Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле

Получено решение уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона, которое характеризуется двумя линейными инвариантными соотношениями относительно основных переменных задачи. Отримано розвязок рiвнянь руху сферичного гiростата в магнiтному полi з урахува...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:Механика твердого тела
Datum:2012
1. Verfasser: Игнатова, Е.А.
Format: Artikel
Sprache:Russisch
Veröffentlicht: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2012
Online Zugang:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72612
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле / Е.А. Игнатова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 213-219. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
_version_ 1859947301510840320
author Игнатова, Е.А.
author_facet Игнатова, Е.А.
citation_txt Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле / Е.А. Игнатова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 213-219. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
collection DSpace DC
container_title Механика твердого тела
description Получено решение уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона, которое характеризуется двумя линейными инвариантными соотношениями относительно основных переменных задачи. Отримано розвязок рiвнянь руху сферичного гiростата в магнiтному полi з урахуванням ефекту БарнеттаЛондона, який характеризується двома лiнiйними iнварiантними спiввiдношеннями вiдносно основних змiнних задачi. The solution of the equations of motion of a spherical gyrostat in a magnetic field with considering the effect of Barnett–London are received. This solution is characterized by two linear invariant relations on the main variables of the problem.
first_indexed 2025-12-07T16:14:59Z
format Article
fulltext ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2012. Вып. 42 УДК 531.38 c©2012. Е.А. Игнатова ОБ ОДНОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ СФЕРИЧЕСКОГО ГИРОСТАТА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Получено решение уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона, которое характеризуется двумя линейными инвариантными соотношениями относительно основных переменных задачи. Ключевые слова: эффект Барнетта–Лондона, гиростат, точные решения. Рассмотрена задача о движении сверхпроводящего твердого тела и ней- трального ферромагнетика в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта– Лондона [1, 2]. С помощью метода инвариантных соотношений [3] в [4] были указаны условия существования двух линейных инвариантных соотношений уравне- ний движения гиростата и построены решения исходных уравнений в пред- положении, что диагональные компоненты гирационного тензора не равны между собой. В данной статье для случая сферического гиростата построено новое ре- шение уравнений движения, которое выражается через элементарные функ- ции времени. Постановка задачи. Уравнения движения гиростата в магнитном поле, с учетом эффекта Барнетта–Лондона и действия центральных ньютоновских сил, имеют вид ẋ = (x+ λ)× ax+Bax× ν + s× ν + ν × Cν, ν̇ = ν × ax. (1) Здесь x = (x1, x2, x3) – момент количества движения гиростата; ν = = (ν1, ν2, ν3) – единичный вектор, характеризующий направление оси сим- метрии силовых полей и магнитного поля; λ = (λ1, λ2, λ3) – гиростатический момент; s = (s1, s2, s3) – вектор обобщенного центра масс; a = (aij) – гира- ционный тензор, построенный в неподвижной точке; B = (Bij) и C = (Cij) – постоянные симметричные матрицы третьего порядка. Точка над перемен- ными обозначает относительную производную по времени t. Уравнения (1) допускают два первых интеграла (x+ λ) · ν = k, ν · ν = 1, (2) где k – произвольная постоянная. В [4], согласно методу инвариантных соотношений [3], получены условия существования двух линейных инвариантных соотношений x1 = b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3, x2 = c0 + c1ν1 + c2ν2 + c3ν3 (3) 213 Е.