Математичне моделювання процесів ферментативного гідролізу

У статті наводяться математичні моделі гідролізу целюлози і крохмалю у вигляді лінійної системи диференціальних рівнянь першого порядку, знаходяться їх розв’язки (точний і наближений) і проводиться дослідження. Табл.: 1. Іл.: 2. Бібліогр.: 11 назв. В статье приводятся математические модел...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2003
Hauptverfasser:	Алєксєєва, І.В., Зінькевич, О.П., Клименко, Р.К., Михайленко, Т.Т., Недашківська, О.Д.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України 2003
Schlagworte:	Програмно-технічні комплекси
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/741
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Математичне моделювання процесів ферментативного гідролізу / Алєксєєва І.В., Зінькевич О.П., Клименко Р.К., Михайленко Т.Т., Недашківська О.Д. // Математичні машини і системи. – 2003. – № 3, 4. – С. 219 – 225.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-741
record_format	dspace
spelling	Алєксєєва, І.В. Зінькевич, О.П. Клименко, Р.К. Михайленко, Т.Т. Недашківська, О.Д. 2008-06-24T13:49:59Z 2008-06-24T13:49:59Z 2003 Математичне моделювання процесів ферментативного гідролізу / Алєксєєва І.В., Зінькевич О.П., Клименко Р.К., Михайленко Т.Т., Недашківська О.Д. // Математичні машини і системи. – 2003. – № 3, 4. – С. 219 – 225. 1028-9763 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/741 532 У статті наводяться математичні моделі гідролізу целюлози і крохмалю у вигляді лінійної системи диференціальних рівнянь першого порядку, знаходяться їх розв’язки (точний і наближений) і проводиться дослідження. Табл.: 1. Іл.: 2. Бібліогр.: 11 назв. В статье приводятся математические модели гидролиза целлюлозы и крахмала в виде линейной системы дифференциальных уравнений первого порядка, находятся их решения (точный и приближенный) и проводятся исследования. Табл.: 1. Ил.: 2. Библиогр.: 11 назв. There are given in the paper the mathematical models of hydrolysis of cellulose and starch as a linlar system of differential equations of the first order, their decisions (correct and approximate) are found and searching are performed. Tabl.: 1. Figs.: 2. Refs.: 11 titles uk Інститут проблем математичних машин і систем НАН України Програмно-технічні комплекси Математичне моделювання процесів ферментативного гідролізу Математическое моделирование процессов ферментативного гидролиза Mathematical modelling of the ferment hydrolysis processes Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Математичне моделювання процесів ферментативного гідролізу
spellingShingle	Математичне моделювання процесів ферментативного гідролізу Алєксєєва, І.В. Зінькевич, О.П. Клименко, Р.К. Михайленко, Т.Т. Недашківська, О.Д. Програмно-технічні комплекси
title_short	Математичне моделювання процесів ферментативного гідролізу
title_full	Математичне моделювання процесів ферментативного гідролізу
title_fullStr	Математичне моделювання процесів ферментативного гідролізу
title_full_unstemmed	Математичне моделювання процесів ферментативного гідролізу
title_sort	математичне моделювання процесів ферментативного гідролізу
author	Алєксєєва, І.В. Зінькевич, О.П. Клименко, Р.К. Михайленко, Т.Т. Недашківська, О.Д.
author_facet	Алєксєєва, І.В. Зінькевич, О.П. Клименко, Р.К. Михайленко, Т.Т. Недашківська, О.Д.
