Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с внутренними элементами
Рассмотрена задача о пассивной стабилизации вращений вокруг вертикали гироскопа Лагранжа с двумя упруго закрепленными внутренними элементами, совершающими относительное плоскопараллельное движение в плоскости, перпендикулярной оси динамической симметрии. Получены условия устойчивости изучаемого движ...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Механика твердого тела |
|---|---|
| Дата: | 2013 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72647 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с внутренними элементами / А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 135-143. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859634857777299456 |
|---|---|
| author | Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. |
| author_facet | Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. |
| citation_txt | Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с внутренними элементами / А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 135-143. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Рассмотрена задача о пассивной стабилизации вращений вокруг вертикали гироскопа Лагранжа с двумя упруго закрепленными внутренними элементами, совершающими относительное плоскопараллельное движение в плоскости, перпендикулярной оси динамической симметрии. Получены условия устойчивости изучаемого движения по первому приближению. Показано, что колебательное движение присоединенных элементов может стабилизировать неустойчивое вращение гироскопа. Система при этом совершает четырехчастотные колебания, в то время как тело с "вмороженными" элементами - одночастотное; соответствующие уравнения движения имеют положительный характеристический показатель Ляпунова.
Розглянуто задачу про пасивну стабiлiзацiю навколо вертикалi гiроскопа Лагранжа з двома пружно закрiпленими внутрiшнiми елементами, що рухаються плоско-паралельно у площинi, ортогональнiй до вiсi динамiчної симетрiї. Отримано умови стiйкостi руху у першому наближеннi. Встановлено, що коливальний рух приєднаних елементiв може стабiлiзувати нестiйке обертання гiроскопа. Рух системи при цьому – чотирьохчастотний, в той час, як рух тiла з нерухомими елементами – одночастотний; вiдповiднi рiвняння мають додатний характеристичний показник Ляпунова.
The problem of passive stabilization of the rigid body permanent rotations is considered. Two elastically fixed elements are attached to the body which which can oscillate freely in the plane orthogonal to the rotation axis. The necessary and sufficient conditions of stability for the linearized motion equations are obtained and analyzed. It is shown that oscillations of the added elements can stabilize the instable motion of the carrier.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:14:55Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2013. Вып. 43
УДК 531.38, 531.36
c©2013. А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОМЕРНЫХ ВРАЩЕНИЙ
ВОКРУГ ГЛАВНОЙ ОСИ ГИРОСКОПА ЛАГРАНЖА
С ВНУТРЕННИМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Рассмотрена задача о пассивной стабилизации вращений вокруг вертикали гироскопа
Лагранжа с двумя упруго закрепленными внутренними элементами, совершающими отно-
сительное плоско-параллельное движение в плоскости, перпендикулярной оси динамичес-
кой симметрии. Получены условия устойчивости изучаемого движения по первому при-
ближению. Показано, что колебательное движение присоединенных элементов может ста-
билизировать неустойчивое вращение гироскопа. Система при этом совершает четырех-
частотные колебания, в то время как тело с “вмороженными” элементами – одночастотное;
соответствующие уравнения движения имеют положительный характеристический пока-
затель Ляпунова.
Ключевые слова: пассивная стабилизация, присоединенные массы, критерий Покров-
ского.
1. Предварительные замечания. Рассмотрим консервативную меха-
ническую систему с n позиционными и l циклическими координатами. Π(q)−
потенциальная энергия этой системы. Ее кинетическая энергия может быть
записана в виде
K(q, q̇, ṙ) =
1
2
q̇T Ã(q) q̇ + ṙT B̃(q) q̇ +
1
2
ṙT C̃(q) ṙ =
(1)
=
1
2
〈Ã(q) q̇ + B̃T (q) ṙ, q̇〉+
1
2
〈B̃(q) q̇ + C̃(q) ṙ, ṙ〉.
Здесь q, r − векторы обобщенных координат; Ã, C̃ − квадратные, симметри-
ческие, положительно-определенные матрицы; B̃ − прямоугольная матрица
размерности l × n. Предполагаем, что все три матрицы имеют непрерывные
частные производные второго порядка; верхний индекс T обозначает транс-
понирование, угловые скобки – скалярное произведение.
