Маятниковые движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента
Получены условия существования маятниковых движений гиростата, для которых переменный гиростатический момент принадлежит плоскости, ортогональной оси вращения. Движение гиростата происходит в магнитном и электрическом полях под действием центральных ньютоновских сил. Указано решение уравнений движен...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72641 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Маятниковые движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента / А.А. Возняк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 69-78. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860210552637227008 |
|---|---|
| author | Возняк, А.А. |
| author_facet | Возняк, А.А. |
| citation_txt | Маятниковые движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента / А.А. Возняк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 69-78. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Получены условия существования маятниковых движений гиростата, для которых переменный гиростатический момент принадлежит плоскости, ортогональной оси вращения. Движение гиростата происходит в магнитном и электрическом полях под действием центральных ньютоновских сил. Указано решение уравнений движения, описываемое эллиптическими функциями времени.
Одержано умови iснування маятникових рухiв гiростата, для яких змiнний гiростатичний момент належить площинi, ортогональнiй вiсi обертання. Рух гiростата вiдбувається в магнiтному та електричному полях пiд дiєю центральних ньютонiвських сил. Указано розв’язок рiвнянь руху, що описується елiптичними функцiями часу.
The existence conditions for pendulum motions of a gyrostat are studied under the assumption that the variable gyrostatic moment belongs to the plane which is orthogonal to the rotation axis. A gyrostat moves in magnetic and electric fields under the action of central Newtonian forces. The particular solution of the motion equations is found and expressed in terms of elliptic functions of time.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:14:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2013. Вып. 43
УДК 531.38
c©2013. А.А.Возняк
МАЯТНИКОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ
И ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ В СЛУЧАЕ
ПЕРЕМЕННОГО ГИРОСТАТИЧЕСКОГО МОМЕНТА
Получены условия существования маятниковых движений гиростата, для которых пере-
менный гиростатический момент принадлежит плоскости, ортогональной оси вращения.
Движение гиростата происходит в магнитном и электрическом полях под действием цент-
ральных ньютоновских сил. Указано решение уравнений движения, описываемое эллипти-
ческими функциями времени.
Ключевые слова: гиростатический момент, маятниковые движения, эллиптические
функции.
Введение. В динамике твердого тела наиболее полно изучены движе-
ния механических систем, называемых гиростатами, в случае постоянного
гиростатического момента [1–3]. Если гиростатический момент зависит от
времени, то уравнения движения гиростата становятся неавтономными диф-
ференциальными уравнениями. Различные подходы в выводе и истолковании
уравнений движения приведены в работах [4–7]. Наиболее интенсивно задача
о движении гиростата с переменным гиростатическим моментом изучается в
последнее время. В случае, когда гиростатический момент направлен по неко-
торой, неизменно связанной с телом-носителем, оси, исследованы равномер-
ные вращения гиростата [8, 9], регулярные прецессии [10–12], полурегулярные
прецессии первого типа [13], прецессии общего вида [14] и др. движения [15–
16].
Маятниковые движения представляют практический интерес, поскольку
вращение гиростата происходит с нестационарной скоростью вокруг непод-
вижной в пространстве оси. Они исследованы только для случая, когда ги-
ростатический момент коллинеарен собственной оси гиростата, а на гиростат
действуют либо сила тяжести [15], либо потенциальные и гироскопические
силы определенного класса [18]. Данная статья посвящена исследованию ма-
ятниковых движений гиростата в предположении, что гиростатический мо-
мент лежит в плоскости, ортогональной оси вращения гиростата.
