Багатофакторне математичне моделювання та компромісна оптимізація технологічного процесу електроерозійного прошиття отворів

На прикладі рішення задачі, котра була поставлена виробництвом, розглянуті основні положення багатофакторного математичного моделювання та багатокритеріальної компромісної оптимізації технологічного процесу електроерозійного прошиття отворів в сталі 1Х12СЮ. Наведені знайдені оптим...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2003
Автор:	Радченко, С.Г.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська
Опубліковано:	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2003
Теми:	Програмно-технічні комплекси
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/740
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Багатофакторне математичне моделювання та компромісна оптимізація технологічного процесу електроерозійного прошиття отворів / Радченко С.Г. // Математичні машини і системи. – 2003. – № 3, 4. – С. 186 – 200.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860207824508813312
author	Радченко, С.Г.
author_facet	Радченко, С.Г.
citation_txt	Багатофакторне математичне моделювання та компромісна оптимізація технологічного процесу електроерозійного прошиття отворів / Радченко С.Г. // Математичні машини і системи. – 2003. – № 3, 4. – С. 186 – 200.
collection	DSpace DC
description	На прикладі рішення задачі, котра була поставлена виробництвом, розглянуті основні положення багатофакторного математичного моделювання та багатокритеріальної компромісної оптимізації технологічного процесу електроерозійного прошиття отворів в сталі 1Х12СЮ. Наведені знайдені оптимальні рекомендації по п’яти факторам для двох критеріїв якості – продуктивності обробки та спрацьовування електрод-інструмента. Табл.: 12. Іл.: 2. Бібліогр.:13 назв. На примере решения задачи, поставленной производством, рассморены основные положения многофакторного математического моделирования и многокритериальной компромиссной оптимизации технологического процесса электроэрозионной прошивки отверстий в стали 1Х12СЮ. Приведены найденные оптимальные рекомендации по пяти факторам для двух критериев качества – продуктивности обработки и износа электрод-инструмента. Табл.: 12. Ил.: 2. Библиогр.: 13 назв. On the example of solving task, put by manufacture, the basic rules of multifactor in mathematical modeling and multicriteria of compromised optimization of technological process of electroerosive hole piercing in steel 1Х12СЮ are considered. The found optimum recommendations of five factors for two criteria of quality – efficiency of processing and wearing of the electrode–instrument are listed. Tabl.: 12. Figs.: 2. Refs.: 13 titles.
first_indexed	2025-12-07T18:13:24Z
format	Article
fulltext	186 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 УДК 519.237.5:621.9.048 С.Г. РАДЧЕНКО____________________________________________________________________ БАГАТОФАКТОРНЕ МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА КОМПРОМІСНА ОПТИМІЗАЦІЯ ТЕХНОЛОГІЧНОГО ПРОЦЕСУ ЕЛЕКТРОЕРОЗІЙНОГО ПРОШИТТЯ ОТВОРІВ Вступ Постановка проблеми. Метою цієї роботи є одержання математичних моделей для визначення оптимального поєднання наведених нижче режимних технологічних факторів, за якими на верстаті типу 4Г721М досягається максимальна продуктивність обробки при мінімальному спрацьовуванні електрод-інструмента (ЕІ) під час еле- ктроерозійного прошиття отвору у сталі 1X12CЮ. Аналіз останніх досліджень і публікацій. Дана задача є основною серед проблем підвищення ефективності електроерозійної обробки (ЕЕО). Підвищення продуктивності процесу при малому спрацьовуванні ЕІ досяга- ється при певному оптимальному поєднанні технологічних факторів. Звичайним методом, тобто методом од- нофакторного експерименту, можна визначити вплив на продуктивність тільки окремих факторів [4, 12]. Вра- ховуючи ж всі можливі впливи факторів, необхідно дослідити технологічний процес як багатофакторний при неповному знанні механізму явищ, що відбуваються. Розробка феноменологічної моделі при значній кількості змінних факторів і широкому діапазоні зміни їх значень вельми скрутна. У цьому випадку розв’язання задачі математичного моделювання можливе тільки за допомогою експериментально-статистичного методу [10] та системного підходу [3; 8, с. 57, 66 – 69]. Постановка завдання. У формальному запису постановка задачі має такий вигляд: $y j = ( )ki XXXf ,...,, 21 ; $y j ext= , де $y j – j-та функція мети або критерій якості (залежна змінна, відгук); kXXX ,...,, 21 – фактори (незалежні змінні), що впливають на критерій якості; k – загальна кількість факторів. Змістовну постановку задачі щодо критеріїв якості та досліджуваних факторів здійснено на базі максималь- но доступної інформації про характеристики технологічного процесу електроерозійного прошиття отвору у сталі 1X12CЮ з метою їх математичного моделювання та оптимізації. При цьому бажано мінімізувати кількість дослідів і витрати ресурсів до обґрунтовано допустимих значень. Викладення нової концепції рішення У цьому дослідженні критеріями якості (відгуками, залежними змінними) є: 1y – продуктивність обробки П , мм3/хв, max=П (задача 1); 2y – спрацьовування електроерозійного інструмента J , % min=J (задача 2) Продуктивність П ЕЕО оцінюється об’ємом металу, що видаляється з поверхні, за одиницю виміру часу (мм3/хв) [2]. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 187 Враховуючи те, що площу та глибину отвору, який прошивають, а також діаметр ЕІ у всіх дослідах, що проводять, залишають незмінними, визначення продуктивності ЕЕО фактично зводилося до вимірювання часу обробки деталі на верстаті при рівнях факторів, що задовольняють умови даного досліду. Отже, продуктивність процесу обчислювалася за формулою: tslП /= , мм3/ хв, деП – продуктивність ЕЕО, мм3/хв; s – площа отвору, що прошивають, мм2; l – глибина отвору, що проши- вають, мм; t – час обробки, хв. Спрацьовування (руйнування) ЕІ оцінюють його загальним відносним спрацьовуванням, яке виражають, переважно, у відсотках. Лінійне відносне спрацьовування дорівнює відношенню довжини спрацьованої части- ни ЕІ до глибини отвору, що прошивають: ( )100/ llJ ik∆= , %, де ikl∆ – довжина спрацьованої частини ЕІ, мм; l – глибина отвору, що прошивають, мм. Довжину ЕІ до та після проведення кожного досліду вимірювали мікрометром МК 25-1 ГОСТ 6507-78. При цьому відносна похибка визначення продуктивності ЕЕО склала %1/ ≈ППδ , а відносна похиб- ка визначення спрацьовування %2/ ≈− JJЕI δ . Внаслідок аналізу апріорної інформації, а також потреб виробництва було вирішено досліджувати вплив на критерії якості факторів, наведених у табл. 1. Відповідно до мети та завдань роботи, експериментальним можливостям даного виробництва, а також обраним методам дослідження експеримент доцільно здійснити за планом 35//27, що містить 27 дослідів і є рівномірним планом. Це означає, що рівні будь-якого фактора зустрічаються в плані експерименту однакову для даного фактора кількість разів. Тому значення лінійних і квадратичних контрастів можна обчислити, вихо- дячи із знання рівнів варіювання факторів. ( )12 11 −= Xx , ( )666667,05,1 2 11 −= xz ; ( )2225,0 22 −= Xx , ( )666667,05,1 2 2 2 −= xz ; 333 −= Xx , ( )666667,05,1 2 33 −= xz ; (1) ( )7005,0 44 −= Xx , ( )666667,05,1 2 44 −= xz ; ( )8005,0 55 −= Xx , ( )666667,05,1 2 55 −= xz . Таблиця 1. Натуральні та кодовані значення рівнів варіювання факторів Кодовані теоретичні значення рівнів факторів та ортогональні контрасти Ф а кт о р Назва та натуральні позна- чення факторів Натуральні значення рівнів iX Значення рівнів iX у робочій матриці iF ix iz 0,5 0,5 0 –1,2247448 0,7071067 1,0 1,0 1 0 –1,4142135 1 Тиск рідини, що прокачують, EP , кГс/см2 1,5 1,5 2 1,2247448 0,7071067 18 18 0 –1,2247448 0,7071067 2 Робочий струм у міжелект- родному зазорі EI , A 22 22 1 0 –1,4142135 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 188 188 26 26 2 1,2247448 0,7071067 2 2 0 –1,2247448 0,7071067 3 3 1 0 –1,4142135 3 Частота імпульсів Ef , кГц 4 4 2 1,2247448 0,7071067 50 50 0 –1,2247448 0,7071067 70 70 1 0 –1,4142135 4 Напруга на вібраторі EU , В 90 90 2 1,2247448 0,7071067 60 60 0 –1,2247448 0,7071067 80 80 1 0 –1,4142135 5 Напруга на двигуні подачі електрода-інструмента EW , В 100 100 2 1,2247448 0,7071067 Для багатофакторних регулярних планів може бути запропоновано декілька типів регресійних моделей [1, 9]. Враховуючи, що фактори кількісні, план експерименту відповідає критерію ортогональності та фактори в плані змінюють на декількох ( )3=s рівнях. Доцільно запропонувати факторну модель у вигляді системи ор- тогональних поліномів Чебишева [1, 9]. Для прийнятого багатофакторного плану математичну модель запропоновано у вигляді такого струк- турного виразу: ŷ Дzbxbzbxbzbxbzbxbzbxbb +++++++++++= 5105948473635242312110 , (2) де 1010 ,...,, bbb – оцінки коефіцієнтів регресійної моделі; 521 ,...,, xxx – лінійні функції (ортогона- льні контрасти) натуральних значень факторів 521 ,...,, XXX ; 521 ,...,, zzz – квадратичні функції (ортого- нальні контрасти) значень 521 ,...,, xxx [1, 9]; Д – умовне позначення членів моделі з добутками вищенаве- дених функцій (поліномів) по дві, три і т. д. функції. Ці члени враховують взаємовплив факторів на значення критерію якості (функцію відгуку). За розробленою методикою та, використовуючи програмний засіб “Планування, регресія і аналіз моде- лей” (ПЗ ПРІАМ) [5] із застосуванням персонального комп’ютера (ПК), була cгенерована матриця плану експе- рименту з кодованим позначенням рівнів 0, 1, 2 факторів 51...FF для кожного з дослідів. На основі вищезга- даної матриці була побудована робоча матриця плану експерименту (табл. 2). Таблиця 2. Робоча матриця, рівні варіювання, результати дослідів Фактори Функції Натуральне позначення факторів Натуральне позначення функцій EP EI Ef EU EW П , мм3/хв J , % Кодовані теоретичні зна- чення рівнів варіювання факторів Кодоване позначення факторів та натуральні значення їх рівнів Кодоване позначення функцій 51...FF 1Х 2Х 3Х 4Х 5Х 1y 2y 0 0,5 18 2 50 60 1 1,0 22 3 70 80 Результати повторних дослідів 2 1,5 26 4 90 100 11y 12у 21у 22у Дослід 1 0,5 18 2 50 60 46 47 45 46 2 1,0 18 2 70 80 48 49 49 51 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 189 3 1,5 18 2 90 100 50 52 52 53 4 0,5 22 2 70 100 78 79 46 47 5 1,0 22 2 90 60 81 80 50 51 6 1,5 22 2 50 80 83 85 51 51 7 0,5 26 2 90 80 100 102 47 48 8 1,0 26 2 50 100 102 100 50 49 9 1,5 26 2 70 60 104 107 58 57 10 0,5 18 3 50 60 58 58 50 52 11 1,0 18 3 70 80 59 59 50 52 12 1,5 18 3 90 100 62 64 61 62 13 0,5 22 3 70 100 97 95 52 51 14 1,0 22 3 90 60 98 100 58 57 15 1,5 22 3 50 80 100 101 61 60 16 0,5 26 3 90 80 110 112 49 48 17 1,0 26 3 50 100 113 113 55 57 18 1,5 26 3 70 60 115 115 60 62 19 0,5 18 4 50 60 70 71 52 53 20 1,0 18 4 70 80 71 70 60 62 