Выразим вектор циклических скоростей ṙ из равенства B̃q̇+ C̃ṙ = β
(β− циклическая постоянная) и запишем функцию Рауса
R = K − ṙTβ =
1
2
q̇T [Ã− B̃T C̃−1B̃]q̇ + βT C̃−1B̃q̇ −
1
2
βT C̃−1β.
Введем обычным образом [1] кинетический потенциал Рауса
LR = R−Π =
1
2
q̇TA(q)q̇ +B(q)q̇ −W (q), (2)
где
A = Ã− B̃T C̃−1B̃, B = βT C̃−1B̃, W = Π+
1
2
βT C̃−1β, (3)
135
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
W − приведенная потенциальная энергия. Подставляя соответствующие
выражения в уравнения Рауса
d
dt
∂LR
∂q̇
−
∂LR
∂q
= 0,
приходим к следующей форме записи
A(q)q̈ +G(q)q̇ + (q̇TD1(q) q̇, . . . , q̇TDn(q) q̇)T +
∂W
∂q
= 0, (4)
элементы квадратной матрицы Ds (s = 1, n) определяются по формулам
dsjk = aj
sk
+ aksj − asjk (j 6= k), dsjj = ajsj −
1
2
asjj, j, s, k = 1, n.
Очевидно, что стационарные движения q = q0 рассматриваемой механи-
ческой системы определяются условием
∂W
∂q
= 0. (5)
Соответствующие уравнения в вариациях можно записать в виде
A0ẍ+G0ẋ+W0x = 0, (6)
где A0 = A(q0), G0 =
(∂G
∂q
T
−
∂G
∂q
)∣∣∣
q=q0
, W0 =
∂2W
∂q2
∣∣∣
q=q0
.
Необходимым и достаточным условием устойчивости линейного уравне-
ния (6) является1 отсутствие у характеристического многочлена
F (λ) = det(A0λ
2 +G0λ+W0)
корней с ненулевой вещественной частью (матрица G0 – кососимметри-
ческая). В частности, обозначая Λ = λ2, при n = 4 получаем уравнение
M1Λ
4 + 4M2Λ
3 + 6M3Λ
2 + 4M4Λ+M5 = 0. (7)
Коэффициенты Mj (j = 1, 5) известным образом выражаются через эле-
менты матриц A0, G0, W0. Для устойчивости уравнения (6) необходимо
и достаточно, чтобы уравнение (7) имело четыре отрицательных корня. Со-
ответствующие условия можно получить в результате комбинированного при-
менения критерия Покровского [3, 4]
M2
4 −M3M5 > 0, 12(M2
4 −M3M5)
2 −M2
5 (M1M5 − 4M2M4 + 3M2
3 ) > 0, (8)
1Предполагаем, что отсутствуют кратные корни.
136
Устойчивость равномерных вращений
(M1M5−4M2M4+3M2
3 )
3−27(M1M3M5+2M2M3M4−M1M
2
4−M
2
2M5−M
3
3 )
2 > 0
и критерия Рауса–Гурвица
Mj > 0 (j = 1, 5), 6M2M3M4 −M1M
2
4 −M5M
2
2 > 0. (9)
Условия (8) обеспечивают существование четырех вещественных корней, а
неравенства (9) – наличие у них четырех отрицательных вещественных час-
тей. Если хотя бы одно из девяти неравенств (8), (9) имеет противоположный
знак, то решения уравнения (6) – неустойчивы: имеется характеристический
корень с положительной вещественной частью.
