Асимптотические свойства траекторий нелинейной системы в случае резонанса четвертого порядка
Изучено поведение решений нелинейной системы при t → +∞ в критическом случае при условии, что асимптотическая устойчивость обеспечивается членами не выше третьего порядка. Предпологается, что система имеет частоты, удовлетворяющие резонансному соотношению типа 1:1:2 либо 1:1:1:1, при этом другие рез...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72645 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Асимптотические свойства траекторий нелинейной системы в случае резонанса четвертого порядка / В.В. Грушковская, А.Л. Зуев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 109-123. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859948535446765568 |
|---|---|
| author | Грушковская, В.В. Зуев, А.Л. |
| author_facet | Грушковская, В.В. Зуев, А.Л. |
| citation_txt | Асимптотические свойства траекторий нелинейной системы в случае резонанса четвертого порядка / В.В. Грушковская, А.Л. Зуев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 109-123. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Изучено поведение решений нелинейной системы при t → +∞ в критическом случае при условии, что асимптотическая устойчивость обеспечивается членами не выше третьего порядка. Предпологается, что система имеет частоты, удовлетворяющие резонансному соотношению типа 1:1:2 либо 1:1:1:1, при этом другие резонансы вплоть до четвертого порядка отсутствуют. В случае существования знакоопределенного первого интеграла резонансной подсистемы предложены достаточные условия асимптотической устойчивости и построена функция Ляпунова. Основным результатом является степенная оценка нормы решений исходной системы с начальными условиями из некоторой окрестности нуля. В качестве иллюстрации рассмотрен пример механической системы с четырьмя степенями свободы.
У статтi дослiджується поводження розв’язкiв нелiнiйної системи при t → +∞ критичному випадку, якщо асимптотична стiйкiсть забезпечується членами не вище третього порядку. Припускається, що система має частоти, якi задовольняють резонансне спiввiдношення типу 1 : 1 : 2 або 1 : 1 : 1 : 1, при цьому iншi резонанси до четвертого порядку включно вiдсутнi. У випадку iснування знаковизначеного першого iнтеграла запропоновано достатнi умови асимптотичної стiйкостi i побудовано функцiю Ляпунова. Основним результатом статтi є степенева оцiнка норми розв’язкiв системи з початковими умовами iз деякого околу нуля. Як iлюстрацiю розглянуто приклад механiчної системи з чотирма степенями вiльностi.
This paper is devoted to the study of the behavior of solutions of a nonlinear system as t → +∞ in a critical case, under the assumption that the stability is ensured by third order forms. It is supposed that the system has frequencies satisfying the resonance relation of form 1 : 1 : 2 or 1 : 1 : 1 : 1, and there are no other resonances up to the fourth order. In a case when the resonance subsystem has a sign-definite first integral, sufficient conditions for the asymptotic stability are proposed, and a Lyapunov function is obtained. The main result of the paper is a power estimate for the solutions with initial conditions from a neighborhood of the origin. As an illustration, we consider an example of a mechanical system with four degrees of freedom.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:15:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2013. Вып. 43
УДК 531.36
c©2013. В.В.Грушковская, А.Л. Зуев
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ТРАЕКТОРИЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
В СЛУЧАЕ РЕЗОНАНСА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
Изучается поведение решений нелинейной системы при t → +∞ в критическом случае
при условии, что асимптотическая устойчивость обеспечивается членами не выше третье-
го порядка. Предполагается, что система имеет частоты, удовлетворяющие резонансному
соотношению типа 1 : 1 : 2 либо 1 : 1 : 1 : 1, при этом другие резонансы вплоть до четверто-
го порядка отсутствуют. В случае существования знакоопределенного первого интеграла
резонансной подсистемы предложены достаточные условия асимптотической устойчивости
и построена функция Ляпунова. Основным результатом статьи является степенная оцен-
ка нормы решений исходной системы с начальными условиями из некоторой окрестности
нуля. В качестве иллюстрации рассмотрен пример механической системы с четырьмя сте-
пенями свободы.
Ключевые слова: асимптотическая оценка, критический случай, резонанс.
Введение. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений возму-
щенного движения
ẋ = Ax+R (x) , (1)
где x = (x1, x2, ..., xn)
T – фазовый вектор системы, A – вещественная посто-
янная [n× n]-матрица, R (x) – аналитическая в некоторой окрестности нуля
функция, R (x) = O(‖x‖2) при x → 0. Известно, что если асимптотическая
устойчивость тривиального решения системы (1) обеспечивается линейным
приближением, то для начальных условий из некоторой окрестности нуля все
решения удовлетворяют экспоненциальной оценке. В критическом же случае
экспоненциальную оценку решений построить не удается. Отметим резуль-
таты В.И. Зубова и Н.Н. Красовского, относящиеся к нелинейным системам,
для которых асимптотическая устойчивость обеспечивается приближением
r-го порядка [1,2]. В этом случае для решений исходной системы справедлива
оценка по степеням t. Аналогичная степенная оценка для систем, асимпто-
тическая устойчивость которых обеспечивается членами до третьего порядка
включительно, построена в работе [3] для критического случая q пар чисто
мнимых корней.
Предположим, что матрица A имеет q пар чисто мнимых собственных
значений ±iω1, ...,±iωq, q ≥ 3, и p = n − 2q собственных значений с отрица-
тельными вещественными частями. Будем говорить, что в системе (1) при-
сутствует резонанс m-го порядка, если существуют целые взаимно простые
числа c1, . . . , cq, |c1|+ ...+ |cq| = m, с которыми c1ω1 + ...+ cqωq = 0.
Работа выполнена при поддержке проекта Ф53.1/010 в рамках совместного конкурса
Государственного фонда фундаментальных исследований Украины (ДФФД) и Российского
фонда фундаментальных исследований (РФФИ).