21 1,5 18 4 90 100 74 76 64 65 22 0,5 22 4 70 100 95 96 55 57 23 1,0 22 4 90 60 96 96 61 62 24 1,5 22 4 50 80 98 97 64 65 25 0,5 26 4 90 80 125 123 50 49 26 1,0 26 4 50 100 127 127 52 53 27 1,5 26 4 70 60 130 131 65 67 За необхідності існує можливість розбити план експерименту на ортогональні блоки, що дає змогу зменшити вплив неоднорідностей на критерії якості, які досліджуються, а також дає змогу їх оцінити кількісно. У цьому дослідженні план експерименту не розбивався на ортогональні блоки, оскільки вплив неоднорідностей був досить незначним. Натуральні значення рівнів факторів (незалежних змінних) iX , їх значення в робочій матриці, кодова- ні значення рівнів факторів iF та відповідні їм значення лінійних ix та квадратичних iz ортогональних конт- растів наведені у табл. 1. Перед таблицею наведені формули (1) переходу від iX до ix , iz , що визначають за допомогою персонального комп’ютера для кожного плану окремо за методикою та програмою, розробленою розробниками [5, 9]. Відповідні нормувальні коефіцієнти введені в коефіцієнти одержаних математичних моде- лей. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 190 190 Попередній аналіз результатів експериментів. Результати повторних дослідів, проведених у номіна- льно однакових умовах, перевірялися на статистичну відтворюваність за G-критерієм Кохрена. При таблрозр GG ≤ для певного рівня значущості α (у нашому випадку ( )05,0=α та числа ступенів вільності v для кожного рядку результатів повторних дослідів і загальної кількості дослідів N гіпотезу про незначущість від- мінності дисперсій різних дослідів не відкидають і вважають, що міра розсіювання результатів повторних дослідів, які відповідають певним рядкам матриці плану експерименту, є однаковою. Для обох задач відмінності дисперсій різних дослідів статистично не значущі, тобто вони є однорідними. Результати перевірки дисперсій дослідів на однорідність, що виконувалась за допомогою ПЗ ПРІАМ, наведено у табл. 3. Детальніше попередній аналіз ре- зультатів дослідів розглянуто у [6, с. 191]. Перевірка рівня впливу «шуму» на результати дослідів. Перед тим як почати будувати математи- чну модель, бажано визначити, чи можливо на основі певних результатів експериментів одержати будь-яку закономірність. Формально це визначають за допомогою F -критерію Фішера. Результати перевірки рівня впливу «шуму» на результати дослідів, що проводилися за допомогою ПЗ ПРІАМ, наведено у табл. 4. Тут 1v – число ступенів вільності відносно загального середнього значення результатів дослідів, 2v – число ступенів вільності для дисперсії відтворення. Детальніше це питання розглянуто у [8, с. 169]. У вищенаведеному випадку як у задачі 1, так і у задачі 2 рівень впливу «шуму» на результати дослідів є незначним, що дає змогу відповісти позитивно на питання про можливість одержати за результатами дослі- дів певні закономірності в обох задачах відповідно. У ПЗ ПРІАМ є можливість виконати такі перетворення матриці незалежних змінних вихідних даних: но- рмування, ортогоналізація та побудова взаємодій. Вони є однаковими як для задачі 1, так і для задачі 2, оскі- льки робоча матриця плану експерименту у них одна. Нормувальні коефіцієнти автоматично враховують у ко- ефіцієнтах одержаного рівняння регресії. Таблиця 3. Результати статистичного аналізу математичних моделей Значення параметрів для мо- делі Параметри статистичного аналізу Умовні по- значки 1ŷ 2ŷ Дисперсія відтворення s y 2 1,09 0,93 Середньоквадратичне відхилення ys 1,05 0,96 Число ступенів вільності для дисперсії відтворення f sy 2 27 27 Розраховане значення G-критерію розрG 0,152 0,08 Табличне значення G-критерію таблG 0,32 0,32 П е р е в ір ка г іп о те зи п р о в ід тв о р ю в а н іс ть р е зу л ь та ті в е кс п е р и м е н ту Рівень значущості α 0,05 0,05 Значення критерію Стьюдента ( )27;05,0 == vα таблt 2,05 2,05 Число обумовленості Cond 1 1,35 Дисперсія адекватності sад 2 0,9839 1,5060 П е р е в ір ка гі п о те зи п р о а д е к- в а тн іс ть о д е р ж а н о ї м а те м а ти - ч н о ї м о д е л і Розраховане значення F -критерію розрF 1,1105 1,6265 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 191 Табличне значення F -критерію таблF 2,0905 1,9736 Число ступенів вільності для адекватності адf 19 20 Рівень значущості α 0,05 0,05 Коефіцієнт множинної кореляції R 0,9994 0,9833 Число ступенів вільності 1v kf 7 6 Число ступенів вільності 2v Rf 46 47 Розраховане значення F -критерію розрF 2269,05 97,50 Табличне значення F -критерію таблF 2,2164 2,2990 Рівень значущості α 0,05 0,05 Значення параметру для критерію Бокса і Веца γ 27 5 А н а л із о д е р ж а н о ї м о д е л і н а ін ф о р м а ти в н іс ть Інформативність моделі дуже висока висока Середня абсолютна похибка апроксимації, % ε y 0,7479 1,6329 Частка розсіювання, пояснювана моделлю Q y$ 0,9988 0,9669 Таблиця 4. Перевірка рівня впливу «шуму» на результати дослідів Задача 1 Дисперсія відносно загального середнього 601,793 Розраховане значення F -критерію 550,794003 Табличне значення F -критерію ( )27;26;05,0 21 === vvα 1,912622 Задача 2 Дисперсія відносно загального середнього 36,6731 Розраховане значення F -критерію 39,606923 Табличне значення F -критерію ( )27;26;05,0 21 === vvα 1,912622 Побудова регресійних моделей. Регресійний аналіз результатів дослідів і перевірку одержаних ма- тематичних моделей виконують за алгоритмом і відповідно до методики, викладеної в [6, 8, 