Устойчивость и бифуркации стационарных режимов движения модели колесного экипажа с управляемым колесным модулем
Анализируется характер потери устойчивости (опасный-безопасный) модели колесного экипажа с управляемым колесным модулем на основе численно-аналитического метода продолжения по двум параметрам проведена оценка амплитуд автоколебаний колесного модуля в области флаттерной неустойчивости прямолинейного...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72603 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Устойчивость и бифуркации стационарных режимов движения модели колесного экипажа с управляемым колесным модулем / Н.А. Вельмагина, В.Г. Вербицкий // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 125-134. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72603 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Вельмагина, Н.А. Вербицкий, В.Г. 2014-12-26T19:22:44Z 2014-12-26T19:22:44Z 2012 Устойчивость и бифуркации стационарных режимов движения модели колесного экипажа с управляемым колесным модулем / Н.А. Вельмагина, В.Г. Вербицкий // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 125-134. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72603 531.36 Анализируется характер потери устойчивости (опасный-безопасный) модели колесного экипажа с управляемым колесным модулем на основе численно-аналитического метода продолжения по двум параметрам проведена оценка амплитуд автоколебаний колесного модуля в области флаттерной неустойчивости прямолинейного движения. Аналiзується характер втрати стiйкостi (небезпечний-безпечний) моделi колiсного екiпажу з керованим колiсним модулем на основi чисельно-аналiтичного методу продовження за двома параметрами; проведено оцiнку амплiтуд автоколивань колiсного модуля в областi флатерної нестiйкостi прямолiнiйного руху. Character of loss of stability (dangerous-safe) of a model of the wheeled vehicle is analysed for the guided wheeled module on the basis of numeral-analytical method of continuation on two parameters; the estimation of amplitudes of self-oscillations of the wheeled module is conducted in area of flutter instability of rectilinear motion. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Устойчивость и бифуркации стационарных режимов движения модели колесного экипажа с управляемым колесным модулем Стiйкiсть i бiфуркацiї стацiонарних режимiв руху моделi колiсного екiпажу з керованим колiсним модулем Stability and bifurcation stationary states of motion of model wheeled vehicle with steering wheel module Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Устойчивость и бифуркации стационарных режимов движения модели колесного экипажа с управляемым колесным модулем |
| spellingShingle |
Устойчивость и бифуркации стационарных режимов движения модели колесного экипажа с управляемым колесным модулем Вельмагина, Н.А. Вербицкий, В.Г. |
| title_short |
Устойчивость и бифуркации стационарных режимов движения модели колесного экипажа с управляемым колесным модулем |
| title_full |
Устойчивость и бифуркации стационарных режимов движения модели колесного экипажа с управляемым колесным модулем |
| title_fullStr |
Устойчивость и бифуркации стационарных режимов движения модели колесного экипажа с управляемым колесным модулем |
| title_full_unstemmed |
Устойчивость и бифуркации стационарных режимов движения модели колесного экипажа с управляемым колесным модулем |
| title_sort |
устойчивость и бифуркации стационарных режимов движения модели колесного экипажа с управляемым колесным модулем |
| author |
Вельмагина, Н.А. Вербицкий, В.Г. |
| author_facet |
Вельмагина, Н.А. Вербицкий, В.Г. |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Стiйкiсть i бiфуркацiї стацiонарних режимiв руху моделi колiсного екiпажу з керованим колiсним модулем Stability and bifurcation stationary states of motion of model wheeled vehicle with steering wheel module |
| description |
Анализируется характер потери устойчивости (опасный-безопасный) модели колесного экипажа с управляемым колесным модулем на основе численно-аналитического метода продолжения по двум параметрам проведена оценка амплитуд автоколебаний колесного модуля в области флаттерной неустойчивости прямолинейного движения.
Аналiзується характер втрати стiйкостi (небезпечний-безпечний) моделi колiсного екiпажу з керованим колiсним модулем на основi чисельно-аналiтичного методу продовження за двома параметрами; проведено оцiнку амплiтуд автоколивань колiсного модуля в областi флатерної нестiйкостi прямолiнiйного руху.
