Движения гироскопа Гесса в параметрах Родрига–Гамильтона
Уравнения движения твердого тела, имеющего неподвижную точку, записаны в специальных осях с использованием параметров Родрига - Гамильтона. Рассмотрена задача построения решения этих уравнений, соответствующего решению Гесса. Поставленная задача сведена к дифференциальному уравнению второго порядка...
Gespeichert in:
| Datum: | 2013 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72638 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Движения гироскопа Гесса в параметрах Родрига–Гамильтона / Д.А. Данилюк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 39-45. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72638 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-726382025-02-23T19:49:11Z Движения гироскопа Гесса в параметрах Родрига–Гамильтона Рухи гiроскопа Гесса в параметрах Родрiга–Гамiльтона The motion of the Hess gyroscope in the Rodrigues-Hamilton parameters Данилюк, Д.А. Уравнения движения твердого тела, имеющего неподвижную точку, записаны в специальных осях с использованием параметров Родрига - Гамильтона. Рассмотрена задача построения решения этих уравнений, соответствующего решению Гесса. Поставленная задача сведена к дифференциальному уравнению второго порядка и в дальнейшем - к соотношениям, связывающим параметры Родрига - Гамильтона. Для случая нулевой постоянной интеграла площадей решение задачи выражено через эллиптические функции времени. Рiвняння руху твердого тiла, що має нерухому точку, записано в спецiальних вiсях з використаннямпараметрiв Родрiга–Гамiльтона. Розглянуто задачу побудови розв’язку цих рiвнянь, який вiдповiдає розв’язку Гесса. Поставлену задачу зведено до диференцiального рiвняння другого степеня i надалi – до спiввiдношень, що зв’язують параметри Родрiга–Гамiльтона. Для випадку нульової постiйної iнтеграла площ розв’язок задачi виражено через елiптичнi функцiї часу. The equations of motion for a rigid body with a fixed point are recorded in terms of the tensor components referred to some special basis using the Rodrigues–Hamilton parameters. The objective is to obtain a solution of these equations that corresponds to the Hess solution. The posed problem is reduced to the second-order differential equation and relations between the Rodrigues–Hamilton parameters. When the constant of the area integral is zero, the solution is expressed by elliptic functions. 2013 Article Движения гироскопа Гесса в параметрах Родрига–Гамильтона / Д.А. Данилюк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 39-45. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72638 531.38 ru Механика твердого тела application/pdf Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Уравнения движения твердого тела, имеющего неподвижную точку, записаны в специальных осях с использованием параметров Родрига - Гамильтона. Рассмотрена задача построения решения этих уравнений, соответствующего решению Гесса. Поставленная задача сведена к дифференциальному уравнению второго порядка и в дальнейшем - к соотношениям, связывающим параметры Родрига - Гамильтона. Для случая нулевой постоянной интеграла площадей решение задачи выражено через эллиптические функции времени. |
| format |
Article |
| author |
Данилюк, Д.А. |
| spellingShingle |
Данилюк, Д.А. Движения гироскопа Гесса в параметрах Родрига–Гамильтона Механика твердого тела |
| author_facet |
Данилюк, Д.А. |
| author_sort |
Данилюк, Д.А. |
| title |
Движения гироскопа Гесса в параметрах Родрига–Гамильтона |
| title_short |
Движения гироскопа Гесса в параметрах Родрига–Гамильтона |
| title_full |
Движения гироскопа Гесса в параметрах Родрига–Гамильтона |
| title_fullStr |
Движения гироскопа Гесса в параметрах Родрига–Гамильтона |
| title_full_unstemmed |
Движения гироскопа Гесса в параметрах Родрига–Гамильтона |
| title_sort |
движения гироскопа гесса в параметрах родрига–гамильтона |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2013 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72638 |
| citation_txt |
Движения гироскопа Гесса в параметрах Родрига–Гамильтона / Д.А. Данилюк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 39-45. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT danilûkda dviženiâgiroskopagessavparametrahrodrigagamilʹtona AT danilûkda ruhigiroskopagessavparametrahrodrigagamilʹtona AT danilûkda themotionofthehessgyroscopeintherodrigueshamiltonparameters |
| first_indexed |
2025-11-24T19:32:26Z |
| last_indexed |
2025-11-24T19:32:26Z |
| _version_ |
1849701429495726080 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2013. Вып. 43
УДК 531.38
c©2013. Д.А. Данилюк
ДВИЖЕНИЯ ГИРОСКОПА ГЕССА
В ПАРАМЕТРАХ РОДРИГА–ГАМИЛЬТОНА
Уравнения движения твердого тела, имеющего неподвижную точку, записаны в специаль-
ных осях с использованием параметров Родрига–Гамильтона. Рассмотрена задача построе-
ния решения этих уравнений, соответствующего решению Гесса. Поставленная задача све-
дена к дифференциальному уравнению второго порядка и в дальнейшем – к соотношениям,
cвязывающим параметры Родрига–Гамильтона. Для случая нулевой постоянной интеграла
площадей решение задачи выражено через эллиптические функции времени.