109
В.В. Грушковская, А.Л. Зуев
Отметим, что условия устойчивости систем с резонансами в критических
случаях являются предметом исследований многих авторов. В частности, в
работах Я.М. Гольцера, В.Э. Жавнерчика, А.Л. Куницина, С.В. Медведева
и др. получен ряд условий устойчивости и неустойчивости критической под-
системы с одним или несколькими резонансами. Эти результаты доказаны
в терминах условий существования неограниченного решения на инвариан-
тном луче для соответствующих модельных уравнений, а также в терминах
“сильных” и “слабых” резонансов [4–7]. Для случая резонанса четвертого по-
рядка, в статьях [8] предложен метод построения функции Ляпунова для
модельной системы, резонансная часть которой имеет знакоопределенный
первый интеграл. П.С. Красильниковым построены алгебраические крите-
рии асимптотической устойчивости системы (1) при резонансах типа 1 : 1 и
1 : 3 [9, 10].
В данной статье рассматривается случай, когда вопрос об асимптотичес-
кой устойчивости тривиального решения системы (1) решается членами не
выше третьего порядка, в системе присутствует трех- или четырехчастотный
резонанс четвертого порядка, а все другие резонансы порядков m ≤ 4 отсут-
ствуют. Предполагается, что резонансная подсистема имеет знакоопределен-
ный первый интеграл. Основной целью работы является изучение асимпто-
тического поведения решений системы (1) при сделанных предположениях.
Статья построена следующим образом. В п. 1 получена модельная система
для уравнений (1). Достаточные условия асимптотической устойчивости этой
системы при наличии резонанса четвертого порядка предложены в п. 2. Для
исследования устойчивости применяется подход, подобный используемому в
статье [8], однако допускающий более широкое множество коэффициентов
модельной системы. Доказательству степенной оценки нормы решений систе-
мы (1) с начальными условиями из некоторой окрестности нуля при t→ +∞
посвящен п. 3. Применение полученных результатов к исследованию движе-
ния механических систем отражено в п. 4.
1. Построение модельной системы. Согласно принципу сведе-
ния [11], с помощью невырожденных преобразований система (1) может быть
приведена к следующему виду:
żs = iωszs+
3∑
|k1|+|k2|=2
Y (k1,k2)
s z1
k11 . . .z
k1q
q z̄k211 . . .z̄
k2q
q +Hs(z, z̄, ζ), s = 1, q,
ζ̇j =
p∑
l=1
bjlζl + Ej (z, z̄, ζ) , j = 1, p,
(2)
где z = (z1, . . . , zq) ∈ C
q, ζ = (ζ1, . . . , ζp) ∈ R
p; bjl, Y
(ks,ls)
s – постоянные
коэффициенты; функции Hs(z, z̄, ζ), Ej(z, z̄, ζ) равны нулю при z = 0, ζ = 0 и
не содержат членов ниже четвертого порядка по совокупности переменных;
kl = (kl1, ..., klq), |kl| =
q∑
s=1
kls, l = 1, 2. Уравнения для ˙̄z являются комп-
110
Асимптотические свойства траекторий системы с резонансом
лексно-сопряженными к уравнениям для ż.
Следуя подходу работы [11], рассмотрим критическую и устойчивую под-
системы
żs = iωszs +
3∑
|k1|+|k2|=2
Y (k1,k2)
s z1
k11 . . . z
k1q
q z̄k211 . . . z̄
k2q
q , (3)
ζ̇j =
p∑
l=1
pjlζl, j = 1, p. (4)
Лемма 1 [3, 11]. Пусть V1(z) – определенно-положительная непрерыв-
но дифференцируемая в некоторой окрестности нуля функция, для которой
производная в силу системы (3) V
′
1 – определенно-отрицательная функция.
Предположим также, что V2(ζ) – определенно-положительная квадратич-
ная форма, а ее производная в силу системы (4) равна
V
′
2 = −M2
p∑
j=1
ζ2j , M 6= 0. (5)
Тогда
V (z, ζ) = V1(z) + V2(ζ)
является функцией Ляпунова для системы (2), и для любого δ1 ∈ (0, 1)
существует ε1 > 0, с которым для всех (z, ζ) из ε1-окрестности нуля
Bε1 (0) ⊆ C
q × R
p выполнена оценка
V̇ ≤ − (1− δ1)
(∣∣∣V ′
1
∣∣∣+
∣∣∣V ′
2
∣∣∣
)
. (6)
Для нахождения функции Ляпунова V1 исследуем систему (3) с помощью
метода нормальных форм [12,13]. Введем новые переменные us по формулам
us = zs +
3∑
l=2
Q(l)
s (z, z̄), (7)
где Q
(l)
s (z, z̄) определяются по коэффициентам правой части системы (3) и
являются формами l-го порядка (явные формулы приведены в [3,13]). Запи-
шем систему (3) в переменных (7):
u̇s = iωsus +
3∑
|k1|+|k2|=2
B(k1,k2)
s uk111 ...u
k1q
q ūk211 ...ū
k2q
q + . . . , (8)
где правая часть содержит только те слагаемые B(k1,k2)
s uk111 ...u
k1q
q ūk211 ...ū
k2q
q ,
коэффициенты которых удовлетворяют резонансным соотношениям. Введем
вещественные переменные rs и θs по формулам
us = rse
iθs , s = 1, q.
111
В.В. Грушковская, А.Л. Зуев
Тогда (8) примет вид
ṙs = rs
q∑
j=1
Asjr
2
j +Rs(r, θ) + F1s(r, θ),
rsθ̇s = ωsrs + rs
q∑
j=1
Bsjr
2
j +Θs(r, θ) + F2s(r, θ), s = 1, q,
(9)
где Asj , Bsj – вещественные коэффициенты, Rs(r, θ), Θs(r, θ) – резонансные
члены, Rs(θ) = O(‖r‖3) при r → 0, а F1s(r, θ) и F2s(r, θ) являются формами
порядка O
(
‖r‖4
)
.
