Дифференциальные включения с производной Хукухары
Введено два типи диференціальних включень з похідною Хукухари і розглянуто їх властивості. Для диференціального включення другого типу наведено різні означення розв'язку та доведено теореми існування звичайного розв'язку і компактність їх множини. We introduce two types of differential inc...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7257 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Дифференциальные включения с производной Хукухары / Т.А. Комлева, А.В. Плотников // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 229-246. — Бібліогр.: 26 назв. — pос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859616472586780672 |
|---|---|
| author | Комлева, Т.А. Плотников, А.В. |
| author_facet | Комлева, Т.А. Плотников, А.В. |
| citation_txt | Дифференциальные включения с производной Хукухары / Т.А. Комлева, А.В. Плотников // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 229-246. — Бібліогр.: 26 назв. — pос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Введено два типи диференціальних включень з похідною Хукухари і розглянуто їх властивості. Для диференціального включення другого типу наведено різні означення розв'язку та доведено теореми існування звичайного розв'язку і компактність їх множини.
We introduce two types of differential inclusions with Hukuhara derivative and consider properties of such inclusions. For differential inclusions of the second type, we give several definitions of a solution, and prove theorems on existence of an ordinary solution and establish compactness of the set these solutions.
|
| first_indexed | 2025-11-28T21:33:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ
Т. А. Комлева
Одес. нац. политехн. ун-т
Украина, 65044, Одесса, пр. Шевченко, 1
e-mail: t-komleva@ukr.net
А. В. Плотников
Одес. акад. строительства и архитектуры
Украина, 65029, Одесса, ул. Дидрихсона, 4
e-mail:a-plotnikov@ukr.net
We introduce two types of differential inclusions with Hukuhara derivative and consider properties of such
inclusions. For differential inclusions of the second type, we give several definitions of a solution, and prove
theorems on existence of an ordinary solution and establish compactness of the set these solutions.
Введено два типи диференцiальних включень з похiдною Хукухари i розглянуто їхнi власти-
востi. Для диференцiального включення другого типу наведено рiзнi означення розв’язку та
доведено теореми iснування звичайного розв’язку i компактнiсть їх множини.
1. Введение. Развитие теории многозначных отображений привело к вопросу о том, что
понимать под производной от многозначного отображения. Основной причиной, затруд-
няющей введение данного понятия, является нелинейность пространства непустых ком-
пактных подмножеств евклидова пространства, что влечет отсутствие операции вычита-
ния. Поэтому существует несколько подходов к определению разности двух множеств.
Один из них — разность Хукухары [1], которая является частным случаем разности Мин-
ковского [2 – 4].
Одновременно с введенными разностями появились и понятия производных. Первая
из них — производная Хукухары [1]. В работе [1] Хукухара ввел интеграл и производную
для многозначных отображений и рассмотрел как они связаны между собой. Впослед-
ствии в работах [5 – 8] были рассмотрены и другие ее свойства.
В 1969 г. после появления производной Хукухары F. S. De Dlasi и F. Iervolino в [5] впер-
вые рассмотрели дифференциальное уравнение с производной Хукухары, в котором ре-
шением было многозначное отображение. В последующем в работах [6, 9 – 11] были вве-
дены различные определения решения этого уравнения и доказаны теоремы их сущест-
вования, а в [12, 13] рассмотрена возможность применения некоторых схем усреднения
для такого типа уравнений в стандартной форме. Затем в работе [14] данные уравне-
ния были существенно использованы при изучении некоторых свойств „интегральной
воронки” дифференциального включения в банаховом пространстве, а в работах [15, 16]
— применялись при исследовании уравнений с нечеткими начальными условиями.
Впоследствии А. В. Плотниковым в [17] былo введено понятие дифференциального
включения с производной Хукухары и получены некоторые свойства их решений, а так-
же рассмотрена возможность применения некоторых схем усреднения для такого типа
c© Т. А. Комлева, А. В. Плотников, 2007
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2 229
230 Т. А. КОМЛЕВА, А. В. ПЛОТНИКОВ
включений в стандартной форме [18 – 20, 13]. А R. Dabrowska и T. Janiak в [21] получили
некоторые аналогичные результаты для дифференциальных включений с производной
Хукухары с запаздыванием.
2. Понятие дифференциального включения с производной Хукухары. Вначале вве-
дем некоторые необходимые в дальнейшем обозначения и определения.
Пусть comp (Rn)(conv (Rn)) — пространство непустых компактных (и выпуклых) под-
множеств евклидова пространства Rn с метрикой Хаусдорфа
h(A,B) = min{r ≥ 0 | A ⊂ Sr(B), B ⊂ Sr(A)},
где A,B ∈ comp (Rn); Sr(x) — шар радиуса r ≥ 0 с центром в x ∈ Rn, Sr(A) = A+Sr(0).
Обозначим через cc (Rn) (cocc (Rn)) пространство, соостоящее из всех непустых ком-
пактных (и выпуклых) подмножеств пространства conv (Rn).
Легко убедиться, что данное пространство имеет те же свойства, что и пространство
comp (Rn).
В cc (Rn) введем метрику между двумя множествами A, B ∈ cc (Rn) по формуле
d(A,B) = max
{
max
a∈A
min
b∈B
h(a, b), max
b∈B
min
a∈A
h(a, b)
}
,
а также определим скалярную функцию dist (A,B), A ∈ conv (Rn), B ∈ cc (Rn) следую-
щим образом:
dist (A,B) = min
b∈B
h(A, b).
Очевидно, что для нее будут справедливы следующие свойства:
1) dist (A,B) ≥ 0 и равна нулю тогда и только тогда, когда A ∈ B;
2) dist (A,B) ≤ dist (A,C) + d(C,B), C ∈ cc (Rn);
3) dist (A,B) ≤ h(A,C) + dist (C,B), C ∈ conv (Rn).
Введем определение интеграла для таких многозначных отображений F (·) : [t0, T ] →
→ cc (Rn).
Определение 1. Пусть F (·) : R1 → cc (Rn). Тогда под интегралом Ауманна будем
подразумевать интеграл
T∫
t0
F (t)dt =
T∫
t0
f(t)dt
∣∣∣∣∣ f(·) ∈ F (·)
,
где f(·) — многозначный селектор F (·), интегрируемый по Ауманну [22] на [t0, T ].
