Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с демпферами-балансирами
Рассмотрена задача о пассивной стабилизации вращений вокруг вертикали гироскопа Лагранжа с двухстепенным демпфером типа “качели”. Демпферы крепятся в носителе с помощью вязкоупругих цилиндрических шарниров. Получены и проанализированы условия устойчивости изучаемого движения по первому приближению....
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2012 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72606 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с демпферами-балансирами / А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 153-162. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860216839532969984 |
|---|---|
| author | Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. |
| author_facet | Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. |
| citation_txt | Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с демпферами-балансирами / А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 153-162. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Рассмотрена задача о пассивной стабилизации вращений вокруг вертикали гироскопа Лагранжа с двухстепенным демпфером типа “качели”. Демпферы крепятся в носителе с помощью вязкоупругих цилиндрических шарниров. Получены и проанализированы условия устойчивости изучаемого движения по первому приближению. Дана оценка собственных значений линеаризованной системы. Изучен вопрос о выборе параметров демпфера, обеспечивающих максимальную скорость затухания возмущенных движений. Показано, что демпфер-балансир является значительно более эффективным, чем одностепенной демпфер, использованный в [1].
Розглянуто задачу про пасивну стабiлiзацiю обертань навколо вертикалi гiроскопа Лагранжа з двостепеневим демпфером типу гойдалка. Отримано i проаналiзовано умови стiйкостi руху, що вивчається, за першим наближенням. Наведено оцiнку власних значень лiнеаризованої системи. Дослiджено питання про вибiр параметрiв демпфера, якi забезпечують максимальну швидкiсть згасання збурених рухiв. Демпфер, що пропонується, є значно бiльш ефективним, нiж одностепеневий, який був застосований в [1].
The problem of passive stabilization is considered for permanent rotations of Lagrange’s gyroscope. The two balancers are attached to the rigid body by cylindrical viscous-elastic hinges. The necessary and sufficient conditions of asymptotic stability for the linearized motion equations are obtained and analyzed. The estimation of eigenvalues is given. The question of optimal choice of the damper characteristics, which guarantees the fastest damping rate of the perturbed motions is discussed. The damper presented is much more effåctive then the 1-DOF one that was used in [1].
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:16:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2012. Вып. 42
УДК 531.38, 531.36
c©2012. А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОМЕРНЫХ ВРАЩЕНИЙ
ВОКРУГ ГЛАВНОЙ ОСИ ГИРОСКОПА ЛАГРАНЖА
С ДЕМПФЕРАМИ–БАЛАНСИРАМИ
Рассмотрена задача о пассивной стабилизации вращений вокруг вертикали гироскопа
Лагранжа с двухстепенным демпфером типа “качели”. Демпферы крепятся в носителе с
помощью вязкоупругих цилиндрических шарниров. Получены и проанализированы усло-
вия устойчивости изучаемого движения по первому приближению. Дана оценка собствен-
ных значений линеаризованной системы. Изучен вопрос о выборе параметров демпфе-
ра, обеспечивающих максимальную скорость затухания возмущенных движений. Показа-
но, что демпфер-балансир является значительно более эффективным, чем одностепенной
демпфер, использованный в [1].
Ключевые слова: пассивная стабилизация, демпфер-балансир, критерий Гурвица для
комплексных многочленов, характеристическое число Ляпунова.
1. Постановка задачи. Исходные соотношения. Рассмотрим дина-
мически симметричное тяжелое твердое тело, имеющее неподвижную точку
O. Введем в рассмотрение две системы координат: инерциальную Oxyz
и связанную с телом Ox1y1z1. Предполагается, что центр масс O0 те-
ла принадлежит оси Ox1; |OO0| = l0. В качестве обобщенных координат,
определяющих положение связанной системы координат относительно
Рис. 1. Твердое тело
с демпферами-балансирами.
неподвижной, выберем углы Эйлера
θ, ϕ, ψ, которые вводятся обычным
образом [2]. С целью избежать осо-
бенностей при изучении равномерных
вращений [2] в качестве основных осей
выбираем Oz и Ox1. Параллель-
но осям Oy1, Oz1 в теле распо-
ложены оси вязко-упругих цилиндри-
ческих шарниров, пересекающие ось
Ox1 в точках O1, O2, при этом
|OO1| = l1, |OO2| = l2. На ка-
ждую из осей насажены балансиры
N1N2, N3N4 – пара материальных то-
чек массой m1(m2) каждая, соеди-
ненных жесткими невесомыми стер-
жнями (|N2j−1Oj| = |N2jOj | = Rj,
j = 1, 2). Коэффициенты жесткости
κ1,κ2 (и трения ~1, ~2) для шарниров,
вообще говоря, различны.
