Управление и стабилизация вращательного движения спутника с помощью двух гиродинов
Исследована задача управления и стабилизации спутника, который несет два гиродина. Получены управления, обеспечивающие остановку вращения и перевод спутника в противовращение в окрестности положения равновесия с заданной степенью точности. Построены управления, которые осуществляют стабилизацию нуле...
Saved in:
| Published in: | Механика твердого тела |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2013
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72649 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Управление и стабилизация вращательного движения спутника с помощью двух гиродинов / А.В. Гладун // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 151-162. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860110197914075136 |
|---|---|
| author | Гладун, А.В. |
| author_facet | Гладун, А.В. |
| citation_txt | Управление и стабилизация вращательного движения спутника с помощью двух гиродинов / А.В. Гладун // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 151-162. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Механика твердого тела |
| description | Исследована задача управления и стабилизации спутника, который несет два гиродина. Получены управления, обеспечивающие остановку вращения и перевод спутника в противовращение в окрестности положения равновесия с заданной степенью точности. Построены управления, которые осуществляют стабилизацию нулевой угловой скорости спутника и стабилизацию спутника в направлении заданного орта. При построении исходная система уравнений приводится к системе специального вида, для которой стабилизация достигается путем выбора собственных чисел матрицы линейного приближения. Как мнимые, так и действительные части собственных чисел этой матрицы подбираются таким образом, чтобы минимизировать норму управления с обратной связью. Приведены результаты численного моделирования.
Дослiджується задача керування i стабiлiзацiї супутника, який несе два гiродини. Отримано керування, що забезпечують зупинку обертання i переведення супутника в протилежне обертання в околi положення рiвноваги iз заданим ступенем точностi. Побудовано керування, якi здiйснюють стабiлiзацiю нульової кутової швидкостi супутника i стабiлiзацiю супутника в напрямку заданого орта. При побудовi вихiдна система рiвнянь зводиться до системи спецiального виду, для якої стабiлiзацiя досягається шляхом вибору власних чисел матрицi лiнiйного наближення. Як уявнi, так i дiйснi частини власних чисел цiєї матрицi пiдбираються таким чином, щоб мiнiмiзувати норму керування iз зворотним зв’язком. Наведено результати чисельного моделювання.
The problem of control and stabilization of a satellite carrying two gyrodins is investigated. The control laws to provide stopping the rotation and reverse a satellite to the opposite rotation in a neighborhood of the equilibrium position are constructed with a given degree of accuracy. The control laws that provide zero angular velocity stabilization or stabilization of a satellite in a given direction are constructed. For these constructions the initial system is reduced to a special-kind system that is stabilizable by the choice of eigenvalues for the linear approximation matrix. Both real and imaginary parts of eigenvalues are selected in a way to minimize the norm of feedback control. The results of numerical simulation are presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:33:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2013. Вып. 43
УДК 531.383
c©2013. А.В. Гладун
УПРАВЛЕНИЕ И СТАБИЛИЗАЦИЯ
ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА
С ПОМОЩЬЮ ДВУХ ГИРОДИНОВ
Исследуется задача управления и стабилизации спутника, который несет два гиродина.
Получены управления, обеспечивающие остановку вращения и перевод спутника в противо-
вращение в окрестности положения равновесия с заданной степенью точности. Построены
управления, которые осуществляют стабилизацию нулевой угловой скорости спутника и
стабилизацию спутника в направлении заданного орта. При построении исходная система
уравнений приводится к системе специального вида, для которой стабилизация достигается
путем выбора собственных чисел матрицы линейного приближения. Как мнимые, так и
действительные части собственных чисел этой матрицы подбираются таким образом, чтобы
минимизировать норму управления с обратной связью. Приведены результаты численного
моделирования.
Ключевые слова: спутник, гиродин, положение равновесия, управляемость по части
переменных, стабилизируемость.
1. Постановка задачи. Рассмотрим механическую систему, состоящую
из спутника (носителя) и двух гиродинов, определенным образом располо-
женных на носителе. Спутник – твердое тело, гиродин – двухстепенная ги-
роскопическая система, состоящая из ротора и гирокамеры. Ротор закреплен
внутри гирокамеры и вращается с постоянной угловой скоростью. Пусть ро-
тор является шаровым, а гирокамера динамически симметрична относитель-
но своей оси вращения. Запишем уравнения движения твердого тела, несу-
щего два (s = 2) гиродина [1], оси вращения которых параллельны и не сов-
падают ни с одной из координатных осей. Обозначим через lj, nj орты осей
вращения гирокамеры и ротора j-го гиродина соответственно, kj = lj × nj.