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о движении гиростата
с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и
гироскопических сил [3]. Примем следующие обозначения: ω = (ω1, ω2, ω3)
– вектор угловой скорости тела-носителя; ν = (ν1, ν2, ν3) – единичный
вектор оси симметрии силовых полей; s = (s1, s2, s3) – вектор, направ-
ленный из неподвижной точки O гиростата в обобщенный центр масс;
λ(t) = λ1(t)α + λ2(t)β (α = (α1, α2, α3),β = (β1, β2, β3)) – гиростатический
69
А.А.Возняк
момент; A = (Aij) – тензор инерции гиростата; B = (Bij), C = (Cij) – посто-
янные симметричные матрицы третьего порядка. Без ограничения общности
постановки задачи будем полагать
α2
1 + α2
2 + α2
3 = 1, β2
1 + β2
2 + β2
3 = 1, α · β = 0. (1)
Уравнения движения гиростата запишем в виде
A
·
ω = (λ1(t)α+ λ2(t)β)× ω − (λ·
1(t)α+ λ·
2(t)β)+
+Aω × ω +ω ×Bν + s× ν + ν × Cν,
(2)
·
ν = ν × ω, (3)
где точка над переменными обозначает дифференцирование по времени t.
Первые интегралы уравнений (2), (3) таковы
ν · ν = 1, (Aω + λ) · ν = k, (4)
k – произвольная постоянная.
Маятниковыми движениями гиростата называются движения, при кото-
рых движение гиростата происходит вокруг неподвижной в пространстве оси,
т. е. вектор угловой скорости гиростата имеет разложение
ω =
·
ϕ э,
dэ
dt
= 0, (5)
где
·
ϕ – скорость вращения гиростата,
d
dt
– оператор абсолютной производной.
В силу второго равенства из (5) орт э не изменяет своего положения в теле-
носителе. Пусть он совпадает с единичным вектором a, тогда
ω =
·
ϕ a. (6)
Сформулируем постановку задачи: определить условия существования у
системы дифференциальных уравнений (2), (3) векторного инвариантного
соотношения (6). В качестве неизвестных функций выступают функции
·
ϕ(t),
λ1(t), λ2(t), νi(t) (i = 1, 3). При этом постоянные параметры уравнения (2)
либо заданы, либо подлежат определению на этапе требования совместности
(2), (3), (6).
Ранее маятниковые движения изучались для случаев постоянного гиро-
статического момента [2] и варианта λ(t) = λ(t)α [15] – переменного гироста-
тического момента.
70
Маятниковые движения гиростата
2. Редукция системы (2), (3). Подставим выражение (6) в уравнения
(2), (3)
λ·
1(t)α+ λ·
2(t)β =
·
ϕλ1(t)(α × a) +
·
ϕλ2(t)(β × a)−
−. .
ϕA a+
.
ϕ
2
(A a× a) +
·
ϕ(a ×Bν) + s× ν + ν × Cν,
(7)
·
ν = ϕ(ν × a). (8)
Перейдем к интегрированию уравнения (8). Следуя методу [3], положим
a = (0, 0, 1). Умножим обе части уравнения (8) скалярно на вектор a. Тогда
ν · a = a0 (a0 = cos θ0). (9)
Инвариантному соотношению (9), первому геометрическому интегралу из (4)
и уравнению (8) удовлетворим, положив [3]
ν1 = a′0 sinϕ, ν2 = a′0 cosϕ, ν3 = a0, (10)
где a′
0
= sin θ0.
Известно [1, 2], что в классической задаче о движении тяжелого твердо-
го тела маятниковое движение (6) происходит вокруг горизонтальной оси в
пространстве, т. е. в (9), (10) угол θ =
π
2
. В данной статье априори не будем
предполагать выполнение этого условия.
По предположению (1) векторы α и β, γ = α × β составляют ортого-
нальный базис. Запишем в этом базисе скалярные уравнения, вытекающие
из (7):
·
λ1(t) = γ3
·
ϕλ2(t)− µ0
. .
ϕ+ µ1
.
ϕ
2
+
·
ϕ(µ2 sinϕ+ µ3 cosϕ+ µ4)+
+µ5 sin 2ϕ + µ6 cos 2ϕ+ µ7 sinϕ+ µ8 cosϕ+ µ9,
(11)
·
λ2(t) = −γ3
·
ϕλ1(t)− ε0
. .
ϕ+ ε1
.
ϕ
2
+
·
ϕ(ε2 sinϕ+ ε3 cosϕ+ ε4)+
+ε5 sin 2ϕ+ ε6 cos 2ϕ+ ε7 sinϕ+ ε8 cosϕ+ ε9,
(12)
·
ϕ(β3λ1(t)− α3λ2(t)) − σ0
. .