Обозначим через rj радиус–вектор точки Nj (j = 1, 4), тогда
153
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
rj = (l1 + (−1)j+1R1 sinα1, (−1)j+1R1 cosα1, 0)
T , j = 1, 2;
rj = (l2 + (−1)j+1R2 sinα2, 0, (−1)j+1R2 cosα2)
T , j = 3, 4.
Учитывая формулу vj = ŕj+ω×rj для скорости точки Nj (j = 1, 4), где ŕj
означает относительную производную по времени, запишем выражение для
кинетической энергии балансиров: K+ =
= m1R
2
1[ω
2
1 cos
2 α1+ω
2
2(sin
2 α1+
l21
R2
1
)+ω2
3(1+
l21
R2
1
)−(ω1ω2 sin 2α1+2ω3α̇1)+α̇
2
1]+
+m2R
2
2[ω
2
1 cos
2 α2+ω
2
2(1+
l22
R2
2
)+ω2
3(sin
2 α2+
l22
R2
2
)−(ω1ω3 sin 2α2−2ω2α̇2)+ α̇
2
2].
Обобщенный тензор инерции системы можно записать J̃ = J + J+ ,
где J = diag(J1,J2,J2)− тензор инерции носителя, J+− “присоединенный”
тензор инерции балансиров
J+ =
J+
1 −m1R
2
1 sin 2α1 −m2R
2
2 sin 2α2
−m1R
2
1 sin 2α1 J+
2 0
−m2R
2
2 sin 2α2 0 J+
3
, (1)
J+
1 = 2(m1R
2
1 cos
2 α1+m2R
2
2 cos
2 α2), J
+
2 = 2[m1(R
2
1 sin
2 α1+l
2
1)+m2(R
2
2+l
2
2)],
J+
3 = 2[m1(R
2
1 + l21) +m2(R
2
2 sin
2 α2 + l22)].
Потенциальными силами в системе являются сила тяжести и силы упру-
гости в шарнирах, поэтому для потенциальной энергии имеем
Π = g[m0l0 + 2(m1l1 +m2l2)] sin θ sinϕ+
1
2
κ1(α1 − α10)
2 +
1
2
κ2(α2 − α20)
2.
Здесь m0 − масса тела, постоянные α10, α20 соответствуют состоянию покоя
балансиров (пружины не деформированы).
Проекции вектора угловой скорости ω на оси связанной системы коорди-
нат определяются [2] кинематическими соотношениями Эйлера
ω1 = θ̇ cosϕ+ψ̇ sin θ sinϕ, ω2 = −θ̇ sinϕ+ψ̇ sin θ cosϕ, ω3 = ϕ̇+ψ̇ cos θ. (2)
Подставляя (2) в выражение для кинетической энергии
K = K0+K
+ =
1
2
〈ω, J̃ω〉+〈ω,
∑
j=1,2
mj(r2j×ŕ2j+r2j−1×ŕ2j−1)〉+m1ŕ
2
1+m2ŕ
2
3 ,
где косые скобки означают скалярное произведение, запишем уравнения дви-
жения механической системы в форме Лагранжа второго рода:
d
dt
∂L
∂q̇j
− ∂L
∂qj
= Qj (q̇s, qs) (j = 1, 5), L = K −Π, Q = (0, 0, 0,−~1α̇1,−~2α̇2)
T .
(3)
154
Устойчивость равномерных вращений
Обобщенная координата q3 = ψ является циклической, остальные координа-
ты – позиционные. С целью отыскания стационарных движений приравняем
нулю градиент потенциальной энергии приведенной системы [3]:
sin θ0 {cosϕ0[(J2 − J1)ω
2 sin θ0 sinϕ0 +m2R
2
2ω
2 cos θ0 sin 2α20+
+g(m0l0+2m1l1+2m2l2)]+ω
2[m1R
2
1(sin 2α10 sin θ0 cos 2ϕ0−cos 2α10 sin 2ϕ0)+
+ sin 2ϕ0(m1l
2
1 +m2l
2
2 +m2R
2
2 sin2 α20)]} = 0,
cos θ0 sin ϕ0 {ω2 sin θ0 [(J2 − J1) sin ϕ0 + 2m1R
2
1 cos ϕ0 sin 2α10]+
+ g (m0 l0 + 2m1l1 + 2m2l2)}+ ω2{m1R
2
1 sin 2θ0(sin
2 α10 + cos2 ϕ0 cos 2α10)+
+m2R
2
2 [cos 2 θ0 sin 2α20 sin ϕ0 − sin 2 θ0 (cos
2 ϕ0 − sin2 α20+ (4)
+ cos2 α20 sin2 φ0)] + (m1l
2
1 +m2l
2
2) sin 2 θ0 sin2 ϕ0]} = 0,
k1 (α10 − α
(0)
1 )−m1R
2
1 ω
2 sin2 θ0 sin 2 (α10 − ϕ0) = 0,
k2 (α20 − α
(0)
2 ) +m2R
2
2 ω
2 [sin 2α20(− cos2 θ0 + sin2 θ0 sin
2 ϕ0)+
+ cos 2α20 sin 2θ0 sinϕ0] = 0.
