Инвариантное соотношение уравнений движения тяжелого гиростата в случае, когда центр масс принадлежит главной плоскости
Изучается вращение вокруг неподвижной точки гиростата с фиксированным в подвижном базисе направлением гиростатического момента. Предполагается, что центр масс и гиростатический момент принадлежат одной из главных плоскостей эллипсоида инерции. Исследованы условия существования решения с одним линейн...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72598 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Инвариантное соотношение уравнений движения тяжелого гиростата в случае, когда центр масс принадлежит главной плоскости / О.С. Волкова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 76-83. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72598 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Волкова, О.С. 2014-12-26T19:12:19Z 2014-12-26T19:12:19Z 2012 Инвариантное соотношение уравнений движения тяжелого гиростата в случае, когда центр масс принадлежит главной плоскости / О.С. Волкова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 76-83. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72598 531.38 Изучается вращение вокруг неподвижной точки гиростата с фиксированным в подвижном базисе направлением гиростатического момента. Предполагается, что центр масс и гиростатический момент принадлежат одной из главных плоскостей эллипсоида инерции. Исследованы условия существования решения с одним линейным по компонентам угловой скорости инвариантным соотношением. Получен аналог решения Е.И. Харламовой. Вивчається обертання навколо нерухомої точки гiростата з фiксованим у рухомому базисi напрямком гiростатичного моменту. Припускається, що радiус-вектор центра мас та гiростатичний момент належать однiй з головних площин елiпсоїда iнерцiї. Для рiвнянь руху дослiджено умови iснування розв’язкiв з одним лiнiйним за компонентами кутової швидкостi iнварiантним спiввiдношенням. Отримано аналог вiдомого розв’язку О.I. Харламової. The paper concerns rotation of a heavy gyrostat with a fixed point under the assumption that the gyrostatic momentum direction is invariant in the rotating frame. In addition, this directing vector and the position vector of the center of inertia belong to the principal plane. The existence conditions for solutions of the motion equations are studied in the case of one linear in angular velocity invariant relation. The equivalent of known Kharlamova’s particular solution is obtained. Работа выполнена при финансовой поддержке НАНУ и РФФИ (рег. № 0112U003346). ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Инвариантное соотношение уравнений движения тяжелого гиростата в случае, когда центр масс принадлежит главной плоскости Iнварiантне спiввiдношення рiвнянь руху важкого гiростата у випадку, коли центр мас належить головнiй площинi On invariant relation of the motion equations of a heavy gyrostat when the center of inertia belongs to the principal plane Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Инвариантное соотношение уравнений движения тяжелого гиростата в случае, когда центр масс принадлежит главной плоскости |
| spellingShingle |
Инвариантное соотношение уравнений движения тяжелого гиростата в случае, когда центр масс принадлежит главной плоскости Волкова, О.С. |
| title_short |
Инвариантное соотношение уравнений движения тяжелого гиростата в случае, когда центр масс принадлежит главной плоскости |
| title_full |
Инвариантное соотношение уравнений движения тяжелого гиростата в случае, когда центр масс принадлежит главной плоскости |
| title_fullStr |
Инвариантное соотношение уравнений движения тяжелого гиростата в случае, когда центр масс принадлежит главной плоскости |
| title_full_unstemmed |
Инвариантное соотношение уравнений движения тяжелого гиростата в случае, когда центр масс принадлежит главной плоскости |
| title_sort |
инвариантное соотношение уравнений движения тяжелого гиростата в случае, когда центр масс принадлежит главной плоскости |
| author |
Волкова, О.С. |
| author_facet |
Волкова, О.С. |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Iнварiантне спiввiдношення рiвнянь руху важкого гiростата у випадку, коли центр мас належить головнiй площинi On invariant relation of the motion equations of a heavy gyrostat when the center of inertia belongs to the principal plane |
| description |
Изучается вращение вокруг неподвижной точки гиростата с фиксированным в подвижном базисе направлением гиростатического момента. Предполагается, что центр масс и гиростатический момент принадлежат одной из главных плоскостей эллипсоида инерции. Исследованы условия существования решения с одним линейным по компонентам угловой скорости инвариантным соотношением. Получен аналог решения Е.И. Харламовой.
