Построение функций со знакопостоянной производной в силу автономной системы с произвольной степенью гладкости
Для автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема о существовании функции, имеющей знакопостоянную производную. Показано, что для любого m такая функция может быть выбрана в классе непрерывно дифференцируемых до m-го порядка включительно. Доказательство является конст...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2012 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72610 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Построение функций со знакопостоянной производной в силу автономной системы с произвольной степенью гладкости / В.Н. Неспирный // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 192-201. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72610 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Неспирный, В.Н. 2014-12-26T19:47:50Z 2014-12-26T19:47:50Z 2012 Построение функций со знакопостоянной производной в силу автономной системы с произвольной степенью гладкости / В.Н. Неспирный // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 192-201. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72610 517.9 Для автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема о существовании функции, имеющей знакопостоянную производную. Показано, что для любого m такая функция может быть выбрана в классе непрерывно дифференцируемых до m-го порядка включительно. Доказательство является конструктивным и дает один из способов построения функции со знакопостоянной производной. В качестве примера рассмотрен класс систем, являющийся обобщением примера Арцтейна. Для автономних систем звичайних диференцiальних рiвнянь доведено теорему про iснування функцiї, яка має знакосталу похiдну. Показано, що для будь-якого m таку функцiю можна вибрати у класi неперервно диференцiйовних функцiй до m-го порядку включно. Доведення є конструктивним i дає один iз способiв побудови функцiї зi знакосталою похiдною. Як приклад розглянуто клас систем, який є узагальненням прикладу Арцтейна. For autonomous systems of ordinary differential equations the theorem of existence of function having semidefinite derivative is proved. It is shown that for any m such function can be chosen from the class of continuously differentiable up to order m inclusively. The proof is constructive and gives some approach for constructing a function with semidefinite derivative. A class of systems generalizing Artstein’s circle is considered as an example. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Построение функций со знакопостоянной производной в силу автономной системы с произвольной степенью гладкости Побудова функцiй зi знакосталою похiдною в силу автономної системи з довiльним степенем гладкостi Construction of functions with semidefinite derivative along trajectories of autonomous systems with arbitrary order of smoothness Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Построение функций со знакопостоянной производной в силу автономной системы с произвольной степенью гладкости |
| spellingShingle |
Построение функций со знакопостоянной производной в силу автономной системы с произвольной степенью гладкости Неспирный, В.Н. |
| title_short |
Построение функций со знакопостоянной производной в силу автономной системы с произвольной степенью гладкости |
| title_full |
Построение функций со знакопостоянной производной в силу автономной системы с произвольной степенью гладкости |
| title_fullStr |
Построение функций со знакопостоянной производной в силу автономной системы с произвольной степенью гладкости |
| title_full_unstemmed |
Построение функций со знакопостоянной производной в силу автономной системы с произвольной степенью гладкости |
| title_sort |
построение функций со знакопостоянной производной в силу автономной системы с произвольной степенью гладкости |
| author |
Неспирный, В.Н. |
| author_facet |
Неспирный, В.Н. |
| publishDate |
2012 |
| language |
Russian |
| container_title |
Механика твердого тела |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Побудова функцiй зi знакосталою похiдною в силу автономної системи з довiльним степенем гладкостi Construction of functions with semidefinite derivative along trajectories of autonomous systems with arbitrary order of smoothness |
| description |
Для автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема о существовании функции, имеющей знакопостоянную производную. Показано, что для любого m такая функция может быть выбрана в классе непрерывно дифференцируемых до m-го порядка включительно. Доказательство является конструктивным и дает один из способов построения функции со знакопостоянной производной. В качестве примера рассмотрен класс систем, являющийся обобщением примера Арцтейна.
Для автономних систем звичайних диференцiальних рiвнянь доведено теорему про iснування функцiї, яка має знакосталу похiдну. Показано, що для будь-якого m таку функцiю можна вибрати у класi неперервно диференцiйовних функцiй до m-го порядку включно. Доведення є конструктивним i дає один iз способiв побудови функцiї зi знакосталою похiдною. Як приклад розглянуто клас систем, який є узагальненням прикладу Арцтейна.
