∣∣∣∣
(
∂
√
1− detwn+1
∂ϕ
, ω
)∣∣∣∣∣
Dn+1
≤ |ω|
δn
∣∣∣√1− detwn+1 − 1
∣∣∣
D′′
n
≤ 4m+10Φ3
n,kM
2
n,
‖Pn+1‖Dn+1,k ≤ Mn+1.
Тодi
‖Fn+1 − Fn‖Dn+1,k = ‖Wn+1 − I‖Dn+1,k ‖Fn‖Dn+1,k ≤
≤ 2m+10Φn,kMn
n−1∏
j=1
(
1 + 2m+10Φj,kMj
)
≤
≤ 2m+10Φn,kMn exp
n−1∑
j=1
2m+10Φj,kMj
≤
≤ 2m+11Φn,kMn ≤ γ2n
∞ .
Оскiльки на множинi Re Hn+1,ε0 Cn+1 (σ, ε) має вигляд
(
icn+1 dn+1
d∗n+1 −icn+1
)
, де cn+1 ∈ R,
dn+1 ∈ C, то detCn+1 = f1 · f2, де f1 = cn+1 + |dn+1|, f2 = cn+1 − |dn+1|. З нерiвнос-
тей (7) випливає, що на множинi Re H ′
n,ε0
∣∣∣∣∂f1
∂σ
− 1
∣∣∣∣ ≤ 1
2
,
∣∣∣∣∂f2
∂σ
− 1
∣∣∣∣ ≤ 1
2
, i на мно-
жинi Jε,n |f1 (σ−n (ε) , ε)| ≤ 2Mn, |f2 (σ+
n (ε) , ε)| ≤ 2Mn. Тодi за теоремою про неяв-
ну функцiю iснують єдинi дiйснi аналiтичнi на множинi Jε,n функцiї σ−n+1 (ε) , σ+
n+1 (ε),∣∣σ±n+1 (ε)− Jσn
∣∣ < sn/2, такi, що f1
(
σ−n+1 (ε) , ε
)
= 0, f2
(
σ+
n+1 (ε) , ε
)
= 0. Зауважимо,
що sn+1 ≤ sn/4. Тому Dn+1,k ⊂ D′
n,k ⊂ Dn,k, Dn+1,k ⊂ D′′
n,k ⊂ Dn,k. Оскiльки 2Mn ≥
≥ |f1 (σ−n (ε) , ε)| =
∣∣f1
(
σ−n+1 (ε) , ε
)
− f1 (σ−n (ε) , ε)
∣∣ ≥ 1
2
∣∣σ−n+1 (ε)− σ−n (ε)
∣∣, то
∣∣σ−n+1 (ε)−
−σ−n (ε)| ≤ 4Mn. Аналогiчно
∣∣σ+
n+1 (ε)− σ+
n (ε)
∣∣ ≤ 4Mn .
Тепер покажемо, що
1
4
∣∣Jσn+1
∣∣ ≤ |dn+1| ≤ 2
∣∣Jσn+1
∣∣. Оскiльки∣∣f1
(
σ−n+1 (ε) , ε
)
− f1
(
σ+
n+1 (ε) , ε
)∣∣ =
∣∣f1
(
σ+
n+1 (ε) , ε
)
− f2
(
σ+
n+1 (ε) , ε
)∣∣ =
= 2
∣∣dn+1
(
σ+
n+1 (ε) , ε
)∣∣ ,
то внаслiдок нерiвностi (7)
1
2
∣∣σ−n+1 (ε)− σ+
n+1 (ε)
∣∣ ≤ 2
∣∣dn+1
(
σ+
n+1 (ε) , ε
)∣∣ ≤ 2
∣∣σ−n+1 (ε)− σ+
n+1 (ε)
∣∣ .