Пусть k0j , l0j ,n0j – правая тройка взаимно ортогональных ортов, задающих
начальное расположение гиродина в носителе. Углы поворота гирокамеры
относительно носителя и ротора относительно гирокамеры отсчитываются
от положения, в котором (kj , lj,nj) = (k0j , l0j ,n0j) . В качестве исходных
ортов примем следующие
k01 = k02 =
(
6
35
,
6
7
, −17
35
)∗
, l01 = − l02 =
(
2
7
,
3
7
,
6
7
)∗
,
n01 = − n02 =
(
33
35
, −2
7
, − 6
35
)∗
,
где ∗ – символ транспонирования. Тогда получаем уравнения движения но-
сителя с двумя гиродинами в виде [2]
A1ω̇1 = (A2 −A3)ω2ω3 +
3
35
2
∑
j=1
(
hj
Jj
(
(−1)j+1 11 sin qj − 2 cos qj
)
ξj
)
−
151
А.В. Гладун
−3
7
(ξ1 − ξ2) (2ω2 − ω3)−
2
7
(u1 − u2) ,
A2ω̇2 = (A3 −A1)ω1ω3 +
2
7
2
∑
j=1
(
hj
Jj
(
(−1)j sin qj − 3 cos qj
)
ξj
)
+
+
2
7
(ξ1 − ξ2) (3ω1 − ω3)−
3
7
(u1 − u2) ,
A3ω̇3 = (A1 −A2)ω1ω2 +
1
35
2
∑
j=1
(
hj
Jj
(
(−1)j 6 sin qj + 17 cos qj
)
ξj
)
−
−1
7
(ξ1 − ξ2) (3ω1 − 2ω2)−
6
7
(u1 − u2) , (1)
ξ̇1 =
h1
35
(
3 (2 cos q1 − 11 sin q1)ω1 + 10 (3 cos q1 + sin q1)ω2+
+(6 sin q1 − 17 cos q1)ω3
)
+ u1,
ξ̇2 =
h2
35
(
3 (2 cos q2 + 11 sin q2)ω1 + 10 (3 cos q2 − sin q2)ω2−
− (6 sin q2 + 17 cos q2)ω3
)
+ u2,
q̇1 =
ξ1
J1
− 1
7
(2ω1 + 3ω2 + 6ω3) , q̇2 =
ξ2
J2
+
1
7
(2ω1 + 3ω2 + 6ω3) ,
где ω = (ω1, ω2, ω3)
∗ – вектор угловой скорости спутника, A1, A2, A3 – обоб-
щенные моменты инерции, q = (q1, q2)
∗ – вектор углов поворота гирокамер
относительно носителя, u = (u1, u2)
∗– вектор управлений, h = (h1, h2)
∗,
J = (J1, J2)
∗ – постоянные, задающие кинетические моменты гиродинов,
ξj = Jj(l
∗
0j ,ω) + Jj q̇j, j = 1, 2.
Рассмотрим в окрестности стационарных движений системы (1) задачу
управления угловой скоростью спутника и задачу его стабилизации в на-
правлении заданного орта.
2. Стационарные движения. Система уравнений (1) представляет со-
бой автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений
ẋ = f(x, u).
Для того, чтобы найти ее стационарные движения, решим систему алгебраи-
ческих уравнений
fi ((ω1, ω2, ω3, ξ1, ξ2, q1, q2) , (u1, u2)) = 0, i = 1, . . . , 7.
152
Управление и стабилизация вращательного движения спутника
Считая, что
a =
(−1)n(h2 − h1)
(J1 + J2)
,
рассмотрим несколько случаев.
Случай 1. Пусть ω1 = ω2 = ω3 = 0, тогда имеем положение равновесия
x =
(
0, 0, 0, 0, 0, q
(0)
1 , q
(0)
2
)
, q
(0)
1 , q
(0)
2 ≡ const. (2)
Случай 2. Полагая ω2 = 0, ω3 = 0, получаем равномерные вращения
x =
( −7
3
√
5
a, 0, 0,
−2
3
√
5
a J1,
−2
3
√
5
a J2, arctg
2
11
+ πn,
− arctg
2
11
+ πn
)
, n ∈ Z.