Следующую систему в переменных ρs=r
2
s ≥ 0 будем называть модельной:
ρ̇s = 2ρs
q∑
j=1
Asjρj +
√
ρsRs(ρ, θ), s = 1, q. (10)
Будем говорить, что решение ρ = 0 системы (10) асимптотически устойчиво
в конусе ρs ≥ 0 при постоянно действующих возмущениях (п.д.в.), если для
всякого ε > 0 найдется такое δ = δ(ε) > 0, что при любой непрерывно-
дифференцируемой функции θ : [0,+∞) → R
q и начальных значениях ρ(0) =
= ρ0: ρ01 ≥ 0, . . . , ρ0q ≥ 0, ‖ρ0‖ < δ, соответствующее решение ρ(t) системы (10)
определено для всех t ∈ [0,+∞) и ‖ρ(t)‖ < ε при t ∈ [0,+∞), lim ‖ρ(t)‖
t→+∞
= 0.
2. Достаточные условия асимптотической устойчивости модель-
ной системы. Предположим, что в системе (1) есть трехчастотный резо-
нанс четвертого порядка и отсутствуют прочие резонансы до четвертого по-
рядка включительно. Можем считать, что резонансное соотношение имеет
вид
ω1 + ω2 = 2ω3. (11)
Тогда модельная система (10) представима в форме
ρ̇l = 2ρl
q∑
j=1
Aljρj + 2(al cos(θ1+θ2−2θ3) + bl sin(θ1+θ2−2θ3))ρ3
√
ρ1ρ2,
ρ̇k = 2ρk
q∑
j=1
Akjρj ; al, bl ∈ R, l = 1, 3, k = 4, q.
(12)
Теорема 1. Пусть выполнено соотношение (11), Ass < 0 для всех
s = 1, q, и пусть существуют положительные постоянные γ1, . . . γq, удо-
влетворяющие следующим условиям:
1)
a1γ1 + a2γ2 + a3γ3 = 0, b1γ1 + b2γ2 + b3γ3 = 0; (13)
112
Асимптотические свойства траекторий системы с резонансом
2) уравнение
q∑
j,k=1
Ajkγjρjρk = 0 (14)
не имеет решений в конусе ρs ≥ 0.
Тогда решение ρ = 0 системы (12) асимптотически устойчиво в конусе
ρs ≥ 0 при п.д.в.
Доказательство. Рассмотрим функцию
V1(ρ) =
q∑
s=1
γsρs. (15)
Поскольку γ1 > 0, . . . , γq > 0, то функция (15) является определенно-
положительной в конусе ρs ≥ 0. Производная этой функции в силу систе-
мы (12) и равенств (13) равна
V̇1 = 2
q∑
j,k=1
Ajkγjρjρk. (16)
Из условия отрицательности коэффициентов Ass и условия 2) доказываемой
теоремы следует, что функция (16) отрицательно определена в конусе ρs ≥ 0.
Утверждение теоремы следует из того факта, что для любой непрерывно-
дифференцируемой функции θ : [0,+∞) → R
q функция V1(ρ) удовлетворяет
условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости.
Обозначим ∆1 = a1b2 − a2b1, ∆2 = a2b3 − a3b2, ∆3 = a3b1 − a1b3.
Лемма 2. Условие существования γ1 > 0, γ2 > 0, γ3 > 0, удовлетворяю-
щих системе (13), эквивалентно выполнению одного из следующих условий:
sign(∆1) = sign(∆2) = sign(∆3) 6= 0;
{
sign(∆1) = sign(∆2) = sign(∆3) = 0,
∃j 6= k, j,k = 1, 3 : sign(aj) = − sign(ak) 6= 0, sign(bj) = − sign(bk) 6= 0;
aj = bj = 0, j = 1, 3.
Доказательство. Предположим, что ∆s 6= 0 для всех s = 1, 3. Тогда об-
щее решение γ∗ системы (13) можно записать в виде γ∗ =
{
∆2
∆1
γ3,
∆3
∆1
γ3, γ3
}
,
и для существования положительных постоянных γ1, γ2, γ3 необходимо и до-
статочно, чтобы знаки всех определителей ∆s совпадали.
В случае, когда один или два из ∆s равны нулю, существует по крайней
мере одна нулевая компонента решения γ∗.
113
В.В. Грушковская, А.Л. Зуев
Предположим теперь, что ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0. Тогда
a1
b1
=
a2
b2
=
a3
b3
.
Пусть существует ai 6= 0. Для определенности положим a1 6= 0. Тогда
γ∗ =
{
−a2
a1
γ2 −
a3
a1
γ3, γ2, γ3
}
, следовательно, для существования положи-
тельных постоянных γ1, γ2, γ3 необходимо и достаточно, чтобы sign(a1) =
= − sign(a2), либо sign(a1) = − sign(a3). Аналогичные рассуждения спра-
ведливы, если существует bi 6= 0.
В случае, когда aj = bj = 0, j = 1, 3, т. е. все коэффициенты при резонанс-
ных слагаемых равны нулю, уравнения (13) справедливы для всех γ1, γ2, γ3,
в том числе и для положительных.
Замечание 1. В случае, когда в системе (1) есть один четырехчастотный
резонанс четвертого порядка вида
ω1 + ω2 + ω3 = ω4 (17)
и отсутствуют другие резонансы меньшего либо равного порядков, модельная
система (10) имеет вид
ρ̇l=2ρl
q∑
j=1
Aljρj+2
[
alcos(θ1+θ2+θ3−θ4)+blsin(θ1+θ2+θ3−θ4)
]√
ρ1ρ2ρ3ρ4,
ρ̇k=2ρk
q∑
j=1
Akjρj, al, bl ∈ R, l = 1, 4, k = 5, q.
(18)
Для системы (18) также справедливо утверждение теоремы 1, при этом усло-
вие 1) принимает вид
a1γ1 + a2γ2 + a3γ3 + a4γ4 = 0, b1γ1 + b2γ2 + b3γ3 + b4γ4 = 0.