Character of loss of stability (dangerous-safe) of a model of the wheeled vehicle is analysed for the guided wheeled module on the basis of numeral-analytical method of continuation on two parameters; the estimation of amplitudes of self-oscillations of the wheeled module is conducted in area of flutter instability of rectilinear motion.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72603 |
| citation_txt |
Устойчивость и бифуркации стационарных режимов движения модели колесного экипажа с управляемым колесным модулем / Н.А. Вельмагина, В.Г. Вербицкий // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 125-134. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT velʹmaginana ustoičivostʹibifurkaciistacionarnyhrežimovdviženiâmodelikolesnogoékipažasupravlâemymkolesnymmodulem AT verbickiivg ustoičivostʹibifurkaciistacionarnyhrežimovdviženiâmodelikolesnogoékipažasupravlâemymkolesnymmodulem AT velʹmaginana stiikistʹibifurkaciístacionarnihrežimivruhumodelikolisnogoekipažuzkerovanimkolisnimmodulem AT verbickiivg stiikistʹibifurkaciístacionarnihrežimivruhumodelikolisnogoekipažuzkerovanimkolisnimmodulem AT velʹmaginana stabilityandbifurcationstationarystatesofmotionofmodelwheeledvehiclewithsteeringwheelmodule AT verbickiivg stabilityandbifurcationstationarystatesofmotionofmodelwheeledvehiclewithsteeringwheelmodule |
| first_indexed |
2025-11-24T15:58:08Z |
| last_indexed |
2025-11-24T15:58:08Z |
| _version_ |
1850849890613067776 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2012. Вып. 42
УДК 531.36
c©2012. Н.А. Вельмагина, В.Г. Вербицкий
УСТОЙЧИВОСТЬ И БИФУРКАЦИИ СТАЦИОНАРНЫХ
РЕЖИМОВ ДВИЖЕНИЯ МОДЕЛИ КОЛЕСНОГО ЭКИПАЖА
С УПРАВЛЯЕМЫМ КОЛЕСНЫМ МОДУЛЕМ
Анализируется характер потери устойчивости (опасный-безопасный) модели колесного
экипажа с управляемым колесным модулем на основе численно-аналитического метода
продолжения по двум параметрам; проведена оценка амплитуд автоколебаний колесного
модуля в области флаттерной неустойчивости прямолинейного движения.
Ключевые слова: стационарные состояния, вещественные бифуркации, колесный эки-
паж, автоколебания.
Введение. Дивергентная потеря устойчивости прямолинейного стацио-
нарного режима движения экипажа в простейшем случае связана с реали-
зацией бифуркации сборки. Прямолинейному режиму на фазовой плоскости
соответствует начало координат, из которого при критической скорости либо
рождается пара устойчивых стационарных состояний, либо приходит пара
неустойчивых стационарных состояний и сливается с устойчивым прямоли-
нейным режимом.
В случае симметричного экипажа с абсолютно жестким рулевым управ-
лением существенными “внутренними” параметрами, влияющими на хара-
ктер потери устойчивости, являются коэффициенты сцепления на осях – при
уменьшении коэффициента сцепления на передней оси меняется характер
опасности границы области устойчивости вследствие реализации катастро-
фы бабочки. Бифуркационное множество в этом случае имеет характерное
сечение с тремя точками заострения (каспами) [1].
В [2] найдено аналитическое соотношение, которое приближенно опреде-
ляет условие опасной-безопасной потери устойчивости прямолинейного дви-
жения модели колесного экипажа с управляемым колесным модулем. К хара-
ктерным параметрам, влияющим на условия безопасной потери устойчивости
прямолинейного режима движения модели с жестким рулевым управлением,
добавляется параметр крутильной жесткости колесного модуля.
В данной работе вопрос о смене характера потери устойчивости (опасной-
безопасной) модели колесного экипажа с управляемым колесным модулем ре-
шается на основе реализации численно-аналитического метода продолжения
по двум параметрам (при росте числа степеней свободы необходимо преодо-
левать лавинообразное увеличение объема вычислений) [3]. Далее проведена
оценка амплитуд автоколебаний колесного модуля в области флаттерной не-
устойчивости прямолинейного движения.
