Критический случай устойчивости равномерных вращений несимметричного гироскопа, находящегося под действием демпфирующего момента
Ранее авторами были получены и проанализированы [1, 2] условия асимптотической устойчивости равномерных вращений несимметричного тяжелого твердого тела, находящегося под действием демпфирующего момента, вокруг оси, несущей центр масс, в случае, когда центр масс находится выше точки опоры. Рассмотрен...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72646 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Критический случай устойчивости равномерных вращений несимметричного гироскопа, находящегося под действием демпфирующего момента / В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 124-134. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859475117208240128 |
|---|---|
| author | Пузырев, В.Е. Савченко, Н.В. |
| author_facet | Пузырев, В.Е. Савченко, Н.В. |
| citation_txt | Критический случай устойчивости равномерных вращений несимметричного гироскопа, находящегося под действием демпфирующего момента / В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 124-134. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Ранее авторами были получены и проанализированы [1, 2] условия асимптотической устойчивости равномерных вращений несимметричного тяжелого твердого тела, находящегося под действием демпфирующего момента, вокруг оси, несущей центр масс, в случае, когда центр масс находится выше точки опоры. Рассмотрена задача устойчивости в критическом по Ляпунову случае, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. Показано, что в этом случае может наблюдаться как асимптотическая устойчивость, так и неустойчивость.
Ранiше авторами були отриманi i проаналiзованi умови асимптотичної стiйкостi рiвномiрних обертань несиметричного важкого твердого тiла, що перебуває пiд дiєю демпфiрувального моменту, навколо осi, яка несе центр мас, у випадку, коли центр мас перебуває вище точки опори. У роботi розглядається задача стiйкостi в критичному за Ляпуновим випадку, коли характеристичне рiвняння має пару чисто уявних коренiв. Показано, що в цьому випадку може спостерiгатись як асимптотична стiйкiсть, так i нестiйкiсть.
The authors have previously obtained and analyzed the asymptotic stability conditions for uniform rotation of an asymmetrical heavy body under the action of the damping torque about the axis of the mass center of the carrier in the case where the center of mass is above the pivot point. These conditions impose restrictions on the mass distribution of the body, the magnitude of the angular velocity of rotation and the value of the damping coefficient. In this paper we consider the problem of stability in the critical Lyapunov case when the characteristic equation has a pair of purely imaginary roots. It is shown that in this case both stability and instability may happened.
|
| first_indexed | 2025-11-24T11:37:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2013. Вып. 43
УДК 531.36
c©2013. В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко
КРИТИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ УСТОЙЧИВОСТИ
РАВНОМЕРНЫХ ВРАЩЕНИЙ НЕСИММЕТРИЧНОГО
ГИРОСКОПА, НАХОДЯЩЕГОСЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
ДЕМПФИРУЮЩЕГО МОМЕНТА
Ранее авторами были получены и проанализированы [1, 2] условия асимптотической устой-
чивости равномерных вращений несимметричного тяжелого твердого тела, находящегося
под действием демпфирующего момента, вокруг оси, несущей центр масс, в случае, ког-
да центр масс находится выше точки опоры. В настоящей работе рассматривается задача
устойчивости в критическом по Ляпунову случае, когда характеристическое уравнение
имеет пару чисто мнимых корней. Показано, что в этом случае может наблюдаться как
асимптотическая устойчивость, так и неустойчивость.
Ключевые слова: демпфирующий момент, равномерные вращения, асимптотическая
устойчивость, критический случай, функция Ляпунова.
Для выяснения характера устойчивости линейной системы ОДУ прибега-
ют к рассмотрению характеристического уравнения матрицы коэффициентов
системы, содержащего информацию о ее спектре. В этих целях используют
различные критерии устойчивости: Рауса–Гурвица, Льенара–Шипара, Ми-
хайлова и др. Однако, построение характеристического полинома и оценка
его корней не всегда дают однозначный ответ о характере поведения систе-
мы. Могут иметь место критические случаи. В критических случаях свойства
устойчивости нулевого решения полной нелинейной системы не могут быть
установлены исследованием уравнений первого приближения. В таких случа-
ях на характер устойчивости существенное влияние оказывают нелинейные
члены. В зависимости от вида нелинейных членов, нулевое решение полной
системы может быть как устойчиво, так и неустойчиво.
С математической точки зрения критические случаи являются исключи-
тельными, однако при исследовании механических систем эти случаи встре-
чаются достаточно часто.
1. Предварительные замечания. Рассмотрим уравнения движения
тяжелого твердого тела под действием демпфирующего момента M =
= −κ(ω̃ − ω̃0):
J ˙̃ω + ω̃ × Jω̃ + Ps× ν = M , ν̇ + ω̃ × ν = 0, (1)
где J = diag(J1, J2, J3) – тензор инерции, ω̃ – вектор угловой скорости тела в
связанной системе координат, ν – орт вертикали, s – вектор, направленный
из неподвижной точки в центр масс тела, P – вес тела, ω̃ = ω̃0 = (0, 0, ω0)
T ,
ω0 – константа, верхний индекс T обозначает транспонирование.
