Поперечно-мелкомасштабные МГД-возмущения в космической плазме с магнитными поверхностями
Анализируются поперечные мелкомасштабные возмущения в произвольных трехмерных пространственно неоднородных плазменных космических системах с магнитными поверхностями. Получена система уравнений для таких возмущений. Показано, что в дипольном магнитном поле реализуются возмущения с двумя различными п...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кинематика и физика небесных тел |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Головна астрономічна обсерваторія НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/74947 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Поперечно-мелкомасштабные МГД-возмущения в космической плазме с магнитными поверхностями / О.К. Черемных, В.В. Данилова // Кинематика и физика небесных тел. — 2011. — Т. 27, № 2. — С. 63-79. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859714736379133952 |
|---|---|
| author | Черемных, О.К. Данилова, В.В. |
| author_facet | Черемных, О.К. Данилова, В.В. |
| citation_txt | Поперечно-мелкомасштабные МГД-возмущения в космической плазме с магнитными поверхностями / О.К. Черемных, В.В. Данилова // Кинематика и физика небесных тел. — 2011. — Т. 27, № 2. — С. 63-79. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кинематика и физика небесных тел |
| description | Анализируются поперечные мелкомасштабные возмущения в произвольных трехмерных пространственно неоднородных плазменных космических системах с магнитными поверхностями. Получена система уравнений для таких возмущений. Показано, что в дипольном магнитном поле реализуются возмущения с двумя различными поляризациями. В рамках дипольной геометрии получены уравнения для собственных МГД-мод, а также исследована устойчивость возмущений.
Аналізуються поперечні дрібномаштабні збурення у довільних тривимірних просторово неоднорідних плазмових космічних системах з магнітними поверхнями. Отримано систему рівнянь для таких збурень. Показано, що у дипольній геометрії магнітного поля реалізуються збурення з двома різними поляризаціями. В рамках дипольної геометрії отримано рівняння для власних МГД-мод, а також досліджено стійкість збурень.
Transversal small-scale perturbations in arbitrary three-dimensional (3-D) spatially non-uniform space plasma systems with magnetic surfaces are analysed. A system of equations describing the disturbances is deduced. It is shown that in dipole geometry of magnetic field the disturbances of two different polarizations can be realized. In the framework of dipole geometry equations for MHD-eigenmodes are obtained and stability of the disturbances is investigated.
|
| first_indexed | 2025-12-01T07:59:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÔÈÇÈÊÀ ÊÎÑÌÎÑÀ
ÓÄÊ 533.951; 533.951.8
Î. Ê. ×åðåìíûõ, Â. Â. Äàíèëîâà
Èíñòèòóò êîñìè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé Íàöèîíàëüíîé àêàäåìèè íàóê Óêðàèíû
è Íàöèîíàëüíîãî êîñìè÷åñêîãî àãåíòñòâà Óêðàèíû
03680 Êèåâ-187, ïðîñïåêò Àêàäåìèêà Ãëóøêîâà 40
ch_ol@ikd.kiev.ua
Ïîïåðå÷íî-ìåëêîìàñøòàáíûå ÌÃÄ-âîçìóùåíèÿ
â êîñìè÷åñêîé ïëàçìå ñ ìàãíèòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè
Àíàëèçèðóþòñÿ ïîïåðå÷íûå ìåëêîìàñøòàáíûå âîç ìó ùå íèÿ â ïðî èç -
âîëü íûõ òðåõ ìåð íûõ ïðî ñòðà íñòâåí íî íå îäíî ðîä íûõ ïëàç ìåí íûõ
êîñ ìè÷åñêèõ ñèñ òå ìàõ ñ ìàã íèò íû ìè ïî âåð õíîñ òÿ ìè. Ïî ëó ÷å íà ñèñ -
òå ìà óðàâ íå íèé äëÿ òà êèõ âîç ìó ùå íèé. Ïî êà çà íî, ÷òî â äèïîëüíîì
ìàãíèòíîì ïîëå ðå à ëè çó þò ñÿ âîç ìó ùå íèÿ ñ äâó ìÿ ðàç ëè÷ íûìè ïî ëÿ -
ðè çà öè ÿ ìè.  ðàì êàõ äè ïîëü íîé ãå î ìåò ðèè ïî ëó ÷å íû óðàâ íå íèÿ äëÿ
ñî áñòâåí íûõ ÌÃÄ-ìîä, à òàê æå èñ ñëå äî âà íà óñòîé ÷è âîñòü âîç ìó -
ùå íèé.
ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÄвÁÍÎÌÀÑØÒÀÁͲ ÌÃÄ-ÇÁÓÐÅÍÍß Ó ÊÎÑÌ²× -
Í²É ÏËÀÇ̲ Ç ÌÀÃͲÒÍÈÌÈ ÏÎÂÅÐÕÍßÌÈ, ×åðåìíèõ Î. Ê., Äà -
íè ëîâà Â. Â. — Àíàë³çóþòüñÿ ïîïåðå÷í³ äð³áíîìàøòàáí³ çáóðåííÿ ó
äîâ³ëüíèõ òðèâèì³ðíèõ ïðîñòîðîâî íåîäíîð³äíèõ ïëàçìîâèõ êîñì³÷ -
íèõ ñèñòåìàõ ç ìàãí³òíèìè ïîâåðõíÿìè. Îòðèìàíî ñèñòåìó ð³âíÿíü
äëÿ òàêèõ çáóðåíü. Ïîêàçàíî, ùî ó äèïîëüí³é ãåîìåò𳿠ìàãí³òíîãî ïî -
ëÿ ðåàë³çóþòüñÿ çáóðåííÿ ç äâîìà ð³çíèìè ïîëÿðèçàö³ÿìè.  ðàìêàõ
äèïîëüíî¿ ãåîìåò𳿠îòðèìàíî ð³âíÿí íÿ äëÿ âëàñíèõ ÌÃÄ-ìîä, à òà -
êîæ äîñë³äæåíî ñò³éê³ñòü çáóðåíü.
TRANSVERSAL SMALL-SCALE MHD PERTURBATIONS IN SPACE
PLASMA WITH MAGNETIC SURFACES, by Cheremnykh O. K., Danilo -
va V. V. — Transversal small-scale per tur ba tions in ar bi trary three-di men -
sional (3-D) spa tially non-uni form space plasma sys tems with mag netic
sur faces are ana lysed. A sys tem of equa tions de scrib ing the dis tur bances is
de duced. It is shown that in di pole ge om e try of mag netic field the dis tur -
63
ÊÈÍÅÌÀÒÈÊÀ
È ÔÈÇÈÊÀ
ÍÅÁÅÑÍÛÕ
ÒÅË òîì 27 ¹ 2 2011
© Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, Â. Â. ÄÀÍÈËÎÂÀ, 2011
64
Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, Â. Â. ÄÀÍÈËÎÂÀ
bances of two dif fer ent po lar iza tions can be re al ized. In the frame work of
di pole ge om e try equa tions for MHD-eigenmodes are ob tained and sta bil ity
of the dis tur bances is in ves ti gated.
ÂÂÅÄÅÍÈÅ
Èçâåñ òíî, ÷òî äëÿ íå êî òî ðûõ ïëàç ìåí íûõ êîñ ìè ÷åñ êèõ ñèñ òåì (íà -
ïðè ìåð äëÿ ìàã íè òîñ ôåð íîé ïëàç ìû èëè ñî ëíå÷ íûõ ìàã íèò íûõ ñòðóê -
òóð) â ðÿäå ñëó ÷à åâ íà è áîëü øóþ îïàñ íîñòü ñ òî÷ êè çðå íèÿ óñ òîé ÷è -
âîñ òè ïðåä ñòàâ ëÿ þò ïî ïå ðå÷ íî-ìåë êî ìàñ øòàá íûå âîç ìó ùå íèÿ. Ïîä
óêà çàí íû ìè âîç ìó ùå íè ÿ ìè îá û÷ íî ïî íè ìà þò ñïå öè àëü íûé êëàññ
ïðî ñòðà íñòâåí íî-îãðà íè ÷åí íûõ ñìå ùå íèé ýëå ìåí òàð íî ãî ïëàç ìåí íî -
ãî îá ú å ìà. Ïî ý òî ìó äëÿ ïî ëó ÷å íèÿ óðàâ íå íèé ìà ëûõ êî ëå áà íèé áó äåò
èñ ïîëü çî âà íî óðàâ íå íèå äëÿ âåê òî ðà ñìå ùå íèÿ, ïî ëó ÷åí íîå â ðà áî òå
[6] äëÿ ïðî èç âîëü íûõ ÌÃÄ-âîç ìó ùå íèé, ò. å. áó äåò èñ ïîëü çî âàí ãèä -
ðî äè íà ìè ÷åñ êèé ïîä õîä.  ðàì êàõ ýòî ãî ïîä õî äà, çà äà âàÿ ïî ïå ðå÷ -
íî-ìåë êî ìàñ øòàá íîå ñìå ùå íèå ýëå ìåí òàð íî ãî îá ú å ìà ïëàç ìû, ìû
íà é äåì âîç íè êà þ ùèå ïðè ýòîì ñèëû, êî òî ðûå îïðå äå ëÿ þò ÷àñ òî òû