Случай 3. Полагая ω1 = 0, ω3 = 0, имеем равномерные вращения
x =
(
0,
7
2
√
10
a, 0,
3
2
√
10
a J1,
3
2
√
10
a J2, − arctg 3 + πn,
arctg 3 + πn
)
, n ∈ Z.
Случай 4. Полагая ω1 = 0, ω2 = 0, получаем равномерные вращения
x =
(
0, 0,
7√
13
a,
6√
13
a J1,
6√
13
a J2, arctg
17
6
+ πn,
− arctg
17
6
+ πn
)
, n ∈ Z.
3. Управление по части переменных. Рассмотрим задачу управле-
ния угловой скоростью спутника с помощью двух гиродинов. Задача управле-
ния угловой скоростью состоит в нахождении такого кусочно-непрерывного
(далее допустимого) управления u = u(t) = (u1, u2) , t ∈ [t0, t1], что соответ-
ствующее ему движение системы (1) удовлетворяет условиям
ω (t0) = ω(0), ω (t1) = ω(1). (3)
Для решения этой задачи достаточно управляемости системы (1) по части
переменных, среди которых будут присутствовать ω1, ω2, ω3. Будем решать
задачу управления угловой скоростью твердого тела с помощью двух гиро-
динов по линейному приближению.
153
А.В. Гладун
Исследуем систему (1) на управляемость по переменным ω1, ω2, ω3, ξ1, ξ2
в окрестности положения равновесия (2). Сделаем замену переменных
x1 = ω1, x2 = ω2, x3 = ω3, x4 = ξ1, x5 = ξ2, x6 = q1 − q
(0)
1 , x7 = q2 − q
(0)
2
и линеаризуем полученную из (1) систему в положении равновесия
x = (x1, x2, . . . , x7) = 0. Первые пять уравнений системы линейного при-
ближения не зависят от x6, x7 и имеют вид
A1ẋ1 =
3
35
2
∑
j=1
(
hj
Jj
(
(−1)j+1 11 sin q
(0)
j − 2 cos q
(0)
j
)
xj+3
)
− 2
7
(u1 − u2) ,
A2ẋ2 =
2
7
2
∑
j=1
(
hj
Jj
(
(−1)j sin q
(0)
j − 3 cos q
(0)
j
)
xj+3
)
− 3
7
(u1 − u2) ,
A3ẋ3 =
1
35
2
∑
j=1
(
hj
Jj
(
(−1)j 6 sin q
(0)
j + 17 cos q
(0)
j
)
xj+3
)
− 6
7
(u1 − u2) ,
ẋ4 =
h1
35
(
3
(
2 cos q
(0)
1 − 11 sin q
(0)
1
)
x1 + 10
(
3 cos q
(0)
1 + sin q
(0)
1
)
x2+ (4)
+
(
6 sin q
(0)
1 − 17 cos q
(0)
1
)
x3
)
+ u1,
ẋ5 =
h2
35
(
3
(
2 cos q
(0)
2 + 11 sin q
(0)
2
)
x1 + 10
(
3 cos q
(0)
2 − sin q
(0)
2
)
x2−
−
(
6 sin q
(0)
2 + 17 cos q
(0)
2
)
x3
)
+ u2.
Пусть ẋ = Ax+Bu – система (4), записанная в матричном виде, где
u = (u1, u2) , x = (x1, x2, x3, x4, x5) , B =
{
b〈1〉, b〈2〉
}
,
b〈1〉 =
(
− 2
7A1
,− 3
7A2
,− 6
7A3
, 1, 0
)∗
, b〈2〉 =
(
2
7A1
,
3
7A2
,
6
7A3
, 0, 1
)∗
.
Будем в дальнейшем полагать, что постоянные в системах уравнений (1)
и (4) заданы следующим образом:
A1 = 230, A2 = 310, A3 = 210, J1 = J2 = 2, h1 = h2 = 1000.