Введем безразмерные параметры и время по формулам
a =
J2
J1
, b =
J1 + J2 − J3
J1
, µ =
P |s|e
J1ω
2
0
, κ =
κ
J1ω0
, τ = ω0t. (2)
124
Критический случай устойчивости
Здесь e = 1, если центр масс тела лежит выше точки опоры и e = −1 – в
противном случае. Не ограничивая общности, будем считать ω0 > 0.
Ранее [2] были получены и проанализированы условия асимптотической
устойчивости равномерных вращений несимметричного тяжелого твердого
тела, находящегося под действием демпфирующего момента, вокруг оси, не-
сущей центр масс, в случае, когда центр масс находится выше точки опоры
(µ > 0). Этим вращениям соответствует решение системы (1)
ω̃ = ω̃0, ν = (0, 0, 1)T .
Полученные условия накладывают ограничения на распределение масс в те-
ле, величину угловой скорости вращения и на величину коэффициента демп-
фирования, а именно:
b < b1 =
|1− a|
a+ 1
min(a, 1), (3)
µ1 < µ < µ2, (4)
κ1 < κ < κ2, (5)
где µ1, µ2,κ1,κ2 вычисляются по формулам
µ1 =
2b2(a+ 1)
(a− 1)2
, µ2 =
2(a− ab− b)
a+ 1
,
κ1 =
√
−µ2 + (a− 2b+ 1)µ − (b− a)(b− 1), κ2 =
√
(a− 1)2µ
2(a+ 1)
− b2.
Характеристический многочлен системы уравнений движения (1), линеа-
ризованной в окрестности равномерных вращений, имеет вид
f(λ) = (λ+
κ
1− b+ a
)f1(λ), (6)
где f1(λ) = aλ4 + κ(a + 1)λ3 + [κ2 + 2a + b2 − (a + 1)(b + µ)]λ2+
+κ(a+ 1− 2µ)λ+ (b− 1 + µ)(b− a+ µ) + κ
2.
Заметим, что перестановка местами индексов 1 и 2 в формулах (2) равно-
значна замене вектора параметров (a, b, µ,κ) на (1/a, b/a, µ/a,κ/a). Это озна-
чает, что можно ограничиться случаем J2 < J1, т. е. a < 1. При этом любое
полученное условие устойчивости распространяется на случай J2 > J1 с помо-
щью указанного преобразования параметров. Случай a = 1 из рассмотрения
исключается, поскольку при этом значении нарушается условие устойчиво-
сти (3) и хотя бы один собственный корень характеристического уравнения
(6) линеаризованной системы имеет положительную вещественную часть, что
означает экспоненциальную неустойчивость изучаемого решения.
Неравенства (3)–(5) представляют собой условия асимптотической устой-
чивости изучаемого движения по первому приближению, т. е. условия того,
что все корни характеристического уравнения (6) имеют отрицательные ве-
щественные части. Эти условия являются необходимыми и достаточными в
125
В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко
том смысле, что изменение любого из знаков неравенства на противополож-
ный гарантирует наличие положительной вещественной части у корня f1(λ)
и экспоненциальный рост возмущенных решений. Рассмотрим возможности
замены знака неравенства в (3)–(5) на знак равенства.
1) Если b = b1, то µ1 = µ2. Условие (4) переходит в условие µ = µ1. По-
следнее равенство означает, что κ2(µ, a, b) = κ2(µ1, a, b1) = 0, и для любого
κ 6= 0 имеем нарушение условия (5). Вывод: существует корень с положи-
тельной вещественной частью.
2) Если условие (3) выполнено, а µ = µ2, то κ1 = κ2. Единственная
возможность, при которой не происходит изменение знака в (5), это κ = κ1.
Последнее равенство обращает в нуль свободный член характеристического
многочлена. С точки зрения теории устойчивости движения имеем критиче-
ский случай одного нулевого корня.
3) Если µ1 = µ < µ2, то κ2 = 0. Аналогично случаю 1), получаем измене-
ние знака в (5) и корень с положительной вещественной частью.
4) Если κ = κ1 (и выполняется строго условие (4)), то многочлен f1(λ)
имеет нулевой корень и пару чисто мнимых корней.
5) Если выполнены условия (3), (4) и κ = κ2, то многочлен f1(λ) имеет
пару чисто мнимых корней λ1,2 = ±iω1 и два комплексно сопряженных кор-
ня с отрицательными вещественными частями λ3,4 = σ2 ± iω2. Имеем кри-
тический случай пары чисто мнимых корней, который и является объектом
нашего рассмотрения.
