Движение системы двух тел, соединенных неголономным шарниром
В задаче о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром, получены аксоиды для двух вариантов движения системы тел. В этом движении ось неголономности и угловая скорость одного из тел сохраняют направление в неподвижном пространстве. В задачi про рух за iнерцiєю дво...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72643 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Движение системы двух тел, соединенных неголономным шарниром / М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 90-96. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859751948547260416 |
|---|---|
| author | Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф. |
| author_facet | Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф. |
| citation_txt | Движение системы двух тел, соединенных неголономным шарниром / М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 90-96. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | В задаче о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром, получены аксоиды для двух вариантов движения системы тел. В этом движении ось неголономности и угловая скорость одного из тел сохраняют направление в неподвижном пространстве.
В задачi про рух за iнерцiєю двох гiроскопiв Лагранжа, з’єднаних неголономним шарнiром, отримано аксоїди для двох варiантiв руху системи тiл. У цьому русi вiсь неголономностi i кутова швидкiсть одного з тiл зберiгають напрямок у нерухомому просторi.
The equations of axoids for two kinds of motion are obtained in the problem of inertial motion of two Lagrange gyroscopes connected with a nonholonomic hinge. In these motions the nonholonomicity axis and the angular velocity of one of the bodies keep the constant direction in fixed space.
|
| first_indexed | 2025-12-02T00:12:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2013. Вып. 43
УДК 531.38
c©2013. М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева
ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ДВУХ ТЕЛ,
СОЕДИНЕННЫХ НЕГОЛОНОМНЫМ ШАРНИРОМ
В задаче о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным
шарниром, получены аксоиды для двух вариантов движения системы тел. В этом дви-
жении ось неголономности и угловая скорость одного из тел сохраняют направление в
неподвижном пространстве.
Ключевые слова: система гироскопов Лагранжа, неголономный шарнир, подвижный и
неподвижный аксоиды.
Конструкция неголономного шарнира предложена в [1]. Постановка за-
дачи о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных не-
голономным шарниром, дана в [2]. В этой задаче получено шесть решений
в работах [2–7]. Алгоритм построения подвижных и неподвижных аксоидов
для каждого из тел системы указан в [8].
Здесь для решения [4] получены аксоиды для двух возможных вариантов
движения рассматриваемой системы тел.
1. Исходные соотношения. Приведем решение из работы [4]:
ω1(θ) = 2κ(θ), (1)
ω2(θ) =
(1 + b∗)n(θ) cos θ
A sin θ
, (2)
ω3(θ) = −(1 + b∗)n(θ) cos
2 θ
A sin2 θ
, (3)
n(θ) =
CI√
1 + b∗ cos2 θ
, (4)
Ω1 = Ω2 = 0, (5)
Ω3(θ) = −(1 + b∗)n(θ) cos θ
A sin2 θ
, (6)
n0(θ) = b∗n(θ) cos θ, (7)
2Aκ(θ) sin θ =
√
g2 sin2 θ − C2I2(1 + b∗ cos2 θ). (8)
Здесь ω∗ = ω1e1 + ω2e2 +
n
I
e3 – угловая скорость тела S в полуподвижном
базисе Oe1e2e3; Ω∗ = Ω1e1 +Ω2e
0
2 +
n0
I0
e03 – угловая скорость тела S0 в полу-
подвижном базисе Oe1e
0
2e
0
3. Неизменно связанные с телами базисы Oe∗1e
∗
2e3
90
Движение системы двух тел, соединенных неголономным шарниром
и Oe0∗1 e0∗2 e03 вращаются вокруг e3 и e03 с угловыми скоростями ϕ̇ и Φ̇; O –
точка пересечения Oe3 и Oe03 – осей динамической симметрии тел. Решение
получено при условии N =
mm0
m+m0
ll0 = 0, т. е. центр масс одного из тел
совпадает с точкой O.
