Прецессии гиростата в случае плоского годографа гиростатического момента
Исследованы прецессионные движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил. Предполагается, что переменный гиростатический момент находится в плоскости, неизменно связанной с телом-носителем. Найдены новые решения уравнений движения, характеризующиеся свойством постоянства скорос...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72639 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Прецессии гиростата в случае плоского годографа гиростатического момента / Г.В. Горр, Е.К. Щетинина // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 46-56. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859863404821348352 |
|---|---|
| author | Горр, Г.В. Щетинина, Е.К. |
| author_facet | Горр, Г.В. Щетинина, Е.К. |
| citation_txt | Прецессии гиростата в случае плоского годографа гиростатического момента / Г.В. Горр, Е.К. Щетинина // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 46-56. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Исследованы прецессионные движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил. Предполагается, что переменный гиростатический момент находится в плоскости, неизменно связанной с телом-носителем. Найдены новые решения уравнений движения, характеризующиеся свойством постоянства скорости прецессии.
Дослiджено прецесiйнi рухи гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил. Припускається, що змiнний гiростатичний момент належить площинi, що незмiнно пов’язана з тiлом-носiєм. Знайдено новi розв’язки рiвнянь руху, що характеризуються властивiстю сталостi швидкостi прецесiї.
Precessional motions of a gyrostat under the influence of potential and gyroscopic forces are investigated. It is assumed that the variable gyrostatic moment belongs to the plane which has been permanently connected with a carrier body. New solutions of the motion equations characterized by the property of constancy of the precession velocity are found.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:47:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2013. Вып. 43
УДК 531.38
c©2013. Г.В. Горр, Е.К.Щетинина
ПРЕЦЕССИИ ГИРОСТАТА В СЛУЧАЕ ПЛОСКОГО
ГОДОГРАФА ГИРОСТАТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
Исследованы прецессионные движения гиростата под действием потенциальных и гиро-
скопических сил. Предполагается, что переменный гиростатический момент находится в
плоскости, неизменно связанной с телом-носителем. Найдены новые решения уравнений
движения, характеризующиеся свойством постоянства скорости прецессии.
Ключевые слова: гиростат, переменный момент, прецессия.
Введение. Движение системы связанных твердых тел, моделируемой
гиростатом, изучалось в различных постановках [1–4]. Ж. Лиувилль [1] впер-
вые получил уравнения движения системы материальных точек, которые
можно рассматривать, как уравнения движения гиростата. Н.Е.Жуковский
пришел к аналогичным уравнениям при рассмотрении движения тела, име-
ющего полости, наполненные однородной капельной жидкостью [2]. В.В. Ру-
мянцев [3] модель гиростата использовал в задачах управления движени-
ем спутника. Он предполагал, что роторы (несомые тела) имеют симмет-
ричную геометрическую форму. Наиболее общая модель гиростата рассмот-
рена П.В.Харламовым [4], так как в его модели носители могут быть и несим-
метричными. Для случая постоянного гиростатического момента получены
многочисленные результаты [5, 6]. Когда гиростатический момент зависит от
времени, система дифференциальных уравнений движения гиростата стано-
вится неавтономной. Решения этой системы построены не только в задаче о
движении гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием
силы тяжести [7–11], но и в задаче о движении гиростата в поле более сложной
структуры [12–15]. Особенностью данных исследований является предполо-
жение, что гиростатический момент направлен по некоторой, неподвижной
в теле-носителе, оси. Поэтому представляет интерес изучение условий су-
ществования программных движений, для которых гиростатический момент
лежит в некоторой плоскости тела-носителя. В данной статье рассмотрены
прецессионные движения гиростата, характеризующиеся постоянством ско-
рости прецессии гиростата. Найдены новые решения уравнений движения,
описывающиеся элементарными и эллиптическими функциями времени.
1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнения движения гиростата с
переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и ги-
роскопических сил [4, 6]:
A
.
ω = Aω × ω + λ(t)× ω −
.
λ(t) + ω ×Bν + ν × (Cν − s), (1)
.
ν = ν × ω. (2)
46
Прецессии гиростата в случае плоского годографа гиростатического момента
В (1), (2) введены обозначения: ω = (ω1, ω2, ω3) – угловая скорость тела-
носителя; ν = (ν1, ν2, ν3) – единичный вектор оси симметрии силовых полей;
λ(t) – гиростатический момент; A – тензор инерции гиростата с компонен-
тами (Aij); B = (Bij) и (Cij) – постоянные симметричные матрицы третьего
порядка; s = (s1, s2, s3) – постоянный вектор, характеризующий обобщенный
центр масс гиростата. Будем предполагать, что гиростатический момент на-
ходится в плоскости векторов α = (α1, α2, α3) и β = (β1, β2, β3), т. е.