Перейдем к возмущениям по формулам
ω1 = x1, ω2 = x2, ν1 = x3, ν2 = x4, ω3 = 1 + x5.
Представим выражение для ν3 в виде ν3 = 1 − F1(ν1, ν2) + F2(ν1, ν2), где
F1(ν1, ν2) = (ν21+ν
2
2)/2, F2(ν1, ν2) =
√
1− ν21 − ν22−1+(ν21+ν
2
2)/2. Тогда при
выполнении условий (3), (4) и κ = κ2 исходная система дифференциальных
уравнений примет вид
ẋ1 = −κ2x1 + µx4 + (b− 1)x2x5,
ẋ2 = −
κ2
a
x2 −
µ
a
x3 +
a− b
a
x1x5,
ẋ3 = −x2 + x4 + x4x5 + x2F1(x3, x4)− x2F2(x3, x4), (7)
ẋ4 = x1 − x3 − x3x5 − x1F1(x3, x4) + x1F2(x3, x4),
ẋ5 = −
κ2
1− b+ a
x5 + F3(x1, x2),
где F3(x1, x2) = (1− a)x1x2/(1 − b+ a).
Необходимо исследовать на предмет устойчивости нулевое решение систе-
мы (7).
126
Критический случай устойчивости
2. Приведение линейной части системы (7) к каноническому ви-
ду. Матрица правой части линеаризованной системы (7) может быть запи-
сана в виде блочно-диагональной матрицы diag(A, σ3), где
A =
−κ2 0 0 µ
0 −κ2
a
−µ
a
0
0 −1 0 1
1 0 −1 0
, σ3 = −
κ2
1− b+ a
.
Приведем матрицу A к жордановой форме:
J = diag(iω1,−iω1, σ2 + iω2, σ2 − iω2).
Пусть S = (slj) (l, j = 1, 4) – матрица преобразования, которая может быть
определена из уравнения
AS − SJ = 0. (8)
Найдем явные выражения для ω1, σ2, ω2. Корни характеристического уравне-
ния имеют вид λ1 = iω1, λ2 = λ1, λ3 = σ2 + iω2, λ4 = λ3. Используя теорему
Виета, получим
σ2 = −
(a+ 1)κ2
2a
, ω2
1 =
a+ 1− 2µ
a+ 1
,
(9)
ω2
2 =
4a[κ2
2 + (b+ µ− a)(b+ µ− 1)]− κ
2
2ω
2
1(a+ 1)2
4a2ω2
1
.
Решая (8) относительно элементов матрицы S с учетом формул (9) имеем
s11 =
2s31
a+ 2b− 1
[b+ µ
a− 1
a+ 1
+ iκ2ω1],
s13 =
s33
4(1− a+ ab+ b)
(a+ 1)[(a− 1)[(a + 1)µ − 2(b2 + 2)]+
+
iω2
σ2
[(a− 1)2µ− 2(a+ 1)b2], s21 = s31
2(κ2 − ibω1)
a− 1 + 2b
, (10)
s23 = −s33
2κ2(a+ 1)[σ2[(a+ 1)(a+ 1− b)− 2] + iω2(a+ 1)(a − 1− b)]
4aσ2[1− a+ (a+ 1)b]
,
s41 = s31
2κ2 + iω1(a− 1)
a− 1 + 2b
, s43 = −s33
2κ2(a+ 1)[(a+ 1)σ2 + iω2(a− 1)]
4σ2[1− a+ (a+ 1)b]
.
Выражения для элементов со вторым четным индексом получаются
из формул (10) путем замены в правой части множителя s3,j−1 на s3 j,
(j = 2, 4), а соответствующего комплексного выражения – на сопряженное
ему. Элементы s3 j, (j = 1, 4) могут выбираться произвольно, исключая ну-
левые значения (в этом случае матрица S будет вырожденной). Выберем
s32 = s31, s34 = s33, где s31, s33 − произвольные вещественные числа.
127
В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко
Выполняя преобразование x = Sz, приводим (7) к системе следующего
вида:
z
′ = J1z + x5Cz +Dz(Φ1(z,z) + Φ2(z,z)),
z′ = J1z + x5Cz +Dz(Φ1(z,z) + Φ2(z,z)), (11)
x′5 = σ3x5 +Φ3(z,z),
где z =
(
z1
z2
)
, J1 = diag(iω1, σ2+iω2), черта сверху обозначает комплексное
сопряжение. Матрицы C,D – прямоугольные матрицы 4 × 2, состоящие из
1 и 3 строк матриц S−1ÃS и S−1BS соответственно, где
à =
0 b− 1 0 0
a−b
a
0 0 0
0 0 0 1
0 0 −1 0
, B =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 1 0 0
−1 0 0 0
,
Φ1(z,z), Φ2(z,z), Φ3(z,z) получены из F1(x3, x4), F2(x3, x4), F3(x1, x2) пу-
тем замены в уравнениях (7) переменных x на z. Коэффициенты функции
Φ1(z, z) задаются соотношениями
при z2j : s23j + s24j, j = 1, 2;
при zjzl : 2(s3js3l + s4js4l), j, l = 1, 2; j 6= l;
при zjzl : 2(s3js3l + s4js4l), j, l = 1, 2.