For autonomous systems of ordinary differential equations the theorem of existence of function having semidefinite derivative is proved. It is shown that for any m such function can be chosen from the class of continuously differentiable up to order m inclusively. The proof is constructive and gives some approach for constructing a function with semidefinite derivative. A class of systems generalizing Artstein’s circle is considered as an example.
|
| issn |
0321-1975 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72610 |
| citation_txt |
Построение функций со знакопостоянной производной в силу автономной системы с произвольной степенью гладкости / В.Н. Неспирный // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 192-201. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT nespirnyivn postroeniefunkciisoznakopostoânnoiproizvodnoivsiluavtonomnoisistemysproizvolʹnoistepenʹûgladkosti AT nespirnyivn pobudovafunkciiziznakostaloûpohidnoûvsiluavtonomnoísistemizdovilʹnimstepenemgladkosti AT nespirnyivn constructionoffunctionswithsemidefinitederivativealongtrajectoriesofautonomoussystemswitharbitraryorderofsmoothness |
| first_indexed |
2025-11-24T03:41:26Z |
| last_indexed |
2025-11-24T03:41:26Z |
| _version_ |
1850837641395699712 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2012. Вып. 42
УДК 517.9
c©2012. В.Н. Неспирный
ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИЙ СО ЗНАКОПОСТОЯННОЙ
ПРОИЗВОДНОЙ В СИЛУ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ
С ПРОИЗВОЛЬНОЙ СТЕПЕНЬЮ ГЛАДКОСТИ
Для автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений доказана теорема
о существовании функции, имеющей знакопостоянную производную. Показано, что для
любого m такая функция может быть выбрана в классе непрерывно дифференцируемых
до m-го порядка включительно. Доказательство является конструктивным и дает один
из способов построения функции со знакопостоянной производной. В качестве примера
рассмотрен класс систем, являющийся обобщением примера Арцтейна.
Ключевые слова: автономные системы, функции Ляпунова.
1. Введение. Функции со знакопостоянной производной играют важ-
ную роль при исследовании устойчивости динамических систем. В частности,
первая теорема Ляпунова [1] утверждает, что существование такой функции
в классе знакоопределенных противоположного по знаку производной явля-
ется достаточным условием устойчивости. Е.А. Барбашин и Н.Н. Красов-
ский [2] доказали, что для обеспечения асимптотической устойчивости до-
статочно потребовать, чтобы множество обращения производной в нуль не
содержало инвариантного подмножества. Новые результаты, использующие
знакопостоянную производную, были получены в связи с развитием метода
дополнительных функций [3]. Этот метод дал возможность для любой сис-
темы, имеющей функцию со знакопостоянной производной, за конечное чи-
сло шагов построить функцию Ляпунова, производная которой обращается
в нуль лишь на инвариантном множестве, содержащем начало координат [4],
что позволило анализировать устойчивость динамических систем, выделяя
устойчивые, асимптотически устойчивые и неустойчивые переменные. В свя-
зи с этими результатами возникла задача существования и построения фун-
кций со знакопостоянной производной.
Указанная задача тесно связана с вопросами обращения теорем второго
метода Ляпунова. Первые достаточно общие результаты в решении этих во-
просов были получены Х.Л. Массерой [5], который доказал существование
непрерывно дифференцируемой функции Ляпунова (положительно опреде-
ленной с отрицательно определенной производной) для системы с периоди-
ческими по времени правыми частями и асимптотически устойчивым триви-
альным решением. Практически одновременно с работой [5] вышла статья
Е.А. Барбашина [6], где было доказано существования такой функции с не-
прерывными частными производными до m-го порядка включительно для
автономных систем с правыми частями, имеющими ту же степень гладкости.