1. Постановка задачи. На рис. 1 представлена расчетная схема модели
экипажа с управляемым колесным модулем. Управляемый модуль шарнир-
но соединен с корпусом экипажа, θ – угол между продольной осью корпуса
125
Н.А. Вельмагина, В.Г. Вербицкий
и вертикальной продольной плоскостью колеса. На связку корпус–колесный
модуль действует упругий восстанавливающий момент, стремящийся вернуть
систему в положение θ=θ0, где θ0 – устанавливаемый оператором угол пово-
рота колес переднего ряда; Yi – приведенные поперечные силы (силы увода),
действующие в пятне контакта колес с опорной поверхностью, определяются
в соответствии с аксиоматикой И. Рокара; ось колеса удалена от оси шар-
нирного соединения на расстоянии выноса λ (λ < 0 в случае, когда ось
колеса располагается впереди точки шарнирного соединения звеньев); v –
продольная составляющая скорости центра масс корпуса (поддерживается
постоянной); a, b – расстояния от центра масс (точка C) до точки крепле-
ния управляемого колесного модуля и задней оси соответственно; k1 и k2 –
коэффициенты сопротивления уводу на осях; k – приведенный коэффици-
ент жесткости управляемого модуля; h – коэффициент демпфирования по
углу поворота управляемого модуля; ϕ1 и ϕ2 – коэффициенты сцепления при
определении боковых сил увода; θ1 – устанавливаемый угол поворота колес
заднего ряда.
Рис. 1. Расчетная схема экипажа.
Масса и момент инерции корпуса относительно центральной вертикаль-
ной оси соответственно m,J ; m1, J1 – масса и момент инерции управляемого
колесного модуля относительно центральной вертикальной оси, проходящей
через ось колеса.
Система дифференциальных уравнений движения модели экипажа с
управляемым колесным модулем (фазовые переменные u, ω, θ, θ̇) получена
при предположениях, принятых в [4]:
E1:−m (u̇+ ωv) +m1λ(ω̇ + θ̈) cos θ −m1(aω̇ + ωv + u̇)−m1λ(ω
2 + θ̇2+
+ 2ωθ̇) sin θ + Y1 cos θ +X1 sin θ + Y2 cos θ1 −X2 sin θ1 = 0;
126
Устойчивость и бифуркации стационарных режимов движения
E2 : −Jω̇ + am1λ(ω̇ + θ̈) cos θ − am1λ(2ωθ̇ + ω2 + θ̇2) sin θ−
− am1(aω̇ + ωv + u̇) + hθ̇ + k(θ − θ0) + Y1a cos θ +X1a sin θ−
− Y2b cos θ1 −X2b sin θ1 = 0;
(1)
E3 : (J1 +m1λ
2)θ̈ + (J1 +m1λ(λ− a cos θ))ω̇ −m1λ(u̇+ vω) cos θ−
−m1ωλ(u+ aω) sin θ + hθ̇ + k(θ − θ0) + Y1λ = 0.
Здесь u̇ – производная поперечной составляющей скорости центра масс; ω̇ –
производная угловой скорости; θ̇ – угловая скорость управляемого модуля;
θ̈ – угловое ускорение управляемого модуля.
В (1) силы увода аппроксимируются монотонной зависимостью
Yi(δi) = kiδi(1 + k2i δ
2
i /(N
2
i ϕ
2
i ))
−1/2, имеющей характер кривой насыщения.
Будем считать, что в системе (1) приведенная продольная сила на передней
оси X1 = 0, угол поворота колес заднего ряда θ1 = 0.
Условие дивергентной потери устойчивости прямолинейного режима най-
дено в общем виде в [4]:
v2kp =
−k1k2k(a+ b− λ)2
m{k1k2λb− k[k1(a− λ)− k2b]}+ km1k2(a+ b− λ)
,
а условия опасной-безопасной потери устойчивости исследовались в [2].
2. Построение бифуркационного множества модели автомобиля
с управляемым колесным модулем. Обозначим через Ei левые части
уравнения (1). Тогда стационарные состояния системы (1) (особые точки фа-
зового пространства) удовлетворяют системе конечных уравнений
Ei(u̇ = 0, ω̇ = 0, θ̈ = 0, θ̇ = 0, u, ω, θ, v, θ0) = 0. (2)
Система (2) имеет два управляющих параметра (v, θ0). Метод продолже-
ния по параметру, предложенный Шинохарой [5], дает возможность опреде-
лить различные ветви равновесной кривой и оценить максимальное количе-
ство стационарных режимов в конечной области параметров управления.