Система (4) достаточно сложна для решения, поэтому мы ограничимся по-
иском решений, которые соответствуют равномерным вращениям носителя
вокруг вертикали, т.е. θ0 = π/2, ϕ0 = π/2, при этом ω = (ω, 0, 0)T .
Не уменьшая общности, можно считать ω > 0. Тогда из первого уравне-
ния имеем −m1R
2
1 sin 2α10 = 0, что означает α10 = 0, π/2. Третье равен-
ство будет выполнено, если каждое из указанных значений α10 соответствует
недеформированному состоянию спиральной пружины: α
(0)
1 = α10. Анало-
гично из второго равенства находим m2R
2
2 sin 2α20 = 0, α20 = 0, π/2, а из
четвертого – α
(0)
2 = α20. Получается четыре типа равномерных вращений: а)
в невозмущенном движении балансиры расположены перпендикулярно оси
вращения (т.е. горизонтально); б ) оба балансира коллинеарны оси враще-
ния; в),г) один балансир расположен горизонтально, а другой – вертикально.
Имея целью задачу пассивной стабилизации носителя, представляется есте-
ственным остановиться на случае а), поскольку при этом влияние демпферов
на движение тела будет более весомым. Таким образом, приходим к задаче
об устойчивости решения
θ =
π
2
, ϕ =
π
2
, α1 = 0, α2 = 0, θ̇ = 0, ϕ̇ = 0, ψ̇ = ω, α̇1 = 0, α̇2 = 0 (5)
(α
(0)
1 = 0, α
(0)
2 = 0)
системы уравнений (3). Переходя к возмущениям
θ =
π
2
+ θ̃, ϕ =
π
2
+ ϕ̃, α1 = α̃1, α2 = α̃2,
запишем уравнения (3) в вариациях
155
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
¨̃θ(J2 + 2m1l
2
1 + 2m2l
2
2 + 2m2R
2
2)− 2m2R
2
2
¨̃α2 + ω ˙̃ϕ(2J2 − J1 + 4m1l
2
1 + 4m2l
2
2)+
+θ̃[ω2(J1−J2−2m1l
2
1−2m2l
2
2+2m2R
2
2)−g(m0l0+2m1l1+2m2l2)]−2m2R
2
2ω
2α̃2 = 0,
¨̃ϕ(J2 + 2m1l
2
1 + 2m2l
2
2 + 2m1R
2
1)− 2m1R
2
1
¨̃α1 − ω ˙̃θ(2J2 − J1 + 4m1l
2
1 + 4m2l
2
2)+
+ϕ̃[ω2(J1−J2−2m1l
2
1−2m2l
2
2+2m1R
2
1)−g(m0l0+2m1l1+2m2l2)]−2m1R
2
1ω
2α̃1 = 0,
−2m1R
2
1
¨̃ϕ+ 2m1R
2
1
¨̃α1 + ~1
˙̃α1 − 2m1R
2
1ω
2ϕ̃+ α̃1(κ1 + 2m1R
2
1ω
2) = 0,
−2m2R
2
2
¨̃
θ + 2m2R
2
2
¨̃α2 + ~2
˙̃α2 − 2m2R
2
2ω
2θ̃ + α̃2(κ2 + 2m2R
2
2ω
2) = 0.
Введем безразмерные параметры и время по формулам
a =
J1
J2 + 2m1l21 + 2m2l22
, b =
g(m0l0 + 2m1l1 + 2m2l2)
ω2(J2 + 2m1l21 + 2m2l22)
,
(6)
µj =
2mjR
2
j
J2 + 2m1l
2
1 + 2m2l
2
2
, hj =
~j
2mjR
2
jω
, κj =
κj
2mjR
2
jω
2
+ 1, j = 1, 2; τ = ωt.
Заметим, что все эти параметры принимают только положительные значе-
ния, кроме того, κj ≥ 1. Для линеаризованных уравнений возмущенного дви-
жения имеем
(1 + µ2)θ̃
′′ − µ2α̃
′′
2 + (2− a)ϕ̃′ + (a− b− 1 + µ2)θ̃ − µ2α̃2 = 0,
(1 + µ1)ϕ̃
′′ − µ1α̃
′′
1 − (2− a)θ̃′ + (a− b− 1 + µ1)ϕ̃− µ1α̃1 = 0, (7)
−ϕ̃′′ + α̃′′
1 + h1α̃
′
1 − ϕ̃+ κ1α̃1 = 0, −θ̃′′ + α̃′′
2 + h2α̃
′
2 − θ̃ + κ2α̃2 = 0.