Теорема 1 [20]. Пусть многозначное отображение F (·) : [t0, T ] → cocc (Rn) ограни-
чено и интегрируемо.
Тогда множество
Y =
T∫
t0
F (t)dt
выпукло и компактно.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 231
Определение 2. Под интегралом Ауманна – Хукухары от многозначного отображе-
ния F (·) : R1 → cc (Rn) будем понимать множество G ∈ cc (Rn), определяемое следую-
щим образом:
G =
g ∈ conv (Rn), g =
T∫
t0
f(t)dt
∣∣∣∣∣ f(·) ∈ F (·)
,
где f(·) : [t0, T ] → conv (Rn) и интеграл от многозначного отображения f(·) понима-
ется в смысле Хукухары [1].
Замечание 1. Если интеграл Ауманна – Хукухары существует, то его значение совпа-
дает со значением интеграла Ауманна.
Введем дифференциальное включение, которое является обобщением обычных диф-
ференциальных включений и дифференциальных уравнений с производной Хукухары, и
назовем его дифференциальным включением I типа:
DhX ⊂ F (t, X), (1)
где DhX(t) — производная Хукухары от многозначного отображения X(·) в точке t ∈
∈ [t0, T ], т. е. существует ∆-окрестность точки t такая, что (t − ∆, t + ∆) ⊂ [t0, T ] и для
любых t′, t′′ ∈ (t−∆, t+∆) и t′ < t′′ существует множество G(t′, t′′) ∈ conv (Rn), которое
называется разностью Хукухары множеств X(t′′) и X(t′), G(t′, t′′) = X(t′′)hX(t′), такое,
что X(t′′) = X(t′) + G(t′, t′′) и выполняется тождество
lim
∆→0+
(
1
∆
(X(t + ∆)
h
X(t)), DhX(t)
)
=
= lim
∆→0+
(
1
∆
(X(t)
h
X(t−∆)), DhX(t)
)
;
F (·, ·) : [t0, T ]× conv (Rn) → comp (Rn) — многозначное отображение.
Определение 3. Решением дифференциального включения (1) называется абсолют-
но непрерывное многозначное отображение X(·), производная которого удовлетворя-
ет включению (1) почти всюду на [t0, T ] .
Множество всех таких решений обозначим через H(F ).
Лемма 1. Множество OB(F ) всех решений дифференциального включения
ẋ ∈ F (t, x), x ∈ Rn, F (·, ·) : [t0, T ]×Rn → comp (Rn),
принадлежит H(F ).
Действительно, однозначная функция является частным случаем многозначного ото-
бражения. При этом производная Хукухары от однозначной функции совпадает с обычной
производной.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
232 Т. А. КОМЛЕВА, А. В. ПЛОТНИКОВ
Лемма 2. Если F (·, ·) : [t0, T ]× conv (Rn) → conv Rn, то BL(F ) ⊂ H(F ), где BL(F ) —
множество решений дифференциального уравнения с производной Хукухары
DhX = F (t, X).
Замечание 2. В общем случае существуют решения, отличные от OB(F ) и BL(F ).
Например, пусть F (t, X) = [−1, 1], X(0) = 0, t0 = 0, T = 1, тогда OB(F ) соответ-
ствует множеству решений дифференциального включения ẋ ∈ [−1, 1], x(0) = 0, а мно-
жество решений BL(F ) состоит из единственного элемента – t · [−1, 1]. Заметим, что, на-
пример, решения t · [−1, 0] ∈ H(F ) и t[−1/2, 1/2] принадлежат H(F ), но не принадлежат
OB(F ) и BL(F ).
Если F (t, X) = {[−1,−1/2]
⋃
[1/2, 1]}, X(0) = 0, то решений BL(F ) не существу-
ет, так как F (t, X) 6∈ conv (Rn). При этом решения t · [k1, k2] и t · [l1, l2], где l1, l2 ∈
∈ [1/2, 1], k1, k2 ∈ [−1,−1/2], принадлежат H(F ).
Лемма 3. Теоремы существования для решений OB(F ) и BL(F ) являются также
теоремами существования для решений H(F ).
Рассмотрим теперь дифференциальное включение с производной Хукухары II типа:
DhX ∈ F (t, X), (2)
где F (·, ·) : R1 × conv (Rn) → cc (Rn) — многозначное отображение.
Определение 4. Решением дифференциального включения (2) называется абсолют-
но непрерывное многозначное отображение X(·), производная которого удовлетворя-
ет включению (2) почти всюду на R1 .
Множество всех таких решений обозначим через O(F ).
Замечание 3. Если в правой части дифференциального включения (2) отображение
таково, что все множества, принадлежащие F (t, X), являются одноточечными, то вклю-
чение (2) превращается в обычное дифференциальное включение ẋ ∈ F (t, x) и OB(F ) =
= O(F ).
Если F (·, ·) таково, что множество F (t, X) состоит из одного множества из conv (Rn),
то дифференциальное включение (2) превращается в дифференциальное уравнение с
производной Хукухары и BL(F ) = O(F ).
Рассмотрим, как соотносятся между собой решения дифференциальных включений с
производной Хукухары I и II типов.
Поставим в соответствие дифференциальному включению (1) дифференциальное
включение
DhX ∈ G(t, X), (3)
где G(·, ·) ставит в соответствие каждому t ∈ [t0, T ] и X ∈ conv (Rn) множество всех не-
пустых выпуклых компактных подмножеств непустого компактного множества F (t, X).
Очевидно, что решения включений (1) и (3) совпадают.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 233
Наоборот, поставим в соответствие включению (2) дифференциальное включение I
типа
DhX ⊂ P (t, X), (4)
где P (t, X) — объединение всех множеств, являющихся элементами множества F (t, X).
Тогда все решения включения (2) являются решениями включения (4), но не наоборот.
Поэтому в дальнейшем будем рассматривать только дифференциальные включения
II типа.
3. Различные определения решения и их свойства. Рассмотрим дифференциальное
включение с производной Хукухары
DhX ∈ F (t, X), X(t0) = X0, (5)
где F (·, ·) : [t0, T ]× conv (Rn) → cc (Rn) — многозначное отображение.