Рассмотрим матрицу T = {b〈1〉, Ab〈1〉, A2b〈1〉, A3b〈1〉, b〈2〉}. Поскольку опреде-
литель матрицы T не равен нулю (det(T ) 6= 0) при
q
(0)
2 6= −q
(0)
1 + πn, (5)
154
Управление и стабилизация вращательного движения спутника
то система (1) в случае (5) управляема по переменным ω1, ω2, ω3, ξ1, ξ2 в
окрестности положения равновесия (2).
Решение двухточечной задачи (3) с точностью ε = 10−5 будем искать по
рекуррентной формуле [3]
u(k)(t) = Ω(t)p(k), (6)
Ω(t) = ω∗(t1, t)M
−1, ω(t, ξ) = X(t, ξ)B, M =
t1
∫
t0
ω(t1, ξ) ω∗(t1, ξ) dξ,
p(k) = x(1) −X(t1, t0)x
(0) +
k−1
∑
i=0
(
x(1) − xн
i (t1)
)
,
xн
i (t1) – точка, в которую попадает нелинейная система (1) под действием
допустимого управления u(i)(t) в момент времени t1; X(t, ξ) – фундамен-
тальная матрица однородной системы уравнений, соответствующей системе
линейного приближения (4).
Компоненты матрицы Ω(t) при t0 = 0, t1 = 1 имеют вид
Ωij(t) = aij cos (46.864(t − 1)) + bij sin (46.864(t − 1)) + cij cos (41.81(t − 1))+
+ dij sin (41.81(t − 1)) + eij (i = 1, 2; j = 1, . . . , 5) .
Пример 1. Остановка вращения. Пусть под воздействием внешних
возмущений спутник приобрел некоторое вращение с небольшой угловой ско-
ростью ω1 = 0.07, ω2 = 0.1, ω3 = −0.2. Построим управление, которое оста-
навливает это вращение, а значит, соответствующее ему движение динами-
ческой системы (1) на отрезке t ∈ [0, 1] удовлетворяет условиям
x(0) = (0.07, 0.1, −0.2, −0.5, 0.4, π/6, π/3)∗,
x(1) = (0, 0, 0, 0, 0, q1, q2)
∗,
где q1, q2 – произвольные вещественные числа. Решая двухточечную задачу
(3) по рекуррентной формуле (6) с точностью ε = 10−4 с помощью пакета
математических программ, на 13-ом шаге получаем
p(0) = (0.12841, 0.12385, −0.03766, 2.82243, 0.08858)∗ ,
p(13) = (0.06341, 0.18737, −0.06036, 1.7551, 1.34022)∗ ,
u1(t) = u
(13)
1 (t) = −0.27 cos (46.864(t − 1))− 0.67 sin (46.864(t − 1))+
+ 3.74 cos (41.81(t − 1)) + 8.03 sin (41.81(t − 1))− 9.04,
u2(t) = u
(13)
2 (t) = 1.99 cos (46.864(t − 1)) + 4.63 sin (46.864(t − 1)) +
+ 0.41 cos (41.81(t − 1)) + 1.21 sin (41.81(t − 1)) + 9.04,
155
А.В. Гладун
Рис. 1
Результаты численного моделирования применения построенных управлений
для системы (1) приведены на рис. 1.
Пример 2. Перевод в противовращение. Пусть необходимо перевести
спутник в противовращение, следовательно, найти такое управление, что со-
ответствующее ему движение динамической системы (1) на отрезке t ∈ [0, 1]
будет удовлетворять условиям
x(0) = (0.07, 0.1, −0.2, −5, 4, π/6, π/3)∗,
x(1) = (−0.07, −0.1, 0.2, 5, −4, q1, q2)
∗,
где q1, q2 – произвольные вещественные числа.
Используя пакет математических программ, на 25-ом шаге с точностью
ε = 0.10−5 получаем
p(0) = (0.07293, 0.13944, 0.07172, 5.05697, −0.20589)∗,
p(25) = (−0.10009, 0.05215, 0.19838, −0.34345, 2.00979)∗ ,
u1(t) = u
(25)
1 (t) = −0.57 cos (46.864(t − 1)) + 0.7 sin (46.864(t − 1))−
− 0.74 cos (41.81(t − 1))− 1.66 sin (41.81(t − 1))− 17.93,
u2(t) = u
(25)
2 (t) = 3.86 cos (46.864(t − 1))− 4.97 sin (46.864(t − 1))−
− 0.08 cos (41.81(t − 1))− 0.25 sin (41.81(t − 1)) + 17.93.