Аналогiчно встановлюється, що
1
2
∣∣σ−n+1 (ε)− σ+
n+1 (ε)
∣∣ ≤ 2
∣∣dn+1
(
σ−n+1 (ε) , ε
)∣∣ ≤ 2
∣∣σ−n+1 (ε)− σ+
n+1 (ε)
∣∣.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ОЦIНКА РОЗМIРIВ ЗОН НЕСТIЙКОСТI ОДНОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ШРЕДIНГЕРА . . . 197
Тодi на множинi Jσn+1 × Jε,n, оскiльки
∣∣∣∣∂dn+1
∂σ
∣∣∣∣ ≤ 1/4,
∣∣dn+1 (σ, ε)− dn+1
(
σ+
n+1, ε
)∣∣ ≤ 1
4
∣∣σ − σ+
n+1
∣∣ ≤ 1
4
∣∣Jσn+1
∣∣ ,
а отже,
|dn+1 (σ, ε)| ≤ 1
4
∣∣Jσn+1
∣∣+ ∣∣dn+1
(
σ+
n+1, ε
)∣∣ ≤ 1
4
∣∣Jσn+1
∣∣+ ∣∣Jσn+1
∣∣ < 2
∣∣Jσn+1
∣∣ .
Крiм того,
|dn+1(σ, ε)| ≥
∣∣dn+1
(
σ+
n+1, ε
)∣∣− ∣∣dn+1 (σ, ε)− dn+1
(
σ+
n+1, ε
)∣∣ ≥
≥ 1
2
|Jσn+1 | −
1
4
|Jσn+1 | =
1
4
|Jσn+1 |.
Таким чином, лему 2 доведено.
Далi, доводячи теорему 3, побудуємо iнтервал Iσ (µk, ε) = [σ− (ε) , σ+ (ε)] та покажемо,
що σ± (ε) ∈ C∞ (Jε). Визначимо σ± = lim
n→∞
σ±n . Оскiльки σ± =
∞∑
n=1
(
σ±n − σ±n−1
)
+ σ±0 , де
σ+
0 = σ−0 = σ0 = σ0 (ε) є розв’язком рiвняння c0 (σ, ε) = 0, та∣∣∣∣ dl
dεl
(
σ±n (ε)− σ±n−1 (ε)
)∣∣∣∣ ≤ 4l!Mn−1
εl1s
l
n
,
∣∣∣∣dlσ0 (ε)
dεl
∣∣∣∣ ≤ 4Ll! |ε|
εl1s
l
0
, ε ∈ Jε,
то з наслiдку 2 леми 1 випливає, що σ± (ε) ∈ C∞ (Jε). Дiйсно,
∞∑
n=1
∣∣∣∣ dl
dεl
(
σ±n (ε)− σ±n−1(ε)
)∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣∣dlσ
(ε)
0
dεl
∣∣∣∣∣ ≤
∞∑
n=1
4l!Mn−1
εl1s
l
n
≤
≤ 4Ll!|ε|
εl1s
l
0
≤
8|ε|r−1clg
−2l(‖k‖)l! 4
√
γ∞
εl1
≤ 4L|ε|l!
εl1s
l
0
, ε ∈ Jε,
тому сума ряду, який визначає σ±, буде нескiнченно диференцiйовною функцiєю на мно-
жинi Jε.
Покладемо в теоремi 3 F (ϕ, σ, ε) = lim
n→∞
Fn (ϕ, σ, ε), C (σ, ε) = lim
n→∞
Cn (σ, ε). Тодi з
леми 2 випливає, що ‖F − I‖D∗,k < 2 |ε|r−1 γ∞, ‖C − C0‖D∗,k ≤ 2 |ε|r−1 γ∞. Матриця C0 є
дiагональною, тому для будь-якого недiагонального елемента b матрицi C
|b (σ, ε) exp (i (k, ϕ))|D∗ = |b (σ, ε)|D∗ exp ((ρ− 2δ) ‖k‖) ≤ 2 |ε|r−1 γ∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
198 О. М. ДЕНИСЕНКО
Отже, оскiльки з леми 2 випливає оцiнка |Jσ| ≤ 4 |b| на множинi H∗, то
|Jσ| ≤ 4 |b| ≤ 4 · 2 |ε|r−1 γ∞ exp (− (ρ− 2δ) ‖k‖) = 22m+25 |ε|r Ψ3
k (δ) exp (− (ρ− 2δ) ‖k‖).