Ключевые слова: решение Гесса, параметры Родрига–Гамильтона, углы Эйлера.
Введение. Задача о колебаниях твердого тела, имеющего неподвижную
точку и находящегося в поле силы тяжести, играет важную роль в динамике
твердого тела. Значительный вклад в ее решение внесли работы [1, 2], в ко-
торых рассматривались нелинейные колебания около устойчивого положения
равновесия. В последние годы исследование этих вопросов продолжено с при-
менением параметров Родрига–Гамильтона [3]. Настоящая работа опирается
на исследования [3, 4] и использует, в дополнение к специальной неподвижной
системе координат, специальные подвижные оси [5], успешно примененные в
статье [2]. Уравнения движения твердого тела записаны в специальных осях
в параметрах Родрига–Гамильтона. Для изучения колебаний в общем случае
выбран гироскоп Гесса, движение которого удобно рассматривать в специаль-
ной подвижной системе координат. В случае, когда постоянная k интеграла
кинетического момента равна нулю, движения, соответствующие решению
Гесса, носят колебательный характер [4]. Построено аналитическое решение
поставленной задачи через эллиптические квадратуры в виде соотношений,
связывающих параметры Родрига–Гамильтона.
1. Постановка задачи. Для описания движения твердого тела, имею-
щего неподвижную точку и находящегося в поле силы тяжести, в каче-
стве подвижной системы координат, жестко связанной с телом, выбирает-
ся специальная система координат, введенная П.В. Харламовым [5]. Обо-
значим через x, y, z проекции вектора момента количества движения тела
(кинетического момента) на выбранные оси; ωi, νi, ei, i = 1, 2, 3 – проекции
на эти оси векторов угловой скорости, единичного вектора вертикали, на-
правленного вверх, и единичного вектора e, идущего из неподвижной точ-
ки в центр масс тела; a, a1, a2, b1, b2 – компоненты гирационного тензора в
специальных осях; Γ – произведение веса тела на расстояние между цент-
ром масс и неподвижной точкой. Начало координат берется в неподвиж-
ной точке, первая ось проводится через центр масс тела, вторая и третья
оси направляются так, чтобы выражение кинетической энергии имело вид
2T = ax2 + a1y
2 + a2z
2 + 2x(b1y + b2z).
39
Д.А. Данилюк
В качестве неподвижной системы, следуя [4], выберем декартову систему
координат с центром в неподвижной точке таким образом, чтобы проекции
ν ′
i вектора ν на эти оси имели значения ν ′
i = −ei, i = 1, 2, 3. Ее положение
задается по таблице направляющих косинусов углов между неподвижной и
специальной системами координат [6] через углы Эйлера ψ, ϑ, ϕ. Для фазовых
переменных ωi, νi в специальной системе координат принимаем следующие
выражения [5]:
ν1 = cosϑ, ν2 = sinϕ sinϑ, ν3 = cosϕ sin ϑ;
ω1 = ax+ b1y + b2z, ω2 = a1y + b1x, ω3 = a2z + b2x.