3. Исследование устойчивости изучаемого решения. Запишем
функцию Ляпунова в виде
V (z1, z1, z2, z2, x5) = α1z1z1 + α2z2z2 + α3x
2
5 + z2(k12z
2
1 + k11z1z1 + k10z1
2)+
+z2(k22z
2
1+k21z1z1+k20z1
2)+x5(k32z
2
1+k31z1z1+k30z1
2)+V (4)(z1, z1, z2, z2, x5),
где αl – некоторые вещественные, а klj (l = 1, 3, j = 0, 2) – комплексные
постоянные.
Известно, что функцию V можно подобрать таким образом [3], что ее
полная производная в силу уравнений возмущенного движения примет вид
V ′ = V ′
0 + o(V ′
0), где V ′
0 = V ′(2)(z2, z2, x5) + Gz21z1
2, при этом форма
V ′(2)(z2, z2, x5) является знакоопределенной, а постоянная G определяется из
соотношения
V ′(4)(z1, z1) = Gz21z1
2.
Коэффициенты klj , l = 1, 3, j = 0, 2 находятся из условия
V ′(3)(z2, z2, x5) = 0. (12)
Отметим, что выражение для G представимо в виде
128
Критический случай устойчивости
G = α1Gα1
+ α2Gα2
+ α3Gα3
.
При достаточно малых значениях α2, α3 знак G совпадает со знаком α1Gα1
.
Не ограничивая общности, полагаем α1 = 1. Для Gα1
найдем выражение
Gα1
= Re
[ 1− a
1− b+ a
(k31s12s21 + k32s12s22 + k31s11s22 + k30s11s21)+
+(s31s32 + s41s42)(d22 + d11) +
d21
2
(s242 + s232) +
d12
2
(s241 + s231)
]
,
где dlj, clj – элементы матриц D и C соответственно.
Перейдем к вычислению коэффициента устойчивости G. Из условия (12)
находим коэффициенты klj , l = 1, 3, j = 0, 2:
k30 =
c12(1− b+ a) + 2α2s12s22(1− a)
κ2 + 2iω1(1− b+ a)
,
k31 = (c11 + c22)(1− b+ a) + 2α2(1− a)(s12s21 + s11s22),
k32 = −
c21(1− b+ a) + 2α2s11s21(1− a)
−κ2 + 2iω1(1− b+ a)
,
klj = 0, l 6= 3, j = 0, 2.
Принимая во внимание выражения для slj, dlj , clj через параметры системы,
имеем
Gα1
= 8µs231(a− 1)3(a+ 2b− 1)(µ − µ1)g1(a, b, µ) g2(a, b, µ) g3(a, b, µ). (13)
Здесь
g1 = [(128a+128)b4 − (280a2 +528a+280)b3 +(148a3 +492a2 +492a+148)b2+
+(7a4−72a3−126a2−72a+7)b−9a5−5a4+14a3+14a2−5a−9]µ−(56a2+112a+
+56)b4+(158a3 +474a2+474a+158)b3 − (88a4+384a3+592a2+384a+88)b2+
+(−10a5+22a4+116a3+116a2+22a−10)b+4a6+8a5−4a4−16a3−4a2+8a+4,
g2 = −(3a4+4a3−14a2+4a+3)µ+(a+1)2[8(a+1)b2+4(a−1)2b+2(a3−a2−a+1)],
g3 = (−34a+32ab− 15+32b− 16b2 − 15a2)µ+2(a+1)(2a− b+2)(2a− 3b+2).
Заметим, что
1− a− 2b = 1− a− 2b+ 2b1 − 2b1 = 2(b1 − b) +
(1− a)2
1 + a
> 0.
Учитывая, что b < b1, согласно условию (3) заключаем, что a+ 2b− 1 < 0.
Представим выражение для g1 в виде
g1 = g11(a, b)µ+g10(a, b), g11 = 128b4(1+a)−8b3(35a2+66a+35)+4b2(a+1)×
129
В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко
×(37a2+86a+37)+b(7a4−72a3−126a2−72a+7)−(a+1)(a−1)2(9a2+14a+9),
g10 = (a+ 1)2(2a+ 2− b)[56b3 − 46b2(a+ 1)4b(a2 − 6a+ 1) + 2(1− a)(a+ 1)2].