2. Постановка задачи. Исходные соотношения. Рассмотрим абсо-
лютно твердое тело, имеющее неподвижную точку O и находящееся в поле
силы тяжести. Введем в рассмотрение две системы координат: инерциальную
Oxyz и связанную с телом Ox1y1z1. Предполагаем, что центр масс O0
тела принадлежит оси Ox1; |OO0| = l0. В качестве обобщенных коорди-
нат, определяющих положение связанной системы координат относительно
неподвижной, выберем углы Эйлера θ, ϕ, ψ, которые вводятся обычным
образом [1]. С целью избежать особенностей при изучении равномерных вра-
щений [1, с. 358] в качестве основных осей выбираем Oz и Ox1. Параллельно
осям Oy1, Oz1 в теле с помощью телескопических шарниров упруго закреп-
лены два внутренних элемента, каждый из которых представляет собой пару
материальных точек массой mj , жестко соединенных невесомым стержнем
NjNj+1 длиной 2Rj (j = 1, 2). Оси шарниров пересекают Ox1 в точках
O1, O2, при этом |OO1| = l1, |OO2| = l2. При недеформированном состоянии
пружины массы равноудалены от Ox1.
Обозначим через rj радиус–вектор точки Nj (j = 1, 4), тогда
rj =
(
l1, (−1)j+1R1 +R1u1, 0
)T
, j = 1, 2;
rj =
(
l2, 0, (−1)j+1R2 +R2u2
)T
, j = 3, 4.
Здесь u1, u2 – относительные смещения присоединенных элементов. Учи-
тывая формулу vj = ŕj + ω × rj для скорости точки Nj (j = 1, 4), где
ŕj означает относительную производную по времени, запишем выражение
для кинетической энергии присоединенных элементов:
K+ = m1R
2
1(1 + u1)
2ω2
1 + d2m1ω
2
2 +m1(d
2 +R2
1(1 + u1)
2)ω2
3−
−m1R1(2 dω1ω2(1 + u1)− 2 dω3u̇1 −R1u̇
2
1)+
+m2R
2
2(1 + u2)
2ω2
1 + d2m2ω
2
3 +m2(d
2 +R2
2(1 + u2)
2)ω2
2−
−m2R2(2 dω1ω3(1 + u2) + 2 dω2u̇2 −R2u̇
2
2).
137
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
Обобщенный тензор инерции системы можно записать в виде J̃ = J+J+,
где J = diag(J1,J2,J3)− тензор инерции носителя, J+− “присоединенный”
тензор инерции носимых элементов
J+ =
J+
1
−2m1l1R1u1 −2m2l2R2u2
−2m1l1R1u1 J+
2
0
−2m2l2R2u2 0 J+
3
, (10)
J+
1
= 2[m1R
2
1(1 + u21) +m2R
2
2(1 + u22)], J+
2
= 2{m1l
2
1 +m2[l
2
2 +R2
2(1 + u22)]},
J+
3
= 2{[m2l
2
2 +m1[l
2
1 +R2
1(1 + u1)
2)]}.
Потенциальными силами в системе являются сила тяжести и силы упру-
гости в шарнирах, поэтому для потенциальной энергии имеем
Π = g[(m0l0+2(m1l1+m2l2)) sin θ sinϕ+2 (m1R1u1 cosϕ sin θ+m2R2u2 cos θ)]+
+
1
2
κ1R
2
1 (u1 − ũ10)
2 +
1
2
κ2R
2
2 (u2 − ũ20)
2.
Здесь m0 – масса тела, κ1,κ2 – жесткости пружин, постоянные ũ10, ũ20
соответствуют состоянию покоя балансиров (пружины не деформированы).
Проекции вектора угловой скорости ω на оси связанной системы коорди-
нат определяются [1] кинематическими соотношениями Эйлера
ω1 = θ̇ cosϕ+ ψ̇ sin θ sinϕ, ω2 = −θ̇ sinϕ+ ψ̇ sin θ cosϕ, ω3 = ϕ̇+ ψ̇ cos θ.