И.Г. Малкиным [7] результат Массеры был обобщен на произвольные неавто-
номные системы. Наиболее полный результат в обращении теоремы об асим-
192
Построение функций со знакопостоянной производной
птотической устойчивости был получен Я. Курцвейлем [8]. Он доказал суще-
ствование сколь угодно гладких функций Ляпунова в предположении лишь
непрерывности правых частей. Следующим шагом стало обращение теорем
о неустойчивости, в связи с чем было снято требование знакоопределенности
функции. Н.Н. Красовским [9, 10] было установлено, что для существования
функции со знакоопределенной производной в силу системы необходимым и
достаточным условием является отсутствие целых траекторий в достаточно
малой окрестности начала координат.
Как показано в [11, 12], для существования функции со знакопостоянной
производной достаточно потребовать наличия у системы хотя бы одной трае-
ктории, проходящей как угодно близко к началу координат и покидающей его
окрестность в прямом или обратном времени. Однако, если для неавтономной
системы полученная функция будет достаточно гладкой [11], то для автоном-
ных систем гарантируется лишь существование непрерывной производной в
силу системы [12]. В настоящей работе ставится вопрос о построении для
автономной системы дифференциальных уравнений функции со знакопосто-
янной производной с наперед заданной степенью гладкости.
2. Постановка задачи. Рассмотрим автономную систему дифферен-
циальных уравнений вида
ẋ =
dx
dt
= f(x), (1)
где x ∈ Rn – фазовый вектор, функция f : Rn → Rn имеет непрерывные
частные производные до m-го порядка включительно, f(0) = 0, что обеспе-
чивает существование нулевого решения. Будем рассматривать уравнение в
некоторой области M , содержащей начало координат как внутреннюю точку.
Предполагается, что, кроме начала координат, других особых точек в обла-
сти M нет, т.е. f(x) 6= 0 при x 6= 0. Кроме того, для любой точки x0 в M
гарантируется существование и единственность решения x(t;x0) уравнения
(1), удовлетворяющего начальному условию x(0) = x0. Будем также пред-
полагать, что граница области M является настолько гладкой, что функция
ϕ(x), определяющая эту границу, является непрерывно дифференцируемой
m раз.
Под производной в силу системы (1) функции V : Rn → R понимается
функция V̇ : Rn → R, определяемая выражением [1]
V̇ (x) = ∇V (x) · f(x) =
∑
i=1,n
∂V (x)
∂xi
fi(x).
Рассмотрим задачу о построении функции V (x), определенной в некото-
рой открытой окрестности начала координат, обращающейся в нуль в начале
координат, но не равной нулю тождественно, и производная которой вдоль
траекторий системы (1) является положительно-постоянной. В работе [12] по-
казано, что такая функция существует по крайней мере в классе непрерыв-
ных при условии, что множество, являющееся объединением интегральных
193
В.Н. Неспирный
кривых, лежащих целиком в окрестности начала координат, не содержит то-
чку нуль в качестве внутренней. Поставим вопрос о том, насколько гладкой
может быть эта функция.
Основной результат может быть сформулирован в виде следующей тео-
ремы.
Теорема 1. Существует функция V , имеющая непрерывные частные
производные до m-го порядка включительно во всех точках, быть может за
исключением начала координат, производная которой в силу системы (1) яв-
ляется положительно-постоянной в некоторой окрестности начала координат.
3. Классификация траекторий. Определим ε-окрестность множе-
ства M
M ε = {x : d(x,M) < ε}. (2)
Разобьем M на подмножества в зависимости от характера поведения тра-
екторий, проходящих через точки этих подмножеств:
M1 ={x0 ∈ M : ∃t1 6 0, ε0 > 0 : ∀ε < ε0 x(t1 − ε) 6∈ M,
∀t > t1 x(t;x0) ∈ M, lim
t→+∞
x(t;x0) = 0};
M2 ={x0 ∈ M : ∃t2 > 0, ε0 > 0 : ∀ε < ε0 x(t2 + ε) 6∈ M,
∀t < t2 x(t;x0) ∈ M, lim
t→−∞
x(t;x0) = 0}; (3)
M3 ={x0 ∈ M : ∃t1 6 0, t2 > 0, ε0 > 0 :
∀ε < ε0 x(t1 − ε;x0) 6∈ M, x(t2 + ε) 6∈ M, ∀t : t1 < t < t2 x(t;x0) ∈ M};
M0 =M\M123, M123 = M1 ∪M2 ∪M3.