Таким чином, теорему 3 доведено.
Для доведення теореми 1 досить застосувати теорему 3 для r = 1, поклавши C0 =
= diag (iσ,−iσ). Тодi у лемi 2 σ+
0 = σ−0 = 0. Оскiльки σ± =
∞∑
n=1
(
σ±n − σ±n−1
)
+ σ±0 , то, ви-
користавши оцiнки 2n з леми 2, отримаємо |σ±| ≤ 2γ∞. З огляду на те, що E = (µk + σ)2,
визначимо Jλ (µk, ε) =
[
(µk + σ− (ε))2 , (µk + σ+ (ε))2
]
. Тодi
|Jλ| ≤ |Jσ|
2µk + σ− + σ+
µk
< 4 |Jσ| ≤ 22m+27 |ε|Ψ3
k (δ) exp (− (ρ− 2δ) ‖k‖),
що остаточно i доводить теорему 1.
3. Доведення теореми 2. Отже, розглянемо випадок, коли потенцiал u (ϕ) є тригоно-
метричним многочленом порядку p, тобто u (ϕ) =
∑
‖n‖≤p
U (n)ei(n,ϕ). Основна iдея теореми
3, яка доводиться нижче, полягає в тому, щоб за допомогою певної модифiкацiї технiки
зведення, що використовувалась при доведеннi леми 2, за скiнченне число крокiв звести
систему (4) до вигляду (5), де r = −
[
−‖k‖
p
]
, а потiм застосувати теорему 3.
Як i вище, покладемо
Ψk (δ) = infP
δj=δ
∞∏
ν=0
(Φk (δj))
2−ν−1
=
1
g2 (‖k‖)
Ψ (δ) < ∞,
для n ≥ 0 визначимо ρ0
n = ρ0 − 2
n−1∑
ν=0
δν , γn = c1−2−n
n−1∏
ν=0
Φ3·2−ν−1
ν,k |ε|γ, де Φν,k = Φk(δν),
γ =
∣∣∣∣ V (ϕ)
µk + σ
∣∣∣∣
D0
, c = 4m+11. Тодi |ε| γ = γ0 < γ1 < . . . < γn → γ∞ = cΨ3
k (δ) |ε| γ, i ми мо-
жемо вибрати |ε| настiльки малим, щоб cΨ3
k (δ) γ |ε| <
1
16
. Далi, для n ≥ 0, n ≤
≤ [log2 (r − 1)] + 1, r = −
[
−‖k‖
p
]
≥ 2, визначимо Mn = γ2n
n , Ñn =
2n+1
δn
ln
1
γn
, s0n =
= 4−n−2g2 (‖k‖) Ω2
(
Ñn
)
< 1. Позначимо D0
n = Πρ0
n
×H0
n, де H0
n =
{
σ ∈ C : |σ| < s0n
}
×
×{ε ∈ C : |ε| < ε0}, D′′
n = Πρ0
n−δn
× H0
n. Тут верхнi нуль-iндекси використовуються для
того, щоб запобiгти плутанинi при послiдовному застосуваннi теорем 4 та 3.
Теорема 4. Нехай у системi (4) функцiя u (ϕ) є тригонометричним многочленом по-
рядку p, r = −
[
−‖k‖
p
]
≥ 2. Тодi iснують стала L = L (r) > 0, областi D0, H0 та
аналiтичне перетворення F 0 : D0 → M2 (C) такi, що:
1) F 0 : Re D0 → K;
2)
∥∥F 0 − I
∥∥
D0,k
≤ G (‖k‖) |Lε| ;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ОЦIНКА РОЗМIРIВ ЗОН НЕСТIЙКОСТI ОДНОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ШРЕДIНГЕРА . . . 199
3) замiна змiнних x = F 0 (ϕ, σ, ε)x0 зводить систему (4) до системи
dx0
dt
= C0 (σ, ε)x0 + εrL−1
k
(ϕ
2
)
P (ϕ, σ, ε)Lk
(ϕ
2
)
x0,
в якiйP : D0 → M2 (C) є аналiтичною,P : Re D0 → K, tr P = 0, C0 (σ, ε) = diag (ic0 (σ, ε) ,
−ic0 (σ, ε)) , c0 : H0 → C, c0 : Re H0 → R, c0 (σ, 0) = σ, та
∣∣∣∣C0 (σ, ε)−
(
iσ 0
0 −iσ
)∣∣∣∣
D0
< G (‖k‖)L|ε|.