(1)
Для введеных по Лурье [6] параметров Родрига–Гамильтона λ0, λ1, λ2, λ3 с
помощью соответствующей им таблицы косинусов имеем
ν1 = λ20 + λ23 − λ21 − λ22, ν2 = 2(−λ0λ2 + λ1λ3), ν3 = 2(λ0λ1 + λ2λ3). (2)
Дифференциальные уравнения движения получим, подставив формулы (1),
(2) в динамические уравнения П.В.Харламова [5]
ẋ = y(a2z + b2x)− z(a1y + b1x),
ẏ = z(ax+ b1y + b2z)− x(a2z + b2x)− 2Γ(−λ0λ2 + λ1λ3),
ż = −y(ax+ b1y + b2z) + x(a1y + b1x) + 2Γ(λ0λ1 − λ2λ3)
(3)
и в кинематические уравнения для параметров Родрига–Гамильтона [6]
2λ̇0 = −λ1(ax+ b1y + b2z)− λ2(a1y + b1x)− λ3(a2z + b2x),
2λ̇1 = λ0(ax+ b1y + b2z) + λ2(a2z + b2x)− λ3(a1y + b1x),
2λ̇2 = λ0(a1y + b1x) + λ3(ax+ b1y + b2z)− λ1(a2z + b2x),
2λ̇3 = λ0(a2z + b2x) + λ1(a1y + b1x)− λ2(ax+ b1y + b2z).
(4)
Уравнения (3), (4) допускают три первых интеграла: энергии, постоянства
кинетического момента и геометрический:
ax2 + a1y
2 + a2z
2 + 2(b1y + b2z)x− 2Γ(λ2
0
+ λ2
3
− λ2
1
− λ2
2
) = 2E,
x(λ2
0
+ λ2
3
− λ2
1
− λ2
2
) + 2y(−λ0λ2 + λ1λ3) + 2z(λ0λ1 + λ2λ3) = k,
λ2
0
+ λ2
1
+ λ2
2
+ λ2
3
= 1.
2. Гироскоп Гесса. Гироскоп Гесса характеризуется следующим рас-
пределением масс:
a1 = a2 = a∗, b2 = 0. (5)
При условиях (5) В. Гессом было найдено инвариантное соотношение для си-
стемы (3), (4):
x = 0. (6)
40
Движения гироскопа Гесса в параметрах Родрига–Гамильтона
При b1 = 0 приходим к случаю Лагранжа, поэтому в дальнейшем считаем
b1 6= 0. Пусть b1 > 0. Введем безразмерные переменные
y =
√
Γ
b1
y′, z =
√
Γ
b1
z′, ωi = a∗
√
Γ
b1
ω′
i, t =
τ√
Γb1
и параметры
c =
2b1
a∗
, h =
E
Γ
, k′ = 2k
√
b1
Γ
.
Тогда уравнения (3), (4) примут следующий вид (для сокращения записи
штрихи у безразмерных величин опускаем)
ẏ = yz − 2(−λ0λ2 + λ1λ3), ż = −y2 + 2(λ0λ1 + λ2λ3),
cλ̇0 = −
( c
2
λ1 + λ2
)
y − λ3z, cλ̇1 =
( c
2
λ0 − λ3
)
y + λ2z,
cλ̇2 =
(
λ0 +
c
2
λ3
)
y − λ1z, cλ̇3 =
(
λ1 −
c
2
)
y + λ0z,
y2 + z2 − c(λ2
0
+ λ2
3
− λ2
1
− λ2
2
) = ch,
2y(−λ0λ2 + λ1λ3) + 2z(λ0λ1 + λ2λ3) = k, λ2
0
+ λ2
1
+ λ2
2
+ λ2
3
= 1,
(7)
а компоненты вектора угловой скорости равны
ω1 =
c
2
y, ω2 = y, ω3 = z. (8)
Выразив величины b1 и a∗ через компоненты тензора инерции и применив
неравенства, связывающие моменты инерции, получим, что областью изме-
нения параметра c является интервал (0, 2].