λ(t) = λ1(t)α+ λ2(t)β, |α| = |β| = 1, α · β = 0. (3)
Рассмотрим в качестве программных движений полурегулярные прецес-
сии гиростата первого типа. Ранее [15] условия существования таких движе-
ний изучались в случае λ2(t) ≡ 0. Здесь будем предполагать, что λ2 6= 0.
Обозначим через a единичный вектор, неизменно связанный с телом-
носителем с началом в неподвижной точке. Пусть в течение всего времени
постоянен угол между векторами a и ν, т. е.
a · ν = a0 (a0 = cos θ0), (4)
где θ0 = const. В [6] показано, что при выполнении равенства (4) вектор
угловой скорости ω лежит в плоскости векторов a и ν. Предполагая, что
скорость прецессии гиростата постоянна, запишем выражение для ω:
ω =
·
ϕa+mν. (5)
Здесь m – постоянная,
·
ϕ =
·
ϕ(t) – скорость собственного вращения. При под-
становке (5) в уравнение (2) получим
·
ν =
·
ϕ(ν × a). (6)
Соотношению (4), уравнению (6) и геометрическому интегралу ν · ν = 1
удовлетворим, полагая [6]
ν1 = a′0 sinϕ, ν2 = a′0 cosϕ, ν3 = a0, (7)
где a′
0
= sin θ0.
Подставим выражения (3), (5) в уравнение (1):
λ̇1(t)α+ λ̇2(t)β = λ1(t)[m(α× ν) +
·
ϕ(α× a)] + λ2(t)[m(β × ν)+
+
·
ϕ(β × a)]−
. .
ϕAa +
·
ϕ
2
(Aa × a)−
·
ϕ(B∗ν × a) + s× ν + ν × C∗ν;
(8)
здесь
B∗ = B − 2mA+mSp(A), C∗ = C +mB −m2A. (9)
Рассмотрим уравнения, которые вытекают из (8) при скалярном умножении
на векторы α, β, γ = α× β и учете (7):
λ̇1(t) = λ2(t)[m(a′0γ1 sinϕ+ a′0γ2 cosϕ+ a0γ3) + γ3
·
ϕ]−
− µ0
. .
ϕ+ µ1ϕ̇
2 +
·
ϕ(µ2 sinϕ+ µ3 cosϕ+ µ4)+
+ µ5 sin 2ϕ+ µ6 cos 2ϕ+ µ7 sinϕ+ µ8 cosϕ+ µ9,
(10)
47
Г.В. Горр, Е.К. Щетинина
λ̇2(t) = −λ1(t)[m(a′0γ1 sinϕ+ a′0γ2 cosϕ+ a0γ3) + γ3
·
ϕ]−
− ε0
. .
ϕ+ ε1
·
ϕ
2
+
·
ϕ(ε2 sinϕ+ ε3 cosϕ+ ε4)+
+ ε5 sin 2ϕ+ ε6 cos 2ϕ+ ε7 sinϕ+ ε8 cosϕ+ ε9,
(11)
λ1(t)[m(a′0β1 sinϕ+ a′0β2 cosϕ+ a0β3) + β3
·
ϕ]−
− λ2(t)[m(a′0α1 sinϕ+ a′0α2 cosϕ+ a0α3) + α3
·
ϕ]−
− σ0
. .
ϕ+ σ1
·
ϕ
2
+
·
ϕ(σ2 sinϕ+ σ3 cosϕ+ σ4) + σ5 sin 2ϕ+
+ σ6 cos 2ϕ+ σ7 sinϕ+ σ8 cosϕ+ σ9 = 0.
