О кинематическом истолковании движения тяжелого твердого тела методом Пуансо
На основе метода Пуансо и его модификации движение тяжелого твердого тела в частных случаях интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона представлено качением без скольжения подвижного годографа вектора, принадлежащего эллипсоиду инерции, по неподвижному годографу этого вектора. На основi методу Пуансо...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72644 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О кинематическом истолковании движения тяжелого твердого тела методом Пуансо / А.И. Синенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 97-108. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859827737112346624 |
|---|---|
| author | Синенко, А.И. |
| author_facet | Синенко, А.И. |
| citation_txt | О кинематическом истолковании движения тяжелого твердого тела методом Пуансо / А.И. Синенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 97-108. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | На основе метода Пуансо и его модификации движение тяжелого твердого тела в частных случаях интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона представлено качением без скольжения подвижного годографа вектора, принадлежащего эллипсоиду инерции, по неподвижному годографу этого вектора.
На основi методу Пуансо та його модифiкацiї рух важкого твердого тiла в окремих випадках iнтегровностi рiвнянь Ейлера–Пуассона подано коченням без ковзання рухомого годографа вектора, що належить елiпсоїду iнерцiї, по нерухомому годографу цього вектора.
According to the modification of Poinsot’s method, the motion of a heavy rigid body in the particular cases of integrability of the Euler–Poinsot equations is represented as rolling without slipping of the movable godograph of some vector which belongs to the inertia ellipsoid, upon the fixed godograph.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:29:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2013. Вып. 43
УДК 531.38
c©2013. А.И. Синенко
О КИНЕМАТИЧЕСКОМ ИСТОЛКОВАНИИ ДВИЖЕНИЯ
ТЯЖЕЛОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА МЕТОДОМ ПУАНСО
На основе метода Пуансо и его модификации движение тяжелого твердого тела в частных
случаях интегрируемости уравнений Эйлера–Пуассона представлено качением без сколь-
жения подвижного годографа вектора, принадлежащего эллипсоиду инерции, по непод-
вижному годографу этого вектора.
Ключевые слова: кинематическое истолкование, метод Пуансо, частные решения.
Введение. Одним из наглядных методов кинематического истолко-
вания движения тела является метод годографов, основанный на теоре-
ме Л.Пуансо [1] о представлении движения тела качением без скольже-
ния подвижного годографа угловой скорости по неподвижному. Известно,
что истолкование Л.Пуансо движения тела в случае Л.Эйлера качени-
ем эллипсоида инерции по неподвижной в пространстве плоскости, ста-
ло классическим примером описания движения и приводится во всех кни-
гах по теоретической механике. В монографии [2] отмечен вклад и дру-
гих ученых (Д.Сильвестра, К.Якоби, И.Мак-Кулага, Г.Дарбу, В. Гесса,
Н.Е.Жуковского, П.В.Харламова [3]) в развитие геометрических методов ди-
намики твердого тела.
Теорема Пуансо нашла широкое применение в истолковании движения
тела [4–6] после того, как П.В. Харламов получил уравнения неподвижного
годографа.
На базе работ [4, 7] в [8] предложен модифицированный подход в приме-
нении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с не-
подвижной точкой. Показано, что движение тела в общем случае можно пред-
ставить посредством качения без скольжения подвижного годографа вектора
b(t), коллинеарного вектору угловой скорости ω(t), по неподвижному годо-
графу этого вектора, лежащему в некоторой плоскости в пространстве.
В данной статье рассмотрено кинематическое истолкование движения те-
ла, основанное на представлении движения тела качением без скольжения
годографа вектора b(t), принадлежащего эллипсоиду инерции, по неподвиж-
ному годографу этого вектора. Рассмотрены частные решения уравнений
Эйлера–Пуассона.
1. Постановка задачи. Движение тяжелого твердого тела, имеющего
неподвижную точку, описывается уравнениями [6]
A
.
ω = Aω × ω + s(e× ν),
.
ν = ν × ω, (1)
где ω = (ω1, ω2, ω3) – вектор угловой скорости тела; ν = (ν1, ν2, ν3) – единич-
ный вектор, указывающий направление силы тяжести; A – тензор инерции
97
А.И. Синенко
тела в неподвижной точке; s – произведение веса тела и расстояния от не-
подвижной точки O до центра тяжести тела C; e = (e1, e2, e3) – единичный
вектор, направленный из O в C. Точкой над переменными обозначается диф-
ференцирование по времени t.
