Градиент критерия качества оптимизации в задаче управления системой с квазилинейным параболическим уравнением

Рассматривается определение градиента целевого функционала в задаче оптимизации системы, описываемой квазилинейным параболическим дифференциальным уравнением в цилиндрической системе координат. Найдено аналитическое выражение для расчета градиента неявно заданного функционала. Градиент выражается...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2008
Main Authors:	Володин, Н.А., Толстых, В.К., Береговых, Ю.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2008
Subjects:	Системы принятия решений, планирования и управления. Информационная безопасность интеллектуальных систем
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7455
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Градиент критерия качества оптимизации в задаче управления системой с квазилинейным параболическим уравнением / Н.А. Володин, В.К. Толстых, Ю.В. Береговых // Штучний інтелект. — 2008. — № 4. — С. 238-242. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859624277797502976
author	Володин, Н.А. Толстых, В.К. Береговых, Ю.В.
author_facet	Володин, Н.А. Толстых, В.К. Береговых, Ю.В.
citation_txt	Градиент критерия качества оптимизации в задаче управления системой с квазилинейным параболическим уравнением / Н.А. Володин, В.К. Толстых, Ю.В. Береговых // Штучний інтелект. — 2008. — № 4. — С. 238-242. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	Рассматривается определение градиента целевого функционала в задаче оптимизации системы, описываемой квазилинейным параболическим дифференциальным уравнением в цилиндрической системе координат. Найдено аналитическое выражение для расчета градиента неявно заданного функционала. Градиент выражается через решение соответствующего линейного уравнения параболического типа. Розглядається визначення градієнта цільового функціонала у завданні оптимізації системи, яка описується квазілінійним параболічним диференціальним рівнянням. Отримано аналітичний вираз для розрахунку градієнта неявно заданого функціонала. Градієнт виражається через вирішення відповідного лінійного рівняння параболічного типу. Determination of gradient of having a special purpose functional is examined in the task of optimization of the system, described parabolic differential equalization. Analytical expression is found for the calculation of gradient of set functional. A gradient is expressed through the decision of the proper linear equalization of parabolic type.
first_indexed	2025-11-29T08:34:44Z
format	Article
fulltext	«Искусственный интеллект» 4’2008 238 3В УДК 517.997.56:669.18.046.5:536.42 Н.А. Володин1, В.К. Толстых2, Ю.В. Береговых1 1Государственный университет информатики и искусственного интеллекта, Украина nvolodin@yandex.ru, dos-sent@yandex.ru 2Донецкий национальный университет, Украина tvk@dongu.donetsk.ua Градиент критерия качества оптимизации в задаче управления системой с квазилинейным параболическим уравнением Рассматривается определение градиента целевого функционала в задаче оптимизации системы, описываемой квазилинейным параболическим дифференциальным уравнением в цилиндрической системе координат. Найдено аналитическое выражение для расчета градиента неявно заданного функционала. Градиент выражается через решение соответствующего линейного уравнения параболического типа. Пусть в цилиндрической области [0, ] [0, ]R Z  * функция ),( zrf удовлетворяет квазилинейному параболическому уравнению        ),(,0)(1)( zr r ff rrz ff         (1) с граничными условиями:  ,,,0 1 0 0 0 0 0 0 1 ff r fff r f zz Rr z Rr Zz r              ZzzRrzrSzu r f S  1,:,),(   . (2) Здесь )( f , )( f – непрерывные или кусочно-непрерывные функции,  , 0f , 1f – константы, Zz  10 ,  Zz ,01  . Это уравнение характерно для задач оптимизации установившихся процессов нагрева или охлаждения бесконечного цилиндрического стержня с неоднородными, зависящими от температуры, характеристиками материала стержня. Для подобных задач характерны целевые функционалы, состоящие из многих критериев, отражающих