Метод Фаедо-Гальоркіна для нелінійних еволюційних рівнянь другого порядку з операторами Вольтерри
Рассмотрен класс дифференциально-операторных уравнений второго порядка соператорами ωλ0-типа. Спомощью метода Фаедо – Галеркина исследована проблема существования решения задачи Коши для данных уравнений. Получены важные априорные оценки. Приведен пример, иллюстрирующий данный результат. We consider...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7256 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Метод Фаедо - Гальоркіна для нелінійних еволюційних рівнянь другого порядку з операторами Вольтерри / Н.В. Задоянчук, П.О. Касьянов // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 204-228. — Бібліогр.: 18 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860236107685298176 |
|---|---|
| author | Задоянчук, Н.В. Касьянов, П.О. |
| author_facet | Задоянчук, Н.В. Касьянов, П.О. |
| citation_txt | Метод Фаедо - Гальоркіна для нелінійних еволюційних рівнянь другого порядку з операторами Вольтерри / Н.В. Задоянчук, П.О. Касьянов // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 204-228. — Бібліогр.: 18 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассмотрен класс дифференциально-операторных уравнений второго порядка соператорами ωλ0-типа. Спомощью метода Фаедо – Галеркина исследована проблема существования решения задачи Коши для данных уравнений. Получены важные априорные оценки. Приведен пример, иллюстрирующий данный результат.
We consider the second order differential-operators equations with w 0-pseudomonotone operators. The problem of existence of solutions for the Cauchy problem for the given equations by using Faedo – Galerkin method is investigated. Important a priory estimates have been obtained. An example that illustrates the result is given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:24:11Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 9
МЕТОД ФАЕДО – ГАЛЬОРКIНА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ
РIВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ З ОПЕРАТОРАМИ ВОЛЬТЕРРИ
Н. В. Задоянчук, П. О. Касьянов
Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка
Україна, 01033, Київ, вул. Володимирська, 64
We consider the second order differential-operators equations with wλ0-pseudomonotone operators. The
problem of existence of solutions for the Cauchy problem for the given equations by using Faedo – Galerkin
method is investigated. Important a priory estimates have been obtained. An example that illustrates the
result is given.
Рассмотрен класс дифференциально-операторных уравнений второго порядка с операторами
wλ0-псевдомонотонного типа. С помощью метода Фаедо – Галеркина исследована проблема су-
ществования решения задачи Коши для данных уравнений. Получены важные априорные оцен-
ки. Приведен пример, иллюстрирующий данный результат.
1. Вступ. Один iз найважливiших пiдходiв до вивчення нелiнiйних граничних задач, що
описуються диференцiальними рiвняннями з частинними похiдними, полягає у зведен-
нi даних об’єктiв до операторних та диференцiально-операторних рiвнянь у банахових
просторах. Для еволюцiйних рiвнянь та включень першого порядку з нелiнiйними опе-
раторами λ-псевдомонотонного типу питання розв’язностi вивчалось багатьма авторами
[1 – 13]. У роботi [14], зокрема, розглядаються диференцiально-операторнi включення з
вiдображеннями wλ0-псевдомонотонного типу. Для еволюцiйних рiвнянь другого порядку
дане питання вивчалось у роботах [15, 16] для лiнiйних та монотонних операторiв. У данiй
роботi дослiджується питання про розв’язнiсть еволюцiйних рiвнянь другого порядку з
нелiнiйними немонотонними операторами шляхом зведення даних об’єктiв до еволюцiй-
них рiвнянь першого порядку з некоерцитивними операторами wλ0-псевдомонотонного
типу.
2. Постановка задачi. Нехай H — гiльбертiв простiр зi скалярним добутком (·, ·),
{Vσ}σ≥0 — ланцюжок гiльбертових просторiв: ∀σ1 ≥ σ2 ≥ 0: Vσ1 ⊂ Vσ2 , причому вкла-
дення неперервне та щiльне, V0 = H . Зауважимо, що згiдно з лемою Рiса топологiчно
спряжений простiр до H вiдносно бiлiнiйної форми (·, ·) ототожнимо iз самим H . Таким
чином, V−σ = V ∗
σ — спряжений до Vσ простiр вiдносно бiлiнiйної форми (·, ·) (детальнi-
ше див. [15, с. 29 – 30]). Нехай, далi, V — рефлексивний сепарабельний банахiв простiр,
компактно та щiльно вкладений у гiльбертiв простiр H , V ∗ — топологiчно спряжений до
V простiр вiдносно (·, ·). Припустимо, що для σ ≥ σ0 > 0 має мiсце такий ланцюжок
вкладень:
Vσ ⊂ V ⊂ H ≡ H∗ ⊂ V ∗ ⊂ V ∗
σ ,
причому вважаємо, що кожне з вкладень є компактним та щiльним. Позначимо через S
скiнченний iнтервал часу [0, T ] i покладемо
X = Lp0(S;H) ∩ Lp1(S;V ), Xσ = Lp0(S;H) ∩ Lp1(S;Vσ),
c© Н. В. Задоянчук, П. О. Касьянов, 2007
204 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
МЕТОД ФАЕДО – ГАЛЬОРКIНА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 205
X∗ = Lq0(S;H) + Lq1(S;V ∗), X∗
σ = Lq0(S;H) + Lq1(S;V ∗
σ ),
Y = Y ∗ = L2(S;H),
де 1 < p1 ≤ p0 < ∞, p0 ≥ 2, +∞ > q1 ≥ q0 > 1:
1
p0
+
1
q0
=
1
p1
+
1
q1
= 1.
Простiр W = {y ∈ X| y′ ∈ X∗} (вiдповiдно Wσ = {y ∈ X| y′ ∈ X∗
σ}) є банаховим
простором вiдносно норми ‖y‖W = ‖y‖X + ‖y′‖X∗ (вiдповiдно ‖y‖Wσ = ‖y‖X + ‖y′‖X∗
σ
),
де y′ — похiдна вiд елемента y ∈ X в сенсi простору скалярних розподiлiв D∗(S, V ∗
σ ) =
= L(D(S);V ∗
σ ) (вiдповiдно в сенсi D∗(S, V ∗)). Зауважимо, що простiр X неперервно та
щiльно вкладений в Y , а Wσ компактно вкладений в Y , тобто норма ‖ · ‖Y є компактною
вiдносно ‖ · ‖Wσ на Wσ та неперервною вiдносно ‖ · ‖X на X .
Для довiльних v ∈ X та f ∈ X∗ iснують f1 ∈ Lq1(S;V ∗), f2 ∈ Lq0(S;H) такi, що
f = f1 + f2,
〈f, v〉X =
∫
S
〈f1(t), v(t)〉V dt +
∫
S
(f2(t), v(t))Hdt =
∫
S
(f(t), v(t))dt = (f, v)Y .
Тут 〈·, ·〉V : V ∗ × V → R — канонiчне спарювання в V , що збiгається на H зi скалярним
добутком (·, ·).
Розглянемо задачу
u′′ + Au′ + Bu = f,
(1)
u(0) = a0, u′(0) = a1, u ∈ C(S;V ), u′ ∈ X,
де a0 ∈ V , a1 ∈ H та f ∈ X∗ — довiльнi фiксованi елементи. Метою даної роботи є
доведення розв’язностi даної проблеми методом Фаедо – Гальоркiна.
3. Класи вiдображень.
Означення 1. Оператор A : X → X∗ називається λ0-псевдомонотонним на W (на
Wσ), якщо iз довiльної послiдовностi {yn}n≥1 ⊂ W (Wσ) такої, що yn → y слабко в X,
y′n → y′ слабко в X∗(X∗
σ), Ayn → d слабко в X∗ та
lim
n→∞
〈Ayn, yn − y〉X ≤ 0,
можна видiлити таку пiдпослiдовнiсть {ynk
}k≥1 послiдовностi {yn}n≥1, що
lim
k→∞
〈Aynk
, ynk
− w〉X ≥ 〈Ay, y − w〉X ∀w ∈ X.
Зауважимо, що iдея переходу до пiдпослiдовностей належить I. В. Скрипнику [3].
Означення 2. Оператор A : X → X∗ називається оператором з (X, Wσ)-напiвобме-
женою варiацiєю ((X, Wσ)-н.о.в.), якщо для будь-яких R > 0, y1, y2 ∈ X таких, що
‖yi‖X ≤ R, i = 1, 2, виконується нерiвнiсть
〈Ay1, y1 − y2〉X ≥ 〈Ay2, y1 − y2〉X − C(R; ‖y1 − y2‖′Wσ
), (2)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
206 Н. В. ЗАДОЯНЧУК, П. О. КАСЬЯНОВ
де C : R+×R+ → R — неперервна за другою змiнною функцiя така, що t−1C(r1; tr2) → 0
при t → +0 ∀r1, r2 ≥ 0, а (напiв)норма ‖ · ‖′Wσ
є компактною вiдносно ‖ · ‖Wσ на Wσ i
неперервною вiдносно ‖ · ‖X на X .
Зауваження 1. Оператори з (W ;X)-н.о.в. були вперше введенi Ю. А. Дубiнським в [4],
а для багатозначних вiдображень — в роботах [5, 6].
Пропозицiя 1 [7]. Справедлива iмплiкацiя:
„A — радiально неперервний оператор з (X;Wσ)-н.о.в”⇒ „A — λ0-псевдомонотонний
на Wσ оператор”.
Лема 1. Нехай A1, A2 : X → X∗ — оператори з (X;Wσ)-н.о.в. Тодi їх сума A : X →
→ X∗ є також оператором з (X;Wσ)-н.о.в.