Вивчається обертання навколо нерухомої точки гiростата з фiксованим у рухомому базисi напрямком гiростатичного моменту. Припускається, що радiус-вектор центра мас та гiростатичний момент належать однiй з головних площин елiпсоїда iнерцiї. Для рiвнянь руху дослiджено умови iснування розв’язкiв з одним лiнiйним за компонентами кутової швидкостi iнварiантним спiввiдношенням. Отримано аналог вiдомого розв’язку О.I. Харламової.
The paper concerns rotation of a heavy gyrostat with a fixed point under the assumption that the gyrostatic momentum direction is invariant in the rotating frame. In addition, this directing vector and the position vector of the center of inertia belong to the principal plane. The existence conditions for solutions of the motion equations are studied in the case of one linear in angular velocity invariant relation. The equivalent of known Kharlamova’s particular solution is obtained.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72598 |
| citation_txt |
Инвариантное соотношение уравнений движения тяжелого гиростата в случае, когда центр масс принадлежит главной плоскости / О.С. Волкова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 76-83. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT volkovaos invariantnoesootnošenieuravneniidviženiâtâželogogirostatavslučaekogdacentrmassprinadležitglavnoiploskosti AT volkovaos invariantnespivvidnošennârivnânʹruhuvažkogogirostatauvipadkukolicentrmasnaležitʹgolovniiploŝini AT volkovaos oninvariantrelationofthemotionequationsofaheavygyrostatwhenthecenterofinertiabelongstotheprincipalplane |
| first_indexed |
2025-11-25T21:12:22Z |
| last_indexed |
2025-11-25T21:12:22Z |
| _version_ |
1850552885723529216 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2012. Вып. 42
УДК 531.38
c©2012. О.С. Волкова
ИНВАРИАНТНОЕ СООТНОШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
ДВИЖЕНИЯ ТЯЖЕЛОГО ГИРОСТАТА В СЛУЧАЕ, КОГДА
ЦЕНТР МАСС ПРИНАДЛЕЖИТ ГЛАВНОЙ ПЛОСКОСТИ
Изучается вращение вокруг неподвижной точки гиростата с фиксированным в подвижном
базисе направлением гиростатического момента. Предполагается, что центр масс и гиро-
статический момент принадлежат одной из главных плоскостей эллипсоида инерции. Ис-
следованы условия существования решения с одним линейным по компонентам угловой
скорости инвариантным соотношением. Получен аналог решения Е.И. Харламовой.
Ключевые слова: гиростат с неподвижной точкой, переменный гиростатический
момент, линейное инвариантное соотношение.
Введение. Пусть механическая система состоит из носителя S, имею-
щего неподвижную точку, и закрепленных на нем тел Si, i= 1, n. Считаем,
что система тел {S, S1, .., Sn} удовлетворяет определению гиростата П.В. Хар-
ламова [1]: в этом случае динамические характеристики носителя не зависят
от вращения присоединенных тел, а уравнения движения имеют вид
Jω̇ + λ̇ = (Jω + λ)× ω + e× ν, ν̇ = ν × ω, (1)
где J – обобщенный тензор инерции, ω – угловая скорость гиростата в по-
движном базисе, ν – орт вертикали, e – орт радиус-вектора центра масс, λ –
переменный гиростатический момент. Предположим, что направление векто-
ра λ фиксировано в связанном с гиростатом базисе: λ = λ(t)α, где |α| = 1,
а λ(t) – непрерывно дифференцируемая ограниченная функция времени.