Уравнения (1) имеют интегралы
Aω · ω − 2s(e · ν) = 2E, ν · ν = 1, Aω · ν = k, (2)
здесь E и k – произвольные постоянные.
С телом свяжем систему координат Oxyz с ортами i1, i2, i3, а в неподвиж-
ном пространстве введем систему координат Oξηζ с ортами э1, э2, э3 = ν.
Пусть в результате интегрирования уравнений (1) с интегралами (2) най-
дено решение
ω(t) =
3
∑
j=1
ωj(t)ij , ν(t) =
3
∑
j=1
νj(t)ij , (3)
где t ∈ [0,∞). Вектор-функция ω(t) описывает подвижный годограф вектора
угловой скорости. Запишем кинематические уравнения П.В. Харламова [3]
ωζ(t) =
3
∑
j=1
ωj(t)νj(t), ω2
ρ(t) =
3
∑
j=1
ω2
j (t)− ω2
ζ (t),
α(t) =
t
∫
t0
1
ω2
ρ(t)
(
.
ω · (ν × ω))dt.
(4)
В силу (4) неподвижный годограф угловой скорости определен вектор-
функцией
ω(t) = ωξ(t)э1 + ωη(t)э2 + ωζ(t)э3, (5)
ωξ(t) = ωρ(t) cosα(t), ωη(t) = ωρ(t) sinα(t). (6)
Если через Ω′
0 обозначить начальную точку (при t = t0) на подвижном го-
дографе, через Ω0 – на неподвижном годографе, а через Ω∗ – точку каса-
ния годографов, то из равенства абсолютной и относительной производных
dω/dt = d′ω/dt следует, что ∪Ω0Ω
∗ = ∪Ω′
0Ω
∗. Из данного равенства и выте-
кает теорема Пуансо о том, что движение тела воспроизводится качением
без скольжения подвижного годографа угловой скорости по неподвижному
годографу.
Следуя [4, 8], введем в рассмотрение вектор, коллинеарный вектору угло-
вой скорости:
b(t) = b(t)ω(t) (b(t) > 0). (7)
Движение тела с неподвижной точкой может быть представлено каче-
нием без скольжения подвижного годографа вектора b(t) по неподвижному
годографу этого вектора [4].
98
О кинематическом истолковании движения твердого тела
Полагаем b(t) = ω−1
ζ (ωζ(t) > 0). В силу (5), (7) неподвижный годограф
вектора b(t) определяется вектор-функцией [8]
b(t) =
ωξ(t)
ωζ
э1 +
ωη(t)
ωζ
э2 + э3. (8)
Значит, неподвижный годограф вектора b(t) лежит в плоскости ζ = 1. Под-
вижный годограф вектора b(t) найдем из первой формулы системы (3):
b(t) =
1
ωζ(t)
3
∑
j=1
ωj(t)ij . (9)
Движение тела воспроизводится качением годографа (9) по годографу (8).
В [7] движение тела представлено качением эллипсоида инерции по непод-
вижной плоскости.
Укажем еще один способ представления вектора b(t). Обозначим через
A1, A2, A3 главные моменты инерции тела. Запишем уравнение эллипсоида
Пуансо
A1x
2 +A2y
2 +A3z
2 = σ20 , (10)
где x, y, z – координаты точек, принадлежащих эллипсоиду инерции, σ20 –
постоянная.
Пусть вектор b(t) в подвижном базисе имеет разложение
b(t) =
3
∑
j=1
bj(t)ij . (11)
Найдем функцию b(t) из формулы (7) с учетом того, что ωj – известные
функции времени, а компоненты bj вектора (11) удовлетворяют уравнению
(10). Тогда
b(t) =
σ20
√
A1ω2
1(t) +A2ω2
2(t) +A3ω2
3(t)
. (12)
В силу (5), (7), (11) подвижный годограф вектора b(t) определим из соот-
ношения
b(t) = b(t)
[
ω1(t)i1 + ω2(t)i2 + ω3(t)i3
]
, (13)
а неподвижный годограф – из соотношения
b(t) = b(t)
[
ωρ(t) cosα(t)э1 + ωρ(t) sinα(t)э2 + ωζ(t)э3
]
. (14)
Здесь b(t) имеет вид (12).