После введения данного дифференциального включения возникают те же вопросы
и трудности, что и в теории обыкновенных дифференциальных включений [23], но при
этом появляются и дополнительные проблемы. Это связано, например, с тем, что при
рассмотрении обыкновенного дифференциального включения мы использовали про-
странства Rn и comp (Rn) и хотя бы одно из них было линейным. Теперь же мы исполь-
зуем пространства conv (Rn) и cc (Rn), а они оба – нелинейны [4, 13]. Это обусловлива-
ет определенные трудности при доказательстве результатов, которые аналогичны полу-
ченным для обыкновенных дифференциальных включений.
Вначале введем, как и в теории обыкновенных дифференциальных включений, раз-
личные понятия решения для системы (5) и приведем некоторые из их свойств.
3.1. Обобщенное решение.
Определение 5. Многозначное отображение X(·) называется обобщенным решени-
ем включения (5), если X(·) — непрерывное многозначное отображение на [t0, T ] (X(·) ∈
∈ CM
n [t0, T ]) и интегральное включение
X(t′′)
h
X(t′) ∈
t′′∫
t′
F (t, X(t))dt (6)
справедливо для всех t′ < t′′, t′, t′′ ∈ [t0, T ] .
Обозначим через G(F ) множество всех обобщенных решений включения (5).
Теорема 2. Пусть F (·, ·) : R1 × conv (Rn) → cocc (Rn) удовлетворяет следующим
условиям:
1) F (·, X) измеримо для всех X ∈ conv (Rn);
2) F (t, ·) непрерывно для всех t ∈ [t0, T ];
3) |F (t, X)| ≤ m(t), (t, X) ∈ [t0, T ]× conv (Rn), m(·) ∈ L1[t0, T ] .
Тогда O(F ) = G(F ) .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
234 Т. А. КОМЛЕВА, А. В. ПЛОТНИКОВ
Доказательство. Очевидно, что O(F ) ⊂ G(F ). Покажем, что G(F ) ⊂ O(F ). Пусть
X(·) ∈ G(F ). Тогда
∣∣∣∣X(t′′)
h
X(t′)
∣∣∣∣ ≤
∣∣∣∣∣∣
t′′∫
t′
F (s,X(s))ds
∣∣∣∣∣∣ ≤
t′′∫
t′
|F (s,X(s))| ds (7)
для t′, t′′ ∈ [t0, T ] таких, что t′ < t′′. Следовательно, X(·) является абсолютно непрерыв-
ной функцией на [t0, T ] и по теореме 1.2.1 [13] многозначное отображение X(·) диффе-
ренцируемо по Хукухаре на [t0, T ]. Тогда имеем
0 ≤ dist (DhX(t), F (t, X(t))) ≤ h
(
DhX(t),
1
η
(
X(t + η)
h
X(t)
))
+
+ d
1
η
t+η∫
t
F (s,X(s))ds, F (t, X(t))
= A1(t, η) + A2(t, η) (8)
для каждого η > 0 и t ∈ [t0, T ].
Почти для всех t ∈ [t0, T ] имеем (аналогично [24])
lim
η→0+
d
1
η
t+η∫
t
F (s,X(s))ds, F (t, X(t))
= 0. (9)
Оценки (7) и (9) показывают, что A1(t, η) → 0 и A2(t, η) → 0 при η → 0+ почти для
всех t ∈ [t0, T ]. Если в (8) η устремить к 0+, то получим, что dist (DhX(t), F (t, X(t))) = 0
почти всюду на [t0, T ].
Следовательно, DhX(t) ∈ F (t, X(t)) почти всюду на [t0, T ], т. е. X(·) ∈ O(F ).
Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть F (·, ·) : [t0, T ]× conv (Rn) → cc (Rn) — многозначное отображе-
ние, удовлетворяющее условиям 1 – 3 теоремы.
Тогда O(conv F ) = G(F ).
3.2. Контингентное решение.
Определение 6 [18, 20]. Пусть X(·) : [t0, T ] → conv (Rn). Множество D∗
hX(τ) =
= Rτ
⋃
Lτ , где
Rτ =
{
Y ∈ conv (Rn) | ∃ tn → τ, tn > τ,
lim
n→∞
h
(
(tn − τ)−1
(
X(tn)
h
X(τ)
)
, Y
)
= 0
}
,
Lτ =
{
Y ∈ conv (Rn) | ∃ tn → τ, tn < τ,
lim
n→∞
h
(
(τ − tn)−1
(
X(τ)
h
X(tn)
)
, Y
)
= 0
}
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 235
будем называть контингенцией от X(·) в точке τ ∈ (t0, T ).
Определение 7 [18, 20]. Пусть X(·) : [t0, T ] → conv (Rn). Множество
D∗∗
h X(τ) =
{
Y ∈ conv (Rn) | ∃ tn → τ, ti → τ, tn > ti,
lim
n,i→∞
h
(
(tn − ti)−1
(
X(tn)
h
X(ti)
)
, Y
)
= 0
}
будем называть паратингенцией от X(·) в точке τ ∈ [t0, T ] .
Определение 8. Многозначное отображение X(·) называется контингентным (па-
ратингентным) решением, если X(·) ∈ CM
n [t0, T ] и
D∗
hX(t) ⊂ F (t, X(t)), t ∈ [t0, T ] (D∗∗
h X(t) ⊂ F (t, X(t)), t ∈ [t0, T ]).
Будем обозначать множество контингентных (паратингентных) решений через C(F )
(P (F )).
Лемма 4. Пусть S ∈ conv (Rn), I = [t0, T ], X(·) — абсолютно непрерывное много-
значное отображение на I (X(·) ∈ ACM
n (I)), DhX(t) ⊂ S для почти всех t ∈ I .
Тогда
(T − t0)−1
(
X(T )
h
X(t0)
)
⊂ S.
Доказательство проводится по той же схеме, что и доказательство леммы 7.1.1 [23].
Теорема 3. Пусть F (·, ·) : [t0, T ] × conv (Rn) → cc (Rn) — полунепрерывное сверху
многозначное отображение.
Тогда O(F ) = C(F ).
Доказательство. Допустим, что X(·) ∈ C(F ) и L — компактный подынтервал [t0, T ].
Из условия теоремы следует, что F (·, X(·)) полунепрерывно сверху по t.
Пусть G ∈ cc (Rn). Через UG обозначим множество в пространстве comp (Rn), кото-
рое является объединением всех элементов множества G, т. е.