Доведення. Нехай для оператора Ai : X → X∗, деякої функцiї Ci : R+ × R+ → R,
i = 1, 2, з означення 2 та (напiв)норми ‖·‖i, компактної вiдносно ‖·‖Wσ на Wσ i неперервної
вiдносно ‖ · ‖X на X , виконується (2). Тодi вiзьмемо
∀r, t ≥ 0 : CA(r, t) = tc̃1(r, t) + tc̃2(r, t),
де для всiх r, t ≥ 0
c̃i(r, t) :=
sup
s∈(0,t]
Ci(r, s)
s
при t > 0,
0, при t = 0,
i = 1, 2.
Зауваживши, що для r ≥ 0 функцiя R+ 3 t → c̃i(r, t) ∈ R є монотонно неспадною,
неперервною, та взявши
‖ · ‖ := ‖ · ‖1 + ‖ · ‖2,
отримаємо, що для всiх R > 0 та y1, y2 ∈ X таких, що ‖yi‖X ≤ R, i = 1, 2, виконується
нерiвнiсть
〈Ay1, y1 − y2〉X ≥ 〈Ay2, y1 − y2〉X − CA(R; ‖y1 − y2‖).
Функцiя CA, очевидно, задовольняє всi властивостi з означення 2, (напiв)норма ‖ · ‖ є
компактною вiдносно ‖ · ‖Wσ на Wσ i неперервною вiдносно ‖ · ‖X на X .
Лему доведено.
Означення 3. Оператор A : X → X∗ називається коерцитивним, якщо iснує визна-
чена на [0,∞) дiйсна функцiя γ з lim
s→∞
γ(s) = +∞ така, що
〈Au, u〉X ≥ γ(‖u‖X)‖u‖X ∀u ∈ X.
Означення 4. Оператор A : X → X∗ називається монотонним, якщо
〈Au−Av, u− v〉X ≥ 0 ∀u, v ∈ X.
Означення 5. Оператор A : X → X∗ називається оператором типу Вольтерри,
якщо для довiльного t ∈ S iз рiвностi u(s) = v(s) для майже всiх s ∈ [0, t] (u, v ∈ X),
випливає, що (Au)(s) = (Av)(s) для майже всiх s ∈ [0, t].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
МЕТОД ФАЕДО – ГАЛЬОРКIНА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 207
Означення 6. Оператор A : X → X∗ називається радiально неперервним, якщо для
будь-яких фiксованих u, v ∈ X дiйсна функцiя s → 〈A(u+sv), v〉X є неперервною на [0, 1].
Означення 7. Оператор A : X → X∗ називається демiнеперервним, якщо з un → u в
X випливає, що Aun слабко збiгається до Au в X∗.
Наведемо приклади λ0-псевдомонотонних на Wоператорiв.
Означення 8. Оператор A : X → X∗ називається оператором варiацiйного числен-
ня на Wσ (на W ), якщо вiн має вигляд A(y) = Ā(y, y), де вiдображення Ā : X ×X → X∗
характеризується такими властивостями:
а) для будь-якого w ∈ Wσ Ā(w, ·) — радiально неперервний оператор з (X, Wσ)-н.о.в.
(вiдповiдно (X, W )-н.о.в.);
б) для будь-якого фiксованого w ∈ Wσ вiдображення Wσ 3 y 7−→ Ā(y, w) ∈ X∗ є
обмеженим;
в) з того, що yn → y слабко в Wσ (в W ) i 〈Ā(yn, yn)− Ā(yn, y), yn− y〉X → 0, випливає
iснування такої пiдпослiдовностi {ynk
}, що для будь-якого w ∈ Wσ Ā(ynk
, w) → Ā(y, w)
слабко в X∗;
г) якщо yn → y слабко в Wσ (в W ) i Ā(yn, w) → d(w) слабко в X∗ ∀ω ∈ X, то
знайдеться така пiдпослiдовнiсть {ynk
}, для якої 〈Ā(ynk
, w), ynk
〉 → 〈d(w), y〉X ∀ω ∈ X .
Пропозицiя 2 [7]. Нехай A : X → X∗— оператор варiацiйного числення на Wσ (на
W ). Тодi вiн λ0-псевдомонотонний на Wσ (на W ).
Пропозицiя 3 [7]. Нехай A1, A2 : X → X∗ — оператори варiацiйного числення на Wσ
(на W ). Тодi A = A1 + A2 є оператором варiацiйного числення на Wσ (на W ).
Лема 2. Нехай A1 : X → X∗ — радiально неперервний оператор з (X;Wσ)-н.о.в.,
A2 : X → X∗ задовольняє умови:
1) оператор A2 : Wσ → X∗ є обмеженим;
2) якщо yn → y слабко в Wσ, yn → y ∗-слабко в L∞(S;H) i 〈A2(yn)−A2(y), yn−y〉X →
→ 0, то знайдеться така пiдпослiдовнiсть {ynk
}, для якої A2(ynk) → A2(y) слабко
в X∗;
3) якщо yn → y слабко в Wσ, yn → y ∗-слабко в L∞(S;H) i A2(yn) → d2 слабко в X∗,
то знайдеться така пiдпослiдовнiсть {ynk
}, для якої 〈A2(yn)k, ynk〉X → 〈d2, y〉X → 0.
Тодi A = A1+A2 (Ay = Ā(y, y) = A1(y)+A2(y), A(u, v) = A1(u)+A2(v)) є оператором
варiацiйного числення на Wσ.
Доведення. Встановимо виконання властивостi а). Для кожного v ∈ Wσ Ā(v, ·) : X →
→ X∗ — радiально неперервний оператор з (X;Wσ)-н.о.в. Радiальна неперервнiсть —
наслiдок такої ж властивостi для A1. Далi, ∀y1, y2 ∈ X : ‖y1‖X ≤ R, ‖y2‖X ≤ R,
〈Ā(v, y1)− Ā(v, y2), y1 − y2〉X = 〈(A1(y1)−A2(v))− (A1(y2)−A2(v)), y1 − y2〉X =
= 〈A1(y1)−A1(y2), y1 − y2〉X ≥ −C(R, ‖y1 − y2‖′Wσ
).
Властивiсть б) є очевидною.
Доведемо властивiсть в). Нехай yn → y слабко в Wσ, yn → y ∗-слабко в L∞(S;H) та
0 ← 〈Ā(yn, yn)− Ā(yn, y), yn − y〉X = 〈A2(yn)−A2(y), yn − y〉X .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
208 Н. В. ЗАДОЯНЧУК, П. О. КАСЬЯНОВ
Тодi за умовою 2 для деякої пiдпослiдовностi {ym} ⊂ {yn} Ā(ym, v) → Ā(y, v) слабко в
X∗ ∀v ∈ Wσ.
Покажемо виконання властивостi г). Нехай yn → y слабко в Wσ, Ā(yn, ω) → d(ω)
слабко в X∗ при кожному ω ∈ Wσ, тобто Ā(yn, ω) = A1(ω) + A2(yn) i A2(yn) → d̃(ω)
слабко в X∗, де d̃(ω) = d(ω) − A1(ω). Але тодi на пiдставi умови 3 iснує пiдпослiдовнiсть
{ym} ⊂ {yn} така, що
〈A2(ym), ym〉X → 〈d̃(ω), y〉X = 〈d(ω)−A1(ω), y〉X
або
〈Ā(ym, ω), ym〉X = 〈A1(ω) + A2(ym), ym〉X → 〈d(ω), y〉X .
Лему доведено.
Наступне твердження є безпосереднiм наслiдком леми 2.
Лема 3. Нехай A1 : X → X∗ взято з леми 2, A2 : Y → Y ∗ — демiнеперервний опе-
ратор, обмежений iз Wσ в X∗ та простiр Wσ компактно вкладений в Y . Тодi оператор
A = A1 + A2 є оператором варiацiйного числення.
Доведення. Для оператора A2 : Y → Y ∗ перевiримо виконання умов леми 2.
1. Оператор A2 : Wσ → X∗ є обмеженим за умовою.
2. Нехай yn → y слабко в Wσ, тодi yn → y сильно в Y , бо Wσ компактно вкладений в
Y , yn → y ∗-слабко в L∞(S;H). Оскiльки оператор A2 : Y → Y ∗ є демiнеперервним, то
A2(yn) → A2(y) слабко в Y ∗ i виконується 〈A2(yn)−A2(y), yn− y〉X → 0. Тому знайдеться
така пiдпослiдовнiсть {ynk
}, для якої A2(ynk) → A2(y) слабко в X∗.
Умова 3 випливає з п. 2.
Отже, за лемою 2 оператор A = A1 + A2 (Ay = Ā(y, y) = A1(y) + A2(y), A(u, v) =
= A1(u) + A2(v)) є оператором варiацiйного числення на Wσ.
Лему доведено.
4. Метод Фаедо – Гальоркiна. Нехай {hi}i≥1 — повна система лiнiйно незалежних еле-
ментiв iз Vσ для деякого σ ≥ σ0 i Hn — лiнiйна оболонка множини {hi}ni=1, надiлена ска-
лярним добутком, iндукованим iз H . Згiдно з попереднiми мiркуваннями, спряжений до
Hn простiр H∗
n ототожнений iз самим Hn; Xn := Lp0(S;Hn), X∗
n = Lq0(S;Hn) — спря-
жений до Xn простiр вiдносно бiлiнiйної форми 〈·, ·〉Xn = 〈·, ·〉X
∣∣∣
X∗
n×Xn
, Wn := {y ∈
∈ Xn| y′ ∈ X∗
n}, де похiдну y′ вiд елемента y ∈ X розумiємо в сенсi простору розподi-
лiв D∗(S, Hn).
Нехай для довiльного n ≥ 1 In ∈ L(Xn;X) — канонiчне вкладення Xn в X (тобто
Inx = x ∀x ∈ Xn), I∗n — спряжений оператор до In.