(11)
Подставим (11) в выражение для кинетической энергии и воспользуемся ре-
зультатами п. 1 для записи уравнений движения. Перейдем вначале к без-
размерным величинам по формулам
a =
J1
J̃3
, c = 1+
J2 − J3
J̃3
, µj =
2mjR
2
j
J̃3
, p =
l0(m0l0 + 2m1l1 + 2m2l2)
J̃3
, τ = ωt,
(12)
δ =
g
l0ω2
, sj =
lj
Rj
, ηj =
l0
Rj
, κj =
κj
mjω2
, j = 1, 2; J̃3 = J3 + 2m1l
2
1 + 2m2l
2
2,
ω − некоторая постоянная (произвольная, не нулевая), будет выбрана ниже.
Тогда
à = (ãjk) =
ã11 −µ2s2u2 cosϕ 0 µ2s2 sinϕ
−µ2s2u2 cosϕ 1 + µ1(1 + u21) µ1s1 0
0 µ1s1 µ1 0
µ2s2 sinϕ 0 0 µ2
,
ã11 = [a+ µ1(1 + u21)] cos
2 ϕ+ c sin2 ϕ+ µ2(1 + u22) + µ1s1u1 sin 2ϕ,
138
Устойчивость равномерных вращений
b̃11 = sin θ {[
a− c
2
+ µ1(1 + u21)] sin 2ϕ− µ1s1u1 cos 2ϕ} − µ2s2u2 cos θ cosϕ,
b̃12 = cos θ [1 + µ1(1 + u21)]− µ2s2u2 sin θ sinϕ, (13)
b̃13 = µ1s1 cos θ, b̃14 = µ2s2 sinθ cosϕ,
c̃11 = sin2 θ [a+ µ1(1 + u21) sin
2 ϕ+ c cos2 ϕ+ µ2(1 + u22)− µ1s1u1 sin 2ϕ]+
+ cos2 θ[1 + µ1(1 + u21)]− µ2s2u2 sin 2θ sinϕ.
Приведенная потенциальная энергия системы выражается по формуле
W = δ[sin θ(p sinϕ+µ1η1u1 cosϕ)+µ2η2u2 cos θ]+
1
2
(µ1κ1u
2
1+µ2κ2u
2
2+β
2/c̃11).
Нахождение всех стационарных движений системы, т. е. решение векторно-
го уравнения (5), представляется достаточно сложным, и мы ограничимся
частным случаем θ = π/2, ϕ = π/2 (ось Ox1 совпадает с вертикалью). Тогда
gradW = (−µ2u2[η2 +
s2β
2
σ2
],−µ1u1[η1 +
s1β
2
σ2
], µ1u1[κ1 −
β2
σ2
], µ2u2[κ2 −
β2
σ2
]),
σ = a+µ1(1+u
2
1)+µ2(1+u
2
2). Выражения ηj+sjβ
2/σ2 (j = 1, 2), очевидно, по-
ложительны, поэтому для выполнения условия (5) необходимо и достаточно,
чтобы u1 = 0, u2 = 0. Получаем стационарное движение
θ =
π
2
, ϕ =
π
2
, u1 = 0, u2 = 0, (14)
которое описывает равномерные вращения твердого тела вокруг главной оси,
несущей центр масс; присоединенные массы покоятся относительно носителя.
При этом значению угловой скорости ω соответствует значение циклической
постоянной β = a+ µ1 + µ2.
Найдем условия устойчивости движения (14) по первому приближению.
Переходя к возмущениям
θ =
π
2
+ x1, ϕ =
π
2
+ x2, u1 = x3, u2 = x4,
получим систему вида (6), при этом
Ã(q0) =
c+ 2µ2 0 0 µ2s2
0 1 + µ1 µ1s1 0
0 µ1s1 µ1 0
µ2s2 0 0 µ2
, B̃(q0) = 0, A0 = Ã(q0),
G(q0) =
0 a− c− 1 −2µ1s1 0
−a+ c+ 1 0 0 2µ2s2
2µ1s1 0 0 0
0 −2µ2s2 0 0
, (15)
139
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
W0 =
a− 1 + µ2 − pδ 0 0 −µ2(δη2 + s2)
0 a− c+ µ1 − pδ −µ1(δη1 + s1) 0
0 −µ1(δη1 + s1) µ1(κ1 − 1) 0
−µ2(δη2 + s2) 0 0 µ2(κ2 − 1)
.