Покажем, что g1(a, b, µ) является монотонно убывающей функцией аргумен-
та µ в области (3), (4). Для этого достаточно показать, что g11 < 0 всюду в
области D − части первого квадранта плоскости Oab, ограниченной кривой
b = b1(a). Непрерывная функция двух аргументов g11(a, b) принимает наи-
меньшее значение в замкнутой области D либо в точках экстремума, либо
на границе этой области. В области D функция g11(a, b) имеет две стацио-
нарные точки P1(0.263, 0.038), P2(0.607, 0.086), первая из которых является
точкой минимума, а вторая не является точкой экстремума. Следователь-
но, наибольшее значение достигается на границе области. При b = 0 имеем
g11(a, 0) = −(a+ 1)(a − 1)2(9a2 + 14a+ 9) ≤ 0. При b = b1(a) получаем
g11(a, b1) = (a−1)(540a7+93a6+426a5−145a4+88a3−21a2+34a+9)/(a+1)3.
Данное выражение отрицательно при a ∈ (0, 1), поскольку многочлен
седьмой степени в числителе имеет один отрицательный и шесть комп-
лексных корней. Таким образом, наибольшее значение функции g11(a, b) рав-
но нулю и достигается на границе области D при a = 1, b = 0, поэтому всюду
в самой области D выполняется неравенство g11 < 0.
Вычислим теперь выражение ψ1(a, b) = g1(a, b, µ1):
ψ1 = 128b6(a+1)2 − 8b5(a+1)(35a2 +66a+35)+4b4(a+1)2(37a2 +86a+37)+
+b3(7a5−65a4−198a3−170a2−121a+35)−b2(a+1)(a−1)2(9a3+23a2+23a+32)−
−2b(a− 1)2(a2 − 6a+ 1) + (a+ 1)(a− 1)4.
Кривая восьмого порядка ψ1(a, b) = 0 имеет в первой четверти плоскости Oab
четыре ветви, одна (и только одна) из которых пересекает границу области D
(рис. 1). Обозначим эту ветвь через C1 и найдем точки пересечения кривых
C1 и C0 : b = b1(a). Получим условие
(3a+ 1)(a − 1)4(132a7 + 3a6 + 73a5 − 64a4 − 2a3 − 21a2 + 5a+ 2) = 0.
Многочлен седьмой степени имеет три вещественных корня, один из
них – отрицательный. Два положительных корня a1 ≈ 0.390, a2 ≈ 0.660
определяют точки пересечения M1{a1, b1(a1)},M2{a2, b1(a2)} кривых C0 и
C1. Кривая C1 разбивает область D на подобласти D1 и D\D1. Поскольку
g1(a, b, µ) является линейной функцией аргумента µ, то в каждой из областей
D1, D\D1 знак выражения ψ1(a, b) постоянен, и эти знаки противоположны.
Легко убедиться в том, что sgn(ψ1) = 1 в области D\D1, поскольку
lim
b→+0
ψ1(a, b) = (a+ 1)(a − 1)4 > 0.
Таким образом, в области D1 имеем ψ1(a, b) < 0, и, как следствие,
g1(a, b, µ) < 0 для любых µ > µ1.
130
Критический случай устойчивости
Проведем аналогичные рассуждения для ψ2(a, b) = g1(a, b, µ2) :
ψ2(a, b) = −256b5(a+ 1)2 + 24b4(a+ 1)(21a2 + 50a+ 21) − 2b3(69a4 + 604a3+
+1038a2 + 604a + 69)− 2b2(a+ 1)(51a4 − 28a3 − 174a2 − 28a+ 51)+
+2b(a− 1)2(4a4 + 35a3 + 54a2 + 35a + 4) + 2(a+ 1)(a − 1)4(2a2 + 3a+ 2),
получим кривую C2, которая разбивает область D\D1 на подобласти D2, D3.
В области D3 имеем ψ2(a, b) > 0, а значит, g1(a, b, µ) > 0 для любых µ < µ2.
В то же время, для любой точки из области D2 выполняются неравенства
ψ1(a, b) > 0, ψ2(a, b) < 0, а значение
µ? = −
g10(a, b)
g11(a, b)
принадлежит интервалу (4). Соответственно, g1 > 0 при µ < µ? и g1 < 0 при
µ > µ?.
Рис. 1. Разбиение области D на подобласти.
Для определения знака выражения g2 исследуем его знак на границе
µ = µ2. Получаем, что
g2(a, b, µ2) =
2(b(a + 1)3 + (a− 1)2(a2 + 3a+ 1))(4b + (a− 1)2)
a+ 1
> 0.
Поскольку g2 является монотонно убывающей функцией по µ, она принимает
значения g2 > 0 для всех µ < µ2, в частности, и на интервале (4).
131
В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко
Аналогично вычисляем выражение g3:
g3(a, b, µ2) = (a+1)b(16b2+7a2+50a+7)−(29a2+74a+29)b2+(a−1)2(4a2+9a+4).
