Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле
Получено решение уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона, которое характеризуется двумя линейными инвариантными соотношениями относительно основных переменных задачи. Отримано розвязок рiвнянь руху сферичного гiростата в магнiтному полi з урахува...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Datum: | 2012 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72612 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле / Е.А. Игнатова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 213-219. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859947301510840320 |
|---|---|
| author | Игнатова, Е.А. |
| author_facet | Игнатова, Е.А. |
| citation_txt | Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле / Е.А. Игнатова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 213-219. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Получено решение уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона, которое характеризуется двумя линейными инвариантными соотношениями относительно основных переменных задачи.
Отримано розвязок рiвнянь руху сферичного гiростата в магнiтному полi з урахуванням ефекту БарнеттаЛондона, який характеризується двома лiнiйними iнварiантними спiввiдношеннями вiдносно основних змiнних задачi.
The solution of the equations of motion of a spherical gyrostat in a magnetic field with considering the effect of Barnett–London are received. This solution is characterized by two linear invariant relations on the main variables of the problem.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:14:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2012. Вып. 42
УДК 531.38
c©2012. Е.А. Игнатова
ОБ ОДНОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
СФЕРИЧЕСКОГО ГИРОСТАТА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Получено решение уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле с учетом
эффекта Барнетта–Лондона, которое характеризуется двумя линейными инвариантными
соотношениями относительно основных переменных задачи.
Ключевые слова: эффект Барнетта–Лондона, гиростат, точные решения.
Рассмотрена задача о движении сверхпроводящего твердого тела и ней-
трального ферромагнетика в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–
Лондона [1, 2].
С помощью метода инвариантных соотношений [3] в [4] были указаны
условия существования двух линейных инвариантных соотношений уравне-
ний движения гиростата и построены решения исходных уравнений в пред-
положении, что диагональные компоненты гирационного тензора не равны
между собой.
В данной статье для случая сферического гиростата построено новое ре-
шение уравнений движения, которое выражается через элементарные функ-
ции времени.
Постановка задачи. Уравнения движения гиростата в магнитном поле,
с учетом эффекта Барнетта–Лондона и действия центральных ньютоновских
сил, имеют вид
ẋ = (x+ λ)× ax+Bax× ν + s× ν + ν × Cν,
ν̇ = ν × ax.
(1)
Здесь x = (x1, x2, x3) – момент количества движения гиростата; ν =
= (ν1, ν2, ν3) – единичный вектор, характеризующий направление оси сим-
метрии силовых полей и магнитного поля; λ = (λ1, λ2, λ3) – гиростатический
момент; s = (s1, s2, s3) – вектор обобщенного центра масс; a = (aij) – гира-
ционный тензор, построенный в неподвижной точке; B = (Bij) и C = (Cij)
– постоянные симметричные матрицы третьего порядка. Точка над перемен-
ными обозначает относительную производную по времени t.
Уравнения (1) допускают два первых интеграла
(x+ λ) · ν = k, ν · ν = 1, (2)
где k – произвольная постоянная.
В [4], согласно методу инвариантных соотношений [3], получены условия
существования двух линейных инвариантных соотношений
x1 = b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3, x2 = c0 + c1ν1 + c2ν2 + c3ν3 (3)
213
Е.А. Игнатова
для случая, когда гирационный тензор имеет вид a = diag(a1, a2, a3).
Случай сферического гиростата. Аналогично [4] запишем условия
существования инвариантных соотношений (3) для сферического гиростата,
предполагая
a = diag(a1, a1, a1), λ3 6= 0, b3 6= 0, c3 6= 0. (4)
Тогда
b0 = b2 = c0 = c1 = 0, λ1 = λ2 = 0, B23 = B13 = 0, c2 = b1 = −B33,
b3(B11 −B33) + c3B12 = 0, b3B12 − c3(B33 −B22) = 0,
s1 = a1b3λ3, s2 = −a1c3λ3, s3 = a1λ3B33, C13 = C23 = 0, (5)
C12 = −a1(b3c3 +B12B33), C11 = C33 + a1B
2
33 − a1B33B11 + a1c
2
3,
C22 = C33 + a1B
2
33 − a1B33B22 + a1b
2
3, B2
12 + (B33 −B11)(B33 −B22) = 0.
В силу первого равенства из (5) соотношения (3) упрощаются:
x1 = b1ν1 + b3ν3, x2 = c2ν2 + c3ν3. (6)
Используя равенства (5) и инвариантные соотношения (6), уравнения движе-
ния (1) сведем к системе
ẋ3 = a1(b3ν2 − c3ν1)(b3ν1 + c3ν2 − b1ν3 + λ3), (7)
ν̇1 = a1
[
x3ν2 − ν3(−B33ν2 + c3ν3)
]
,
ν̇2 = a1
[
ν3(−B33ν1 + b3ν3)− ν1x3
]
, ν̇3 = a1ν3(c3ν1 − b3ν2).