UG =
⋃
g∈G
g, g ∈ conv (Rn).
Тогда существует C ∈ comp (Rn) такое, что UF (t, X(t)) ⊂ C для t ∈ L. Следователь-
но, X(·) удовлетворяет условию Липшица в L и поэтому X(·) ∈ ACM
n (L). Тогда DhX(·)
существует почти всюду на [t0, T ].
Учитывая, что DhX(t) ∈ D∗
hX(t) ⊂ F (t, X(t)) почти всюду на [t0, T ], получаем, что
X(·) ∈ O(F ).
Пусть теперь X(·) ∈ O(F ). Поскольку X(·) ∈ ACM
n [t0, T ], то X(·) ∈ CM
n [t0, T ]. Возь-
мем t′ ∈ [t0, T ], k > 0 и положим Uk = Sk(F (t′, X(t′))). Так как F (·, X(·)) полунепре-
рывно сверху, существует окрестность H точки t′ такая, что F (t, X(t)) ⊂ Uk для t ∈ H .
Следовательно, DhX(t) ⊂ Uk почти всюду и по лемме 4 для всех
(t− t′)−1
(
X(t)
h
X(t′)
)
⊂ Uk,
т. е. D∗
hX(t) ⊂ Uk.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
236 Т. А. КОМЛЕВА, А. В. ПЛОТНИКОВ
Переходя к пределу при k, стремящемся к нулю, получаем
D∗
hX(t) ⊂ F (t, X(t)),
т. е. X(·) ∈ C(F ).
Теорема доказана.
3.3. Квазирешения.
Определение 9. Многозначное отображение X(·) называется квазирешением диф-
ференциального включения (5), если существует последовательность многозначных
отображений {Xk(·)}∞k=1 такая, что:
1) Xk(·) ∈ ACM
n [t0, T ], k = 1, 2, . . . ;
2) |DhXk(t)| ≤ m(t), t ∈ [t0, T ], m(·) ∈ Ln
1 [t0, T ], k = 1, 2, . . . ;
3) lim
k→∞
Xk(t) = X(t), t ∈ [t0, T ];
4) lim
k→∞
dist (DhXk(t), F (t, Xk(t))) = 0 почти всюду на [t0, T ].
Множество квазирешений включения (5) обозначим через Q(F ).
Теорема 4. Пусть F (·, ·) : [t0, T ] × conv (Rn) → cc (Rn) удовлетворяет следующим
условиям:
1) F (·, X) измеримо для всех X ∈ conv (Rn);
2) F (t, ·) непрерывно для всех t ∈ [t0, T ];
3) |F (t, X)| ≤ m(t), (t, X) ∈ [t0, T ]× conv (Rn), m(·) ∈ Ln
1 [t0, T ] .
Тогда O(conv F ) = Q(F ) = Q(conv F ) .
Доказательство. Из определения квазирешения следует, что Q(F ) ⊂ Q(conv F ). По-
кажем, что Q(conv F ) ⊂ O(conv F ).
Пусть X(·) ∈ Q(conv F ). Тогда существует последовательность многозначных ото-
бражений {Xi(·)}∞i=1, сходящаяся к X(·). Из непрерывности многозначного отображения
conv F (t, ·) по X ∈ conv (Rn) следует, что d(conv F (t, Xi), conv F (t, X)) → 0 для t ∈ [t0, T ]
при i → ∞. Для каждого ε > 0 определим множество
Ti = {t ∈ [t0, T ] | dist (DhXi(t), F (t, X(t))) > ε}.
При i → ∞ имеем meas (Ti) → 0. Поскольку conv F (t, X(t)) измерима на [t0, T ], существу-
ет измеримая функция G(·) такая, что G(t) ∈ conv F (t, X(t)), |G(t)| ≤ m(t) для t ∈ [t0, T ].
Возьмем
Ui(t) =
{
DhXi(t) для почти всех t ∈ [t0, T ]\Ti,
G(t) для t ∈ Ti,
которые удовлетворяют включению Ui(t) ∈ Sε(conv F (t, X(t))) почти всюду на [t0, T ].
Пусть Vi(·) — абсолютно непрерывное многозначное отображение, для которого по-
чти всюду на [t0, T ] DhVi(t) = Ui(t). Следовательно,
Vi(t′′)
h
Vi(t′) ∈
t′′∫
t′
Sε(conv F (t, X(t)))dt.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 237
Так как Vi(t) → X(t) при i → ∞, то
X(t′′)
h
X(t′) ∈
t′′∫
t′
Sε(conv F (t, X(t)))dt.
Из абсолютной непрерывности многозначного отображения X(·) и существования
разностей Хукухары на [t0, T ] следует, что почти всюду на этом отрезке DhX(t) ∈
∈ Sε(conv F (t, X(t))). А так как ε — произвольное число, то DhX(t) ∈ conv F (t, X(t))
почти всюду на [t0, T ], т. е. X(·) ∈ O(conv F ).
Теперь осталось показать, что O(conv F ) ⊂ Q(F ). Пусть X(·) ∈ O(conv F ). Тогда
F (·, X(·)) измерима на [t0, T ] и по теореме Егорова существует система непересекающих-
ся компактных подынтервалов {Ii}, а также множество N ⊂ [t0, T ], meas (N) = 0, такие,
что [t0, T ] =
⋃
i
Ii
⋃
N и X(·) и cоответствующее S(·) = F (·, X(·)) непрерывны на Ii. Раз-
биение [t0, T ] можно выбрать так, что DhX(·) ∈ conv F (t, X(t)) почти всюду на [t0, T ] и
h(DhX(t), DhX(τ)) ≤ 1/k, d(F (t, X(t)), F (τ,X(τ))) ≤ 1/k,
t, τ ∈ Ii, i = 1, 2, . . ., и k — произвольно.
Определим U(·) : [t0, T ] → conv (Rn) и F̃ (·) : [t0, T ] → cc (Rn) следующим образом:
U(t) =
{
DhX(t), t ∈ Ii, i = 1, 2, . . . ,
{0}, t ∈ N,
F̃ (t) =
{
F (ti, X(ti)), t ∈ Ii, i = 1, 2, . . . ,
{0}, t ∈ N.