При постоянном λ известны три первых интеграла уравнений движения,
но при λ 6= const система (1) допускает только два их них:
(Jω + λ, ν) = g, |ν|2 = 1. (2)
В задаче динамики тяжелого неавтономного гиростата c λ = λ(t)α ис-
следованы условия существования основных классов безнутационных движе-
ний [2–4], найдены аналоги решений Дж.Гриоли, В. Гесса, Д.К. Бобылева –
В.А.Стеклова [4–7]. При λ = const, ω 6= const известны и другие решения
с линейными инвариантными соотношениями: они существуют при условии,
что центр масс лежит в главной плоскости эллипсоида инерции, построенного
в неподвижной точке.
В работе будут получены условия существования решения системы (1)
с инвариантным соотношением типа Е.И. Харламовой при условии, что ги-
ростатический момент и радиус-вектор центра масс принадлежат главной
плоскости, а λ – линейная функция компонент вектора ω.
Работа выполнена при финансовой поддержке НАНУ и РФФИ (рег. № 0112U003346).
76
Одно линейное инвариантное соотношение
Пусть e ⊥ i ⊥ α, где i ‖ Ji. Перейдем от главных осей к базису e, i,
(e × i): обозначим (ω,e) = ω1, (ω, i) = ω2, (ω,e × i) = ω3, (ν,e) = ν1,
(ν, i) = ν2, (ν,e × i) = ν3, J∗ = (Ji, i). Проекции динамического уравнения
на e, (e× i) образуют подсистему
(K̇, e) = [J∗ω3 − (K,e× i)]ω2, (3)
(K̇, e× i) = [−J∗ω1 + (K,e)]ω2 + ν2. (4)
Так как цель работы – получения аналога решения Е.И. Харламовой, то слу-
чай (K,e) = const, при λ = const вырождающийся в (Jω,e) = const, в
п. 1 будет исключен из рассмотрения. Здесь же отметим, что (K̇,e) = 0 при-
водит к ω2 = 0 либо J∗ω3 = (K,e × i). Первая возможность исследована
в [5, п. 3], ей соответствуют решения I), II). Вторая возможность распадается
на два варианта:
1) система (1) помимо (K,e)=K0 допускает линейное по ω соотношение
(ω,η) = K0(α× e, i), где η = J∗(α,e)(e× i)− J(α× i) 6= 0;
2) вектор η = 0, т. е. параметры удовлетворяют условиям
Je ‖ α, J∗(Je,e) = (J(e× i),Je × i), K0(Je × e, i) = 0.
Вариант 1) требует отдельного изучения вне рамок этой работы; условия 2)
характеризуют обобщение решения В. Гесса, полученное в [6].
1. Инвариантное соотношение, характеризующее частные реше-
ния Дж. Гриоли и Е.И. Харламовой. В классической задаче о движении
гиростата с λ = const вопрос существования линейного по компонентам ω
инвариантного соотношения до конца не исследован.
Для случая e ⊥ i ‖ Ji, λ = 0 П.В.Харламов провел полный анализ,
уточнив тем самым результат С.А. Чаплыгина [8]. Из [9] следует, что в за-
даче о движении твердого тела, имеющего неподвижную точку, решений с
одним линейным инвариантным соотношением только четыре: это решения
Ж. Лагранжа, В. Гесса, Дж. Гриоли и Е.И. Харламовой. В монографии [10]
при том же условии на расположение центра масс и λ(t) = const система
(1) сведена к одному интегродифференциальному уравнению, определяюще-
му зависимость y(x), где y = (Jω,e × i), x = (Jω,e). Там же изучено
инвариантное соотношение вида
y = mx+m1, x 6= const. (5)
Показано, что существуют только два решения с таким соотношением, пред-
ставляющие собой обобщения решений Дж. Гриоли и Е.И. Харламовой [11]
уравнений движения твердого тела. Случай одного соотношения x = const
исследован отдельно: установлено, что ему соответствуют обобщение реше-
ния Ж.Лагранжа и решение Л.Н.Сретенского – В. Гесса.
При λ 6= const система (1), вообще говоря, не замкнута, если не задано
вращение присоединенных тел гиростата. Наличие одного инвариантного со-
отношения может не ограничивать количество различных решений. Укажем
одно из решений, совпадающее при λ(t) = 0 с решением [11].