3. Оценка нормы решений. Пусть в системе (1) есть один резонанс
вида (11) либо (17) и отсутствуют другие резонансы до четвертого порядка
включительно. Тогда при выполнении условий теоремы 1 для системы (10)
может быть построена функция Ляпунова вида V1(ρ) =
q∑
s=1
γsρs, производная
которой в силу системы (10) равна V̇1 = 2
∑q
j,k=1Ajkγjρjρk. Поскольку V̇1(ρ)
является определенно-отрицательной квадратичной формой в конусе ρs ≥ 0,
то существует постоянная λ > 0 такая, что:
V̇1 ≤ −λV 2
1 (ρ), ∀ρs ≥ 0. (19)
Возвращаясь к переменным rs, получаем функцию Ляпунова для систе-
мы (9), V1(r) =
q∑
s=1
γsr
2
s , и оценку для ее производной в силу системы (9):
V̇1 ≤ −λV 2
1 + 2
q∑
s=1
rsF1s.
114
Асимптотические свойства траекторий системы с резонансом
Поскольку F1s(r, θ) – формы порядка O
(
‖r‖4
)
, то для любого δ2 > 0 суще-
ствует ε2 > 0:
V̇1 ≤ −λ(1− δ2)V
2
1 при ‖r‖ ≤ ε2.
Соответственно, функция Ляпунова для системы (3) имеет вид
V1(z) =
q∑
s=1
γs
∣∣∣zs +Q(1)
s (z, z̄) +Q(2)
s (z, z̄)
∣∣∣
2
,
и для ее производной в силу системы (3) справедлива оценка
∣∣∣V ′
1
∣∣∣ ≥ −λ(1− δ2)V
2
1 при ‖z‖ < ε2. (20)
Функцию Ляпунова для системы (4), следуя условиям леммы 1, возьмем в
виде V2 (ζ) = (Tζ, ζ), где T – матрица определенно-положительной квадра-
тичной формы. Из (5) V
′
2 = −M2
p∑
j=1
ζ2j , следовательно, V
′
2 ≤ − M2
µmax
V2, где
µmax – максимальное собственное значение матрицы T . Таким образом,
∣∣∣V ′
2
∣∣∣ ≥ M2
µmax
V2. (21)
Тогда по лемме 1, функция
V (z, ζ) =
q∑
s=1
γs
∣∣∣zs +Q(1)
s (z, z̄) +Q(2)
s (z, z̄)
∣∣∣
2
+ (Tζ, ζ) (22)
является функцией Ляпунова для системы (2). Используя неравенства (6),
(20) и (21), получаем оценку для производной функции (22) в силу систе-
мы (2):
V̇ ≤ −(1− δ1)
(
λ(1− δ2)V
2
1 +
M2
µmax
V2
)
.
Заметим, что существует такая ε3-окрестность нуля, что V̇ ≤ −αV 2 при
‖(z, ζ)‖ < ε3, где α =
1− δ1
2
min
{
λ(1− δ2),
M2
µmax
}
. Решением соответствую-
щего уравнения сравнения является функция
V̂ (t) =
(
α (t− t0) + V −1
0
)−1
, V0 = V̂ (t0).
Таким образом,
V ≤
(
α (t− t0) + V −1
0
)−1 ∀t ≥ t0. (23)
Возвращаясь к переменным x с помощью обратных преобразований, получим
функцию Ляпунова для системы (1): V = (Gx, x)+R̃ (x) , где
∣∣∣R̃ (x)
∣∣∣ ≤ δ̃‖x‖2 в
115
В.В. Грушковская, А.Л. Зуев
некоторой ε4-окрестности нуля, а (Gx, x) – определенно-положительная квад-
ратичная форма, для которой
λmin‖x‖2 ≤ (Gx, x) ≤ λmax‖x‖2, (24)
где λmin, λmax – минимальное и максимальное собственные значения матрицы
G. Отсюда следует, что
V (x) ≥ λmin
(
1− δ̃
)
‖x‖2, V0 = V (x0) ≤ λmax
(
1 + δ̃
)
‖x0‖2. (25)
В совокупности с неравенством (23), неравенства (25) позволяют оценить
решения x(t) системы (1) в ε-окрестности нуля (ε = min {ε1, ε2, ε3, ε4}):
‖x(t)‖ ≤
(
α1 (t− t0) + α2‖x(t0)‖−2
)− 1
2
, t ≥ t0, (26)
где α1 =
(1− δ1) (1− δ̃)λmin
2
min
{
λ(1− δ2),
M2
µmax
}
, α2 =
λmin(1− δ̃)
λmax(1 + δ̃)
. Таким
образом, доказана следующая теорема.
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда существует
такое ε > 0, что для всех решений системы (1) с начальными условиями
‖x(t0)‖ < ε выполнена оценка (26).
4. Исследование механической системы с частичной диссипаци-
ей. Рассмотрим механическую систему, состоящую из диска, который вра-
щается вокруг точки O (см. рис. 1).
Рис. 1. Вращающийся диск с точечными массами.
Обозначим через ϕ угол поворота диска относительно фиксированного
направления и предположим, что на диск действует восстанавливающий мо-
мент, пропорциональный углу ϕ. Точечная масса m0 перемещается вдоль ра-
диального направления относительно центра диска, а две точечные массы m1
116
Асимптотические свойства траекторий системы с резонансом
и m2 совершают колебания в направлениях, перпендикулярных радиальным,
как показано на рисунке. Конфигурация механической системы определяется
обобщенными координатами ϕ, l0, l1, l2. Предполагается также, что на то-
чечную массу m0 действует сила вязкого трения, пропорциональная относи-
тельной скорости движения. При сделанных предположениях кинетическая
(T ) и потенциальная (V ) энергии имеют следующий вид:
2T =
(
I0 +m1(l
2
1 + r21) +m2(l
2
2 + r22) +m0(r0 + l0)
2
)
ϕ̇2 +m1l̇
2
1 +m2l̇
2
2+
+m0l̇
2
0 − (m1r1 l̇1 +m2r2l̇2)ϕ̇, 2V = κϕ2 +
κ1
2
l21 + κ2l
2
2 + κ0l
2
0.