(12)
В (10)–(12) введены обозначения
γ1 = α2β3 − α3β2, γ2 = α3β1 − α1β3, γ3 = α1β2 − α2β1,
µ0 = A13α1 +A23α2 +A33α3, ε0 = A13β1 +A23β2 +A33β3,
σ0 = A13γ1 +A23γ2 +A33γ3,
µ1 = α1A23 − α2A13, ε1 = β1A23 − β2A13, σ1 = γ1A23 − γ2A13,
µ2 = a′0(α2B
∗
11 − α1B
∗
12), ε2 = a′0(β2B
∗
11 − β1B
∗
12),
σ2 = a′0(γ2B
∗
11 − γ1B
∗
12),
µ3 = a′0(α2B
∗
12 − α1B
∗
22), ε3 = a′0(β2B
∗
12 − β1B
∗
22),
σ3 = a′0(γ2B
∗
12 − γ1B
∗
22),
µ4 = a0(α2B
∗
13 − α1B
∗
23), ε4 = a0(β2B
∗
13 − β1B
∗
23),
σ4 = a0(γ2B
∗
13 − γ1B
∗
23),
µ5 =
1
2
a′0[α1C
∗
13 − α2C
∗
23 + α3(C
∗
22 − C∗
11)],
ε5 =
1
2
a′0[β1C
∗
13 − β2C
∗
23 + β3(C
∗
22 − C∗
11)],
σ5 =
1
2
a′0[γ1C
∗
13 − γ2C
∗
23 + γ3(C
∗
22 − C∗
11)],
µ6 =
1
2
a
′
2
0 (α1C
∗
23 + α2C
∗
13 − 2α3C
∗
12),
ε6 =
1
2
a
′2
0 (β1C
∗
23 + β2C
∗
13 − 2β3C
∗
12),
σ6 =
1
2
a
′
2
0 (γ1C
∗
23 + γ2C
∗
13 − 2γ3C
∗
12),
µ7 = a′0[−α1a0C
∗
12 + α2(s3 − a0(C
∗
33 −C∗
11))− α3(s2 − a0C
∗
23)],
ε7 = a′0[−β1a0C
∗
12 + β2(s3 − a0(C
∗
33 − C∗
11))− β3(s2 − a0C
∗
23)],
σ7 = a′0[−γ1a0C
∗
12 + γ2(s3 − a0(C
∗
33 − C∗
11))− γ3(s2 − a0C
∗
23)],
µ8 = a′0[−α1(s3 − a0(C
∗
33 − C∗
22)) + a0α2C
∗
12 + α3(s1 − a0C
∗
13)],
ε8 = a′0[−β1(s3 − a0(C
∗
33 −C∗
22)) + a0β2C
∗
12 + β3(s1 − a0C
∗
13)],
σ8 = a′0[−γ1(s3 − a0(C
∗
33 − C∗
22)) + a0γ2C
∗
12 + γ3(s1 − a0C
∗
13)],
(13)
48
Прецессии гиростата в случае плоского годографа гиростатического момента
µ9 =
α1
2
[2a0s2 + (a
′2
0 − 2a20)C
∗
23]−
α2
2
[2a0s1 + (a
′2
0 − 2a20)C
∗
13],
ε9 =
β1
2
[2a0s2 + (a
′
2
0 − 2a20)C
∗
23]−
β2
2
[2a0s1 + (a
′
2
0 − 2a20)C
∗
13],
σ9 =
γ1
2
[2a0s2 + (a
′
2
0 − 2a20)C
∗
23]−
γ2
2
[2a0s1 + (a
′
2
0 − 2a20)C
∗
13].
В обозначениях (13) компоненты матриц B∗ и C∗ в силу (9) таковы:
B∗
11 = B11 −m(A11 −A22 −A33), B∗
22 = B22 −m(A22 −A11 −A33),
B∗
33 = B33 −m(A33 −A11 −A22), B∗
12 = B12 − 2mA12,
B∗
13 = B13 − 2mA13, B∗
23 = B23 − 2mA23,
C∗
11 = C11 +m2B11 −m2A11, C∗
22 = C22 +mB22 −m2A22,
C∗
33 = C33 +mB33 −m2A33, C∗
12 = C12 +mB12 −m2A12,
C∗
13 = C13 +mB13 −m2A13, C∗
23 = C23 +mB23 −m2A23.
(14)
2. Полурегулярные прецессии гиростата. При заданной зависи-
мости ϕ = ϕ(t) система (10)–(12) представляет собой систему неавтоном-
ных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций
λ1(t), λ2(t), которая должна допускать инвариантное соотношение (12). Если
же функцию ϕ(t) считать неизвестной функцией, то уравнения (10)–(12) – си-
стема нелинейных уравнений относительно λ1(t), λ2(t), ϕ(t). Так как в общем
случае ее интегрирование затруднительно, то рассмотрим некоторые частные
случаи.
Положим γ1 = γ2 = 0, γ3 = 1, α = (1, 0, 0), β = (0, 1, 0), a0 = 0, тогда из
(13) имеем
µ0 = A13, ε0 = A23, σ0 = A33, µ1 = A23, ε1 = −A13, σ1 = 0,
µ2 = −B∗
12
, ε2 = B∗
11
, σ2 = 0, µ3 = −B∗
22
, ε3 = B∗
12
, σ3 = 0,
µ4 = 0, ε4 = 0, σ4 = 0, µ5 =
1
2
C∗
13, ε5 = −
1
2
C∗
23, σ5 =
1
2
(C∗
22 − C∗
11),
µ6 =
1
2
C∗
23, ε6 =
1
2
C∗
13, σ6 = −C∗
12, µ7 = 0, µ8 = −s3,
µ9 =
1
2
C∗
23, ε7 = s3, ε8 = 0, ε9 = −
1
2
C∗
13, σ7 = s2, σ8 = s1, σ9 = 0.
