О полиномиальных решениях с квадратичным инвариантным соотношением уравнений движения гиростата
Исследованы условия существования полиномиальных решений дифференциальных уравнений задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил. Построено два новых частных решения рассматриваемых уравнений с квадратичными инвариантными соотношениями по вспомогательной переменной,...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72637 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О полиномиальных решениях с квадратичным инвариантным соотношением уравнений движения гиростата / А.В. Зыза // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 29-38. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860123863775444992 |
|---|---|
| author | Зыза, А.В. |
| author_facet | Зыза, А.В. |
| citation_txt | О полиномиальных решениях с квадратичным инвариантным соотношением уравнений движения гиростата / А.В. Зыза // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 29-38. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Исследованы условия существования полиномиальных решений дифференциальных уравнений задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил. Построено два новых частных решения рассматриваемых уравнений с квадратичными инвариантными соотношениями по вспомогательной переменной, которая выражается в виде функций, полученных обращением гиперэллиптических и эллиптических интегралов.
Дослiджено умови iснування полiномiальних розв’язкiв диференцiальних рiвнянь задачi про рух гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил. Отримано два новi частиннi розв’язки цих рiвнянь з квадратичними iнварiантними спiввiдношеннями за допомiжною змiнною, яка виражається у виглядi функцiй, отриманих оберненням гiперелiптичного та елiптичного iнтегралiв.
In this paper, the existence conditions for polynomial solutions of the differential equations of gyrostat motion under the potential and gyroscopic forces are studied. Two new solutions with quadratic relation that is invariant with respect to the auxiliary variable are obtained for the mentioned equations. This auxiliary variable is expressed in terms of inversions of elliptic and hyperelliptic integrals.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:40:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2013. Вып. 43
УДК 531.38
c©2013. А.В. Зыза
О ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ РЕШЕНИЯХ
С КВАДРАТИЧНЫМ ИНВАРИАНТНЫМ СООТНОШЕНИЕМ
УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА
Исследованы условия существования полиномиальных решений дифференциальных урав-
нений задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил.
Построено два новых частных решения рассматриваемых уравнений с квадратичными ин-
вариантными соотношениями по вспомогательной переменной, которая выражается в виде
функций, полученных обращением гиперэллиптических и эллиптических интегралов.
Ключевые слова: полиномиальные решения, уравнения Кирхгофа–Пуассона, гиростат,
инвариантное соотношение, потенциальные и гироскопические силы.
Интегрирование уравнений динамики тяжелого твердого тела в слу-
чае, когда применение теории Якоби невозможно в силу отсутствия допол-
нительного интеграла, проводится с помощью других методов [1, 2]. По-
линомиальные решения уравнений Эйлера–Пуассона структуры Стеклова–
Ковалевского–Горячева [1] занимают значительную часть в списке известных
случаев интегрируемости этих уравнений. Как показано в [3–5], рассмотрение
условий существования полиномиальных решений указанного выше класса
и класса А.И. Докшевича [6, 7] позволило в задаче о движении гиростата
под действием потенциальных и гироскопических сил построить новые реше-
ния уравнений Кирхгофа–Пуассона. В данной статье продолжено изучение
указанных выше полиномиальных решений в предположении, что заданное
полиномиальное решение имеет дополнительное квадратичное инвариантное
соотношение. Получены новые случаи интегрируемости уравнений движения
гиростата.
1. Постановка задачи. Преобразование дифференциальных урав-
нений движения гиростата. Рассмотрим движение заряженного и на-
магниченного гиростата с неподвижной точкой под действием потенциальных
и гироскопических сил. Потенциальные силы возникают при ньютоновском
притяжении масс и взаимодействии магнитов с постоянным магнитным по-
лем, электрических зарядов с электрическим полем. Центры ньютоновского и
кулоновского притяжений лежат на оси, проходящей через неподвижную то-
чку параллельно вектору, характеризующему направление постоянного маг-
нитного поля. Гироскопические силы определяются лоренцевым воздействи-
ем магнитного поля на движущиеся в пространстве электрические заряды и
циклическим движением роторов в теле-носителе. Уравнения движения рас-
сматриваемого гиростата относится к уравнениям класса Кирхгофа [5, 8] и в
векторной форме [5] таковы
A
.
ω = (Aω + λ)× ω + ω ×Bν + ν × (Cν − s),
.