Опишемо iтерацiйний процес, який будемо використовувати для доведення теоре-
ми 4. Отже, покладемо Q
(r)
0 (ϕ, σ, ε) = εq0,1 (ϕ, σ) = ε
∑
‖l‖≤p
q
(l)
0,1 (σ) ei(l,ϕ), де q
(l)
0,1 (σ) =
=
U (l)
2 (µk + σ)
(
−i −i
i i
)
, C0
0 (σ, ε) = diag (iσ,−iσ). Таким чином, система (4) набуде ви-
гляду
dx
dt
= C0
0 (σ, ε)x+ L−1
k
(ϕ
2
)
Q
(r)
0 (ϕ, σ, ε)Lk
(ϕ
2
)
x. (9)
Позначимо qd
0,1 (σ) = diag
(
q
(0)
0,1 (σ)
)
, Qd
0 (σ, ε) = εqd
0,1 (σ). Визначимо матрицю
w1,1 (ϕ, σ, ε) як розв’язок рiвняння
(
∂w1,1
∂ϕ
, ω
)
+
(
−2iµk 0
0 2iµk
)
(w1,1 − diag (w1,1))+
+
[
w1,1, C
0
0
]
= q0,1 − qd
0,1, (ϕ, σ, ε) ∈ D0
0. (10)
Нехай Q
(r)
0 : D0
0 → M2 (C), Q(r)
0 : Re D0
0 → K. Покладемо w1 = εw1,1, F 0
1 (ϕ, σ, ε) =
= W1 (ϕ, σ, ε), де W1 = L−1
k w1Lk +
√
1− detw1 · I . Зауважимо, що оскiльки права частина
(10) має нульовий слiд, то w1 : D0
0 → M2 (C), w1 : Re D0
0 → K, tr w1 = 0, а отже,
detW1 = 1 i W−1
1 = L−1
k
(
−w1 + I
√
1− detw1
)
Lk. Тодi перетворення x = F1 (ϕ, σ, ε) z1
зводить систему (9) до системи
dz1
dt
= C0
1 (σ, ε) z1 +Q1 (ϕ, σ, ε) z1,
в якiй
C0
1 = C0
1 +Qd
0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
200 О. М. ДЕНИСЕНКО
Q1 = W−1
1
(
−
(
∂W1
∂ϕ
, ω
)
−W1C
0
1 +
(
C0
0 +Q
(r)
0
)
W1
)
= W−1
1 L−1
k
(
−
(
∂
√
1− detw1
∂ϕ
, ω
)
+
+Q
(r)
0
(
w1 + I
(√
1− detw1 − 1
))
−
(
w1 + I
(√
1− detw1 − 1
))
Qd
0
)
Lk =
= L−1
k
(
−w1 + I
(√
1− detw1 − 1
))(
−
(
∂
√
1− detw1
∂ϕ
, ω
)
+
+Q
(r)
0
(
w1 + I
(√
1− detw1 − 1
))
−
−
(
wn+1 + I
(√
1− detwn+1 − 1
))
Qd
0
)
Lk.
Пiдставивши розклад√
1− detw1 = 1− detw1
2
−
∞∑
j=2
(2j − 3)!! (detw1)
j
2jj!