Запишем уравнения Лагранжа второго рода для рассматриваемой механиче-
ской системы:
(
I0 +m1(l
2
1 + r21) +m2(l
2
2 + r22) +m0(r0 + l0)
2
)
ϕ̈−m1r1 l̈1 −m2r2l̈2+
+ 2(m1l1 l̇1 +m2l2l̇2 +m0(r0 + l0)l̇0)ϕ̇+ κϕ = 0,
m1l̈1 −m1r1ϕ̈−m1l1ϕ̇
2 + κ1l1 = 0, m2l̈2 −m2r2ϕ̈−m2l2ϕ̇
2 + κ2l2 = 0,
m0l̈0 −m0(r0 + l0)ϕ̇
2 + κ0l0 = −νl̇0.
(27)
Будем исследовать поведение системы (27) в окрестности положения равно-
весия l0 = l1 = l2 = 0, ϕ = 0. Запишем уравнения возмущенного движения
системы с точностью до членов третьего порядка:
ẋ1 = x5, ẋ2 = x6, ẋ3 = x7, ẋ4 = x8,
Jẋ5 = −κx1 − r1κ1x2 − r2κ2x3 +A(x),
Jẋ6 = −r1κx1 − κ1(m1r
2
1 + J)x2 − r1r2κ2x3 + r1A(x) + Jx2x
2
5,
Jẋ7 = −r2κx1 − r1r2κ1x2 − κ2(r
2
2m2 + J)x3 + r2A(x) + Jx3x
2
5,
ẋ8 = − κ0
m0
x4 −
ν
m0
x8 + r0x
2
5 + x4x
2
5.
(28)
Здесь x1 = ϕ, x2 = l1, x3 = l2, x4 = l0, x5 = ϕ̇, x6 = l̇1, x7 = l̇2, x8 = l̇0,
J = I0 +m0r
2
0, A(x) = (2κm0r0x1x4 + 2κ1m0r0r1x2x4 + 2κ2m0r0r2x3x4−
−2Jm0r0x5x8 + κm1x1x
2
2 + κm2x1x
2
3 − (4m0r
2
0/J − 1)κm0x1x
2
4+
+κ1m1r1x
3
2 + κ2m1r2x
2
2x3 + κ1m1r1x2x
2
3 − (4m0r
2
0/J − 1)κ1m0r1x2x
2
4+
+Jm1r1x2x
2
5 − 2Jm1x2x5x6 + κ2m2r2x
3
3 − (4m0r
2
0/J − 1)κ2m0r2x3x
2
4+
+Jm2r2x3x
2
5 − 2Jm2x3x5x7 + 2(2m0r
2
0 − J)m0x4x5x8
)
/J.
Матрица A линейного приближения системы (28) имеет три пары чисто мни-
мых корней: ±ω1, ±ω2, ±ω3, и пару корней с отрицательными веществен-
ными частями λ1,2 =
−ν ±
√
ν2 − 4m0κ0
2m0
. Предположим, что ω1 = 0.3 c−1,
117
В.В. Грушковская, А.Л. Зуев
ω2 = 0.5 c−1, ω3 = 0.4 c−1, т. е. выполнено резонансное соотношение (11).
Такие значения частот достигаются, например, при
I0 ≈ 0.012 кг·м2, m0 = 1 кг, m1 = m2 ≈ 0.59кг,
κ ≈ 0.004 Н·м, κ0 = 0.1 Н/м, κ1 = 2κ2 ≈ 0.12 Н/м,
r0 = 0.1 м, r1 = 0.45r0 = 0.045 м, r2 = 0.6r0 = 0.06 м.
(29)
В силу громоздкости вычислений, для дальнейшего исследования систе-
мы (28) будем использовать численные значения механических параметров
(29). Посредством линейной невырожденной замены переменных
ξs =
ωsκr2(ω
2
sm1 − κ1)x1 + ω3
sκ1m1r1r2x2
−ω4
sJm1 + ω2
s(κ1m1r21 + Jκ1 + κm1)− κκ1
− ωsx3,
ηs =
−κr2(ω
2
sm1 − κ1)x5 − ω2
sκ1m1r1r2x6
−ω4
sJm1 + ω2
s(κ1m1r21 + Jκ1 + κm1)− κκ1
+ x7, s = 1, 2, 3,
w1 = x4, w2 = x8
(30)
система (28) приводится к виду
ξ̇s = −ωsηs,
η̇s = ωsξs + (as1ξ1 + as2ξ2 + as3ξ3)w1 + (bs1η1 + bs2η2 + bs3η3)w2+
+ (as4ξ1 + as5ξ2 + as6ξ3)w
2
1 + (bs4η1 + bs5η2 + bs6η3)w1w2 + Ỹs(ξ, η),
ẇ1 = w2, ẇ2 = − κ0
m0
w1 −
ν
m0
w2 +W1(η) + w1W2(η),
(31)
где asj ∈ R, bsj ∈ R (j=1,..,6), Ỹs(ξ, η) – формы третьего порядка; W1(η),
W2(η) – квадратичные формы. Преобразуем (31) так, чтобы уравнения для
ẇ1, ẇ2 содержали только слагаемые, обращающиеся в нуль при w1 = w2 = 0.
Для этого введем переменные ζ1, ζ2 (подробней эта замена описана в [3, 11]):
ζj = wj − Vj(ξ, η), j = 1, 2, (32)
где Vj(ξ, η) – квадратичные формы. Переходя к комплексно-сопряженным
переменным по формулам
ys = ξs + iηs, ȳs = ξs − iηs, s = 1, 2, 3, (33)
получаем систему уравнений
ẏs = iωsys + Ys(y, ȳ) +
3∑
k=1
(
P
(k)
s1 (ζ)yk + P
(k)
s2 (ζ)ȳk
)
+ Ys1(y, ȳ, ζ),
ζ̇1 = ζ2 +
∑
|k1|+|k2|=2
Z
(k1,k2)
1 (ζ)
3∏
s=1
yk1ss ȳk2ss ,
ζ̇2 = − κ0
m0
ζ1 −
ν
m0
ζ2 +
∑
|k1|+|k2|=2
Z
(k1s,k2s)
2 (ζ)
3∏
s=1
yk1ss ȳk2ss ,
(34)
118
Асимптотические свойства траекторий системы с резонансом
где Ys(y, ȳ) – формы третьего порядка, P
(k)
sj (ζ), Z
(k1,k2)
j (ζ) – линейные формы,
Ys1 (y, ȳ, ζ) не содержат членов ниже третьего порядка, Ys1(y, ȳ, 0) = 0. Для
того, чтобы получить систему уравнений вида (2), положим
ys = zs +
3∑
k=1
(
ψ
(k)
s1 (ζ) yk + ψ
(k)
s2 (ζ) ȳk
)
, s = 1, 2, 3, (35)
где ψ
(k)
sj (ζ) – линейные формы, определяемые из уравнений
i (ωs − ωk)ψ
(k)
sj (ζ) + P
(k)
sj (ζ)−
∂ψ
(k)
sj
∂ζ1
ζ2 +
∂ψ
(k)
sj
∂ζ2
(
κ0
m0
ζ1 +
ν
m0
ζ2
)
= 0.