9]. Розрахунок мо- делей здійснювався на ПК з використанням ПЗ ПРІАМ [5]. Як вихідні дані використовувалися нормована мат- риця ортогональних контрастів разом з подвійними і потрійними взаємодіями та результати дослідів. Згідно зі заздалегідь сформульованими критеріями та в результаті перевірок статистичних гіпотез одержано структурні групи ефектів: головних ефектів та взаємодій. Був проаналізований список ефектів – кан- дидатів для включення у структуру математичних моделей до задачі 1 і до задачі 2. Обмеження максимально- го коефіцієнта кореляції між ефектами – 0,4, а мінімального коефіцієнта кореляції ефектів з відгуком – 0,01. Одержані за допомогою ПЗ ПРІАМ моделі наведено в рівняннях (3–4): 3321232321 70,189,228,215,385,456,102780,88 zxzxzzzxxy −++−+++=) , (3) 421521321543312 29,356,275,2331,438,589,54 zzzzxzzxzzxxxxy −+−−++=) . (4) ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 192 192 Статистичні характеристики коефіцієнтів рівняння регресії та мультиколінеарність ефектів до задачі 1 наведено у табл. 5 та 6, а до задачі 2 – у табл. 7 та 8 відповідно. Таблиця 5. Статистичні характеристики коефіцієнтів математичної моделі до задачі 1 Назва регресора Коефіцієнт рівняння регресії Стандартна похибка коефіцієнтів рівняння регресії Розраховане значення критерію Стьюдента розрt Частка участі 2x 27 0,190896 5,74014 0,838647 3x 10,5556 0,190896 2,24409 0,128178 32 zz 4,85185 0,190896 0,631657 0,0101554 2z –3,14815 0,190896 –0,579621 0,00855113 1x 2,27778 0,190896 0,48425 0,00596863 32 xz 2,88889 0,190896 0,434284 0,00480047 3z –1,7037 0,190896 –0,313677 0,00250439 Вільний член 88,7963 Таблиця 6. Мультиколінеарність ефектів до задачі 1 Назва регресора Максимальний коефіцієнт кореляції З яким регресором Коефіцієнт кореляції з відгуком 2x 0 з усіма 0,915777 3x 0 з усіма 0,35802 32 zz 0 з усіма 0,100774 2z 0 з усіма 0,0924723 1x 0 з усіма 0,0772569 32 xz 0 з усіма 0,0692854 3z 0 з усіма 0,0500438 З метою одержання адекватних математичних моделей обмеження мінімальної частки розсіювання для коефіцієнтів моделей було вибране досить малим – 0,001. Тому деякі коефіцієнти моделей під час переві- рки за t -критерієм Стьюдента статистично не значущі. Таблиця 7. Статистичні характеристики коефіцієнтів математичної моделі до задачі 2 Назва регресора Коефіцієнт рівняння регресії Стандартна похибка коефіцієнтів рівняння регресії Розраховане значення критерію Стьюдента розрt Частка участі 1x 5,38125 0,272806 1,40326 0,487808 3x 4,30556 0,241601 0,994325 0,349953 543 zxx –3 0,241601 0,4 0,0566335 321 zxz –2,75 0,241601 0,317543 0,0356909 521 zxz 2,55833 0,253394 0,30983 0,0142586 421 zzz –3,29444 0,31501 0,429543 0,0225979 Вільний член 54,8944 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 193 Таблиця 8. Мультиколінеарність ефектів до задачі 2 Назва регресора Максимальний коефіцієнт кореляції З яким регресором Коефіцієнт кореляції з відгуком 1x 0,288675 521 zxz 0,698433 3x 0 з усіма 0,591569 543 zxx 0 з усіма 0,237978 321 zxz 0 з усіма 0,18892 521 zxz 0,288675 1x 0,343746 421 zzz 0 з усіма 0,259527 Перевірка гіпотези про адекватність одержаної моделі результатам експерименту проводилася за допо- могою F -критерію Фішера. Якщо для моделі таблрозр FF ≤ при визначеному рівні значущості α (у нас 05,0=α ), то модель адекватно відображає результати експерименту. Значення розрF і таблF наведено у табл. 3. Обидві одержані математичні моделі є адекватними. Якість одержаної моделі оцінювалась шляхом визначення множинного коефіцієнта кореляції R і його значущості за F -критерієм. Множинний коефіцієнт кореляції R показує величину статистичного зв'язку між результатами, розра- хованими за рівнянням множинної регресії jŷ і результатами, одержаними в процесі проведення експеримен- ту jy . Якщо коефіцієнт множинної кореляції R досить близький до одиниці та статистично значущий, тобто таблрозр FF > при взятому рівні значущості α , то модель є інформативною і має корисну інформацію про процес, що моделюється. Під час перевірок одержаних моделей за критеріем Бокса і Веца встановлено, що інформативність першої моделі дуже висока, а другої — висока. Аналіз мультиколінеарності введених у математичну модель ефектів показав, що у задачі 1 вони всі ортогональні, а у задачі 2 — майже всі. Число обумовленості інформаційної матриці Фішера (cond) дорівнює 1 в задачі 1 і дорівнює 1,35 у задачі 2. Це підтверджує стійкість структури та оцінок коефіцієнтів одержаних рів- нянь регресії [8, с. 102–103; 167–168]. За допомогою одержаних математичних моделей можна проаналізувати вплив досліджуваних факто- рів на значення функції відгуку (критерію якості). Під час аналізу моделей jŷ необхідно враховувати той факт, що матриця плану експерименту відповідає критерію ортогональності, а ефекти, що увійшли до моде- лей, є ортогональними. Тому знак і величина коефіцієнтів математичної моделі, записаної в кодованому ви- гляді (з використанням ортогональних контрастів як незалежних змінних), вказують на напрямок і силу впливу відповідного ефекту на критерії якості, що моделюють. Такі математичні моделі називають семантичними в інформаційному сенсі. Аналіз залишків. Велике значення для оцінювання одержаних математичних моделей мають графіки залишків. Залишками, згідно з їх визначенням, є різниці між значеннями, обчисленими за допомогою одержаної математичної моделі у експериментальних точках, і середніми значеннями в цих точках, одержаними під час експерименту. За своєю суттю вони є величинами, які не можна пояснити за допомогою одержаного рівняння регресії. Під час регресійного аналізу здійснюються деякі припущення стосовно випадкових похибок, а саме, що вони незалежні, мають нульове середнє значення та дисперсію, яка не змінюється, а також підкоряються нормальному закону розподілу [6; 8, с. 157 – 163]. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 194 194 Якщо одержана модель є правильною, то залишки матимуть тенденцію щодо підтвердження наведе- них вище припущень або хоча б не суперечитимуть їм. У результаті аналізу залишків можемо дійти висновку, що припущення щодо випадкових похибок порушені або ні. У більшості випадків залишки досліджують за до- помогою таких їх основних графіків: 1) загальний графік розподілу залишків; 2) графік залежності залишків від часу, якщо відома послідовність проведення дослідів; 3) графік залежності залишків від значень, розрахованих за математичною моделлю в точках фактор- ного простору, в яких здійснювалися досліди. Якщо в результаті аналізу виявлено порушення в графіках залишків, то це може означати, що насправді порушені припущення регресійного аналізу або неправильно вибрано часткову структуру рівняння математичної моделі. На основі аналізу вказаних графіків можна стверджувати, що залишки підкоряються нормальному або наближеному до нього закону розподілу, що свідчить на користь якості одержаних моделей. Залишки незалеж- ні від часу проведення дослідів; функціональний зв’язок між залишками та величиною відгуку відсутній. Використовуючи одержані моделі jŷ , можна суто математичними методами знайти найвигідніше по- єднання змінних факторів (у межах проведених досліджень), що дає змогу оптимізувати процес або керувати ним. Багатокритеріальна оптимізація за результатами досліджень. Розв’язанням задач оптимізації складних технологічних і технічних систем притаманна істотна специфіка, зумовлена прикладною спрямовані- стю одержаних розв’язків; відсутністю інформації про механізми явищ або процесів, що відбуваються в систе- мі; значною кількістю показників якості (критеріїв оптимальності) і факторів, які беруть участь в оптимізації та моделюванні; випадковим характером зміни критеріїв оптимальності та деяких факторів. Раніше були вибрані критерії якості 21 , yy . Якщо задають кількість критеріїв оптимізації більше ніж один, то їх спільні значення вибирають, вико- ристовуючи принцип компромісу за Парето [7, 11]: [ ] [ min,...,, 121 == yYxxxY k ; max2 =y ; ] optyyy =≤≤ ,...max33min3 , де Y – узагальнений критерій оптимальності об'єкта оптимізації, одержаний шляхом використання принципу компромісу за Парето. Ідея компромісу за Парето полягає в пошуку таких умов функціонування системи, за якими узагальне- ний критерій оптимальності її досягає екстремального значення. Узагальнений критерій оптимальності [ ] extryyyfY nстстст == ,...,, 21 , де nстстст yyy ,...,, 21 – стандартизовані значення критеріїв якості. Останні можна визначити за формулою: [ ] [ ]min1max1 min11 1 yy yy y u ст − − = , де uy1 – значення функції відгуку при u-м поєднанні умов функціонування системи; min1y – мінімальне з усіх результатів значення l-ої функції відгуку; max1y – максимальне з усіх результатів значення l-ої функції відгуку. Легко довести, що 10 1 ≤≤ стy . Отже, будь-яку функцію відгуку зводять до сегмента [0, 1] і виража- ють стандартизованим значенням стy1 у просторі функцій відгуків. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 195 Цей простір являє собою куб розмірності n , ребра якого складають стандартизовані значення крите- ріїв якості як система ортогональних координат. Кожне ребро куба є одним із значень 10 1 ≤≤ стy . За опти- мальне значення optY = беруть таку точку Nu ≤≤1 з простору функцій відгуків, яка буде найближчою до ідеальної комбінації значень цих відгуків. Враховуючи, що в загальному випадку до відгуків ставлять вимоги екстремальності, тобто відповід- ність відгуку максимуму або мінімуму, ідеальному поєднанню вимог буде відповідати одна з вершин куба, що розглядають, для якої ці вимоги виконуються. Компроміс за Парето виконуватиметься для такої точки, відстань від якої до зазначеної вершини буде мінімальною. У зв’язку з тим, що в нашій задачі проводимо багатокритеріальну оптимізацію тільки за двома критері- ями якості (спрацьовування ЕІ та продуктивність П), можемо виконати графічний аналіз одержаних результатів та графічно визначити точку оптимуму. У табл. 9 наведено результати експериментів у натуральних та нормо- ваних значеннях [0, 1]. Таблиця 9. Результати проведених експериментів у натуральних та нормованих значеннях і значення узагаль- неного критерію якості Номер досліду 1y 2y 1y норм 2y норм D1 D2 yузаг 1 46,5 45,5 0 0 0 1 0,50 2 48,5 50,0 0,024 0,220 0,02 0,78 0,50 3 51,0 52,5 0,054 0,341 0,05 0,66 0,50 4 78,5 46,5 0,381 0,049 0,38 0,95 0,31 5 80,5 50,5 0,405 0,244 0,40 0,76 0,32 6 84,0 51,0 0,446 0,268 0,45 0,73 0,31 7 101,0 47,5 0,649 0,098 0,65 0,90 0,18 8 101,0 49,5 0,649 0,195 0,65 0,80 0,20 9 105,5 57,5 0,702 0,585 0,70 0,41 0,33 10 58,0 51,0 0,137 0,268 0,14 0,73 0,45 11 59,0 51,0 0,149 0,268 0,15 0,73 0,45 12 63,0 61,5 0,196 0,780 0,20 0,22 0,56 13 96,0 50,5 0,589 0,244 0,59 0,76 0,24 14 99,0 57,5 0,625 0,585 0,63 0,41 0,35 15 100,5 60,5 0,643 0,732 0,64 0,27 0,41 16 111,0 48,5 0,768 0,146 0,77 0,85 0,14 17 113,0 56,0 0,792 