О прецессионных движениях гиростата в случае, когда гиростатический момент принадлежит горизонтальной плоскости
Изучено вращение вокруг неподвижной точки тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом. В предположении, что направление гиростатического момента фиксировано во вращающемся базисе, исследованы условия существования одного типа прецессионных движений гиростата вокруг вертикали. Отдельно р...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72640 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О прецессионных движениях гиростата в случае, когда гиростатический момент принадлежит горизонтальной плоскости / О.С. Волкова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 57-68. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860078604747014144 |
|---|---|
| author | Волкова, О.С. |
| author_facet | Волкова, О.С. |
| citation_txt | О прецессионных движениях гиростата в случае, когда гиростатический момент принадлежит горизонтальной плоскости / О.С. Волкова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 57-68. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Изучено вращение вокруг неподвижной точки тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом. В предположении, что направление гиростатического момента фиксировано во вращающемся базисе, исследованы условия существования одного типа прецессионных движений гиростата вокруг вертикали. Отдельно рассмотрены случаи, когда собственное вращение происходит вокруг главной и неглавной оси инерции. В первом случае интегрирование уравнений движения сведено к интегрированию уравнения Абеля; во втором проведено исследование возможных полурегулярных прецессий гиростата.
Вивчається обертання навколо нерухомої точки важкого гiростата зi змiнним гiростатичним моментом. У припущеннi, що напрямок гiростатичного моменту фiксовано у базисi, який обертається, дослiджено умови iснування одного типу прецесiйних рухiв гiростата вiдносно вертикалi. Окремо розглянуто випадки, коли власне обертання вiдбувається навколо головної та неголовної осi елiпсоїда iнерцiї. В першому з випадкiв iнтегрування рiвнянь руху зведено до iнтегрування рiвняння Абеля, у другому проведено повне дослiдження допустимих напiврегулярних прецесiй гiростата.
The paper concerns gyrostat rotations about a fixed point in the gravity field. Existence conditions for certain of precessional motions about the vertical axis are studied under the assumption that the direction of variable gyrostatic momentum is invariant in the rotating frame. The situations when the proper rotation is performed about the principal and nonprincipal axis of inertia are considered separately. In the first case integration of the motion equations is reduced to integration of the Abel equation; in the second one the complete investigation of all admissible semiregular precessions is carried out.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:14:45Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2013. Вып. 43
УДК 531.38
c©2013. О.С. Волкова
О ПРЕЦЕССИОННЫХ ДВИЖЕНИЯХ ГИРОСТАТА В СЛУЧАЕ,
КОГДА ГИРОСТАТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ
ПРИНАДЛЕЖИТ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ
Изучается вращение вокруг неподвижной точки тяжелого гиростата с переменным гиро-
статическим моментом. В предположении, что направление гиростатического момента
фиксировано во вращающемся базисе, исследованы условия существования одного типа
прецессионных движений гиростата вокруг вертикали. Отдельно рассмотрены случаи, ког-
да собственное вращение происходит вокруг главной и неглавной оси инерции. В первом
случае интегрирование уравнений движения сведено к интегрированию уравнения Абеля;
во втором проведено исследование возможных полурегулярных прецессий гиростата.
Ключевые слова: гиростат с неподвижной точкой, переменный гиростатический мо-
мент, прецессионное движение.
Введение. Пусть механическая система, состоящая из тела-носителя S,
закрепленного в одной точке, и присоединенных тел Si i = 1, n, представ-
ляет собой гиростат с переменным гиростатическим моментом. Различные
конструкции таких систем указаны в [1, 2]: все они удовлетворяют приве-
денному в [3] формальному определению гиростата. Предположим, что, как
и в задаче о движении твердого тела, обобщенный тензор инерции системы
симметричен и положительно определен.
Вращение тяжелого гиростата в связанном с телом S базисе описывается
уравнениями
Jω̇ + λ̇ = (Jω + λ)×ω + e× ν, ν̇ = ν × ω, (1)
где J – обобщенный тензор инерции гиростата, ω – угловая скорость носи-
теля, ν – орт нисходящей вертикали, e – радиус-вектор центра масс, |e| 6= 0,
λ – гиростатический момент. Предположим, что направление переменного
вектора λ фиксировано, но изменением его абсолютной величины можно
управлять: λ = λ(t)α, где |α| = 1, λ(t) – непрерывно дифференцируемая
функция времени. При λ(t) 6= const уравнения движения допускают только
два первых интеграла:
(Jω,ν) + λ(t)(ν,α) = g, |ν|2 = 1. (2)
Интеграла энергии в общем случае нет. Но если, к примеру, λ(t) = Λ ((ω,α)),
то система (1) допускает его аналог – интеграл
1
2
(Jω,ω) + (ω,α)λ(t) −
∫ (ω,α)
0
Λ(x) dx = (e,ν) + h.
Для гиростата, вращающегося вокруг неподвижной точки в поле силы тя-
жести, изучены основные классы движений: вращения вокруг перманентной
57
О.С. Волкова
оси [4–7], регулярные прецессии вокруг вертикальной и наклонных осей [7,8].