Запишем N в виде (m+m0)aa0, где a =
ml
m+m0
, a0 =
m0l0
m+m0
. Тогда
при N = 0 необходимо рассматривать два варианта:
a0 = 0 (9)
либо
a = 0. (10)
2. Первый вариант. Пусть выполнено ограничение (9). В дальнейшем
понадобятся векторы r = C∗O (C∗ – центр масс системы тел) и скорость v
точки O, которые запишем при a0 = 0:
r = −ae3, (11)
v = a(−ω1e1 + ω2e2). (12)
Отметим, что
ė03 = −Ω2e1 +Ω1e
0
2 (13)
при условиях (5) равна нулю, поэтому вектор e03 сохраняет направление и в
теле, и в пространстве. Следовательно, вектор угловой скорости тела S0
Ω∗ =
n0
I0
e03 (14)
сохраняет направление в пространстве.
В этой задаче и момент количества движения системы [2]
g = G1e1 +G2e2 +G3e3
сохраняет направление в пространстве. Запишем компоненты этого вектора
при условиях (5) и ограничении (9):
G1(θ) = Aω1(θ), G2(θ) = Aω2(θ)− n0(θ) sin θ,
G3(θ) = n(θ) + n0(θ) cos θ.
(15)
Скалярное произведение вектора g и e03 = −e2 sin θ + e3 cos θ
g · e03 = 0, (16)
т. е. векторы g и e03 перпендикулярны.
91
М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева
Так как имеем два вектора, сохраняющих направление в пространстве,
можем ввести неподвижный базис C∗E1E2E3:
E1 =
g
g
, E2 =
e03 × g
g
, E3 = e03. (17)
Угловая скорость ω∗ = ω1e1 + ω2e2 +
n
I
e3 тела S в неподвижном базисе
ω∗ = p1E1 + p2E2 + p3E3 (18)
имеет компоненты
p1 = (ω∗ · g)/g, p2 = ω∗ · (e03 × g)/g, p3 = ω∗ · e03, (19)
которые находим, подставив (1), (2), (4), (15), (16) в (19):
p1 =
g
A
(
cos2 ε+
A
I
sin2 ε
)
,
p2(θ) =
(A
I
− 1
)g sin ε
A
√
sin2 θ − sin2 ε(1 + b∗ cos2 θ)
1 + b∗ cos2 θ
, (20)
p3(θ) =
(A
I
− 1− b∗
) g
A
sin ε cos θ√
1 + b∗ cos2 θ
,
здесь вместо постоянной C введен параметр ε:
sin ε = CI/g. (21)
Для неголономного шарнира ось E3 является осью неголономности, поэтому
(ω∗ − Ω∗) · E3 = 0; из этого равенства вследствие (2), (4), (7), (19), (21) и
A
I0
b∗ =
A
I
− 1− b∗ получаем p3(θ) =
n0(θ)
I0
.
Неподвижный аксоид тела S. Уравнение неподвижного аксоида [8]
ζ(θ, µ) = r(θ) + µ
ω∗(θ)
ω∗(θ)
+
ω∗(θ)× v(θ)
ω2
∗
(θ)
(22)
в базисе C∗E1E2E3 имеет разложение
ζ(θ, µ) = ζ1(θ, µ)E1 + ζ2(θ, µ)E2 + ζ3(θ, µ)E3. (23)
Представим векторы (11), (12) в неподвижном пространстве:
r(θ) = X(θ)E1 + Y (θ)E2 + Z(θ)E3, (24)
v(θ) = V1(θ)E1 + V2(θ)E2 + V3(θ)E3, (25)
92
Движение системы двух тел, соединенных неголономным шарниром
где
X(θ) = r · E1 = −a sin ε
√
1 + b∗ cos2 θ,
Y (θ) = r ·E2 = −a
√
sin2 θ − sin2 ε(1 + b∗ cos2 θ),
Z(θ) = r · E3 = −a cos θ,
(26)
V1(θ) = Ẋ(θ), V2(θ) = Ẏ (θ), V3(θ) = Ż(θ). (27)
Так как X2 + Y 2 + Z2 = a2, то точка O движется по сфере радиуса a.