Тогда h(U(t), DhX(t)) ≤ 1/k и d(F̃ (t), F (t, X(t))) ≤ 1/k для почти всех t ∈ [t0, T ].
Определим Xk(·) следующим образом:
Xk(t) = X(t0) +
t∫
t0
U(s)ds, t ∈ [t0, T ].
Тогда для Xk(·) справедливо:
1) Xk(·) ∈ ACM
n [t0, T ], Xk(t0) = X(t0);
2) |DhXk(t)| ≤ m(t), t ∈ [t0, T ];
3) DhXk(t) ∈ F̃ (t) для почти всех t ∈ [t0, T ];
4) dist (DhXk(t), F (t, Xk(t))) ≤ 1/k для почти всех t ∈ [t0, T ].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
238 Т. А. КОМЛЕВА, А. В. ПЛОТНИКОВ
Оценим
h(Xk(t), X(t)) ≤
≤ h
t∫
t0
U(s)ds,
t∫
t0
DhX(s)ds
≤
∫
[t0,T ]∩I1
h (U(s), DhX(s)) ds + . . .
. . . +
∫
[t0,T ]∩Ii
h(U(s), DhX(s))ds + . . . ≤
≤ 1
k
∑
i
meas (Ii) =
1
k
(T − t0),
т. е. Xk(t) → X(t) при k → ∞ и t ∈ [t0, T ].
Поскольку
dist (DhXk(t), F (t, Xk(t))) < dist (DhXk(t), F (t, X(t)))+
+ d(F (t, X(t)), F (t, Xk(t))) ≤
1
k
+ d(F (t, X(t)), F (t, Xk(t)))
и F (t, ·) непрерывно, то lim
k→∞
dist (DhXk(t), F (t, Xk(t))) = 0 почти всюду на [t0, T ], т. е.
X(·) ∈ Q(F ). Тем самым теорема доказана.
Следствие 2. При предположениях теоремы имеем
O(conv F ) = Q(F ) = Q(conv F ) = G(F ) = G(conv F ).
3.4. Классическое решение.
Определение 10. Многозначное отображение X(·) называется классическим ре-
шением дифференциального включения (5), если отображение X(·) непрерывно диффе-
ренцируемо по Хукухаре (X(·) ∈ DCM
n [t0, T ]), DhX(t) ∈ F (t, X(t)) для всех t ∈ [t0, T ].
Обозначим множество всех классических решений дифференциального включения
(5) через KL(F ).
Непосредственно из определений классического и обычных решений следует, что
KL(F ) ⊂ O(F ).
Теперь докажем следующую теорему существования классического решения.
Теорема 5. Пусть многозначное отображение F (·) : conv (Rn) → cc (Rn) абсолютно
непрерывно и V 0 ∈ F (X0).
Тогда существует интервал I = [−T, T ] и непрерывно дифференцируемое отобра-
жение X(·), определенное на I , являющееся решением задачи
DhX(t) ∈ F (X(t)), X0 = X0, DhX(0) = V 0 ∈ F (X(0)). (10)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 239
Доказательство. Возьмем некоторый шар S = Sr(X0) с центром в X0 радиуса r.
Поскольку F (·) является непрерывным на S и имеет компактные значения, существует
M такое, что |F (X)| ≤ M на S.
Положим T = r/M и поставим в соответствие каждому целому n подразбиение [0, T ],
определенное точками tin = iT/n. Определим Xn(t0n) = X0 и Vn(t0n) = V 0.
Предположим, что до i = ν − 1 < n известны Xn(tin) и Vn(tin). Для i = ν положим
Xn(tνn) = Xn(tν−1
n ) +
T
n
Vn(tν−1
n ) (11)
и выберем Vn(tνn) так, чтобы
h(Vn(tν−1
n ), Vn(tνn)) = dist (Vn(tν−1
n ), F (Xn(tνn))). (12)
Определим Xn(·) и Vn(·) на [0, T ], как многозначные ломаные отображения, значения
которых в узлах tin равны Xn(tin) и Vn(tin) соответственно.
Покажем, что последовательность {Vn(·)}∞n=1 равномерно ограничена и равностепен-
но непрерывна.
Зафиксируем ε > 0. Пусть δ = δ(ε) и определим δ1 = δ/M . Пусть t и t′ взяты из
интервала |t− t′| < δ1/3 и для каждого n ≥ 3T/δ1 числа i = i(n) и j = j(n) будут такими,
что tin ≤ t < ti+1
n < . . . < t′ ≤ tjn. Следовательно, tjn − tin ≤
δ1
3
+
δ1
3
+
δ1
3
= δ1.
Тогда
h(Vn(t), Vn(t′)) ≤ h(Vn(t), Vn(ti+1
n ))+
+
j−2∑
k=i+1
h(Vn(tkn), Vn(tk+1
n )) + h(Vn(tj−1
n ), Vn(t′)).
Поскольку на [tin, ti+1
n ] и [tj−1
n , tjn] отображение Vn(·) является линейным, то
h(Vn(t), Vn(t′)) ≤ ti+1
n − t
ti+1
n − tin
h(Vn(tin), Vn(ti+1
n )) ≤ h(Vn(tin), Vn(ti+1
n ))
и
h(Vn(tj−1
n ), Vn(t′)) ≤ h(Vn(tjn), Vn(tj−1
n )).
Это значит, что
h(Vn(t), Vn(t′)) ≤
j∑
k=i+1
h(Vn(tk−1
n ), Vn(tkn)).
Вследствие того что для каждого k выполняются условия h(Vn(tk−1
n ), Vn(tkn)) =
= dist (Vn(tkn), F (Xn(tkn))) и Vn(tk−1
n ) ∈ F (Xn(tk−1
n )), имеем
h(Vn(tk−1
n ), Vn(tkn)) ≤ d(F (Xn(tk−1
n )), F (Xn(tkn))).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
240 Т. А. КОМЛЕВА, А. В. ПЛОТНИКОВ
Из (11) следует, что
j∑
k=i+1
h(Xn(tk−1
n ), Xn(tkn)) ≤ M
j∑
k=i+1
|tk+1
n − tkn| ≤ Mδ1 = δ.
Тогда из абсолютной непрерывности F (·) получаем
h(Vn(t), Vn(t′)) ≤ ε. (13)
Эта оценка не зависит от n. Тем самым доказана равностепенная непрерывность после-
довательности {Vn(·)}∞n=1.