Существование различных нерегулярных прецессий в задаче о движении
гиростата под действием общих потенциальных и гироскопических сил по-
казано в [9, 10]. Исследования, проведенные в [9, 10] и ряде других работ,
основываются на исключении λ(t) из системы (1) с помощью интеграла пло-
щадей (2). Поскольку этот интеграл имеет место с произвольной функцией
λ(t), в общем случае подстановка полученной зависимости λ от ω и ν в дина-
мическое уравнение не замыкает систему (1). Но для класса прецессионных
движений редуцированная таким образом система дифференциальных урав-
нений позволяет определить компоненты ω и ν.
Цель настоящей работы состоит в изучении условий существования нере-
гулярных прецессий тяжелого гиростата в случае, когда интегралы (2) не
содержат λ(t), т. е. в случае, когда гиростатический момент принадлежит
горизонтальной плоскости.
1. Постановка задачи. Движение гиростата называют прецессией
[11, 12] (либо, следуя Г.Г.Аппельроту, безнутационным движением) отно-
сительно вертикали, если угол между ν и некоторым фиксированным во
вращающемся базисе единичным вектором β остается неизменным: (ν,β) =
= cos θ = const. При этом угловая скорость ω удовлетворяет разложению
ω = ψ̇ ν + ϕ̇β, (3)
где ψ̇ и ϕ̇ – скорости прецессии и собственного вращения соответственно.
Уравнение Пуассона теперь можно переписать в виде ν̇ = ϕ̇(ν×β). Вращения
вокруг неподвижной оси далее не рассматриваем, поэтому ψ̇ϕ̇ 6= 0.
Интеграл площадей (2) не зависит от λ(t), если в любой момент времени
(ν,α) = 0. При ν̇ 6= 0 равенства (ν,α)= 0 и (ν,β)= cos θ могут выполняться
одновременно лишь в случае их совпадения, поэтому положим β=α, cos θ=0.
Пусть r1 и r2 – постоянные векторы единичной длины, такие, что r1⊥ r2,
r1× r2 = α. Тогда кинематическому уравнению ν′ϕ = ν × α удовлетворяет
вектор ν вида
ν = sin (ϕ− ϕ0)r1 + cos (ϕ− ϕ0)r2. (4)
При исследовании различных типов прецессионных движений вектор r1 мож-
но выбирать по-разному. Соответствие между двумя разложениями вида (4)
обеспечивается за счет разности начальных фаз. Зафиксировав далее r1, для
краткости записи примем ϕ0 = 0.
Введем обозначение K = (Jω,α) + λ и запишем с учетом разложения (3)
интеграл (Jω,ν) = g и проекции динамического уравнения на векторы α и
α× ν:
ψ̇ (Jν,ν) + ϕ̇ (Jα,ν) = g, (5)
ϕ̇K ′
ϕ = ψ̇2 (Jν, ν×α) + ψ̇ϕ̇ (Jα,ν×α) + (α×e,ν), (6)
ψ̇K + (α,e) = ϕ̇
[
g − ψ̇(J(ν×α),ν×α)
]
− ψ̈ (Jν,ν×α)− ϕ̈ (Jα,ν×α) . (7)
58
О прецессионных движениях гиростата
Поскольку квадратичная форма (Jν, ν) положительно определена, из (5)
всегда можно выразить ψ̇:
ψ̇ =
g − ϕ̇(Jα,ν)
(Jν,ν)
. (8)
Дифференцирование (8) по времени в силу системы ν̇ = ϕ̇(ν ×α) дает
ψ̈ = −
(Jα,ν)ϕ̈
(Jν,ν)
−
2g(Jν,ν×α)ϕ̇
(Jν,ν)2
+
[ (Jν,ν×α)(Jα,ν)+ (η,ν×α) ]ϕ̇2
(Jν,ν)2
, (9)
где вектор η = |J |J−1α . Подстановка (8), (9) в уравнения (6), (7) приводит
к системе, содержащей только K ′
ϕ,K, ϕ̈, ϕ̇ и тригонометрические функции ϕ.
Если найдены удовлетворяющие этой системе K(ϕ) и ϕ(t), то определены
зависимости от времени основных переменных задачи: λ, ωi, νi (i = 1, 3).
Иногда (например, при изучении полурегулярных прецессий с ψ̇ = const)
из (5) удобно выразить ϕ̇ через ψ̇. Это возможно, только если Jα ∦ α : иначе
верно (Jα,ν) = 0, а левая часть (5) не содержит ϕ̇.
Случай Jα ‖ α будет исследован отдельно.
2. Ось собственного вращения – главная ось инерции. В качестве
базиса выберем систему главных осей эллипсоида инерции, в которых тензор
J = diag{J1, J2, J3}, Ji > 0, i = 1, 3.