Позначимо через Pn оператор ортогонального проектування з H в Hn. Припустимо,
що даний оператор задовольняє умови
‖Pn‖L(H;H) ≤ 1, ‖Pn‖L(Vσ ;Vσ) ≤ 1, ‖Pn‖L(V ∗
σ ;V ∗
σ ) ≤ 1. (3)
Зауважимо, що в якостi повної системи векторiв {hj}j≥1, що задовольняє (3), можемо
взяти так званий „спецiальний” базис для пари (Vσ;H) (детальнiше див. [11, 12, 14]). За-
уважимо також, що для всiх n ≥ 1 та f ∈ X∗ (I∗nf)(t) = Pnf(t) для майже всiх t ∈ S.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
МЕТОД ФАЕДО – ГАЛЬОРКIНА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 209
Розв’язки задачi (1) будемо „наближати” розв’язками задачi
u′′n + Anu′n + Bnun = fn,
un(0) = a0n, u′n(0) = a1n, (4)
un ∈ C(S;Hn), u′n ∈ Xn,
де An := I∗nAIn : Xn → X∗
n, Bn := I∗nBIn : X → X∗, fn := I∗nf ∈ X∗
n, {a0n}n≥1, a0n ∈ Hn
— довiльна послiдовнiсть, що збiгається до a0 в V ; {a1n}n≥1: a1n ∈
∈ Hn — довiльна послiдовнiсть, що збiгається до a1 в H.
5. Основний результат. Наступна теорема обґрунтовує питання розв’язностi зада-
чi (1).
Теорема 1. Нехай λA ≥ 0 — фiксоване, I : X → X∗ — канонiчне вкладення X в X∗.
Припустимо, що A + λAI : X → X∗ — коерцитивний, радiально неперервний, обме-
жений оператор Вольтерри з (X, Wσ)-н.о.в. такий, що A : C(S;Vσ) → X∗ — демiнепе-
рервний. Нехай, далi, B : Y → Y ∗ — неперервний оператор Вольтерри, що задовольняє
умову
∃c1, c2 ≥ 0 : ‖By‖Y ∗ ≤ c1‖y‖Y + c2 ∀y ∈ Y.
Тодi для довiльних a0 ∈ V, a1 ∈ H та f ∈ X∗ iснує принаймнi один розв’язок задачi
(1) u ∈ X , причому u′ ∈ W та знайдеться така пiдпослiдовнiсть {unk
} послiдовностi
{un}n≥1, для якої виконуються наступнi властивостi:
un
′′
k → u′′ слабко в X∗, un
′
k → u′ слабко в X, un
′
k → u′ в Y,
unk → u в C(S;H) та unk → u слабко в X,
де {un}n≥1 — послiдовнiсть розв’язкiв (4).
Зауваження 2. Рiвняння u′′+Au′+Bu = f розумiємо як рiвняння у просторiD∗(S;V ∗).
Якщо u ∈ C(S;V ) з u′ ∈ X задовольняє це рiвняння, то u′′ = f − Au′ − Bu ∈ X∗. Це
означає, що u′ ∈ W ⊂ C(S;H). Звiдси випливає виконання умов u′(0) = a1 ∈ H та
u′ ∈ W .
Доведення. По аналогiї з [15] (теорема VII.1.1) зведемо еволюцiйне рiвняння з (1) до
рiвняння першого порядку. Нехай R : X → X(Y → Y, C(S;Vσ) → C1(S;Vσ)) — оператор
Вольтерри, визначений спiввiдношенням
(Rv)(t) = a0 +
t∫
0
v(s)ds ∀v ∈ X ∀t ∈ S.
R є лiпшиць-неперервним оператором з X в X (з Y в Y , з C(S;Vσ) в C(S;Vσ)). Якщо u —
розв’язок задачi (1): u′ ∈ W , то v = u′ буде розв’язком задачi
v′ + (A + B ◦R)v = f,
(5)
v(0) = a1, v ∈ W.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
210 Н. В. ЗАДОЯНЧУК, П. О. КАСЬЯНОВ
Навпаки, якщо v — розв’язок задачi (5), то u = Rv — розв’язок задачi (1) такий, що
u′ ∈ W ⊂ X .
Для деякого фiксованого λ ≥ λA розглянемо оператор Вольтерри A := λI + A + B ◦
◦R : X → X∗ (I : X → X ⊂ X∗ — тотожне вiдображення). По аналогiї iз доведенням
наслiдку 5.2.2 [5], застосувавши замiсть теореми 5.2.2 з [5] теорему 1 iз [7], на пiдставi
пропозицiї 1 достатньо перевiрити такi умови:
α1) A : X → X∗ — радiально неперервний оператор з (X;Wσ)-н.о.в.;
α2) оператор A : C(S;Vσ) → X∗ є демiнеперервним;
α3) оператор A : X → X∗ є коерцитивним.
Перевiримо цi умови.
Щоб перевiрити умову α1), доведемо допомiжне твердження.
Пропозицiя 4. Нехай B : Y → Y ∗ — неперервний оператор. Тодi (B ◦ R) : X → X∗
— оператор з (X, Wσ)-н.о.в.
Доведення. Побудуємо функцiю C(R, t). Нехай для всiх R ≥ 0 та t ≥ 0
C(R, t) = t sup
z1, z2 ∈ X : ‖zi‖X ≤ R,
‖z1 − z2‖Y ≤ t, i = 1, 2
‖B(Rz1)−B(Rz2)‖Y ∗ =: tc(R, t).
Перевiримо, що дане вiдображення означене коректно, тобто
∀R, t ≥ 0 : c(R, t) < +∞. (6)
Нехай це не так. Тодi для деяких R > 0 та t > 0 C(R, t) = +∞. Це означає, що
iснують послiдовностi {zn
i }n≥1 ⊂ X , i = 1, 2, такi, що ‖zn
i ‖X ≤ R, ‖zn
1 − zn
2 ‖Y ≤ t для
всiх n ≥ 1 та ‖B(Rzn
1 ) − B(Rzn
2 )‖Y ∗ → +∞ при n → ∞. Iз неперервностi вкладення
X ⊂ X∗
σ та iз глобальної лiпшицевостi оператора R : X → X випливає обмеженiсть у
Wσ послiдовностей {Rzn
1 }n≥1 та {Rzn
2 }n≥1, а отже, iз компактностi вкладення Wσ в Y — i
передкомпактнiсть даних послiдовностей в Y .
Таким чином, можна видiлити такi пiдпослiдовностi {zm
i }m≥1 послiдовностей {zn
i }n≥1,
i = 1, 2, що
Rzm
i → ξi в Y та B(Rzm
i ) → B(ξi) в Y ∗, i = 1, 2,
для деяких ξi ∈ Y . Отже,
‖B(Rzm
1 )−B(Rzm
2 )‖Y ∗ → ‖B(ξ1)−B(ξ2)‖Y ∗ < +∞.
Коректнiсть визначення функцiї C в сенсi (6) перевiрено.
Зауважимо, що для всiх R ≥ 0 та t ≥ 0 c(R, 0) ≡ c(0, t) ≡ 0.
Виберемо компактну вiдносно ‖ · ‖Wσ на Wσ та неперервну вiдносно ‖ · ‖X на X норму
‖ · ‖′Wσ
:= ‖ · ‖Y . Зауважимо, що для всiх R ≥ 0 та довiльних y1, y2 ∈ X таких, що ‖yi‖X ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
МЕТОД ФАЕДО – ГАЛЬОРКIНА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 211
≤ R, i = 1, 2,
〈B(Ry1)−B(Ry2), y1 − y2〉X = 〈B(Ry1)−B(Ry2), y1 − y2〉Y ≥
≥ −‖B(Ry1)−B(Ry2)‖Y ∗‖y1 − y2‖Y ≥
≥ − sup
z1, z2 ∈ X : ‖zi‖X ≤ R,
‖z1 − z2‖Y ≤ t, i = 1, 2
‖B(Rz1)−B(Rz2)‖Y ∗ · ‖y1 − y2‖Y = −C(R, ‖y1 − y2‖Y ).
Таким чином, для завершення доведення даної пропозицiї залишилось довести, що:
1)
C(R, t)
t
=: c(R, t) → 0 при t → 0+;
2) ∀R ≥ 0 функцiя [0,+∞) 3 t → C(R, t) є неперервною.
1. Перевiримо, що для всiх R > 0 c(R, t) → 0 при t → 0+. Для цього застосуємо метод
вiд супротивного. Припустимо, що iснують ε > 0, tn ↘ 0+, zn
1 ∈ X та zn
2 ∈ X такi, що
для всiх i = 1, 2 та n ≥ 1
‖zn
i ‖X ≤ R, ‖zn
1 − zn
2 ‖Y ≤ tn, ‖B(Rzn
1 )−B(Rzn
2 )‖Y ∗ ≥ ε.
Iз неперервностi вкладення X ⊂ X∗
σ та iз глобальної лiпшицевостi оператора R : X → X
випливає обмеженiсть в Wσ послiдовностей {Rzn
1 }n≥1 та {Rzn
2 }n≥1, а отже, iз компактно-
стi вкладення Wσ в Y — i передкомпактнiсть даних послiдовностей в Y . Таким чином,
знайдуться такi пiдпослiдовностi {zm
i }m≥1 послiдовностей {zn
i }n≥1, i = 1, 2, що
Rzm
i → ξi в Y та B(Rzm
i ) → B(ξi) в Y ∗,
для деяких ξi ∈ Y . При цьому iз глобальної лiпшицевостi оператора R : Y → Y зi сталою
Лiпшиця K > 0 випливає
‖ξ1 − ξ2‖Y ← ‖Rzm
1 −Rzm
2 ‖Y ≤ K‖zm
1 − zm
2 ‖Y ≤ Ktm → 0
та ξ1 = ξ2 =: ξ. Iз неперервностi оператора B : Y → Y ∗ маємо, що при великих m ≥ 1
0 = ‖B(ξ1)−B(ξ2)‖Y ∗ ← ‖B(Rzm
1 )−B(Rzm
2 )‖Y ∗ ≥ ε > 0.