По теореме Асколи [25] существует подпоследовательность последовательности
{Vn(·)}∞n=1, которая сходится к непрерывному отображению V∗(·). Обозначим ее, по-преж-
нему, через {Vn(·)}∞n=1.
Определим Y∗(·), положив
Y∗(t) = X0 +
t∫
0
V∗(s)ds, (14)
и покажем, что Y∗(·) является решением сформулированной задачи, т. е.
V∗(t) ∈ F (Y∗(t)). (15)
Для этого докажем, что последовательность {Xn(·)}∞n=1 сходится равномерно к Y∗(·):
h(Y∗(t), Xn(t)) ≤ h
X0 +
t∫
0
V∗(s)ds, X0 +
t∫
0
DhXn(s)ds
≤
≤ h
t∫
0
V∗(s)ds,
t∫
0
DhXn(s)ds
≤
t∫
0
h(V∗(s), DhXn(s))ds ≤
≤
t∫
0
h(V∗(s), Vn(s))ds +
t∫
0
h(Vn(s), DhXn(s))ds.
Поскольку Vn(·) и DhXn(·) совпадают в точках tin (где фактически DhXn(·) — только
левая производная Хукухары), DhXn(·) является константой на каждом подынтервале,
где Vn(·) является линейной. Очевидно, что интеграл от h(Vn(s), DhXn(s)) не больше
1
2
(tkn − tk−1
n )2M на каждом [tk−1
n , tkn], т. е. не больше
MT 2
2n
на [0, T ]. Это доказывает равно-
мерную сходимость последовательности многозначных отображений {Xn(·)}∞n=1 к Y (·).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 241
Пусть (tj−1
n , tjn) — интервал, в котором содержится t. Тогда
dist (V∗(t), F (Y∗(t))) ≤ h(V∗(t), V∗(tjn)) + h(V∗(tjn), Vn(tjn))+
+ dist (Vn(tjn), F (Xn(tjn))) + d(F (Xn(tjn)), F (Y∗(tjn)))+
+ d(F (Y∗(tjn)), F (Y∗(t))). (16)
Так как V∗(·) непрерывно по t, Vn(·) сходится равномерно к V∗(·), Vn(tjn) принадлежит
F (Xn(tjn)), Xn(·) сходится равномерно к функции Y∗(·) и F (·) равномерно непрерывно на
S, правую часть неравенства (16) можно сделать сколь угодно малой.
В силу того что при каждом t множество F (Y∗(t)) замкнуто, V∗(t) ∈ F (Y∗(t)), т. е. Y∗(·)
— непрерывно дифференцируемое решение задачи (10).
Теорема доказана.
Следующим из приводимых здесь результатов является теорема существования и не-
прерывной зависимости обычного решения от параметра.
Теорема 6. Пусть правая часть системы (5) удовлетворяет условиям:
1) отображение F (·, ·) : [t0, T ]× conv (Rn) → cc (Rn) непрерывно по (t, X) и удовлет-
воряет условию Липшица по X с k(·) ∈ Ln
1 [t0, T ];
2) отображение Y (·) абсолютно непрерывно на [t0, T ] и
dist (DhY (t), F (t, Y (t))) ≤ ρ(t)
почти всюду на [t0, T ], где ρ(·) — суммируемая функция на [t0, T ];
3) для некоторого X0 ∈ conv (Rn) выполнено условие h(Y (t0), X0) ≤ δ < b.
Тогда существует обычное решение X(·) задачи (5), определенное на [t0, T ], такое,
что:
1) X(t0) = X0;
2) h(X(t), Y (t)) ≤ ξ(t), t ∈ [t0, T ];
3) h(DhX(t), DhY (t)) ≤ k(t)ξ(t) + ρ(t) почти всюду на [t0, T ], где
ξ(t) = δem(t) +
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
em(t)−m(s)ρ(s)ds
∣∣∣∣∣∣ , m(t) =
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
k(s)ds
∣∣∣∣∣∣ , t ∈ [t0, T ].
Доказательство. Построим последовательность Коши последовательных приближе-
ний:
X0(t) = Y (t), t ∈ [t0, T ],
(17)
Xi+1(t) = X0 +
t∫
t0
Vi(s)ds, t ∈ [t0, T ],
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
242 Т. А. КОМЛЕВА, А. В. ПЛОТНИКОВ
где
Vi(t) ∈ F (t, Xi(t)), t ∈ [t0, T ], (18)
h(Vi(t), DhXi(t)) = dist (DhXi(t), F (t, Xi(t))). (19)
Существование отображения Vi(·), удовлетворяющего условиям (18) и (19), доказыва-
ется аналогично случаю многозначных отображений F (·, ·) : [t0, T ] × Rn → comp (Rn)
[23].
Оценим расстояние между DhXi+1(·) и DhXi(·):
h(DhXi+1(t), DhXi(t)) = h(Vi(t), DhXi(t)) =
= dist (DhXi(t), F (t, Xi(t))) = dist (Vi−1(t), F (t, Xi(t))) ≤
≤ d(F (t, Xi−1(t)), F (t, Xi(t))) ≤ k(t)h(Xi−1(t), Xi(t)). (20)
Для первого шага индукции оценим расстояние между DhX0(·) и DhX1(·):
h(DhX0(t), DhX1(t)) = h(V0(t), DhY (t)) = dist (DhY (t), F (t, Y (t))) ≤ ρ(t).
Отсюда
h(X1(t), Y (t)) ≤ δ +
t∫
t0
ρ(τ)dτ. (21)
Из (20) и (21) получим
h(DhXi+1(t), DhXi(t)) ≤ k(t)
δ[m(t)]i−1
(i− 1)!
+
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
[m(t)−m(s)]i−1
(i− 1)!
ρ(s)ds
∣∣∣∣∣∣
,
h(Xi+1(t), Xi(t)) ≤ δ
[m(t)]i
i!
+
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
[m(t)−m(s)]i
i!
ρ(s)ds
∣∣∣∣∣∣ .
Теперь оценим расстояние между Xl(·) и Y (·), предварительно расписав его по правилу
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 243
треугольника:
h(Xl(t), Y (t)) ≤ h(Xl(t), Xl−1(t)) + . . . + h(X1(t), Y (t)) ≤
≤ δ
l−1∑
i=0
[m(t)]i
i!