Рассмотрим случай α = (0, 0, 1)T. Равенство (8) при этом определяет ψ̇
как функцию ϕ: ψ̇=
g
(Jν,ν)
, причем g 6= 0. Производная от ψ̇ в силу кинема-
тической подсистемы равна ψ̈=
−2g(Jν,ν×α)ϕ̇
(Jν,ν)2
. Внесем полученные выра-
жения в уравнения (6), (7). После некоторых преобразований будем иметь
ϕ̇K ′
ϕ =
(J1 − J2)g
2ν1ν2
(Jν,ν)2
+ e1ν2 − e2ν1, (10)
g K + e3(Jν,ν) =
gϕ̇
(Jν,ν)
[
|Jν|2 − J1J2
]
. (11)
Поскольку α коллинеарен главной оси, векторы r1 и r2 в разложении (4)
также можно считать направленными вдоль главных осей инерции; тогда
ν1 = sinϕ, ν2 = cosϕ, ν3 = 0.
Отметим, что при J1=J2 равенства (10), (11) выполнимы только сK=−
J1e3
g
,
e1 = e2 = 0. Функция ϕ̇(t) в этом случае остается произвольной, а ψ̇ =
g
J1
.
59
О.С. Волкова
Указанное решение соответствует прецессии вокруг вертикали гиростата
Лагранжа с λ(t)=−J3ϕ̇(t)−
J1e3
g
(см. частный случай решения [13, c. 82]).
Пусть далее J1 6= J2. Сразу отметим, что полурегулярные прецессии вто-
рого типа, с постоянной скоростью ϕ̇ = n , при α = (0, 0, 1)T невозможны.
Уравнения (10), (11) не могут задавать одну и ту же функцию K(ϕ), так как
необходимое для этого условие
(J1− J2)ν1ν2
[
2ne3(Jν,ν)
2+ g(g2− 4n2J1J2)
]
+ g(e1ν2− e2ν1)(Jν,ν)
2= 0 (12)
не является тождеством по ϕ: члены 5-го и 6-го порядков тригонометри-
ческого полинома (12) не исчезают одновременно при допустимых J ,e, g, n.
Продолжаем исследование при J1 6= J2. Исключая ϕ̇ из (10) и (11), полу-
чим для функции K(ϕ) уравнение Абеля второго рода:
K ′ [ gK + e3(Jν,ν)] =
g (J1− J2) [J1 − J2 − (J1 + J2) cos 2ϕ]P5(ϕ)
4(Jν,ν)3
, (13)
P5(ϕ) := g2(J1 − J2) sin 2ϕ+ 2 (Jν,ν)2 (e1 cosϕ− e2 sinϕ),
(Jν,ν) =
1
2
(J1 + J2 + (J2− J1) cos 2ϕ).
Если найдено решение уравнения (13), то зависимость ϕ̇(ϕ) определяется ра-
венством (11); значит, с точностью до постоянной будет известно и t(ϕ).
Укажем случаи, когда (13) упрощается.
• e3= 0 (e ⊥ α) – решение уравнения (13) записывается в квадратурах:
K2= 4 (J2− J1)
∫
J2− J1 + (J1 + J2) cos 2ϕ
(J1 + J2 + (J2− J1) cos 2ϕ)
3 P5(ϕ) dϕ.
Интеграл в правой части вычисляется в элементарных функциях угла ϕ:
K2= g2
[
J1J2
(Jν,ν)2
−
J1+J2
(Jν,ν)
]
+ 2 (J1 + J2)(e1 sinϕ+ e2 cosϕ)−
− 4
√
J1J2
[
e1aA
(
sinϕ
b
)
+ e2 bB
(cosϕ
a
)
]
+K0,
где a2 = J1|J1 − J2|
−1, b2 = J2|J1 − J2|
−1, K0 – произвольная постоянная;
A(x) = arctg x, B(x) = arcth x при J1 > J2 и A(x) = arcth x, B(x) = arctg x
при J2 > J1.
• e1 = e2 = 0 (e ‖ α) – после замены τ = |e|(Jν,ν), F (τ) = gK(τ) + τ
уравнение (13) принимает каноническую форму
(F ′ − 1)F =
g4|e|
2
(
J1 + J2
τ2
−
2|e|J1J2
τ3
)
.
60
О прецессионных движениях гиростата
Интегрированию уравнения Абеля посвящена обширная литература.
Множество частных случаев разобрано в [14] и других источниках; в [15]
обсуждается метод получения общего решения.
Замечание. Исключенная из рассмотрения в п. 2 возможность g = 0
приводит к маятниковому вращению неавтономного гиростата вокруг гори-
зонтальной главной оси, ортогональной радиус-вектору центра масс [6].
3. Ось собственного вращения произвольна. Будем считать, что
Jα ∦ α. Тогда в качестве r1 и r2 в разложении (4) можно выбрать векторы
r1 =
1
µ
(α× Jα), r2 =
1
µ
(α× (α× Jα)), µ := |α× Jα|; (14)
при этом простую форму записи примут выражения
(Jα,ν) = −µ(ν, r2) = −µ cosϕ, (Jα,ν ×α) = µ(ν, r1) = µ sinϕ.