А. Игнатова для случая, когда гирационный тензор имеет вид a = diag(a1, a2, a3). Случай сферического гиростата. Аналогично [4] запишем условия существования инвариантных соотношений (3) для сферического гиростата, предполагая a = diag(a1, a1, a1), λ3 6= 0, b3 6= 0, c3 6= 0. (4) Тогда b0 = b2 = c0 = c1 = 0, λ1 = λ2 = 0, B23 = B13 = 0, c2 = b1 = −B33, b3(B11 −B33) + c3B12 = 0, b3B12 − c3(B33 −B22) = 0, s1 = a1b3λ3, s2 = −a1c3λ3, s3 = a1λ3B33, C13 = C23 = 0, (5) C12 = −a1(b3c3 +B12B33), C11 = C33 + a1B 2 33 − a1B33B11 + a1c 2 3, C22 = C33 + a1B 2 33 − a1B33B22 + a1b 2 3, B2 12 + (B33 −B11)(B33 −B22) = 0. В силу первого равенства из (5) соотношения (3) упрощаются: x1 = b1ν1 + b3ν3, x2 = c2ν2 + c3ν3. (6) Используя равенства (5) и инвариантные соотношения (6), уравнения движе- ния (1) сведем к системе ẋ3 = a1(b3ν2 − c3ν1)(b3ν1 + c3ν2 − b1ν3 + λ3), (7) ν̇1 = a1 [ x3ν2 − ν3(−B33ν2 + c3ν3) ] , ν̇2 = a1 [ ν3(−B33ν1 + b3ν3)− ν1x3 ] , ν̇3 = a1ν3(c3ν1 − b3ν2). (8) Интегралы уравнений (7), (8) имеют вид ν21 + ν22 + ν23 = 1, (9) (x3 + λ3 + b3ν1 + c3ν2 − b1ν3)ν3 = l0, (10) где l0 = k − b1. Таким образом, для сферического гиростата с учетом (4)–(6) интегриро- вание исходных уравнений (1) сведено к интегрированию уравнений (7), (8) с интегралами (9), (10). Новое решение уравнений. Используя (7), последнее уравнение систе- мы (8) и (10), получим dx3 dν3 = 1 ν3 ( x3 − l0 ν3 ) . (11) Выпишем общее решение уравнения (11) x3(t) = l0 2ν3(t) + Cν3(t). (12) 214 Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле Отметим, что функция x3 из (12) зависит от двух произвольных постоян- ных: l0 и C и является дробно-линейной функцией. Используя (12), интеграл (10) можно записать в виде (λ3 + b3ν1 + c3ν2 − b∗ν3)ν3 = l0/2, (13) где b∗ = b1 − C. Следовательно, система (8) имеет два интеграла: геометри- ческий (9) и интеграл (13). Выполним интегрирование уравнений (8). Исходя из (9), введем вместо ν1, ν2, ν3 новые переменные ν1 = sin θ cos ξ, ν2 = sin θ sin ξ, ν3 = cos θ (14) и вместо параметров b3, c3 параметры α0, µ0 : b3 = µ0 cosα0, c3 = µ0 sinα0, µ0 = √ b23 + c23. Тогда из соотношения (13) получим cos(ξ − α0) = g0(θ) µ0 sin θ cos θ , (15) где g0(θ) = l0/2− cos θ(λ3 − b∗ cos θ). Последнее уравнение системы (8) в силу (14) можно преобразовать к виду θ̇ = µ0a1 cos θ sin(α0 − ξ). (16) Исключим из уравнений (15), (16) переменную (α0 − ξ): θ̇ = a1 sin θ ( µ2 0 sin 2 θ cos2 θ − g20(θ) )1/2 . (17) Из уравнения (17) обращением соответствующего интеграла можно найти зависимость θ от t. Тогда из (15) определим ξ(t): ξ(t) = α0 + arccos ( g0(θ(t)) µ0 sin θ(t) cos θ(t) ) . (18) Соотношения (14) дают возможность найти νi = νi(t), а соотношения (6), (12) – функции xi = xi(t). Для нахождения функции θ = θ(t) преобразуем (17) к виду ν3 ∫ ν (0) 3 dν3 √ d4ν 4 3 + d3ν 3 3 + d2ν 2 3 + d1ν3 + d0 = −a1(t− t0), (19) где d4 = −(µ2 0 + b2 ∗ ), d3 = 2λ3b∗, d2 = µ2 0 − λ2 3 − b∗l0, d1 = λ3l0, d0 = −l20/4. (20) 215 Е.А. Игнатова Отметим, что функция ν3(t) описывается эллиптическими функциями времени. Действительности функции ν3(t) можно добиться, используя нера- венство |ν3| < 1 и выбирая параметры l0, C, λ3, B33 достаточно малыми. Определив зависимость ν3(t) из (19), из (18) находим ξ(t) = α0 + arccos [ l0/2− λ3ν3(t) + b∗ν 2 3(t) µ0ν3(t) √ 1− ν23(t) ] . (21) Функции ν1(t), ν2(t) определим из (14) ν1(t) = √ 1− ν23(t) cos ξ(t), ν2(t) = √ 1− ν23(t) sin ξ(t), (22) где ξ(t) выражается формулой (21). Тогда на основании (6), (22), функции x1(t), x2(t) таковы: x1(t) = b1 √ 1− ν23(t) cos ξ(t) + b3ν3(t), x2(t) = b1 √ 1− ν23 (t) sin ξ(t) + c3ν3(t). (23) Для