0,512 0,79 0,49 0,28 18 115,0 61,0 0,815 0,756 0,82 0,24 0,39 19 70,5 52,5 0,286 0,341 0,29 0,66 0,40 20 70,5 61,0 0,286 0,756 0,29 0,24 0,52 21 75,0 64,5 0,339 0,927 0,34 0,07 0,57 22 95,5 56,0 0,583 0,512 0,58 0,49 0,33 23 96,0 61,5 0,589 0,780 0,59 0,22 0,44 24 97,5 64,5 0,607 0,927 0,61 0,07 0,50 25 124,0 49,5 0,923 0,195 0,92 0,80 0,10 26 127,0 52,5 0,958 0,341 0,96 0,66 0,17 27 130,5 66,0 1,000 1,000 1,000 0 0,50 Мінімальне значення 46,5 45,5 Максимальне значення 130,5 66,0 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 196 196 На рис. 1 показана множина точок ( )27=N в просторі параметрів норм y1 – продуктивність обробки ( )max=П , норм y2 – спрацьовування електрод-інструмента ( )min=J . Найкращий компромісний результат (компроміс за Парето [7]) позначений хрестиком і відповідає до- сліду № 25 у табл. 9 (позначений жирним шрифтом). Ця точка з координатами 923,01 = норм y , 195,02 = норм y найближча до ідеальної точки з координатами 11 = норм y , 02 = норм y . 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Рис. 1. Множина (N=27) точок у просторі параметрів норм y1 – продуктивність обробки, норм y2 – знос електрод-інструмента Пошук оптимального значення за результатами експерименту. У випадку, якщо у нас більше, ніж два критерія якості, за якими проводимо багатокритеріальну компромісну оптимізацію, дуже важко визначити оптимальну точку за допомогою графоаналітичного методу. Тоді будується цільова функція, яка має вигляд: ∑ = ×−= m j jjrr WDy 1 22 узаг ,]1[ де узагry – значення узагальненої цільової функції для r-го досліду експерименту, яка у випадку пошуку опти- муму прагне до 0 ( )0→узагry і є оцінкою близькості цієї точки до гіпотетичного оптимального значення, що 1y норм 2y норм ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 197 дорівнює 1; jrD – зведене до інтервалу 0...1 значення j-го відгуку (критерію якості) у r–му досліді експеримен- ту, залежно від обраної для певного критерію якості мети це значення обчислюють за різними формулами; jW – вага j-го критерію якості (відгуку); m – кількість критеріїв якості (відгуків). Значення jrD обчислюють за допомогою таких формул: а) метою j-го критерію якості (відгуку) є МАКСИМУМ minmax max 1 jj jrj jr yy yy D − − −= , де maxjy і minjy — відповідно максимальне та мінімальне значення j-го критерію якості (відгуку) серед N до- слідів (пробних точок); б) метою j-го критерію якості (відгуку) є МІНІМУМ minmax min 1 jj jrj jr yy yy D − − += ; в) метою j-го критерію якості (відгуку) є ІНТЕРВАЛ нгвг вгнг нгвг c ],[ 0 21 jjrjjr jjjr jj jrj jr yyабоyyпри yyyпри yy yy D <> ∈           − − −= , де jНГy і jВГy – відповідно нижні та верхні межі заданого інтервалу; jcy - середина заданого інтервалу для j-го критерію якості (відгуку). Результати розрахунку узагальненого критерію якості наведено в табл. 9. Із таблиці видно, що найменше значення (0,10) узагальненого критерію якості відповідає 25 досліду, в якому реалізовані параметри і є оптима- льними. Це значення узагальненого критерію якості є, по суті, відстанню точки факторного простору, що відпові- дає 25 досліду, до гіпотетичної найкращої точки. Отже, у нашому випадку згідно з одержаними експериментальними даними, оптимальне поєднання зна- чень рівнів факторів, що впливають на критерії якості, які досліджуються, є таким: 2 1 /5,0 смкГсPX E == ; AIX E 262 == ; кГцfX E 43 == ; BUX E 904 == ; BWX E 805 == . При такому поєднанні рівнів факторів середнє значення за результатами повторних дослідів продук- тивності ЕЕО складало хвммП /124 3= , а спрацьовування %5,49=− JЕІ . У деяких випадках обчислюють ефективність одержаного оптимального значення за формулою узагефект yy −= 1 . Ефективність знайденої оптимальної точки у нашому випадку дорівнює 0,9. Це досить добре, якщо враховувати, що найкраще теоретичне значення ефективності дорівнює 1. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 198 198 Пошук оптимального значення за математичними моделями. Під час розв'язання реальної при- кладної задачі провести натурний експеримент у всіх точках факторного простору не завжди можна, бо є об- меження в ресурсах і часі. У зв’язку з цим для пошуку найоптимальнішої точки на основі експериментальних даних будують багатофакторні математичні моделі критеріїв якості та проводять багатокритеріальну компромі- сну оптимізацію (за Парето) за цими моделями. При оптимізації моделей найчастіше використовують алгоритм випадкового пошуку на основі ЛПτ рів- номірно розподілених випадкових точок. Алгоритм пошуку оптимальної точки у факторному просторі виглядає таким чином. Крок 1. Генерація випадкових ЛПτ рівномірно розподілених точок у одиничному гіперкубі. Кількість то- чок, що генеруються, вибирають на базі наступної формули [13]: , 1 )1ln( опт опт G P N − − = де ΟΠΤP – ймовірність виявлення оптимуму, а ΟΠΤG – частка простору, в якій знаходиться оптимум. При цьо- му робимо припущення (яке перевірене під час розв’язання реальних задач), що в загальному випадку із зрос- танням вимірності простору пошуку ΟΠΤG зменшується. Значення ΟΠΤG для реальних задач обирає фахівець на основі аналізу розв’язуваної задачі. Крок 2. Формування матриці пробних точок у натуральних значеннях на основі одержаної на кроці 1 даного алгоритму матриці ЛПτ рівномірно розподілених випадкових точок згідно з формулами, наведеними в [11]. Крок 3. Розрахунок значень критеріїв якості за моделями на основі одержаної