у вираз дляQ1 та зiбравши члени при вiдповiдних степенях ε, запишемоQ1 у виглядiQ1 =
= L−1
k Q
(r)
1 Lk + εrL−1
k Q̃1Lk, де перший доданок мiстить члени розкладу Q1 за степенями ε,
меншими за r. Наприклад, якщо Q(r)
1 =
r−1∑
j=2
εjq1,j , то
q1,2 = q0,1w1,1 − w1,1q
d
0,1 +
1
2
I
(
∂ (detw1,1)
∂ϕ
, ω
)
,
q1,3 =
(
qd
0,1 − q0,1
) detw1,1
2
+ w1,1
1
2
(
∂ (detw1,1)
∂ϕ
, ω
)
− w1,1q0,1w1,1 + w2
1,1q
d
0,1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Гомологiчне рiвняння (10) можемо розв’язувати, як i при доведеннi леми 2. Якщо∣∣∣Q(r)
0
∣∣∣ ≤ M0, то
|w1|D′′
1
≤ 2m+9Φ0,kM0,∣∣∣w1 + I
(√
1− detw1 − 1
)∣∣∣
D′′
1
≤ 2m+10Φ0,kM0,
∣∣∣∣(∂√1− detw1
∂ϕ
, ω
)∣∣∣∣
D0
1
≤ 4m+10Φ3
0,kM
2
0 ,
а отже,
∣∣∣Q(r)
1
∣∣∣
D0
1
≤ M1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ОЦIНКА РОЗМIРIВ ЗОН НЕСТIЙКОСТI ОДНОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ШРЕДIНГЕРА . . . 201
Зауважимо, що у виразi для Q(r)
1 елементи матриць при εj є тригонометричними мно-
гочленами порядку pj.
Лема 3. Припустимо, що стала ε0 є досить малою i на n-му кроцi, 2n ≤ r − 1, r =
= −
[
−‖k‖
p
]
≥ 2, вже побудовано аналiтичне вiдображення F 0
n : D0
n → M2 (C) (F 0
0 = I),
таким чином, що:
1n) F 0
n : Re D0
n → K;
2n)
∥∥F 0
n − F 0
n−1
∥∥
D0
n,k
≤ γ2n−1
∞ , якщо n ≥ 1;
3n) замiна змiнних x = F 0
n (ϕ, σ, ε) zn зводить систему (9) до системи
dzn
dt
= C0
n (σ, ε) zn +Qn (ϕ, σ, ε) zn,
в якiй
C0
n (σ, ε) =
(
icn (σ, ε) 0
0 −icn (σ, ε)
)
, Qn = L−1
k Q(r)
n Lk + εrL−1
k Q̃nLk.
Матрицi Q(r)
n , Q̃n : D0
n → M2 (C) аналiтичнi,
Q(r)
n , Q̃n : Re D0
n → K, tr Q(r)
n = tr Q̃n = 0,
Q(r)
n (ϕ, σ, ε) =
r−1∑
j=2n
εjqn,j (ϕ, σ, ε), qn,j =
∑
‖l‖≤p·j
q
(l)
n,je
i(l,ϕ),
функцiя cn : H0
n → C, cn : Re H0
n → R, є аналiтичною, i, крiм того,∣∣∣Q(r)
n
∣∣∣
D0
n
≤ Mn,
∣∣C0
n − C0
n−1
∣∣
H0
n
≤ Mn−1, якщо n ≥ 1.
Тодi iснує таке аналiтичне вiдображення F 0
n+1 : D0
n+1 → M2 (C) , що виконуються
умови 1n+1 – 3n+1.
Наслiдок 3. Оскiльки у виразi дляQ(r)
n елементи матриць при εj є тригонометрични-
ми многочленами порядку pj, j ≤ r− 1, то середнiм по ϕ вiд L−1
k Q
(r)
n Lk буде дiагональна
матриця з нульовим слiдом.
Наслiдок 4. Iтерацiйний процес зупиняється, якщо 2n ≥ r (в цьому випадку Q(r)
n =
= 0).
Доведення. Позначимо через Qd
n середнє по ϕ дiагональних елементiв матрицi Q(r)
n .
З наслiдку 1 випливає, що середнiм вiд L−1
k Q
(r)
n Lk є матриця Qd
n. Оскiльки tr Qd
n = 0, то
можемо покласти C0
n+1 = C0
n +Qd
n. Тодi
∣∣C0
n+1 − C0
n
∣∣
H0
n+1
≤ Mn.