Подставив (26), (27), (20) в (22), получим компоненты неподвижного аксоида
(23) тела S в неподвижном базисе:
ζ1(θ) = F (θ, µ)p1,
ζ2(θ) = F (θ, µ)p2(θ),
ζ3(θ) = F (θ, µ)p3(θ),
(28)
где
F (θ, µ) =
µ
ω∗(θ)
− an(θ)
Iω2
∗
(θ)
, (29)
ω2
∗
(θ) =
g2
A2
(1 + b∗ sin
2 ε) +
(A2
I2
− 1− b∗
)n2(θ)
A2
. (30)
Подвижный аксоид тела S. Уравнение подвижного аксоида тела S [8]
ξ(θ, µ) = µ
ω∗(θ)
ω∗(θ)
+
ω∗(θ)× v(θ)
ω2
∗
(θ)
(31)
в полуподвижном базисе Oe1e2e3 имеет вид
ξ(θ, µ) = ξ1(θ, µ)e1 + ξ2(θ, µ)e2 + ξ3(θ, µ)e3.
Подставив (1), (2), (4), (12) в (31), находим
ξ1(θ, µ) = F (θ, µ)ω1(θ), ξ2(θ, µ) = F (θ, µ)ω2(θ),
ξ3(θ, µ) = a+ F (θ, µ)
n(θ)
I
.
(32)
Его компоненты в неизменно связанном с телом S базисе Oe∗1e
∗
2e3 получим
с помощью соотношений
e∗1 = e1 cosϕ+ e2 sinϕ, e∗2 = −e1 sinϕ+ e2 cosϕ,
из которых следует
ξ∗1(θ, µ) = ξ1(θ, µ) cosϕ(θ) + ξ2(θ, µ) sinϕ(θ),
ξ∗2(θ, µ) = −ξ1(θ, µ) sinϕ(θ) + ξ2(θ, µ) cosϕ(θ).
(33)
93
М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева
Угол собственного вращения ϕ тела S определен квадратурой в [8]:
ϕ(θ)− ϕ0 = −g sin ε
A
θ
∫
θ0
1√
b∗ cos2 θ + 1
[A
I
− 1− b∗ +
1 + b∗
sin2 θ
] dθ
κ(θ)
. (34)
Скорость скольжения vc = v · ω∗/ω∗ подвижного аксоида по неподвижному
равна нулю. При движении тела S подвижный аксоид (33), (32), (34) катится
без скольжения по неподвижному (28).
Угловая скорость Ω∗ =
n0(θ)
I0
e03 тела S0 описывает цилиндрическую по-
верхность, образующая которой параллельна оси E3 = e03, а точка O опи-
сывает сферическую кривую (26).
Для визуализации движения необходимо записать уравнение аксоидов как
функции времени, воспользовавшись соотношением из [4]:
cos θ =
cos ε
ν
sin νt∗, (35)
где t∗ =
g
A
(t − t0) – безразмерное время, параметр ν введен соотношением
ν =
√
1 + b∗ sin
2 ε. При этом величины (29), (30) таковы :
F (θ, µ) =
µ
ω∗(t∗)
− agν
√
(ν2 − 1)/b∗
Iω2
∗
(t∗)
√
ν2 + (b∗ + 1− ν2) sin2 νt∗
,
ω2
∗
(t∗) =
g2ν2
A2I2b∗
A2(ν2 − 1) + I2(b∗ + 1− ν2)(1 + b∗ sin
2 νt∗)
ν2 + (b∗ + 1− ν2) sin2 νt∗
; (36)
ϕ(t∗)− ϕ0 =
= sin ε
t∗
∫
t0
∗
[A
I
− 1− b∗ +
(1 + b∗)ν
2
ν2 − cos2 ε sin2 νt∗
] dt∗
√
1 + b∗ cos2 ε
1+b∗ sin2 ε
sin2 νt∗
.
(37)
3. Второй вариант. Рассмотрим ограничение (10) – центр масс тела S
совпадает с точкой O. В этом случае при условиях (5)
r = −a0e
0
3, (38)
v = 0, (39)
т. е. точка O неподвижна в пространстве. Тело S0 вращается с угловой ско-
ростью p3(t∗) =
n0(t∗)
I0
вокруг неподвижной оси e03.