В [6] рассматривается вопрос об эволюции стационарных состояний при
изменении одного из управляющих параметров. Многообразие бифуркаци-
онных значений параметров (v∗, θ∗0), которым соответствуют кратные стаци-
онарные режимы движения (u∗, ω∗, θ∗) системы (2), может быть найдено с
помощью метода продолжения по двум параметрам. Условием реализации
кратного стационарного режима (u∗, ω∗, θ∗) является выполнение равенства
E4|(u∗,ω∗,θ∗,v∗,θ∗
0
) =
D(E1, E2, E3)
D(u, ω, θ)
∣
∣
∣
∣
∣
(u∗,ω∗,θ∗,v∗,θ∗
0
)
= 0,
127
Н.А. Вельмагина, В.Г. Вербицкий
(т.е. якобиан системы (2) обращается в нуль).
Система (2) вместе с последним уравнением задает критическое множе-
ство стационарных состояний. Метод продолжения по двум параметрам при-
водит к вспомогательной системе дифференциальных уравнений
u
′
= D1∆, ω
′
= −D2∆, θ
′
= D3∆, v
′
= −D4∆, θ
′
0 = D5∆,
где D1 =
D(E1, E2, E3, E4)
D(ω, θ, v, θ0)
, D2 =
D(E1, E2, E3, E4)
D(u, θ, v, θ0)
,
D3 =
D(E1, E2, E3, E4)
D(u, ω, v, θ0)
, D4 =
D(E1, E2, E3, E4)
D(u, ω, θ, θ0)
,
D5 =
D(E1, E2, E3, E4)
D(u, ω, θ, v)
, ∆ =
1
√
D2
1 +D2
2 +D2
3 +D2
4 +D2
5
.
Стартовая точка для реализации метода продолжения – (0, 0, 0, vkp , 0),
где vkp – критическая скорость прямолинейного режима движения экипажа
определяется из решения уравнения E4|(u=0,ω=0,θ=0,θ0=0) = 0.
На рис. 2 представлено бифуркационное множество, полученное числен-
ным интегрированием вспомогательной системы дифференциальных уравне-
ний при следующем наборе числовых значений конструктивных параметров:
a = 1.45 м; b = 1.55 м; λ = −0.00223 м; k = 400 H·м; m = 2090 кг; ϕ1 = 0.8;
ϕ2 = 0.8; k1 = 91500 H; k2 = 61000 H; m1 = 100 кг; J1 = 3.22 кг·м2.
Бифуркационное множество делит плоскость управляющих параметров
(v, θ0) на области с различным количеством стационарных режимов: во вну-
тренней области (под куполом бифуркационного множества) – три режима,
во внешней – один. В точках бифуркационного множества (рис. 2) происхо-
дит вещественная бифуркация складки (слияния-рождения) пары стационар-
ных режимов: устойчивого и неустойчивого. При фиксированной скорости
vi < vkp и увеличении параметра θ0 от нуля до θ∗0 устойчивый симметри-
чный стационарный режим ω = ω(vi, θ0) перемещается из начала координат
по равновесной кривой (рис. 3), в точке поворота M(θ∗0) происходит дивер-
гентная потеря устойчивости. Точка поворота M делит равновесную кривую
на устойчивую (сплошная линия) и неустойчивую (пунктир) части. Проекция
множества точек поворота на плоскость параметров управления (v, θ0) задает
бифуркационное множество (рис. 2). При vi = vkp (θ∗0 = 0) имеем точку воз-
врата. Потере устойчивости прямолинейного режима при данном числовом
наборе значений конструктивных параметров отвечает бифуркация слияния
(устойчивого и двух неустойчивых стационарных режимов). При закритиче-
ской скорости прямолинейному режиму соответствует седловая особая точка,
возмущения фазовых переменных в этом случае апериодически растут: имеет
место опасная потеря устойчивости в смысле Н.Н. Баутина [7].
128
Устойчивость и бифуркации стационарных режимов движения
Рис. 2. Бифуркационное множество. Рис. 3. Равновесная кривая.