Выясним, возможны ли в рамках исследуемой задачи полурегулярные
прецессии, отличные от прецессии гиростата Лагранжа. В каждом из случа-
ев ϕ̇ = const и ψ̇ = const система уравнений (5)–(7) будет исследована на
совместность.
3.1. Полурегулярные прецессии с ϕ̇ = n. Предположим, что ско-
рость собственного вращения постоянна и равна n. Учтя это условие в фор-
мулах (8), (9), преобразуем с их помощью уравнения (7):
[g− n(Jα,ν)]K + (α,e)(Jν,ν) =
=
n
(Jν,ν)
{
g |Jν ×α|2 + [2n(Jα,ν) − g ] (η,α)
}
+ n2(η,ν). (15)
Функция K(ν(ϕ)) должна также удовлетворить уравнению (6) с ψ̇ вида (8):
K ′
ϕ =
1
n
(α× e,ν) +
(Jα,ν ×α)
(Jν,ν)
[g− n(Jα,ν)] +
(Jν,ν ×α)
n(Jν,ν)2
[g− n(Jα,ν)]2.
Полученное уравнение легко интегрируется:
K = −
[g− n(Jα,ν)]2
2n(Jν,ν)
+
(e,ν)
n
+K0, K0 = const. (16)
Подстановка (16) в (15) приводит к условию
∑4
i=0 Pi = 0, где
P4 = 2n(Jν,ν)(Jν×e, ν×α),
P3 = 2(Jν,ν)
[
g(e,ν) − n2K0(Jα,ν) − n3(η,ν)
]
+ n3(Jα,ν)3,
P2 = 2ngK0(Jν,ν) − n2g
(
2|Jν|2 + (Jα,ν)2
)
,
P1 = n(Jα,ν)
[
3g2 − 4n2(η,α)
]
,
P0 = g
[
2n2(η,α)− g2
]
.
61
О.С. Волкова
Все входящие в Pi скалярные произведения – тригонометрические полиномы
по ϕ с коэффициентами, зависящими от r1 и r2: к примеру,
2(Jν,ν)=[(Jr2, r2)− (Jr1, r1)] cos 2ϕ+2(Jr1, r2) sin 2ϕ+(Jr1, r1)+(Jr2, r2).
Аналогичным образом представив остальные выражения, заключаем, что
а) степень тригонометрического полинома Pi(ϕ) равна его индексу;
б ) полиномы P4(ϕ), P2(ϕ) содержат члены только четных порядков, а
P3(ϕ), P1(ϕ) – наоборот, только нечетных.
Следовательно,
∑4
i=0 Pi(ϕ) – тригонометрический полином четвертой сте-
пени, который должен исчезать тождественно. Приравняем нулю его коэф-
фициенты. Для краткости записи введем обозначения
(Jr1, r1) =: J̃11, (Jr1, r2) =: J̃12, (Jr2, r2) =: J̃22.
Слагаемое P4(ϕ) не содержит членов четвертого порядка в двух случаях:
когда (Jν, ν) ≡ const либо (Jν×e, ν×α) ≡ const. Первая возможность
приводит к тому, что старший член полинома P3(ϕ) совпадает со старшим
членом выражения n3(Jα,ν)3 = −n3µ3 cos3 ϕ и, очевидно, в нуль не обраща-
ется. Значит, (Jν, ν) зависит от ϕ, и верно неравенство J̃2
12+(J̃11− J̃22)
2 6= 0.
Второе тождество (Jν×e, ν×α) ≡ κ0 имеет место только при
e =
(α,e)
µ
{
−2J̃12 r1 + (J̃11 − J̃22) r2 + µα
}
, κ0 = (α,e)J̃11 6= 0. (17)
Члены третьего порядка в P3(ϕ) отсутствуют также в двух случаях: при
K0 =
n
2
(J̃11+ J̃22) +
nµ2
σ2
(J̃22 − J̃11), g =
n3µ2(σ2+ µ2)
2σ2(α,e)
, (18)
где σ2= 4J̃ 2
12 + (J̃11 − J̃22)
2 6= 0, либо при
J̃12 = 0, J̃11 6= J̃22, K0 =
g(α,e)
n2µ2
(J̃22 − J̃11) +
nµ2
2(J̃22 − J̃11)
+ nJ̃11. (19)
Подсчет членов второго порядка в выражении P4(ϕ)+P2(ϕ) показывает, что
при условиях (18) они могут обращаться в нуль только с µn = 0, что невоз-
можно. Следовательно, верно (19). При этом условии проще вычислить снача-
ла члены первого порядка. Выражение P3(ϕ)+P1(ϕ) не содержит cosϕ, sinϕ,
если
µ2 =
1
n2J̃11
(J̃22 − J̃11)[3g
2− 4n2J̃11J̃22] > 0. (20)
С учетом (19), (20) можно утверждать, что P4(ϕ)+P2(ϕ) не содержит членов
второго порядка, если
[g2− n2J̃11J̃22]
(
4n(α,e)J̃2
11 + 12n2gJ̃11J̃22 − 9g3
)
= 0. (21)
62
О прецессионных движениях гиростата
Возможность g2− n2J̃11J̃22 = 0 приводит к тому, что константа в выражении
P4(ϕ) + P2(ϕ) + P0 отсутствует. Если же в (21) равен нулю второй сомножи-
тель, то свободный член в P4(ϕ) + P2(ϕ) + P0 исчезает при g = 0, (α,e) = 0.