ν = ν × ω. (1)
29
А.В. Зыза
Эти уравнения допускают три первых интеграла
Aω · ω − 2(s · ν) + (Cν · ν) = 2E0, 2(Aω + λ) · ν − (Bν · ν) = 2k0,
ν · ν = 1.
(2)
Здесь ω = (ω1, ω2, ω3) – угловая скорость гиростата; ν = (ν1, ν2, ν3) – единич-
ный вектор, характеризующий направление оси симметрии силовых полей;
λ = (λ1, 0, 0) – гиростатический момент; s = (s1, 0, 0) – вектор обобщенно-
го центра масс; A – тензор инерции гиростата, построенный в неподвижной
точке; B и C – симметричные матрицы третьего порядка; точка над пере-
менными обозначает относительную производную; E0 и k0 – постоянные ин-
тегралов.
Запишем уравнения (1) и интегралы (2) в скалярном виде, полагая
A = diag (A1, A2, A3), B = diag (B1, B2, B3), C = diag (C1, C2, C3):
A1
.
ω1 = (A2 −A3)ω2ω3 +B3ω2ν3 −B2ω3ν2 + (C3 − C2)ν2ν3,
A2
.
ω2 = (A3 −A1)ω1ω3 +B1ω3ν1 −B3ω1ν3 + (C1 − C3)ν1ν3−
− λ1ω3 − s1ν3,
A3
.
ω3 = (A1 −A2)ω1ω2 +B2ω1ν2 −B1ω2ν1 + (C2 − C1)ν1ν2+
+ λ1ω2 + s1ν2;
(3)
.
ν1 = ω3ν2 − ω2ν3,
.
ν2 = ω1ν3 − ω3ν1,
.
ν3 = ω2ν1 − ω1ν2; (4)
A1ω
2
1 +A2ω
2
2 +A3ω
2
3 − 2s1ν1 + C1ν
2
1 + C2ν
2
2 + C3ν
2
3 = 2E0,
2(A1ω1 + λ1)ν1 + 2A2ω2ν2 + 2A3ω3ν3 −B1ν
2
1 −B2ν
2
2 −B3ν
2
3 = 2k0,
ν21 + ν22 + ν23 = 1.
(5)
Следуя [3, 4], поставим задачу об исследовании условий существования у
уравнений (3), (4) решений вида
ω1 = σ2, ω2
2 = Q(σ) =
n
∑
i=0
biσ
i, ω2
3 = R(σ) =
m
∑
j=0
cjσ
j ,
ν1 = ϕ(σ) =
l
∑
i=0
aiσ
i, ν2 =
ψ(σ)
σ
ω2, ν3 =
κ(σ)
σ
ω3,
ψ(σ) =
n1
∑
j=0
gjσ
j , κ(σ) =
m1
∑
i=0
fiσ
i,
(6)
где n,m, l, n1,m1 – натуральные числа; коэффициенты bi, cj , ai, gj , fi – пара-
метры, подлежащие определению. Указанный класс решений характеризу-
ется квадратичным инвариантным соотношением по вспомогательной пере-
менной σ.
30
О полиномиальных решениях уравнений движения гиростата
Подставим выражения (6) в уравнения (4), (3) и геометрический интеграл
из (5):
P (σ) = (ψ(σ) − κ(σ))(ϕ′(σ))−1; (7)
.
σ = P (σ)σ−1
√
Q(σ)R(σ); (8)
(Q(σ)ψ2(σ)σ−2)′P (σ) = 2ψ(σ)(σκ(σ) − ϕ(σ)),
(R(σ)κ2(σ)σ−2)′P (σ) = 2κ(σ)(ϕ(σ) − σψ(σ));
(9)
2σ2A1P (σ) = (C3 − C2)ψ(σ)κ(σ) + (B3κ(σ)−B2ψ(σ))σ + (A2 −A3)σ
2; (10)
A2Q
′(σ)P (σ) = 2[(C1 − C3)ϕ(σ)κ(σ) + (B1ϕ(σ) −B3κ(σ)σ+
+ (A3 −A1)σ
2 − λ1)σ − s1κ(σ)],
A3R
′(σ)P (σ) = 2[(C2 − C1)ϕ(σ)ψ(σ) − (B1ϕ(σ)−B2ψ(σ)σ+
+ (A2 −A1)σ
2 − λ1)σ + s1ψ(σ)];
(11)
(ϕ2(σ) − 1)σ2 +Q(σ)ψ2(σ) +R(σ)κ2(σ) = 0. (12)
В уравнениях (7), (9), (11) штрихом обозначено дифференцирование по неза-
висимой переменной σ. Если функции Q(σ), R(σ), ϕ(σ), ψ(σ), κ(σ) опреде-
лены, то зависимость σ от времени устанавливается из дифференциального
уравнения (8).