Движение тела будем воспроизводить качением подвижного годографа
(13) по неподвижному годографу (14).
99
А.И. Синенко
2. Решение Бобылева–Стеклова [9, 10]. Пусть в уравнениях (1)
e = (1, 0, 0), A = diag (2A2, A2, A3), а в интегралах (2) – 2E = A1κ
2 + H,
k = 2A2H/s, где κ,H – параметры. Решение Бобылева–Стеклова уравнений
(1) запишем в обозначениях [4]:
ω1 = κ, ω3 = 0, ν1 =
1
s
(
A2
2
ω2
2 +H
)
, ν2 = −κA2
s
ω2,
ν3 =
1
s
√
f(ω2),
dω2
dt
= − 1
A2
√
f(ω2),
(15)
где κ – произвольная постоянная и
f(ω2) = −A
2
2
4
ω4
2 −A2(κ
2A2 +H)ω2
2 + s2 −H2. (16)
Из (15), (16) вытекает, что подвижный годограф угловой скорости – отрезок
прямой, а решение выражается посредством эллиптических функций Якоби
[10].
Видоизменяя подход В.А. Стеклова [10], примем в качестве вспомогатель-
ной переменной ν1. Тогда решение (15), (16) можно записать так:
ω1 = κ, ω2 =
√
2s
A2
(
ν1 − ν
(1)
1
)
, ω3 = 0,
(
ν
(1)
1 =
H
s
)
, (17)
ν2 = −κ
√
2A2
s
(
ν1 − ν
(1)
1
)
, ν3 =
1
s
√
ϕ(ν1),
dν1
dt
= −
√
2
A2s
√
(
ν1 − ν
(1)
1
)
ϕ1(ν1),
ϕ1(ν1) = −s2ν21 − 2κ2A2sν1 + 2κ2A2H + s2.
(18)
Параметр s > 0, чего можно добиться выбором подвижной системы коорди-
нат. Для действительности решения (17), (18) полагаем
−s < H < s. (19)
Переменная ν1 изменяется в промежутке
ν
(1)
1 ≤ ν1 ≤ ν
(2)
1 , (20)
где ν
(1)
1 указано в (17), а ν
(2)
1 – положительный корень уравнения ϕ1(ν1) = 0:
ν
(2)
1 =
1
s
(
−κ
2A2 +
√
κ
4A2
2 + 2κ2A2H + s2
)
. (21)
В силу (18) зависимость ν1(t) определяется из уравнения
.
ν1 = −
√
2
A2
√
(ν1 − ν
(1)
1 )(ν
(2)
1 − ν1)(ν1 − ν
(3)
1 ), (22)
100
О кинематическом истолковании движения твердого тела
здесь
ν
(3)
1 =
1
s
(
−κ
2A2 −
√
κ
4A2
2 + 2κ2A2H + s2
)
. (23)
Применяя стандартную процедуру нахождения ν1(t) из (22), получим
ν1(t) = ν
(2)
1 −
(
ν
(2)
1 − ν
(1)
1
)
sn2(λ0t, κ∗), (24)
где
λ0 =
√
√
√
√
s
(
ν
(2)
1 − ν
(3)
1
)
A2
, κ2
∗
=
ν
(2)
1 − ν
(1)
1
ν
(2)
1 − ν
(3)
1
. (25)
В выражениях для λ0 и κ∗ из (25) величины ν
(2)
1 , ν
(3)
1 имеют вид (21), (23).
Параметр H в этих формулах изменяется в промежутке (19) (случаи кратных
корней ν
(2)
1 = ν
(3)
1 , ν
(2)
1 = ν
(1)
1 исключаем). Внесем (24) в выражения (17):
ω1 = κ, ω2 = λ0
√
2cn (λ0t, κ∗), ω3 = 0, ν2 = −κA2
s
λ0
√
2cn (λ0t, κ∗),
ν3 =
√
(
ν
(2)
1 − ν
(3)
1
)(
ν
(2)
1 − ν
(1)
1
)
dn (λ0t, κ∗)sn (λ0t, κ∗).