(15)
Инвариантное соотношение (12) примет вид
m
[
λ1(t) cosϕ− λ2(t) sinϕ
]
−A33
. .
ϕ+
1
2
(C∗
22 − C∗
11) sin 2ϕ−
−
1
2
C∗
12 cos 2ϕ + s2 sinϕ+ s1 cosϕ = 0.
(16)
49
Г.В. Горр, Е.К. Щетинина
Уравнения (10), (11) таковы:
.
λ1(t) =λ2(t)
.
ϕ −A13
. .
ϕ+A23
.
ϕ
2
−
.
ϕ(B∗
12 sinϕ+B∗
22 cosϕ)+
+ cosϕ(C∗
13 sinϕ+ C∗
23 cosϕ− s3),
.
λ2(t) =− λ1(t)
.
ϕ −A23
. .
ϕ−A13
.
ϕ
2
+
.
ϕ(B∗
11 sinϕ+B∗
12 cosϕ)−
− sinϕ(C∗
13 sinϕ+ C∗
23 cosϕ− s3).
(17)
Вычислим производную от левой части (16) в силу уравнений (17) и предста-
вим ее в виде
{
m
.
ϕ(A23 sinϕ−A13 cosϕ)−A33
. .
ϕ+
m
2
[
B∗
12 cos 2ϕ+
1
2
(B∗
11−
−B∗
22) sin 2ϕ − (B∗
11 +B∗
22)ϕ
]
+
1
2
(C∗
22 − C∗
11) sin 2ϕ−
1
2
C∗
12 cos 2ϕ+
+s2 sinϕ+ s1 cosϕ
}
·
+ C∗
13 sinϕ+ C∗
23 cosϕ− s3 = 0.
(18)
Можно показать, что уравнение (18) допускает решение ϕ = κ0 + κ1 sinϕ,
например, при выполнении условий
C∗
13 = 0, C∗
23 = 0, s3 = 0, B∗
11 +B∗
22 = 0, (19)
C∗
22 − C∗
11 +mB∗
11 − κ1(A33κ1 +mA13) = 0,
C12 −mB∗
12 +mκ1A23 = 0,
ms0A23 + s2 = 0, κ0(mA13 +A33κ1)− s1 = 0.
(20)
Функции λ1(t), λ2(t) находятся из уравнений (17), в которых положено
.
ϕ =
= κ0 + κ1 sinϕ. Очевидно, что ϕ(t) – элементарная функция времени.
Укажем пример существования решения уравнений (17) при наличии ИС
(16) в случае, когда ϕ(t) – эллиптическая функция времени. Пусть выполня-
ются условия
A23 = 0, A13 = 0, s3 = 0, C∗
13 = 0,
C∗
23 = 0, B∗
12 = 0, B∗
11 = 0, B∗
22 = 0.
(21)
Тогда в силу (21) система (17) допускает решение
λ1(t) = λ0 sinϕ, λ2(t) = λ0 cosϕ, (22)
где λ0 – постоянная. При подстановке (22) в уравнение (16) получим
.
ϕ
2
=
1
A33
[
1
2
(C∗
11 − C∗
22) cos 2ϕ−
1
2
C∗
12 sin 2ϕ− 2s2 cosϕ+ 2s1 sinϕ+ C∗
]
, (23)
где C∗ – произвольная постоянная. Из (23) вытекает, что ϕ(t) – эллипти-
ческая функция времени. Равенства A23 = A13 = 0 показывают, что вектор
a лежит на главной оси эллипсоида инерции. Условие s3 = 0 означает, что
50
Прецессии гиростата в случае плоского годографа гиростатического момента
вектор обобщенного центра масс гиростата принадлежит главной плоскости
эллипсоида инерции, построенного для неподвижной точки.
Запишем четвертое и последующие условия из (21), используя обозначе-
ния (14):
C13 +mB13 = 0, C23 +mB23 = 0, B12 = 2mA12,
B11 = m(A11 −A22 −A33), B22 = m(A22 −A11 −A33).
Данные равенства показывают, что при рассмотрении случая действия силы
тяжести получаем условия A11−A22−A33 = 0, A22−A11−A33 = 0, из которых
следует A33 = 0, что невозможно. Поэтому аналога решения (22), (23) в этом
случае нет.