Прийшли до суперечностi.
2. Тепер перевiримо, що для будь-якого R ≥ 0 функцiя [0,+∞) 3 t → C(R, t) є непе-
рервною. Для цього досить перевiрити неперервнiсть [0,+∞) 3 t → c(R, t).
Випадок t = 0 випливає з попереднього пункту. Тому вважатимемо, що t > 0. Для
перевiрки застосуємо метод вiд супротивного. Нехай iснують такi R > 0 , t0 > 0 , tn → t0
при n → +∞ та ε∗ > 0, що
|c(R, tn)− c(R, t0)| ≥ ε∗ ∀n ≥ 1. (7)
Не втрачаючи загальностi, вважаємо, що або tn → t0 знизу, або tn → t0 зверху при
n → +∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
212 Н. В. ЗАДОЯНЧУК, П. О. КАСЬЯНОВ
2.1. Нехай tn → t0 зверху при n → ∞. Iз вигляду функцiї c(R, t) бачимо, що для всiх
R ≥ 0 та t1 ≥ t2 > 0 c(R, t1) ≥ c(R, t2). Тому з (7) випливає
∀n ≥ 1 : c(R, tn) ≥ ε∗ + c(R, t0).
А це означає, що для кожних n ≥ 1 та i = 1, 2 iснують zn
1 ∈ X та zn
2 ∈ X такi, що
‖zn
i ‖X ≤ R, ‖zn
1 − zn
2 ‖Y ≤ tn та
‖B(Rzn
1 )−B(Rzn
2 )‖Y ∗ ≥ ε∗
2
+ c(R, t0). (8)
Iз неперервностi вкладення X ⊂ X∗
σ та iз глобальної лiпшицевостi оператора R : X → X
випливає обмеженiсть в Wσ послiдовностей {Rzn
1 }n≥1 та {Rzn
2 }n≥1, а отже, iз компактно-
стi вкладення Wσ в Y — i передкомпактнiсть даних послiдовностей в Y . Таким чином,
iснують такi пiдпослiдовностi {zm
i }m≥1 послiдовностей {zn
i }n≥1, i = 1, 2, що
Rzm
i → ξi в Y та B(Rzm
i ) → B(ξi) в Y ∗
для деяких ξi ∈ Y . Бiльш того, оскiльки простори X , Xσ, X∗, X∗
σ, Y , Y ∗ є рефлексивними
та сепарабельними, то, не втрачаючи загальностi, можемо вважати, що
zm
i → ζi слабко в X, zm
i → ζi слабко в Y, ‖ζi‖X ≤ R, ‖ζ1 − ζ2‖Y ≤ t0 та Rζi = ξi.
Iз неперервностi оператора B : Y → Y ∗ випливає, що, перейшовши до границi в (8) при
m → +∞, отримаємо
c(R, t0) ≥ ‖B(Rζ1)−B(Rζ2)‖Y ∗ ≥ ε∗
2
+ c(R, t0).
Прийшли до суперечностi.
2.2. Тепер розглянемо випадок, коли tn → t0 знизу при n → ∞. Iз (7) випливає
c(R, tn) + ε∗ ≤ c(R, t0) ≤ ‖B(Rz1)−B(Rz2)‖Y ∗ +
ε∗
2
,
де zi ∈ X такi, що ‖zi‖X ≤ R та ‖z1 − z2‖Y ≤ t0. Нехай для довiльних n ≥ 1 та i = 1, 2
zn
i :=
tn
t0
zi → zi в X (Y , Wσ) при n → ∞, ‖zn
i ‖X ≤ R, ‖zn
1 − zn
2 ‖Y ≤ tn та Rzn
i → Rzi в Y
при n → ∞, i = 1, 2. Отже,
‖B(Rz1)−B(Rz2)‖Y ∗ +
ε∗
2
← ‖B(Rzn
1 )−B(Rzn
2 )‖Y ∗ +
ε∗
2
≤
≤ c(R, tn) +
ε∗
2
≤ c(R, t0)−
ε∗
2
≤ ‖B(Rz1)−B(Rz2)‖Y ∗ .
Знову отримали суперечнiсть. Отже, функцiя C(R, t) = tc(R, t) є неперервною по t ∈ R+
для кожного R ≥ 0.
Пропозицiю доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
МЕТОД ФАЕДО – ГАЛЬОРКIНА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 213
α1) На пiдставi леми 1, пропозицiї 4 та монотонностi оператора λI : X → X∗ випливає
(X;Wσ)-н.о.в. оператора A : X → X∗.
Радiальна неперервнiсть оператора A : X → X∗, очевидно, виконується.
α2) Iз неперервностi вкладень C(S;Vσ) ⊂ X ⊂ X∗ випливає демiнеперервнiсть λI :
C(S;Vσ) → X∗. Демiнеперервнiсть B ◦ R : C(S;Vσ) → X∗ випливає з неперервностi
R : C(S;Vσ) → Y , неперервностi B : Y → Y ∗ та неперервностi вкладення Y ∗ в X∗.
Таким чином, маємо демiнеперервнiсть A : C(S;Vσ) → X∗.
α3) Завдяки коерцитивностi оператора A + λAI : X → X∗ досить довести, що для
λB = c1c3 + 1 > 0 (c3 — константа Лiпшиця для оператора R : Y → Y ) виконується
наступне:
lim
‖y‖X→+∞
〈(λBI + B ◦R)y, y〉Y
‖y‖X
> −∞. (9)
Дiйсно, для всiх y ∈ X ⊂ Y
〈(λBI + B ◦R)y, y〉Y
‖y‖X
≥
λB‖y‖2Y − ‖B(Ry)‖Y ∗‖y‖Y
‖y‖X
≥
≥
λB‖y‖2Y − c2‖y‖Y − c1‖Ry‖Y ‖y‖Y
‖y‖X
≥
‖y‖2Y − (c2 + c1‖R0̄‖Y )‖y‖Y
‖y‖X
≥
≥ −(c2 + c1‖R0̄‖Y )c4 > −∞,
де c4 > 0 така, що ‖ · ‖Y ≤ c4‖ · ‖X .
Таким чином, оператор A = λAI + A + λBI + B ◦ R : X → X∗ задовольняє умови
α1)− α3).
Теорему доведено.
6. Приклад. Нехай Ω iз Rn — обмежена область з регулярною границею ∂Ω, Q =
= Ω× (0;T ), ΓT = ∂Ω× (0;T ).
Φ : R → R — неперервна функцiя, що задовольняє умову росту [17]:
для деяких c1, c2 ∈ R |Φ(t)| ≤ c1|t|+ c2 ∀t ∈ R.
Для довiльного f ∈ X∗ = L2(S;L2(Ω)) + Lq(S;W−1,q(Ω) + L2(Ω)) розглянемо задачу
∂2y(x, t)
∂t2
−
n∑
i=1
∂
∂xi
(∣∣∣∣∂2y(x, t)
∂xi ∂t
∣∣∣∣p−2 ∂2y(x, t)
∂xi ∂t
)
+
+
∣∣∣∣∂y(x, t)
∂t
∣∣∣∣p−2 ∂y(x, t)
∂t
+ Φ(y(x, t)) = f(x, t) майже скрiзь на Q,
(10)
y(x, 0) = 0,
∂y(x, t)
∂t
∣∣∣
t=0
= 0 майже скрiзь на Ω,
y(x, t) = 0 майже скрiзь на ∂Ω.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
214 Н. В. ЗАДОЯНЧУК, П. О. КАСЬЯНОВ
В якостi оператора A вiзьмемо (Au)(t) = A(u(t)):
A(ϕ) = −
n∑
i=1
∂
∂xi
(∣∣∣∣ ∂ϕ
∂xi
∣∣∣∣p−2 ∂ϕ
∂xi
)
+ |ϕ|p−2ϕ ∀ϕ ∈ C2
0 (Ω̄)
(див. [18], гл. 2.9.5), а в якостi оператора B — (Bu)(t) = B(u(t)) :
B(ϕ) = Φ(ϕ) ∀ϕ ∈ C(Ω̄).
Покладемо H = L2(Ω), V = W 1,p
0 (Ω) ∩ L2(Ω), Vσ := Hσ
0 (Ω) = W σ,2
0 (Ω) ∀σ ≥ 0 i
розглянемо
X = Lp(S;V ) ∩ L2(S;H), Xσ = Lp(S;Vσ) ∩ L2(S;H),
X∗ = Lq(S;V ∗) + L2(S;H), X∗
σ = L2(S;H) + Lq(S;V ∗
σ ),
Y = L2(S;H).
Побудуємо „розширення” для операторiв A та B i перевiримо, що оператори A : X →
→ X∗ i B : Y → Y ∗ задовольняють всi умови теореми 1.
Оператор A. Нехай Y — деякий банахiв простiр iз нормою ‖ · ‖Y , Y ∗ — спряжений до
Y простiр. Зауважимо, що V — рефлексивний банахiв простiр iз нормою ‖ · ‖V . 〈·, ·〉V :
V ∗ × V → R, 〈·, ·〉Y : Y ∗ × Y → R — канонiчнi форми.
Означення 9. Енергетичним розширенням оператора E (з природною областю ви-
значення M(E), областю визначення D(E) i областю значень R(E)) будемо називати
оператор вигляду
A = L∗A0L : V → V ∗,
якщо виконано наступнi умови:
a) A0 : Y → Y ∗ — демiнеперервне вiдображення;
b) L : V → V ∗ — лiнiйне вiдображення, таке, що
‖Lu‖Y = ‖u‖V ∀u ∈ V ;
c) V щiльно i неперервно вкладений в H ; далi, D(E) ⊂ V, R(E) ⊂ V ∗ i має мiсце
рiвнiсть
Au = Eu ∀u ∈ D(E)
(як рiвнiсть в V ∗);
d) {u|u ∈ M(E) ∩ V,Au ∈ V ∗} = D(E).