+
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
l−1∑
i=0
[m(t)−m(s)]i
i!
ρ(s)ds
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ δem(t) +
∣∣∣∣∣∣
t∫
t0
em(t)−m(s)ρ(s)ds
∣∣∣∣∣∣ = ξ(t), t ∈ [t0, T ]. (22)
Аналогично
h(DhXl(t), DhY (t)) ≤ k(t)ξ(t) + ρ(t), t ∈ [t0, T ]. (23)
Полученные последовательности {Xi(·)}∞i=1 и {DhXi(·)}∞i=1 по обобщенной теореме
Асколи сходятся к X(·) и DhX(·).
Поскольку dist (DhXi(t), F (t, Xi(t))) → 0 и DhXi(t) → DhX(t), Xi(t) → X(t), имеем
dist (DhX(t), F (t, X(t))) = 0,
откуда
DhX(t) ∈ F (t, X(t)),
а из неравенств (22) и (23) следуют утверждения 2 и 3.
Теорема доказана.
Замечание 4. Пусть X0 и Y 0 — два начальных множества и
h(X0, Y 0) = δ < b.
Тогда решению Y (·) такому, что Y (t0) = Y 0 , можно поставить в соответствие реше-
ние X(·) такое, что
X(t0) = X0, h(X(t), Y (t)) ≤ h(X0, Y 0)e
tR
t0
k(s)ds
, t ∈ [t0, T ].
Замечание 5. Так же, как и для случая обыкновенных дифференциальных включений,
данная теорема справедлива, если отображение F (·, X) измеримо по t.
Замечание 6. В случае, когда F (·, ·) : [t0, T ] × Rn → conv (Rn), получим теорему
А. Ф. Филиппова [26] для обычных дифференциальных включений.
Теперь воспользуемся полученными результатами для доказательства теоремы релак-
сации для системы (5).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
244 Т. А. КОМЛЕВА, А. В. ПЛОТНИКОВ
Теорема 7. Пусть выполняются условия теоремы 4, а также F (t, ·) удовлетворяет
условию Липшица с константой k(·) ∈ Ln
1 [t0, T ], т. е.
h(F (t, X1), F (t, X2)) ≤ k(t)h(X1, X2)
и X(·) ∈ O(conv F ). Тогда существует последовательность {Xk(·)}∞k=1, которая сходит-
ся к X(·), и Xk(·) ∈ O(F ), k = 1,∞.
Доказательство. По теореме 4 решение X(·) является также и квазирешением систе-
мы (5), т. е. существует последовательность абсолютно непрерывных многозначных ото-
бражений {Yk(·)}∞k=1 такая, что:
1) lim
k→∞
Yk(t) = X(t), t ∈ [t0, T ];
2) lim
k→∞
ρk(t) = 0 для почти всех t ∈ [t0, T ],
где ρk(t) = dist (DhYk(t), F (t, Yk(t))).
Согласно теореме 6 существуют абсолютно непрерывные функции Xk(·) ∈ O(F ),
k = 1,∞, такие, что:
1) Xk(t0) = X0;
2) h(Xk(t), Yk(t)) ≤ h(Xk(t0), Yk(t0))e m(t) +
∣∣∣∣∣ t∫
t0
em(t)−m(s)ρk(s)ds
∣∣∣∣∣ ,
где m(t) =
∣∣∣∣∣ t∫
t0
k(s)ds
∣∣∣∣∣ , t ∈ [t0, T ], k = 1,∞.
Поскольку lim
k→∞
h(Xk(t0), Yk(t0)) = 0 и lim
k→∞
ρk(t) = 0 для почти всех t ∈ [t0, T ], то
lim
k→∞
h(Xk(t), Yk(t)) = 0 для всех t ∈ [0, T ]. Следовательно, lim
k→∞
Xk(t) = X(t) для всех
t ∈ [t0, T ].
Теорема доказана.
И в завершение докажем одно из важнейших свойств множества обычных решений
— его компактность.
Теорема 8. Пусть многозначное отображение F (·, ·) удовлетворяет следующим усло-
виям:
1) F (·, X) измеримо для всех X ∈ conv (Rn) на [t0, T ];
2) F (t, ·) непрерывно для всех t ∈ [t0, T ] на conv (Rn);
3) существует l(·) ∈ L1[t0, T ] такая, что
d(F (t, X), 0) ≤ l(t), (t, X) ∈ [t0, T ]× conv (Rn);
4) для всех (t, X) ∈ [t0, T ]× conv (Rn) множество F (t, X) выпукло.
Тогда множество обычных решений дифференциального включения (5) компактно
в пространстве CM [t0, T ].
Доказательство. Пусть {Xn(·)}∞n=1 — последовательность обычных решений системы
(5), т. е. DhXn(t) ∈ F (t, Xn(t)) почти для всех t ∈ [t0, T ].
Тогда для любых t, τ ∈ [t0, T ] таких, что t > τ , имеем
Xn(t)
h
Xn(τ) ∈
t∫
τ
F (ξ,Xn(ξ))dξ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ВКЛЮЧЕНИЯ С ПРОИЗВОДНОЙ ХУКУХАРЫ 245
Следовательно, для любых t > τ, t, τ ∈ [t0, T ]
h(Xn(t), Xn(τ)) ≤
∣∣∣∣∣∣
t∫
τ
l(s)ds
∣∣∣∣∣∣ .
Тем самым последовательность {Xn(·)}∞n=1 является равномерно ограниченной и равно-
степенно непрерывной на [t0, T ]. Тогда по теореме Асколи [25] существует ее подпосле-
довательность {Xnk
(·)}∞k=1, равномерно сходящаяся на [t0, T ] к некоторому абсолютно
непрерывному многозначному отображению X(·).
Из условий 2 и 4 для всех t, τ ∈ [t0, T ] таких, что t > τ , получаем
X(t)
h
X(τ) ∈ lim
k→∞
sup
t∫
τ
F (ξ,Xnk
(ξ))dξ ⊂
⊂
t∫
τ
lim
k→∞
supF (ξ,Xnk
(ξ))dξ ⊂
t∫
τ
F (ξ, X(ξ))dξ.