Условия (8), (9), записанные для уравнения (6), коэффициенты которого
определяются согласно (15), слишком громоздки для анализа. Поэтому ниже
принимаем предположение о симметрии в механической системе:
c = 1, µ1 = µ2 = µ, s1 = s2 = s, η1 = η2 = η, κ1 = κ2 = κ. (16)
Кроме того, как видно из записи W0, для κ естественно ввести переобозна-
чение
κ− 1 = κ̃. (17)
Равенства (16) позволяют ввести комплексные переменные
x1 + ıx2 = z1, x4 + ıx3 = z2
и представить характеристический многочлен в виде F (λ) = F (ıλ̃) =
= f(λ̃)f(−λ̃), где
f(λ̃) = det
(
λ̃2(1 + µ) + λ̃(2− a) + 1− a− µ+ pδ µ(sλ̃2 + 2sλ̃+ ηδ + s)
µ(sλ̃2 + 2sλ̃+ ηδ + s) µ(λ̃2 − κ̃)
)
.
(18)
3. Условия устойчивости и их анализ. Условия существования у
f(λ̃) четырех вещественных корней являются необходимыми и достаточными
условиями устойчивости линеаризованных уравнений движения. Для записи
этих условий воспользуемся неравенствами (8). Раскрывая определитель (18),
имеем в уравнении (7)
M1 = 1 + µ(1− s2), M2 = (2− a− 4µs2)/4,
M3 = (1− a+ pδ − µ− 6µs2 − 2µsδη − κ̃− µκ̃)/6,
M4 = −[(2− a)κ̃+ 4µs(s+ ηδ)]/4,
M5 = k(a− pδ − 1 + µ)− µ(s+ ηδ)2.
(19)
Обозначая левые части неравенств (8) через P1, P2, P3 соответственно, на-
ходим
P1 = κ̃[κ̃(3a2 − 4a+ 4− 8pδ) + 8(pδ + 1− a)2] + 8µ[κ̃2(a− pδ)+
+κ̃(2sηδ−2−η2δ2−2sηpδ2−2pδ−asηδ+2a+3as2−s2−6s2pδ)+(1−a+pδ)(s+ηδ)2]+
+8µ2[κ̃2(a− pδ) + κ̃(1 + 5s2 − η2δ2)− (2sηδ + 1)(s + ηδ)2],
140
Устойчивость равномерных вращений
P2 =
κ̃2
64
[κ̃2(a2−4pδ)(3a2−8a+8−4pδ)−32κ̃(a−1−pδ)3+16(a−1−pδ)4]+O(µ),
64P3 = κ̃(a2 − 4pδ)[κ̃2 − κ̃(a2 − 2a+ 2− 2pδ) + (a− 1− pδ)2]2+
+µ〈−s(1+ηδ)2(a2−4pδ)(a−1−pδ)3+κ̃{4(a−pδ−1)3[2a2−a(2pδ+1)+p2δ2−3]+
+s(a− pδ − 1)[a4(9η2δ2 + 4ηδ + 11) − a3(23η2δ2 + 24pδ − 8pδ2η − 2ηδ + 7)+
+a2(12ηδ − 53pδ + 18p2δ2 + 6p2ηδ3 − 78pηδ2 + 5 + 19η2δ2 − 49pη2δ3)+
+a(104p2δ2 + 8p3δ3 + 8η2δ2 + 8pηδ2 + 28pδ + 100pη2δ3 − 16p2ηδ3)− 4p4δ4−
−32p3δ3(3 + ηδ) + 8p2δ2(6η2δ2 + 25ηδ + 4)− 4pδ(η2δ2 + 14ηδ + 5)− 4η2δ2]}+
−κ̃2{4(a−pδ−1)[4a4−3a3(2pδ+3)+a2(3p2δ2−3pδ+10)+4a(3p2δ2+pδ−1)−
−4pδ(pδ − 1)2] + s[a5(19 + 2ηδ) + a4(−29pδ + 10pηδ2 + 3η2δ2 + 14ηδ − 36)+
+a3(−92pηδ2 +2ηδ+7p2δ2 +18+7η2δ2− 50pδ)+a2(5η2δ2+30pηδ2 − 26p2ηδ3+
+174pδ−10−24ηδ+99p2δ2−31pη2δ3+15p3δ3)+a(−24η2δ2−128p2δ2−52pη2δ3−