С целью сократить техническую часть анализа системы (7) примем
дополнительные условия
µ2 = µ1 = µ (m2R
2
2 = m1R
2
1), κ2 = κ1 = κ, h2 = h1 = h. (8)
Обозначим z1 = θ + iϕ, z2 = α2 + iα1. Тогда решение вещественной системы
(7) определяется решением системы
(1 + µ)z′′1 − µz′′2 − i(2− a)z′1 + (a− b− 1 + µ)z1 − µz2 = 0,
(9)−z′′1 + z′′2 + hz′2 − z1 + κz2 = 0,
а корнями характеристического уравнения восьмой степени для системы (7)
будут корни комплексного полинома четвертой степени
P (λ) = [(1 + µ)λ2 − i(2 − a)λ+ a− b− 1 + µ](λ2 + hλ+ κ)− µ(λ2 + 1)2 =
= λ4 + [h(µ+ 1)− i(2− a)]λ3 + [a− b− 1− µ+ κ(1 + µ)− ih(2− a)]λ2+ (10)
+[h(a− b− 1 + µ)− iκ(2 − a)]λ+ κ(a− b− 1 + µ)− µ
и сопряженного полинома P (λ). Поскольку вопрос об асимптотической устой-
чивости нулевого решения системы (7) решается знаками вещественных ча-
стей λ, то достаточно рассмотреть только многочлен P (λ).
156
Устойчивость равномерных вращений
2. Условия асимптотической устойчивости и их анализ. Для на-
хождения условий устойчивости воспользуемся критерием Гурвица для ком-
плексных многочленов [4].
Критерий Гурвица: Пусть дан полином f(z) такой, что
f(iz) = a0z
n + a1z
n−1 + · · ·+ an + i (b0z
n + b1z
n−1 + · · · + bn).
Число корней полинома f(z) с отрицательными вещественными частями
равно числу перемен знака в ряду 1, |B2|, |B4|, · · · |B2n|, где
B2S =
a0 a1 a2 a3 · · · as 0 · · · 0
b0 b1 b2 b3 · · · bs 0 · · · 0
0 a0 a1 a2 · · · as−1 as · · · 0
0 b0 b1 b2 · · · bs−1 bs · · · 0
· · · · · · · · · · · · 0
0 0 0 0 · · · a0 a1 · · · as
0 0 0 0 · · · b0 b1 · · · bs
, s = 1, n. (11)
Из (10) выпишем коэффициенты am, bm (m = 0; 4) : a0 = 1, b0 = 0,
a1 = a− 2, b1 = −h(µ + 1), a2 = −(µ+ 1)(κ− 1)− a+ b, b2 = h(2− a),
a3 = κ(2− a), b3 = h(a− b− 1 + µ), a4 = µ(κ− 1) + κ(a− b− 1), b4 = 0.
Вычисляя соответствующие определители матриц (11), находим
|B2| = b1 = −h(µ+ 1) < 0, |B4| = h2δ1, |B6| = −µh3δ2, |B8| = b2µ2h4δ3,
где δ1 = κ(µ + 1)3 + µ[a2 − 3a− b+ 1− µ(4− a+ b)− µ2], δ2 = γ1κ− γ0,
γ1 = a4 − 5a3 + a2(8− 3b)− 2a(2− 5b) + b2 − 8b+ µ[3a3 − a2(14 + 3b)+
+4a(5 + 2b) + 2(b2 − 2b− 4)] + µ2[2a2 − 2a(4 + b) + b2 + 4b+ 8],
γ0 = µ[a3−a2(4−b)+a(4−6b−3b2)+b(b2+7b+8)]+µ2[2a2−2a(4+b)+b2+4b+8],
δ3 = (4− 2a+ b)2[κ(a− b− 1 + µ)− µ].
Для асимптотической устойчивости по первому приближению решения (5)
необходимо и достаточно, чтобы все корни P (λ) имели отрицательные ве-
щественные части, т.е. четыре перемены знака в ряду 1, |B2|, |B4|, |B6|, |B8|,
что равнозначно положительности выражений δ1, δ2, δ3. Из условия δ3 > 0
получаем два необходимых условия устойчивости
δ = a− b− 1 + µ > 0, (12)
κ > κ? =
µ
δ
. (13)
Поскольку в силу неравенств треугольника для моментов инерции a < 2,
то выполнения неравенств (12), (13) достаточно для положительности δ3.
157
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
Покажем, что их выполнение является также и достаточным условием поло-
жительности выражений δ1, δ2. Заметим, что
δ1|κ=κ?
= δ(b+ δ − µ− 1)2 + (µ + 1)(δ − µ− 1)2 > 0.
Функция δ1(κ) монотонно возрастает, поэтому при κ > κ? принимает
только положительные значения. Чтобы убедиться в том, что
δ2(κ) > 0 при κ > κ?, необходимо вначале показать положительность γ1. Вве-
дем вспомогательный параметр β = b(µ + 1)/(2 − a), тогда γ1 перепишется
следующим образом
γ1(β) = β2 + β(3a+ 2µ− 4) + a2 − a+ 3aµ− 2µ + 2µ2.