Следовательно, X(·) является обобщенным решением системы (5) и в силу теоремы
2 имеем DhX(t) ∈ F (t, X(t)) для почти всех t ∈ [t0, T ], т. е. X(·) ∈ O(F ).
Теорема доказана.
1. Hukuhara M. Integration des applications mesurables dont la valeur est un compact convexe // Funkc. ekvaci-
oj. — 1967. — № 10. — P. 205 – 223.
2. Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Многозначные отображения // Итоги
науки и техники. Мат. анализ / ВИНИТИ. — 1982. — 19. — С. 127 – 130.
3. Борисович Ю. Г., Гельман Б. Д., Мышкис А. Д., Обуховский В. В. Введение в теорию многозначных
отображений. — Воронеж: Изд-во Воронеж. ун-та, 1986. — 104 с.
4. Половинкин Е. С. Элементы теории многозначных отображений. — М.: Изд-во Моск. физ.-техн. ин-
та, 1982. — 127 с.
5. De Blasi F. S., Iervolino F. Equazioni differentiali con soluzioni a valore compatto convesso // Boll. Unione
mat. ital. — 1969. — 2, № 4-5. — P. 491 – 501.
6. De Blasi F. S., Iervolino F. Euler method for differential equations with set-valued solutions // Ibid. — 1971.
— 4, № 4. — P. 941 – 949.
7. Kikuchi N. On some fundamental theorem of contingent equations in connections with the control problems
// Publ. RIMS, Kyoto Univ. Ser. A. — 1967. — 3. — P. 177 – 201.
8. Martelli M., Vignoli A. On differentiability of multi-valued maps // Boll. Unione mat. ital. — 1974. — 4, № 10.
— P. 701 – 712.
9. Brandao Lopes Pinto A. J., De Blasi F. S., Iervolino F. Uniqueness and existence theorems for differential
equations with compact convex valued solutions // Ibid. — 1970. — 4. — P. 534 – 538.
10. Kisielewicz M. Description of a class of differential equations with set-valued solutions // Lincei-Rend. Sci.
fis. mat. e nat. — 1975. — 58. — P. 158 – 162.
11. Kisielewicz M., Serafin B., Sosulski W. Existence theorem for functional-differential equation with compact
convex valued solutions // Demonstr. math. — 1975. — 13, № 2. — P. 229 – 237.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
246 Т. А. КОМЛЕВА, А. В. ПЛОТНИКОВ
12. Kisielewicz M. Method of averaging for differential equations with compact convex valued solutions // Rend.
mat. — 1976. — 9, № 3. — P. 397 – 408.
13. Плотников В. А., Плотников А. В., Витюк А. Н. Дифференциальные уравнения с многозначной
правой частью. Асимптотические методы. — Одесса: АстроПринт, 1999. — 354 с.
14. Толстоногов А. А. Дифференциальные включения в банаховом пространстве. — Новосибирск: Нау-
ка, 1986. — 296 с.
15. Kaleva O. Fuzzy differential equations // Fuzzy Sets and Systems. — 1987. — 24, № 3. — P. 301 – 317.
16. Kaleva O. The Cauchy problem for fuzzy differential equations // Ibid. — 1990. — 35. — P. 389 – 396.
17. Плотников А. В. Дифференциальные включения с производной Хукухары и некоторые задачи управ-
ления. — Одесса, 1982. — 35 с. — Деп. в ВИНИТИ, № 2036-82.
18. Плотников А. В. Дифференциальные включения с производной Хукухары. — Одесса, 1987. — 43 с.
— Деп. в УкрНИИНТИ, № 989-Ук87.
19. Плотников А. В. Усреднение дифференциальных включений с производной Хукухары // Укр. мат.
журн. — 1989. — 41, № 1. — C. 121 – 125.
20. Плотников А. В. Исследование некоторых дифференциальных уравнений с многозначной правой
частью: Дис. ... д-ра физ.-мат. наук. — Одесса, 1994.
21. Dabrowska R., Janiak T. Stability of functional-differential equations with compact convex valued solutions
// Discuss. Math. — 1993. — № 13. — P. 87 – 92.
22. Aumann R. J. Integrals of set-valued functions // J. Math. Anal. and Appl. — 1965. — 12, № 1. — P. 1 – 12.
23. Aubin J.-P., Cellina A. Differential inclusions. Set-valued maps and viability theory. — Springer-Verlag, 1984.
— 348 p.
24. Половинкин Е. С. Теория многозначных отображений. — М.: Изд-во Моск. физ.-техн. ин-та, 1983. —
108 с.
25. Келли Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1981. — 432 с.
26. Филиппов А. Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой частью
// Вестн. Моск. ун-та. — 1967. — № 3. — С. 16 – 26.
Получено 22.09.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7257 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-3076 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T21:33:14Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут математики НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Комлева, Т.А. Плотников, А.В. 2010-03-26T10:56:15Z 2010-03-26T10:56:15Z 2007 Дифференциальные включения с производной Хукухары / Т.А. Комлева, А.В. Плотников // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 229-246. — Бібліогр.: 26 назв. — pос. 1562-3076 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7257 517.9 Введено два типи диференціальних включень з похідною Хукухари і розглянуто їх властивості. Для диференціального включення другого типу наведено різні означення розв'язку та доведено теореми існування звичайного розв'язку і компактність їх множини. We introduce two types of differential inclusions with Hukuhara derivative and consider properties of such inclusions. For differential inclusions of the second type, we give several definitions of a solution, and prove theorems on existence of an ordinary solution and establish compactness of the set these solutions. ru Інститут математики НАН України Дифференциальные включения с производной Хукухары Article published earlier |
| spellingShingle | Дифференциальные включения с производной Хукухары Комлева, Т.А. Плотников, А.В. |
| title | Дифференциальные включения с производной Хукухары |
| title_full | Дифференциальные включения с производной Хукухары |
| title_fullStr | Дифференциальные включения с производной Хукухары |
| title_full_unstemmed | Дифференциальные включения с производной Хукухары |
| title_short | Дифференциальные включения с производной Хукухары |
| title_sort | дифференциальные включения с производной хукухары |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7257 |
| work_keys_str_mv | AT komlevata differencialʹnyevklûčeniâsproizvodnoihukuhary AT plotnikovav differencialʹnyevklûčeniâsproizvodnoihukuhary |