Последнее равенство, согласно (17), недопустимо. Значит, выполнено
g2 = n2J̃11J̃22, µ2 = (J̃11 − J̃22)J̃22. (22)
В итоге заключаем, что равенство
∑4
i=0 Pi(ϕ) = 0 выполняется тождествен-
но лишь при условиях (17), (19), (22). Только в этом случае существует
решение системы (5)–(7) с ϕ̇ = n, ψ̇ 6= const.
Выпишем результат в главных осях эллипсоида инерции. Из J̃12 = 0
следует равенство (Jα × α,J−1α) = 0, которое выполнимо, только если α
принадлежит главной плоскости. Пусть α1 = 0, тогда векторы (14) имеют
вид
r1 = (1, 0, 0)T, r2 = (0, α3,−α2)
T. (23)
Условие µ2 = (J̃11 − J̃22)J̃22 позволяет получить координаты α:
α1 = 0, α2
2 =
J2(J1 − J2)
(J2 − J3)(J1 − J2 − J3)
, α2
3 =
J3(J3 − J1)
(J2 − J3)(J1 − J2 − J3)
, (24)
где J1 лежит между J2 и J3. Ограничения на α влекут за собой ограничения
и на вектор e, заданный разложением (17): Je ‖α, а косинус угла γ между
e и α вычисляется по формуле cos2 γ =
J2J3
J1(J2 + J3 − J1)
. Другими словами,
e1 = 0,
e 22
|e|2
=
J3(J2 − J1)
J1(J2 − J3)
,
e 23
|e|2
=
J2(J1 − J3)
J1(J2 − J3)
, (25)
где e2α2e3α3 > 0. Постоянная g определена равенством g2 =
J1J2J3 n
2
J2 + J3 − J1
.
Скорость собственного вращения n – произвольна, а скорость прецессии
ψ̇ =
2[g + n(J2 − J3)α2α3 cosϕ]
(J̃22 − J1) cos 2ϕ+ J1 + J̃22
, J̃22 =
J2J3
J2 + J3 − J1
. (26)
Функция λ(ϕ), необходимая для реализации заданного движения, имеет вид
λ(ϕ) =
e2α3(J3 − J2)
J3n
cosϕ+ n(J1 − J2 − J3)−
ge2
J3α2n2
. (27)
Компоненты вектора угловой скорости определяются из ω = ψ̇ ν + nα с ψ̇
вида (26) и ν1 = sinϕ, ν2 = α3 cosϕ, ν3 = −α2 cosϕ, где ϕ = nt− ϕ0.
Это же решение в связанной с вектором α неглавной системе координат
приведено в работе [16].
63
О.С. Волкова
Замечание. Очевидно, что (25) представляет собой условие В. Гесса.
Поскольку выполнено Je ‖ α и (ν,α) = 0, из разложения ω следует, что
(Jω,e) = const. Гиростатический момент в этом случае не может быть посто-
янным: согласно (24)–(27), из λ(ϕ) = const следовало бы Jα ‖ α и ψ̇ = const.
3.2. Полурегулярные прецессии с ψ̇ = m. Теперь изучим возмож-
ность вращения гиростата с постоянной скоростью прецессии. В задаче о
движении гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил
несколько решений с ψ̇ = m указаны в [17]. В настоящей работе для случая
ψ̇ = m, (ν,α) = 0 проведено полное исследование.
Итак, при ψ̇ = m из интеграла (5) целесообразно выразить ϕ̇(ν):
ϕ̇=
g−m(Jν,ν)
(Jα,ν)
,
ϕ̈=
ϕ̇
(Jα,ν)2
[g (Jα×α,ν) +m (Jν×α, (Jα,ν)ν+Jα)],
(28)
где вектор ν = ν(ϕ) задан разложением (4). Поскольку правая часть уравне-
ния для ϕ̇ – функция ϕ, зависимость t(ϕ) определяется интегрированием.
Уравнение (7) при условии ψ̇ = m упрощается до
mK+ (α,e)=
[g−m(Jν,ν)]Ψ
(Jα,ν)3
, (29)
Ψ = gµ2+ |J |m [1− (Jα,α)(J−1α,α)];
величина Ψ, очевидно, от ϕ не зависит. Из уравнения (6) получим соотноше-
ние, связывающее K ′
ϕ и компоненты ν:
(
K ′
ϕ+m(Jα×α,ν)
)
[g−m(Jν,ν)] =
=
[
m2(Jν, ν ×α) + (α× e,ν)
]
(Jα,ν).
(30)
Предположим, что Ψ 6= 0. Учитывая, что производная K ′
ϕ вычисляется в
силу системы ν′ϕ = ν × α, сможем проинтегрировать (30) при условии (29).