Данная функция на отрезке 1 [0, (µ + 1)(a − 1 + µ)/(2 − a)] принимает свое
наименьшее значение либо на одном из его концов, либо при β = β0 =
= −3a/2−µ+2 > 0. Последнее возможно только при условии a < 2(2−µ)/3.
γ1(β0) = −1
4
(5a2−20a−4µ2−8µ+16) = −5
4
[2−a−2
√
5
5
(µ+1)][2−a+2
√
5
5
(µ+1)].
(14)
Кроме того, β0 должно принадлежать рассматриваемому промежутку, т.е.
2 − 3a/2 − µ < (µ + 1)(a − 1 + µ)/(2 − a), откуда находим a > 2 −
√
3(µ +
+1)/6. Но тогда выражение в первых квадратных скобках формулы (14)
отрицательно (выражение во вторых скобках, очевидно, положительно), и
γ1(β0) > 0. Учитывая также, что γ1(0) = (a + 2µ)(a − 1 + µ) > 0, γ1(β1) =
= (a− 1+ µ)2(3− a+ µ)2/(2− a)2 > 0, приходим к выводу, что всюду в обла-
сти выполнения неравенств (12) и 0 < a < 2 имеем γ1 > 0. Вычислив теперь
δ2|κ=κ?
= µb2(2δ + b− 2µ− 2)2, также убеждаемся в его положительности.
Таким образом, условия (12), (13) являются необходимыми и достато-
чными условиями асипмтотической устойчивости стационарного движения
(5). Неравенство (12) устанавливает два ограничения на параметры систе-
мы. Первое из них a > 1 − µ, (необходимое условие устойчивости) с учетом
формул (6) можно переписать как J1 + 2m1R
2
1 > J2 + 4m1l
2
1, что означает
сплюснутость эллипсоида вращения, соответствующего обобщенному тензо-
ру инерции системы (см. представление для J+) с жестко закрепленными
балансирами. Второе2 ограничение – b < a − 1 + µ – можно рассматривать
как ограничение снизу на величину скорости вращения носителя ω. Нако-
нец, неравенство (13) устанавливает нижнюю границу для жесткости упругих
шарниров. Учитывая, что κ ≥ 1 согласно (6), а для реальных объектов есте-
ственно считать, что µ << 1, то это ограничение, как правило, выполняется
и может нарушаться только в случае, когда левая часть (12) близка к нулю.
3. О выборе параметров демпфера. Предположим, что скорость
вращения тела и величины, определяющие геометрию масс носителя и дем-
пфера, заданы, и исследуем вопрос о выборе параметров вязко-упругих шар-
ниров, которые обеспечивали бы наибольшую скорость затухания возмущен-
ных решений системы (7). В рамках рассматриваемой модели это означает
1Правый конец промежутка определяется из неравенства (12).
2Также необходимое условие устойчивости.
158
Устойчивость равномерных вращений
нахождение условий, при которых минимальное характеристическое число
Ляпунова (ХЧЛ) решений системы (7) принимает наибольшее возможное
значение. Считая µ малым параметром и используя методы теории возму-
щений [5], найдем корни порождающего уравнения, т.е. уравнения P (λ) = 0,
в котором положили µ = 0. Получаем
λ
(0)
1,2 =
i
2
(−2 + a±
√
a2 − 4b), λ
(0)
3,4 =
1
2
(−h±
√
h2 − 4κ).
Первые два корня являются чисто мнимыми и различными, если
a2 > 4b, что соответствует условию Маиевского для симметричного гироско-
па. Два других корня имеют, очевидно, отрицательные вещественные части
и соответствуют колебаниям демпфера. Обозначим
√
a2 − 4b = 2r > 0, тогда
b = a2/4− r2. С учетом условия (12) получаем пределы изменения
D = (a, r) : 2− a < 2r < a < 2. (15)
Поэтому область возможных пар значений на плоскости (a, r) ограничена
треугольником со сторонами r = 0, a = 2r, a = 2r − 2. Если κ 6= h2/4,
то все корни порождающего уравнения – различны, следовательно, корни
P (λ) суть аналитические функции параметра µ и представимы в виде рядов
по целым степеням µ. Члены этих рядов можно последовательно находить
методом неопределенных коэффициентов. Так, полагая λ = λ
(0)
1 +µλ
(1)
1 +· · · ,
находим
λ
(1)
1 = −(a+ 2r)(a+ 2r − 4)[(a + 2r − 2)h+ 2 i (κ − 1)]
4r[(a+ 2r − 2)2 − 4κ+ 2 i h(a + 2r − 2)]
,
Reλ
(1)
1 = − 1
4r
σ(r), σ(r) =
h(a+ 2r)2(a+ 2r − 2)(a + 2r − 4)2
[(a+ 2r − 2)2 − 4κ]2 + h2(a+ 2r − 2)2
. (16)
Выражение для Reλ
(1)
2 получается, очевидно, заменой в (16) r на −r.