−56pηδ2−72pδ+288p2ηδ3−52p3δ3)−48p4δ4+4p3δ3(35−8ηδ)−4p2δ2(−22η2δ2+
+50ηδ + 27) + 4pδ(13η2δ2 + 30ηδ + 10) + 12η2δ2]}+ κ̃3{4(a− pδ)[2a4 − 5a3+
+11a2(1− pδ)− 4a(3− 2pδ) + 18p2δ2 − 8pδ + 6] + s[9a5 + a4(10ηδ + 3pδ − 30)+
+a3(−26pδ + 12− 2ηδ) + a2(156pδ − 10− 20ηδ + 15η2δ2 − 26pηδ2 − 31p2δ2)−
−4a(12pδ + 3η2δ2 + 13p2δ2 + 4pηδ2) + 88p3δ3 − 4p2δ2(8ηδ + 33) + 8pδ(−6η2δ2+
+13ηδ+5)+12η2δ2]}+ κ̃4{−4[a4+a3−a2(9pδ+2)+4a(pδ+1)+16p2δ2−12pδ]+
+s[9a4 − 3a3 + a2(5− 49pδ + 6ηδ) + 12apδ + 48p2δ2 − 32pηδ2 − 4η2δ2 − 20pδ]}+
+κ̃5[4(a2 + a− 5pδ) − s(a2 − 4pδ)]〉 +O(µ2).
Приведенные выражения слишком сложны для полного анализа, однако,
принимая естественное предположение о малости величины µ, можно видеть,
что P1, P2, P3 – положительны в случае достаточно быстрых вращений гиро-
скопа ( δ << 1).
Представляется интересным вопрос о возможности стабилизации неустой-
чивого вращения носителя за счет относительного движения внутренних эле-
ментов. Применительно к уравнению (6) это означает такой выбор пара-
метров k, s, η, что Pj > 0 (j = 1, 3), в то время, как pδ > 1/4(a2 + 4aµ+
+4mu2)/(1+µ). Последнее условие обеспечивает отрицательность дискрими-
нанта квадратного трехчлена λ̃2(1+µ)− (2−a)λ̃+1−a+pδ−µ, т. е. наличие
141
А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев
корня с положительной вещественной частью у характеристического много-
члена и неустойчивость (экспоненциальную) изучаемого движения. В этой
связи введем представление
pδ =
a2 + 4aµ+ 4µ2
4(1 + µ)
+ ε (ε > 0) (20)
и запишем разложения в ряд по ε, µ величин Pj (j = 1, 3) :
P1 =
κ̃
96
(2− a)2(a2 − 4a+ 4 + 2κ̃) + · · · ,
P2 =
κ̃2
1024
(2− a)6(a2 − 4a+ 4 + 8κ̃) + · · · ,
P3 =
κ̃
16384
[(2− a)2 − 4κ̃]3{µ(sa2 + 4ηδ)2 − 4ε[(2 − a)2 − 4κ̃]}+ · · · . (21)
Здесь многоточием обозначены слагаемые более высокого порядка малости
по сравнению с выписанными. Легко видеть, что если ε, µ достаточно малы,
то выражения для P1 и P2 положительны при условии κ̃ > 0 и любых до-
пустимых значениях остальных параметров (при κ̃ < 0 хотя бы одно из них
отрицательно). Обозначим выписанные слагаемые в правой части (21) через
P30 и проанализируем условие P30 > 0.