(8)
Интегралы уравнений (7), (8) имеют вид
ν21 + ν22 + ν23 = 1, (9)
(x3 + λ3 + b3ν1 + c3ν2 − b1ν3)ν3 = l0, (10)
где l0 = k − b1.
Таким образом, для сферического гиростата с учетом (4)–(6) интегриро-
вание исходных уравнений (1) сведено к интегрированию уравнений (7), (8)
с интегралами (9), (10).
Новое решение уравнений. Используя (7), последнее уравнение систе-
мы (8) и (10), получим
dx3
dν3
=
1
ν3
(
x3 −
l0
ν3
)
. (11)
Выпишем общее решение уравнения (11)
x3(t) =
l0
2ν3(t)
+ Cν3(t). (12)
214
Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле
Отметим, что функция x3 из (12) зависит от двух произвольных постоян-
ных: l0 и C и является дробно-линейной функцией. Используя (12), интеграл
(10) можно записать в виде
(λ3 + b3ν1 + c3ν2 − b∗ν3)ν3 = l0/2, (13)
где b∗ = b1 − C. Следовательно, система (8) имеет два интеграла: геометри-
ческий (9) и интеграл (13).
Выполним интегрирование уравнений (8). Исходя из (9), введем вместо
ν1, ν2, ν3 новые переменные
ν1 = sin θ cos ξ, ν2 = sin θ sin ξ, ν3 = cos θ (14)
и вместо параметров b3, c3 параметры α0, µ0 : b3 = µ0 cosα0, c3 = µ0 sinα0,
µ0 =
√
b23 + c23. Тогда из соотношения (13) получим
cos(ξ − α0) =
g0(θ)
µ0 sin θ cos θ
, (15)
где g0(θ) = l0/2− cos θ(λ3 − b∗ cos θ). Последнее уравнение системы (8) в силу
(14) можно преобразовать к виду
θ̇ = µ0a1 cos θ sin(α0 − ξ). (16)
Исключим из уравнений (15), (16) переменную (α0 − ξ):
θ̇ =
a1
sin θ
(
µ2
0 sin
2 θ cos2 θ − g20(θ)
)1/2
. (17)
Из уравнения (17) обращением соответствующего интеграла можно найти
зависимость θ от t. Тогда из (15) определим ξ(t):
ξ(t) = α0 + arccos
( g0(θ(t))
µ0 sin θ(t) cos θ(t)
)
. (18)
Соотношения (14) дают возможность найти νi = νi(t), а соотношения (6), (12)
– функции xi = xi(t).
Для нахождения функции θ = θ(t) преобразуем (17) к виду
ν3
∫
ν
(0)
3
dν3
√
d4ν
4
3 + d3ν
3
3 + d2ν
2
3 + d1ν3 + d0
= −a1(t− t0), (19)
где
d4 = −(µ2
0 + b2
∗
), d3 = 2λ3b∗, d2 = µ2
0 − λ2
3 − b∗l0, d1 = λ3l0, d0 = −l20/4. (20)
215
Е.А. Игнатова
Отметим, что функция ν3(t) описывается эллиптическими функциями
времени. Действительности функции ν3(t) можно добиться, используя нера-
венство |ν3| < 1 и выбирая параметры l0, C, λ3, B33 достаточно малыми.
Определив зависимость ν3(t) из (19), из (18) находим
ξ(t) = α0 + arccos
[
l0/2− λ3ν3(t) + b∗ν
2
3(t)
µ0ν3(t)
√
1− ν23(t)
]
. (21)
Функции ν1(t), ν2(t) определим из (14)
ν1(t) =
√
1− ν23(t) cos ξ(t), ν2(t) =
√
1− ν23(t) sin ξ(t), (22)
где ξ(t) выражается формулой (21).
Тогда на основании (6), (22), функции x1(t), x2(t) таковы:
x1(t) = b1
√
1− ν23(t) cos ξ(t) + b3ν3(t),
x2(t) = b1
√
1− ν23 (t) sin ξ(t) + c3ν3(t).
(23)
Для сферического гиростата соотношения (23), (12), (22) и ν3(t) из (19)
являются решением уравнений (1) при выполнении условий (4), (5).
Случай l0 = 0. Положим в (19) l0 = 0. Тогда
k = b1. (24)
И из (19) в силу (20), (24) имеем
ν3
∫
ν
(0)
3
dν3
ν3
√
d4ν23 + d3ν3 + d20
= −a1(t− t0), (25)
где d20 = µ2
0 − λ2
3.