ϕ+ σ1
.
ϕ
2
+
·
ϕ(σ2 sinϕ+ σ3 cosϕ+ σ4)+
+σ5 sin 2ϕ + σ6 cos 2ϕ+ σ7 sinϕ+ σ8 cosϕ+ σ9 = 0.
(13)
Здесь
γ1 = α2β3 − α3β2, γ2 = α3β1 − α1β3, γ3 = α1β2 − α2β1, (14)
µ0 = A13α1 +A23α2 +A33α3, ε0 = A13β1 +A23β2 +A33β3,
σ0 = A13γ1 +A23γ2 +A33γ3,
(15)
71
А.А.Возняк
µ1 = α1A23 − α2A13, ε1 = β1A23 − β2A13, σ1 = γ1A23 − γ2A13,
µ2 = a′0(α2B11 − α1B12), ε2 = a′0(β2B11 − β1B12), σ2 = a′0(γ2B11 − γ1B12),
µ3 = a′0(α2B12 − α1B22), ε3 = a′0(β2B12 − β1B22), σ3 = a′0(γ2B12 − γ1B22),
(16)
µ4 = a0(α2B13 − α1B23), ε4 = a0(β2B13 − β1B23), σ5 = a0(γ2B13 − γ1B23),
µ5 =
1
2
a
′2
0 [α1C13 − α2C23 + α3(C22 −C11)],
µ6 =
1
2
a
′
2
0 (α1C23 + α2C13 − 2α3C12),
µ7 = a′0[−α1a0C12 + α2(s3 − a0(C33 − C11))− α3(s2 − a0C23)],
µ8 = a′0[−α1(s3 − a0(C33 − C22)) + α2a0C12 + α3(s1 − a0C13)],
µ9 =
α1
2
[2a0s2 + (a
′2
0 − 2a20)C23]−
α2
2
[2a0s1 + (a
′2
0 − 2a20)C13],
(17)
ε5 =
1
2
a
′
2
0 [β1C13 − β2C23 + β3(C22 − C11)],
ε6 =
1
2
a
′2
0 (β1C23 + β2C13 − 2β3C12),
ε7 = a
′
0[−β1a0C12 + β2(s3 − a0(C33 − C11))− β3(s2 − a0C23)],
ε8 = a′0[−β1(s3 − a0(C33 −C22)) + β2a0C12 + β3(s1 − a0C13)],
ε9 =
1
2
β1[2a0s2 + (a
′
2
0 − 2a20)C23]−
1
2
β2[2a0s1 + (a
′
2
0 − 2a20)C13],
(18)
σ5 =
1
2
a
′
2
0 [γ1C13 − γ2C23 + γ3(C22 − C11)],
σ6 =
1
2
a
′2
0 (γ1C23 + γ2C13 − 2γ3C12),
σ7 = a
′
0[−γ1a0C12 + γ2(s3 + a0(C11 − C33)) + γ3(s2 − a0C23)],
σ8 = a′0[−γ1(s3 − a0(C33 − C22)) + γ2a0C12 + γ3(s1 − a0C13)],
σ9 =
1
2
γ1[2a0s2 + (a
′2
0 − 2a20)C23]−
1
2
γ2[2a0s1 + (a
′2
0 − 2a20)C13].
(19)
Если зависимость ϕ = ϕ(t) будет задана, то соотношения (11), (12) пред-
ставляют собой систему двух линейных дифференциальных уравнений отно-
сительно λ1(t), λ2(t), которая должна допускать инвариантное соотношение
(13).
3. Об общем методе исследования (11)–(13). Запишем уравнения
(11)–(13) в краткой форме
λ·
1(t) = γ3
.
ϕλ2(t) + F1(t), λ·
2(t) = −γ3
.
ϕλ1(t) + F2(t), (20)
β3λ1(t)− α3λ2(t) + F3(t) = 0, (21)
72
Маятниковые движения гиростата
где
F1(t) = −µ0
. .
ϕ(t) + µ1
.