Если κ̃ > (2− a)2/4, то выражение в круглых скобках отрицательно, в то
время, как в квадратных скобках стоит сумма положительных выражений,
как следствие все произведение отрицательно. Следовательно, величина κ̃
ограничена сверху величиной (2 − a)2/4. Получаем следующие необходимые
и достаточные условия положительности P30:
κ̃ <
(2− a)2
4
, (22)
µ > ε
4[(2 − a)2 − 4κ̃]
(sa2 + 4ηδ)2
. (23)
Напомним, что выполнение неравенства (23) обеспечивает положитель-
ность P3(µ, ε, κ̃, s, η, δ, a) при достаточно малых ε и µ. Оценить степень этой
малости в общем случае (без конкретизации параметров носителя и интер-
вала возможных значений скорости вращения) представляется достаточно
сложной задачей – многочлен P3 имеет одиннадцатую степень относительно
µ. Если же величины a и δ заданы, то оценка (23) может быть уточнена, хотя
и примет значительно более громоздкий вид.
В заключение отметим, что численные расчеты показывают, что значение
параметра κ̃ целесообразно выбирать малым (условие (22) при этом выпол-
няется автоматически). В зависимости от выбора a и δ, можно добиться уве-
личения величины pδ порядка десяти процентов. Так, при a = 0.8, δ = 0.5
142
Устойчивость равномерных вращений
полагаем s = 0.6, ε = 0.018, κ̃ = 0.01. Многочлен P3(µ) имеет три ве-
щественных корня, два из них положительны: µ1 ≈ 0.1854, µ2 ≈ 0.1877.
Выбирая µ = 0.186, находим корни f(λ) : −0.5207,−0.4863,−0.4132, 0.2734.
Для носителя с “вмороженными” элементами собственные значения таковы:
−0.5890− 0.1329i, −0.5890 + 0.1329i. Соответствующий характеристический
многочлен имеет положительный показатель Ляпунова – 0.1329, и рост воз-
мущенных решений имеет порядок e0,1329τ , т. е. амплитуда колебаний увели-
чивается примерно в пять раз за период. Свободные колебания внутренних
элементов устраняют это “раскачивание”.
1. Лурье А.И. Аналитическая механика. – М.: Физматгиз, 1961. – 824 с.
2. Пузырев В.Е. Об устойчивости стационарных движений механических систем с непол-
ной диссипацией энергии // Механика твердого тела. – 2002. – Вып. 32. – С. 99-104.
3. Покровский П.М. Об алгебраических уравнениях в связи с аналитическими функциями
Вейерштрасса // Тр. отд. физ. наук О-ва любителей естествознания – 1893. – 6, вып.1.
– С. 26–42.
4. Лесина М.Е. О стабилизации покоящегося неуравновешенного гироскопа Лагранжа //
Механика твердого тела. – 1979. – Вып. 11. – С. 88–92.
5. Найфе А. Введение в методы возмущений. – М.: Мир, 1984. – 535 с.
A.E.Pozdnyakovih, V.E.Puzirev
Stability of permanent rotations about the principal axis of the Lagrange’s
gyroscope with dampers-balancers
The problem of passive stabilization of the rigid body permanent rotations is considered. Two
elastically fixed elements are attached to the body which which can oscillate freely in the plane
orthogonal to the rotation axis. The necessary and sufficient conditions of stability for the
linearized motion equations are obtained and analyzed. It is shown that oscillations of the
added elements can stabilize the instable motion of the carrier.
Keywords: passive stabilization, added masses, the Pokrovsky criteria.
О.Є.Позднякович, В.Є.Пузирьов
Стiйкiсть рiвномiрних обертань навкруги головної осi гiроскопа Лагран-
жа з внутрiшнiми елементами
Розглянуто задачу про пасивну стабiлiзацiю навколо вертикалi гiроскопа Лагранжа з двома
пружно закрiпленими внутрiшнiми елементами, що рухаються плоско-паралельно у пло-
щинi, ортогональнiй до вiсi динамiчної симетрiї. Отримано умови стiйкостi руху у першому
наближеннi. Встановлено, що коливальний рух приєднаних елементiв може стабiлiзувати
нестiйке обертання гiроскопа. Рух системи при цьому – чотирьохчастотний, в той час, як
рух тiла з нерухомими елементами – одночастотний; вiдповiднi рiвняння мають додатний
характеристичний показник Ляпунова.