3. Регулярная прецессия гиростата. Полагая по-прежнему γ3 = 1,
рассмотрим регулярную прецессию
·
ϕ = n, где n – постоянная. Тогда вектор
ω из (5) примет вид
ω = na+mν. (24)
Запишем значения параметров, указанных в (13), при условиях α1 = 1,
α2 = 0, α3 = 0, β1 = 0, β2 = 1, β3 = 0, γ1 = 0, γ2 = 0, γ3 = 1:
µ0 = A13, ε0 = A23, σ0 = A33, µ1 = A23, ε1 = −A13, σ1 = 0,
µ2 = −a′0B
∗
12, ε2 = a′0B
∗
11, σ2 = 0, µ3 = −a′0B
∗
22, ε3 = a′0B
∗
12, σ3 = 0,
µ4 = −a′0B
∗
23, ε4 = a′0B
∗
13, σ4 = 0,
µ5 =
1
2
a
′2
0 C
∗
13, µ6 =
1
2
a
′2
0 C
∗
23, µ7 = −a0a
′
0C
∗
12,
(25)
µ8 = −a′0[s3 − a0(C
∗
33 − C∗
22)], µ9 =
1
2
[2a0s2 + (a
′2
0 − 2a20)C
∗
23],
ε5 = −
1
2
a
′
2C∗
23, ε6 =
1
2
a
′
2
0 C
∗
13, ε7 = a′0
[
s3 − a0(C
∗
33 − C∗
11)
]
,
ε8 = a0a
′
0C
∗
12, ε9 = −
1
2
[
2a0s1 + (a
′
2
0 − 2a20)C
∗
13
]
, σ5 =
1
2
a
′
2
0 (C
∗
22 − C∗
11),
σ6 = −a
′
2
0 C
∗
12, σ7 = −a′0(s2 − a0C
∗
23), σ8 = a′0(s1 − a0C
∗
13), σ9 = 0
и преобразуем уравнения (10)–(12) с учетом (25) и ϕ = nt:
.
λ1(t) = (a0m+ n)λ2(t) + F1(t),
.
λ2(t) = −(a0m+ n)λ1(t) + F2(t), (26)
a′0m(λ1(t) cos nt− λ2(t) sinnt) + F3(t) = 0, (27)
51
Г.В. Горр, Е.К. Щетинина
где
F1(t) =ε6 sin 2nt− ε5 cos 2nt− (ε8 + nε3) sinnt+ (µ8 + nµ3) cosnt+
+(µ9 + n2µ1 + nµ4),
F2(t) =ε5 sin 2nt+ ε6 cos 2nt+ (ε7 + nε2) sinnt+ (ε8 + nε3) cosnt+
+(ε9 + n2ε1 + nε4),
F3(t) =σ5 sin 2nt+ σ6 cos 2nt+ σ7 sinnt+ σ8 cosnt.
(28)
Вычислим первую и вторую производные от ИС (27) в силу уравнений (26):
a′0a0m
2[λ2(t) cos nt+ λ1(t) sinnt]+
+a′0m[F1(t) cos nt− F2(t) sinnt] +
.
F 3(t) = 0,
(29)
a′0a
2
0m
3[λ2(t) sin nt− λ1(t) cosnt] + a′0a0m
2[F1(t) sin nt+ F2(t) cos nt]+
+a′0m[F1(t) cosnt− F2(t) sinnt]
· +
. .
F 3(t) = 0.
(30)
Рассмотрим случай, когда выполняется равенство
a0m+ n = 0. (31)
В силу (31) уравнения (26), (27) интегрируются явно:
λ1(t) =−
ε6
2n
cos 2nt−
ε5
2n
sin 2nt+
1
n
(ε8 + nε3) cos nt+
+
1
n
(µ8 + nµ3) sinnt+ (µ9 + n2µ1 + nµ4)t+ c1,
(32)
λ2(t) =−
ε5
2n
cos 2nt+
ε6
2n
sin 2nt−
1
n
(ε7 + nε2) cos nt+
+
1
n
(ε8 + nε3) sin nt+ (ε9 + n2ε1 + nε4)t+ c2.
(33)
Подставим выражения (32), (33) в уравнение (27) и потребуем, чтобы полу-
ченное уравнение было тождеством по t. Отсюда найдем условия
µ9 + n2µ1 + nµ4 = 0, ε9 + n2ε1 + nε4 = 0, (34)
a′0m(ε8 + nε3) + nσ6 = 0, a′0m[µ8 + ε7 + n(µ3 + ε2)] + 2nσ5 = 0,
2a′0a0mc1 = 2[a′0ε9 − a0σ8 + a′0n
2ε1 + n(a′0ε4 − a0σ3)]− a′0ε6,
2a′0a0mc2 = −2[a′0µ9 + a0σ7 + a′0n
2µ1 + n(σ2a0 + a′0µ4)] + a′0ε5.