2. Одно новое частное решение. Рассмотрим случай, когда в (6)
n = m = 3, а l = n1 = m1 = 2. Тогда
ω1 = σ2, ω2
2 = Q(σ) = b3σ
3 + b2σ
2 + b1σ + b0,
ω2
3 = R(σ) = c3σ
3 + c2σ
2 + c1σ + c0,
ν1 = ϕ(σ) = a2σ
2 + a1σ + a0, ν2 = ψ(σ)σ−1ω2, ν3 = κ(σ)σ−1ω3,
ψ(σ) = g2σ
2 + g1σ + g0, κ(σ) = f2σ
2 + f1σ + f0.
(13)
Подставим полиномы ϕ(σ), ψ(σ), κ(σ) из (13) в динамическое уравнение
(10). Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях многочленов, сто-
ящих в левых и правых частях рассматриваемого уравнения, заключаем, что
(10) при a1 6= 0 может быть тождеством по σ только при выполнении условий
C2 = C3, B3f0 −B2g0 = 0. (14)
С учетом (14) динамическое уравнение (10) упрощается:
P (σ) = (d1σ + d0)(2A1)
−1,
d1 = B3f2 −B2g2, d0 = B3f1 −B2g1 +A2 −A3.
(15)
Соотношение (15) позволяет упростить другие уравнения исследуемой си-
стемы (9), (11). Исключим функцию P (σ) из уравнений (9), (11). Затем под-
ставим в упрощенные уравнения и уравнения в (7), (12), (15) полиномы из
31
А.В. Зыза
(13). Требования того, чтобы полученные равенства при условиях (14) были
тождествами по σ, приводит к следующей системе уравнений на параметры
задачи и коэффициенты решения (13):
A1(g2 − f2)− a2d1 = 0, 2A1(g1 − f1)− 2a2d0 − a1d1 = 0,
2A1(g0 − f0)− a1d0 = 0, γ5d1 + 4A1g2 = 0,
γ5d0 + γ4d1 − 4A1(a2 − g1) = 0, γ4d0 + γ3d1 − 4A1(a1 − g0) = 0,
δ5d1 − 4A1f2 = 0, δ5d0 + δ4d1 − 4A1(f1 − a2) = 0,
δ4d0 + δ3d1 − 4A1(f0 − a1) = 0, γ3d0 + γ2d1 − 4A1a0 = 0,
γ2d0 + γ1d1 = 0, γ1d0 + γ0d1 = 0, γ0d0 = 0,
δ3d0 + δ2d1 + 4A1a0 = 0, δ2d0 + δ1d1 = 0, δ1d0 + δ0d1 = 0, δ0d0 = 0,
(B2 − βa2)g2 = 0, (B3 − βa2)f2 = 0,
3c3d1A3 + 4A1(β(a2g1 + a1g2) +B1a2 −B2g1 +A2 −A1) = 0,
3b3d1A1 − 4A1(β(a2f1 + a1f2) +B1a2 −B3f1 +A3 −A1) = 0,
A3(3c3d0 + 2c2d1) + 4A1(β(a2g0 + a1g1 + a0g2)+
+B1a1 −B2g0 − s1g2) = 0,
A2(3b3d0 + 2b2d1)− 4A1(β(a2f0 + a1f1 + a0f2)+
+B1a1 −B3f0 − s1f2) = 0,
A3(2c2d0 + c1d1) + 4A1(β(a1g0 + a0g1) +B1a0 − s1g1 − λ1) = 0,
A2(2b2d0 + b1d1)− 4A1(β(a1f0 + a0f1) +B1a0 − s1f1 − λ1) = 0,
A3c1d0 + 4A1(βa0 − s1)g0 = 0,
A2b1d0 − 4A1(βa0 − s1)f0 = 0,
a20 − 1 + (b2g0 + 2b1g1)g0 + (2g2g0 + g21)b0+
+(c2f0 + 2c1f1)f0 + (2f2f0 + f21 )c0 = 0.