Побудуємо енергетичне розширення для оператора A + I. Нехай
(A + I)u = Eu = −
n∑
i=1
∂
∂xi
ai(ω) + an+1(ω) + an+2(ω) ∀u ∈ M(E) = C2(Ω̄)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
МЕТОД ФАЕДО – ГАЛЬОРКIНА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 215
з областю визначення D(E) = C2
0 (Ω). Тут ω =
{
∂u
∂x1
,
∂u
∂x2
, ...,
∂u
∂xn
, u, u
}
, а функцiї ai,
i = 1, 2, ..., n + 1, визначено таким чином:
ai(v1, v2, ..., vn+1) = |vi|p−2vi ∀vi ∈ R, i = 1, 2, ..., n + 2, an+2 = vn+2.
Визначимо оператор L : V → Y таким чином:
L : u →
{
∂u
∂x1
,
∂u
∂x2
, ...,
∂u
∂xn
, u, u
}
.
Тодi спряжений до L оператор L∗ : (Lq(Ω))n+1 +L2(Ω) → W−1,q +L2(Ω) буде мати вигляд
L∗z = −
n∑
i=1
∂zi
∂xi
+ zn+1 + zn+2 ∀z ∈ Y ∗.
Оператор Немицького A0 : (Lp(Ω))n+1 ∩ L2(Ω) → (Lq(Ω))n+1 + L2(Ω) у даному випадку
має вигляд
A0(y1, ..., yn+2) =
{
|y1|p−2y1, |y2|p−2y2, ..., |yn+1|p−2yn+1, yn+2
}
.
Зауваження 3. Коректнiсть оператора A0 доведено нижче.
Далi, покладемо
‖u‖V =
∫
Ω
(|grad u|2 + u2)
p
2 dx
1
p
+
∫
Ω
u2dx
1
2
,
‖y‖Y =
∫
Ω
(
n+1∑
i=1
y2
i
) p
2
dx
1
p
+
∫
Ω
y2
n+2dx
1
2
.
Перевiримо, що побудований оператор A1 = L∗A0L : V → V ∗ задовольняє умови
a) – d) означення 9.
a) Доведемо, що A0 : Y → Y ∗ — демiнеперервне вiдображення. Для цього покажемо,
що функцiї ai, i = 1, ..., n + 2, задовольняють такi умови [15] (II, лема 2.2):
1) функцiї ω → ai(ω) неперервнi на Rn+2;
2) для всiх ω ∈ Rn+2 виконується нерiвнiсть
|ai(ω)| ≤ c
1 +
n+1∑
j=1
|ωj |p−1 + |ωn+2|
, p > 1,
де c = const.
Отже, маємо:
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
216 Н. В. ЗАДОЯНЧУК, П. О. КАСЬЯНОВ
1. Для vi, i = 1, ..., n + 1, що не дорiвнюють нулю, неперервнiсть, очевидно, викону-
ється. Розглянемо функцiю |vi|p−2vi, i = 1, ..., n + 1, при vi → 0. Оскiльки 1 < p < 2, то
vi
|vi|2−p
→ 0 при vi → 0, i = 1, ..., n + 1. Для vn+2 неперервнiсть виконується.
2. Покладаючи c = 1, переконуємось у виконаннi необхiдної нерiвностi.
Отже, виконуються потрiбнi умови на ai, i = 1, ..., n+2, тому, згiдно з лемою 2.2 з [15],
оператор A0 визначений коректно i є демiнеперервним.
b) Оператор L : V → Y , очевидно, лiнiйний. Внаслiдок визначених норм в V i Y для
кожного u ∈ V маємо
‖Lu‖Y =
∫
Ω
(
n∑
i=1
(
∂u
∂xi
)2
+ u2
) p
2
dx
1
p
+
∫
Ω
u2dx
1
2
.
Оскiльки |grad u|2 =
n∑
i=1
(
∂u
∂xi
)2
, то ‖Lu‖Y = ‖u‖V .
c) Очевидно, що D(E) ⊂ V ⊂ H, R(E) ⊂ V ∗. Згiдно з означенням оператора L
спряжений до нього оператор L∗ дiє з Y ∗ в V ∗ та для h ∈ V i z ∈ Y ∗
(L∗z, h) = 〈z, Lh〉Y .
Використовуючи формулу Стокса, знаходимо, що для довiльних u ∈ ∈ D(E) i h ∈ C∞
0 (Ω)
(A1, h) = (L∗A0Lu, h) = 〈A0Lu,Lh〉Y =
∫
Ω
(
n∑
i=1
ai
∂h
∂xi
+ an+1h + an+2h
)
dx =
=
∫
Ω
(
n∑
i=1
|vi|p−2vi
∂h
∂xi
+ |vn+1|p−2vn+1h + vn+2h
)
dx =
∫
∂Ω
n∑
i=1
|vi|p−2vi cos(ν, xi)hdσ+
+
∫
Ω
(
−
n∑
i=1
|vi|p−2vi + |vn+1|p−2vn+1 + vn+2
)
hdx =
∫
Ω
Eu · hdx.
Оскiльки множина C∞
0 (Ω) є щiльною в V , то A1u = Eu ∀u ∈ D(E).
Умова d) безпосередньо випливає iз зауваження 1.13 i наслiдку iз зауваження 1.16 [15].
Отже, оператор A1 = L∗A0L : V → V ∗ є енергетичним розширенням оператора E.
Тепер доведемо, що оператор A1 : X → X∗, що дiє за правилом (A1(y)) (t) = A1(y(t))
для майже всiх t ∈ S i будь-якого y ∈ X, задовольняє наступнi умови:
а) A1 : X → X∗ є обмеженим;
б) A1 : X → X∗ є монотонним;
в) A1 : X → X∗ є коерцитивним;
г) A1 : X → X∗ є радiально неперервним.
а) Доведемо, що A1 : X → X∗ визначено коректно. Зауважимо, що для будь-якого
u ∈ X вiдображення (A1(u))(·) = A1(u(·)) : (S → V ∗) є вимiрним за Бохнером. Тому
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
МЕТОД ФАЕДО – ГАЛЬОРКIНА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 217
достатньо довести нерiвнiсть
∃C1, C2 ≥ 0 ∀u ∈ X : ‖A1u‖X∗ ≤ C1 + C2‖u‖X . (11)
Спочатку перевiримо, що виконується наступне:
∀v ∈ C∞
0 (Ω) ∀u ∈ V :
(12)
〈A1u, v〉V ≤ C‖u‖p−1
W 1,p
0 (Ω)
‖v‖
W 1,p
0 (Ω)
+ ‖u‖L2(Ω)‖v‖L2(Ω),
де C — стала. Для доведення (12) використаємо той факт, що в Rn всi норми еквiвалентнi,
а саме, будемо використовувати нерiвностi
∀m ≥ 1 ∀q ≥ 1 ∃c1, c2 > 0 : ∀(ai)m
i ⊂ R :
c1
(
m∑
i=1
|ai|q
) 1
q
≤
(
m∑
i=1
|ai|2
) 1
2
≤ c2
(
m∑
i=1
|ai|q
) 1
q
. (13)
Покладемо A0u = (Ā0u, An+2
0 u) та Lu = (L̄u, Ln+2u), де
Ā0 : (Lp(Ω))n+1 → (Lq(Ω))n+1, An+2
0 : L2(Ω) → L2(Ω),
L̄ : W 1,p
0 (Ω) → W−1,q(Ω), Ln+2 : L2(Ω) → L2(Ω).
Розглянемо
〈A1u, v〉V = 〈A0Lu,Lv〉Y = 〈Ā0L̄u, L̄v〉(Lp(Ω))n+1 + 〈An+2
0 Ln+2u, Ln+2v〉L2(Ω).
На пiдставi означення енергетичного розширення, визначення норм у просторах V та Y
та означення оператора L маємо
〈Ā0L̄u, L̄v〉(Lp(Ω))n+1 + 〈An+2
0 Ln+2u, Ln+2v〉L2(Ω) ≤
≤ ‖Ā0L̄u‖(Lq(Ω))n+1‖v‖W 1,p
0 (Ω)
+ ‖An+2
0 Ln+2u‖L2(Ω)‖v‖L2(Ω) =
=
∫
Ω
n∑
i=1
(∣∣∣∣ ∂u
∂xi
∣∣∣∣p−1
)2
+ |u|2(p−1)
q
2
dx
1
q
‖v‖
W 1,p
0 (Ω)
+
∫
Ω
u2dx
1
2
‖v‖L2(Ω).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
218 Н. В. ЗАДОЯНЧУК, П. О. КАСЬЯНОВ
Використовуючи нерiвностi для норм в Rn (13), отримуємо
∫
Ω
n∑
i=1
(∣∣∣∣ ∂u
∂xi
∣∣∣∣p−1
)2
+ |u|2(p−1)
q
2
dx
1
q
‖v‖
W 1,p
0 (Ω)
+
∫
Ω
u2dx
1
2
‖v‖L2(Ω) ≤
≤ c2
∫
Ω
(
n∑
i=1
∣∣∣∣ ∂u
∂xi
∣∣∣∣p + |u|p
)
dx
1
q
‖v‖
W 1,p
0 (Ω)
+ ‖u‖L2(Ω)‖v‖L2(Ω) ≤
≤ c2
c
p
q
1
∫
Ω
(
n∑
i=1
∣∣∣∣ ∂u
∂xi
∣∣∣∣2 + |u|2
) p
2
dx
1
q
‖v‖
W 1,p
0 (Ω)
+ ‖u‖L2(Ω)‖v‖L2(Ω) ≤
≤ c2c
1
q
2
c
p
q
1
∫
Ω
(
n∑
i=1
∣∣∣∣ ∂u
∂xi
∣∣∣∣p + |u|p
)
dx
p−1
p
‖v‖
W 1,p
0 (Ω)
+ ‖u‖L2(Ω)‖v‖L2(Ω) =
= C‖u‖p−1
W 1,p
0 (Ω)
‖v‖
W 1,p
0 (Ω)
+ ‖u‖L2(Ω)‖v‖L2(Ω), (14)
де C =
c2c
1/q
2
c
p/q
1
.