Первые два уравнения системы (7), введя полярные координаты
y = ρ cosϕ, z = ρ sinϕ, преобразуем в систему двух дифференциальных
уравнений [7], где зависимость ρ от ϕ определяется из уравнения
dϕ
dρ
=
ρ3 cosϕ− k
ρ
√
ρ2
[
1−
(
ρ2
c − h
)2
]
− k2
. (9)
Заменой y = tg
ϕ
2
равенство (9) приводится к уравнению Рикатти [7], сводя-
щегося к линейному дифференциальному уравнению второго порядка, коэф-
фициенты которого есть полиномы от ρ.
3. Случай k=0. При нулевой константе площадей (k = 0) уравнение (9)
интегрируется [7]. В этом случае имеем ρ =
√
c(h+ cos ϑ), где
ϑ =
2
c
[
ln
∣∣∣tg
(ϕ
2
+
π
4
)∣∣∣+ n
]
,
41
Д.А. Данилюк
n – постоянная интегрирования, а значит, известны и компоненты вектора ω
в неподвижной цилиндрической системе координат α, ρ, ϕ, зависящие от λi.
Находим величины λ0, λ1, λ2, λ3, входящие в уравнения (7). Так как при
k = 0 имеем [6, с. 68]
ψ̇ =
2
c sinϑ
(ω2 sinϕ+ ω3 cosϕ) =
2
[
y(−λ0λ2 + λ1λ3) + z(λ0λ1 + λ2λ3)
]
c(λ2
0
+ λ2
1
)(λ2
2
+ λ2
3
)
= 0,
то положим ψ =
π
2
. Тогда получаем соотношения для проекций вектора угло-
вой скорости на оси, связанные с телом [6]:
ω1 =
c
2
ϕ̇, ω2 =
c
2
ϑ̇cosϕ, ω3 = − c
2
ϑ̇sinϕ,
c2
4
ϑ̇2 = ω2
2+ω
2
3 = (y2+z2). (10)
Его проекции на неподвижные оси равны Ω1 =
c
2
ϕ̇ cos ϑ, Ω2 =
c
2
ϕ̇ sinϑ,
Ω3 =
c
2
ϑ̇. Отсюда находим
c
2
ϕ̇ = ω1,
c
2
ϑ̇ = Ω3, ϑ̇2 = c (h+ cos ϑ) , ϕ̇− c
2
ϑ̇ cosϕ = 0. (11)
В итоге справедливы соотношения
Ω2
1 +Ω2
2 = ω2
1, Ω2
3 = ω2
2 + ω2
3, ω1 −
c
2
ω2 = 0, Ω2
3 = c
(
h+
Ω1
ω1
)
.
Так же при ψ =
π
2
получим из таблиц косинусов [6] соотношения, выражаю-
щие углы Эйлера ϑ,ϕ через параметры Родрига–Гамильтона:
sinϑ = 2 (λ0λ2 + λ1λ3) , cos ϑ = λ2
0
+ λ2
3
− λ2
1
− λ2
2
,
sinϕ = λ2
1
+ λ2
3
− λ2
0
− λ2
2
, cosϕ = 2 (λ0λ3 + λ1λ2)
(12)
и равенство
λ0λ1 − λ2λ3 = 0. (13)
Известны следующие уравнения для параметров Родрига–Гамильтона в под-
вижной и неподвижной системах координат [6]:
cλ̇0 = − (ω2λ1 + ω3λ2 + ω1λ3) ,
cλ̇1 = ω2λ0 + ω1λ2 − ω3λ3,
cλ̇2 = ω3λ0 + ω2λ3 − ω1λ1,
cλ̇3 = ω1λ0 + ω3λ1 − ω2λ2;
cλ̇0 = − (Ω2λ1 +Ω3λ2 +Ω1λ3) ,
cλ̇1 = Ω2λ0 +Ω3λ3 − Ω1λ2,
cλ̇2 = Ω3λ0 +Ω2λ2 − Ω2λ3,
cλ̇3 = Ω1λ0 +Ω1λ1 − Ω3λ1.