Выражение под корнем положительно при ν3 ∈ (ν
(1)
3 , ν
(2)
3 ), где
ν
(1)
3 =
λ3b∗ − µ0
√
∆
µ2
0 + b2
∗
, ν
(2)
3 =
λ3b∗ + µ0
√
∆
µ2
0 + b2
∗
, ∆ = µ2
0 + b2
∗
− λ2
3,
здесь предполагаем, что µ0 > 0. Для того, чтобы решение было действитель-
ным, необходимо потребовать, чтобы выполнялось неравенство
µ2
0 + b2
∗
− λ2
3 > 0. (26)
Выполнения условия (26) можно добиться выбором произвольной посто-
янной C, которая входит в b∗.
216
Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле
Таким образом, из (25) получим
ν3
∫
ν
(0)
3
dν3
ν3
√
(ν
(2)
3 − ν3)(ν3 − ν
(1)
3 )
= −a1
√
µ2
0 + b2
∗
(t− t0). (27)
Нахождение интеграла (27) в зависимости от значений параметров разби-
вается на ряд случаев; рассмотрим некоторые из них.
Случай d20 = µ2
0
− λ2
3
> 0. При выполнении неравенства
µ2
0 − λ2
3 > 0 (28)
из интеграла (25) найдем зависимость от времени третьей компоненты еди-
ничного вектора ν, характеризующего направление магнитного поля:
ν3(t) =
d20e
−η(t)
R1(t)
, (29)
где
R1(t) = ζ1 +
(
ζ2 −
1
2
e−η(t)
)2
, η(t) = a1
√
d20(t− t0), ζ1 = −d20d4, ζ2 = λ3b∗.
Используя соотношение (10) и третье уравнение системы (8), получим
выражения
ν1(t) = − 1
µ2
0
[
m0 +m1ν3(t)− c3R2(t)/R1(t)
]
,
ν2(t) = − 1
µ2
0
[
m2 +m3ν3(t) + b3R2(t)/R1(t)
]
,
(30)
где
m0 = b3λ3, m1 = −b3b∗, m2 = c3λ3,
m3 = −c3b∗, R2(t) = −
√
d20
(
ζ1 + ζ22 − 1
4
e−2η(t)
)
.
Подставим ν3(t) из (29) в соотношения (30):
ν1(t) = − 1
µ2
0R1(t)
[
ζ3 + ζ4e
−η(t) + ζ5e
−2η(t)
]
,
ν2(t) = − 1
µ2
0R1(t)
[
ζ6 + ζ7e
−η(t) + ζ8e
−2η(t)
]
,
(31)
где
ζ3 = (ζ1 + ζ22 )(b3λ3 + c3
√
d20), ζ4 = −b3b∗µ
2
0, ζ5 =
1
4
(b3λ3 − c3
√
d20),
ζ6 = (ζ1 + ζ22 )(c3λ3 − b3
√
d20), ζ7 = −c3b∗µ
2
0, ζ8 =
1
4
(λ3c3 + b3
√
d20).
217
Е.А. Игнатова
Внесем выражения (29), (31) в формулы (6), (12). Тогда
x1(t) =
1
µ2
0R1(t)
[
ζ ′3 + ζ9e
−η(t) + ζ ′5e
−2η(t)
]
,
x2(t) =
1
µ2
0R1(t)
[
ζ ′6 + ζ10e
−η(t) + ζ ′8e
−2η(t)
]
, x3 =
Cd20e
−η(t)
R1(t)
,
(32)
где
ζ ′3 = −b1ζ3, ζ ′5 = −b1ζ5, ζ ′6 = b1ζ6, ζ ′8 = b1ζ8,
ζ9 = b3µ
2
0(µ0 − λ2
3 + b1b∗), ζ10 = −µ2
0c3(µ
2
0 − λ2
3 + b1b∗).
Решение (29), (31), (32) существует при условиях на параметры (4), (5), (24),
(28).