Множества Mi, i = 1, 3, совпадают с одноименными множествами, опре-
деленными в работе [9]. Однако, поскольку нет гарантии отсутствия целых
траекторий на множестве M , притяжение к началу координат мы требуем
явно.
Множества Mi инвариантны, так как определяются свойствами траекто-
рий. Если множество M0 пусто, то в области M нет целых траекторий и
можно построить функцию V со знакоопределенной производной [9]. В про-
тивном случае траектория, исходящая из произвольной точки x0 ∈ M , будет
иметь предельный цикл (в прямом или обратном времени). Для предельных
циклов же можно доказать следующее утверждение.
Утверждение 1. Пусть V определена, непрерывна на M , а ее произво-
дная V̇ вдоль траекторий системы (1) положительно-постоянна на том же
множестве. Пусть x(t;x0) – траектория системы (1), причем x(t;x0) ∈ M при
t ∈ (a; b). Если limt→a x(t;x0) = limt→b x(t;x0), то V̇ (x) = 0 для всех точек x
траектории x(t;x0) при t ∈ (a; b).
194
Построение функций со знакопостоянной производной
Доказательство. Обозначим x∗ = limt→a x(t;x0) = limt→b x(t;x0). По-
скольку V непрерывна на M , то limt→a V (x(t;x0)) = limt→b V (x(t;x0)) =
= V (x∗). Проинтегрируем V̇ (x) вдоль траектории x(t;x0):
b
∫
a
V̇ (x(t;x0))dt = V (x)|x=b
x=a = V (x∗)− V (x∗) = 0. (4)
Так как производная знакопостоянна, то V̇ (x) > 0 при x ∈ M . Тогда достато-
чно показать, что не существует такого t′ ∈ (a, b), при котором V̇ (x(t′;x0)) >
> 0. Пусть такое t′ существует и V̇ (x(t′;x0)) = c > 0. В силу непрерывности
имеется окрестность [t′ − δ, t′ + δ], где V̇ (x(t, x0)) > c/2. Тогда
b
∫
a
V̇ (x(t;x0))dt =
t′−δ
∫
a
+
t′+δ
∫
t′−δ
+
b
∫
t′+δ
.
Первый и третий интегралы неотрицательны, а второй не меньше cδ и потому
строго положителен. Значит интеграл по всему отрезку должен быть также
положительным, что противоречит равенству (4). Следовательно, точек x
с положительным значением производной V̇ на траектории x(t;x0) при t ∈
∈ (a, b) быть не может.
4. Принцип построения функции. Определим функцию V (x) в виде
произведения двух функций:
V (x) = γ(x)V0(x), V0(x) =
0, x ∈ M0,
+∞
∫
0
G(|φ(t;x)|)dt, x ∈ M1,
−∞
∫
0
G(|φ(t;x)|)dt, x ∈ M2,
0
∫
T
G(|φ(t;x)|)dt, x ∈ M3.
(5)
Здесь функция V0(x) определяется на M123 так же, как и в [9]. Там же было
показано, что за счет выбора функции G можно гарантировать непрерыв-
ность и гладкость функции V0 на множестве M123. Однако, после доопреде-
ления этой функции нулевым значением на множестве M0, на стыке мно-
жеств M0 и M123 могут возникнуть разрывы. Функция γ(x), определенная
на всем множестве M , должна выбираться так, чтобы сгладить эти разрывы
и сделать функцию V гладкой на M .