(35)
Учтем в уравнениях (34), (35) обозначения (25):
2a0s1 + (a
′2
0 − 2a20)C
∗
13 − 2a0nB
∗
13 + 2n2A13 = 0, (36)
52
Прецессии гиростата в случае плоского годографа гиростатического момента
2a0s2 + (a′0
2
− 2a20)C
∗
23 − 2a0nB
∗
23 + 2n2A23 = 0,
2(C∗
22 − C∗
11)−m(B∗
22 −B∗
11) = 0, 2C∗
12 −mB∗
12 = 0.
(37)
Внесем значения (14) в равенства (36), (37):
2a0s1 + (1− 3a20)C13 + a′0
2
m(B13 −mA13) = 0,
2a0s2 + (1− 3a20)C23 + a′0
2
m(B23 −mA23) = 0,
2(C11 − C22) +m(B11 −B22) = 0, 2C12 +mB12 = 0.
(38)
Таким образом, при выполнении условий (38) гиростат совершает регулярную
прецессию (24) с n = −a0m. Функции λ1(t), λ2(t) определяются формулами
(32), а параметры c1, c2 имеют значения (35). В случае действия на гиростат
силы тяжести, т. е. при Bij = 0, Cij = 0 (i, j = 1, 3), из (38) получим
2a0s1 − a′0
2
m2A13 = 0, 2a0s2 − a′0
2
m2A23 = 0. (39)
Особенностью равенств (38), (39) является отсутствие в них условий на па-
раметр s3.
Рассмотрим случай, когда в уравнениях (26), (27), (29), (30) параметр
a0 = 0. Поскольку при этом условии функции λ1(t), λ2(t) в уравнение (29) не
входят, то необходимо потребовать, чтобы уравнение (29) было тождеством
по t. Учитывая в выражениях (28) значения параметров (15) и обозначения
(14), получим
2C12 +mB12 = 0,
2(C22 − C11) +m(B22 −B11) = 0,
mC13 +m2B13 +m(n2 −m2)A13 − ns1 = 0,
mC23 +m2B23 +m(n2 −m2)A23 − ns2 = 0,
2s3 + n(B11 +B22) + 2mnA33 = 0.
(40)
При выполнении условий (40) гиростат совершает регулярную прецессию,
которая в силу a0 = 0 и (24) описывается соотношениями
ν1 = sinnt, ν2 = cosnt, ν3 = 0,
ω1 = m sinnt, ω2 = m cosnt, ω3 = n.
(41)
Когда Bij = 0, Cij = 0 (i, j = 1, 3), то из условий (40) вытекает
m(n2 −m2)A13 − ns1 = 0,
m(n2 −m2)A23 − ns2 = 0, s3 +mnA33 = 0.
(42)
Для нахождения зависимостей λ1(t), λ2(t) обратимся к уравнениям (26).
Учитывая в них F1(t), F2(t) из (28) при условиях (15), (42), для функции λ1(t)
получим уравнение
. .
λ1(t) + n2λ1(t) = 3nε5 sin 2nt+ 3nε6 cos 2nt+ µ0, (43)
53
Г.В. Горр, Е.К. Щетинина
где µ0 = −
n2
2m
(s1 +A13nm). Общее решение уравнения (43) таково:
λ1(t) = C1 sinnt+ C2 cosnt−
ε5
n
sin 2nt−
ε6
n
cos 2nt+
µ0
n
. (44)
Функцию λ2(t) определим из первого уравнения системы (26):
λ2(t) =−
ε5
n
cos 2nt+
ε6
n
sin 2nt+
1
n
(nC1 − µ8 − nµ3) cosnt−
− (C2 − ε3) sinnt−
1
n
(µ9 + n2µ1).
(45)
Таким образом, в случае a0 = 0
(
θ0 =
π
2
)
должны выполняться условия
(40), если же на гиростат действует сила тяжести, то – (42); а решение урав-
нений (1), (2) имеет вид (41), (44), (45).
Предположим, что в уравнениях (27)–(30) a0 6= 0, a0m+n 6= 0. Исключим
из (30) с помощью (27) выражение λ1(t) cos nt− λ2(t) sinnt:
a20m
2F3(t) + a0a
′
0m
2(F1 sinnt+ F2 cosnt)+
+a′0m(F1 cosnt− F2 sinnt)
. +
. .
F 3(t) = 0.
(46)
Уравнение (46) должно быть тождеством по t. Это приводит к условиям на
параметры задачи (1), (2), для получения которых подставим выражения (28)
в уравнение (46) и учтем обозначения (14) и (25). Тогда имеем
(a0m− 2n)(2C12 +mB12) = 0,
(a0m− 2n)
[
2(C22 − C11) +m(B22 −B11)
]
= 0,
s1(n− a0m) + C13
[
m(2a20 − 1)− na0
]
− a′0
2
m2B13 +m(m2 − n2)A13 = 0,
s2(n− a0m) + C23
[
m(2a20 − 1)− na0
]
− a′0
2
m2B23 +m(m2 − n2)A23 = 0.