Ключовi слова: пасивна стабiлiзацiя, приєднанi маси, критерiй Покровського.
Донбасcкая национальная акад. строительства
и архитектуры, Макеевка;
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
vpsr@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 14.08.13
143
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72647 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:14:55Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. 2014-12-27T13:54:44Z 2014-12-27T13:54:44Z 2013 Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с внутренними элементами / А.Е. Позднякович, В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 135-143. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72647 531.38, 531.36 Рассмотрена задача о пассивной стабилизации вращений вокруг вертикали гироскопа Лагранжа с двумя упруго закрепленными внутренними элементами, совершающими относительное плоскопараллельное движение в плоскости, перпендикулярной оси динамической симметрии. Получены условия устойчивости изучаемого движения по первому приближению. Показано, что колебательное движение присоединенных элементов может стабилизировать неустойчивое вращение гироскопа. Система при этом совершает четырехчастотные колебания, в то время как тело с "вмороженными" элементами - одночастотное; соответствующие уравнения движения имеют положительный характеристический показатель Ляпунова. Розглянуто задачу про пасивну стабiлiзацiю навколо вертикалi гiроскопа Лагранжа з двома пружно закрiпленими внутрiшнiми елементами, що рухаються плоско-паралельно у площинi, ортогональнiй до вiсi динамiчної симетрiї. Отримано умови стiйкостi руху у першому наближеннi. Встановлено, що коливальний рух приєднаних елементiв може стабiлiзувати нестiйке обертання гiроскопа. Рух системи при цьому – чотирьохчастотний, в той час, як рух тiла з нерухомими елементами – одночастотний; вiдповiднi рiвняння мають додатний характеристичний показник Ляпунова. The problem of passive stabilization of the rigid body permanent rotations is considered. Two elastically fixed elements are attached to the body which which can oscillate freely in the plane orthogonal to the rotation axis. The necessary and sufficient conditions of stability for the linearized motion equations are obtained and analyzed. It is shown that oscillations of the added elements can stabilize the instable motion of the carrier. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с внутренними элементами Стiйкiсть рiвномiрних обертань навкруги головної осi гiроскопа Лагранжа з внутрiшнiми елементами Stability of permanent rotations about the principal axis of the Lagrange’s gyroscope with dampers-balancers Article published earlier |
| spellingShingle | Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с внутренними элементами Позднякович, А.Е. Пузырев, В.Е. |
| title | Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с внутренними элементами |
| title_alt | Стiйкiсть рiвномiрних обертань навкруги головної осi гiроскопа Лагранжа з внутрiшнiми елементами Stability of permanent rotations about the principal axis of the Lagrange’s gyroscope with dampers-balancers |
| title_full | Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с внутренними элементами |
| title_fullStr | Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с внутренними элементами |
| title_full_unstemmed | Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с внутренними элементами |
| title_short | Устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа Лагранжа с внутренними элементами |
| title_sort | устойчивость равномерных вращений вокруг главной оси гироскопа лагранжа с внутренними элементами |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72647 |
| work_keys_str_mv | AT pozdnâkovičae ustoičivostʹravnomernyhvraŝeniivokrugglavnoiosigiroskopalagranžasvnutrennimiélementami AT puzyrevve ustoičivostʹravnomernyhvraŝeniivokrugglavnoiosigiroskopalagranžasvnutrennimiélementami AT pozdnâkovičae stiikistʹrivnomirnihobertanʹnavkrugigolovnoíosigiroskopalagranžazvnutrišnimielementami AT puzyrevve stiikistʹrivnomirnihobertanʹnavkrugigolovnoíosigiroskopalagranžazvnutrišnimielementami AT pozdnâkovičae stabilityofpermanentrotationsabouttheprincipalaxisofthelagrangesgyroscopewithdampersbalancers AT puzyrevve stabilityofpermanentrotationsabouttheprincipalaxisofthelagrangesgyroscopewithdampersbalancers |