94
Движение системы двух тел, соединенных неголономным шарниром
Запишем годографы тела S. Неподвижный годограф (20) с учетом (35):
p1 =
g
A
[
1 +
(A
I
− 1
)ν2 − 1
b∗
]
,
p2(t∗) =
=
g
Ab∗
(A
I
− 1
)
√
(ν2 − 1)(b∗ + 1− ν2)
ν cos νt∗
√
ν2 + (1 + b∗ − ν2) sin2 νt∗
,
(40)
p3(t∗) =
=
g
Ab∗
(A
I
− 1− b∗
)
√
(ν2 − 1)(b∗ + 1− ν2)
sin νt∗
√
ν2 + (1 + b∗ − ν2) sin2 νt∗
.
Так как угол ϕ(t∗) уже представлен соотношением (37), достаточно запи-
сать компоненты ω1, ω2,
n
I
в полуподвижном базисе:
ω1(t∗) =
g
A
ν cos ε cos νt∗
√
ν2 − cos2 ε sin2 νt∗
,
ω2(t∗) =
g
A
ν(1 + b∗) sin ε cos ε sin νt∗
√
(ν2 + b∗ cos2 ε sin
2 νt∗)(ν2 − cos2 ε sin2 νt∗)
, (41)
n(t∗)
I
=
g
A
ν sin ε
√
ν2 + b∗ cos2 ε sin
2 νt∗
.
Подвижный годограф тела S имеет вид
ω∗
1(t∗) = ω1(t∗) cosϕ(t∗) + ω2(t∗) sinϕ(t∗),
ω∗
2(t∗) = −ω1(t∗) sinϕ(t∗) + ω2(t∗) cosϕ(t∗), (42)
ω∗
3(t∗) =
n(t∗)
I
.
Момент реакции связи L в неголономном шарнире определен в [2] соотно-
шением L̇ = ṅ/ cos θ. Зависимость n и cos θ от времени t∗ =
g
A
(t − t0) дана
соотношениями (41), (35), поэтому
L(t) =
−gA−1I b∗ν
3 sin ε cos ε cos νt∗
(ν2 + b∗ cos2 ε sin
2 νt∗)3/2
.
При движении тела S подвижный годограф (42), (41), (34) катится без
скольжения по неподвижному годографу (40). Тело S0 при этом вращается
вокруг сохраняюшей направление в пространстве оси неголономности.
1. Харламов А.П., Харламов М.П. Неголономный шарнир // Механика твердого тела. –
1995. – Вып. 27. – С. 1–7.
95
М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева
2. Лесина М.Е., Харламов А.П. Движение по инерции двух гироскопов Лагранжа, сое-
диненных неголономным шарниром // Механика твердого тела. – 1995. – Вып. 27. –
С. 15–21.
3. Лесина М.Е., Харламов А.П. Точное решение задачи о движении по инерции двух
гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром // Механика твердого
тела. – 2004. – Вып. 34. – С. 80–86.
4. Лесина М.Е., Гоголева Н.Ф. Новое решение задачи о движении двух гироскопов Ла-
гранжа, соединенных неголономным шарниром // Механика твердого тела. – 2006. –
Вып. 36. – С. 51–57.
5. Лесина М.Е., Гоголева Н.Ф. Частное решение задачи о движении двух гироскопов
Лагранжа, соединенных неголономным шарниром // Механика твердого тела. – 2008.
– Вып. 38. – С. 63–69.
6. Лесина М.Е., Гоголева Н.Ф. Условия существования линейного инвариантного со-
отношения специального вида // Зб. наук.-метод. робiт. – Донецьк, 2006. – Вип. 4.
– С. 39–50.
7. Лесина М.Е., Гоголева Н.Ф. Частное решение задачи о движении двух гироскопов
Лагранжа, сочлененных неголономным шарниром // Междунар. конф. “Классические
задачи динамики твердого тела” (Донецк, 9–13 июня 2007 г.): Сб. тез. – Донецк, 2007.