Результаты численного моделирования применения построенных управлений
для системы (1) приведены на рис. 2.
4. Стабилизация по части переменных. Рассмотрим по линейному
приближению две задачи: стабилизации нулевой угловой скорости спутни-
ка и стабилизации спутника в направлении заданного орта с помощью двух
гиродинов.
156
Управление и стабилизация вращательного движения спутника
Рис. 2
Стабилизация нулевой угловой скорости. Для этого необходимо
стабилизировать положение равновесия (2) динамической системы (1). Лине-
аризуя так же, как в предыдущем пункте, систему (1) в положении равнове-
сия (2), получаем систему линейного приближения (4). Построим управления
u1, u2, решающие задачу стабилизации положения равновесия x = 0 для си-
стемы (4). Полагая, что u2 = 0, сделаем замену переменных: x = Ty,
T =
{
b〈1〉, Ab〈1〉, A2b〈1〉, A3b〈1〉, A4b〈1〉
}
.
Поскольку матрица T невырожденная, то система (4) управляема с помо-
щью одного управления u1 и после замены переменных примет вид
ẏ = Py + d1u1,
где P = T−1AT , d1 = T−1b〈1〉, d1 = (1, 0, 0, 0, 0)∗ . Или, более подробно:
ẏ1
ẏ2
ẏ3
ẏ4
ẏ5
=
0 0 0 0 0
1 0 0 0 −3840245.8
0 1 0 0 0
0 0 1 0 −3944.788
0 0 0 1 0
y1
y2
y3
y4
y5
+
1
0
0
0
0
u1. (7)
Стабилизирующее управление для системы (7) будем строить по формуле
u1 = c∗y [4],
c = T (−1)∗
1 0 . . . 0
p1 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
p4 p3 . . . 1
−1
(p − v), (8)
где p = (0, −3944.788, 0,−3840245.8, 0)∗ – последний столбец матрицы P
в системе (7), а v – вектор коэффициентов соответствующего системе (7)
157
А.В. Гладун
характеристического уравнения
λ5 + v1λ
4 + v2λ
3 + v3λ
2 + v4λ+ v5 = 0.
Обозначим корни характеристического уравнения через
λ1,2 = α1 ± β1i, λ3,4 = α2 ± β2i, λ5 = α3.
Стабилизация в направлении заданного орта. Пусть орт s0, неиз-
менный в абсолютной системе координат, задает направление, в котором дол-
жен быть направлен спутник. Направление спутника определяется ортом r0.
Орт r0 занимает неизменное положение в системе координат Oxyz, жестко
связанной со спутником. Будем считать, что требуется стабилизировать дви-
жение спутника, при котором он находится в положении равновесия (2) и
орт r0 совпадает с ортом s0. Для решения задачи ориентации носителя в за-
данном направлении необходимо добавить к уравнениям (1), описывающим
движение спутника с двумя гиродинами, еще три уравнения [5]
ṡ1 = s2ω3 − s3ω2 (123). (9)
Составим уравнения возмущенного движения системы (1), (9), перейдя к
новым переменным
x1 = ω1, x2 = ω2, x3 = ω3, x4 = ξ1, x5 = ξ2, x6 = s1 − r
(0)
1 ,
x7 = s2 − r
(0)
2 , x8 = s3 − r
(0)
3 , x9 = q1 − q
(0)
1 , x10 = q2 − q
(0)
2 ,
и линеаризуем полученную систему в положении равновесия x = 0. Первые
пять уравнений системы линейного приближения имеют вид (4). Добавляя к
ним следующие два уравнения
ẋ6 = r
(0)
2 x3 − r
(0)
3 x2, ẋ7 = r
(0)
3 x1 − r
(0)
1 x3, (10)
получаем систему семи уравнений (4), (10), которые не зависят от остав-
шихся трех переменных x8, x9, x10. Переменная x8 связана с переменными
x6, x7 интегралом, так как s21 + s22 + s23 = 1, поэтому стабилизация невоз-
мущенного движения системы (4), (10) влечет за собой стабилизацию ори-
ентации спутника в заданном направлении. Переменные x9, x10 определяют
не интересующие нас углы поворота гирокамер первого и второго гиродинов
соответственно, поэтому могут быть отброшены.