(26)
Найдем из (4) уравнения неподвижного годографа для решения Бобылева–
Стеклова, используя явные зависимости (26):
ωζ(t) = κ
[(
ν
(2)
1 − 2ν
(1)
1
)
−
(
ν
(2)
1 − ν
(1)
1
)
sn2(λ0t, κ∗)
]
, (27)
ω2
ρ(t) =
(
ν
(2)
1 − ν
(1)
1
)(
ν
(2)
1 − ν
(3)
1
)
[
λ20cn
2(λ0t, κ∗) + κ
2dn2(λ0t, κ∗)sn
2(λ0t, κ∗)
]
,
(28)
α(t) = −sκ
A2
t
∫
t0
dn2(λ0t, κ∗)sn
2(λ0t, κ∗)dt
[
λ20cn
2(λ0t, κ∗) + κ
2dn2(λ0t, κ∗)sn2(λ0t, κ∗)
] . (29)
Правые части равенств (27), (28) и подынтегральная функция в (29) являют-
ся периодическими функциями t с периодом T =
2K
λ0
, где
K =
π/2
∫
0
du
√
1− κ2
∗
sin2 u
(30)
– полный эллиптический интеграл первого рода. Из формулы (29) следует,
что
α = −sκ
A2
g0 + ψ(t), (31)
101
А.И. Синенко
где ψ(t) – периодическая функция с периодом
2K
λ0
(K – выражается по фор-
муле (30)), а g0 – среднее значение, имеющее вид
g0 =
λ0
2K
2K
λ0
∫
0
F (t)dt. (32)
Здесь F (t) – подынтегральная функция интеграла (29).
Запишем неподвижный годограф в векторном виде, используя (27), (28)
и (31):
ω(t) = ωξ(t)э1 + ωη(t)э2 + ωζ(t)э3, (33)
где
ωξ(t) = ωρ cos
(
−κs
A2
g0 + ψ(t)
)
, ωη(t) = ωρ sin
(
−κs
A2
g0 + ψ(t)
)
. (34)
Кинематическое истолкование движения тела прямым методом Пуансо в слу-
чае Бобылева–Стеклова дано в [4].
Представим движение тела для этого решения методом [8]. Из (9), под-
ставив решения (26), имеем уравнение подвижного годографа
b(t) =
κ
ωζ(t)
i1 +
λ0
√
2cn (λ0t, κ∗)
ωζ(t)
i2, (35)
где ωζ(t) определено формулой (27).
Неподвижный годограф вектора b(t) в силу (8) является плоской кривой,
заключенной между двумя окружностями с общими центрами. Из формулы
(29) следует, что угол α(t) при κ < 0 монотонно возрастает, при κ > 0 –
монотонно убывает.
Исследуем кривую (35). Она так же, как и неподвижный годограф, яв-
ляется плоской кривой. Обозначим компоненты bi вектора b(t) из (11) через
x, y, z. Из (35) следует
x =
κ
ωζ(t)
, y =
λ0
√
2cn (λ0t, κ∗)
ωζ(t)
, z = 0. (36)
Используя формулу (27), исключим переменную t из соотношений (36):
4H2
(
x− s
2H
)2
− 2A2y
2H = s2. (37)
Так как в силу постановки задачи ωζ 6= 0, то считаем выполненным одно из
неравенств
H >
1
4
(
κ
2A2 +
√
κ
4A2
2 + 4s2
)
,
H < −1
4
(
κ
2A2 +
√
κ
4A2
2 + 4s2
) (
s >
2
3
κ
2A2
)
.
(38)
102
О кинематическом истолковании движения твердого тела
Когда выполнено первое условие из (38), кривая (37) является гиперболой,
когда выполнено второе условие – эллипсом. Следовательно, при кинемати-
ческом истолковании с помощью качения кривой (36) по кривой (8) получим
в первом случае качение гиперболы (37) по кривой (8), а во втором – качение
эллипса по кривой (8).
Рассмотрим второй подход в истолковании движения гироскопа Бобылева–
Стеклова. Используя формулы (10)–(12), а также соотношения A1 = 2A2 и
(15), получим
b(t) =
σ1
√
sν1(t) + h0
(
σ1 =
σ0√
2
, h0 = A2κ
2 −H
)
, (39)
b(t) =
σ1
√
sν1(t) + h0
(
κi1 −
√
2
A2
(sν1(t)−H)i2
)
. (40)
В формулах (39), (40) sν1(t) + h0 > 0, что вытекает из условий действи-
тельности решения (17), (18). Пусть, как и ранее, b(t) = xi1 + yi2. Тогда
подвижный годограф является частью кривой
2x2 + y2 =
σ20
A2
. (41)
Выпишем неподвижный годограф вектора b(t). Для этой цели воспользу-
емся формулами (27), (31):
b(t) = b(t)
[
ωξ(t)э1 + ωη(t)э2 + ωζ(t)э3
]
. (42)
Здесь b(t) имеет вид (39), а функции ωξ, ωη, ωζ – вид (34). Движение гироско-
па Бобылева–Стеклова можно представить качением без скольжения кривой
(41) по кривой (42).