77
О.С. Волкова
Пусть гиростатический момент λ(t)α, гдеλ(t) 6= const, направлен вдоль
вектора (1, 0, m)T, т. е. α3/α1 = m; тогда одновременно с (5) выполняется
(K,e× i) = m(K,e) +m1. (6)
Зададимся целью получить решение с соотношением (5). Для того, чтобы
система (1) допускала аналог интеграла энергии, совпадающий по форме с
интегралом при λ(t) = const, считаем λ линейной по x. Положим
λ = ((k − 1)x+ b)/α1, тогда (K,e) = kx+ b. (7)
Постоянные k, b подлежат определению из условий существования решения с
соотношением (5). Очевидно, что значения k = 1, b = 0 приводят к λ = 0, и
система (1) в этом случае представляет собой уравнения Эйлера – Пуассона.
Случай x=const здесь, как и в [11], не рассматриваем; положим также k 6= 0.
Выразим ω1, ω3 через x, y :
ω1 = ux+ u1y, ω3 = u1x+ u2y, (8)
где u1 =M
−1(Je, i × e), u2 =M
−1(Je,e), u =M
−1(J(e× i),e× i), (9)
M= (Je,e)(J(e× i),e× i)− (Je, i× e)2 > 0.
При условии (6) из (3), (4) получим не содержащее производных по времени
выражение для ν2:
ν2 = ω2 [Y1x+ Y2 ], (10)
Y1 = (J∗u2 − k)m2 + J∗(2u1m+ u)− k,
Y2 = [J∗u1 + sm]m1 − (m2 + 1)b,
где s = J∗u2 − 1. Уравнение (3) после подстановки (6)-(8) отделяется:
ẋ = ω2 [Bx+ C ], (11)
B = −m+ J∗(u1 + u2m)/k, C = (m1s−mb)/k.
Возможность B = 0 приводит к решению, вырождающемуся в решение
Гриоли; далее считаем B 6= 0. В предположении ω2 6= 0 введем новую
независимую переменную τ : τ̇ = ω2. Проекции кинематического уравнения
на e, (e× i) с учетом (5), (8), (10) запишутся как
ν ′1 = −ν3 + ((u1 + u2m)x+ u2m1)[Y1x+ Y2 ],
ν ′3 = ν1 − ((u+ u1m)x+ u1m1)[Y1x+ Y2 ].
(12)
Штрих в (12) обозначает дифференцирование по τ. Согласно (11) x′ = Bx+C,
поэтому система (12) имеет общее решение вида
ν1 = Γcos (τ − τ0) + ξ2x
2 + ξ1x+ ξ0,
ν3 = Γ sin (τ − τ0) + χ2x
2 + χ1x+ χ0,
(13)
78
Одно линейное инвариантное соотношение
где
ξ2 =
Y1 [2B(u1 + u2m) + u+ u1m]
1 + 4B2
, χ2 =
Y1 [u1 + u2m− 2B(u+ u1m)]
1 + 4B2
,
ξ1 =
(u1 +Bu2)m1Y1
1 +B2
+
[(u1 + u2m)B + u+ u1m]Y2
1 +B2
+
2C (χ2 −Bξ2)
1 +B2
,
χ1 =
(u2 −Bu1)m1Y1
1 +B2
+
[u1 + u2m− (u+ u1m)B]Y2
1 +B2
− 2C (Bχ2 + ξ2)
1 +B2
,
ξ0 = u1m1Y2 + Cχ1, χ0 = u2m1Y2 − Cξ1.
Проекция на ω динамического уравнения системы (1) дает интеграл, из
которого легко выразить ω2(x, τ) :
J∗ω
2
2 = −k(2u1m+ u2m
2 + u)x2 − 2km1(u1 + u2m)x+ 2ν1 + h. (14)
Функция ν2(x, τ) теперь также известна, она вычисляется согласно (10).