Построим управления u1, u2, решающие задачу стабилизации по направ-
лению для системы (4), (10). Пусть ẋ = Ax+Bu система (4), (10), записанная
в матричном виде. Рассмотрим матрицу
T =
{
b〈1〉, Ab〈1〉, A2b〈1〉, A3b〈1〉, A4b〈1〉A5b〈1〉, b〈2〉
}
,
b〈1〉 =
(
− 2
7A1
,− 3
7A2
,− 6
7A3
, 1, 0, 0, 0
)∗
, b〈2〉 =
(
2
7A1
,
3
7A2
,
6
7A3
, 0, 1, 0, 0
)∗
.
158
Управление и стабилизация вращательного движения спутника
Поскольку матрица T – невырожденная, то система (4), (10) управляема
с помощью управлений u1, u2, и после замены переменных x = Ty примет
вид
ẏ = Py + d1u1 + d2u2, (11)
где P = T−1AT , d1 = T−1b〈1〉, d2 = T−1b〈2〉 . Или, более подробно:
ẏ1
ẏ2
ẏ3
ẏ4
ẏ5
ẏ6
ẏ7
=
0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 −1
0 1 0 0 0 −3840245.8 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 −3944.6 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0
y1
y2
y3
y4
y5
y6
y7
+
1
0
0
0
0
0
0
u1 +
0
0
0
0
0
0
1
u2. (12)
Последнее уравнение содержит только управление u2. Тогда, выбирая
u2 = −y7, получим асимптотическое стремление переменной y7 к нулю. Так
как y = T−1x, то, вычисляя из обратной замены переменную y7, имеем
u2 = 6.3265ω1 + 12.7906ω2 + 17.3292ω3 + 0.09627ξ1 − 1.09627ξ2−
− 170.035(s1 − r
(0)
1 ) + 1530.3125(s2 − r
(0)
2 ).
(13)
Стабилизирующее управление для оставшейся части системы (4), (10) будем
строить по формуле [4]
u1 = c∗y, c = T (−1)∗
1 0 . . . 0
p1 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
p5 p4 . . . 1
−1
(p− v), (14)
где p = (0, −3944.6, 0,−3840245.8, 0, 0)∗ – из предпоследнего столбца матри-
цы P системы (12), а v – вектор коэффициентов соответствующего системе
характеристического уравнения
λ6 + v1λ
5 + v2λ
4 + v3λ
3 + v4λ
2 + v5λ+ v6 = 0.
Обозначим корни характеристического уравнения через
λ1,2 = α1 ± β1i, λ3,4 = α2 ± β2i, λ5,6 = α3 ± β3i.
5. Оптимизация управления в задачах стабилизации. Найдем
компоненты вектора c коэффициентов управления, вычисляя их явно с помо-
щью пакета математических программ. Для минимизации нормы стабилизи-
рующего управления, минимизируем евклидову норму полученного вектора.
Стабилизация нулевой угловой скорости. Запишем функцию
g(α,β) =
5
∑
i=1
c2i
159
А.В. Гладун
и найдем минимум функции g(α,β) в области −500 ≤ αi ≤ −1, i = 1 . . . 3,
−500 ≤ βj ≤ 500, j = 1, 2, методом сопряженных градиентов, начиная спуск с
точки α1 = α2 = α3 = −1, β1 = β2 = 10. Получим при α1 = −1, α2 = −1.477,
α3 = −1, β1 = 46.565, β2 = −40.28
min(g(α,β)) = 47055.6.
Подставляя найденные α1, α2, α3, β1, β2 в формулу управления (14), имеем
u1 = 75.086ω1 + 49.658ω2 + 196.404ω3 − 4.99075ξ1 + 18.7655ξ2.
Результаты численного моделирования применения построенного управ-
ления u1 при u2 = 0 для стабилизации системы (1) с начальными условиями
x(0) = (1/14, −1/23, 1/15, −1/24, 1/13, π/6, π/3)
приведены на рис. 3.
Рис. 3
В момент времени t = 20 фазовый вектор принимает значение
x(1) = (0.00295, −0.00213, 0.00061, −0.09936, −0.07506, 0.45566, 1.10076) .