195
В.Н. Неспирный
Введем функцию γ̄, определенную на M∗ = ∂M :
γ̄(x) : M∗ → R; γ̄ ∈ Cm,
γ̄(x) = 0,
∂kγ̄(x)
∂xk
= 0 при x ∈ M∗
0 , k = 1,m,
γ̄(x) > 0 при x ∈ M∗
1 ∪M∗
2 ∪M∗
3 ,
γ̄(x(t1, x0)) = γ(x(t2, x0)) ∀x0 ∈ M3,
(6)
и определим
γ(x0) =
0, x0 ∈ M0,
γ̄(x(t1;x0)), x0 ∈ M1,
γ̄(x(t2;x0)), x0 ∈ M2,
γ̄(x(t1, x0)) = γ̄(x(t2, x0)), x0 ∈ M3,
(7)
где t1 < 0, t2 > 0 – моменты времени, когда траектория x(t, x0) достигает
M∗.
Утверждение 2. Функция γ(x) непрерывна и имеет непрерывные ча-
стные производные до m-го порядка включительно в M \ {0}.
Доказательство. Выберем произвольную точку x0 ∈ M \ {0}. Возможны
следующие случаи:
1. Если x0 является внутренней точкой M0, то существует окрестность, в
которой γ(x) ≡ 0. Очевидно, что в этой точке функция будет дифференци-
руемой сколько угодно раз.
2. Пусть x0 является внутренней точкой множества M123. Тогда функция
V0 m раз непрерывно дифференцируема в этой точке, и достаточно показать,
что функция γ(x) обладает тем же свойством.
Поскольку x0 ∈ M123, то существует момент времени t∗0, когда траектория
x(t;x0) достигает границы области M , т.е. ϕ(x(t∗0, x0)) = 0. Возьмем такую
окрестность B точки x0, которая целиком содержится в множестве M123.
Рассмотрим траектории x(t;x1), проходящие через точки x1 ∈ B. В силу то-
го, что правая часть системы (1) имеет непрерывные производные до m-го
порядка, функция x(t;x1) будет непрерывно дифференцируема m+ 1 раз по
своему первому аргументу t в B. Дифференцируемость по второму аргументу
следует из теоремы о непрерывной и дифференцируемой зависимости систе-
мы дифференциальных уравнений от параметров (в случае аналитических
правых частей, согласно теореме Пуанкаре–Ляпунова [13, c.197], эта зависи-
мость будет аналитической в точке x0). Определим момент времени t∗1, когда
траектория x(t;x1) достигает M∗. Он должен удовлетворять соотношению
ϕ(x(t∗1;x1)) = 0. Поскольку ϕ(x) и x(t∗1;x1) – непрерывно дифференцируемые
m раз функции, то их композиция имеет такой же порядок гладкости. В си-
лу гладкости поверхности ϕ(x) = 0 и отсутствия особых точек, кроме нуля,
якобиан композиции будет отличен от нуля. Следовательно, по теореме о не-
явной функции, существует m раз непрерывно дифференцируемая функция
196
Построение функций со знакопостоянной производной
t∗(x1), такая, что ϕ(x(t∗(x1);x1)) = 0 для любого x1 ∈ B. По определению
γ(x1) = γ̄(x(t∗(x1);x1)). Все функции, входящие в правую часть, непрерывно
дифференцируемы m раз в точке x0, значит, этим свойством обладает и их
композиция γ(x1).
3. В любой окрестности точки x0 есть как точки множества M123, так и
множества M0. Рассмотрим произвольную последовательность {xi} ∈ M та-
кую, что limi→∞ xi = x0. Рассмотрим отдельно члены, принадлежащие мно-
жеству M0, и отдельно те, которые принадлежат множеству M123. По крайней
мере одно из этих множеств будет бесконечным и, значит, будет образовывать
подпоследовательность, сходящуюся все так же к x0. Если эта подпоследова-
тельность будет состоят из точек M0, то и функция γ(x), и все ее производные
любого порядка в этих точках будут равны нулю.