Тому
〈A1u, v〉V ≤ C‖u‖p−1
W 1,p
0 (Ω)
‖v‖
W 1,p
0 (Ω)
+ ‖u‖L2(Ω)‖v‖L2(Ω).
Отже, (12) доведено.
Розглянемо
〈A1u, v〉X =
∫
S
〈A1(u(s)), v(s)〉V ds.
За попереднiми мiркуваннями маємо∫
S
〈A1(u(s)), v(s)〉V ds =
∫
S
〈A0(Lu(s)), Lv(s)〉Y ds =
=
∫
S
〈Ā0(L̄u(s)), L̄v(s)〉(Lp(Ω))n+1ds +
∫
S
〈An+2
0 (Ln+2u(s)), Ln+2v(s)〉L2(Ω)ds ≤
≤ C
∫
S
‖u(s)‖p−1
W 1,p
0 (Ω)
‖v(s)‖
W 1,p
0 (Ω)
ds +
∫
S
‖u(s)‖L2(Ω)‖v(s)‖L2(Ω)ds.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
МЕТОД ФАЕДО – ГАЛЬОРКIНА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 219
Використовуючи нерiвнiсть Гельдера, отримуємо
C
∫
S
‖u(s)‖p−1
W 1,p
0 (Ω)
‖v(s)‖
W 1,p
0 (Ω)
ds +
∫
S
‖u(s)‖L2(Ω)‖v(s)‖L2(Ω)ds ≤
≤ C‖u‖p−1
Lp(S;W 1,p
0 (Ω))
‖v‖
Lp(S;W 1,p
0 (Ω))
+ ‖u‖L2(S;L2(Ω))‖v‖L2(S;L2(Ω)).
Оскiльки ‖ · ‖
W 1,p
0 (Ω)
≤ ‖ · ‖V , то ‖ · ‖
Lp(S;W 1,p
0 (Ω))
≤ ‖ · ‖Lp(S;V ). Тому
C‖u‖p−1
Lp(S;W 1,p
0 (Ω))
‖v‖
Lp(S;W 1,p
0 (Ω))
+ ‖u‖L2(S;L2(Ω))‖v‖L2(S;L2(Ω)) ≤
≤ C‖u‖p−1
Lp(S;V )‖v‖Lp(S;V ) + ‖u‖L2(S;L2(Ω))‖v‖L2(S;L2(Ω)) ≤
≤ max{C‖u‖p−1
Lp(S;V ); ‖u‖L2(S;L2(Ω))}‖v‖X ≤ (C1 + C2‖u‖X)‖v‖X ,
що i доводить нерiвнiсть (11). З неї, зокрема, випливає коректнiсть та обмеженiсть опе-
ратора A1 : X → X∗.
б) Доведемо монотоннiсть оператора A1 : X → X∗. Розглянемо для будь-яких u ∈
∈ ((Lp(Ω))n+1 × L2(Ω)), v ∈ ((Lp(Ω))n+1 × L2(Ω))
〈A0u−A0v, u− v〉Y =
n+1∑
i=1
∫
Ω
(|ui|p−2ui − |vi|p−2vi)(ui − vi)dx+
+
∫
Ω
(un+2 − vn+2)(un+2 − vn+2)dx.
Вiзьмемо функцiю ϕ(t) = |t|p−2t, 1 < p < 2. При t ≥ 0 ϕ(t) = tp−1, а при t <
< 0 ϕ(t) = −(−t)p−1 — монотонно неспадна функцiя. Тому (|ui|p−2ui−|vi|p−2vi)(ui−vi) ≥
≥ 0 ∀ui, vi ∈ R. З останнього маємо 〈A1y1 − A1y2, y1 − y2〉V ≥ 0 ∀y1, y2 ∈ V . Отже,
оператор A1 : V → V ∗ є монотонним. Звiдси для будь-яких y1, y2 ∈ X
〈A1y1 −A1y2, y1 − y2〉X =
∫
S
〈A1(y1(t))−A1(y2(t)), y1(t)− y2(t)〉V dt ≥ 0.
Отже, оператор A1 : X → X∗ є монотонним.
в) Доведемо коерцитивнiсть оператора A1 : X → X∗, а саме, доведемо таку еквiва-
лентну властивiсть:
〈A1u, u〉X
‖u‖X
→ +∞ при ‖u‖X → +∞.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
220 Н. В. ЗАДОЯНЧУК, П. О. КАСЬЯНОВ
Для цього використаємо рiвнiсть для оператора A1 : V → V ∗ :
〈A1u, u〉V = 〈A0Lu,Lu〉Y =
∫
Ω
(
n∑
i=1
∣∣∣∣ ∂u
∂xi
∣∣∣∣p−2 ∂u
∂xi
∂u
∂xi
+ |u|p−2 · u · u
)
dx+
+
∫
Ω
u · udx =
∫
Ω
(
n∑
i=1
∣∣∣∣ ∂u
∂xi
∣∣∣∣p + |u|p
)
dx +
∫
Ω
|u|2dx = ‖u‖p
W 1,p
0 (Ω)
+ ‖u‖2L2(Ω).
Далi розглянемо
〈A1u, u〉X
‖u‖X
=
∫
S
‖u(s)‖p
W 1,p
0 (Ω)
ds +
∫
S
‖u(s)‖2L2(Ω)ds
‖u‖
Lp(S;W 1,p
0 (Ω)∩L2(Ω))
+ ‖u‖L2(S;L2(Ω))
=
=
∫
S
‖u(s)‖p
W 1,p
0 (Ω)
ds +
∫
S
‖u(s)‖2L2(Ω)ds +
∫
S
‖u(s)‖p
L2(Ω)
ds−
∫
S
‖u(s)‖p
L2(Ω)
ds
‖u‖
Lp(S;W 1,p
0 (Ω)∩L2(Ω))
+ ‖u‖L2(S;L2(Ω))
.
За допомогою нерiвностi ap +bp ≥ c(a+b)p ∀a, b ≥ 0, де c = 21−p— стала, одержимо∫
S
‖u(s)‖p
W 1,p
0 (Ω)
ds +
∫
S
‖u(s)‖2L2(Ω)ds +
∫
S
‖u(s)‖p
L2(Ω)
ds−
∫
S
‖u(s)‖p
L2(Ω)
ds
‖u‖
Lp(S;W 1,p
0 (Ω)∩L2(Ω))
+ ‖u‖L2(S;L2(Ω))
≥
≥
c
∫
S
‖u(s)‖pV ds +
∫
S
‖u(s)‖2L2(Ω)ds−
∫
S
‖u(s)‖p
L2(Ω)
ds
‖u‖
Lp(S;W 1,p
0 (Ω)∩L2(Ω))
+ ‖u‖L2(S;L2(Ω))
.
Оскiльки
−
∫
S
‖u(s)‖p
L2(Ω)
ds ≥ −
∫
S
‖u(s)‖2L2(Ω)ds
1
2
∫
S
1qds
1
q
:= −C
∫
S
‖u(s)‖2L2(Ω)ds
1
2
,
де
1
2
+
1
q
=
1
p
, то
〈A1u, u〉X
‖u‖X
≥
c‖u‖pLp(S;V ) + ‖u‖2L2(S;H) − C‖u‖L2(S;H)
‖u‖Lp(S;V ) + ‖u‖L2(S;H)
.
Нехай тепер ‖u‖X → +∞. Розглянемо три можливi випадки:
1. Iснує c1 > 0 таке, що ‖u‖L2(S;H) ≤ c1, а ‖u‖Lp(S;V ) → +∞. Тодi вираз
c‖u‖pLp(S;V ) + ‖u‖2L2(S;H) − C‖u‖L2(S;H)
‖u‖Lp(S;V ) + ‖u‖L2(S;H)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
МЕТОД ФАЕДО – ГАЛЬОРКIНА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 221
при ‖u‖X → +∞ еквiвалентний наступному:
c‖u‖pLp(S;V )
‖u‖Lp(S;V )
= c‖u‖p−1
Lp(S;V ) → +∞.
2. Iснує c1 > 0 таке, що ‖u‖Lp(S;V ) ≤ c1, а ‖u‖L2(S;H) → +∞. Тодi вираз
c‖u‖pLp(S;V ) + ‖u‖2L2(S;H) − C‖u‖L2(S;H)
‖u‖Lp(S;V ) + ‖u‖L2(S;H)
при ‖u‖X → +∞ еквiвалентний наступному:
‖u‖2L2(S;H)
‖u‖L2(S;H)
= ‖u‖L2(S;H) → +∞.
3. Нехай ‖u‖Lp(S;V ) → +∞, ‖u‖L2(S;H) → +∞. Тодi
lim
‖u‖X→+∞
c‖u‖pLp(S;V ) + ‖u‖2L2(S;H) − C‖u‖L2(S;H)
‖u‖Lp(S;V ) + ‖u‖L2(S;H)
≥ lim
‖u‖X→+∞
‖u‖pLp(S;V ) + ‖u‖2L2(S;H)
‖u‖Lp(S;V ) + ‖u‖L2(S;H)
≥
≥ lim
‖u‖X→+∞
‖u‖min(p,2)
Lp(S;V ) + ‖u‖min(p,2)
L2(S;H)
‖u‖Lp(S;V ) + ‖u‖L2(S;H)
≥ lim
‖u‖X→+∞
C1(‖u‖Lp(S;V ) + ‖u‖L2(S;H))min(p,2)
‖u‖Lp(S;V ) + ‖u‖L2(S;H)
=
= C1 lim
‖u‖X→+∞
(‖u‖Lp(S;V ) + ‖u‖L2(S;H))
min(p,2)−1 → +∞
при ‖u‖Lp(S;V ) + ‖u‖L2(S;H) = +∞.