Стабилизация в направлении заданного орта. Запишем функцию
g(α,β) =
6
∑
i=1
c2i
и найдем минимум функции g(α,β) в области −500 ≤ αi ≤ −1, i = 1, . . . , 3,
−500 ≤ βj ≤ 500, j = 1, . . . , 3, методом сопряженных градиентов, начиная
160
Управление и стабилизация вращательного движения спутника
спуск с точки α1 = α2 = α3 = −5, β1 = β2 = −100, β3 = 100. Получим при
α1 = −3.24, α2 = −1, α3 = −1, β1 = −44.367, β2 = 47.583, β3 = 0.135 · 10−8
min(g(α,β)) = 501175.387.
Подставляя α1, α2, α3, β1, β2, β3 в формулу управления (14), имеем
u1 =− 168.332ω1 + 402.505ω2 + 462.421ω3 − 8.247ξ1 − 2.235ξ2−
− 308.94(s1 − r
(0)
1 )− 38.24(s2 − r
(0)
2 ).
(15)
Результаты численного моделирования построенных управлений u1 (15) и u2
(13) для стабилизации системы (1), (9) с начальными условиями
x(0) = (1/45, −1/38, 1/56, 1/34, −1/51, 3/10, −7/10,
√
42/10, π/6, π/3)
в направлении орта r(0) = (1/3, −2/3, 2/3) приведены на рис. 4–6.
Рис. 4
Рис. 5 Рис. 6
В момент времени t = 10 фазовый вектор системы (1), (9) принимает
значение
x(1) = (0.0001376; 0.000116, 0.000359, −0.000024, 0.000017,
0.33374, −0.666628, 0.666502, 0.563971, 0.998416).
161
А.В. Гладун
Таким образом, показана возможность решения по линейному приближе-
нию задач управления и стабилизации вращательного движения спутника с
помощью двух гиродинов. Решения получены с заданной степенью точности
в окрестности положения равновесия.
1. Смирнов Е.Я., Павлинов В.Ю., Щербаков П.П., Юрков А.В. Управление движением
механических систем. – Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. – 313 с.
2. Гладун А.В. Стабилизация ориентации твердого тела с помощью гиродинов // Тр.
ИПММ НАН Украины. – 2005.– 10. – С. 32–38.
3. Гладун А.В. Управление вращательным движением твердого тела с помощью двух
спарок гиродинов // Тр. ИПММ НАН Украины. – 1999. – 4. – С. 44–51.
4. Красовский Н.Н. Теория управления движением. – М.: Наука, 1968. – 476 с.
5. Зубов В.И. Лекции по теории управления. – М.: Наука, 1975. – 496 с.
A.V.Gladun
Control and stabilization of the rotational motion of a satellite by means of
two gyrodins
The problem of control and stabilization of a satellite carrying two gyrodins is investigated. The
control laws to provide stopping the rotation and reverse a satellite to the opposite rotation
in a neighborhood of the equilibrium position are constructed with a given degree of accuracy.
The control laws that provide zero angular velocity stabilization or stabilization of a satellite
in a given direction are constructed. For these constructions the initial system is reduced to a
special-kind system that is stabilizable by the choice of eigenvalues for the linear approximation
matrix. Both real and imaginary parts of eigenvalues are selected in a way to minimize the norm
of feedback control. The results of numerical simulation are presented.
Keywords: satellite, rigid body, control, stabilization, gyrodin, equilibrium position, linear ap-
proximation.
О.В.Гладун
Керування i стабiлiзацiя обертального руху супутника за допомогою двох
гiродинiв
Дослiджується задача керування i стабiлiзацiї супутника, який несе два гiродини. Отрима-
но керування, що забезпечують зупинку обертання i переведення супутника в протилежне
обертання в околi положення рiвноваги iз заданим ступенем точностi. Побудовано керу-
вання, якi здiйснюють стабiлiзацiю нульової кутової швидкостi супутника i стабiлiзацiю
супутника в напрямку заданого орта. При побудовi вихiдна система рiвнянь зводиться до
системи спецiального виду, для якої стабiлiзацiя досягається шляхом вибору власних чисел
матрицi лiнiйного наближення. Як уявнi, так i дiйснi частини власних чисел цiєї матри-
цi пiдбираються таким чином, щоб мiнiмiзувати норму керування iз зворотним зв’язком.