После тождественных преобразований имеем
g3(a, b, µ2) =
b
a+ 1
[16(b1 − b)2(1 + a)2 + (b1 − b)(61a3 + 103a2 + 71a+ 29)+
+52a4 + 77a3 + 28a2 + 35a+ 64] + (a− 1)2(4a2 + 9a+ 4) > 0.
Таким образом, g3 > 0 для всех µ на интервале (4).
При µ > µ∗ выполнено неравенство Gα1
< 0. Заметим, что при достаточно
малых значениях α2, α3 знак G совпадает со знаком Gα1
. Таким образом, при
положительных значениях α2, α3 функция V (z1, z1, z2, z2, x5) является поло-
жительно определеной, а V ′ – отрицательно определенная. Следовательно,
все условия второй теоремы Ляпунова об устойчивости движения [4,5] выпол-
нены. Поэтому нулевое решение системы (11), а значит, и системы (7) асимп-
тотически устойчиво.
При µ < µ∗ выполнено неравенство Gα1
> 0. Тогда в случае α2 < 0, α3 < 0
функция V ′ – положительно определенная, а сама функция V – знакопере-
менная. Следовательно, все условия первой теоремы Ляпунова о неустойчи-
вости движения выполнены и нулевое решение системы (7) неустойчиво.
4. Пример. Проиллюстрируем вычислительную процедуру на числен-
ном примере. Возьмем точку M3(0.5, 0.165) из области D1. Для нее получим
µ1 = 0.3267, µ2 = 0.3366, µ? = 0.2825, µ? 6∈ (µ1, µ2), κ2 = 0.0165. Выберем
µ = 0.33, удовлетворяющее условию (4). Тогда
V = z1z1 + α2z2z2 + α3x
2
5 + (0.6314 − 10.3529α3)x5z1z1+
+(0.4575α3 −0.5215+0.1126i−0.1655iα3)x5z1
2+(0.4575α3−0.5215−0.1126i+
+0.1655iα3)x5z
2
1 + (0.3072 − 0.15i + 0.0451α3 − 0.0382iα3)z1
4 + (0.0451α3+
+0.3072+0.15i+0.0382iα3 )z
4
1 +(0.8961iα3−2.3542α3−2.2345+0.5367i)z1
3z1+
−(2.3542α3 + 2.2345 + 0.5367i + 0.8961iα3)z
3
1z1,
V ′ = −0.0497α2z2z2 − 0.0248α3x
2
5 + (−0.003 + 0.6686α3)z
2
1z1
2 + V ′(3) + V ′(4),
где V ′(3) является квадратичной по некритическим переменным, а V ′(4)
имеет порядок не ниже первого по некритическим переменным. При до-
статочно малых положительных значениях α2, α3 функция Ляпунова по-
ложительно определенна, а ее производная имеет противоположный знак.
Следовательно, движение системы (7) при данном выборе параметров
асимптотически устойчиво.
Возьмем точку M4(0.5, 0.16) из области D2. Тогда µ1 = 0.3072,
µ2 = 0.3466, µ? = 0.3236, κ2 = 0.0326. Заметим, что µ1 < µ? < µ2.
Выберем µ = 0.32 < µ?. Функция Ляпунова примет вид
V = z1z1 + α2z2z2 + α3x
2
5 + (0.3485α3 + 0.2826iα3−
132
Критический случай устойчивости
−0.4707 − 0.2082i)x5z
2
1 + (−0.4707 + 0.2082i + 0.3485α3 − 0.2826iα3)x5z1
2+
+(0.6057 − 9.4814α3)x5z1z1 + (1.393iα3 − 1.9034 + 0.9494i − 1.609α3)z1
3z1+
+(0.0096α3 − 0.0494iα3 + 0.197 − 0.2429i)z1
4 + (−1.393iα3 − 1.609α3−
−1.9034 − 0.9494i)z31z1 + (0.0096α3 + 0.197 + 0.2429i + 0.0494iα3)z
4
1 ,
V ′ = −0.0979α2z2z2 − 0.0487α3x
2
5 + (0.0004 + 1.1004α3)z
2
1z1
2 + V ′(3) + V ′(4).
Выбирая значения α2 и α3 отрицательными, получаем производную функции
Ляпунова отрицательно определенной, а саму функцию Ляпунова – знакопе-
ременной. То есть по первой теореме Ляпунова о неустойчивости [5] решение
системы (7) неустойчиво.