ϕ
2
(t) +
·
ϕ(t)(µ2 sinϕ(t) + µ3 cosϕ(t) + µ4)+
+µ5 sin 2ϕ(t) + µ6 cos 2ϕ(t) + µ7 sinϕ(t) + µ8 cosϕ(t) + µ9,
(22)
F2(t) = −ε0
. .
ϕ(t) + ε1
.
ϕ
2
(t) +
·
ϕ(t)(ε2 sinϕ(t) + ε3 cosϕ(t) + ε4)+
+ε5 sin 2ϕ(t) + ε6 cos 2ϕ(t) + ε7 sinϕ(t) + ε8 cosϕ(t) + ε9,
(23)
F3(t) =
1
·
ϕ(t)
[
− σ0
. .
ϕ(t) + σ1
.
ϕ
2
(t) +
·
ϕ(t)(σ2 sinϕ(t) + σ3 cosϕ(t) + σ4)+
+σ5 sin 2ϕ(t) + σ6 cos 2ϕ(t) + σ7 sinϕ(t) + σ8 cosϕ(t) + σ9
]
.
(24)
Вычислим первую и вторую производные от инвариантного соотношения (21)
в силу уравнений (20):
γ3(α3λ1(t) + β3λ2(t)) +
1
·
ϕ
(β3F1(t)− α3F2(t) +
·
F 3(t)) = 0, (25)
γ23(β3λ1(t)− α3λ2(t))−
1
·
ϕ
{
γ3(α3F1(t) + β3F2(t))+
+
[
1
·
ϕ
(β3F1(t)− α3F2(t) +
·
F 3(t))
]
·
}
= 0.
(26)
При изучении соотношений (21), (25), (26) необходимо учитывать обо-
значения (14)–(19) и (22)–(24) и структуру (21), (25), (26). Таким образом,
необходимо рассмотреть три случая: α3 = β3 = 0; γ3 = 0, α2
3
+ β2
3
6= 0; γ3 6= 0,
α2
3
+β2
3
6= 0. В первом случае на основании (21) необходимо требовать, чтобы
F3(t) = 0 для любых значений t. Во втором случае, используя (25), получим
уравнение
β3F1(t)− α3F2(t) +
·
F 3(t) = 0. (27)
Требование выполнения (27) для любых t приводит к условиям на параметры.
Они обеспечивают существование инвариантного соотношения (21). В тре-
тьем случае в уравнение (26) можно внести выражение β3λ1(t) − α3λ2(t),
найденное из (21). Тогда получим уравнение Φ(t) = 0, правая часть которого
зависит только от времени. Для получения условий существования маятни-
ковых движений следует потребовать, чтобы Φ(t) ≡ 0 для любых t.
Замечание. Если зависимость ϕ = ϕ(t) не задана, то указанные выше
уравнения: F3(t) = 0, β3F1(t) − α3F2(t) +
·
F 3(t) = 0, Φ(t) = 0 служат диф-
ференциальными уравнениями на функцию ϕ(t). После получения условий
существования маятниковых движений функции λ1(t), λ2(t) определяются из
уравнений (20).