Отже, коерцитивнiсть оператора A1 : X → X∗ доведено.
г) Доведемо радiальну неперервнiсть оператора A1 : X → X∗. Для цього скористає-
мось теоремою про неперервнiсть iнтеграла Лебега за параметром. Згiдно з лемою 1.4 з
[15], оператор A1 : V → V ∗ — демiнеперервний, а саме для майже всiх t ∈ S 〈A1(u(t) +
+sv(t)), v(t)〉V → 〈A1(u(t)+ s0v(t)), v(t)〉V при s → s0 для будь-яких u, v ∈ X, s0 ∈ [0, 1].
Тому для вiдображення [0, 1] 3 t → 〈A1(u(t) + sv(t)), v(t)〉V , s ∈ [0, 1], досить знайти
iнтегровну мажоранту. З оцiнок (14) випливає наступне:
〈A1(u(t) + sv(t)),v(t)〉V ≤ C‖u(t) + sv(t)‖p−1
V ‖v(t)‖V + ‖u(t) + sv(t)‖H‖v(t)‖H ≤
≤ C(c(‖u(t)‖p−1
V + ‖v(t)‖p−1
V )‖v(t)‖V ) + (‖u(t)‖H + ‖v(t)‖H)‖v(t)‖H =
= C1‖u(t)‖p−1
V ‖v(t)‖V + C1‖v(t)‖pV + ‖u(t)‖H‖v(t)‖H + ‖v(t)‖2H .
Отже, ϕ(t) = C1‖u(t)‖p−1
V ‖v(t)‖V + C1‖v(t)‖pV + ‖u(t)‖H‖v(t)‖H + ‖v(t)‖2H , t ∈ S, i буде
шуканою iнтегровною мажорантою. Дiйсно, C1‖v(t)‖pV ∈ L1(S), а ‖v(t)‖2H ∈ L1(S). Для
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
222 Н. В. ЗАДОЯНЧУК, П. О. КАСЬЯНОВ
двох iнших доданкiв використаємо нерiвнiсть Гельдера:∫
S
‖u(t)‖p−1
V ‖v(t)‖V dt ≤ ‖u‖p−1
Lp(S;V )‖v‖Lp(S;V ),
∫
S
‖u(t)‖H‖v(t)‖Hdt ≤ ‖u‖L2(S;H)‖v‖L2(S;H).
За згаданою вище теоремою будемо мати, що функцiя [0, 1] 3 s → 〈A1(u + sv), v〉X є
неперервною на [0, 1]. Таким чином, оператор A1 : X → X∗ — радiально неперервний.
Отже, умови теореми 1 для оператора A : X → X∗, A(y) = A1(y) − y, доведено.
Зауважимо, що (A(y))(t) = A(y(t)), i, крiм того,
∀ω ∈ C2(Ω̄) : A(ω) = −
n∑
i=1
∂
∂xi
(∣∣∣∣ ∂ω
∂xi
∣∣∣∣p−2 ∂ω
∂xi
)
+ |ω|p−2ω,
тобто оператор A : V → V ∗ є в деякому сенсi енергетичним розширенням оператора
−
n∑
i=1
∂
∂xi
(∣∣∣ ∂u
∂xi
∣∣∣p−2 ∂u
∂xi
)
+ |u|p−2u ∀u ∈ C2(Ω).
Зауваження 4. Демiнеперервнiсть оператора A : C(S;Vσ) → X∗ випливає iз демiне-
перервностi оператора A : X → X∗ та неперервного вкладення простору C(S;H) в X .
Оператор B. Перевiримо для оператора B виконання умов теореми 1. Насамперед
перевiримо, що для будь-якого v ∈ L2(Q) виконується B(v) ∈ L2(Q). Справдi,∫
Q
|B(v(t))|2dxdt =
∫
Q
|Φ(v(t))|2dxdt ≤ c3
∫
Q
|v(t)|2dxdt +
∫
Q
c4dxdt,
де c3, c4 — константи. Отже, B(v) ∈ L2(Q). Перевiримо лiнiйний рiст для B : L2(Q) →
→ L2(Q). Нехай тут ‖ · ‖— норма в L2(Q):
‖B(v)‖ =
∫
Q
|B(v(t))|2dxdt
1
2
=
∫
Q
|Φ(v(t))|2dxdt
1
2
≤
≤
∫
Q
(c3|v(t)|2 + c4)dxdt
1
2
≤ C1‖v‖+ C2,
де C1 та C2 — сталi, що залежать вiд c3 та c4.
Перевiримо неперервнiсть оператора B : L2(Q) → L2(Q). Нехай yn → y в L2(Q)
при n → ∞, тодi для майже всiх (x, t) ∈ Q yn(x, t) → y(x, t) при n → ∞. Розглянемо
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
МЕТОД ФАЕДО – ГАЛЬОРКIНА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 223
An = {(x, t) ∈ Q : |yn(x, t)− y(x, t)| ≤ 1}. Отримуємо
∫
Q
|B(yn(t))−B(y(t))|2dxdt =
∫
Q
|Φ(yn(t))− Φ(y(t))|2dxdt =
=
∫
An
|Φ(yn(x, t))− Φ(y(x, t))|2dxdt+
+
∫
Q\An
|Φ(yn(x, t))− Φ(y(x, t))|2dxdt.
За теоремою Лебега
∫
An
|Φ(yn(x, t))− Φ(y(x, t))|2dxdt → 0, n → ∞. Розглянемо λ(Q \An).
За нерiвнiстю Чебишова
λ(Q \An) ≤
∫
Q
|yn(x, t)− y(x, t)|dxdt → 0, n → ∞.
Далi маємо
∫
Q\An
|Φ(yn(x, t)) − Φ(y(x, t))|2dxdt
) 1
2 ≤
≤
∫
Q\An
|Φ(y(x, t))|2dxdt
1
2
+
∫
Q\An
|Φ(yn(x, t))|2dxdt
1
2
.
Вираз
∫
Q\An
|Φ(y(x, t))|2dxdt
1
2
→ 0 при λ(Q \An) → 0, n → ∞. Тому
∫
Q\An
|Φ(yn(x, t))|2dxdt
1
2
≤
∫
Q\An
c4dxdt + c3
∫
Q\An
|yn(x, t)|2dxdt
1
2
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
224 Н. В. ЗАДОЯНЧУК, П. О. КАСЬЯНОВ
Знову ж таки вираз
∫
Q\An
c4dxdt → 0 при λ(Q \An) → 0, n → ∞. Розглянемо
∫
Q\An
|yn(x, t)|2dxdt ≤ 2
∫
Q
|yn(x, t)− y(x, t)|2dxdt+
+ 2
∫
Q\An
|y(x, t)|2dxdt → 0, λ(Q \An) → 0, n → ∞.
Отже, Φ(yn) → Φ(y) при n → ∞. Звiдси отримуємо
‖B(yn)−B(y)‖2 → 0, yn → y в L2(Q), n → ∞,
а тому оператор B : L2(Q) → L2(Q) є неперервним.
Тепер проiлюструємо теорему 1 на прикладi задачi (10). В якостi повної системи век-
торiв {hj}j≥1 вiзьмемо „спецiальний” базис для пари (Hσ
0 (Ω), L2(Ω)), тобто {hj}j≥1 — ор-
тогональний базис в Hσ
0 (Ω) i ортонормований базис в L2(Ω), для {hj}j≥1 виконується
(hj , v)Hσ
0 (Ω) = λ
1
σ
j (hj , v)L2(Ω) ∀v ∈ Hσ
0 (Ω), 0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λn → +∞.
Будемо шукати наближений розв’язок ym = ym(t) розглядуваної задачi у виглядi
ym(t) =
m∑
i=1
gim(t)hi,
де gim визначаються з умов
(y′′m(t), hj)−
(
n∑
i=1
∂
∂xi
(∣∣∣∣∂2ym(x, t)
∂xi∂t
∣∣∣∣p−2
∂2ym(x, t)
∂xi∂t
)
, hj
)
+
+
(∣∣∣∣∂ym(x, t)
∂t
∣∣∣∣p−2 ∂ym(x, t)
∂t
, hj
)
+ (Φ(ym(x, t)), hj) = (f(x, t), hj), 1 ≤ j ≤ n.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
МЕТОД ФАЕДО – ГАЛЬОРКIНА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 225
Запишемо данi рiвняння в бiльш конкретному виглядi:
(
m∑
i=1
g′′im(t)hi, hj
)
−
n∑
i=1
∂
∂xi
∣∣∣∣∣∣∣∣
∂
(
m∑
i=1
g′im(t)hi
)
∂xi
∣∣∣∣∣∣∣∣
p−2
∂
(
m∑
i=1
g′im(t)hi
)
∂xi
, hj
+
+
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
g′im(t)hi
∣∣∣∣∣
p−2 m∑
i=1
g′im(t)hi, hj
+
+
(
Φ
(
m∑
i=1
gim(t)hi
)
, hj
)
= (f(x, t), hj).
Взявши до уваги визначення скалярного добутку в просторi L2(Ω), будемо мати
∫
Ω
m∑
i=1
g′′im(t)hihjdx−
∫
Ω
n∑
i=1
∂
∂xi
∣∣∣∣∣∣∣∣
∂
(
m∑
i=1
g′im(t)hi
)
∂xi
∣∣∣∣∣∣∣∣
p−2
∂
(
m∑
i=1
g′im(t)hi
)
∂xi
hjdx+
+
∫
Ω
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
g′im(t)hi
∣∣∣∣∣
p−2 m∑
i=1
g′im(t)hihjdx+
+
∫
Ω
Φ
(
m∑
i=1
gim(t)hi
)
hjdx =
∫
Ω
f(x, t)hjdx.