Выберем µ = 0.33 > µ?. Тогда κ2 = 0.0435 и
V = z1z1 + α2z2z2 + α3x
2
5 − 0.4551x5z
2
1 + 0.3683ix5z
2
1α3 + 0.2890x5z
2
1α3+
+0.6123x5z1z1−9.7777α3x5z1z1+0.2816ix5z1
2−0.4551x5z1
2−0.3683ix5z1
2α3+
+0.2890x5z1
2α3−0.2816ix5z
2
1+(−1.7964−1.2699i−1.3346α3 −1.8620iα3)z
3
1z1+
+(−1.7964 + 1.2699i − 1.3346α3 + 1.8620iα3)z1z1
3 + (0.1238 + 0.3036i)z41+
+(0.1238 + 0.3036i − 0.0141α3)z1
4,
V ′ = −0.1307α2z2z2 − 0.0650α3x
2
5 + (−0.001 + 1.5621α3)z
2
1z1
2 + V ′(3) + V ′(4).
При достаточно малых положительных значениях α2, α3 функция Ляпунова
и ее производная удовлетворяют второй теореме Ляпунова об устойчивости.
Следовательно, изучаемое движение асимптотически устойчиво.
Возьмем точку M5(0.5, 0.14) из области D3. При данном выборе пара-
метров системы имеем µ1 = 0.2352, µ2 = 0.3866, µ? = 0.4482, κ2 = 0.0889.
Выберем µ = 0.33 < µ?. Тогда
V = z1z1 + α2z2z2 + α3x
2
5 + (0.3953iα3 − 0.0951α3−
−0.2461 − 0.4827i)x5z
2
1 + (−0.3953iα3 − 0.0951α3 − 0.2461 + 0.4827i)x5z1
2+
+(0.5302− 7.9999α3)x5z1z1 + (−1.5481iα3 − 0.6347− 1.7927i+ 0.5187α3)z1z
3
1+
+(1.5481iα3−0.6347+1.7927i+0.5187α3)z1
3z1+(−0.2004+0.2031i−0.0359α3−
−0.0204iα3)z
4
1 + (0.0204iα3 − 0.2004 − 0.2031i − 0.0359α3)z1
4,
V ′ = −0.2666α2z2z2 − 0.1307α3x
2
5 + (0.0426 + 2.1021α3)z
2
1z1
2 + V ′(3) + V ′(4).
При α2 < 0, α3 < 0 выполняются условия первой теоремы Ляпунова о
неустойчивости.
Можно видеть, что рассмотренные частные случаи согласуются с резуль-
татами п. 3.
133
В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко
Таким образом, исследована задача об устойчивости равномерных враще-
ний несимметричного твердого тела в критическом случае пары чисто мни-
мых корней. Установлено, что если выполнены условия (3)–(5), то при µ > µ∗
имеет место асимптотическая устойчивость нулевого решения системы (7),
что влечет за собой асимптотическую устойчивость изучаемого движения, а
при µ < µ∗ наблюдается неустойчивость.
1. Пузырев В.Е., Топчий Н.В. Оценка собственных значений линейной механической
системы с двумя степенями свободы // Механика твердого тела. – 2011. – Вып. 41. –
С. 132–140.
2. Пузырев В.Е., Савченко Н.В. Устойчивость равномерных вращений несимметричного
гироскопа вокруг главной оси, несущей центр масс// Механика твердого тела. – 2012.
– Вып. 42. – С. 168–176.
3. Савченко А.Я., Игнатьев А.О. Некоторые задачи устойчивости неавтономных дина-
мических систем. – Киев: Наук. думка, 1989. – 208 с.
4. Ляпунов А.М. Собр. соч.: В 2 т. – М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. – Т. 2. – 480 с.
5. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. – М.: Наука, 1966. – 530 с.
V.E. Puzyrev, N.V. Savchenko
The critical case of stability of uniform rotation of an asymmetric gyroscope
under the action of damping torque
The authors have previously obtained and analyzed the asymptotic stability conditions for
uniform rotation of an asymmetrical heavy body under the action of the damping torque about
the axis of the mass center of the carrier in the case where the center of mass is above the pivot
point. These conditions impose restrictions on the mass distribution of the body, the magnitude
of the angular velocity of rotation and the value of the damping coefficient. In this paper we
consider the problem of stability in the critical Lyapunov case when the characteristic equation
has a pair of purely imaginary roots. It is shown that in this case both stability and instability
may happened.
Keywords: damping torque, uniform rotation, asymptotic stability, critical case, Lyapunov
function.
В.Є. Пузирьов, Н.В. Савченко
Критичний випадок стiйкостi рiвномiрних обертань несиметричного гiро-
скопа, що перебуває пiд дiєю демпфiрувального моменту
Ранiше авторами були отриманi i проаналiзованi умови асимптотичної стiйкостi рiвномiр-
них обертань несиметричного важкого твердого тiла, що перебуває пiд дiєю демпфiруваль-
ного моменту, навколо осi, яка несе центр мас, у випадку, коли центр мас перебуває вище
точки опори. У роботi розглядається задача стiйкостi в критичному за Ляпуновим випад-
ку, коли характеристичне рiвняння має пару чисто уявних коренiв. Показано, що в цьому
випадку може спостерiгатись як асимптотична стiйкiсть, так i нестiйкiсть.