То есть систему (29), (30) заменим равносильной ей системой уравнений (29)
и
[mK+ (α,e)]2 +m2(Jα,ν)[mK+ (α,e)] −
2mΨ(e, r2)
µ(Jα,ν)
=
= 2mΨµ−2(e, r1) arcth(sinϕ) + I0, (31)
где I0 – произвольная постоянная. Из (29) следует, что левая часть (31) –
дробно-рациональна по sinϕ и cosϕ. Значит, правая часть (31) не может
64
О прецессионных движениях гиростата
быть трансцендентной функцией sinϕ. Отсюда заключаем, что (e, r1) = 0.
Подстановка (29) в (31) приводит к соотношению
I0(Jα,ν)
6 −m2Ψ[g−m(Jν,ν)](Jα,ν)4+
+
2mΨ
µ
(e, r2)(Jα,ν)
5 −Ψ2[g−m(Jν,ν)]2 = 0, (32)
которое с учетом ν = ν(ϕ) должно быть тождеством по ϕ. Слева получим
тригонометрический полином шестого порядка. Приравнивая нулю его стар-
шие члены, приходим к необходимости положить
J̃12 = 0, I0 =
m3
µ2
Ψ(J̃11 − J̃22). (33)
Члены пятого порядка в (32) содержат только слагаемое
2m
µ
Ψ(e, r2)(Jα,ν)
5.
Значит, (e, r2) = 0, что вместе с (e, r1) = 0 дает e ‖ α. Теперь нужно обеспе-
чить отсутствие в (32) членов четвертого порядка. Это возможно только при
g = J̃11m−
Ψ
µ4
(J̃22 − J̃11)
2. (34)
После подстановки (33), (34) в (32) получаем равенство
Ψ3(J̃11 − J̃22)
3[mµ4(cos 2ϕ+ 1) + Ψ(J̃22 − J̃11)] = 0,
которое при Ψ 6= 0 выполняется тождественно только с J̃11 = J̃22. Но тогда
в (34) g = J̃11m. Как было отмечено выше, из J̃12 = (Jr1, r2) = 0 при r1, r2
вида (14) следует Jr1 ‖ r1, а значит, α принадлежит главной плоскости.
Несложно проверить, что при α1 = 0, g = J1m константа Ψ в формуле (29)
равна нулю, что противоречит принятому предположению.
Рассмотрим вариант Ψ = 0. При этом из (29) следует K=−
(α,e)
m
, K ′
ϕ= 0.
Следовательно, (30) с K ′
ϕ= 0, ν = ν(ϕ) должно выполняться при любых ϕ.
После упрощения (30) получим равенство
(e,ν ×α)(Jα,ν) +m(gJα+mη,ν ×α) = 0. (35)
Учитывая, что α ∦ Jα, условия тождественного выполнения (35) запишем в
виде
e ‖ α, g (Jα×α) +m(η ×α) = 0, (36)
где η = |J |J−1α = Jr1×Jr2. Проектируя (36) на r1, r2, получим g = J̃11m и
Jr1 ‖ r1, т. е. снова α1= 0, g =J1m. При таких значения α1 и g верно Ψ = 0.
Других решений с ψ̇ = m, ϕ̇ 6= const система (5)–(7) при α ∦ Jα не имеет.
65
О.С. Волкова
Итак, движение тяжелого гиростата с постоянной скоростью прецессии
ψ̇ = m допустимо при условиях
e ‖ α, α1 = 0, α2α3 6= 0, α2
2 6=
J2 − J1
J2 − J3
, g =J1m, (37)
т. е. собственное вращение происходит вокруг неглавной оси, несущей центр
масс. Скорость собственного вращения в этом случае имеет вид
ϕ̇ = ξ cosϕ, ξ =
m[J1 − J2α
2
3 − J3α
2
2]
(J2 − J3)α2α3
6= 0.
Для реализации заданного движения необходимо обеспечить, чтобы величина
λ изменялась по закону
λ(ϕ) =
m[J2J3 − J1(Jα,α)]
(J2 − J3)α2α3
cosϕ−
(α,e)
m
, (38)
ϕ(t) = arcsin (th ξ(t− t0)).
Перечисленные условия могут быть получены и из результата [17] с B = 0,
C = 0 приведением к главным осям.
Очевидно, что при J2J3 = J1(Jα,α) выражение λ(ϕ) вида (38) будет
постоянным. Параметры при этом будут удовлетворять условиям В. Гесса,
т. е. получим полурегулярную прецессию в решении Л.Н.Сретенского [18].
Выпишем зависимости от ϕ проекций ω и ν на главные оси инерции:
ω1 = m sinϕ, ω2 =
(J1 − J3)m
(J2 − J3)α3
cosϕ, ω3 =
(J1 − J2)m
(J2 − J3)α2
cosϕ;
ν1 = sinϕ, ν2 = α3 cosϕ, ν3 = −α2 cosϕ.