Приведем следующие вспомогательные утверждения.
Лемма 1. Пусть задана функция двух вещественных аргументов x, y
F (x, y) =
√
x
Bx+ (y − C)2
,
x ∈ [0,+∞), y ∈ [β,+∞), B > 0, β > C > 0. Тогда для любой пары значений
x, y справедлива оценка
F (x, y) ≤ F (x, 0) =
√
x
Bx+ (β − C)2
.
Лемма 2. Пусть задана функция вещественного аргумента x
f(x) = min(
A1
√
x
B1x+ C1
,
A2
√
x
B2x+ C2
),
вещественные коэффициенты Aj , Bj , Cj (j = 1, 2) положительны,
Q1 = A2C1 −A1C2 > 0, Q2 = A1B2 −A2B1 6= 0. (17)
Тогда наибольшее значение f(x) определяется следующим образом:
1) M = A1/(2
√
B1C1), если а) Q2 ≤ 0, либо б) Q2 > 0,
159
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
Q3 = A1(B1C2+B2C1)−2A2B1C1 < 0, Q4 = A2(B1C2+B2C1)−2A1B2C2 < 0;
2) M = A2/(2
√
B2C2), если Q2 > 0, Q3 > 0, Q4 > 0;
3) M =
√
Q1Q2/ | B1C2 −B2C1 |, если Q2 > 0, Q3Q4 ≤ 0.
Доказательство. Функция fj(x) (j = 1, 2) непрерывно дифференцируе-
ма при x > 0, ее производная положительна в правой полуокрестности нуля
и отрицательна при x → +∞. Следовательно, в своей единственной точке
экстремума xj0 = Cj/Bj эта функция принимает свое наибольшее значение
Aj/(2
√
BjCj). Графики функций f1(x), f2(x) пересекаются в точке
x? = (A2C1 −A1C2)/(A1B2 −A2B1) > 0. (18)
Если A1B2 − A2B1 < 0, то x? ≤ 0 − точки пересечения нет, и значение M
представляет собой меньшее из экстремальных значений этих функций. Из
первого неравенства (17) следует, что в правой полуокрестности нуля f1 < f2.
Если x? < 0, то, в силу непрерывности, f1(x) < f2(x) для всех значений
аргумента. Следовательно, в этом случае M = A1/(2
√
B1C1) (вариант 1
а)). Выполнение условий варианта 1 б) означает, что x? > 0, f ′1(x?) < 0,
f ′2(x?) < 0, т.е. графики функций пересекаются, и точка пересечения принад-
лежит интервалам убывания (другими словами, xj0 > x?
(j = 1, 2)). На интервале (0, x?) выполняется неравенство f1(x) < f2(x),
которое меняет знак на противоположный при переходе через x?. Таким
образом, в качестве M снова выступает максимум f1(x).
Случай 2) отличается от случая 1 б) тем, что точка x? принадлежит
интервалам возрастания функций f1(x), f2(x) (т.е. xj0 > x? (j = 1, 2)).
Соответственно, в качестве M следует брать максимум f2(x).
Наконец, в случае 3) f1(x?)f2(x?) ≤ 0, при этом, в силу условия
A1C2 − A2C1 > 0, обязательно f1(x?) ≥ 0, f2(x?) ≤ 0. На промежутке
(0, x?] выполняется неравенство f2(x) ≥ f1(x). Соответственно,
max f(x) = max f2(x) = f2(x?). Аналогично, на промежутке (x?,+∞] имеем
f1(x) ≤ f2(x), и M = max f(x) = max f1(x) = f1(x?) = f2(x?).
В качестве приближенного значения для минимального ХЧЛ возьмем зна-
чение σ?/4r, где σ? = min(σ(r),−σ(−r)). Согласно лемме 1 (при y = 4κ),
оптимальным для κ будет его наименьшее возможное значение, т.е κ = 1.3
Тогда
A1 = (a+2r)2(a+2r−2)(a+2r−4)2, B1 = (a+2r−2)2, C1 = (a+2r)(a+2r−4),
A2 = (a+2r)2(2r+2−a)(a+2r−4)2, B2 = (2r+2−a)2, C2 = (2r−a)(4−a−2r),
Q1 = 512b2(2− a)(4 − 2a+ b)2 > 0, Q2 = 32(2 − a)(a− b− 1) q2(a, r),
Q3 = 16(2 − a)(a+ 2r − 2)(a+ 2r)2(a+ 2r − 4)2 q3(a, r), (19)
Q4 = −16(2−a)(2r+2−a)(a−2r)2(2r+4−a)2 q4(a, r), q2 = a4−8a3+8a2(r2+2)−
3С учетом формул (6) это означает κ = 0 − жесткость шарнира минимальна.