Отсюда находим геометрический интеграл
λ20 + λ21 + λ22 + λ23 = 1.
42
Движения гироскопа Гесса в параметрах Родрига–Гамильтона
Далее из [6, c. 119] с учетом (11) имеем
ϕ̇ = 2
(
λ0λ̇3 − λ3λ̇0 + λ2λ̇1 − λ1λ̇2
)
, ϑ̇ = 2
(
λ0λ̇2 − λ2λ̇0 + λ1λ̇3 − λ3λ̇1
)
и, следовательно, в силу (13) получаем два уравнения
ϕ̇ = 2
(
λ20 + λ22
)(λ3
λ0
).
, ϑ̇ = 2
(
λ20 + λ23
)(λ2
λ0
).
, (14)
которые, с учетом (12), вместе с уравнением ϕ̇− c
2
ϑ̇ cosϕ = 0 из (11) легко
интегрируются:
λ2
λ0
− tg
{
1
c
lnC0
∣∣∣∣
λ3
λ0
∣∣∣∣
}
= 0, ϑ− ϑ0 =
2
c
lnC0
∣∣∣∣
λ3
λ0
∣∣∣∣,
λ3
λ0
= tg
(ϕ
2
+
π
4
)
.
Продифференцировав tg
ϑ
2
=
λ2
λ0
, в силу (11) находим эллиптическую ква-
дратуру для
λ2
λ0
:
[(
λ2
λ0
).]2
=
c
4
(
1 +
λ2
2
λ2
0
)[
2 + (h− 1)
(
1 +
λ2
2
λ2
0
)]
. (15)
Для λ20 + λ23 = cos2
ϑ
2
имеем аналогичное уравнение
[(
λ20 + λ23
).]2
= c
(
λ20 + λ23
) (
1− λ20 − λ23
) [
h− 1 + 2
(
λ20 + λ23
)]
.
Таким образом, задача свелась к дифференциальному уравнению (15),
которое имеет решение, выражаемое в эллиптических функциях времени.
Воспользуемся результатами и обозначениями работы [8], тогда в случае
h ∈ (−1, 1) получаем
λ̃0 =
√
2
2
(1− thσ)1/2 dnτ, λ̃1 =
√
2
2
(1 + thσ)1/2 κ snτ,
λ̃2 =
√
2
2
(1− thσ)1/2 κ snτ, λ̃3 =
√
2
2
(1 + thσ)1/2 dnτ,
σ = c(ε arccos dnτ − ϑ0), κ =
√
(h+ 1)/2, ε = sgn(snτ), τ = t− t0.
(16)
В случае h > 1 получаем
λ̃0 =
√
2
2
(1− thσ)1/2 сnτ, λ̃1 =
√
2
2
(1 + thσ)1/2 snτ,
λ̃2 =
√
2
2
(1− thσ)1/2 snτ, λ̃3 =
√
2
2
(1 + thσ)1/2 сnτ,
σ = c(arccos сnτ − ϑ0), κ =
√
2/(h + 1), τ = κ−1(t− t0), ε = ±1.
(17)
43
Д.А. Данилюк
Пусть h = 1, тогда имеем движение твердого тела в окрестности неустой-
чивого положения равновесия:
λ̃0 =
√
2
2
(1− thσ)1/2 ch−1 τ, λ̃1 =
√
2
2
(1 + thσ)1/2 th τ,
λ̃2 =
√
2
2
(1− thσ)1/2 th τ, λ̃3 =
√
2
2
(1 + thσ)1/2 ch−1 τ,
σ = c(2arctg{eτ} − ϑ0), τ = t− t0, ε = ±1.
(18)
В формулах κ – модуль эллиптической функции (|κ| < 1), период T не
зависит от параметров c ∈ (0, 2] и ϑ0 ∈ [0,∞).