Предположим теперь, что выбранная подпоследовательность состоит из
точек M123. Построим тогда последовательность {x∗i }, где x∗i = x(t∗(xi), xi), и
выберем из нее подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке x∗0. В
силу непрерывности функции γ̄(x) и ее производных до m-го порядка, имеем
для k 6 m
∂kγ̄(x∗i )
∂xk
→
∂kγ̄(x∗0)
∂xk
.
В силу открытости множества M123, точка x0 не может принадлежать этому
множеству, а, значит, и x∗0 ∈ M∗
0 . По условию функция γ̄ вместе со всеми прои-
зводными обращается в нуль в точке x∗0 ∈ M∗
0 . Значит, производные
∂kγ̄(x∗i )
∂kx
стремятся к нулю при i → ∞. Производные функции γ, как производные от
композиции, будут содержать множителем соответствующие производные от
функции γ̄ и, следовательно, в точке x0 будут равны нулю.
Итак, мы показали, что у всех сходящихся подпоследовательностей
{
∂kγ(xi)
∂kx
}
пределы совпадают. Следовательно, сходится и вся последова-
тельность. Поскольку {xi} выбиралась произвольно, делаем вывод о непре-
рывности и m-кратной дифференцируемости функции γ в точке x0.
Утверждение 3. Функция γ̄(x), определенная формулой (6), существует
для системы (1) на поверхности M∗.
Доказательство. В работе [12] показано, что функцию γ̄0(x), удовлетво-
ряющую на M∗ всем необходимым требованиям из (6), быть может за исклю-
чением дифференцируемости в граничных точках M∗
0 , можно построить в
следующем виде:
γ̄0(x) = min
x′∈M∗
0
d(x, x′), (8)
где d(x, x′) – определенным образом выбранная метрика на многообразии
M∗. Для того, чтобы сгладить функцию γ̄(x), проинтегрируем ее вдоль гео-
дезической линии, соединяющей точку x с точкой, доставляющей минимум
в формуле (8). Получим дифференцируемую функцию γ̄1, причем не толь-
ко сама функция, но и ее частные производные будут обращаться в нуль
197
В.Н. Неспирный
в граничных точках M∗
0 . Повторяя эту операцию m раз, получим функцию
γ̄m(x), которая будет удовлетворять всем условиям, определяемым формулой
(6).
Итак, если построить функцию V (x) в виде (5), непрерывность ее частных
производных обеспечит утверждение 2 везде, за исключением точки x = 0.
Тем не менее следует отметить, что функция V (x) будет по крайней мере
непрерывной при x = 0, что доказано в [12].
Поскольку γ̇(x) = 0 при x ∈ M по построению, то производная V (x) в
силу системы (1) равна V̇ (x) = γ(x)V̇0(x). Так как, согласно (6), γ(x) > 0 и
по условию V̇0(x) > 0, имеем V̇ (x) > 0. Таким образом, теорема полностью
доказана.
5. Пример. В качестве примера рассмотрим следующую двумерную си-
стему:
ẋ =
n
∑
k=0
Ck
nx
n−kyk cos
kπ
2
,
ẏ =
n
∑
k=0
Ck
nx
n−kyk sin
kπ
2
,
n > 2. (9)
Система (9) является обобщением примера Арцтейна [14] (последний получа-
ется при n = 2). Ее особенность заключается в наличии траекторий, которые
проходят вдоль луча, образующего угол
kπ
n− 1
c положительным направлени-
ем оси Ox. При этом, если начальная точка находится на таком луче, соответ-
ствующем четному значению k, то траектория в прямом времени уходит на
бесконечность (причем за конечное время), а в обратном времени асимптоти-
чески стремится к нулю. При нечетных k траектории уходят на бесконечность
в обратном времени и стремятся к нулю в прямом.
Для доказательства перейдем к полярным координатам x = ρ cosϕ,
y = ρ sinϕ, в которых система примет вид
ρ̇ = ρn cos(n− 1)ϕ,
ϕ̇ = ρn−1 sin(n− 1)ϕ.