Обозначим через ξ, η, ζ компоненты вектора b(t) в неподвижном про-
странстве. Используя формулы (34), (39), (42), получим уравнение поверх-
ности, на которой лежит конец вектора (42):
A2κ
2[R2(A2κ
2 +H)− 4σ21H]2 + h0s
2ζ2(R2 − 2σ21) = 0, (43)
где R2 = ξ2 + η2 + ζ2.
Таким образом, движение эллипсоида инерции в неподвижном простран-
стве можно представить качением без скольжения кривой (40) по кривой (42).
При этом кривая (42) лежит на поверхности четвертого порядка, которая
является поверхностью вращения.
3. Решение А.И. Докшевича. Как было показано в [11], решение
А.И.Докшевича [12] характеризуется свойством прецессионности. Рассмот-
рим в подвижной системе координат единичный вектор a = (0, 0, 1). Компо-
ненты тензора инерции и координаты вектора e в этой системе удовлетво-
ряют условиям
A23 = 0, A12 = 0, 4A4
13 +A2
13c1(A11 + 3A22 − 4A33)−A11A33c2 = 0,
e2 = 0, e1A13[2A
2
13 + c1(A22 − 2A33)] + e3c1c2 = 0,
(44)
103
А.И. Синенко
где c1 = A11 −A22, c2 = A33(A11 −A22)−A2
13.
Примем для постоянных первых интегралов (2) следующие значения:
k = 0, E = − a0s
A13
(e1A33 + e3A13), (45)
где a0 – параметр (|a0| < 1). Тогда уравнения (1) допускают решение [11]
ω1 = a′0
.
ψ sinϕ, ω2 = a′0
.
ψ cosϕ, ω3 =
.
ϕ+ a0
.
ψ,
ν1 = a′0 sinϕ, ν2 = a′0 cosϕ, ν3 = a0,
(46)
где a′0 =
√
1− a20 и
.
ϕ =
√
β1 + β2 sinϕ,
.
ψ =
β
.
ϕ
, (47)
β1 =
2e1a0s(2A
2
13 −A33c1)
A13c2
, β2 =
2e1a
′
0sc1
c2
, β = −2e1sA13
c2
,
ctg2 θ0 = −A22A
2
13
c2A33
.
(48)
Из последнего равенства системы (46) следует, что a · ν = cos θ0. То есть в
процессе движения гироскопа Докшевича угол θ0 между векторами a и ν по-
стоянен. Первые три равенства из (46) дают следующее значение для вектора
ω: ω =
.
ϕa+
.
ψν. Следовательно, прецессионное движение (46) является пре-
цессией общего вида [11], причем в силу (47) произведение
.
ϕ
.
ψ не изменяется
с течением времени.
Для нахождения из равенства (47) зависимости ϕ(t) полагаем, что пара-
метры (44) удовлетворяют условиям β1 > −β2 > 0. Тогда из (47) получим
.
ϕ = 2µ1dnµ1t, ϕ = 2amµ1t−
π
2
, ψ = arccos
cnµ1t
dnµ1t
,
sinϕ = −1 + 2sn2µ1t, cosϕ = 2snµ1tcnµ1t.
(49)
Модуль эллиптических функций amµ1t, snµ1t, cnµ1t, dnµ1t равен
k2 =
√
2β2/(β2 − β1), а параметр µ1 =
1
2
√
β1 − β2.
Используя соотношения (46), (49), запишем разложение вектора ω в под-
вижной системе координат
ω =
1
2µ1dnµ1t
[a′0β(2sn
2µ1t− 1)i1 + 2a′0βsnµ1tcnµ1ti2 + (a0β + 4µ21dn2µ1t)i3].
(50)
Для определения ω в неподвижной системе координат воспользуемся фор-
мулами (4)
ω = 2a′0µ1cnµ1tэ1 + 2a′0µ1k
′
2snµ1tэ2 +
β + 4a0µ
2
1dnµ1t
2µ1dnµ1t
э3, (51)
104
О кинематическом истолковании движения твердого тела
где k′2 =
√
1− k22 – сопряженный модуль.