Указанное решение обладает двумя характерными свойствами:
– проекция суммарного момента количества движения K на e постоянна;
– решение допускает линейное по ω инвариантное соотношение (ω, ζ) = 0,
где ζ = (0, (J1 − J2)α3, (J3 − J1)α2)
T. Отметим, что при J2J3 = J1(Jα,α)
вектор ζ коллинеарен Je, а инвариантное соотношение имеет вид (Jω,e) = 0.
Замечание. Условия α2
2 =
(J2 − J1)
(J2 − J3)
, α2
3 =
(J1 − J3)
(J2 − J3)
, исключенные в
(37), при e ‖ α представляют собой условия Дж.Гриоли [11] существования
регулярных прецессий гиростата с λ = const вокруг наклонной оси. Для ги-
ростата с λ = λ(t)α эти же условия обеспечивают возможность регулярной
прецессии вокруг вертикали [7].
66
О прецессионных движениях гиростата
Выводы. Таким образом, в предположении (ν,α) = 0 полностью иссле-
дованы условия допустимости двух типов полурегулярных прецессий тяже-
лого гиростата с гиростатическим моментом λ(t)α. Показано, что для су-
ществования решений уравнений движения необходимо, чтобы гиростатичес-
кий момент и радиус-вектор центра масс принадлежали главной плоскости
эллипсоида инерции.
1. Румянцев В.В. Об устойчивости движения гиростатов // Прикл. математика и меха-
ника. – 1961. – 25, № 4. – С. 9–16.
2. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел. – М.: Мир, 1980. – 292 с.
3. Харламов П.В. Гиростаты // Докл. АН УССР. Сер. А. Физ.-мат. и техн. науки. –
1988. – 9. – С. 38–41.
4. Дружинин Э.И. О перманентных вращениях уравновешенного неавтономного гиро-
стата // Прикл. математика и механика. – 1999. – 63, вып. 5. – С. 825–826.
5. Kovaleva L.M. Investigation of permanent rotations of the rigid body with fixed point,
carrying one- and two-degree gyros // XXII Yugoslav congress of theoretical and applied
mechanics. – Vrnjaska Banja, 1997. – P. 61–64.
6. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с пере-
менным гиростатическим моментом // Механика твердого тела. – 2009. – Вып. 39. –
С. 42–49.
7. Волкова О.С. Регулярные прецессии тяжелого гиростата вокруг вертикальной оси //
Тр. ИПММ НАН Украины. – 2009. – 19. – C. 30–35.
8. Волкова О.С. Регулярные прецессии гиростата с неподвижной точкой в поле силы
тяжести // Механика твердого тела. – 2010. – Вып. 40. – С. 63–76.
9. Мазнев А.В. Один класс прецессионно-изоконических движений неавтономного ги-
ростата под действием потенциальных и гироскопических сил // Тр. ИПММ НАН
Украины. – 2011. – 22. – С. 145–152.
10. Мазнев А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим мо-
ментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердого
тела. – 2010. – Вып. 40. – С. 91–104.
11. Grioli G. Esistenza e determinazione delle precessioni regolari dinamicamente possibili
per un solido pesante asimmetrico // Ann. Mat. Pura ed Appl. Ser.4. – 1947. – 26. –
P. 271–281.
12. Горр Г.В., Мазнев А.В., Щетинина Е.К. Прецессионные движения в динамике твер-
дого тела и в динамике систем связанных твердых тел. – Донецк:ДонНУ, 2009. –
222 с.
13. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Точные решения уравнений движения гиростата во-
круг неподвижной точки // Соврем. проблемы математики, механики, информатики
/ Под ред. Кизиловой Н.Н., ЖолткевичаГ.Н. – Харьков: “Апостроф”, 2011. – С. 74-84.
14. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным урав-
нениям. – М.: Физматлит, 2001. – 576 с.
15. Panayotounakos D.E., Zarmpoutis Th.I., Sotiropoulos P. The General Solutions of the
Normal Abel’s Type Nonlinear ODE of the Second Kind // IAENG Intern. J. of Appl.
Math. – 2013. – 43: 3. – P. 94–98.
16. Мазнев А.В., Котов Г.А. Прецессионно-изоконические движения второго типа в за-
даче о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом // Вiсн. До-
нецького нацiонального ун-ту. Сер. А: Природничi науки. – 2012. – Вип. 1. – С. 79–82.
17. Возняк А.А. Полурегулярные прецессии первого типа в задаче о движении гиростата
с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироско-
пических сил // Тр. ИПММ НАН Украины. – 2012. – 24. – С. 45–57.
18. Сретенский Л.Н. О некоторых случаях интегрируемости уравнений движения гиро-
стата // Докл. АН СССР. – 1963. – 149, № 2. – С. 292–294.
67
О.С. Волкова
О.S. Volkova
Precessional motions of a gyrostat in the case when the gyrostatic momentum
belongs to the horizontal plane
The paper concerns gyrostat rotations about a fixed point in the gravity field. Existence condi-
tions for certain of precessional motions about the vertical axis are studied under the assumption
that the direction of variable gyrostatic momentum is invariant in the rotating frame. The situa-
tions when the proper rotation is performed about the principal and nonprincipal axis of inertia
are considered separately. In the first case integration of the motion equations is reduced to
integration of the Abel equation; in the second one the complete investigation of all admissible
semiregular precessions is carried out.