(10)
Отсюда легко получить первый интеграл
sin(n− 1)ϕ
ρn−1
= C, (11)
из которого следует, что все траектории с начальным условием sin(n−1)ϕ 6= 0
ограничены. В силу того, что sin(n− 1)ϕ сохраняет знак, ϕ(t) монотонно во-
зрастает или убывает (см. второе уравнение (10)), приближаясь к значению,
для которого sin(n − 1)ϕ = 0. Но в этом случае, согласно (11), ρ обязано так
198
Построение функций со знакопостоянной производной
Рис. 1. Фазовый портрет системы (9) при n=4.
же стремиться к нулю. Причем это свойство, как видно из рис. 1, имеет место
как в прямом, так и в обратном времени.
Несмотря на глобальное притяжение почти всех траекторий, существова-
ние лучей с четным k уже гарантирует неустойчивость системы (9). Более
того, выбирая начальные условия достаточно близко к таким лучам и оста-
ваясь в окрестности нуля, c течением времени можно получить как угодно
большие значения ρ.
Построим теперь функцию со знакопостоянной производной в области
M = {(x, y) : x2 + y2 6 r2}. Определим сначала множества Mi. Нетрудно
видеть, что
M0 = {(x, y) : rn−1| sin(n− 1)ϕ| 6 ρn−1},
M1 = {(x, y) : rn−1| sin(n− 1)ϕ| > ρn−1, cos(n− 1)ϕ < 0},
M2 = {(x, y) : rn−1| sin(n− 1)ϕ| > ρn−1, cos(n− 1)ϕ > 0},
M3 = ∅.
Положим γ̄(x, y) = cos2(n − 1)ϕ, которая, очевидно, удовлетворяет всем тре-
бованиям, накладываемым уравнением (6). Для того, чтобы функция V (x) из
199
В.Н. Неспирный
(5) была полностью определена, достаточно теперь построить лишь функцию
G(ρ). Для этого, следуя Массере, найдем оценку ρ в момент времени t при на-
чальных условиях из множества M1, равномерную по всему этому множеству.
Поскольку на M1 величина cos(n − 1)ϕ отрицательна, то ρ(t; ρ0, ϕ0) убыва-
ет с течением времени t, а, значит, максимальное значение ρ имеет смысл
искать при максимальном значении ρ0, т. е. при ρ0 = r. При фиксированном
значении ρ0 максимум ρ будет достигаться тогда, когда cos(n−1)ϕ0 будет ма-
ксимальным (т.е. равным 0), так как d/dt(cos(n − 1)ϕ) всегда отрицательно.
Итак, получаем, что ρ(t; ρ0, ϕ0) 6 ρ(t; r, (π/2+kπ)/(n−1)). При таких началь-
ных значениях имеем ctg(n− 1)ϕ = −
(n− 1)rn−1t
sin(π/2 + kπ)
+ ctg(π/2+ kπ), и значит,
cos(n − 1)ϕ = −(1 + ((n − 1)rn−1t)−2)−1/2. Подставив полученное выраже-
ние в первое уравнение (10) и проинтегрировав его, получим окончательную
верхнюю оценку решения ρ(t; ρ0, ϕ0) в виде ρ(t) = r(((n−1)rn−1t)2+1)
−
1
2(n−1) .
Обратим функцию ρ(t). Имеем t(ρ) =
√
ρ−2(n−1) − r−2(n−1)/(n− 1). Полу-
ченная функция t(ρ) определена при ρ 6 r, является убывающей по своему
аргументу, как и требуется в лемме Массеры. Поэтому функция G(ρ) может
быть определена как
G(ρ) = exp(−t(ρ)) = exp
(
−
1
n− 1
√
ρ−2(n−1) − r−2(n−1)
)
.