73
А.А.Возняк
4. Один случай разрешимости уравнений (11)–(13). В задаче о
движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой известны три ва-
рианта маятниковых движений: вращательное движение; колебание относи-
тельно вертикали; асимптотическое движение, при котором центр масс при
t → ∞ стремится занять верхнее положение равновесия. В данной статье
в силу того, что
·
ϕ(t) в формулы (25), (26) входит в качестве знаменателя,
рассмотрим случай, когда маятниковое движение является вращением отно-
сительно некоторой оси в пространстве. Пусть
·
ϕ =
√
p0 + p1 cosϕ, (28)
где p0, p1 – параметры, удовлетворяющие условию p0 > p1 > 0. Тогда из
уравнения (28) получим
ϕ = 2amκ0t, sinϕ = 2snκ0tcnκ0t,
cosϕ = 1− 2cn2
κ0t,
·
ϕ = 2κ0dnκ0t,
(29)
где amκ0t, snκ0t, cnκ0t, dnκ0t – эллиптические функции времени. Значение
κ0 и модуль эллиптических функций k∗ таковы
κ0 =
1
2
√
p0 + p1, k2
∗
=
2p1
p0 + p1
. (30)
Пусть γ3 6= 0, введем вместо λ1(t), λ2(t) новую переменную ρ(t):
λ1(t) = ρ(t) sin γ3ϕ(t), λ2(t) = ρ(t) cos γ3ϕ(t). (31)
На основании (28), (31) из (11)–(13) имеем
·
ρ(t) sin γ3ϕ(t) = (µ2 sinϕ(t) + µ3 cosϕ(t) + µ4)
√
p0 + p1 cosϕ(t)+
+µ5 sin 2ϕ(t) + µ6 cos 2ϕ(t) + µ∗
7 sinϕ(t) + µ∗
8 cosϕ(t) + µ∗
9,
(32)
·
ρ(t) cos γ3ϕ(t) = (ε2 sinϕ(t) + ε3 cosϕ(t) + ε4)
√
p0 + p1 cosϕ(t)+
+ε5 sin 2ϕ(t) + ε6 cos 2ϕ(t) + ε∗7 sinϕ(t) + ε∗8 cosϕ(t) + ε∗9,
(33)
·
ϕ(β3λ1(t)− α3λ2(t)) + (σ2 sinϕ(t) + σ3 cosϕ(t) + σ4)
√
p0 + p1 cosϕ(t)+
+σ5 sin 2ϕ(t) + σ6 cos 2ϕ(t) + σ∗
7 sinϕ(t) + σ∗
8 cosϕ(t) + σ∗
9 .
(34)
Здесь
µ∗
7 = µ7 +
µ0p1
2
, µ∗
8 = µ8 + µ1p1, µ∗
9 = µ9 + µ1p0,
ε∗7 = ε7 +
ε0p1
2
, ε∗8 = ε8 + ε1p1, ε∗9 = ε9 + ε1p0,
σ∗
7 = σ7 +
σ0p1
2
, σ∗
8 = σ8 + σ1p1, σ∗
9 = σ9 + σ1p0.
(35)
74
Маятниковые движения гиростата
В уравнениях (32)–(34) функции ϕ(t), sinϕ(t), cosϕ(t) имеют значения (29).
Исключим
·
ρ(t) из уравнений (32), (33). Тогда получим уравнение, из ко-
торого вытекает
(µ2 − ε3) sin(1 + γ3)ϕ+ (µ3 + ε2) cos(1 + γ3)ϕ+ (µ2 + ε3) sin(1− γ3)ϕ+
+(µ3 − ε2) cos(1− γ3)ϕ+ 2µ4 cos γ3ϕ− 2ε4 sin γ3ϕ = 0,
(36)
(µ5 − ε6) sin(2 + γ3)ϕ+ (µ6 + ε5) cos(2 + γ3)ϕ+
+(µ5 + ε6) sin(2− γ3)ϕ+ (µ6 − ε5) cos(2− γ3)ϕ+
+(µ∗
7 − ε∗8) sin(1 + γ3)ϕ+ (µ∗
8 + ε∗7) cos(1 + γ3)ϕ+
+(µ∗
7 + ε∗8) sin(1− γ3)ϕ+ (µ∗
8 − ε∗7) cos(1− γ3)ϕ+
+2µ∗
9 cos γ3ϕ− 2ε∗9 sin γ3ϕ = 0.