Ключовi слова: демпфiрувальний момент, рiвномiрнi обертання, асимптотична стiй-
кiсть, критичний випадок, функцiя Ляпунова.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
vpsr@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 25.10.13
134
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72646 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T11:37:26Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пузырев, В.Е. Савченко, Н.В. 2014-12-27T13:52:47Z 2014-12-27T13:52:47Z 2013 Критический случай устойчивости равномерных вращений несимметричного гироскопа, находящегося под действием демпфирующего момента / В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 124-134. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72646 531.36 Ранее авторами были получены и проанализированы [1, 2] условия асимптотической устойчивости равномерных вращений несимметричного тяжелого твердого тела, находящегося под действием демпфирующего момента, вокруг оси, несущей центр масс, в случае, когда центр масс находится выше точки опоры. Рассмотрена задача устойчивости в критическом по Ляпунову случае, когда характеристическое уравнение имеет пару чисто мнимых корней. Показано, что в этом случае может наблюдаться как асимптотическая устойчивость, так и неустойчивость. Ранiше авторами були отриманi i проаналiзованi умови асимптотичної стiйкостi рiвномiрних обертань несиметричного важкого твердого тiла, що перебуває пiд дiєю демпфiрувального моменту, навколо осi, яка несе центр мас, у випадку, коли центр мас перебуває вище точки опори. У роботi розглядається задача стiйкостi в критичному за Ляпуновим випадку, коли характеристичне рiвняння має пару чисто уявних коренiв. Показано, що в цьому випадку може спостерiгатись як асимптотична стiйкiсть, так i нестiйкiсть. The authors have previously obtained and analyzed the asymptotic stability conditions for uniform rotation of an asymmetrical heavy body under the action of the damping torque about the axis of the mass center of the carrier in the case where the center of mass is above the pivot point. These conditions impose restrictions on the mass distribution of the body, the magnitude of the angular velocity of rotation and the value of the damping coefficient. In this paper we consider the problem of stability in the critical Lyapunov case when the characteristic equation has a pair of purely imaginary roots. It is shown that in this case both stability and instability may happened. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Критический случай устойчивости равномерных вращений несимметричного гироскопа, находящегося под действием демпфирующего момента Критичний випадок стiйкостi рiвномiрних обертань несиметричного гiроскопа, що перебуває пiд дiєю демпфiрувального моменту The critical case of stability of uniform rotation of an asymmetric gyroscope under the action of damping torque Article published earlier |
| spellingShingle | Критический случай устойчивости равномерных вращений несимметричного гироскопа, находящегося под действием демпфирующего момента Пузырев, В.Е. Савченко, Н.В. |
| title | Критический случай устойчивости равномерных вращений несимметричного гироскопа, находящегося под действием демпфирующего момента |
| title_alt | Критичний випадок стiйкостi рiвномiрних обертань несиметричного гiроскопа, що перебуває пiд дiєю демпфiрувального моменту The critical case of stability of uniform rotation of an asymmetric gyroscope under the action of damping torque |
| title_full | Критический случай устойчивости равномерных вращений несимметричного гироскопа, находящегося под действием демпфирующего момента |
| title_fullStr | Критический случай устойчивости равномерных вращений несимметричного гироскопа, находящегося под действием демпфирующего момента |
| title_full_unstemmed | Критический случай устойчивости равномерных вращений несимметричного гироскопа, находящегося под действием демпфирующего момента |
| title_short | Критический случай устойчивости равномерных вращений несимметричного гироскопа, находящегося под действием демпфирующего момента |
| title_sort | критический случай устойчивости равномерных вращений несимметричного гироскопа, находящегося под действием демпфирующего момента |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72646 |
| work_keys_str_mv | AT puzyrevve kritičeskiislučaiustoičivostiravnomernyhvraŝeniinesimmetričnogogiroskopanahodâŝegosâpoddeistviemdempfiruûŝegomomenta AT savčenkonv kritičeskiislučaiustoičivostiravnomernyhvraŝeniinesimmetričnogogiroskopanahodâŝegosâpoddeistviemdempfiruûŝegomomenta AT puzyrevve kritičniivipadokstiikostirivnomirnihobertanʹnesimetričnogogiroskopaŝoperebuvaêpiddiêûdempfiruvalʹnogomomentu AT savčenkonv kritičniivipadokstiikostirivnomirnihobertanʹnesimetričnogogiroskopaŝoperebuvaêpiddiêûdempfiruvalʹnogomomentu AT puzyrevve thecriticalcaseofstabilityofuniformrotationofanasymmetricgyroscopeundertheactionofdampingtorque AT savčenkonv thecriticalcaseofstabilityofuniformrotationofanasymmetricgyroscopeundertheactionofdampingtorque |