сферического гиростата соотношения (23), (12), (22) и ν3(t) из (19) являются решением уравнений (1) при выполнении условий (4), (5). Случай l0 = 0. Положим в (19) l0 = 0. Тогда k = b1. (24) И из (19) в силу (20), (24) имеем ν3 ∫ ν (0) 3 dν3 ν3 √ d4ν23 + d3ν3 + d20 = −a1(t− t0), (25) где d20 = µ2 0 − λ2 3. Выражение под корнем положительно при ν3 ∈ (ν (1) 3 , ν (2) 3 ), где ν (1) 3 = λ3b∗ − µ0 √ ∆ µ2 0 + b2 ∗ , ν (2) 3 = λ3b∗ + µ0 √ ∆ µ2 0 + b2 ∗ , ∆ = µ2 0 + b2 ∗ − λ2 3, здесь предполагаем, что µ0 > 0. Для того, чтобы решение было действитель- ным, необходимо потребовать, чтобы выполнялось неравенство µ2 0 + b2 ∗ − λ2 3 > 0. (26) Выполнения условия (26) можно добиться выбором произвольной посто- янной C, которая входит в b∗. 216 Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле Таким образом, из (25) получим ν3 ∫ ν (0) 3 dν3 ν3 √ (ν (2) 3 − ν3)(ν3 − ν (1) 3 ) = −a1 √ µ2 0 + b2 ∗ (t− t0). (27) Нахождение интеграла (27) в зависимости от значений параметров разби- вается на ряд случаев; рассмотрим некоторые из них. Случай d20 = µ2 0 − λ2 3 > 0. При выполнении неравенства µ2 0 − λ2 3 > 0 (28) из интеграла (25) найдем зависимость от времени третьей компоненты еди- ничного вектора ν, характеризующего направление магнитного поля: ν3(t) = d20e −η(t) R1(t) , (29) где R1(t) = ζ1 + ( ζ2 − 1 2 e−η(t) )2 , η(t) = a1 √ d20(t− t0), ζ1 = −d20d4, ζ2 = λ3b∗. Используя соотношение (10) и третье уравнение системы (8), получим выражения ν1(t) = − 1 µ2 0 [ m0 +m1ν3(t)− c3R2(t)/R1(t) ] , ν2(t) = − 1 µ2 0 [ m2 +m3ν3(t) + b3R2(t)/R1(t) ] , (30) где m0 = b3λ3, m1 = −b3b∗, m2 = c3λ3, m3 = −c3b∗, R2(t) = − √ d20 ( ζ1 + ζ22 − 1 4 e−2η(t) ) . Подставим ν3(t) из (29) в соотношения (30): ν1(t) = − 1 µ2 0R1(t) [ ζ3 + ζ4e −η(t) + ζ5e −2η(t) ] , ν2(t) = − 1 µ2 0R1(t) [ ζ6 + ζ7e −η(t) + ζ8e −2η(t) ] , (31) где ζ3 = (ζ1 + ζ22 )(b3λ3 + c3 √ d20), ζ4 = −b3b∗µ 2 0, ζ5 = 1 4 (b3λ3 − c3 √ d20), ζ6 = (ζ1 + ζ22 )(c3λ3 − b3 √ d20), ζ7 = −c3b∗µ 2 0, ζ8 = 1 4 (λ3c3 + b3 √ d20). 217 Е.А. Игнатова Внесем выражения (29), (31) в формулы (6), (12). Тогда x1(t) = 1 µ2 0R1(t) [ ζ ′3 + ζ9e −η(t) + ζ ′5e −2η(t) ] , x2(t) = 1 µ2 0R1(t) [ ζ ′6 + ζ10e −η(t) + ζ ′8e −2η(t) ] , x3 = Cd20e −η(t) R1(t) , (32) где ζ ′3 = −b1ζ3, ζ ′5 = −b1ζ5, ζ ′6 = b1ζ6, ζ ′8 = b1ζ8, ζ9 = b3µ 2 0(µ0 − λ2 3 + b1b∗), ζ10 = −µ2 0c3(µ 2 0 − λ2 3 + b1b∗). Решение (29), (31), (32) существует при условиях на параметры (4), (5), (24), (28). Случай b2 ∗ > λ2 3 − µ2 0 > 0. Рассмотрим интеграл (25) для случая, когда µ2 0 − λ2 3 < 0, µ2 0 − λ2 3 + b2 ∗ > 0. (33) При выполнении условий (4), (5), (24), (33) решение задачи (1) будет таким ν1(t) = − 1 µ0R5(t) [ ζ15 + ζ16 sin(ζ13(t− t0)) + ζ17 cos(ζ13(t− t0)) ] , ν2(t) = − 1 µ0R5(t) [ ζ21 + ζ22 sin(ζ13(t− t0)) + ζ23 cos(ζ13(t− t0)) ] , ν3(t) = ζ11 R5(t) , x1 = ζ24 + ζ25 sin ( ζ13(t− t0) ) + ζ26 cos ( ζ13(t− t0) ) µ0R5(t) , x2 = ζ27 + ζ28 sin ( ζ13(t− t0) ) + ζ29 cos ( ζ13(t− t0) ) µ0R5(t) , x3 = Cζ11 R5(t) , где ζ11 = λ2 3 − µ2 0, ζ12 = µ0 √ ∆, ζ13 = a1 √ λ2 3 − µ2 0, ζ14 = λ3b∗, ζ15 = b3b∗µ0, ζ16 = b3λ3 √ ∆, ζ17 = c3 √ λ2 3 − µ2 0 √ ∆, ζ21 = c3b∗µ0, ζ22 = λ3c3 √ ∆, ζ23 = −b3 √ λ2 3 − µ2 0 √ ∆, ζ24 = b3µ0(λ 2 3 − µ2 0 − b1b∗), ζ25 = −b1ζ16, ζ26 = −b1ζ17, ζ27 = c3µ0(λ 2 3 − µ2 0 − b1b∗), ζ28 = −b1ζ22, ζ29 = −b1ζ23, R5(t) = ζ12 sin(ζ13(t− t0)) + ζ14. Итак, для уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона при выполнении условий (4), (5) полу- чено новое частное решение (12), (22), (23), зависящее от ν3. Связь между ν3 и t устанавливается квадратурой (19), и, значит, x3(t) – эллиптическая функция времени. Указаны условия, при выполнении которых это решение выражается в элементарных функциях. 218 Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле 1. Егармин И.Е. О магнитном поле вращающегося сверхпроводящего тела // Аэрофизика и космические исследования. – М.: Физ.