В новых переменных система (34) может быть записана в форме (2):
żs = iωszs + Ys(z, z̄) +Hs (z, z̄, ζ) , s = 1, 2, 3,
ζ̇1 = ζ2 + E1 (z, z̄, ζ) , ζ̇2 = − κ0
m0
ζ1 −
ν
m0
ζ2 +E2 (z, z̄, ζ) ,
где функции Hs(z, z̄, ζ), Ej(z, z̄, ζ) равны нулю при ζ = 0 и не содержат чле-
нов ниже третьего порядка. Таким образом, системы (3) и (4) можно записать
как
żs = iωszs + Ys(z, z̄), s = 1, 2, 3, (36)
ζ̇1 = ζ2, ζ̇2 = − κ0
m0
ζ1 −
ν
m0
ζ2. (37)
Переходя к переменным us по формулам (7), получаем нормальную форму
системы (36) (с точностью до членов третьего порядка):
u̇1 = q11u
2
1ū1 + q12u1u2ū2 + q13u1u3ū3 + q14u
2
3ū2,
u̇2 = q21u1u2ū1 + q22u
2
2ū2 + q23u2u3ū3 + q24u
2
3ū1, (38)
u̇3 = q31u1u3ū1 + q32u2u3ū2 + q33u
2
3ū3 + q34u1u2ū3.
В переменных rs, θs система (38) принимает вид (9). Запишем в перемен-
ных ρs = r2s , s = 1, 2, 3, соответствующую модельную систему
ρ̇s = 2ρs
3∑
s=j
Asjρj+2(ascos(θ1+θ2−2θ3) + bssin(θ1+θ2−2θ3))ρ3
√
ρ1ρ2; (39)
коэффициенты при выборе механических параметров (29) имеют следующие
значения:
A11 ≈ − 0.0075ν
ν2 + 0.81
, A22 ≈ − 0.019ν
(ν2 + 0.188)
, A33 ≈ − 0.0297ν
ν2 + 0.456
,
119
В.В. Грушковская, А.Л. Зуев
A12 ≈ −0.9401ν
(
ν2 + 0.382
)
G1G2, A13 ≈ −0.782ν
(
ν2 + 0.641
)
G3G4,
A21 ≈ 0.0086ν
(
ν2 + 0.5775
)
G1G2, A23 ≈ 0.092ν
(
ν2 + 0.227
)
G3G5,
A31 ≈ 0.091ν
(
ν2 + 0.599
)
G3G4, A32 ≈ −1.168ν
(
ν2 + 0.373
)
G3G5,
a1 ≈ 2.367ν
(
ν2 + 0.476
)
G1G3, a2 ≈ 2− 0.032ν
(
ν2 + 0.432
)
G1G3,
a3 ≈ 0.04νG1, b1 ≈ −4.482G6, b2 ≈ −0.068G6, b3 ≈ 1.3G6,
где G1 = ν2 + 0.456, G2 = ν2 + 0.09, G3 = ν2 + 0.81, G4 = ν2 + 0.622,
G5 = ν2 + 0.31, G6 =
(
ν4 + 0.839ν2 + 0.182
)
G1G3. Для краткости записи в
приведенных выражениях опущены размерности соответствующих величин.
Проверим выполнение условий теоремы 1. Очевидно, что A11 < 0,
A22 < 0, A33 < 0 при всех значениях параметра ν. Одним из решений си-
стемы уравнений (13) является
γ1 ≈ 0.464(ν2 + 0.405), γ2 ≈ 39.24(ν2 + 0.495), γ3 ≈ 3.66(ν2 + 0.456). (40)
В качестве функции Ляпунова для системы (39) используем функцию ви-
да (15):
V1(ρ) = γ1ρ1 + γ2ρ2 + γ2ρ3, (41)
в которой γ1, γ2, γ3 определяются по формулам (40) и положительны при
всех ν. Производная функции (41) в силу системы (39) равна
V̇1
2
= γ1A11ρ
2
1 + (γ1A12 + γ2A21)ρ1ρ2 + (γ1A13 + γ3A31)ρ1ρ3 + γ2A22ρ
2
2+
+ (γ2A23 + γ3A32)ρ2ρ3 + γ3A33ρ
2
3.
Будем предполагать, что ν > 0.8. Тогда все коэффициенты в (14) отрицатель-
ны, следовательно, уравнение (14) не имеет корней в конусе ρs ≥ 0. Таким
образом, все условия теоремы 1 выполнены, и решение ρ = 0 системы (39)
асимптотически устойчиво в конусе ρs ≥ 0 при п.д.в.
Для функции V̇1 справедлива оценка (19) с
−λ = max
i,j=1,3
{
γiAij + γjAji
γiγj
}
=
γ1A12 + γ2A21
γ1γ2
при 0.8 < ν ≤ 0.91,
2A22
γ2
при ν > 0.91.
Функцией Ляпунова для (36) является
V1(z, z̄)=
3∑
s=1
γs
∣∣∣zs+Q(2)
s (z, z̄)
∣∣∣
2
.