Keywords: gyrostat with fixed point, variable gyrostatic momentum, precessional motion.
О.С. Волкова
Прецесiйнi рухи гiростата у випадку, коли гiростатичний момент нале-
жить горизонтальнiй площинi
Вивчається обертання навколо нерухомої точки важкого гiростата зi змiнним гiростатич-
ним моментом. У припущеннi, що напрямок гiростатичного моменту фiксовано у базисi,
який обертається, дослiджено умови iснування одного типу прецесiйних рухiв гiростата вiд-
носно вертикалi. Окремо розглянуто випадки, коли власне обертання вiдбувається навколо
головної та неголовної осi елiпсоїда iнерцiї. В першому з випадкiв iнтегрування рiвнянь
руху зведено до iнтегрування рiвняння Абеля, у другому проведено повне дослiдження
допустимих напiврегулярних прецесiй гiростата.
Ключовi слова: гiростат з нерухомою точкою, змiнний гiростатичний момент, пре-
цесiйний рух.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
volkova@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 01.07.13
68
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72640 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:14:45Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Волкова, О.С. 2014-12-27T13:27:30Z 2014-12-27T13:27:30Z 2013 О прецессионных движениях гиростата в случае, когда гиростатический момент принадлежит горизонтальной плоскости / О.С. Волкова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 57-68. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72640 531.38 Изучено вращение вокруг неподвижной точки тяжелого гиростата с переменным гиростатическим моментом. В предположении, что направление гиростатического момента фиксировано во вращающемся базисе, исследованы условия существования одного типа прецессионных движений гиростата вокруг вертикали. Отдельно рассмотрены случаи, когда собственное вращение происходит вокруг главной и неглавной оси инерции. В первом случае интегрирование уравнений движения сведено к интегрированию уравнения Абеля; во втором проведено исследование возможных полурегулярных прецессий гиростата. Вивчається обертання навколо нерухомої точки важкого гiростата зi змiнним гiростатичним моментом. У припущеннi, що напрямок гiростатичного моменту фiксовано у базисi, який обертається, дослiджено умови iснування одного типу прецесiйних рухiв гiростата вiдносно вертикалi. Окремо розглянуто випадки, коли власне обертання вiдбувається навколо головної та неголовної осi елiпсоїда iнерцiї. В першому з випадкiв iнтегрування рiвнянь руху зведено до iнтегрування рiвняння Абеля, у другому проведено повне дослiдження допустимих напiврегулярних прецесiй гiростата. The paper concerns gyrostat rotations about a fixed point in the gravity field. Existence conditions for certain of precessional motions about the vertical axis are studied under the assumption that the direction of variable gyrostatic momentum is invariant in the rotating frame. The situations when the proper rotation is performed about the principal and nonprincipal axis of inertia are considered separately. In the first case integration of the motion equations is reduced to integration of the Abel equation; in the second one the complete investigation of all admissible semiregular precessions is carried out. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела О прецессионных движениях гиростата в случае, когда гиростатический момент принадлежит горизонтальной плоскости Прецесiйнi рухи гiростата у випадку, коли гiростатичний момент належить горизонтальнiй площинi Precessional motions of a gyrostat in the case when the gyrostatic momentum belongs to the horizontal plane Article published earlier |
| spellingShingle | О прецессионных движениях гиростата в случае, когда гиростатический момент принадлежит горизонтальной плоскости Волкова, О.С. |
| title | О прецессионных движениях гиростата в случае, когда гиростатический момент принадлежит горизонтальной плоскости |
| title_alt | Прецесiйнi рухи гiростата у випадку, коли гiростатичний момент належить горизонтальнiй площинi Precessional motions of a gyrostat in the case when the gyrostatic momentum belongs to the horizontal plane |
| title_full | О прецессионных движениях гиростата в случае, когда гиростатический момент принадлежит горизонтальной плоскости |
| title_fullStr | О прецессионных движениях гиростата в случае, когда гиростатический момент принадлежит горизонтальной плоскости |
| title_full_unstemmed | О прецессионных движениях гиростата в случае, когда гиростатический момент принадлежит горизонтальной плоскости |
| title_short | О прецессионных движениях гиростата в случае, когда гиростатический момент принадлежит горизонтальной плоскости |
| title_sort | о прецессионных движениях гиростата в случае, когда гиростатический момент принадлежит горизонтальной плоскости |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72640 |
| work_keys_str_mv | AT volkovaos oprecessionnyhdviženiâhgirostatavslučaekogdagirostatičeskiimomentprinadležitgorizontalʹnoiploskosti AT volkovaos precesiiniruhigirostatauvipadkukoligirostatičniimomentnaležitʹgorizontalʹniiploŝini AT volkovaos precessionalmotionsofagyrostatinthecasewhenthegyrostaticmomentumbelongstothehorizontalplane |