topic	Програмно-технічні комплекси
topic_facet	Програмно-технічні комплекси
publishDate	2003
language	Ukrainian
publisher	Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
format	Article
title_alt	Математическое моделирование процессов ферментативного гидролиза Mathematical modelling of the ferment hydrolysis processes
description	У статті наводяться математичні моделі гідролізу целюлози і крохмалю у вигляді лінійної системи диференціальних рівнянь першого порядку, знаходяться їх розв’язки (точний і наближений) і проводиться дослідження. Табл.: 1. Іл.: 2. Бібліогр.: 11 назв. В статье приводятся математические модели гидролиза целлюлозы и крахмала в виде линейной системы дифференциальных уравнений первого порядка, находятся их решения (точный и приближенный) и проводятся исследования. Табл.: 1. Ил.: 2. Библиогр.: 11 назв. There are given in the paper the mathematical models of hydrolysis of cellulose and starch as a linlar system of differential equations of the first order, their decisions (correct and approximate) are found and searching are performed. Tabl.: 1. Figs.: 2. Refs.: 11 titles
issn	1028-9763
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/741
citation_txt	Математичне моделювання процесів ферментативного гідролізу / Алєксєєва І.В., Зінькевич О.П., Клименко Р.К., Михайленко Т.Т., Недашківська О.Д. // Математичні машини і системи. – 2003. – № 3, 4. – С. 219 – 225.
work_keys_str_mv	AT alêksêêvaív matematičnemodelûvannâprocesívfermentativnogogídrolízu AT zínʹkevičop matematičnemodelûvannâprocesívfermentativnogogídrolízu AT klimenkork matematičnemodelûvannâprocesívfermentativnogogídrolízu AT mihailenkott matematičnemodelûvannâprocesívfermentativnogogídrolízu AT nedaškívsʹkaod matematičnemodelûvannâprocesívfermentativnogogídrolízu AT alêksêêvaív matematičeskoemodelirovanieprocessovfermentativnogogidroliza AT zínʹkevičop matematičeskoemodelirovanieprocessovfermentativnogogidroliza AT klimenkork matematičeskoemodelirovanieprocessovfermentativnogogidroliza AT mihailenkott matematičeskoemodelirovanieprocessovfermentativnogogidroliza AT nedaškívsʹkaod matematičeskoemodelirovanieprocessovfermentativnogogidroliza AT alêksêêvaív mathematicalmodellingofthefermenthydrolysisprocesses AT zínʹkevičop mathematicalmodellingofthefermenthydrolysisprocesses AT klimenkork mathematicalmodellingofthefermenthydrolysisprocesses AT mihailenkott mathematicalmodellingofthefermenthydrolysisprocesses AT nedaškívsʹkaod mathematicalmodellingofthefermenthydrolysisprocesses
first_indexed	2025-11-25T23:32:38Z
last_indexed	2025-11-25T23:32:38Z
_version_	1850582936098701312
fulltext	ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 219 УДК 532 І.В. АЛЄКСЄЄВА, О.П. ЗІНЬКЕВИЧ, Р.К. КЛИМЕНКО, Т.Т. МИХАЙЛЕНКО, О.Д. НЕДАШКІВСЬКА МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ ФЕРМЕНТАТИВНОГО ГІДРОЛІЗУ Вступ Хімічні процеси в харчовій промисловості відбуваються при очищенні соків; освітленні цукрових сиропів, вина, соків; гідрогенізації жирів; рафінуванні рослинної олії; гідролізі крохмалів; очищенні стічних вод тощо. Хімічна кінетика вивчає закономірності протікання хімічних процесів з часом та вплив різних умов на хімічні перетворення. Застосування методів математичного моделювання та їх аналіз значно полегшує і прискорює вивчення кінетики хімічних процесів. Математичне моделювання та оптимізація технологічних процесів досить розвинена в хімічній технології. Про це свідчать численні публікації, наприклад, [1–5]. Механізм