состояние различных процессов внутри объекта. Задачу оптимального управления сформулируем следующим образом. Необходимо в граничном условии (2) найти гладкую функцию )(zu , доставляющую минимум многокритериальному целевому функционалу                  R Z dzdrrzzrr r fuJ 0 0 12 2 0        R Z dzdrrzzff 0 1 0 21  +                                 R F R drfIdzdrrzzrr z f r f 0 3 0 Z 0 21 2 1 22 2 )( , (3) Градиент критерия качества оптимизации в задаче управления системой ... «Штучний інтелект» 4’2008 239 3В где 30   – весовые коэффициенты, определяющие степень влияния того или иного критерия на функционал (3),  Rr ,01  ,  Rrr ,12  ,  Zzz ,12  , FI – штрафная функция. Тета-функции определяют области задания того или иного функционала. Конкретный вид штрафной функции может быть произвольным. Выбор функции FI – это дело вкуса и интуиции каждого исследователя. Различают три типа штрафных функций – внешние, внутренние и смешанные. Первые из них должны возрастать (штрафовать решение) при нарушении ограничения. Вторые же возрастают при прибли- жении к границе допустимого множества состояний и достигают бесконечно большой величины на границе. Смешанные штрафы обеспечивают конечное возрастание функции FI при приближении и при переходе через границу допустимого множества [1-3]. Будем использовать внешнюю штрафную функцию, которая должна возрастать (штрафовать решение) при нарушении ограничения. Внешний штраф определяется в виде функции:         ,,0 ;,2 ad adad F ff ffffI (4) где adf – максимально допустимое значение функции ),( Zrf . Наиболее эффективными методами оптимизации являются прямые экстремаль- ные методы [4], [5]. Они используют градиент целевого функционала для итерацион- ных коррекций искомого управления. В данной работе получим аналитическое выражение градиента целевого функционала )(uJ . Методом определения градиента в настоящей работе является модернизированный классический метод множителей Лагранжа [4]. Уравнение (1) для более компактных дальнейших преобразований с целью получения градиента J удобно записать в виде:   . z)(r,,0)()(  fgradfdiv z ff     (5) Граничные условия (2) имеют вид:  ,,,0 1 0 0 0 0 0 0 1 fffgradfffgrad zz Rr z Rr Zz r         Sgrad f u . (6) Теперь перейдем к определению градиента J . Уравнение (5), линеаризован- ное относительно )(f , имеет вид:  z f z ff f e         ).(0        fgradfgradf f div    (7) Граничные условия принимают вид: ,,0,0 100 0 0 0 ffgradffgrad zz Rr z Rr Zz r         .ufgrad S   (8) Володин Н.А., Толстых В.К., Береговых Ю.В. «Искусственный интеллект» 4’2008 240 3В Линеаризованный функционал (3) принимает вид:                     R Z rr r frrr r f r frJ 0 0 222 2 0 )()(2    dzdrfzzff  )()( 121                                  R Z z fB zr fB r r 0 0 2              12 rrrr r fВ   dzdrfzz  )( 1 +            Z z dzf r frrrrB r fR 1 )()(2 1220      drfIrrrr r fB R F            0 3122 = =                           )( 122 2 0 ),()(2 fzzrr r f r fr  +                 )( 1212 ),()()(2 fzzffrr r fr                                                )( 12 ),( fzz z fB zr fB r r                        )( 1122 ),( fzzrrrr r fB                     )( 1220 ,)()(2 S f r frrrrB r fR  )( 3122 ,)()( S F fIrrrr r fB             , (9) где 2/122                           z f r fB , а производная штрафной функции (4) имеет вид:         .,0 ;,2 ad adad F ff ffff I (10) Для отображения линеаризованного уравнения (7) в пространство R введем линейный функционал  h . Умножим скалярно данный функционал на уравнение (7):        R Z Rhedrdzeh 0 0 0, . (11) Градиент критерия качества оптимизации в задаче управления системой ... «Штучний інтелект» 4’2008 241 3В Преобразуем данное выражение к виду скалярного произведения относительно вариации f . Для этого необходимо преобразовать следующие слагаемые: ;f z h z fh z fh         ;f f fgradhgradfgradf f hdivffgrad f hdiv                              .fhgraddivfhgraddivfgradhdivfgradhdiv   Полученные дополнительные слагаемые, содержащие оператор дивергенции, в соответствии с теоремой Остроградского – Гаусса