Таким образом, все фазовые переменные выражены через x и τ, причем
τ(x) определяется интегрированием уравнения
dτ
dx
= (Bx+C)−1. Подставим
найденные значения в интеграл площадей (2): получим выражение вида
P1(x) cos (τ − τ0) + P̃1(x) sin (τ − τ0) + P3(x) = 0, (15)
где P1(x) = Γ[(k + 2Y1)x+ (b+ 2Y2)], P̃1(x) = Γ[mk x+ (mb+m1)],
а P3(x) – полином третьей степени от x. Рассмотрим случай Γ 6= 0. По
предположению x 6= const, k 6= 0, поэтому коэффициенты при sin (τ − τ0) и
cos (τ− τ0) исчезают одновременно только в случае m = m1= b = 0, k = 2J∗u,
но при этом P3(x) = 2J2
∗
u3x3 − hJ∗ux − g 6= 0, так как u > 0, J∗ > 0.
Далее считаем, что в формулах (13) постоянная Γ = 0. Тогда ν1, ν3, ω
2
2
, ν2
2
–
многочлены от x. Потребуем, чтобы интегралы (2) были тождествами по x.
Выражение ν2
1
+ ν2
2
+ ν2
3
− 1 – полином четвертой степени по x, а коэффи-
циенты его – многочлены более высокого порядка относительно параметров,
чем коэффициенты полинома P3(x), поэтому сначала обнулим коэффициен-
ты P3(x). Введем обозначения
N = 2ξ2 − (u2m
2 + 2u1m+ u)k, L = 2ξ1 − 2m1k(u1 + u2m), тогда
NY1 + k(ξ2 +mχ2) = 0, (16)
LY1 +NY2 + b ξ2 + (m1 + bm)χ2 + k(ξ1 + χ1m) = 0, (17)
LY2 + (2ξ0 + h)Y1 + b ξ1 + (m1 + bm)χ1 + k(ξ0 +mχ0) = 0, (18)
g = (2ξ0 + h)Y2 + b(ξ0 +mχ0) +m1χ0. (19)
Показано, что значения параметров, удовлетворяющие условиям (16)-(18),
обнуляют коэффициенты геометрического интеграла при ненулевых степенях
x; равенство нулю свободного члена дает условие
(2ξ0 + h)Y 2
2 + J∗(ξ
2
0 + χ2
0 − 1) = 0. (20)
Соотношение (19) не накладывает условий на параметры, а задает значение
интегральной постоянной g.
79
О.С. Волкова
2. Аналог решения Е.И.Харламовой. Пусть u1 6= 0, то есть e ∦ Je.
В итоге исследования системы (16)-(18), (20) алгебраических уравнений на
параметры получаем эквивалентный ей набор условий a)-c).
a) Константы m и k связаны равенством
2u1(k−J∗u2)m
3+((k−J∗u2)ũ−3J∗u
2
1)m
2−2J∗ũ u1m+J∗(u
2
1−u2)+ku = 0, (21)
ũ = 2u−u2, которое позволяет выразить m либо k(m). Действительно, если
k 6= J∗u2, то кубическое по m уравнение (21) имеет хотя бы один действи-
тельный корень. Если же k = J∗u2, то действительных корней ровно два, так
как дискриминант уравнения (21) строго положителен. Это становится оче-
видным, если выразить входящие в него величины через главные моменты
инерции: J∗= J2, равенства (9) принимают вид
u =
J1e
2
3
+ J3e
2
1
J1J3
, u1 =
(J1 − J3)e1e3
J1J3
, u2 =
J1e
2
1
+ J3e
2
3
J1J3
,
дискриминант (21) при этом равен
4e2
1
e2
3
J4
1
J4
3
[J2
2 (J1 − J3)
2(J2
1 + J2
3 − J1J3)] > 0.