Визначимо матрицю
wn+1 (ϕ, σ, ε) =
r−1∑
j=2n
εjwn+1,j (ϕ, σ, ε),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
202 О. М. ДЕНИСЕНКО
де wn+1,j є розв’язком рiвняння(
∂wn+1,j
∂ϕ
, ω
)
+
(
−2iµk 0
0 2iµk
)
(wn+1,j − diag (wn+1,j))+
+
[
wn+1,j , C
0
n
]
= qn,j − qd
n,j , 2n ≤ j ≤ r − 1, (11)
(ϕ, σ, ε) ∈ D0
n, q
d
n,j — середнє по ϕ дiагональних елементiв матрицi qn,j . Покладемо
F 0
n+1 (ϕ, σ, ε) = Wn+1 (ϕ, σ, ε)F 0
n (ϕ, σ, ε) ,
де Wn+1 = L−1
k wn+1Lk + I
√
1− detwn+1. Зауважимо, що W−1
n+1 = L−1
k (−wn+1 +
+I
√
1− detwn+1)Lk. Тодi перетворення x = Fn+1 (ϕ, σ, ε) zn+1 зводить систему (9) до
системи
dzn+1
dt
= C0
n+1zn+1 +Qn+1 (ϕ, σ, ε) zn+1,
в якiй
Qn+1 = W−1
n+1
(
−
(
∂Wn+1
∂ϕ
, ω
)
−Wn+1C
0
n+1 +
(
C0
n +Qn
)
Wn+1
)
=
= W−1
n+1L
−1
k
(
−
(
∂
√
1− detwn+1
∂ϕ
, ω
)
+Q(r)
n
(
wn+1 + I
(√
1− detwn+1 − 1
))
−
−
(
wn+1 + I
(√
1− detwn+1 − 1
))
Qd
n
)
Lk + εrW−1
n+1L
−1
k Q̃nLkWn+1 =
= L−1
k
(
−wn+1 +
√
1− detwn+1
)(
−
(
∂
√
1− detwn+1
∂ϕ
, ω
)
+
+Q(r)
n
(
wn+1 + I
(√
1− detwn+1 − 1
))
−
(
wn+1 + I
(√
1− detwn+1 − 1
))
Qd
n
)
Lk−
−W−1
n+1L
−1
k
(
wn+1 + I
(√
1− detwn+1 − 1
))
Qd
nLk+
+ εrL−1
k
(
−wn+1 +
√
1− detwn+1
)
Q̃n
(
wn+1 +
√
1− detwn+1
)
Lk.
Пiдставивши розклад
√
1− detwn+1 = 1− detwn+1
2
−
∞∑
j=2
(2j − 3)!! (detwn+1)
j
2jj!
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ОЦIНКА РОЗМIРIВ ЗОН НЕСТIЙКОСТI ОДНОВИМIРНОГО РIВНЯННЯ ШРЕДIНГЕРА . . . 203
у вираз для Qn+1 та зiбравши члени при вiдповiдних степенях ε, визначимо Q(r)
n+1, а отже,
i Q̃n+1. Наприклад,
qn+1,2n+1 =
1
2
I
(
∂ (detwn+1,2n)
∂ϕ
, ω
)
+ qn,2nwn+1,2n − wn+1,2nqd
n,2n ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Гомологiчнi рiвняння (11) ми можемо розв’язувати аналогiчно, як i в лемi 2. При цьому
будемо мати оцiнки
|wn+1|D′′
n
≤ 2m+9Φn,kMn,∣∣∣wn+1 + I
(√
1− detwn+1 − 1
)∣∣∣
D′′
n
≤ 2m+10Φn,kMn,∣∣∣∣∣
(
∂
√
1− detwn+1
∂ϕ
, ω
)∣∣∣∣∣
D0
n+1
≤ 4m+10Φ3
n,kM
2
n,
з яких випливає
∣∣∣Q(r)
n+1
∣∣∣
D0
n+1
≤ Mn+1 та нерiвнiсть в умовi 2n.
Доведення теореми 4 полягає в l-кратному застосуваннi леми 3, l = [log2 (r − 1)] + 1.