(37)
Рассмотрим случай, когда в уравнениях (36), (37) γ3 = 1. В силу равенств
γ = α×β, (α×β) · a = 1 можно считать, что α1 = 1, α2 = 0, α3 = 0, β1 = 0,
β2 = 1, β3 = 0. Значения (14)–(19) упрощаются:
γ3 = 1, µ0 = A13, ε0 = A23, σ0 = A33, µ1 = A23, ε1 = −A13,
σ1 = 0, µ2 = −a′0B12, ε2 = a′0B11, σ2 = 0, µ3 = −a′0B22,
ε3 = a′0B12, σ3 = 0, µ4 = −a0B23, ε4 = a0B13, σ4 = 0,
µ5 =
1
2
a
′2
0 C13, µ6 =
1
2
a
′2
0 C23, µ7 = −a0a
′
0C12,
µ8 = −a′0[s3 − a0(C33 − C22)], µ9 =
1
2
[2a0s2 + (a
′2
0 − 2a20)C23],
ε5 = −1
2
a
′
2
0 C23, ε6 =
1
2
a
′
2C13, ε7 = a′0[s3 − a0(C33 −C11)],
ε8 = a0C12, ε9 = −1
2
[2a0s1 + (a
′2
0 − 2a20)C13], σ5 =
1
2
a
′2
0 (C22 − C11),
σ6 = −a
′
2
0 C12, σ7 = a′0(s2 − a0C23), σ8 = a′0(s1 − a0C13), σ9 = 0.
(38)
Поскольку α3 = 0, β3 = 0, то из уравнения (34) в силу (35), (38) следует
C12 = 0, C22 = C11, s1 = a0C13, (39)
p1 =
2a′
0
A33
(s2 − a0C23). (40)
Из уравнений (36), (37) при γ3 = 1 в силу (38), (39) получаем
B12 = 0, B11 = 0, B22 = 0, a0B13 = 0, a0B23 = 0, (41)
75
А.А.Возняк
A23 = 0, A13 = 0, (42)
s1 = 0, a0s2 + (a
′2
0 − a20)C23 = 0, s3 − a0(C33 − C11) = 0, C13 = 0. (43)
На основании равенств (39)–(43) с учетом функции sinϕ(t) из (29) функцию
ρ(t) найдем из (32)
ρ(t) =
2a
′
2
0
C23
κ0k2∗
dnκ0t+ C0, (44)
где C0 – произвольная постоянная. Функции λ1(t), λ2(t) определим из (31):
λ1(t) = 2ρ(t)snκ0tcnκ0t, λ2(t) = ρ(t)(1 − 2cn2
κ0t). (45)
Следовательно, λ1(t), λ2(t) – периодические функции времени с периодом
2K
κ0
, где K – полный эллиптический интеграл
K =
π/2
∫
0
du
√
1− k2
∗
sin2 u
.
Проанализируем условия (39)–(43). Из (42) следует, что ось вращения ги-
ростата является главной осью. Для задачи о движении гиростата с пере-
менным гиростатическим моментом: Bij = 0, Cij = 0 (i, j = 1, 3). Считая
s2
1
+s2
2
+s2
3
6= 0, из (39), (41), (43) получим a0 = 0, p1 =
2s2
A33
, s1 = 0, s3 = 0. Эти
условия показывают, что маятниковое движение происходит вокруг горизон-
тальной оси в неподвижном пространстве, а центр масс гиростата принадле-
жит главной плоскости эллипсоида инерции. При данном движении скорость
собственного вращения (28) характеризуется условием p0 > s2 > 0, т. е. на
параметр p0 накладывается ограничение в виде неравенства.
Предположим, что либо B13 6= 0, либо B23 6= 0. Тогда из (41) получим
a0 = 0, т. е. вращение гиростата опять происходит вокруг горизонтальной
оси в пространстве. Если a0 6= 0, то из (41) вытекают равенства
B23 = 0, B13 = 0. (46)
С учетом первых трех равенств из (41), равенства (46) показывают, что в
матрице B только элемент B33 отличен от нуля.
Выясним роль элементов матрицы C в условиях (39), (43), (44). Если
предполагать a0 = 0, то матрица C будет иметь вид
C =
C11 0 0
0 C11 0
0 0 C33
, (47)
вектор обобщенного центра масс s будет принадлежать главной плоскости
эллипсоида инерции, а параметр p1 примет значение
2s2
A33
. Если a0 6= 0, то мат-
рица C, кроме C11 и C33, будет содержать элемент C23. При этом, в отличие от
76
Маятниковые движения гиростата
случая a0 = 0, для которого ρ(t) = C0, в исследуемом варианте функция ρ(t)
из (44) зависит от времени, а в качестве параметров в нее входят величины
(30).