В работах [3, 4] используется специальная неподвижная система коор-
динат, предназначенная для изучения нормальных колебаний тела в ок-
рестности положения равновесия. Параметры Родрига–Гамильтона λ1, λ2,
λ3, λ4 такой системы связаны с λ̃i из (16)–(18) следующими соотношениями:
λ0 = µ0λ̃0 − µ3λ̃3, λ1 = µ0λ̃1 − µ3λ̃2,
λ2 = µ0λ̃2 − µ3λ̃1, λ3 = µ0λ̃3 + µ3λ̃0,
(19)
где µi [6, с. 110] – параметры конечного поворота системы координат из [8] к
данной, при этом e3 = 0, 2µ0µ3 = −e2, µ2
0
− µ2
3
= −e1, µ2
0
+ µ2
3
= 1.
Итак, получены формулы (16)–(18), выраженные через эллиптические
функции времени, которые описывают движение гироскопа Гесса при нуле-
вой константе площадей и установлена их связь с формулами работ [3, 4].
1. Старжинский В.М. Колебания тяжелого твердого тела с закрепленной точкой около
нижнего положения равновесия в общем случае // Изв. АН СССР. Механика твердого
тела. – 1973. – Вып. 4. – С. 121–128.
2. Илюхин А.А., Ковалев А.М. Нормальные колебания твердого тела около положения
устойчивого равновесия // Механика твердого тела. – 1976. – Вып. 8. – С. 65–71.
3. Ковалев А.М., Данилюк Д.А. Нелинейные колебания тяжелого твердого тела в пара-
метрах Родрига–Гамильтона // Механика твердого тела. – 2004. – Вып. 34. – С. 21–26.
4. Ковалев А.М., Данилюк Д.А. Линейные нормальные колебания твердого тела в пара-
метрах Родрига–Гамильтона // Механика твердого тела. – 2003. – Вып. 33. – С. 3–9.
5. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд. НГУ, 1965. –
221 с.
6. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Физматгиз, 1961. – 824 с.
7. Ковалев А.М. О движении тела в случае Гесса // Механика твердого тела. – 1969. –
Вып. 1. – С. 12–27.
8. Гашененко И.Н. Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае
Гесса // Механика твердого тела. – 2010. – Вып. 40. – С. 12–20.
9. Козлов В.В. Уравнение Гамильтона задачи о движении твердого тела с неподвижной
точкой в избыточных координатах // Теор. и прикл. механика. – 1982. – Вып. 8. –
С. 59–65.
44
Движения гироскопа Гесса в параметрах Родрига–Гамильтона
D.A. Daniljuk
The motion of the Hess gyroscope in the Rodrigues-Hamilton parameters
The equations of motion for a rigid body with a fixed point are recorded in terms of the ten-
sor components referred to some special basis using the Rodrigues–Hamilton parameters. The
objective is to obtain a solution of these equations that corresponds to the Hess solution. The
posed problem is reduced to the second-order differential equation and relations between the
Rodrigues–Hamilton parameters. When the constant of the area integral is zero, the solution is
expressed by elliptic functions.
Keywords: the Hess solution, the Rodrigues–Hamilton parameters, Euler’s angles.
Д.А. Данилюк
Рухи гiроскопа Гесса в параметрах Родрiга–Гамiльтона
Рiвняння руху твердого тiла, що має нерухому точку, записано в спецiальних вiсях з
використанням параметрiв Родрiга–Гамiльтона. Розглянуто задачу побудови розв’язку цих
рiвнянь, який вiдповiдає розв’язку Гесса. Поставлену задачу зведено до диференцiального
рiвняння другого степеня i надалi – до спiввiдношень, що зв’язують параметри Родрiга–
Гамiльтона. Для випадку нульової постiйної iнтеграла площ розв’язок задачi виражено
через елiптичнi функцiї часу.
Ключовi слова: розв’язок Гесса, параметри Родрiга–Гамiльтона, кути Ейлера.
Ин-т прикл. математики и механики НАНУ, Донецк
daniljuk@bk.ru
Получено 01.03.13
45
|