(16)
Здесь γ0 = −2c0f0, γ1 = −c1f0, γ2 = 2c0f2 + c1f1,
γ3 = c3f0 + 2c2f1 + 3c1f2, γ4 = 3c3f1 + 4c2f2, γ5 = 5c3f2,
δ0 = −2b0g0, δ1 = −b1g0, δ2 = 2b0g2 + b1g1,
δ3 = b3g0 + 2b2g1 + 3b1g2, δ4 = 3b3g1 + 4b2g2, δ5 = 5b3g2, β = C1 − C3.
Система алгебраических уравнений (14), (16) разрешима относительно па-
раметров A1, A3, B3, a0. Считая p = A3A
−1
1
, η = 260p4 − 1216p3 + 1841p2−
−1139p + 250, запишем соотношения (14) и решение системы (16) в виде
C2 = C3, β = −B2
3A
−1
1
, B1 = −1
5
B3, B2 = B3, A2 =
5p− 3
8p− 5
A1,
f1 =
(240p3 − 514p2 + 387p − 100 +
√
5η)A1
(240p2 − 344p + 125)B3
, f0 = 0,
32
О полиномиальных решениях уравнений движения гиростата
a2 = −A1B
−1
3
, a1 = −(2p− 1)A2
1(B
2
3f2)
−1, d1 =
2(4p − 3)B3f2
8p − 5
,
b3 =
2A1(8p− 5)2
5(4p − 3)B3f2
,
b2 =
A1(8p − 5)2((12p2 − 15p + 7)A1 − 2(6p − 5)B3f1)
5(4p − 3)(B3f2)2
,
b1 =
2A1(8p − 5)2
15(4p − 3)(B3f2)3
[2(8p − 5)(6p − 5)(B3f1)
2 − (192p3 − 380p2+
+267p − 65)A1B3f1 + (2p − 1)(48p3 − 96p2 + 73p − 16)A2
1],
b0 =
A1(8p − 5)2
15(4p − 3)(B3f2)4
[−2(8p − 5)2(6p − 5)(B3f1)
3 + (8p − 5)(288p3−
−580p2 + 403p − 95)A1(B3f1)
2 − (2p − 1)2(576p3 − 1264p2+
+1004p − 275)A2
1B3f1 + (2p − 1)2(4p − 3)(48p3 − 96p2+
+73p − 16)A3
1 − 15B3
3f
2
2a0],
c3 = − 2A1
5(4p − 3)B3f2
, c2 =
A1(5(4p
2 − 9p + 4)A1 − 2(10p − 7)B3f1)
5(4p − 3)(B3f2)2
,
c1 = − 2A1
15(4p − 3)(B3f2)3
[2(7 − 10p)(B3f1)
2+
+5(4p2 − 9p+ 4)A1B3f1 + 5(2p − 1)(8p − 5)A2
1],
c0 =
A1
15(4p − 3)B3
3
f4
2
[2(7− 10p)B2
3f
3
1 + 5(4p2 − 9p + 4)A1B3f
2
1+
+5(2p − 1)(8p − 5)A2
1f1 + 15(8p − 5)(B3f2)
2a0],
g2 =
f2
8p − 5
, g1 = −(2p− 1)(4p − 3)A1 + (5− 8p)B3f1
(8p − 5)B3
, g0 = 0,
s1 = − 1
5A1B3f
2
2
[−(60p2 − 76p + 25)A2
1B3f1+
+(60p3 − 111p2 + 78p − 20)A3
1 + 5B3
3f
2
2a0],
λ1 = − 1
15(8p − 5)(B3f2)2
[(1440p3 − 2744p2 + 1754p − 375)A1(B3f1)
2−
−(2880p4 − 7208p3 + 7002p2 − 3104p + 525)A2
1B3f1 + (2p− 1)(720p4−
−1872p3 + 1975p2 − 967p + 180)A3
1 + 3(8p − 5)B3
3f
2
2a0].