Заключение. Рассмотрена задача об условиях существования маятни-
ковых движений гиростата с переменным гиростатическим моментом. Пред-
полагается, что гиростатический момент принадлежит некоторой плоскости,
неизменно связанной с телом-носителем. Установлены три дифференциаль-
ных уравнения на функции λ1(t), λ2(t), ϕ(t). Предложен метод получения
условий существования маятниковых движений, основанный на методе инва-
риантных соотношений. Для случая, когда маятниковое движение является
вращением, описываемым эллиптическими функциями времени, а плоскость,
содержащая гиростатический момент, ортогональна оси вращения гироста-
та, установлены новые условия существования рассматриваемых движений.
Выполнен анализ этих условий, показана возможность маятниковых движе-
ний в случае, когда на гиростат действует только сила тяжести. Указан пери-
од функций λi(t) (i = 1, 2), ϕ(t). Получены уравнения (см. (36), (37)), которые
можно использовать для получения новых классов маятниковых движений
(например, при условии γ3 =
1
2
).
1. Борисов А.В., Мамаев И.С. Динамика твердого тела. – Ижевск: НИЦ “Регулярная и
хаотическая динамика”. – 2001. – С. 384.
2. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твер-
дого тела. – Киев: Наук. думка, 1978. – 296 с.
3. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – До-
нецк: ДонНУ. – 2012. – 364 с.
4. Liouville J. Développements sur un chapitre de la Mécanique de Poisson // J math. pures
et appl. – 1858. – 3. – P. 1–25.
5. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные одно-
родной капельной жидкостью // Собр. соч. – Т. 1. – М., 1949. – С. 31–152.
6. Румянцев В.В. Об управлении ориентацией и о стабилизации спутника роторами //
Вестн Моск. ун-та. Математика, механика. – 1970. – № 2. – С. 83–96.
7. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого
тела. – 1972. – Вып. 4. – С. 52–73.
8. Дружинин Э.И. О перманентных вращениях уравновешенного неавтономного гиро-
стата // Прикл. математика и механика. – 1999. – 63, вып. 5. – С. 825–826.
9. Ковалева Л.М., Позднякович А.Е. Равномерные вращения вокруг наклонной оси
твердого тела с одним маховиком // Механика твердого тела. – 2000. – Вып. 30. –
С. 100–105.
10. Волкова О.С. Регулярные прецессии тяжелого гиростата вокруг вертикальной оси //
Тр. ИПММ НАН Украины. – 2009. – 19. – С. 30–35.
11. Горр Г.В., Мазнев А.В. О некоторых классах регулярной прецессии гиростата с пере-
менным гиростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задаче
динамики // Тр. ИПММ НАН Украины. – 2010. – 21. – С. 64–75.
12. Мазнев А.В. Регулярные прецессии гиростата с переменным гиростатическим момен-
том под действием потенциальных и гироскопических сил // Докл. НАН Украины. –
2011. – № 8. – С. 66–72.
13. Возняк А.А. Полурегулярные прецессии первого типа в задаче о движении гиростата
с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и гироско-
пических сил // Тр. ИПММ НАН Украины. – 2012. – 24. – С. 45–57.
77
А.А.Возняк
14. Мазнев А.В. Один случай прецессии общего вида гиростата с переменным гироста-
тическим моментом // Докл. НАН Украины. – 2012. – № 3. – С. 72–77.
15. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с пере-
менным гиростатическим моментом // Механика твердого тела. – 2009. – Вып. 39. –
С. 42–49.
16. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Точные решения уравнений движения гиростата во-
круг неподвижной точки // Современные проблемы математики, механики и инфор-
матики / Под ред. Н.Н. Кизиловой, Г.Н. Жолткевича. – Харьков: Изд-во: “Апостроф”,
2011. – С. 74–84.
17. Мазнев А.В., Котов Г.А. Прецесcионно-изоконические движения второго типа в
задаче о движении гиростата с переменным гироскопическим моментом // Вiсн. До-
нецького ун-ту. Сер. А. Природничi науки. – 2012. – Вип. 1. – С. 79–83.