120
Асимптотические свойства траекторий системы с резонансом
Функция Ляпунова для системы (37) при выбранных параметрах имеет вид
V2 (ζ) = (ν2 + 0.11)ζ21 + 1.1ζ22 + 2νζ1ζ2. (42)
Производная функции (42) в силу системы (37) равна
V
′
2 = −0.2ν
(
ζ21 + ζ22
)
≤ − 2ν
6.05 + 5ν2 + 5
√
(ν2 + 1.21)(ν2 + 0.81)
V2.
Тогда функция (22) такова:
V (z, z̄, ζ) =
3∑
s=1
γs
∣∣∣zs +Q(2)
s (z, z̄)
∣∣∣
2
+ (ν2 + 0.11)ζ21 + 1.1ζ22 + 2νζ1ζ2,
и справедливо неравенство (23), в котором
α =
1− δ1
2
min
{
λ(1− δ2),
2ν
6.05 + 5ν2 + 5
√
(ν2 + 1.21)(ν2 + 0.81)
}
=
= −(1− δ1)(1 − δ2)
λ
2
.
Поскольку преобразования (32), (33), (35) сохраняют линейную часть, то
квадратичная часть функции Ляпунова для системы (31) имеет вид
V (ξ, η, w) =
3∑
s=1
γs(ξ
2
s + η2s) + (ν2 + 0.11)w2
1 + 1.1w2
2 + 2νw1w2.
Используя формулы (30), получаем функцию Ляпунова для системы (28),
соответствующую выбранным механическим параметрам (29):
V (x) = (0.2ν2 + 0.09)x21 − (0.35ν2 + 0.2)x1x2 − (0.39ν2 + 0.22)x1x3+
+ (5.09ν2 + 2.19)x22 − (0.12ν2 + 0.06)x2x3 + (4.23ν2 + 2.06)x23+
+ (ν2 + 0.11)x24 + 2νx4x8 + (1.48ν2 + 0.69)x25 − (4.51ν2 + 2.26)x5x6−
− (7.55ν2 + 3.9)x5x7 + (26.21ν2 + 11.44)x26 + (2.18ν2 + 1.25)x6x7+
+ (43.37ν2 + 21.28)x27 + 1.1x28 + R̃(x).
(43)
Коэффициенты λmin, λmax в неравенствах (24) являются наименьшим и наи-
большим собственными значениями матрицы квадратичной формы в (43).
Таким образом, для решений системы (28) с начальными условиями из
некоторой ε-окрестности нуля справедлива оценка (26):
‖x(t)‖ ≤
(
α1 (t− t0) + α2‖x(t0)‖−2
)− 1
2
, t ≥ t0,
121
В.В. Грушковская, А.Л. Зуев
где
α1 =
− (1− δ) λmin
γ1A12 + γ2A21
2γ1γ2
при ν ≤ 0.91,
− (1− δ) λmin
A22
γ2
при ν > 0.91,
α2 =
λmin
λmax
(1− δ)
с некоторым δ > 0. Так, при ν = 1 α1 = 0.00003.
Выводы. Основным результатом статьи является асимптотическая
оценка решений нелинейной системы в критическом случае при наличии резо-
нансного соотношения четвертого порядка. Предложенный конструктивный
метод вычисления коэффициентов оценки и построения функции Ляпунова
для исходной системы продемонстрирован на примере механической системы
с частичной диссипацией энергии.
1. Зубов В.И. Методы А.М. Ляпунова и их применение. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1957. – 263 c.
2. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. – М.: Физматгиз,
1959. – 212 c.
3. Grushkovskaya V., Zuyev A. Asymptotic Behavior of Solutions of a Nonlinear System in
the Critical Case of q Pairs of Purely Imaginary Eigenvalues// Nonlinear Analysis: Theory,
Methods & Applications. – 2013. – 80. – С. 156–178.
4. Куницын А.Л. Об устойчивости в критическом случае трех пар чисто мнимых корней
при внутреннем резонансе // Прикл. математика и механика. – 1971. – 35, вып. 1. –
С.164–167.
5. Гольцер Я.М, Куницын А.Л. Об устойчивости автономных систем при внутреннем
резонансе // Прикл. математика и механика. – 1975. – 39, вып. 6. – С. 974–984.
6. Куницын А.Л., Медведев С.В. Об устойчивости при наличии нескольких резонансов
// Прикл. математика и механика. – 1977. – 41, вып. 3. – С. 422–429.
7. Жавнерчик В.Э. О неустойчивости при наличии нескольких резонансов // Прикл.
математика и механика. – 1979. – 43, вып. 6. – С. 970–974.
8. Куницын А.Л. О резонансной стабилизации одного класса неустойчивых систем //
Прикл. математика и механика. – 2011. – 75, вып. 5. – С. 727–730.
9. Красильников П.С. Об алгебраических критериях асимптотической устойчивости при
резонансе 1:1 // Прикл. математика и механика. – 1993. – 57, вып. 4. – С. 5–11.
10. Красильников П.С. Об асимптотической устойчивости при резонансе 1:3 // Прикл.
математика и механика. – 1996. – 60, вып. 1. – С. 23–29.
11. Каменков Г.В. Устойчивость и колебания нелинейных систем. – М.: Наука, 1972. –
214 c.
12. Веретенников В.Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. – М.: Наука, 1984.
– 320 c.
13. Молчанов А.М. Разделение движений и асимптотические методы в теории нелиней-
ных колебаний // Докл. АН СССР. – 1961. – 136, № 5. – С. 1030–1033.
122
Асимптотические свойства траекторий системы с резонансом
V.V.Grushkovskaya, A.L. Zuyev
Asymptotic properties of the trajectories of a nonlinear system in a case of
the fourth order resonance
This paper is devoted to the study of the behavior of solutions of a nonlinear system as t → +∞
in a critical case, under the assumption that the stability is ensured by third order forms. It
is supposed that the system has frequencies satisfying the resonance relation of form 1 : 1 : 2
or 1 : 1 : 1 : 1, and there are no other resonances up to the fourth order. In a case when the
resonance subsystem has a sign-definite first integral, sufficient conditions for the asymptotic
stability are proposed, and a Lyapunov function is obtained. The main result of the paper is a
power estimate for the solutions with initial conditions from a neighborhood of the origin. As
an illustration, we consider an example of a mechanical system with four degrees of freedom.