Розглянемо перший доданок:
∫
Ω
m∑
i=1
g′′im(t)hihjdx =
m∑
i=1
g′′im(t)
∫
Ω
hihjdx = g′′jm(t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
226 Н. В. ЗАДОЯНЧУК, П. О. КАСЬЯНОВ
Взявши другий iнтеграл частинами, отримаємо
∫
Ω
n∑
i=1
∂
∂xi
∣∣∣∣∣∣∣∣
∂
(
m∑
i=1
g′im(t)hi
)
∂xi
∣∣∣∣∣∣∣∣
p−2
∂
(
m∑
i=1
g′im(t)hi
)
∂xi
hjdx =
=
∫
Ω
n∑
i=1
∣∣∣∣∣∣∣∣
∂
(
m∑
i=1
g′im(t)hi
)
∂xi
∣∣∣∣∣∣∣∣
p−2
∂
(
m∑
i=1
g′im(t)hi
)
∂xi
∂hj
∂xi
dx,
бо функцiї {hj}j≥1 на межi областi Ω дорiвнюють нулю. Отже, в результатi будемо мати
g′′jm(t) +
∫
Ω
n∑
i=1
∣∣∣∣∣∣∣∣
∂
(
m∑
i=1
g′im(t)hi
)
∂xi
∣∣∣∣∣∣∣∣
p−2
∂
(
m∑
i=1
g′im(t)hi
)
∂xi
∂hj
∂xi
dx+
+
∫
Ω
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
g′im(t)hi
∣∣∣∣∣
p−2 m∑
i=1
g′im(t)hihjdx +
∫
Ω
Φ
(
m∑
i=1
gim(t)hi
)
hjdx =
∫
Ω
f(x, t)hjdx.
Одержали систему нелiнiйних звичайних диференцiальних рiвнянь, що доповнюються
початковими умовами gim(0) = 0, g′im(0) = 0.
Таким чином, має мiсце наступне твердження.
Теорема 2. Задача (10) має розв’язок y ∈ C(S;W 1,p
0 (Ω)) такий, що y′ ∈ C(S;L2(Ω)),
y′′ ∈ X∗, причому
yn → y в C(S;H), n → ∞,
тобто
max
0<t<T
∫
Ω
|yn(t, x)− y(t, x)|2dx
1
2
→ 0, n → ∞,
y′n → y′ слабко в X = Lp(S;V ) ∩ L2(S;H), n → ∞,
тобто
∀f ∈ X∗ = Lq(S;V ∗) + L2(S;H) :
∫
S
∫
Ω
(yn
′(t, x)− y′(t, x))f(t, x)dx
dt → 0, n → ∞,
y′′n → y′′ слабко в X∗ = Lq(S;V ∗) + L2(S;H), n → ∞,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
МЕТОД ФАЕДО – ГАЛЬОРКIНА ДЛЯ НЕЛIНIЙНИХ ЕВОЛЮЦIЙНИХ РIВНЯНЬ . . . 227
тобто
∀f ∈ X = Lp(S;V ) ∩ L2(S;H) :
∫
S
∫
Ω
(yn
′′(t, x)− y′′(t, x))f(t, x)dx
dt → 0, n → ∞,
де для кожного m ≥ 1 ym(t) =
m∑
i=1
gim(t)hi — розв’язок задачi
g′′jm(t) +
∫
Ω
n∑
i=1
∣∣∣∣∣∣∣∣
∂
(
m∑
i=1
g′im(t)hi
)
∂xi
∣∣∣∣∣∣∣∣
p−2
∂
(
m∑
i=1
g′im(t)hi
)
∂xi
∂hj
∂xi
dx+
+
∫
Ω
∣∣∣∣∣
m∑
i=1
g′im(t)hi
∣∣∣∣∣
p−2 m∑
i=1
g′im(t)hihjdx +
∫
Ω
Φ
(
m∑
i=1
gim(t)hi
)
hjdx =
∫
Ω
f(x, t)hjdx,
1 ≤ j ≤ n, gim(0) = 0, g′im(0) = 0.
1. Толстоногов А. А. О решениях эволюционных включений. 1 // Сиб. мат. журн. — 1992. — 33, № 3. —
С. 145 – 162.
2. Толстоногов А. А., Уманский Я.И. О решениях эволюционных включений. 2 // Там же. — № 4. —
С. 163 – 174.
3. Скрыпник И. В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. — М.: Наука,
1990. — 442 с.
4. Дубинский Ю. А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения // Итоги науки и техники.
Совр. пробл. математики / ВИНИТИ. — 1976. — № 9. — С. 5 – 130.
5. Згуровский М. З., Мельник В. С., Новиков А. Н. Прикладные методы анализа и управления нелиней-
ными процессами и полями. — Киев: Наук. думка, 2004. — 590 с.
6. Иваненко В. И., Мельник В. С. Вариационные методы в задачах управления для систем с распреде-
ленными параметрами. — Киев: Наук. думка, 1988. — 255 с.
7. Мельник В. С., Тоскано Л. О нелинейных дифференциально-операторных уравнениях в банаховых
пространствах с отображениями псевдомонотонного типа. 1 // Sys. Res. and Inform. Technol. — 2004. —
№ 3. — P. 63 – 81.
8. Vakulenko A. N., Mel’nik V. S. In topological method in operator inclusions which densele defined mappings
in Banach spaces // Nonlinear Boundary Value Problems. — 2000. — № 10. — P. 125 – 142.
9. Вакуленко А. Н., Мельник В. С. Про розв’язнiсть i властивостi розв’язкiв одного класу операторних
включень в банахових просторах // Доп. НАН України. — 1999. — № 3. — C. 105 – 112.
10. Вакуленко А. Н., Мельник В. С. Про один клас операторних включень в банахових просторах // Там
же. — 1998. — № 5.
11. Касьянов П. О. Метод Гальоркiна для класу диференцiально-операторних включень з множинно-
значними вiдображеннями псевдомонотонного типу // Наук. вiстi НТУУ "КПI". — 2005. — № 2. —
С. 139 – 151.
12. Касьянов П. О. Метод Гальоркiна для класу диференцiально-операторних включень // Доп. НАН
України. — 2005. — № 9. — С. 20 – 24.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
228 Н. В. ЗАДОЯНЧУК, П. О. КАСЬЯНОВ
13. Kasyanov P. O., Mel’nik V. S., Toscano L. Method of approximation of evolutionary inclusions та variational
inequalities by stationary // Sys. Res. and Inform. Technol. — 2005. — № 4. — P. 106 – 119.
14. Касьянов П. О., Мельник В. С. Метод Фаедо – Гальоркiна для диференцiально-операторних включень
в банахових просторах з вiдображеннями wλ0 -псевдомонотонного типу // Зб. праць Iн-ту математики
НАН України. — 2005. — 2, № 1. — С. 103 – 126.
15. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифферен-
циальные уравнения. — М.: Мир, 1978. — 337 с.
16. Lions J.-L., Strauss W. Some nonlinear evolution equations // Bull. Soc. math. France. — 1965. — 93. —
P. 43 – 96.
17. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. — М.:
Гостехиздат, 1956.
18. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972. — 587 с.
Одержано 19.06.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7256 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:24:11Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Задоянчук, Н.В. Касьянов, П.О. 2010-03-26T10:55:21Z 2010-03-26T10:55:21Z 2007 Метод Фаедо - Гальоркіна для нелінійних еволюційних рівнянь другого порядку з операторами Вольтерри / Н.В. Задоянчук, П.О. Касьянов // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 204-228. — Бібліогр.: 18 назв. — укp. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7256 517.9 Рассмотрен класс дифференциально-операторных уравнений второго порядка соператорами ωλ0-типа. Спомощью метода Фаедо – Галеркина исследована проблема существования решения задачи Коши для данных уравнений. Получены важные априорные оценки. Приведен пример, иллюстрирующий данный результат. We consider the second order differential-operators equations with w 0-pseudomonotone operators. The problem of existence of solutions for the Cauchy problem for the given equations by using Faedo – Galerkin method is investigated. Important a priory estimates have been obtained. An example that illustrates the result is given. uk Інститут математики НАН України Метод Фаедо-Гальоркіна для нелінійних еволюційних рівнянь другого порядку з операторами Вольтерри Article published earlier |
| spellingShingle | Метод Фаедо-Гальоркіна для нелінійних еволюційних рівнянь другого порядку з операторами Вольтерри Задоянчук, Н.В. Касьянов, П.О. |
| title | Метод Фаедо-Гальоркіна для нелінійних еволюційних рівнянь другого порядку з операторами Вольтерри |
| title_full | Метод Фаедо-Гальоркіна для нелінійних еволюційних рівнянь другого порядку з операторами Вольтерри |
| title_fullStr | Метод Фаедо-Гальоркіна для нелінійних еволюційних рівнянь другого порядку з операторами Вольтерри |
| title_full_unstemmed | Метод Фаедо-Гальоркіна для нелінійних еволюційних рівнянь другого порядку з операторами Вольтерри |
| title_short | Метод Фаедо-Гальоркіна для нелінійних еволюційних рівнянь другого порядку з операторами Вольтерри |
| title_sort | метод фаедо-гальоркіна для нелінійних еволюційних рівнянь другого порядку з операторами вольтерри |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7256 |
| work_keys_str_mv | AT zadoânčuknv metodfaedogalʹorkínadlânelíníinihevolûcíinihrívnânʹdrugogoporâdkuzoperatoramivolʹterri AT kasʹânovpo metodfaedogalʹorkínadlânelíníinihevolûcíinihrívnânʹdrugogoporâdkuzoperatoramivolʹterri |