(47)
Проведем анализ условий (47). Если в них положить a0 = 0, получим первые
четыре равенства из (40). Так как при a0 = 0 из (47) не вытекает последнее
равенство из (40), то условия (47) нельзя считать обобщающими условиями
двух вариантов: a0 = 0, a0 6= 0. Запишем систему (47) при Bij = 0, Cij = 0
(на гиростат действует сила тяжести)
s1(n− a0m) +m(m2 − n2)A13 = 0, s2(n− a0m) +m(m2 − n2)A23 = 0. (48)
Из (48) следует, что если ось собственного вращения гиростата является
главной, то компоненты s1 и s2 могут быть отличными от нуля только при
n = a0m. Если в (48) положить m = n, то в силу неравенства 1− a0 6= 0 по-
лучим условия s2 = 0, s1 = 0, т. е. центр тяжести лежит на оси собственного
вращения.
54
Прецессии гиростата в случае плоского годографа гиростатического момента
Равенства (47) показывают, что при выполнении условия 2n = a0m, пара-
метры C12, C11, C22, B12, B11, B22 могут быть произвольными. Если 2n 6= a0m,
то они удовлетворяют равенствам
2C12 +mB12 = 0, 2(C22 − C11) +m(B22 −B11) = 0.
Рассмотрим уравнения (26). Исключим из первого уравнении этой систе-
мы функцию λ2(t) с помощью второго уравнения:
. .
λ1(t) + (a0m+ n)λ1(t) = (a0m+ 3n)ε5 sin 2nt+ (a0 + 3n)ε6 cos 2nt+
+[(a0m+ n)(ε7 + nε2)− n(µ8 + nµ3)] sinnt+ a0m(ε8 + nε3) cosnt.
(49)
Из уравнения (49) следует, что λ1(t) является тригонометрическим много-
членом 2-го порядка. Функцию λ2(t) определим из (27) в виде
λ2(t) =
1
a′
0
m sinnt
(F3(t) + a′0mλ1(t) cos nt). (50)
Таким образом, из (49), (50) получим, что λ1(t), λ2(t) являются периоди-
ческими функциями времени с периодом
2π
n
. Решение
ν = (a′0 sinnt, a′0 cosnt, a0), ω = na+mν,
описывающее регулярную прецессию гиростата, также является периоди-
ческим с указанным выше периодом.
Заключение. В статье получены три дифференциальных уравнения
(10)–(12) на функции λ1(t), λ2(t), ϕ(t); они являются линейными по λ1(t), λ2(t)
и нелинейными по ϕ(t). Приведены три варианта существования решения
этих уравнений. Первые два варианта (см. п. 2) относятся к случаю полуре-
гулярной прецессии гиростата: в одном из них ϕ(t) – элементарная функция
времени, в другом – эллиптическая; третий вариант (см. п. 3) относится к слу-
чаю регулярной прецессии гиростата. Уравнения (10), (11) применимы для
исследования условий существования и других типов прецессионных движе-
ний [6].
1. Liouville J. Développements sur un chapitre de la Mécanique de Poisson // J. math. pures
et appl. – 1858. – 3. – P. 1-25.
2. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные одно-
родной капельной жидкостью // Собр. соч.: В 2-х т. – М.; Л: ОГИЗ, 1949. – Т. 2. –
С. 152–310.
3. Румянцев В.В. Об управлении ориентацией и о стабилизации спутника роторами //
Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. – 1970. – № 2. – С. 83–96.
4. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого
тела. – 1972. – Вып. 4. – С. 52–73.
5. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твер-
дого тела. – Киев: Наук, думка. – 1978. – С. 296.
55
Г.В. Горр, Е.К. Щетинина
6. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – До-
нецк: ДонНУ, 2012. – С. 364.
7. Дружинин Э.И. О перманентных вращениях уравновешенного неавтономного гиро-
стата // Прикл. математика и механика. – 1999. – 63, вып. 5 . – С. 825–826.
8. Ковалева Л.М., Позднякович А.Е. Равномерные вращения вокруг наклонной оси
твердого тела с одним маховиком // Механика твердого тела. – 2000. – Вып. 30. –
С. 100–105.
9. Волкова О.С. Регулярные прецессии тяжелого гиростата вокруг вертикальной оси //
Тр. ИПММ НАН Украины. – 2009. – 19. – С. 30–35.
10. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с пере-
менным гиростатическим моментом // Механика твердого тела. – 2009. – Вып. 39. –
С. 42–49.
11. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Точные решения уравнений движения гиростата во-
круг неподвижной точки // Современные проблемы математики, механики и инфор-
матики / Под ред. Н.Н.Кизиловой, Г.Н.Жолткевича. – Харьков: “Апостроф”, 2011. –
С. 74–84.