Keywords: asymptotic estimate, critical case, resonance.
В.В.Грушковська, О.Л. Зуєв
Асимптотичнi властивостi траєкторiй нелiнiйної системи у випадку
резонансу четвертого порядку
У статтi дослiджується поводження розв’язкiв нелiнiйної системи при t → +∞ у критич-
ному випадку, якщо асимптотична стiйкiсть забезпечується членами не вище третього по-
рядку. Припускається, що система має частоти, якi задовольняють резонансне спiввiдно-
шення типу 1 : 1 : 2 або 1 : 1 : 1 : 1, при цьому iншi резонанси до четвертого порядку
включно вiдсутнi. У випадку iснування знаковизначеного першого iнтеграла запропоно-
вано достатнi умови асимптотичної стiйкостi i побудовано функцiю Ляпунова. Основним
результатом статтi є степенева оцiнка норми розв’язкiв системи з початковими умовами
iз деякого околу нуля. Як iлюстрацiю розглянуто приклад механiчної системи з чотирма
степенями вiльностi.
Ключовi слова: асимптотична стiйкiсть, критичний випадок, резонанс.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
v_grushkovskaya@mail.ru, al_zv@mail.ru
Получено 07.10.13
123
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72645 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:15:39Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Грушковская, В.В. Зуев, А.Л. 2014-12-27T13:51:02Z 2014-12-27T13:51:02Z 2013 Асимптотические свойства траекторий нелинейной системы в случае резонанса четвертого порядка / В.В. Грушковская, А.Л. Зуев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 109-123. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72645 531.36 Изучено поведение решений нелинейной системы при t → +∞ в критическом случае при условии, что асимптотическая устойчивость обеспечивается членами не выше третьего порядка. Предпологается, что система имеет частоты, удовлетворяющие резонансному соотношению типа 1:1:2 либо 1:1:1:1, при этом другие резонансы вплоть до четвертого порядка отсутствуют. В случае существования знакоопределенного первого интеграла резонансной подсистемы предложены достаточные условия асимптотической устойчивости и построена функция Ляпунова. Основным результатом является степенная оценка нормы решений исходной системы с начальными условиями из некоторой окрестности нуля. В качестве иллюстрации рассмотрен пример механической системы с четырьмя степенями свободы. У статтi дослiджується поводження розв’язкiв нелiнiйної системи при t → +∞ критичному випадку, якщо асимптотична стiйкiсть забезпечується членами не вище третього порядку. Припускається, що система має частоти, якi задовольняють резонансне спiввiдношення типу 1 : 1 : 2 або 1 : 1 : 1 : 1, при цьому iншi резонанси до четвертого порядку включно вiдсутнi. У випадку iснування знаковизначеного першого iнтеграла запропоновано достатнi умови асимптотичної стiйкостi i побудовано функцiю Ляпунова. Основним результатом статтi є степенева оцiнка норми розв’язкiв системи з початковими умовами iз деякого околу нуля. Як iлюстрацiю розглянуто приклад механiчної системи з чотирма степенями вiльностi. This paper is devoted to the study of the behavior of solutions of a nonlinear system as t → +∞ in a critical case, under the assumption that the stability is ensured by third order forms. It is supposed that the system has frequencies satisfying the resonance relation of form 1 : 1 : 2 or 1 : 1 : 1 : 1, and there are no other resonances up to the fourth order. In a case when the resonance subsystem has a sign-definite first integral, sufficient conditions for the asymptotic stability are proposed, and a Lyapunov function is obtained. The main result of the paper is a power estimate for the solutions with initial conditions from a neighborhood of the origin. As an illustration, we consider an example of a mechanical system with four degrees of freedom. Работа выполнена при поддержке проекта Ф53,1/010 в рамках совместного конкурса ГосударственногофондафундаментальныхисследованийУкраины(ДФФД) и Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ). ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Асимптотические свойства траекторий нелинейной системы в случае резонанса четвертого порядка Асимптотичнi властивостi траєкторiй нелiнiйної системи у випадку резонансу четвертого порядку Asymptotic properties of the trajectories of a nonlinear system in a case of the fourth order resonance Article published earlier |
| spellingShingle | Асимптотические свойства траекторий нелинейной системы в случае резонанса четвертого порядка Грушковская, В.В. Зуев, А.Л. |
| title | Асимптотические свойства траекторий нелинейной системы в случае резонанса четвертого порядка |
| title_alt | Асимптотичнi властивостi траєкторiй нелiнiйної системи у випадку резонансу четвертого порядку Asymptotic properties of the trajectories of a nonlinear system in a case of the fourth order resonance |
| title_full | Асимптотические свойства траекторий нелинейной системы в случае резонанса четвертого порядка |
| title_fullStr | Асимптотические свойства траекторий нелинейной системы в случае резонанса четвертого порядка |
| title_full_unstemmed | Асимптотические свойства траекторий нелинейной системы в случае резонанса четвертого порядка |
| title_short | Асимптотические свойства траекторий нелинейной системы в случае резонанса четвертого порядка |
| title_sort | асимптотические свойства траекторий нелинейной системы в случае резонанса четвертого порядка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72645 |
| work_keys_str_mv | AT gruškovskaâvv asimptotičeskiesvoistvatraektoriinelineinoisistemyvslučaerezonansačetvertogoporâdka AT zueval asimptotičeskiesvoistvatraektoriinelineinoisistemyvslučaerezonansačetvertogoporâdka AT gruškovskaâvv asimptotičnivlastivostitraêktoriineliniinoísistemiuvipadkurezonansučetvertogoporâdku AT zueval asimptotičnivlastivostitraêktoriineliniinoísistemiuvipadkurezonansučetvertogoporâdku AT gruškovskaâvv asymptoticpropertiesofthetrajectoriesofanonlinearsysteminacaseofthefourthorderresonance AT zueval asymptoticpropertiesofthetrajectoriesofanonlinearsysteminacaseofthefourthorderresonance |