на кроці 2 цього алгори- тму матриці натуральних значень. Крок 4. Розрахунок узагальненого критерію якості узагy . Крок 5. Пошук найменшого значення обчисленого у кожній пробній точці узагальненого критерію якос- ті, якому відповідає максимальне значення ефектy . Точка факторного простору, якій відповідає найменше значення узагальненого критерію якості, є оптимальною, а відповідний рядок з матриці натуральних значень є оптимальними значеннями параметрів (факторів), що впливають (у нашому випадку) на технологічний процес. У зв’язку з тим, що одержання математичних моделей критеріїв якості, а також розрахунок за цими моделями значень критеріїв якості у пробних точках є трудомістким, для цієї мети використовують ПЗ ПРІАМ. Умови пошуку оптимуму наведено у табл. 10, а результати – у табл. 11, 12. Таблиця 10. Мета, вагові коефіцієнти та обмеження критеріїв якості (відгуків) Ім’я критерію якості Мета Вага jy ) Обмеження 1y ) МАКСИМУМ 0,5 — 2y ) МІНІМУМ 0,5 — Таблиця 11. Узагальнена таблиця результатів (за моделями) Позначення точок 1-ша точка 2-га точка 3-тя точка Ефективність yефект 0,873564 0,832543 0,819379 Значення критеріїв якості (відгуків) у оптимальних точках 1y ) 106,782 106,170 114,856 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 199 2y ) 45,145 49,047 51,498 Фактори та їх значення в оптимальних точках EP EI Ef EU EW 0,503906 25,9688 2,61719 72,9688 82,0313 0,601563 24,5625 2,73438 51,5625 87,8125 0,5625 25,5 3,375 62,5 67,5 Таблиця 12. Мінімальні та максимальні значення критеріїв якості, що розраховані за моделями Значення критерію якості Ім’я критерію якості Мінімум Максимум 1y ) 50,413 125,783 2y ) 44,743 65,161 Здійснена ПЗ ПРІАМ графічна інтерпретація близькості одержаних оптимальних значень критеріїв якості до гіпотетичних найкращих оптимумів у нормованих одиницях для максимуму і мінімуму наведено на рис. 2. На рисунку чітко видно, що в компромісній найкращій точці продуктивність праці (П) приблизно на 25 % менша найкращої, яка можлива за даних умов (П має бути максимальною, тобто в нормованих одиницях дорі- внювати 1). Що стосується спрацьовування ЕІ (J), то у цій же точці воно більше наймінімальнішого значення (спрацьовування ЕІ має бути мінімальним і прагнути досягти нуля у нормованих одиницях) приблизно на 2 %. Тут слушно зауважити, що у випадку призначення критеріям якості інших вагових коефіцієнтів буде одержано іншу компромісну оптимальну точку. Рис. 2. Відносні значення критеріїв якості в оптимальній компромісній точці при багатокритеріальній оптимізації за моделями Таким чином, у результаті проведеної з використанням одержаних математичних моделей багатокрите- ріальної (компроміс за Парето) оптимізації було знайдено найоптимальніше поєднання рівнів факторів, що впли- вають на критерії якості: ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 200 200 2 1 /504,0 смкГсPX E == ; AIX E 969,252 == ; кГцfX E 617,23 == ; BUX E 969,724 == ; BWX E 031,825 == . При цьому критерії якості дорівнюють: хвммбПy /782106 3 1 ==) , %145,452 == Jy ) . Одер- жаний режим був перевірений у виробничих умовах і може бути рекомендований для прошиття отвору у сталі 1Х12СЮ на верстаті 4Г721М. Висновки і перспективи подальшого розвитку 1. Викладено системний підхід в інформаційному забезпеченні розробки технологічних процесів шляхом отри- мання багатофакторних статистичних моделей і багатокритеріальної компромісної оптимізації. 2. Отримані математичні моделі дозволяють встановити причинні, структурні та кількісні зв’язки між вихідним комплексом технічних умов реалізації технологічного процесу і групою критеріїв якості виробу, що виготовля- ють. Моделі відповідають критерію семантичності в інформаційному сенсі, їх можна використовувати для про- гнозу, оптимізації, вивчення механізмів явищ, котрі відбуваються. 3. Багатокритеріальна (компроміс за Парето) оптимізація дає змогу одержати найдоцільніші об’єктивно можли- ві технологічні, технічні, економічні та інші критерії якості технологічних систем або продукції, яку вони вироб- ляють. 4. Запропоновану інформаційну технологію, алгоритмічне та програмне забезпечення можна використовувати для вдосконалення технічних, вимірювальних, матеріалознавчих та інших складних систем. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 1. Бродский В.З. Введение в факторное планирование эксперимента. – М.: Наука, 1976. – 224 с. 2. Глазков А.В. Размерная электрическая обработка металлов: Учебное пособие для студентов вузов. – М.: Высшая школа, 1978. – 336 c. 3. Дружинин В.В., Конторов Д.С. Системотехника. – M.: Радио и связь, 1985. – 200 c. 4. Золотых Б.И. Основные вопросы теории электрической эрозии в импульсном разряде в жидкой диэлектрической среде: Автореф. дис. ... д-ра. техн. наук / Моск. ин-т электрон. машиностроения. – М.: МИЭМ, 1968. 5. Планирование, регрессия и анализ моделей PRIAM (ПРИАМ). SCMC–90; 325, 660, 668 // Каталог. Программные продукты Украины. Catalog. Software of Ukraine. – К.: СП "Текнор", 1993. – C. 24 – 27. 6. Лапач С.Н., Чубенко А.В., Бабич П.Н. Статистические методы в медико-биологических исследованиях с использованием Excel. – К.: МОРИОН, 2000. – 320 с. 7. Подиновский В.Д., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. – М.: Наука, 1982. – 256 с. 8. Радченко С.Г. Математическое моделирование технологических процессов в машиностроении. – К.: ЗАО “Укрспецмон- тажпроект”, 1998. – 274 с. 9. Радченко С.