Абсолютно такая же функция G строится и для множества M2. Подставляя
указаннные функции γ̄ и G в формулу (5), получим функцию V (x), непре-
рывную на всем множестве M , имеющую непрерывные частные производные
любого порядка на M \ {0} и знакопостоянную производную вдоль траекто-
рий системы (9).
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
– 476 с.
2. Барбашин Е.А., Красовский Н.Н. Об устойчивости движения в целом // Докл. АН
СССР. – 1952. – 86, № 3. – С. 453–456.
3. Ковалев А.М. Построение функции Ляпунова со знакоопределенной производной для
систем, удовлетворяющих теореме Барбашина-Красовского // Прикл. математика и
механика. – 2008. – 72, вып. 2. – С. 266–272.
4. Ковалев А.М. Решение задач устойчивости для нелийненых систем с известной фун-
кцией со знакопостоянной производной // Механика твердого тела. – 2009. – Вып. 39.
– С. 3–28.
5. Massera J.L. On Liapounoff’s conditions of stability // Annals Math. 2 Ser. – 1949. – 50,
3. – P. 705—721.
6. Барбашин Е.А. О существовании гладких решений некоторых линейных уравнений с
частными производными // Докл. АН СССР. – 1950. – 72, №3. – С. 445–447.
7. Малкин И.Г. К вопросу об обращении теоремы Ляпунова об асимптотической устой-
чивости // Прикл. математика и механика. – 1952. – 18, вып. 2. – С. 129–138.
8. Курцвейль Я. Об обращении второй теоремы Ляпунова об устойчивости // Чехослов.
матем. журнал. – 1956. – 6 (81), № 2. – С. 217–259; № 4. – С. 455–484.
9. Красовский Н.Н. Об условиях обращения теорем А.М. Ляпунова и Н.Г. Четаева о
неустойчивости для стационарных систем дифференциальных уравнений // Прикл.
математика и механика. – 1954. – 18, вып. 5. – С. 513–532.
200
Построение функций со знакопостоянной производной
10. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения – М.: Гос. изд-во
физматлит, 1959. – 211 с.
11. Ковалев А.М., Неспирный В.Н., Суйков А.С. Существование функции со знакопо-
стоянной производной для неавтономных систем дифференциальных уравнений //
Механика твердого тела. – 2011. – Вып. 41. – С. 3–10.
12. Ковалев А.М., Неспирный В.Н., Суйков А.С. Существование функции со знакопосто-
янной производной для автономных систем дифференциальных уравнений // Доп.
НАН України. – 2012. – № 9. – С. 13–18.
13. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. –
Минск: Наука и техника, 1979. – 744 c.
14. Artstein Z. Stabilization with relaxed controls // J. Nonlin. Anal. – 1983. – 7, № 11. –
P. 1163–1173.
V.N. Nespirnyy
Construction of functions with semidefinite derivative along trajectories
of autonomous systems with arbitrary order of smoothness
For autonomous systems of ordinary differential equations the theorem of existence of function
having semidefinite derivative is proved. It is shown that for any m such function can be chosen
from the class of continuously differentiable up to order m inclusively. The proof is constructive
and gives some approach for constructing a function with semidefinite derivative. A class of
systems generalizing Artstein’s circle is considered as an example.
Keywords: autonomous systems, Lyapunov function.
В.М. Неспiрний
Побудова функцiй зi знакосталою похiдною в силу автономної системи
з довiльним степенем гладкостi
Для автономних систем звичайних диференцiальних рiвнянь доведено теорему про iсну-
вання функцiї, яка має знакосталу похiдну. Показано, що для будь-якого m таку функцiю
можна вибрати у класi неперервно диференцiйовних функцiй до m-го порядку включно.
Доведення є конструктивним i дає один iз способiв побудови функцiї зi знакосталою похi-
дною. Як приклад розглянуто клас систем, який є узагальненням прикладу Арцтейна.
Ключовi слова: автономнi системи, функцiї Ляпунова.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
vetal_n@mail.ru
Получено 29.08.12
201
|