При уменьшении величины крутильной жесткости до k = 40 Н·м на-
блюдается существенное изменение характера бифуркационного множества
(рис. 4), происходит процесс выворачивания сборки через реализацию би-
фуркации ласточкин хвост – имеются области с пятью, тремя и одним стаци-
онарными режимами. При скорости v < 6.3 м/с имеется один стационарный
режим: устойчивый. Например, при скорости v = 6 м/с устойчивый стаци-
онарный режим существует, по крайней мере, в диапазоне −0.25 рад < θ0 <
< 0.25 рад (принадлежит равновесной полуветви без точек поворота, рис. 5
– первый квадрант).
Рис. 4. Бифуркационное множество. Рис. 5. Равновесные кривые.
При закритической скорости v = 8 м/с равновесная кривая делится то-
чкой поворота на устойчивую (сплошная) и неустойчивую (пунктир) части
(рис. 5): в диапазоне −0.15 рад < θ0 < 0.15 рад могут реализовываться
три стационарных режима: один неустойчивый, два устойчивых; в диапазоне
0.15 рад < |θ0| < 0.25 рад – один устойчивый (принадлежат полуветви равно-
129
Н.А. Вельмагина, В.Г. Вербицкий
весных состояний, располагающейся во втором и первом квадрантах). Заме-
тим, что ветви равновесных состояний для симметричного экипажа обладают
свойством центральной симметрии.
Из структуры бифуркационного множества (рис. 4) следует, что ха-
рактер потери устойчивости прямолинейного стационарного режима при
k = 400 Н·м – безопасный по Н.Н. Баутину [7] – в верхнем каспе происходит
вещественная бифуркация слияния трех стационарных режимов: устойчиво-
го и двух неустойчивых, но, в отличие от предыдущего случая (k = 40 Н·м),
имеется дополнительно пара устойчивых режимов, которые при закритиче-
ской скорости ограничивают рост возмущений (фазовый поток “впадает” в
бассейны притяжения двух устойчивых круговых режимов).
3. Результаты анализа условий устойчивости прямолинейного ре-
жима по линейному приближению. Для построения областей устойчи-
вости в плоскости различных пар параметров системы воспользуемся кри-
терием Рауса–Гурвица. Аналитическое выражение, определяющее условие
флаттерной неустойчивости, не позволяет сделать вывод о влиянии конкре-
тных параметров модели на условия устойчивости из-за его громоздкости.
Численным методом, с использованием пакета Maple, найдем границы в пло-
скости параметров (k, v), где нарушаются необходимые и достаточные усло-
вия асимптотической устойчивости.
На рис. 6 представлена характерная
Рис. 6. Граница дивергентной и
колебательной неустойчивости.
граница дивергентной и колебательной
неустойчивости для случая отрицатель-
ного выноса передней стойки шасси. Ни-
спадающая граница, кривая 1, отвеча-
ет паре чисто мнимых корней характе-
ристического уравнения (область флат-
терной неустойчивости лежит ниже),
кривая 2 – нулевому корню (область ди-
вергентной неустойчивости лежит вы-
ше). Тогда при всех значениях крутиль-
ной жесткости k > 20 Н·м и доста-
точно малой скорости движения имеет
место флаттерная неустойчивость. При
превышении некоторого порога по ско-
рости попадаем в область асимптотиче-
ской устойчивости, которая сменяется
областью дивергентной неустойчивости при v > vkp.
На границе интервала скорости, отвечающей паре чисто мнимых корней,
в соответствии с теоремой Андронова–Хопфа происходит комплексная би-
фуркация (рождения-исчезновения) предельного цикла [8]. Ниже проведена
оценка амплитуды автоколебаний в области флаттерной неустойчивости на
основе подхода [9], реализованного ранее при исследовании автоколебаний
отдельно взятой стойки шасси [10].
130
Устойчивость и бифуркации стационарных режимов движения
4. Оценка амплитуд автоколебаний в окрестности прямолинейно-
го режима движения. Для удобства вычислительных процедур, связан-
ных с последовательным исключением неизвестных и получения амплитудно-
го уравнения, перейдем к новым переменным δ1, δ2, θ, где δ1, δ2 – углы увода
на передней и задней осях экипажа. Предполагается, что периодическое ре-
шение системы (1) в окрестности момента времени наибольшего отклонения
от положения равновесия и в окрестности момента времени, когда откло-
нения равны нулю, изменяется по гармоническому закону, имея некоторое
запаздывание по фазе δ1 = α sinµt, δ2 = p0 sin(µt + ϕδ), θ = k0 sin(µt + ϕθ);
здесь α, p0, k0 – амплитуды, µ – круговая частота автоколебаний, ϕθ, ϕδ –
запаздывания фаз.