же ферментативних реакцій набагато складніший, а тому складання ефективних математичних моделей цих процесів та їх дослідження є актуальним, хоча і пов’язано з певними труднощами. Вірно вибрана і достатньо точна математична модель є надійним інструментом для оптимізації технологічних процесів. Для постановки і розв’язання задачі оптимізації у кожному конкретному випадку, крім математичної моделі об’єкту та критерію оптимальності, важливе значення має розробка алгоритму розв’язання та аналізу математичної моделі. В даній роботі розглядаються математичні моделі процесів хімічного та ферментативного гідролізу, алгоритми їх розв’язання і досліджуються розв’язки с точки зору їх оптимальності. 1. Математична модель процесу гідролізу целюлози В [7] наводиться математична модель кінетики процесу гідролізу целюлози. Основною метою дослідження вказаного процесу є визначення його тривалості для встановлення максимально можливої концентрації глюкози, тобто моменту отримання біологічно доброякісного розчину, який містить цукор для утворення з нього біомаси. У процесі гідролізу целюлози утворюються також інгібітори – речовини, що сповільнюють процес утворення продукту – глюкози. Тому дуже важливо встановити час, коли в розчині накопичиться максимальна кількість простих цукрів. Для складання математичної моделі процесу скористаємося законом формальної хімічної кінетики, розглянувши рівняння [7] ( С6Н10О5 )n + (n-1) H2O → nC6H12O6. (1) Оскільки степінь полімеризації дуже велика і для целюлози складає 1500–10000 одиниць, то будемо вважати, що ( ) nn ≈−1 . У цьому випадку рівняння (1) можна записати у вигляді С6Н10О5 + H2O → 1K nC6H12O6. Одночасно з перетворенням целюлози відбувається реакція розпаду моносахаридів, що приводить до утворення інгібітора – оксиметилфурфуролу. Таким чином, у загальному випадку процес утворення глюкози у процесі гідролізу целюлози проходить за такою схемою: С6Н10О5 + H2O → 1K C6H12O6 → 2K C6H12O8→ C5H8O3 + HCOOH, (2) де 21 ,kk – сталі швидкості гідролізу целюлози та розпаду глюкози відповідно. Отже, у даному випадку маємо послідовну реакцію першого порядку, хоча і біомолекулярну (концентрація води дорівнює нулю), за типом: ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 220 Целюлоза Глюкоза Інгібітор А → 1K В → 2K С Рис. 1. Схема процесу гідролізу целюлози В диференціальній формі кінетичні рівняння цього процесу мають вигляд         = −= −= B C BA B A A Ck dt dC CkCk dt dC Ck dt dC 2 21 1 або         = −= −= B C BA B A A Gk dt dG GkGk dt dG Gk dt dG 2 21 1 , (3) де СА, СВ, СС – концентрації субстрату, продукту та інгібітора (в молекулярних долях або %); GA, GB, GC – маса компонентів А, В, С (кг). Таким чином, загальний процес гідролізу целюлози описується системою трьох звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Цю систему за відомих початкових умов можна розв’язати в загальному вигляді. Нехай в початковий момент, тобто при 0=t , кількість целюлози дорівнює GA0 , глюкози 0 0 =GB , а оксиметилфурфуролу – 0 0 =GC . Враховуючи, що перше рівняння можна розв’язати окремо, відокремивши змінні, знаходимо його загальний розв’язок tk A CetG 1)( −= , який вказує на те, як зменшується кількість целюлози в залежності від часу. Використаємо початкову умову 0 )( AA GtG = , знаходимо частинний розв’язок: ( ) tk AA eGtG 1 0 −= . (4) Підставимо (4) у друге рівняння: B tk A B GkeGk dt dG 21 1 0 −= − . Привівши його до вигляду tk AB B eGkGk dt dG 1 012 −=+ , переконуємося, що це лінійне диференціальне рівняння першого порядку. Розв’язавши це рівняння, знаходимо його загальний розв’язок: ( ) tktkA B Cee kk Gk tG 210 12 1 −− + − = , а далі, з урахуванням початкової умови 0 0 =GB , частинний розв’язок: ( ) ( )tktkA B ee kk Gk tG 210 12 1 −− − − = , (5) який характеризує закон утворення глюкози в залежності від часу. ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 221 Закон утворення з глюкози інгібітора-оксиметилфурфуролу отримаємо, розв’язавши третє рівняння системи (3) і підставивши у нього )( 0 tGB з рівності (5). Загальний розв’язок отриманого рівняння має вигляд ( ) Ce k e kkk Gkk tG tktkA C +      − − = −− 210 1212 12 11 , а підставивши початкову умову 0)0( 0 =GC , знайдемо частинний розв’язок: ( ) 0 120 1212 12 11 A tktkA C Ge k e kkk Gkk tG +      − − = −− . (6) Дослідимо розв’язки )(tG A , )(tGB та )(tGC при ∞→t . ( ) 0limlim 1̀ 0 == − ∞→∞→ tk A eAtG tt ; ( ) ( ) ; 0limlim 210 12 1 =− − = −− ∞→∞→ tktkA B ee kk Gk tG tt ( ) . 11 limlim 00 120 1212 12 AA tktkA C GGe k e kkk Gkk tG tt =       +      − − = −− ∞→∞→ Отже, ці дослідження показують, що асимптотично у процесі гідролізу целюлози концентрація інгібітора з часом збільшується, а тому дуже важливо в реальному процесі встановити час, коли в розчині буде максимальна концентрація глюкози. Дослідимо )(tGB з рівності (5) на екстремум. Покладемо 0= dt dGB . З рівності ( ) 02101 0 12 12 1 =− − − −−− tktkAtk A ee kk Gkk eGk знайдемо 12 12 lnln kk kk t − −= , а далі, підставивши його в (5), знайдемо                 −      − = −− 21 2 21 1 0 1 2 1 2 12 1 max kk k kk k A B k k k k kk Gk G . Розглянемо приклад розрахунку оптимального часу реакції і обчислимо максимальну кількість глюкози. Приклад. При густині загрузки 135 кг/м3 абсолютно сухих речовин в апараті об’ємом 18 м3 процес гідролізу ведуть при температурі 168°С і концентрації кисню 1 %. Розв’язання. Кількість речовини, що вміщається в апарат, складає 18•135=2430 (кг), а кількість целюлози (40 % маси) –2430•0,4 ≈ 1000(кг). В початковий момент (при ( )0=t кількість целюлози дорівнює 1000кг ( 0AG =1000), глюкози 0 0 =BG , а оксиметилфурфуролу – 0 0 =CG . З відповідних таблиць [7] при заданому режимі гідролізу целюлози сталі швидкості гідролізу і розкладу моносахаридів дорівнюють відповідно г k г k 1648,0,1596,0 21 == . Тобто, реакція відбувається за схемою ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 222 G 0А =1000 кг  → = г K 1596,01 GB  → = г K 1648,02 GС. Тоді даний процес, згідно з рівностями (3), описується системою диференціальних рівнянь першого порядку з заданими початковими умовами (задачею Коші):         = −= −= B C BA B A A G dt dG GG dt dG G dt dG 648,0 648,0596,0 596,0 .0/ 0/ 1000/ 0 0 0 0 0 0 == == == = = = CtC BtB AtA GG GG GG (7) Розв’язавши задачу Коші (7), знаходимо її розв’язок за формулами (4) – (6). ( ) ( ) ( ) ( )     −+= −= = −− −− − .48,1247769,114371000 ,538,11461 ,1000 596,0648,0 648,0596,0 1 tt C tt B tk A eetG eetG etG (8) Тепер знайдемо maxBG з умови 0= dt dGB . Розв’язавши відповідне рівняння ( ) 05398,114615398,11461648,0596 648,0596,0596,0 =−− −−− ttt eee , знайдемо ≈t 1,6 год. Отже, після 1,6 год. (1 год. 36 хв.) від початку гідролізу концентрація глюкози буде максимальною. Знайдемо її. ( ) 6,3526,1max ≈= BB GG (кг). В [7] при наближеному розв’язанні задачі знайдено t =2год, а BG =340 (кг). Побудуємо графіки розв’язків )(tGA , )(tGB , )(tGC з урахуванням їх асимптотичних наближень. Для цього складемо таблицю значень цих розв’язків. Таблиця 1. Результати обчислень значень розв’язків t Ф-ція 0 1 1,6 2 3 4 5 10 )(tGA 1000 551 385,3 303,6 167,3 92,18 50,8 2,58 )(tGB 0 321 352,6 343,7 277 198,4 133,3 12 )(tGC 0 129 262 352,7 555,7 709,4 815,9 985,54 Представимо графік зміни концентрації речовин в залежності від часу (рис. 2). ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 223 Рис. 2. Зміна концентрацій речовин у процесі гідролізу 2. Гідроліз крохмалю при зацукрюванні При зацукрюванні крохмального середовища не можна розглядати процес як реакцію одного фермента з одним субстратом. В [6] розглядається процес перетворення деякого полісубстрату в цукор-глюкозу під дією двох ферментів: α- та глюкоамілази. Нехай вихідний полісубстрат складається з молекул крохмалю (амілази і амілопектину) і високомолекулярних декстринів з загальною концентрацією z . В цих молекулах існує певна кількість α- зв’язків, число яких в одиниці об’єму реагентів позначимо 1z . Під дією ферменту α-амілази утворюються молекули глюкози (її концентрація S ) і граничних декстринів (їх концентрація Dz ). Крім того, у процесі гідролізу утворюється інгібітор , який уповільнює процес утворення кінцевого продукту – глюкози. Нехай 1k – стала швидкості реакції перетворення zz →1 ; 2k – стала швидкості реакції під дією γ - амілази; 3k – стала швидкості накопичення інгібітора. Тоді процес утворення zz →1 відбувається за законом кінетики без врахування інгібірування, який можна задати рівнянням 11 1 zk dt dz −= . (9) Концентрація субстрату z змінюється під впливом двох процесів: збільшення його за рахунок перетворення zz →1 і зменшення за рахунок перетворення ,Dzz → S . Диференціальні рівняння матеріального балансу для субстратів z та Dz запишемо у вигляді [6] ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 224 ∫−∫−−= tt sdtndtzm dt dz dt dz 0 1 0 11 1 ; (10) D tt D zksdtndtzm dt dz 2 0 2 0 12 −∫−∫= , (11) де ( )2,1=imi – середнє число α-зв’язків у молекулах субстратів 1z та z відповідно, а ( )2,1=ini – середнє число глюкозних одиниць у молекулах 1z та z . Нарешті, для кінцевого продукту реакції – глюкози рівняння має вигляд ( ) skzzk dt ds D 32 −+= . (12) Рівняння (9)–(12) утворюють систему інтегродиференціальних рівнянь, які є математичною моделлю процесу гідролізу крохмалю під дією ферментів. Для розв’язання даної системи необхідно задати початкові умови при t=0. Нехай z1(0)=z10. Тоді, розв’язавши рівняння (9), запишемо його розв’язок у вигляді рівності ( ) ` 101 1tkeztz −= . (13) З урахуванням цієї рівності система (10) – (12) матиме вигляд ( ) ( )          −+= −∫−−−= ∫−−+= − −− skzkzk dt ds zksdtnez k m dt dz sdtnez k m ezk dt dz D D t tkD t tktk 322 2 0 210 1 2 0 110 1 1 101 1 1 1 11 . (14) Шляхом диференціювання останнього рівняння чотири рази, зводимо систему рівнянь (14) до одного лінійного диференціального рівняння четвертого порядку зі сталими коефіцієнтами: ,1 012 2 23 3 34 4 tkbesa dt ds a dt sd a dt sd a dt sd −=++++ (15) де 1 2 20 nka = , ( )2121 nnka += , 312 kka = , 323 kka += ,       −−++= 1121 1 2 12 kmmm k k kkb , яке, з урахуванням початкових умов, можна розв’язати наближено, наприклад, методом степеневих рядів. З іншого боку, позначивши ∫ = t ysdt 0 , приходимо до системи диференціальних рівнянь першого порядку: ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 3, 4 225            = −+= +−−−= −−      += − − s dt dy skzkzk dt ds z k m zkynez k m dt dz z k m ynez k m k dt dz D D tkD tk 322 10 1 2 2210 1 2 10 1 1 110 1 1 1 1 1 , (15) яку за відомих початкових умов можна