Г., Добрянский С.С. Методические рекомендации по самостоятельному изучению дисциплины “Основы науч- ных исследований и технического творчества”, “Оптимизация и моделирование технологических процессов и объектов в машиностроении” для студентов специальности “Технология машиностроения, металлорежущие станки и инструменты” и слушателей ФПК. – К.: КПИ, 1987. – 68 c. 10. Радченко С.Г., Добрянский С.С., Приходько В.П. Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине “Основы научных исследований и технического творчества” для студентов специальности “Технология машиностроения, металлорежущие станки и инструменты”. – К.: КПИ, 1984. – 35 c. 11. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. – M.: Наука, 1981. – 111 c. 12. Фотеев Н.К. Технология электроэрозионной обработки. – М.: Машиностроение, 1980. – 184 c. 13. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ: Практ. руководство: Пер. с англ. – М.: Мир, 1982.– 238 с. 186 ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-740
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-9763
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T18:13:24Z
publishDate	2003
publisher	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
record_format	dspace
spelling	Радченко, С.Г. 2008-06-24T13:49:22Z 2008-06-24T13:49:22Z 2003 Багатофакторне математичне моделювання та компромісна оптимізація технологічного процесу електроерозійного прошиття отворів / Радченко С.Г. // Математичні машини і системи. – 2003. – № 3, 4. – С. 186 – 200. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/740 519.237.5:621.9.048 На прикладі рішення задачі, котра була поставлена виробництвом, розглянуті основні положення багатофакторного математичного моделювання та багатокритеріальної компромісної оптимізації технологічного процесу електроерозійного прошиття отворів в сталі 1Х12СЮ. Наведені знайдені оптимальні рекомендації по п’яти факторам для двох критеріїв якості – продуктивності обробки та спрацьовування електрод-інструмента. Табл.: 12. Іл.: 2. Бібліогр.:13 назв. На примере решения задачи, поставленной производством, рассморены основные положения многофакторного математического моделирования и многокритериальной компромиссной оптимизации технологического процесса электроэрозионной прошивки отверстий в стали 1Х12СЮ. Приведены найденные оптимальные рекомендации по пяти факторам для двух критериев качества – продуктивности обработки и износа электрод-инструмента. Табл.: 12. Ил.: 2. Библиогр.: 13 назв. On the example of solving task, put by manufacture, the basic rules of multifactor in mathematical modeling and multicriteria of compromised optimization of technological process of electroerosive hole piercing in steel 1Х12СЮ are considered. The found optimum recommendations of five factors for two criteria of quality – efficiency of processing and wearing of the electrode–instrument are listed. Tabl.: 12. Figs.: 2. Refs.: 13 titles. uk Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Програмно-технічні комплекси Багатофакторне математичне моделювання та компромісна оптимізація технологічного процесу електроерозійного прошиття отворів Многофакторное математическое моделирование и компромиссная оптимизация технологического процесса электроэрозионной прошивки отверстий Multifactor mathematical modeling and compromise optimization of technological process of electroerosive hole piercing Article published earlier
spellingShingle	Багатофакторне математичне моделювання та компромісна оптимізація технологічного процесу електроерозійного прошиття отворів Радченко, С.Г. Програмно-технічні комплекси
title	Багатофакторне математичне моделювання та компромісна оптимізація технологічного процесу електроерозійного прошиття отворів
title_alt	Многофакторное математическое моделирование и компромиссная оптимизация технологического процесса электроэрозионной прошивки отверстий Multifactor mathematical modeling and compromise optimization of technological process of electroerosive hole piercing
title_full	Багатофакторне математичне моделювання та компромісна оптимізація технологічного процесу електроерозійного прошиття отворів
title_fullStr	Багатофакторне математичне моделювання та компромісна оптимізація технологічного процесу електроерозійного прошиття отворів
title_full_unstemmed	Багатофакторне математичне моделювання та компромісна оптимізація технологічного процесу електроерозійного прошиття отворів
title_short	Багатофакторне математичне моделювання та компромісна оптимізація технологічного процесу електроерозійного прошиття отворів
title_sort	багатофакторне математичне моделювання та компромісна оптимізація технологічного процесу електроерозійного прошиття отворів
topic	Програмно-технічні комплекси
topic_facet	Програмно-технічні комплекси
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/740
work_keys_str_mv	AT radčenkosg bagatofaktornematematičnemodelûvannâtakompromísnaoptimízacíâtehnologíčnogoprocesuelektroerozíinogoprošittâotvorív AT radčenkosg mnogofaktornoematematičeskoemodelirovanieikompromissnaâoptimizaciâtehnologičeskogoprocessaélektroérozionnoiprošivkiotverstii AT radčenkosg multifactormathematicalmodelingandcompromiseoptimizationoftechnologicalprocessofelectroerosiveholepiercing

Багатофакторне математичне моделювання та компромісна оптимізація технологічного процесу електроерозійного прошиття отворів

Репозитарії

Схожі ресурси