âîç ìó ùå íèé. Íè êà êèõ îãðà íè ÷å íèé íà âîç ìó ùåí íîå ýëåê òðî ìàã íèò -
íîå ïîëå (íà ïðè ìåð, óñëî âèå çà ìû êà íèÿ òî êîâ èëè ïðåä ñòàâ ëå íèå
ýëåê òðè ÷åñ êî ãî ïîëÿ â âèäå ñóì ìû ïî òåí öè àëü íîé è âèõ ðå âîé ÷àñ òåé)
íà êëà äû âàòü íå áó äåì, ïî ñêîëü êó çà äàí íûé âèä ñìå ùå íèÿ îïðå äå ëÿ åò
âèä ýëåê òðî ìàã íèò íûõ ïî ëåé. Òà êîé ïîä õîä ïî çâî ëÿ åò ïî ñëå äî âà òåëü -
íî ïî ëó ÷èòü è ïðî à íà ëè çè ðî âàòü ïðî áëå ìó îïè ñà íèÿ ïî ïå ðå÷ íî-ìåë -
êî ìàñ øòàá íûõ âîç ìó ùå íèé â òðåõ ìåð íûõ ïëàç ìåí íûõ ñèñ òå ìàõ. Ïðè
ýòîì, â îò ëè ÷èå îò ïîä õî äà [6], ìû íå áó äåì ïðè ìå íÿòü ê èñ õîä íûì
ÌÃÄ-óðàâ íå íè ÿì äèô ôå ðåí öè àëü íûå îïå ðà òî ðû è íå áó äåì èñ ïîëü -
çî âàòü âà ðè à öè îí íûå ìå òî äû, êàê â [14], ÷òî ìîæåò ïðèâåñòè ê èñ êà -
æåíèþ ñïåêòðà âîçìóùåíèé. Ìû îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî óñëîâèåì ïîïå -
ðå÷ íîé ìåëêîìàñøòàáíîñòè âîçìóùåíèé. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû
ïðè ìåíåíû ê äèïîëüíîé ãåîìåòðèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ÷àñòî èñïîëü -
çóåìîé äëÿ îïèñàíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè.
ÈÑÕÎÄÍÛÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß
Êàê áûëî ïîêàçàíî â ðàáîòå [6], â ðàìêàõ îäíîæèäêîñòíîé ÌÃÄ óðàâ -
íåíèå ìàëûõ êîëåáàíèé ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
r
x¶
¶
2
2
r
t
= Ñ Ñ ×Ñ +
Ñ ×Ñ
Ñ
- ¢ + ×Ñ +
æ
è
çç
ö
ø
÷÷a a T
a T
a
p T B T Ksa x3
0
2 3 12
| |
r
+
[ ]
| |
[ ]
| |
[ ]
r r
r
r rB a
a
B a T
B
B T B a T
´ Ñ
Ñ
´ Ñ ×Ñ
+ ×Ñ + ´ Ñ ×Ñ
æ
è
ç
2
0
2 2 3ç
ö
ø
÷
÷ +
r
r
rB
B
B T
| |
( )
2 0×Ñ . (1)
Çäåñü èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
r
r
r
r
rx x h
t
=
Ñ
Ñ
+
´ Ñ
+
a
a
B a
B
B
B| |
[ ]
| | | |2 2 2
,
T p0 = g xdiv
r
, T
B
a
1 2
=
×Ñ
Ñ
r
x
| |
, T B s
s
s2
1
= ×Ñ + -
a
h g x[ ( ) ]
r
,
T3 2= + ×^ ^div
r r r
x c x , c = ×Ñ( )
r r
e e, (2)
r r r
e B B= /| |, K s
p
B
a p B
a
s
s
s= - +
¢ Ñ ×Ñ +
Ñ
g
a
g( )
| |
( | | )
| |
r
r
2
2
2
2
,
(...) (...)¢ =
d
da
, a s
B
a
=
Ñ
| |
| |
r
2
2
, g s
j B
a
=
×
Ñ
r r
| |2
,
s
B a
a
B a
a
=
´ Ñ
Ñ
×
´ Ñ
Ñ
[ ]
| |
[ ]
| |
r r
2 2
rot .
Ïðè ïîëó÷åíèè (1) ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå îáëàäàåò
ìàãíèòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè, ïîä êîòîðûìè îáû÷íî ïîíèìàþò ïî -
âåðõíîñòè, ñîäåðæàùèå ñèëîâûå ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ è ëèíèè òîêà.