розв’язати, наприклад, методом Рунге-Кутта [9]. Ця система за початкових умов ( ) 00 zz = , ( ) ( ) ( ) 0000 === уSzD розв’язана методом Рунге-Кутта на відрізку [ ]36,0∈t з кроком 4=h . Результати обчислень близькі до експериментальних даних, наведених в [10]. Складена таблиця методу Рунге-Кутта для розв’язку даної задачі з параметрами 1k , 2k , 3k , 0z , 10z може бути використана для розв’язання аналогічних задач з іншими параметрами. Очевидно, час, за який можна отримати найбільшу концентрацію глюкози при гідролізі крохмалю, можна знайти з рівності .322 Skzkzk D =+ Зауважимо, що для розв’язання системи (16) можна застосувати двосторонні методи Рунге-Кутта, якщо малий проміжок інтегрування. В інших випадках варто використовувати двосторонні методи інтегрування [11]. Це дозволить отримати чисельний розв’язок системи з гарантованою точністю і вказати відповідну оцінку похибки розв’язку. Висновки У роботі розглянуто дві математичні моделі гідролізу крохмалю, приведено методи їх розв’язання (точні і наближені), рівності, з яких визначається час максимального накопичення продукту гідролізу – глюкози. Розв’язання ілюструється прикладами, що узгоджуються з відповідними даними експериментів у [6], [10]. 1. Запропоновані алгоритми дозволяють отримати розв’язки математичних моделей у вигляді аналітичних виразів, до яких можна застосувати методи математичного аналізу для оптимізації отриманих розв’язків. 2. Застосування наближених методів дозволяє знаходити розв’язки з використанням ЕОМ і допускає варіації різних параметрів моделей практично без додаткових затрат. 3. Запропоновані алгоритми можна застосовувати для аналізу більш складних математичних моделей нестаціонарних процесів культивування популяцій мікроорганізмів. СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ 1. Безденежных А.А. Инженерные методы составления скоростей реакций и расчета кинетических констант. – Л.: Химия, 1973. – 256 с. 2. Бояринов А.И., Кафаров В.В. Методы оптимизации в химической технологии. – М.: Химия, 1975. – 575 с. 3. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. – М.: Химия, 1971. – 496 с. 4. Островский Г.М., Волин Ю.М. Методы оптимизации сложных химико-технологических схем. – М.: Химия, 1970. – 328 с. 5. Ровинский Л.А., Яровенко В.Л. Математическое описание кинетики ферментативного гидролиза и непрерывного культивирования микроорганизмов // Ферментная и спиртовая промышленность. – 1974. – № 3. – С. 20 – 22. 6. Яровенко В.Л., Ровинский Л.А. Моделирование и оптимизация микробиологических процессов спиртового производства. – М.: Пищевая промышленность, 1978. – 247 с. 7. Остапчук Н.В. Основи математичного моделювання харчових виробництв: Навчальний посібник для вузів. – К.: Вища школа, 1981. – 304 с. 8. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навчальний посібник. – К.: Вища школа, 1993. – 648 с. 9. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Главная редакция физико- математической литературы изд-ва «Наука», 1972. – 368 с. 10. Нахманович Б.М., Яровенко В.Л., Левчик А.П. Кинетика осахаривания и непрерывного спиртового брожения крахмалистых сред // Ферментативная и спиртовая промышленность. – 1972. – № 2. – С. 9 – 12. 11. Калайда А.Ф., Клименко Р.К., Алексеева И.В. Двусторонние формулы численного дифференцирования для производных первого и второго порядков // Математичні машини і системи. – 2000. – № 2, 3. – С. 120 – 124.

Математичне моделювання процесів ферментативного гідролізу

Institution

Ähnliche Einträge