(17)
Здесь f2 – отличный от нуля действительный корень уравнения
∆2f
4
2 +∆1f
2
2 +∆0 = 0,
а
∆2 = 15(a20 − 1)B6
3 ;
33
А.В. Зыза
∆1 = (2(5 − 8p)((2p − 1)A1 −B3f1)B3f1+
+(2p − 1)2(4p − 3)A2
1)(−15A1B
3
3a0);
∆0 = A1((2p − 1)4(4p− 3)2(48p3 − 96p2 + 73p − 16)A5
1−
−B3f1[5(2p − 1)3(4p− 3)(384p4 − 1024p3 + 1080p2 − 508p + 87)A4
1−
−5(2p − 1)3(8p− 5)(384p3 − 848p2 + 672p − 183)A3
1B3f1+
+20(2p − 1)(8p − 5)(384p4 − 1008p3 + 1016p2 − 459p + 78)(A1B3f1)
2+
+5(−12288p5 + 38912p4 − 49536p3 + 31616p2 − 10104p + 1293)A1(B3f1)
3+
+8(4p − 3)2(96p2 − 104p + 29)(B3f1)
4]).
Решение (13) при условиях (17) будет действительным, если
η > 0, A2 > 0, b0 > 0, c0 > 0, ∆2
1 > 4∆2∆0, ∆2∆1 < 0. (18)
Зависимость σ от времени находим из (8)
.
σ =
d1
2A1
√
(b3σ3 + b2σ2 + b1σ + b0)(c3σ3 + c2σ2 + c1σ + c0). (19)
Приведем числовой пример решения (13), (17)–(19) уравнений (3), (4).
Пусть a > 0, b > 0 и
A2 =
5
7
A1, A3 =
4
5
A1, A1 = a,
B1 = −B3
5
, B2 = B3 = b, C2 = C3, β = −b
2
a
, η0 =
√
118.
(20)
λ =
(
−32719265 + 2770021η0
107471875(bf)2
a3, 0, 0
)
, s =
(
14579η0 − 3272715
21494375bf2
a2, 0, 0
)
;
(21)
ω1 = σ2, ω2
2 = Q(σ) =
7
25
(
14a
bf
σ3 +
7(263 + 2η0)a
2
85(bf)2
σ2−
−14(3232 + 689η0)a
3σ
7225(bf)3
+
9(70855 + 6719η0)a
4
614125(bf)4
)
,
ω2
3 = R(σ) = −2a
bf
σ3 − 2(224 + 5η0)a
2
85(bf)2
σ2+
+
2(4993 + 1040η0)a
3
7225(bf)3
σ +
9(70855 + 6719η0)a
4
0
3070625(bf)4
,
ν1 = −a
b
σ2 − 3a2
5b2f
σ +
(5902615 + 642896η0)a
3
21494375b3f2
;
ν2 =
(
5f
7
σ +
(113 + 7η0)a
119b
)
√
Q(σ), ν3 =
(
fσ +
(88 + 5η0)a
85b
)
√
R(σ).
(22)
34
О полиномиальных решениях уравнений движения гиростата
Здесь
f = −3
√
7
175
(
232942943249046046
700280639945138 − 64436115905755η0
)1/4
a
√
a
b
√
b
.
Так как зависимость σ = σ(t) находится из уравнения
.
σ =
bf
7a
√
Q(σ)R(σ), (23)
то действительность решения (20)–(23) вытекает из условия, что функции
Q(σ) и R(σ) в (22), (23) при σ = 0 – положительны. При этом σ(t) – функция
времени, полученная в результате обращения гиперэллиптического интегра-
ла.
Приведенный пример (22), (23) характеризуется двумя произвольными
положительными параметрами a и b. Зависимость всех переменных задачи
от времени устанавливается подстановкой σ = σ(t) в равенства (22).
3. Второе новое частное решение. Случай n = 3, m = 4, l = 2,
n1 = m1 = 1. Пусть теперь полиномы решения (6) имеют вид
ω1 = σ2, ω2
2 = Q(σ) = b3σ
3 + b2σ
2 + b1σ + b0,
ω2
3 = R(σ) = c4σ
4 + c3σ
3 + c2σ
2 + c1σ + c0,
ν1 = ϕ(σ) = a2σ
2 + a1σ + a0, ν2 = ψ(σ)σ−1ω2, ν3 = κ(σ)σ−1ω3,
ψ(σ) = g1σ + g0, κ(σ) = f1σ + f0.