160
Устойчивость равномерных вращений
−32ar2+16r2(4−3r2), q3(a, r) = a5−2a4(5+2r)+8a3(2+r)2−16a2(2+5r+3r2)+
+16ar(4 + 8r − 3r2) + 32r2(2r3 + 3r2 − 2r − 4), q4 = a5 − 2a4(5− 2r)+
+8a3(2− r)2− 16a2(2− 5r+3r2)− 16ar(4− 8r+3r3)+ 32r2(4− 2r− 3r2+2r3).
Очевидно, что знаки Qj и qj совпадают при j = 2, 3 и противоположны
при j = 4. Покажем, что Q2 > 0 всюду в D. Найдем наименьшее зна-
чение функции q2(a, r). Она не имеет стационарных точек в ограничен-
ной области D (хотя имеет две точки на границе: P1 = {2 −
√
2,
√
2/2},
P2 = {2,
√
3/3}), поэтому свое наибольшее и наименьшее значения принимает
на границе области. Последовательно вычисляем q2|a=2r = 128r2(1 − r) ≥ 0,
q2|a=2−2r = 2048r2(1− r) ≥ 0, q2|a=2 = 16(1+2r2 − 3r4) ≥ 0. Наименьшее зна-
чение, равное нулю, функция принимает на границе, следовательно, всюду в
области D она положительна.
Аналогично можно показать положительность q3(a, r). Функция же
q4(a, r) имеет одну ветвь, принадлежащую D. Как следствие, Q4 может при-
нимать значения разных знаков. На основании леммы 2 заключаем, что при
q4 < 0 имеет место случай 2), а при q4 > 0 − случай 3). Соответственно
определяются σ∗ и оптимальное значение h =
√
x. На рис. 2 показано разби-
ение области D (заштрихована) кривой q4(a, r) = 0 на подобласти D2 и D3,
Рис. 2. Вид кривых q3 = 0, q4 = 0, f(x).
соответствующие случаям 2) и 3) леммы 2, и графики кривой f(x) (сплошная
линия).
Как показывают численные расчеты, для различных точек области D
оценка для λ? = max(Reλ1,Reλ2), полученная согласно формуле (16), ме-
няется в достаточно широких пределах. Однако получаемые при этом зна-
чения существенно превосходят соответствующие значения для демпфе-
ра, использованного в [1]. Так, при a = 1.6, r = 0.4, µ = 0.03 находим
161
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
h ≈ 1.48, λ? ≈ −0.0104, а при a = 1.8, r = 0.6, µ = 0.03 имеем h ≈ 0.66,
λ? ≈ −0.0062. В [1] оценка для минимального характеристического числа Ля-
пунова составила |max(Reλj)| ≈ 0.0014. Таким образом, демпфер-балансир
является значительно более эффективным с точки зрения уменьшения
интервала затухания возмущенных решений.
1. Позднякович А.Е., Пузырев В.Е. Пассивная стабилизация равномерных вращений
твердого тела вокруг главной оси // Механика твердого тела. — 2010. – Вып. 40. –
С. 172–180.
2. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Физматгиз, 1961. – 824 с.
3. Пузырев В.Е. Об устойчивости стационарных движений механических систем с непол-
ной диссипацией энергии // Механика твердого тела. – 2002. – Вып. 32. – С. 99-104.
4. Чеботарев Н.Г., Мейман Н.Н. Проблема Рауса–Гурвица для полиномов и целых фун-
кций. – Тр. матем. ин-та им.В.А. Стеклова. – М.: Изд-во АН СССР, 1949. – XXVI –
331 с.
5. Найфе А. Введение в методы возмущений. – М.: Мир, 1984. – 535 с.
6. Peiffer K., Savchenko A.Ya. On passive stabilization in critical cases // J. of Math. Analysis
and Applications. – 2000. – 244. – P. 106–119.
7. Савченко А.Я., Позднякович А.Е., Пузырев В.Е. Пассивная стабилизация положения
равновесия двузвенного маятника с упругими связями // Механика твердого тела. –
2006. – Вып. 36. – С. 104–113.
A.E.Pozdnyakovih, V.E.Puzirev
Stability of permanent rotations around the principal axis of the Lagrange’s
gyroscope with dampers-balancers
The problem of passive stabilization is considered for permanent rotations of Lagrange’s gyro-
scope. The two balancers are attached to the rigid body by cylindrical viscous-elastic hinges.
The necessary and sufficient conditions of asymptotic stability for the linearized motion equa-
tions are obtained and analyzed. The estimation of eigenvalues is given. The question of optimal
choice of the damper characteristics, which guarantees the fastest damping rate of the perturbed
motions is discussed. The damper presented is much more effеctive then the 1-DOF one that
was used in [1].