Случай b2
∗
> λ2
3
− µ2
0
> 0. Рассмотрим интеграл (25) для случая, когда
µ2
0 − λ2
3 < 0, µ2
0 − λ2
3 + b2
∗
> 0. (33)
При выполнении условий (4), (5), (24), (33) решение задачи (1) будет таким
ν1(t) = − 1
µ0R5(t)
[
ζ15 + ζ16 sin(ζ13(t− t0)) + ζ17 cos(ζ13(t− t0))
]
,
ν2(t) = − 1
µ0R5(t)
[
ζ21 + ζ22 sin(ζ13(t− t0)) + ζ23 cos(ζ13(t− t0))
]
, ν3(t) =
ζ11
R5(t)
,
x1 =
ζ24 + ζ25 sin
(
ζ13(t− t0)
)
+ ζ26 cos
(
ζ13(t− t0)
)
µ0R5(t)
,
x2 =
ζ27 + ζ28 sin
(
ζ13(t− t0)
)
+ ζ29 cos
(
ζ13(t− t0)
)
µ0R5(t)
, x3 =
Cζ11
R5(t)
,
где
ζ11 = λ2
3 − µ2
0, ζ12 = µ0
√
∆, ζ13 = a1
√
λ2
3 − µ2
0, ζ14 = λ3b∗,
ζ15 = b3b∗µ0, ζ16 = b3λ3
√
∆, ζ17 = c3
√
λ2
3 − µ2
0
√
∆, ζ21 = c3b∗µ0,
ζ22 = λ3c3
√
∆, ζ23 = −b3
√
λ2
3 − µ2
0
√
∆, ζ24 = b3µ0(λ
2
3 − µ2
0 − b1b∗),
ζ25 = −b1ζ16, ζ26 = −b1ζ17, ζ27 = c3µ0(λ
2
3 − µ2
0 − b1b∗),
ζ28 = −b1ζ22, ζ29 = −b1ζ23, R5(t) = ζ12 sin(ζ13(t− t0)) + ζ14.
Итак, для уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле
с учетом эффекта Барнетта–Лондона при выполнении условий (4), (5) полу-
чено новое частное решение (12), (22), (23), зависящее от ν3. Связь между
ν3 и t устанавливается квадратурой (19), и, значит, x3(t) – эллиптическая
функция времени. Указаны условия, при выполнении которых это решение
выражается в элементарных функциях.
218
Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле
1. Егармин И.Е. О магнитном поле вращающегося сверхпроводящего тела // Аэрофизика
и космические исследования. – М.: Физ.-техн. ин-т, 1983. – С. 95–96.
2. Киттель И. Введение в физику твердого тела. – М.: Физматгиз, 1963. – 696 с.
3. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравне-
ний // Механика твердого тела. – 1971. – Вып. 6. – С. 26–30.
4. Данилейко Е.А. Новое частное решение уравнений движения гиростата в магнитном
поле // Там же. – 2003. – Вып. 33. – С. 55–60.
K.A. Ignatova
On the solution of the equations of motion of spherical gyrostat
in a magnetic field
The solution of the equations of motion of a spherical gyrostat in a magnetic field with con-
sidering the effect of Barnett–London are received. This solution is characterized by two linear
invariant relations on the main variables of the problem.
Keywords: effect of Barnett–London, gyrostat, exact solutions.
К.А. Iгнатова
Про один розв’язок рiвнянь руху сферичного гiростата у магнiтному полi
Отримано розв’язок рiвнянь руху сферичного гiростата в магнiтному полi з урахуванням
ефекту Барнетта–Лондона, який характеризується двома лiнiйними iнварiантними спiввiд-
ношеннями вiдносно основних змiнних задачi.
Ключовi слова: ефект Барнетта–Лондона, гiростат, точнi розв’язки.
Национальный ун-т экономики и торговли
им. М. Туган-Барановского, Донецк
katerina-ignat@rambler.ru
Получено 20.09.12
219
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72612 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:14:59Z |
| publishDate | 2012 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Игнатова, Е.А. 2014-12-26T19:51:35Z 2014-12-26T19:51:35Z 2012 Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле / Е.А. Игнатова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 213-219. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72612 531.38 Получено решение уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона, которое характеризуется двумя линейными инвариантными соотношениями относительно основных переменных задачи. Отримано розвязок рiвнянь руху сферичного гiростата в магнiтному полi з урахуванням ефекту БарнеттаЛондона, який характеризується двома лiнiйними iнварiантними спiввiдношеннями вiдносно основних змiнних задачi. The solution of the equations of motion of a spherical gyrostat in a magnetic field with considering the effect of Barnett–London are received. This solution is characterized by two linear invariant relations on the main variables of the problem. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле Про один розвязок рiвнянь руху сферичного гiростата у магнiтному полi On the solution of the equations of motion of spherical gyrostat in a magnetic field Article published earlier |
| spellingShingle | Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле Игнатова, Е.А. |
| title | Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле |
| title_alt | Про один розвязок рiвнянь руху сферичного гiростата у магнiтному полi On the solution of the equations of motion of spherical gyrostat in a magnetic field |
| title_full | Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле |
| title_fullStr | Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле |
| title_full_unstemmed | Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле |
| title_short | Об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле |
| title_sort | об одном решении уравнений движения сферического гиростата в магнитном поле |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72612 |
| work_keys_str_mv | AT ignatovaea obodnomrešeniiuravneniidviženiâsferičeskogogirostatavmagnitnompole AT ignatovaea proodinrozvâzokrivnânʹruhusferičnogogirostataumagnitnomupoli AT ignatovaea onthesolutionoftheequationsofmotionofsphericalgyrostatinamagneticfield |