Пусть компоненты вектора (7) b1 = x, b2 = y, b3 = z удовлетворяют
уравнению (10). Тогда
b(t) =
µ0
√
m0 + n0sn2µ1t
(52)
(
µ0 = σ0
√
A13
2a0se1
, n0 = −a0A33 − a′0A13, m0 = 2a′0A13
)
.
Запишем на основе соотношений (50)–(52) выражения для вектора b(t), со-
ответственно, в подвижном и неподвижном пространстве:
b(t) =
b(t)
2µ1dnµ1t
[a′0β(2sn
2µ1t− 1)i1 + 2a′0βsnµ1tcnµ1ti2 +
+ (a0β + 4µ21dn2µ1t)i3];
(53)
b(t) = b(t)
[
2a′0µ1cnµ1tэ1 + 2a′0µ1k
′
2snµ1tэ2 +
β + 4a0µ
2
1dn2µ1t
2µ1dnµ1t
э3
]
. (54)
Рассмотрим компоненты x, y, z вектора (53). Исключим параметр t из
уравнений x = x(t), y = y(t), z = z(t):
l20y
2 = [(a0β + 4µ21)x+ a′0βz][−(4µ1k
′2
2 + a0β)x+ a′0βz]. (55)
Здесь l0 = a0β+2µ20(2−k2). Следовательно, подвижный годограф вектора (53)
– линия пересечения эллипсоида инерции (10) и конуса (55). Обозначим через
ξ, η, ζ компоненты вектора (54). Исключим из уравнений ξ = ξ(t), η = η(t),
ζ = ζ(t) переменную t:
m0k
′2
2 ξ
2 + (n0 +m0)η
2 = 4a
′2
0 µ
2
1k
′2
2 µ
′2
0 , (56)
p20ζ
2(ξ2 + η2) = (q0ξ
2 + r0η
2)2, (57)
где p20 = 16a
′2
0 µ
4
1k
′4
2 , q0 = k
′2
2 (β + 4a0µ
2
1), r0 = β + 4a20µ
2
1k
′2
2 .
Таким образом, неподвижный годограф вектора (54) – линия пересечения
цилиндра (56) и поверхности четвертого порядка (57).
Движение эллипсоида инерции можно представить посредством качения
без скольжения кривой, которая является линией пересечения эллипсоида
инерции и (55), по кривой – линии пересечения поверхностей (56) и (57).
Для изучения уравнения (57) введем цилиндрические координаты
ζ = ζ, ξ = ρ cosψ, η = ρ sinψ. (58)
Подставим выражения (58) в уравнение (57)
ζ =
ρ
p0
(q0 cos
2 ψ + r0 sin
2 ψ). (59)
105
А.И. Синенко
Пусть при ζ = ζ0 поверхности (56), (57) пересекаются. Запишем при ζ = ζ0
уравнение (59)
ρ =
p0ζ0
q0 cos2 ψ + r0 sin
2 ψ
. (60)
Уравнение (60) описывает в плоскости ζ = ζ0 кривую, которая аффинным
преобразованием может быть приведена к лемнискате Бута [13].
4. Решение В.А. Стеклова [14]. Это решение уравнений Эйлера–
Пуассона (1) получено при условиях e3 = e2 = 0 и имеет вид [15]
A3 −A2
A1
ω2
2 =
A1 −A3
2A2 −A1
ω2
1 +
2A3 −A1
(A1 −A2)(A1 −A3)
H,
A2 −A3
A1
ω2
3 =
A1 −A2
2A3 −A1
ω2
1 +
2A2 −A1
(A1 −A2)(A1 −A3)
H,
ν1Γ =
A1(A1 −A2)(A1 −A3)
(2A2 −A1)(2A3 −A1)
ω2
1 +H,
ν2Γ =
(A1 −A2)(A1 −A3)
2A3 −A1
ω1ω2,
ν3Γ =
(A1 −A2)(A1 −A3)
2A2 −A1
ω1ω3,
.
ω1 =
A2 −A3
A1
ω2ω3,
(61)
где H = ±s, Ai – главные моменты инерции тела.