Keywords: passive stabilization, damper-balancer, Gurvitz criterion for complex polynomial,
Lyapunov’s exponent.
О.Є.Позднякович, В.Є.Пузирьов
Стiйкiсть рiвномiрних обертань навкруги головної осi
гiроскопа Лагранжа з демпферами-балансирами
Розглянуто задачу про пасивну стабiлiзацiю обертань навколо вертикалi гiроскопа Ла-
гранжа з двостепеневим демпфером типу “гойдалка”. Отримано i проаналiзовано умови
стiйкостi руху, що вивчається, за першим наближенням. Наведено оцiнку власних значень
лiнеаризованої системи. Дослiджено питання про вибiр параметрiв демпфера, якi забез-
печують максимальну швидкiсть згасання збурених рухiв. Демпфер, що пропонується, є
значно бiльш ефективним, нiж одностепеневий, який був застосований в [1].
Ключовi слова: пасивна стабiлiзацiя, демпфер-балансир, критерiй Гурвiца для компле-
ксних многочленiв, характеристичне число Ляпунова.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк;
Донбасcкая национальная акад. строительства и архитектуры,
Макеевка
vpsr@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 14.10.12
162
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72606 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:16:13Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. 2014-12-26T19:34:01Z 2014-12-26T19:34:01Z 2012 Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с демпферами-балансирами / А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 153-162. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72606 531.38, 531.36 Рассмотрена задача о пассивной стабилизации вращений вокруг вертикали гироскопа Лагранжа с двухстепенным демпфером типа “качели”. Демпферы крепятся в носителе с помощью вязкоупругих цилиндрических шарниров. Получены и проанализированы условия устойчивости изучаемого движения по первому приближению. Дана оценка собственных значений линеаризованной системы. Изучен вопрос о выборе параметров демпфера, обеспечивающих максимальную скорость затухания возмущенных движений. Показано, что демпфер-балансир является значительно более эффективным, чем одностепенной демпфер, использованный в [1]. Розглянуто задачу про пасивну стабiлiзацiю обертань навколо вертикалi гiроскопа Лагранжа з двостепеневим демпфером типу гойдалка. Отримано i проаналiзовано умови стiйкостi руху, що вивчається, за першим наближенням. Наведено оцiнку власних значень лiнеаризованої системи. Дослiджено питання про вибiр параметрiв демпфера, якi забезпечують максимальну швидкiсть згасання збурених рухiв. Демпфер, що пропонується, є значно бiльш ефективним, нiж одностепеневий, який був застосований в [1]. The problem of passive stabilization is considered for permanent rotations of Lagrange’s gyroscope. The two balancers are attached to the rigid body by cylindrical viscous-elastic hinges. The necessary and sufficient conditions of asymptotic stability for the linearized motion equations are obtained and analyzed. The estimation of eigenvalues is given. The question of optimal choice of the damper characteristics, which guarantees the fastest damping rate of the perturbed motions is discussed. The damper presented is much more effåctive then the 1-DOF one that was used in [1]. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с демпферами-балансирами Стiйкiсть рiвномiрних обертань навкруги головної осi гiроскопа Лагранжа з демпферами-балансирами Stability of permanent rotations around the principal axis of the Lagrange’s gyroscope with dampers-balancers Article published earlier |
| spellingShingle | Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с демпферами-балансирами Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. |
| title | Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с демпферами-балансирами |
| title_alt | Стiйкiсть рiвномiрних обертань навкруги головної осi гiроскопа Лагранжа з демпферами-балансирами Stability of permanent rotations around the principal axis of the Lagrange’s gyroscope with dampers-balancers |
| title_full | Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с демпферами-балансирами |
| title_fullStr | Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с демпферами-балансирами |
| title_full_unstemmed | Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с демпферами-балансирами |
| title_short | Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с демпферами-балансирами |
| title_sort | устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа лагранжа с демпферами-балансирами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72606 |
| work_keys_str_mv | AT pozdnâkovičae ustoičivostʹravnomernyhvraŝeniivokrugglavnoiosigiroskopalagranžasdempferamibalansirami AT puzyrevve ustoičivostʹravnomernyhvraŝeniivokrugglavnoiosigiroskopalagranžasdempferamibalansirami AT pozdnâkovičae stiikistʹrivnomirnihobertanʹnavkrugigolovnoíosigiroskopalagranžazdempferamibalansirami AT puzyrevve stiikistʹrivnomirnihobertanʹnavkrugigolovnoíosigiroskopalagranžazdempferamibalansirami AT pozdnâkovičae stabilityofpermanentrotationsaroundtheprincipalaxisofthelagrangesgyroscopewithdampersbalancers AT puzyrevve stabilityofpermanentrotationsaroundtheprincipalaxisofthelagrangesgyroscopewithdampersbalancers |