-техн. ин-т, 1983. – С. 95–96. 2. Киттель И. Введение в физику твердого тела. – М.: Физматгиз, 1963. – 696 с. 3. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравне- ний // Механика твердого тела. – 1971. – Вып. 6. – С. 26–30. 4. Данилейко Е.А. Новое частное решение уравнений движения гиростата в магнитном поле // Там же. – 2003. – Вып. 33. – С. 55–60. K.A. Ignatova On the solution of the equations of motion of spherical gyrostat in a magnetic field The solution of the equations of motion of a spherical gyrostat in a magnetic field with con- sidering the effect of Barnett–London are received. This solution is characterized by two linear invariant relations on the main variables of the problem. Keywords: effect of Barnett–London, gyrostat, exact solutions. К.А. Iгнатова Про один розв’язок рiвнянь руху сферичного гiростата у магнiтному полi Отримано розв’язок рiвнянь руху сферичного гiростата в магнiтному полi з урахуванням ефекту Барнетта–Лондона, який характеризується двома лiнiйними iнварiантними спiввiд- ношеннями вiдносно основних змiнних задачi. Ключовi слова: ефект Барнетта–Лондона, гiростат, точнi розв’язки. Национальный ун-т экономики и торговли им. М. Туган-Барановского, Донецк katerina-ignat@rambler.ru Получено 20.09.12 219
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72612
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn 0321-1975
language Russian
last_indexed 2025-12-07T16:14:59Z
publishDate 2012
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
record_format dspace
spelling Игнатова, Е.А.
2014-12-26T19:51:35Z
2014-12-26T19:51:35Z
2012
Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле / Е.А. Игнатова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 213-219. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
0321-1975
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72612
531.38
Получено решение уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона, которое характеризуется двумя линейными инвариантными соотношениями относительно основных переменных задачи.
Отримано розвязок рiвнянь руху сферичного гiростата в магнiтному полi з урахуванням ефекту БарнеттаЛондона, який характеризується двома лiнiйними iнварiантними спiввiдношеннями вiдносно основних змiнних задачi.
The solution of the equations of motion of a spherical gyrostat in a magnetic field with considering the effect of Barnett–London are received. This solution is characterized by two linear invariant relations on the main variables of the problem.
ru
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
Механика твердого тела
Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле
Про один розвязок рiвнянь руху сферичного гiростата у магнiтному полi
On the solution of the equations of motion of spherical gyrostat in a magnetic field
Article
published earlier
spellingShingle Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле
Игнатова, Е.А.
title Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле
title_alt Про один розвязок рiвнянь руху сферичного гiростата у магнiтному полi
On the solution of the equations of motion of spherical gyrostat in a magnetic field
title_full Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле
title_fullStr Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле
title_full_unstemmed Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле
title_short Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле
title_sort об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72612
work_keys_str_mv AT ignatovaea obodnomrešeniiuravneniidviženiâsferičeskogogirostatavmagnitnompole
AT ignatovaea proodinrozvâzokrivnânʹruhusferičnogogirostataumagnitnomupoli
AT ignatovaea onthesolutionoftheequationsofmotionofsphericalgyrostatinamagneticfield