– С. 50–51.
8. Гоголева Н.Ф., Зиновьева Я.В. Уравнения аксоидов задачи о движении двух гироско-
пов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром // Механика твердого тела. –
2012. – Вып. 42. – С. 202–212.
M.E.Lesina, N.F. Gogoleva
The motion of a system of two bodies connected by a nonholonomic hinge
The equations of axoids for two kinds of motion are obtained in the problem of inertial motion
of two Lagrange gyroscopes connected with a nonholonomic hinge. In these motions the non-
holonomicity axis and the angular velocity of one of the bodies keep the constant direction in
fixed space.
Keywords: system of Lagrange gyroscopes, nonholonomic hinge, axoid.
М.Ю.Лесiна, Н.Ф. Гоголєва
Рух системи двох тiл, з’єднаних неголономним шарнiром
В задачi про рух за iнерцiєю двох гiроскопiв Лагранжа, з’єднаних неголономним шарнiром,
отримано аксоїди для двох варiантiв руху системи тiл. У цьому русi вiсь неголономностi i
кутова швидкiсть одного з тiл зберiгають напрямок у нерухомому просторi.
Ключовi слова: система гiроскопiв Лагранжа, неголономний шарнiр, рухомий i нерухо-
мий аксоїди.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
applmech@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 11.10.13
96
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72643 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T00:12:29Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф. 2014-12-27T13:47:06Z 2014-12-27T13:47:06Z 2013 Движение системы двух тел, соединенных неголономным шарниром / М.Е. Лесина, Н.Ф. Гоголева // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 90-96. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72643 531.38 В задаче о движении по инерции двух гироскопов Лагранжа, соединенных неголономным шарниром, получены аксоиды для двух вариантов движения системы тел. В этом движении ось неголономности и угловая скорость одного из тел сохраняют направление в неподвижном пространстве. В задачi про рух за iнерцiєю двох гiроскопiв Лагранжа, з’єднаних неголономним шарнiром, отримано аксоїди для двох варiантiв руху системи тiл. У цьому русi вiсь неголономностi i кутова швидкiсть одного з тiл зберiгають напрямок у нерухомому просторi. The equations of axoids for two kinds of motion are obtained in the problem of inertial motion of two Lagrange gyroscopes connected with a nonholonomic hinge. In these motions the nonholonomicity axis and the angular velocity of one of the bodies keep the constant direction in fixed space. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Движение системы двух тел, соединенных неголономным шарниром Рух системи двох тiл, з’єднаних неголономним шарнiром The motion of a system of two bodies connected by a nonholonomic hinge Article published earlier |
| spellingShingle | Движение системы двух тел, соединенных неголономным шарниром Лесина, М.Е. Гоголева, Н.Ф. |
| title | Движение системы двух тел, соединенных неголономным шарниром |
| title_alt | Рух системи двох тiл, з’єднаних неголономним шарнiром The motion of a system of two bodies connected by a nonholonomic hinge |
| title_full | Движение системы двух тел, соединенных неголономным шарниром |
| title_fullStr | Движение системы двух тел, соединенных неголономным шарниром |
| title_full_unstemmed | Движение системы двух тел, соединенных неголономным шарниром |
| title_short | Движение системы двух тел, соединенных неголономным шарниром |
| title_sort | движение системы двух тел, соединенных неголономным шарниром |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72643 |
| work_keys_str_mv | AT lesiname dviženiesistemydvuhtelsoedinennyhnegolonomnymšarnirom AT gogolevanf dviženiesistemydvuhtelsoedinennyhnegolonomnymšarnirom AT lesiname ruhsistemidvohtilzêdnanihnegolonomnimšarnirom AT gogolevanf ruhsistemidvohtilzêdnanihnegolonomnimšarnirom AT lesiname themotionofasystemoftwobodiesconnectedbyanonholonomichinge AT gogolevanf themotionofasystemoftwobodiesconnectedbyanonholonomichinge |