Ôèãóðèðóþùàÿ â (1) è (2) âåëè÷èíà a íàçûâàåòñÿ ìåòêîé ìàãíèòíûõ
ïîâåðõíîñòåé è óäîâëåòâîðÿåò ãåîìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèÿì
r
B a×Ñ = 0, r
j a×Ñ = 0. Îñòàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ â (1) è (2) îáùåïðèíÿòûå: r è p —
íåâîçìóùåííûå ïëîòíîñòü è äàâëåíèå ïëàçìû,
r
j,
r
E è
r
B — ïëîòíîñòü
ðàâ íîâåñíîãî òîêà, íàïðÿæåííîñòè ýëåê òðè÷åñêîãî è ìàãíèòíîãî ïî -
ëåé,
r
x — âåêòîð ñìåùåíèÿ ýëåìåí òàðíîãî îáúåìà ïëàçìû, g — ïîêà -
çàòåëü ïîëèòðîïû. Äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè èñïîëüçîâàíî ñëåäóþùåå
ìàñøòàáèðîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ âåëè ÷èí:
r
rB
B
4p
® ,
c
E E
4p
r r
® ,
4p
c
j j
r r
® .
Óðàâíåíèå (1) ñïðàâåäëèâî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ íèçêî÷àñòîòíûõ
ÌÃÄ-âîçìóùåíèé ïëàçìû è íå íàêëàäûâàåò íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà
äàâëåíèå, òîêè è ýëåêòðîìàãíèòíûå ïîëÿ. Ïðè âûâîäå (1) áûëî ó÷òåíî,
÷òî íàïðàâëåíèÿ Ña, [ ]
r
B a´ Ñ è
r
B ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî îðòîãîíàëüíûìè íà
âûáðàííîé ìàãíèòíîé ïîâåðõíîñòè, è ïîýòîìó ïî íèì ìîæíî ðàç ëî -
æèòü ëþáóþ âîçìóùåííóþ âåëè÷èíó.
Äî ïóñ òèì, ÷òî âîç ìó ùå íèÿ ÿâ ëÿ þò ñÿ ïî ïå ðå÷ íî-ìåë êî ìàñ øòàá -
íû ìè, ò. å. ïðåä ïî ëî æèì [4, 6], ÷òî ëþ áàÿ âîç ìó ùåí íàÿ ñî ñòàâ ëÿ þ ùàÿ
x âåê òî ðà x óäîâ ëåò âî ðÿ åò íå ðà âå íñòâàì
| |
| |
Ñ ×Ñ
Ñ
a x
a
,
|[ ] |
| || |
r
r
B a x
B a
x
b
´ Ñ ×Ñ
Ñ
>> ,
| |
| |
r
r
B x
B
×Ñ
, (3)
65
ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÅ ÌÃÄ-ÂÎÇÌÓÙÅÍÈß Â ÏËÀÇÌÅ
ãäå b — õà ðàê òåð íûé ìàñ øòàá èç ìå íå íèÿ ðàâ íî âåñ íûõ âå ëè ÷èí. Íå ðà -
âå íñòâà (3) îçíà ÷à þò, ÷òî â íà ïðàâ ëå íèè, ïî ïå ðå÷ íîì ê íà ïðàâ ëå íèþ
ìàã íèò íî ãî ïîëÿ (äà ëåå èí äåêñ ^), âå ëè ÷è íà x èç ìå íÿ åò ñÿ áûñ òðåå,
÷åì â ïðî äîëü íîì íà ïðàâ ëå íèè. Êðî ìå òîãî, èç (3) ñëå äó åò, ÷òî âîç ìó -
ùå íèå x ìàëî èç ìå íÿ åò ñÿ íà ðàñ ñòî ÿ íèè ïî ðÿä êà b. Íå ðà âå íñòâà (3)
óäîâ ëåò âî ðÿ þò ñÿ, åñëè âåê òîð ñìå ùå íèÿ
r
x ïðåä ñòà âèòü â ýé êî íàëü íîì
âèäå [14]
r r
x x w
e
= - +
æ
è
ç
ö
ø
÷
$
exp i t
iS
. (4)
Çäåñü ýéêîíàë S îïèñûâàåò ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê ìàãíèòíîìó ïîëþ