С другой стороны, выражение (21) линейно по k, причем коэффициенты
при k1 и k0 одновременно в ноль не обращаются. Следовательно, k не может
принимать произвольные значения, а однозначно определяется величиной m.
b) Введем ϕ = b/m1. Поскольку B, Y1, ξ2, χ2 не содержат b и m1, усло-
вие a1ϕ+ a0 = 0, где
a1 =
[
4BY1m− k(B2(1 + 2m2)− 2Bm+ 1)
]
ξ2+
+
[
k(B2 + 2Bm− 1)− 4Y1
]
mχ2 + k(m2 + 1)(Bs1k − 2Y1s2),
a0 = 2
[
(B2s3 −Bs+ J∗u1)k − 2BY1s
]
ξ2+
+
[
4Y1s+ k(B2 − 2Bsm+ 2u2J∗ − 1)
]
χ2 + 2(Bu2 + u1) kY1
2+
+ [2s2s3− k((2(s2− u)− u1m− u2)B + u2m+ u1)] kY1−Bk2s1s3,
s1 = (Bu2 + u1)m
2 + (2Bu1 + u− u2)m+Bu− u1,
s2 = B(u2m+ u1) + u+ u1m, s3 = ms+ J∗u1,
позволяет в общем случае выразить ϕ через k, m и параметры гиростата.
с) Выражения ξ̃1 = ξ1/m1, χ̃1 = χ1/m1, ξ̃0 = ξ0/m
2
1
, χ̃0 = χ0/m
2
1
,
f1 = ξ̃1 + χ̃1m, f0 = ξ̃0 + χ̃0m, L̃ = L/m1, Ỹ2 = Y2/m1,
после подстановки в χi, ξi значений B,C, Y1, Y2 зависят от ϕ, но уже не
содержат m1. Константа m1 выражается через определенные выше величины
из условия
m4
1
[
J∗(ξ̃
2
0 + χ̃2
0)Y1− (χ̃1 + f1φ+ f0k)Ỹ
2
2 − L̃Ỹ 3
2
]
= J∗Y1. (22)
80
Одно линейное инвариантное соотношение
Постоянная интеграла (14) зависит от параметров следующим образом:
h = −2ξ0 −
1
Y1
(
(f0k + f1ϕ)m
2
1 + 2[ξ1 −m1k (u2m+ u1)]Y2 + χ1m1
)
, (23)
Итак, компоненты векторов ω и ν выражены через одну переменную x,
связь которой со временем устанавливается квадратурой
t− t0 =
∫
dx
ω2(x) [Bx+ C ]
, ω2(x) = ±
√
q2x2 + q1x+ q0,
где q2 = N/J∗, q1 = L/J∗, q0 = (2ξ0 + h)/J∗. Важно, что после учета в N
всех промежуточных обозначений получаем
q2 = −
k2(1 + 4m2)
[
[
m(u2
1
+ u2
2
) + u1(u+ u2)
]2
+
(
u2u− u2
1
)2
]
(u2
1
+ u2
2
)
[
[ k(1 + 4m2)− 4J∗m(u1 + u2m)]2 + 4J2
∗
(u1 + u2m)2
] < 0;
значит, должно выполняться q2
1
− 4q2q0 > 0. Обозначим d = C/B,
ρ = q2d
2 + q0 − q1d, δ2 = q21 − 4q2q0, тогда
B(t− t0) =
∓ 1√
ρ
ln
(q1 − 2q2d)x+ 2q0 − q1d± 2
√
ρ ω2(x)
x+ d
, ρ > 0;
∓ 1√−ρ
arctg
(2q2d− q1)x+ q1d− 2q0
± 2
√−ρ ω2(x)
, ρ < 0;
± 1
(2q2d− q1)
ln
q2(x− d) + q1
x+ d
, ρ = 0.
Выписанные зависимости t(x) позволяют явно указать и обратную функцию:
x(t+ t0) + d =
4ρ eσt
e2σt + 2 (2q2d− q1)eσt + δ2
, σ = ∓B
√
ρ, ρ > 0;
2ρ (2q2d− q1 + εδ sinσt)
δ2cos2σt+ 4q2ρ
, ε = ±1, σ = B
√−ρ, ρ < 0;
σ
[
B(q2 − eσt)
]
−1
, σ = ±B(2q2d− q1), ρ = 0.