При цьому D0 = D0
l , H0 = H0
l , F 0 = F 0
l , C0 = C0
l , P = Q̃l. З урахуванням зображення
рiвняння (1) у виглядi еквiвалентних систем (4) та (5) доведення теореми 2 зводиться до
послiдовного застосування теорем 4 та 3. Для цього необхiдно покласти ρ = ρ0
l та вибрати
|ε| настiльки малим, щоб s0 ≤ s0l .
1. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод ускоренной сходимости в нели-
нейной механике. — Киев: Наук. думка, 1969. — 248 с.
2. Moser J. Convergent series expansions for quasi-periodic motions// Math. Ann. — 1967. — 169. — P. 136 – 176.
3. Арнольд В. И. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических дви-
жений при малом изменении функции Гамильтона // Успехи мат. наук. — 1963. — 18, вып. 5. — С. 13 – 40.
4. Белоколос Е. Д. Квантовая частица в одномерной деформированной решетке. Оценки размеров ла-
кун в спектре // Теор. и мат. физика. — 1975. — 25, № 3. — С. 344 – 357.
5. Динабург Е. И., Синай Я. Г. Об одномерном уравнении Шредингера с квазипериодическим потенциа-
лом // Функц. анализ и его прил. — 1975. — 9, № 4. — С. 8 – 21.
6. Moser J., Pöschel J. An extension of a result by Dinaburg and Sinai on quasi-periodic potentials // Comment.
math. helv. — 1984. — 59. — P. 39 – 85.
7. Eliasson L. H. Floquet solutions for the one-dimensional quasi-periodic Schrödinger equation // Communs
Math. Phys. — 1992. — 146. — P. 447 – 482.
Одержано 21.06.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7255 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:55:42Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Денисенко, О.М. 2010-03-26T10:54:24Z 2010-03-26T10:54:24Z 2007 Оцінка розмірів зон нестійкості одновимірного рівняння Шредінгера з аналітичним квазіперіодичним потенціалом / О.М. Денисенко // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 188-203. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7255 517.9 Рассмотрено одномерное стационарное квазипериодическое уравнение Шредингера с аналитическим потенциалом. С помощью методов КАМ-теории построены границы зон неустойчивости, решения, соответствующие этим границам, и оценены размеры зон неустойчивости. Отдельно рассмотрен случай, когда потенциал является тригонометрическим многочленом конечного порядка. This paper is concerned with a one-dimensional quasiperiodic Schr¨odinger equation with analytic potential. KAM-theory methods are applied to construct boundaries of instability zones and solutions for these boundaries. Sizes of instability zones have been estimated. In addition we have considered the case where the potential is a finite order trigonometric polynomial. uk Інститут математики НАН України Оцінка розмірів зон нестійкості одновимірного рівняння Шредінгера з аналітичним квазіперіодичним потнціалом Article published earlier |
| spellingShingle | Оцінка розмірів зон нестійкості одновимірного рівняння Шредінгера з аналітичним квазіперіодичним потнціалом Денисенко, О.М. |
| title | Оцінка розмірів зон нестійкості одновимірного рівняння Шредінгера з аналітичним квазіперіодичним потнціалом |
| title_full | Оцінка розмірів зон нестійкості одновимірного рівняння Шредінгера з аналітичним квазіперіодичним потнціалом |
| title_fullStr | Оцінка розмірів зон нестійкості одновимірного рівняння Шредінгера з аналітичним квазіперіодичним потнціалом |
| title_full_unstemmed | Оцінка розмірів зон нестійкості одновимірного рівняння Шредінгера з аналітичним квазіперіодичним потнціалом |
| title_short | Оцінка розмірів зон нестійкості одновимірного рівняння Шредінгера з аналітичним квазіперіодичним потнціалом |
| title_sort | оцінка розмірів зон нестійкості одновимірного рівняння шредінгера з аналітичним квазіперіодичним потнціалом |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7255 |
| work_keys_str_mv | AT denisenkoom ocínkarozmírívzonnestíikostíodnovimírnogorívnânnâšredíngerazanalítičnimkvazíperíodičnimpotncíalom |