ñòðóêòóðó âîçìóùåíèé è óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
r r
k B^ × = 0,
r
k ^ = ÑS,
à ìàëûé áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð e (e << 1) ðàçäåëÿåò ïîïåðå÷íûå è
ïðîäîëüíûå ìàñøòàáû âîçìóùåíèé.  ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå èäå -
àëü íîé ÌÃÄ ÷àñòîòà w â (4) ÿâëÿåòñÿ ëèáî ÷èñòî äåéñòâèòåëüíîé, ëèáî
÷èñòî ìíèìîé âåëè÷èíîé. Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ïðåäñòàâèì îñòàëü -
íûå âîçìóùåííûå âåëè÷èíû
T T i t
iS
i i= - +
æ
è
ç
ö
ø
÷
^
exp w
e
. (5)
Ìà ëîå çíà ÷å íèå ïà ðà ìåò ðà e ïî çâî ëÿ åò ðå äó öè ðî âàòü óðàâ íå íèå
(1). Ïîä ñòàâ ëÿÿ (4) è (5) â (1) è ïðè ðàâ íè âàÿ íó ëþ ñëà ãà å ìûå, ïðî ïîð -
öè î íàëü íûå 1 2/ e è 1/e, ïî ëó ÷à åì
a x hs k a a k B( )$ ( [ ])$
r r r
^ ^×Ñ + Ñ × ´ = 0, (6)
b x x c xdiv div
r r r r$ $ $
+ + × =^ ^2 0, (7)
ãäå b g= p B/| |
r
2 . Óðàâ íå íèå (7) ïî çâî ëÿ åò âû ðà çèòü div
r
x ÷å ðåç
r
x ^ . Çà ìå -
òèì, ÷òî ïî õî æàÿ ñâÿçü ýòèõ âå ëè ÷èí âïåð âûå áûëà èñ ïîëü çî âà íà â [5]
äëÿ ïî ëó ÷å íèÿ óðàâ íå íèé ìà ëûõ êî ëå áà íèé äëÿ êðóï íî ìàñ øòàá íûõ
âîç ìó ùå íèé.  íåé ôè ãó ðè ðî âà ëè èí òåã ðàëü íûé îïå ðà òîð è ÷àñ òî òà
êî ëå áà íèé.  îò ëè ÷èå îò [5] óðàâ íå íèå (7) â ðàñ ñìàò ðè âà å ìîì ñëó ÷àå
ìåë êî ìàñ øòàá íûõ âîç ìó ùå íèé èìå åò áî ëåå ïðî ñòîé âèä, ïî ñêîëü êó â
íåì ôè ãó ðè ðó þò òîëü êî âåê òîð êðè âèç íû ñè ëî âûõ ëè íèé c è ïà ðà -
ìåòð b. Ëåã êî ïî êà çàòü [8, 11], ÷òî óðàâ íå íèå (7) ýê âè âà ëåí òíî ðà âå -
íñòâó íóëþ âîç ìó ùåí íî ãî ïî ëíî ãî äàâ ëå íèÿ ïëàçìû.
Âûïèñàâ îñòàâøèåñÿ â (1) ñëàãàåìûå, íàõîäèì
rw x t2
2
[ [ ]
[ ]
$
| |
$
r r r
r r
r
r
k k B
a k B
B
B
^ ^
^
´ ´
Ñ × ´
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ +Ñ
é
ë
ê
×Ñ
Ñ
+ ¢ -a
a
a
T p
r
c
x
| |
( $ )
^
2 0
-
×Ñ
Ñ × ´
- ×Ñ + ×Ñ
Ñ
×Ñ
æ^
^
r
r r
r r rk a
a k B
s B B
a
Bs
[ ]
( )( $ )
| |
$g x x
1
2
è
çç
ö
ø
÷÷
ù
û
ú +
66
Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, Â. Â. ÄÀÍÈËÎÂÀ
+
[ ]
| |
( $ )
[ ]
| |
(
^
r
r r r
r
B a
a
s
B
B a
B
Ts
s
´ Ñ
Ñ
é
ë
ê
+
×Ñ +
× ´ Ñ
2 2 0
2g
a
x
c
+ ¢ -p $ )x
-
×Ñ
Ñ × ´
×Ñ ×Ñ
æ
è
çç
ö
ø
÷÷
ù
û
ú +^
^
( )
[ ]
$
|
r
r r
r r
r
k a
a k B
B B
Bs
s
a
a
x
1
r
r
B
B T
|
( )
^
2 0 0×Ñ = .