(24)
Подставим значения для компонент векторов ω,ν из (24) в уравнения
(7), (9)–(12) и потребуем выполнения их при всех σ. Это требование при
a1 6= 0, g0 6= 0, f0 6= 0 приводит к алгебраической системе на параметры
задачи и решения (24):
C2 = C3, β0 = C1 − C3, µ = B3f1 −B2g1 +A2 −A3, a2 − f1 = 0,
B3f0 −B2g0 = 0, A1(g1 − f1)− a2µ = 0, 2A1(g0 − f0)− a1µ = 0,
3b3g1µ− 4A1(f0 − a1) = 0, (2b2g1 + b3g0)µ + 4A1a0 = 0, b1 = 0,
b0 = 0, c4f1µ−A1(a2 − g1) = 0, (2c4f0 + 3c3f1)µ− 4A1(a1 − g0) = 0,
(c3f0 + 2c2f1)µ − 4A1a0 = 0, c1 = 0, c0 = 0.
β0a2f1 +B1a2 −B3f1 +A3 −A1 = 0, β0a0 − s1 = 0,
3b3A2µ− 4A1(β0(a2f0 + a1f1) +B1a1 −B3f0) = 0,
b2A2µ− 2A1(β0(a1f0 + a0f1) +B1a0 − λ1 − s1f1) = 0,
c4A3µ−A1(−β0a2g1 −B1a2 +B2g1 +A1 −A2) = 0,
3c3A3µ− 4A1(−β0(a2g0 + a1g1)−B1a1 +B2g0) = 0,
c2A3µ− 2A1(−β0(a1g0 + a0g1)−B1a0 + λ1 + s1g1) = 0,
a20 − 1 + b2g
2
0 + c2f
2
0 = 0.
(25)
35
А.В. Зыза
Считая свободными параметрами A2, A3, g1, f1 запишем решение системы (25)
g1
f1
= k,
A2
A3
= p0, C2 = C3, β0 =
(k2 − 3k + 2p0)µ2A2
k(k − 1)µ1f21
,
A1 =
((p0 + 4)k4 − 13p0k
3 + (2p0 + 7)p0k
2 + (4p0 − 3)p0k − 2p2
0
)A3
k(k − 1)µ1
,
B1 = −k
5 − 2k4 + (5p0 − 3)k3 + 6p0(1− 2p0)k
2 + 3p0(4p0 − 1)k − 4p2
0
)A3
k(k − 1)µ1f1
,
B2 = −2(k2 − 2p0k + p0)µ3A3
k2(k − 1)µ1f1
,
B3 =
(k2 − 2p0k + p0)(k
3 − 2k2 − (4p0 + 3)k + 8p0)A3
k(k − 1)µ1f1
,
λ1 = − µ2A3f
2
0
2k(k − 1)(k − p0)µ1µ
2
3
f2
1
{k10 − 4(p0 + 1)k9 + (3p20 + 26p0+
+18)k8 − 2(13p20 + 64p0 + 18)k7 + (6p30 + 178p20 + 292p0 − 27)k6−
−2p0(43p
2
0 + 316p0 − 30)k5 + 3p0(212p
2
0 + 53p0 − 18)k4−
−2p20(104p
2
0 + 290p0 + 3)k3 + 2p20(160p
2
0 + 171p0 + 18)k2−
−6p30(40p0 + 21)k + 80p40}, s1 = β0ξ1f
2
0 ,
a2 = f1, a1 = −µ1µ−1
3
f0, a0 = ξ1f
2
0 ,
b3 =
4µ2f0
k(k − 1)µ3f1
, b2 = ξ2f
2
0 , b1 = 0, b0 = 0,
c4 = −1, c3 =
2(k − 3)µ2f0
(k − 1)µ3f1
, c2 = ξ3f
2
0 , c1 = 0, c0 = 0, g0 = ξ4f0.
(26)
Здесь µ1 = k3 + 3k2 − 10p0k + 6p0,
µ2 = k3 + (1− p0)k
2 − 2p0k + p0,
µ3 = 2k3 − 3p0k
2 + 4p0k − 3p0;
ξ1 =
(k5 − 3(p0 + 2)k4 + (20p0 + 9)k3 − 55p0k
2 + 6p0(4p0 + 5)k − 20p2
0
)µ2
2(k − p0)µ
2
3
f1
,
ξ2 = −(k5 − (3p0 + 7)k4 + (21p0 + 11)k3 + (3− 53p0)k
2 + (20p0 + 19)p0k − 12p2
0
)µ2
k(k − 1)(k − p0)µ23f
2
1
,
ξ3 = −(k5 − 2p0k
4 + (3p2
0
− p0 − 9)k3 − (13p0 − 40)p0k
2 − 3p0(3p0 + 7)k + 11p2
0
)µ2
(k − 1)(k − p0)µ23f
2
1
,
ξ4 = −k(k3 − 2k2 − (4p0 + 3)k + 8p0)(2µ3)
−1; f0 = (ξ21 + ξ2ξ
2
4 + ξ3)
−
1
4 .