Поскольку q2 < 0, то знаменатели функций x(t) ни при каких значениях
t в нуль не обращаются. Если параметры задачи удовлетворяют неравен-
ству ρ > 0, то ∃ lim
t→∞
x(t), в ином случае зависимость x(t) периодическая.
Указанные функции x(t) ограничены, а значит, фазовые переменные и абсо-
лютная величина гиростатического момента также будут ограниченными.
Замечание 1. Здесь не утвержается, что предложенный способ дает един-
ственное или наиболее общее из решений, при λ(t) = 0 совпадающих с [11].
81
О.С. Волкова
Даже в задаче с λ=const не прослеживается единообразия подходов к обоб-
щению классических решений. Так, обобщенное решение может вырождаться
лишь в частный случай соответствующего решения уравнений динамики
твердого тела, а может, наоборот, объединять в себе различные классические
решения; компоненты λ могут неаддитивно входить в основное инвариант-
ное соотношение, а могут быть тривиальным образом включены в постоян-
ную (см. обзор [12, табл. на с. 198]). Для незамкнутой системы (1) произвол
состоит уже в выборе λ(ω,ν). Отметим, что в данном Е.И.Харламовой обоб-
щении [10] своего решения [11] λ1, λ3 остаются свободными параметрами, не
подчиненными принятому в настоящей работе условию λ3/λ1 = m. При сня-
тии этого ограничения требование выполнения вдобавок к (5) соотношения
(K,e× i) = n(K,e) + n1
привело бы к определению зависимости λ(x) = [(m−n)x+m1−n1]/(nα1−α3),
где m 6= n, иначе приходим к решению [10, § 2.4]. Этот случай исследуется
аналогично (7).
Покажем, что найденные в п. 2 ограничения на параметры при отсутствии
гиростатического момента соответствуют условиям существования решения
Е.И.Харламовой [11]. Положив k = 1, ϕ = 0, из условия a0 = 0 получаем
4m2su1[3J∗u1+ms]+3u1(4u
2
1J
2
∗
+1)m−(2J∗u−1)[2J∗(u2u−2u21)−2u−u2] = 0.
(24)
Результант левых частей (21) и (24) как многочленов от m разлагается на
множители, из которых только один может обращаться в нуль при допусти-
мых значениях параметров:
(u2J∗ − 1)(2u− u2)
3 − 9u21
(
3u+ J∗(u
2 + 3u21 + u22 − 4u2u)
)
= 0. (25)
Равенство (25), записанное в главных осях, оказывается эквивалентным усло-
вию Е.И. Харламовой на моменты инерции:
e1
√
J1(J1 − 2J3)3(J2 − J3)±
√
J3(J3 − 2J1)3(J1 − J2) e3 = 0, (26)
где J3 > 2J1 > 2J2. Общий корень уравнений (21) и (24) при этом равен
m = ±1
3
J2(J1 + J3)
2 + 3J1J3(J1 + J3 − 3J2)
√
J1J3(J1 − 2J3)(J2 − J3)(2J1 − J3)(J2 − J1)
.
Постоянная m1 определяется из (22): как и в случае Е.И.Харламовой,
m4
1 =
J2
1
J2
3
[(J1 + J3)
3J2 − 9J1J3(J
2
1
+ J2
3
− J1J3)][(J1 + J3)J2 − 3J1J3]
(J1 − J2)2(J1 − 2J3)2(J3 − J2)2(J3 − 2J1)2
.
Замечание 2. Условие (26) может выполняться, только когда моменты
инерции не удовлетворяют неравенству треугольника. Известно, что для
твердого тела такие значения J1, J2, J3 не допустимы; но если тело имеет
полости, заполненные жидкостью, возможны случаи [11], когда J3 > J1 + J2.