Óìíîæèâ ýòî óðàâíåíèå ñêàëÿðíî íà âåêòîðû
[ ]
[ ]
r r
r r
k B
a k B
^
^
´
Ñ × ´
,
r
B è
r
k ^ , ïî -
ëó÷àåì
rw
x x
c2 2 2
2 02
| | | |
( [ ])
$ ( $ )
[^
r r
r r
r r
k B
a k B
T p
k^
^
^
Ñ × ´
+ + ¢
× ´
r
r r
B
a k B
]
[ ]Ñ × ´^
+
+
r
r r
r r
r
B
k B
a k B
B×Ñ
Ñ × ´
×Ñ
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ =^
^
| | | |
( [ ])
$
2 2
2
0x , (8)
rw t2
0 0$
^
+ ×Ñ =
r
B T , T p0
^ $
= g xdiv
r
, (9)
( $ )
( )( [ ])
| |
r
r r r
r
B
k a k B a
B
as
s×Ñ
é
ë
ê
×Ñ × ´ Ñ
×Ñ
Ñ
æ
è
çç
ö^ ^x
a
a
2
ø
÷÷ +
+ g
a
s
s
k B a
a
k a
( [ ])
| |
( )
r r
r
^
^
× ´ Ñ
Ñ
+ ×Ñ
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
2
2
2 +
+ s
k B a
a
k a
s
( [ ])
| |
( )
r r
r
^
^
× ´ Ñ
Ñ
- ×Ñ
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
ù
û
ú
2
2
2
a
+
+ ¢ + × ´ Ñ × =^ ^2 00( $ )( [ ])( )
^
p T k B a kx c
r r r r
. (10)
Âèäíî, ÷òî óðàâíåíèÿ (8) è (9) ñîäåðæàò òîëüêî ïîâåðõíîñòíûå
äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû
r
B ×Ñ, îïèñûâàþùèå ðàñïðîñòðàíåíèå
âîçìóùåíèé âäîëü ñèëîâûõ ëèíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Èçâåñòíî [2], ÷òî
â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ïðè ïðîäîëüíîì ðàñïðîñòðàíåíèè âîç -
ìóùåíèé ðåàëèçóþòñÿ àëüâåíîâñêèå è ìàãíèòîçâóêîâûå âîëíû. Èç
ñòðóêòóðû ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé âèäíî, ÷òî óðàâíåíèå (8) îïèñû -
âàåò àëüâåíîâñêèå âîëíû, ìîäèôèöèðîâàííûå äàâëåíèåì, à óðàâíåíèå
(9) — ìåäëåííûå ìàãíèòîçâóêîâûå âîëíû. Ýòè âîëíû “ñöåïëåíû”
äðóã ñ äðóãîì ÷åðåç âåêòîð êðèâèçíû
r
c ñèëîâûõ ëèíèé ìàãíèòíîãî
ïîëÿ. Óðàâíåíèå (10) ïîëó÷åíî ñ èñïîëüçîâàíèåì óðàâíåíèÿ (6) è ôàê -
òè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì âûïîëíèìîñòè óðàâíåíèÿ
r r
k ^ ^×
$
x = 0 .
Òà êèì îá ðà çîì, èñ õîä íîå óðàâ íå íèå (1) ñâå ëîñü ê óðàâ íå íè ÿì
(7)—(10), êî òî ðûå ñî âìåñ òíî ñ ãðà íè÷ íû ìè óñëî âè ÿ ìè îïè ñû âà þò ïî -
ïå ðå÷ íî-ìåë êî ìàñ øòàá íûå âîç ìó ùå íèÿ â ïðî èç âîëü íûõ ïëàç ìåí íûõ
ñèñ òå ìàõ ñ ìàã íèò íû ìè ïî âåð õíîñ òÿ ìè è ó÷è òû âà þò ñæè ìà å ìîñòü
67
ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÅ ÌÃÄ-ÂÎÇÌÓÙÅÍÈß Â ÏËÀÇÌÅ
ñðå äû. Ïîñ êîëü êó ïðè èõ ïî ëó ÷å íèè ê èñ õîä íûì óðàâ íå íè ÿì íå ïðè -
ìå íÿ ëèñü äèô ôå ðåí öè àëü íûå îïå ðà òî ðû, òî ïî ñëåä íèå îïè ñû âà þò
òî÷ íûé ñïåêòð ðàñ ñìàò ðè âà å ìûõ âîç ìó ùå íèé.
Èç óðàâ íå íèÿ (7) ñëå äó åò, ÷òî ôè ãó ðè ðó þ ùóþ â (8) è (9) âå ëè ÷è íó
T0
^
ìîæ íî ïðåä ñòà âèòü â âè äå [6]
T p
p B
p B
B
B
0
2
2 2
2
^ $ | |
| |
$
| |
= =
+
×Ñ
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ -g x
g
g
t
div
r
r
r
r
r
r
c x×
é
ë
ê
ù
û
ú^
r$
. (11)
Óðàâíåíèÿ (8), (9) ñ T0
^
âèäà (11) áûëè ïîëó÷åíû â ðàáîòå [14] ñ ïî -
ìîùüþ ýíåðãåòè÷åñêîãî ïðèíöèïà. Ýòè æå óðàâíåíèÿ ïîçäíåå òàêæå
áûëè âûâåäåíû â ðàáîòå [6]. Ïðè ýòîì â ïîñëåäíåé ðàáîòå óðàâíåíèå
(7) â ðàñ÷åò íå ïðèíèìàëîñü, à óðàâíåíèå (10) íå áûëî ïîëó÷åíî. Èç
ñàìîé ïðîöåäóðû óïðîùåíèÿ (1) ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèå (7) íå ÿâ -
ëÿåòñÿ òðèâèàëüíûì ïðîìåæóòî÷íûì óðàâíåíèåì, à ÿâëÿåòñÿ òî÷íî
òà êèì æå ïî çíà÷èìîñòè óðàâíåíèåì, êàê è (8) è (9). ×òî êàñàåòñÿ (10),
òî îíî ñîâìåñòíî ñ (7) îïðåäåëÿåò ñòðóêòóðó âîçìîæíûõ âîçìóùåíèé.