12. Горр Г.В., Мазнев А.В. О некоторых классах регулярной прецессии гиростата с пере-
менным гиростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задаче
динамики // Тр. ИПММ НАН Украины. – 2010. – 21. – С. 64–75.
13. Мазнев А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим мо-
ментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердого
тела. – 2010. – Вып. 10. – С. 91–104.
14. Мазнев А.В. Регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим момен-
том под действием потенциальных и гироскопических сил // Докл. НАН Украины. –
2011. – №8. – С. 66–72.
15. Возняк А.А. Полурегулярные прецессии первого типа в задаче о движении гиростата
с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироско-
пических сил // Тр. ИПММ НАН Украины. – 2012. – 24. – С. 45–57.
G.V.Gorr, E.K. Shchetinina
Gyrostat’s precessions in the case of a plane hodograph of the gyrostatic
moment
Precessional motions of a gyrostat under the influence of potential and gyroscopic forces are
investigated. It is assumed that the variable gyrostatic moment belongs to the plane which
has been permanently connected with a carrier body. New solutions of the motion equations
characterized by the property of constancy of the precession velocity are found.
Keywords: gyrostat, variable moment, precession.
Г.В. Горр, О.К.Щетiнiна
Прецесiї гiростата у випадку плоского годографа гiростатичного моменту
Дослiджено прецесiйнi рухи гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил. При-
пускається, що змiнний гiростатичний момент належить площинi, що незмiнно пов’язана
з тiлом-носiєм. Знайдено новi розв’язки рiвнянь руху, що характеризуються властивiстю
сталостi швидкостi прецесiї.
Ключовi слова: гiростат, змiнний момент, прецесiя.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
Национальный ун-т экономики и торговли
им.М.Туган-Барановского, Донецк
elena-0607@bk.ru
Получено 02.09.13
56
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72639 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:47:02Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Горр, Г.В. Щетинина, Е.К. 2014-12-27T13:25:19Z 2014-12-27T13:25:19Z 2013 Прецессии гиростата в случае плоского годографа гиростатического момента / Г.В. Горр, Е.К. Щетинина // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 46-56. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72639 531.38 Исследованы прецессионные движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил. Предполагается, что переменный гиростатический момент находится в плоскости, неизменно связанной с телом-носителем. Найдены новые решения уравнений движения, характеризующиеся свойством постоянства скорости прецессии. Дослiджено прецесiйнi рухи гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил. Припускається, що змiнний гiростатичний момент належить площинi, що незмiнно пов’язана з тiлом-носiєм. Знайдено новi розв’язки рiвнянь руху, що характеризуються властивiстю сталостi швидкостi прецесiї. Precessional motions of a gyrostat under the influence of potential and gyroscopic forces are investigated. It is assumed that the variable gyrostatic moment belongs to the plane which has been permanently connected with a carrier body. New solutions of the motion equations characterized by the property of constancy of the precession velocity are found. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Прецессии гиростата в случае плоского годографа гиростатического момента Прецесiї гiростата у випадку плоского годографа гiростатичного моменту Gyrostat’s precessions in the case of a plane hodograph of the gyrostatic moment Article published earlier |
| spellingShingle | Прецессии гиростата в случае плоского годографа гиростатического момента Горр, Г.В. Щетинина, Е.К. |
| title | Прецессии гиростата в случае плоского годографа гиростатического момента |
| title_alt | Прецесiї гiростата у випадку плоского годографа гiростатичного моменту Gyrostat’s precessions in the case of a plane hodograph of the gyrostatic moment |
| title_full | Прецессии гиростата в случае плоского годографа гиростатического момента |
| title_fullStr | Прецессии гиростата в случае плоского годографа гиростатического момента |
| title_full_unstemmed | Прецессии гиростата в случае плоского годографа гиростатического момента |
| title_short | Прецессии гиростата в случае плоского годографа гиростатического момента |
| title_sort | прецессии гиростата в случае плоского годографа гиростатического момента |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72639 |
| work_keys_str_mv | AT gorrgv precessiigirostatavslučaeploskogogodografagirostatičeskogomomenta AT ŝetininaek precessiigirostatavslučaeploskogogodografagirostatičeskogomomenta AT gorrgv precesiígirostatauvipadkuploskogogodografagirostatičnogomomentu AT ŝetininaek precesiígirostatauvipadkuploskogogodografagirostatičnogomomentu AT gorrgv gyrostatsprecessionsinthecaseofaplanehodographofthegyrostaticmoment AT ŝetininaek gyrostatsprecessionsinthecaseofaplanehodographofthegyrostaticmoment |