В характерные моменты времени фазовые переменные и их производные
принимают значения
µ t = π/2 :
δ1 = α, δ̇1 = 0, δ̈1 = −αµ2
δ2 = p0 cosϕδ, δ̇2 = −p0µ sinϕδ, δ̈2 = −p0µ
2 cosϕδ,
θ = k0 cosϕθ, θ̇ = −k0µ sinϕθ, θ̈ = −k0µ
2 cosϕθ.
µ t = 0 :
δ1 = 0, δ̇1 = αµ, δ̈1 = 0,
δ2 = p0 sinϕδ , δ̇2 = p0µ cosϕδ, δ̈2 = −p0µ
2 sinϕδ,
θ = k0 sinϕθ, θ̇ = k0µ cosϕθ, θ̈ = −k0µ
2 sinϕθ.
В этом случае параметры автоколебаний (α, p0, k0, µ, ϕδ , ϕθ) определяются
из системы шести конечных уравнений. Исключаем неизвестные p0, k0, ϕδ , ϕθ
из первых четырех уравнений системы. Из оставшихся двух составляем ре-
зультант (исключается неизвестная круговая частота µ), определяющий не-
явную зависимость амплитуды автоколебаний от скорости движения v.
Амплитудная кривая была получена
Рис. 7. Амплитудные кривые.
как для случая представления силы уво-
да в виде дробно-иррациональной фун-
кции Y1(δ1) = k1δ1(1+k21δ
2
1/(N
2
1ϕ
2
1))
−1/2,
так и для случая ее приближенного
представления – до членов третьего по-
рядка включительно. Сила увода на за-
дней оси представлялась в виде линей-
ной функции Y2(δ2) = k2δ2. На рис. 7
представлены амплитудные кривые для
случая приближенного представления
силы Y1, сплошная – для случая дробно-
иррациональной зависимости (получено
при указанных выше числовых значени-
ях параметров).
Результаты, полученные для двух случаев аппроксимации силы Y1, имеют
существенные качественные различия. Численное интегрирование исходной
нелинейной системы (1) указывает на невозможность приближенного пред-
ставления силы увода Y1 в виде линейного и кубического приближения. В то
131
Н.А. Вельмагина, В.Г. Вербицкий
же время, принятые в ходе реализации приближенного анализа допущения
не приводят к искажению качественной картины процесса автоколебаний при
использовании исходной нелинейной зависимости силы увода Y1.
5. Проверка результатов приближенного анализа автоколеба-
ний на основе численного интегрирования. Для исходных нелинейных
уравнений (1) численным методом построим фазовые траектории, опреде-
ляющие характер поведения системы при характерных числовых значениях
конструктивных параметров. Рис. 8, а иллюстрирует случай дивергентной
неустойчивости, полученный при k = 400 Н·м, v = 25 м/с. В этом случае эки-
паж выходит на одну из круговых траекторий (рис. 8, б ) при произвольно
малых возмущениях (реализация левого-правого поворотов зависит от на-
чальных возмущений).
а) фазовая траектория б) возможные траектории
движения центра масс
Рис. 8. Случай дивергентной неустойчивости.
Случай флаттерной неустойчивости имеем при k = 400 Н·м, v = 4 м/с:
фазовые траектории в плоскости переменных (θ, θ̇) наматываются на устой-
чивый предельный цикл с внутренней и внешней сторон (рис. 9, а); на
рис. 9, б представлен график зависимости угла увода δ1 от времени.
Результаты, полученные на основе численного интегрирования, указыва-
ют на достаточно хорошее согласование с результатами, полученными на
основе приближенного численно-аналитического подхода.
Рис. 10, а иллюстрирует практическую неограниченность области при-
тяжения невозмущенного прямолинейного движения при v = 8 м/с. При
k = 400 Н·м, v = 2 м/с (рис. 10, б ) реализуется колебательная неустой-
чивость с неограниченным ростом возмущений.