легко интегрируются по r и по z в выражении (11). Окончательно, с учетом (8), выражение (11) принимает вид:                             R Z r h rrz f f h z hzh 0 0 1,    dzdrfA r f r h f             +                1 10 z Z z dzf r huhdzf r hh           R F drfIh 0 3  , (12) где                                         z fB zr fB r rrrrrA 21         21 rrrr r fB                             222 2 02 rr r frrr r f r fr  . Теперь можно объединить выражение (12) с линеаризованным функционалом (9). Для того, чтобы избавиться от компоненты градиента J , принадлежащей сопряжен- ному пространству состояний  , потребуем: 01                          Ah z f fr h r f fz h r h rr   , (13) 0 1 0      Zzz r r h ,      r frrrrB r h Zzz Rr        12122 1  ,      max 3 122 2 0 ff rrrr z fB h Zz Rr            . (14) При этом вариация целевого функционала (3) принимает вид:    S SuJudzhJ ,, )( (15) откуда следует, что градиент – это функция hJ  на S. (16) Володин Н.А., Толстых В.К., Береговых Ю.В. «Искусственный интеллект» 4’2008 242 3В Градиент (16) целевого функционала (3) находится через решение h линейной сопряженной задачи (13) с граничными условиями (14). Очевидно, что данная задача так же имеет эллиптический тип, как и исходная (1). Таким образом, в работе найдено аналитическое выражение для расчета гра- диента J от неявно заданного функционала )(uJ для задачи оптимального управле- ния. Градиент J выражается через решение соответствующего линейного уравнения того же типа, что и исходное уравнение. Литература 1. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. – М.: Наука, 1988. – 552 с. 2. Nocedal J. and Wright S.J. Numerical Optimization. – Springer-Verlag: New York, 1999. 3. Kelly C.T. Iterative Methods for Optimization. – SIAM: Philadelphia, 1999. 4. Толстых В.К. Прямой экстремальный подход для оптимизации систем с распределенными параметрами. – Донецк: «Юго-Восток», 1997. – 177 с. 5. Толстых В.К. Эффективный метод оптимизации физических процессов // Инженерно-физический журнал. – 2003. – Т. 76, № 2. – С. 160-162. М.О. Володін, В.К. Толстих, Ю.В. Берегових Градієнт критерію якості оптимізації у завданні керування системою з квазілінійним параболічним рівнянням Розглядається визначення градієнта цільового функціонала у завданні оптимізації системи, яка описується квазілінійним параболічним диференціальним рівнянням. Отримано аналітичний вираз для розрахунку градієнта неявно заданого функціонала. Градієнт виражається через вирішення відповідного лінійного рівняння параболічного типу. N.A. Volodin, V.K. Tolstykh, Yu.V. Beregovikh Gradient of Quality Optimization Criterion in the Task of Control in the System Control Problem with Quasilinear Parabolic Equalization Determination of gradient of having a special purpose functional is examined in the task of optimization of the system, described parabolic differential equalization. Analytical expression is found for the calculation of gradient of set functional. A gradient is expressed through the decision of the proper linear equalization of parabolic type. Статья поступила в редакцию 10.07.2008.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7455
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-5359
language	Russian
last_indexed	2025-11-29T08:34:44Z
publishDate	2008
publisher	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
record_format	dspace
spelling	Володин, Н.А. Толстых, В.К. Береговых, Ю.В. 2010-03-30T13:59:46Z 2010-03-30T13:59:46Z 2008 Градиент критерия качества оптимизации в задаче управления системой с квазилинейным параболическим уравнением / Н.А. Володин, В.К. Толстых, Ю.В. Береговых // Штучний інтелект. — 2008. — № 4. — С. 238-242. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7455 517.997.56:669.18.046.5:536.42 Рассматривается определение градиента целевого функционала в задаче оптимизации системы, описываемой квазилинейным параболическим дифференциальным уравнением в цилиндрической системе координат. Найдено аналитическое выражение для расчета градиента неявно заданного функционала. Градиент выражается через решение соответствующего линейного уравнения параболического типа. Розглядається визначення градієнта цільового функціонала у завданні оптимізації системи, яка описується квазілінійним параболічним диференціальним рівнянням. Отримано аналітичний вираз для розрахунку градієнта неявно заданого функціонала. Градієнт виражається через вирішення відповідного лінійного рівняння параболічного типу. Determination of gradient of having a special purpose functional is examined in the task of optimization of the system, described parabolic differential equalization. Analytical expression is found for the calculation of gradient of set functional. A gradient is expressed through the decision of the proper linear equalization of parabolic type. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Системы принятия решений, планирования и управления. Информационная безопасность интеллектуальных систем Градиент критерия качества оптимизации в задаче управления системой с квазилинейным параболическим уравнением Градієнт критерію якості оптимізації у завданні керування системою з квазілінійним параболічним рівнянням Gradient of Quality Optimization Criterion in the Task of Control in the System Control Problem with Quasilinear Parabolic Equalization Article published earlier
spellingShingle	Градиент критерия качества оптимизации в задаче управления системой с квазилинейным параболическим уравнением Володин, Н.А. Толстых, В.К. Береговых, Ю.В. Системы принятия решений, планирования и управления. Информационная безопасность интеллектуальных систем
title	Градиент критерия качества оптимизации в задаче управления системой с квазилинейным параболическим уравнением
title_alt	Градієнт критерію якості оптимізації у завданні керування системою з квазілінійним параболічним рівнянням Gradient of Quality Optimization Criterion in the Task of Control in the System Control Problem with Quasilinear Parabolic Equalization
title_full	Градиент критерия качества оптимизации в задаче управления системой с квазилинейным параболическим уравнением
title_fullStr	Градиент критерия качества оптимизации в задаче управления системой с квазилинейным параболическим уравнением
title_full_unstemmed	Градиент критерия качества оптимизации в задаче управления системой с квазилинейным параболическим уравнением
title_short	Градиент критерия качества оптимизации в задаче управления системой с квазилинейным параболическим уравнением
title_sort	градиент критерия качества оптимизации в задаче управления системой с квазилинейным параболическим уравнением
topic	Системы принятия решений, планирования и управления. Информационная безопасность интеллектуальных систем
topic_facet	Системы принятия решений, планирования и управления. Информационная безопасность интеллектуальных систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7455
work_keys_str_mv	AT volodinna gradientkriteriâkačestvaoptimizaciivzadačeupravleniâsistemoiskvazilineinymparaboličeskimuravneniem AT tolstyhvk gradientkriteriâkačestvaoptimizaciivzadačeupravleniâsistemoiskvazilineinymparaboličeskimuravneniem AT beregovyhûv gradientkriteriâkačestvaoptimizaciivzadačeupravleniâsistemoiskvazilineinymparaboličeskimuravneniem AT volodinna gradíêntkriteríûâkostíoptimízacííuzavdanníkeruvannâsistemoûzkvazílíníinimparabolíčnimrívnânnâm AT tolstyhvk gradíêntkriteríûâkostíoptimízacííuzavdanníkeruvannâsistemoûzkvazílíníinimparabolíčnimrívnânnâm AT beregovyhûv gradíêntkriteríûâkostíoptimízacííuzavdanníkeruvannâsistemoûzkvazílíníinimparabolíčnimrívnânnâm AT volodinna gradientofqualityoptimizationcriterioninthetaskofcontrolinthesystemcontrolproblemwithquasilinearparabolicequalization AT tolstyhvk gradientofqualityoptimizationcriterioninthetaskofcontrolinthesystemcontrolproblemwithquasilinearparabolicequalization AT beregovyhûv gradientofqualityoptimizationcriterioninthetaskofcontrolinthesystemcontrolproblemwithquasilinearparabolicequalization

Градиент критерия качества оптимизации в задаче управления системой с квазилинейным параболическим уравнением

Institution

Similar Items