Òà êèì îá ðà çîì, îêîí ÷à òåëü íî ïî ëó ÷à åì ñëå äó þ ùóþ ñèñ òå ìó
óðàâ íåíèé ìà ëûõ êî ëå áà íèé:
rw x2
2 2
2
2 2| | | |
( [ ])
$ | | | |
(
r r
r r
r
r r
k B
a k B
B
k B
a
^
^
^
Ñ × ´
= - ×Ñ
Ñ × ´
×Ñ
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ -
^[ ])
$r r
r
k B
B
2
x
-
× ´
Ñ × ´
¢ +
+
×Ñ^
^
2 2
2
r r r
r r
r
r
rc
x
g
g
t[ ]
[ ]
$ | |
| |
$k B
a k B
p
p B
p B
B
| |
$
r
r r
B 2
2
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ - ×
é
ë
ê
ù
û
ú
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
^c x , (12)
rw t g x
g
g
t2
2
2
$ ( )
| |
| |
$
|
= - ×Ñ = - ×Ñ
+
×ÑpB B
p B
p B
B
B
r r r
r
r
r
rdiv
|2
2
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ - ×
é
ë
ê
ù
û
ú
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
^
r r
c x , (13)
r
r
r r r
B
B
×Ñ
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ = + + × ^
$
| |
( )
t
b x c x
2
1 2div , (14)
( $ )
( )( [ ])
| |
r
r r r
r
B
k a k B a
B
as
s×Ñ
é
ë
ê
×Ñ × ´ Ñ
×Ñ
Ñ
æ
è
çç
ö^ ^x
a
a
2
ø
÷÷ +
+ g
a
s
s
k B a
a
k a
( [ ])
| |
( )
r r
r
^
^
× ´ Ñ
Ñ
+ ×Ñ
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
2
2
2 +
+s
k B a
a
k a
s
( [ ])
| |
( )
r r
r
^
^
× ´ Ñ
Ñ
- ×Ñ
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
ù
û
ú
2
2
2
a
+
+ 2 2
2
2 2
p
p B
p B
B
B
¢ +
+
×Ñ
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ - ×
é
ë
ê ^x
g
g
t
c x
| |
| |
$
| |
r
r
r
r
r r ù
û
ú
ì
í
ï
îï
ü
ý
ï
þï
´
´ × ´ Ñ × =^ ^( [ ])( )
r r r r
k B a k c 0, (15)
68
Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, Â. Â. ÄÀÍÈËÎÂÀ
îïè ñû âà þ ùóþ ïî ïå ðå÷ íî-ìåë êî ìàñ øòàá íûå âîç ìó ùå íèÿ â ïðî èç -
âîëü íîé ãå î ìåò ðèè ìàã íèò íî ãî ïîëÿ. Îíè ìî ãóò áûòü ðå øå íû ÷èñ ëåí -
íî äëÿ çà äàí íî ãî ðàâ íî âå ñèÿ ïëàç ìû. Âåê òîð
r
k ^ â ðàâ íî âåñ íîé òî ðî è -
äàëü íîé ãå î ìåò ðèè îá û÷ íî âû ðà æà åò ñÿ ÷å ðåç ëî êàëü íûé ìàã íèò íûé
øèð [16, 17, 19], à â äè ïîëü íîé — ÷å ðåç ïî ëî è äàëü íûé ìàã íèò íûé ïî -
òîê [12, 13].