36
О полиномиальных решениях уравнений движения гиростата
Зависимость вспомогательной переменной σ от времени получим из диф-
ференциального уравнения (8)
.
σ =
µ
2A1
σ
√
(b3σ + b2)(c4σ2 + c3σ + c2). (27)
Рассмотрим числовой пример действительного решения (24), (26), (27)
уравнений (3), (4). Пусть a > 0, b > 0 и
A1 =
46
27
A2, A3 =
10
9
A2, A2 = a, p0 =
9
10
, k =
3
2
,
B1 = − b
27
, B2 = −20
27
b, B3 = −17
27
b, C2 = C3, β0 = − 4b2
27a
,
µ =
23
27
a, f =
(
33750
2659
)1/4 √
a√
b
;
λ =
(
154
2025
b2f2
a
, 0, 0
)
, s =
(
64
2025
b3f2
a2
, 0, 0
)
.
(28)
ω1 = σ2, ω2 = σ
√
Q∗(σ), ω3 = σ
√
R∗(σ),
Q∗(σ) =
8
675
bf
a2
(120aσ + 7bf), R∗(σ) = −σ2 − 8bf
5a
σ − 2(bf)2
75a2
,
ν1 =
2a
b
σ2 − 3f
5
σ − 16bf2
75a
,
ν2 =
(
3a
b
σ +
17f
20
)
√
Q∗(σ), ν3 =
(
2a
b
σ + f
)
√
R∗(σ);
(29)
.
σ =
1
4
σ
√
Q∗(σ)R∗(σ), (30)
где − 7bf
120a
< σ <
(
√
138− 12)bf
15a
. На указанном интервале функции Q∗(σ)
и R∗(σ) принимают положительные значения. Следовательно, действитель-
ность этому решению обеспечена.
В приведенном примере (28)–(30) решения дифференциальных уравнений
(3), (4) присутствуют произвольные положительные параметры a и b. Функ-
ция σ = σ(t) получается обращением эллиптического интеграла Лежандра
третьего рода, полученного из (30). Это позволяет установить из (29) зави-
симость от времени всех переменных задачи.
Итак, найдено два новых частных решения полиномиального вида урав-
нений Кирхгофа–Пуассона задачи о движении гиростата под действием по-
тенциальных и гироскопических сил. Каждое из найденных решений зависит
от четырех независимых параметров: первое – от A1, A3, B3, a0, а второе – от
A2, A3, g1, f1 и выражается в эллиптических функциях времени, полученных,
соответственно, в результате обращения гиперэллиптического и эллиптиче-
ского интегралов.
37
А.В. Зыза
1. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд-во НГУ, 1965.
– 221 c.
2. Гашененко И.Н., Горр Г.В., Ковалев А.М. Классические задачи динамики твердого
тела. – Киев: Наук. думка, 2012. – 401 с.
3. Горр Г.В., Зыза А.В. Полиномиальные решения в одной задаче о движении гиростата
с неподвижной точкой // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 1998. – № 6. – С. 12-21.
4. Зыза А.В. Один случай полиномиальных решений уравнений Кирхгофа–Пуассона
// Механика твердого тела. – 2010. – Вып. 40. – С. 103-109.
5. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – До-
нецк: Изд-во ДонНУ, 2010. – 364 с.
6. Зыза А.В. Об одном классе полиномиальных решений уравнений Кирхгофа // Вiсн.
Донецького ун-ту. Сер. А: Природничi науки. – 2006. – № 1. – С. 40-46.
7. Зыза А.В. Новое решение уравнений движения гиростата под действием потенциаль-
ных и гироскопических сил // Тр. ИПММ НАН Украины. – 2012. – 25. – С. 92–99.
8. Харламов П.В., Мозалевская Г.В., Лесина М.Е. О различных представлениях урав-
нений Кирхгофа // Механика твердого тела. – 2001. – Вып. 31. – С. 3–17.