Для примера рассмотрим случай H = −s. Следуя [15], запишем решение
Стеклова (61) в виде
ω1 = p10cnχt, ω2 = −p20snχt, ω3 = p30dnχt, (62)
где
p10 =
√
(1− 2c)(2b − 1)
(1− c)2(b− 1)
, p20 =
√
1− 2c
(1− c)(b− 1)(b− c)
,
p30 =
√
2b− 1
(1− c)2(b− 1)
, χ =
√
b− c
(1− c)(b− 1)
,
k3 =
√
b− 1
b− c
, b =
A2
A1
, c =
A3
A1
.
(63)
Величины p10, p20, p30 характеризуют вид подвижного годографа (62).
Неподвижный годограф вектора угловой скорости выражается по форму-
лам [15]
ωξ = p30dnχt, ωη = p20snχt, ωζ = −p10cnχt. (64)
В [15] дано истолкование движения гироскопа Стеклова с помощью метода
годографов, в [8] движение этого гироскопа было представлено качением без
106
О кинематическом истолковании движения твердого тела
скольжения кривых, заданных векторами
b(t) =
p10cnχt
dnχt
i1 −
p20snχt
dnχt
i2 + p30i3,
b(t) = p30э1 +
p20snχt
dnχt
э2 −
p10cnχt
dnχt
э3,
и показано, что обе указанные кривые являются эллипсами.
Запишем вектор (13) для случая (62). С точностью до постоянного мно-
жителя, который не влияет на общность задачи, получим
b(t) =
β0
√
1 + µ0sn2χt
(p10cnχt,−p20snχt, p30dnχt), (65)
где β0 = const, µ0 =
2(1− b)
2b− 1
, а χ и pi0 (i = 1, 3) имеют значения из (63).
Из (65) вытекает, что компоненты x, y (b1(t), b2(t)) удовлетворяют урав-
нению
x2p220 + (1 + µ0)y
2p210 = β20p
2
10p
2
20. (66)
Второе уравнение, которому удовлетворяют компоненты вектора (65) для
случая Стеклова, найдем из соотношения (10), полагая A2 = bA1, A3 = cA1:
x2 + by2 + cz2 = σ21 , (67)
где σ1 – постоянная. Таким образом, подвижный годограф вектора (65) яв-
ляется линией пересечения цилиндра (66) и эллипсоида инерции (67).
Неподвижный годограф вектора b(t) в силу равенства (64) имеет вид
b(t) =
β0
√
1 + µ0sn2χt
(p30dnχt, p20snχt,−p10cnχt). (68)
Движение гироскопа Стеклова можно воспроизвести качением без сколь-
жения годографа (65) по годографу (68), который является также линией пе-
ресечения эллипсоида инерции и цилиндра. Следовательно, движение эллип-
соида инерции в рассматриваемом случае представимо качением по эллип-
соиду, определяемому, аналогично эллипсоиду (67), с помощью компонент
неподвижного вектора (68).
1. Poinsot L. Théorie nouvelle de la rotation des corps // J. Math. Pures et Appl. – 1851. –
Bd. 1, № 16. – P. 289–336.
2. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого
тела. Развитие и современное состояние. – К.: Наук. думка, 1978. – 294 с.
3. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподви-
жную точку // Прикл. математика и механика. – 1964. – 28, вып. 3. – С. 158–159.
4. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд-е Новосиб.
гос. ун-та, 1965. – 221 с.
107
А.И. Синенко
5. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – До-
нецк: Изд-е ДонНУ, 2010. – 364 с.
6. Гашененко И.Н., Горр Г.В., Ковалев А.М. Классические задачи динамики твердого
тела. – К.: Наук. думка, 2012. – 401 с.
7. Гашененко И.Н. Кинематическое истолкование по Пуансо движения тела в случае
Гесса // Механика твердого тела. – 2010. – Вып. 40. – С. 12–20.
8. Горр Г.В. Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истол-
кования движения тела с неподвижной точкой // Механика твердого тела. – 2012. –
Вып. 42. – С. 26–36.
9. Бобылев Д.К. Об одном частном решении дифференциальных уравнений вращения
тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // Тр. отд. физ. наук О-ва люби-
телей естествознания. – 1896. – 8, вып. 2. – С. 21–25.
10. Стеклов В.А. Один случай движения тяжелого твердого тела, имеющего неподвиж-
ную точку // Тр. отд. физ. наук О-ва любителей естествознания. – 1896. – 8, вып. 2.
– С. 19–21.