Наведено результати чисельного моделювання.
Ключовi слова: супутник, гiродин, стан рiвноваги, керованiсть за частиною змiнних,
стабiлiзовнiсть.
Национальный техн. ун-т, Донецк
gladun@online.dn.ua
Получено 10.10.13
162
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-72649 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0321-1975 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:33:35Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гладун, А.В. 2014-12-27T13:58:11Z 2014-12-27T13:58:11Z 2013 Управление и стабилизация вращательного движения спутника с помощью двух гиродинов / А.В. Гладун // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 151-162. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0321-1975 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72649 531.383 Исследована задача управления и стабилизации спутника, который несет два гиродина. Получены управления, обеспечивающие остановку вращения и перевод спутника в противовращение в окрестности положения равновесия с заданной степенью точности. Построены управления, которые осуществляют стабилизацию нулевой угловой скорости спутника и стабилизацию спутника в направлении заданного орта. При построении исходная система уравнений приводится к системе специального вида, для которой стабилизация достигается путем выбора собственных чисел матрицы линейного приближения. Как мнимые, так и действительные части собственных чисел этой матрицы подбираются таким образом, чтобы минимизировать норму управления с обратной связью. Приведены результаты численного моделирования. Дослiджується задача керування i стабiлiзацiї супутника, який несе два гiродини. Отримано керування, що забезпечують зупинку обертання i переведення супутника в протилежне обертання в околi положення рiвноваги iз заданим ступенем точностi. Побудовано керування, якi здiйснюють стабiлiзацiю нульової кутової швидкостi супутника i стабiлiзацiю супутника в напрямку заданого орта. При побудовi вихiдна система рiвнянь зводиться до системи спецiального виду, для якої стабiлiзацiя досягається шляхом вибору власних чисел матрицi лiнiйного наближення. Як уявнi, так i дiйснi частини власних чисел цiєї матрицi пiдбираються таким чином, щоб мiнiмiзувати норму керування iз зворотним зв’язком. Наведено результати чисельного моделювання. The problem of control and stabilization of a satellite carrying two gyrodins is investigated. The control laws to provide stopping the rotation and reverse a satellite to the opposite rotation in a neighborhood of the equilibrium position are constructed with a given degree of accuracy. The control laws that provide zero angular velocity stabilization or stabilization of a satellite in a given direction are constructed. For these constructions the initial system is reduced to a special-kind system that is stabilizable by the choice of eigenvalues for the linear approximation matrix. Both real and imaginary parts of eigenvalues are selected in a way to minimize the norm of feedback control. The results of numerical simulation are presented. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Механика твердого тела Управление и стабилизация вращательного движения спутника с помощью двух гиродинов Керування i стабiлiзацiя обертального руху супутника за допомогою двох гiродинiв Control and stabilization of the rotational motion of a satellite by means of two gyrodins Article published earlier |
| spellingShingle | Управление и стабилизация вращательного движения спутника с помощью двух гиродинов Гладун, А.В. |
| title | Управление и стабилизация вращательного движения спутника с помощью двух гиродинов |
| title_alt | Керування i стабiлiзацiя обертального руху супутника за допомогою двох гiродинiв Control and stabilization of the rotational motion of a satellite by means of two gyrodins |
| title_full | Управление и стабилизация вращательного движения спутника с помощью двух гиродинов |
| title_fullStr | Управление и стабилизация вращательного движения спутника с помощью двух гиродинов |
| title_full_unstemmed | Управление и стабилизация вращательного движения спутника с помощью двух гиродинов |
| title_short | Управление и стабилизация вращательного движения спутника с помощью двух гиродинов |
| title_sort | управление и стабилизация вращательного движения спутника с помощью двух гиродинов |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/72649 |
| work_keys_str_mv | AT gladunav upravlenieistabilizaciâvraŝatelʹnogodviženiâsputnikaspomoŝʹûdvuhgirodinov AT gladunav keruvannâistabilizaciâobertalʹnogoruhusuputnikazadopomogoûdvohgirodiniv AT gladunav controlandstabilizationoftherotationalmotionofasatellitebymeansoftwogyrodins |