18. Мазнев А.В. Прецесcионные движения гиростата с переменным гиростатическим мо-
ментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Механика твердого
тела. – 2010. – Вып. 10. – С. 91–104.
A.A.Voznyak
The pendulum motions of a gyrostat under the action of potential and gyro-
scopic forces in the case of variable gyrostatic moment
The existence conditions for pendulum motions of a gyrostat are studied under the assumption
that the variable gyrostatic moment belongs to the plane which is orthogonal to the rotation
axis. A gyrostat moves in magnetic and electric fields under the action of central Newtonian
forces. The particular solution of the motion equations is found and expressed in terms of elliptic
functions of time.
Keywords: gyrostatic moment, the pendulum motion, elliptic functions.
A.О. Возняк
Маятниковi рухи гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил у
випадку змiнного гiростатичного моменту
Одержано умови iснування маятникових рухiв гiростата, для яких змiнний гiростатичний
момент належить площинi, ортогональнiй вiсi обертання. Рух гiростата вiдбувається в маг-
нiтному та електричному полях пiд дiєю центральних ньютонiвських сил. Указано розв’я-
зок рiвнянь руху, що описується елiптичними функцiями часу.
Ключовi слова: гiростатичний момент, маятниковi рухи, елiптичнi функцiї.
Национальный ун-т экономики и торговли
им.М.Туган-Барановского, Донецк
alina_voznyak@mail.ru
Получено 14.10.13
78
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72641 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:14:06Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Возняк, А.А. 2014-12-27T13:37:24Z 2014-12-27T13:37:24Z 2013 Маятниковые движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента / А.А. Возняк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 69-78. — Бібліогр.: 18 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72641 531.38 Получены условия существования маятниковых движений гиростата, для которых переменный гиростатический момент принадлежит плоскости, ортогональной оси вращения. Движение гиростата происходит в магнитном и электрическом полях под действием центральных ньютоновских сил. Указано решение уравнений движения, описываемое эллиптическими функциями времени. Одержано умови iснування маятникових рухiв гiростата, для яких змiнний гiростатичний момент належить площинi, ортогональнiй вiсi обертання. Рух гiростата вiдбувається в магнiтному та електричному полях пiд дiєю центральних ньютонiвських сил. Указано розв’язок рiвнянь руху, що описується елiптичними функцiями часу. The existence conditions for pendulum motions of a gyrostat are studied under the assumption that the variable gyrostatic moment belongs to the plane which is orthogonal to the rotation axis. A gyrostat moves in magnetic and electric fields under the action of central Newtonian forces. The particular solution of the motion equations is found and expressed in terms of elliptic functions of time. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Маятниковые движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента Маятниковi рухи гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил у випадку змiнного гiростатичного моменту The pendulum motions of a gyrostat under the action of potential and gyroscopic forces in the case of variable gyrostatic moment Article published earlier |
| spellingShingle | Маятниковые движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента Возняк, А.А. |
| title | Маятниковые движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента |
| title_alt | Маятниковi рухи гiростата пiд дiєю потенцiальних i гiроскопiчних сил у випадку змiнного гiростатичного моменту The pendulum motions of a gyrostat under the action of potential and gyroscopic forces in the case of variable gyrostatic moment |
| title_full | Маятниковые движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента |
| title_fullStr | Маятниковые движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента |
| title_full_unstemmed | Маятниковые движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента |
| title_short | Маятниковые движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента |
| title_sort | маятниковые движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил в случае переменного гиростатического момента |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72641 |
| work_keys_str_mv | AT voznâkaa maâtnikovyedviženiâgirostatapoddeistviempotencialʹnyhigiroskopičeskihsilvslučaeperemennogogirostatičeskogomomenta AT voznâkaa maâtnikoviruhigirostatapiddiêûpotencialʹnihigiroskopičnihsiluvipadkuzminnogogirostatičnogomomentu AT voznâkaa thependulummotionsofagyrostatundertheactionofpotentialandgyroscopicforcesinthecaseofvariablegyrostaticmoment |