11. Горр Г.В., Мазнев А.В., Щетинина Е.К. Прецессионные движения в динамике твер-
дого тела и в динамике систем связанных твердых тел. – Донецк: Изд-е ДонНУ, 2009.
– 222 с.
12. Докшевич А.И. Решения в конечном виде уравнений Эйлера–Пуассона. – К.: Наук.
думка, 1992. – 168 с.
13. Савелов А.А. Плоские кривые. – М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1960. – 144 с.
14. Стеклов В.А. Новое частное решение дифференциальных уравнений движения тя-
желого твердого тела, имеющего неподвижную точку // Тр. отд. физ. наук О-ва
любителей естествознания. – 1899. – 10, № 1. – С. 1–3.
15. Харламова Е.И., Мозалевская Г.В. Интегродифференциальное уравнение динамики
твердого тела. – К.: Наук. думка, 1986. – 296 с.
A.I. Synenko
On kinematic interpretation of motion of a heavy rigid body using Poinsot’s
method
According to the modification of Poinsot’s method, the motion of a heavy rigid body in the
particular cases of integrability of the Euler–Poinsot equations is represented as rolling without
slipping of the movable godograph of some vector which belongs to the inertia ellipsoid, upon
the fixed godograph.
Keywords: kinematic interpretation, Poinsot’s method, particular solution.
А.I. Синенко
Про кiнематичне тлумачення руху важкого твердого тiла методом Пуансо
На основi методу Пуансо та його модифiкацiї рух важкого твердого тiла в окремих ви-
падках iнтегровностi рiвнянь Ейлера–Пуассона подано коченням без ковзання рухомого
годографа вектора, що належить елiпсоїду iнерцiї, по нерухомому годографу цього векто-
ра.
Ключовi слова: кiнематичне тлумачення, метод Пуансо, частиннi розв’язки.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
forjobmain@gmail.com
Получено 02.09.13
108
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72644 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:29:59Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Синенко, А.И. 2014-12-27T13:49:04Z 2014-12-27T13:49:04Z 2013 О кинематическом истолковании движения тяжелого твердого тела методом Пуансо / А.И. Синенко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 97-108. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72644 531.38 На основе метода Пуансо и его модификации движение тяжелого твердого тела в частных случаях интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона представлено качением без скольжения подвижного годографа вектора, принадлежащего эллипсоиду инерции, по неподвижному годографу этого вектора. На основi методу Пуансо та його модифiкацiї рух важкого твердого тiла в окремих випадках iнтегровностi рiвнянь Ейлера–Пуассона подано коченням без ковзання рухомого годографа вектора, що належить елiпсоїду iнерцiї, по нерухомому годографу цього вектора. According to the modification of Poinsot’s method, the motion of a heavy rigid body in the particular cases of integrability of the Euler–Poinsot equations is represented as rolling without slipping of the movable godograph of some vector which belongs to the inertia ellipsoid, upon the fixed godograph. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела О кинематическом истолковании движения тяжелого твердого тела методом Пуансо Про кiнематичне тлумачення руху важкого твердого тiла методом Пуансо On kinematic interpretation of motion of a heavy rigid body using Poinsot’s method Article published earlier |
| spellingShingle | О кинематическом истолковании движения тяжелого твердого тела методом Пуансо Синенко, А.И. |
| title | О кинематическом истолковании движения тяжелого твердого тела методом Пуансо |
| title_alt | Про кiнематичне тлумачення руху важкого твердого тiла методом Пуансо On kinematic interpretation of motion of a heavy rigid body using Poinsot’s method |
| title_full | О кинематическом истолковании движения тяжелого твердого тела методом Пуансо |
| title_fullStr | О кинематическом истолковании движения тяжелого твердого тела методом Пуансо |
| title_full_unstemmed | О кинематическом истолковании движения тяжелого твердого тела методом Пуансо |
| title_short | О кинематическом истолковании движения тяжелого твердого тела методом Пуансо |
| title_sort | о кинематическом истолковании движения тяжелого твердого тела методом пуансо |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72644 |
| work_keys_str_mv | AT sinenkoai okinematičeskomistolkovaniidviženiâtâželogotverdogotelametodompuanso AT sinenkoai prokinematičnetlumačennâruhuvažkogotverdogotilametodompuanso AT sinenkoai onkinematicinterpretationofmotionofaheavyrigidbodyusingpoinsotsmethod |