A.V. Zyza
On polynomial solutions with the quadratic invariant relation of the motion
equations of a gyrostat
In this paper, the existence conditions for polynomial solutions of the differential equations of
gyrostat motion under the potential and gyroscopic forces are studied. Two new solutions with
quadratic relation that is invariant with respect to the auxiliary variable are obtained for the
mentioned equations. This auxiliary variable is expressed in terms of inversions of elliptic and
hyperelliptic integrals.
Keywords: polynomial solutions, the Kirchhoff–Poisson equation, gyrostat, invariant relation,
potential and gyroscopic forces.
О.В. Зиза
Про полiномiальнi розв’язки з квадратичним iнварiантним спiввiдношен-
ням рiвнянь руху гiростата
Дослiджено умови iснування полiномiальних розв’язкiв диференцiальних рiвнянь задачi
про рух гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил. Отримано два новi частиннi
розв’язки цих рiвнянь з квадратичними iнварiантними спiввiдношеннями за допомiжною
змiнною, яка виражається у виглядi функцiй, отриманих оберненням гiперелiптичного та
елiптичного iнтегралiв.
Ключовi слова: полiномiальнi розв’язки, рiвняння Кiрхгофа–Пуассона, гiростат, iнва-
рiантнi спiввiдношення, потенцiальнi i гiроскопiчнi сили.
Донецкий национальный ун-т
3bl3a@mail.ru
Получено 01.10.13
38
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72637 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:40:53Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Зыза, А.В. 2014-12-27T13:10:12Z 2014-12-27T13:10:12Z 2013 О полиномиальных решениях с квадратичным инвариантным соотношением уравнений движения гиростата / А.В. Зыза // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 29-38. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72637 531.38 Исследованы условия существования полиномиальных решений дифференциальных уравнений задачи о движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил. Построено два новых частных решения рассматриваемых уравнений с квадратичными инвариантными соотношениями по вспомогательной переменной, которая выражается в виде функций, полученных обращением гиперэллиптических и эллиптических интегралов. Дослiджено умови iснування полiномiальних розв’язкiв диференцiальних рiвнянь задачi про рух гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил. Отримано два новi частиннi розв’язки цих рiвнянь з квадратичними iнварiантними спiввiдношеннями за допомiжною змiнною, яка виражається у виглядi функцiй, отриманих оберненням гiперелiптичного та елiптичного iнтегралiв. In this paper, the existence conditions for polynomial solutions of the differential equations of gyrostat motion under the potential and gyroscopic forces are studied. Two new solutions with quadratic relation that is invariant with respect to the auxiliary variable are obtained for the mentioned equations. This auxiliary variable is expressed in terms of inversions of elliptic and hyperelliptic integrals. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела О полиномиальных решениях с квадратичным инвариантным соотношением уравнений движения гиростата Про полiномiальнi розв’язки з квадратичним iнварiантним спiввiдношенням рiвнянь руху гiростата On polynomial solutions with the quadratic invariant relation of the motion equations of a gyrostat Article published earlier |
| spellingShingle | О полиномиальных решениях с квадратичным инвариантным соотношением уравнений движения гиростата Зыза, А.В. |
| title | О полиномиальных решениях с квадратичным инвариантным соотношением уравнений движения гиростата |
| title_alt | Про полiномiальнi розв’язки з квадратичним iнварiантним спiввiдношенням рiвнянь руху гiростата On polynomial solutions with the quadratic invariant relation of the motion equations of a gyrostat |
| title_full | О полиномиальных решениях с квадратичным инвариантным соотношением уравнений движения гиростата |
| title_fullStr | О полиномиальных решениях с квадратичным инвариантным соотношением уравнений движения гиростата |
| title_full_unstemmed | О полиномиальных решениях с квадратичным инвариантным соотношением уравнений движения гиростата |
| title_short | О полиномиальных решениях с квадратичным инвариантным соотношением уравнений движения гиростата |
| title_sort | о полиномиальных решениях с квадратичным инвариантным соотношением уравнений движения гиростата |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72637 |
| work_keys_str_mv | AT zyzaav opolinomialʹnyhrešeniâhskvadratičnyminvariantnymsootnošeniemuravneniidviženiâgirostata AT zyzaav propolinomialʹnirozvâzkizkvadratičniminvariantnimspivvidnošennâmrivnânʹruhugirostata AT zyzaav onpolynomialsolutionswiththequadraticinvariantrelationofthemotionequationsofagyrostat |