132
Устойчивость и бифуркации стационарных режимов движения
а) фазовый портрет б) интегральная кривая
Рис. 9. Случай устойчивого предельного цикла.
а) случай устойчивости б) случай неустойчивости
Рис. 10. Фазовые кривые.
Таким образом, результаты численного интегрирования полностью под-
тверждают качественную картину развития автоколебаний в окрестности
прямолинейного движения экипажа, полученную на основе приближенного
аналитического подхода.
Выводы. Для модели колесного экипажа с управляемым колесным мо-
дулем получена оценка количества стационарных режимов движения в окре-
стности критической скорости прямолинейного движения. На основе постро-
ения бифуркационного множества сделан вывод о характере потери устой-
чивости (опасный-безопасный) прямолинейного стационарного режима по
Н.Н. Баутину. Получено аналитическое выражение, определяющее ампли-
133
Н.А. Вельмагина, В.Г. Вербицкий
туду автоколебаний модели экипажа как функцию продольной скорости дви-
жения.
1. Вербицкий В.Г., Лобас Л.Г. Бифуркации стационарных состояний в системах с ка-
чением при постоянных силовых возмущениях // Прикл. математика и механика. –
1994. – 58, № 5. – С. 165–170.
2. Лобас Л.Г., Сахно В.П., Вербицкий В.Г., Барилович Е.Л. Бифуркации и катастрофы
в динамических системах с симметрией: приложения к транспортной механике // Тр.
II Междунар. научно-техн. конф. “Актуальные проблемы фундаментальных наук”. –
1994. – T. 2, ч. 1. Симпозиум “Теор. и прикл. механика”. – М.: Техносфера-Информ.
– 180 с; С. (А-35)–(А-38).
3. Вербицкий В.Г., Новак А., Даниленко Э., Ситаж М. Введение в теории устойчивости
колесных экипажей и рельсового пути. – Донецк: “Вебер”, 2007. – 255 с.
4. Лобас Л.Г., Вербицкий В.Г. Об устойчивости движения транспортных машин с учетом
колебаний управляющего колесного модуля // Прикл. механика. – 1995. – 31, № 4. –
C. 86–93.
5. Крюков Б.И. Вынужденные колебания существенно нелинейных систем. – М.: Маши-
ностроение, 1984. – 216 с.
6. Лобас Л.Г., Вербицкий В.Г. Качественные и аналитические методы в динамике коле-
сных машин. – К.: Наук. думка, 1990. – 232 с.
7. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости.
– Наукa, 1984. – C. 176.
8. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. – М.:
Мир, 1980. – 366 с.
9. Вербицкий В.Г., Садков М.Я. Приближенный анализ автоколебательной системы //
Докл. НАН Украины. – 2001. – № 10. – С. 48–52.
10. Вельмагина Н.А., Вербицкий В.Г. Анализ автоколебаний колесного модуля в прямо-
линейном режиме движения // Механика твердого тела. – 2011. – Вып. 41. – С. 100–
108.
N.O. Velmagina, V.G. Verbitskii
Stability and bifurcation stationary states of motion of model wheeled vehicle
with steering wheel module
Character of loss of stability (dangerous-safe) of a model of the wheeled vehicle is analysed for
the guided wheeled module on the basis of numeral-analytical method of continuation on two
parameters; the estimation of amplitudes of self-oscillations of the wheeled module is conducted
in area of flutter instability of rectilinear motion.
Keywords: steady-states, real bifurcations, wheeled vehicle, self-oscillations.
Н.О. Вельмагiна, В.Г. Вербицький
Стiйкiсть i бiфуркацiї стацiонарних режимiв руху моделi колiсного
екiпажу з керованим колiсним модулем
Аналiзується характер втрати стiйкостi (небезпечний-безпечний) моделi колiсного екiпажу
з керованим колiсним модулем на основi чисельно-аналiтичного методу продовження за
двома параметрами; проведено оцiнку амплiтуд автоколивань колiсного модуля в областi
флатерної нестiйкостi прямолiнiйного руху.
Ключовi слова: стацiонарнi стани, дiйснi бiфуркацiї, колiсний екiпаж, автоколивання.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
verb@mail.ru
Получено 29.11.12
134
|