82
Одно линейное инвариантное соотношение
1. Харламов П.В. Гиростаты// Докл. АН УССР. Сер. А. Физ.-мат. и техн. науки. – 1988.
– Т. 9. – С. 38–41.
2. Ковалева Л.М., Позднякович А.Е. Равномерные вращения вокруг наклонной оси
твердого тела с одним маховиком // Механика твердого тела. – 2000. – Вып. 30. –
С. 100-105.
3. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с пере-
менным гиростатическим моментом // Там же. – 2009. – Вып. 39. – С. 42-49.
4. Волкова О.С. Деякi класи рухiв важкого гiростата зi змiнним гiростатичним момен-
том. Автореф.дис.... канд.физ.-мат.наук: 01.02.01.ИПММ НАНУ.-Донецьк,2010.-19 с.
5. Волкова О.С. О движениях гиростата, характеризующихся линейными по компонен-
там угловой скорости инвариантными соотношениями // Механика твердого тела. –
2011. – Вып. 41. – С. 39–50.
6. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Точные решения уравнений движения гиростата во-
круг неподвижной точки// Соврем. проблемы математики, механики, информатики
/ Под ред. Н.Н.Кизиловой, Г.Н.Жолткевича. Харьков: “Апостроф”, 2011. – С. 74-84.
7. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Аналог решения Гесса в обобщенной задаче о движе-
нии гиростата // Актуальные проблемы прикл. математики, информатики и механи-
ки: Сб. тр. межд. конф. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2012. – Ч. 2. – С. 68-72.
8. Чаплыгин С.А. Линейные частные интегралы задачи о движении твердого тела, под-
пертого в одной точке. – Собр. соч.: В 4-х т. – М.; Л.: Гостехиздат, 1948. – Т. 1. –
С. 110-117.
9. Харламов П.В. О линейных интегралах уравнений движения тяжелого твердого тела
вокруг неподвижной точки // Докл. АН СССР. – 1962. – 143, №4. – С. 805–807.
10. Харламова Е.И., Мозалевская Г.В. Интегродифференциальное уравнение динамики
твердого тела. – Киев: Наук. думка, 1986. – 296 с.
11. Харламова Е.И. Один частный случай интегрируемости уравнений Эйлера – Пуассо-
на // Докл. АН СССР. — 1959. – 125, №5. – С. 996–997.
12. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого
тела. Развитие и современное состояние. – Киев: Наук. думка, 1978. – 296 с.
О.S. Volkova
On invariant relation of the motion equations of a heavy gyrostat
when the center of inertia belongs to the principal plane
The paper concerns rotation of a heavy gyrostat with a fixed point under the assumption that
the gyrostatic momentum direction is invariant in the rotating frame. In addition, this directing
vector and the position vector of the center of inertia belong to the principal plane. The existence
conditions for solutions of the motion equations are studied in the case of one linear in angular
velocity invariant relation. The equivalent of known Kharlamova’s particular solution is obtained.
Keywords: gyrostat with fixed point, variable gyrostatic momentum, linear invariant relation.
О.С. Волкова
Iнварiантне спiввiдношення рiвнянь руху важкого гiростата
у випадку, коли центр мас належить головнiй площинi
Вивчається обертання навколо нерухомої точки гiростата з фiксованим у рухомому базисi
напрямком гiростатичного моменту. Припускається, що радiус-вектор центра мас та гiро-
статичний момент належать однiй з головних площин елiпсоїда iнерцiї. Для рiвнянь руху
дослiджено умови iснування розв’язкiв з одним лiнiйним за компонентами кутової швидко-
стi iнварiантним спiввiдношенням. Отримано аналог вiдомого розв’язку О.I. Харламової.
Ключовi слова: гiростат з нерухомою точкою, змiнний гiростатичний момент,
лiнiйне инварiантне спiввiдношення.
Ин-т прикл. математики и механики НАНУ, г. Донецк
volkova@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 01.08.12
83
|