Óðàâ íå íèÿ (12)—(14) ìîæ íî ïå ðå ïè ñàòü ïî-äðó ãî ìó, âû áðàâ â êà -
÷åñ òâå íå çà âè ñè ìûõ ïå ðå ìåí íûõ $x è T0
^
. Óðàâ íå íèå (12) ïðåä ñòà âèì â
âè äå
rw x2
2
2
| |
| |
$
r
r
k
B
^ +
2
4 0
| |
( $ )( [ ])( [ ])
^
r
r r r r r
B
T p k B a k B+ ¢ × ´ Ñ × ´^ ^x c +
+
r
r
r
r
B
k
B
B×Ñ ×Ñ
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ =^| |
| |
$
2
2
0x . (16)
Èñêëþ÷èâ èç (14) ñ ïîìîùüþ (13) ïåðåìåííóþ $t, ïîëó÷àåì
r
r
r r r
B
p
B
B T T p×Ñ ×Ñ
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ + + + × =^
g
r w
b g c x
| |
( )
^ ^
2 2 0 01 2 0. (17)
Óðàâíåíèÿ (15)—(17) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìó
çàïèñè óðàâíåíèé (12)—(15). Îíè îáîáùàþò óðàâíåíèÿ Äåâàðà —
Ãëàññåðà [14] äëÿ ïîïåðå÷íî-ìåëêîìàñøòàáíûõ âîçìóùåíèé â ïëàçìå
ñ êîíå÷íûì äàâëåíèåì.
ÄÈÏÎËÜÍÎÅ ÌÀÃÍÈÒÍÎÅ ÏÎËÅ
Ïî ëó ÷åí íûå â ïðåä û äó ùåì ðàç äå ëå óðàâ íå íèÿ (15)—(17) èìå þò äî -
âîëü íî ñëîæ íûé âèä è ìî ãóò áûòü óïðî ùå íû òîëü êî äëÿ äîñ òà òî÷ íî
ïðî ñòûõ ìàã íèò íûõ êîí ôè ãó ðà öèé. Ðàñ ñìîò ðèì, êàê âû ãëÿ äÿò óêà çàí -
íûå óðàâ íå íèÿ â äè ïîëü íîì ìàã íèò íîì ïîëå, êî òî ðîå ÿâ ëÿ åò ñÿ ïðî -
ñòåé øåé ìî äåëüþ êðè âî ëè íåé íî ãî ìàã íèò íî ãî ïîëÿ, è äî øåñ òè ðà äè -
ó ñîâ Çåì ëè õî ðî øî àï ïðîê ñè ìè ðó åò ãå î ìàã íèò íîå ïîëå. Äëÿ òà êî ãî
ïîëÿ ñïðà âåä ëè âû ðà âå íñòâà
s s= =g 0,
r r
c × ´ Ñ =[ ]B a 0,
à ìåò êà ìàã íèò íîé ïî âåð õíîñ òè a ñî âïà äà åò ñ ïî ëî è äàëü íûì ìàã íèò -
íûì ïî òî êîì [12, 13]. Óðàâ íå íèå (15) äëÿ ðàñ ñìàò ðè âà å ìîé ìàã íèò íîé
êîí ôè ãó ðà öèè ïðèíèìàåò âèä
( )( [ ])
r r r
k a k B a^ ^×Ñ × ´ Ñ ´
´ ( $ )
| |
( $ )
|
^r r r
B B
a
p T
a
as
s´ Ñ ×Ñ
Ñ
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ + ¢ +
×Ñ
Ñ
x
a
a
x
c1
2
2 0
|2
é
ë
ê
ù
û
ú = 0. (18)
69
ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÅ ÌÃÄ-ÂÎÇÌÓÙÅÍÈß Â ÏËÀÇÌÅ
Èç (18) ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèÿ (16)—(17) äîïóñêàþò íåòðèâèàëüíûå
ðåøåíèÿ ïðè ( )
r
k a^ ×Ñ = 0 è ïðè ( [ ])
r r
k B a^ × ´ Ñ = 0 .
Ñîãëàñíî (6) ñëó÷àé ( [ ])
r r
k B a^ × ´ Ñ = 0 (ò. å.
r
k ^ µ Ña, ïîñêîëüêó
âåêòîð
r
k ^ ìîæåò áûòü ðàçëîæåí ïî íàïðàâëåíèÿì Ña è [ ]
r
B a´ Ñ ) ðåà -
ëèçóåòñÿ ïðè $x = 0 è $h ¹ 0. Óðàâíåíèÿ (16) è (17) â ýòîì ñëó÷àå
ïðèíèìàþò âèä
r
a
w h
a
h
s s
B B2 1
0$ $+ ×Ñ ×Ñ
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ =
r r
, (19)
r
r
r r r
B
p
B
B×Ñ ×Ñ
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ + + =
g
rw
x b x
2 2
1 0
| |
$
( )
$
div div . (20)
Çà ìå òèì, ÷òî óðàâ íå íèÿ â âè äå (19) è (20) ðà íåå áû ëè ïî ëó ÷å íû â
ðà áî òå [10] è îïè ñû âà þò ìàã íè òîñ ôåð íûå ðå çî íàí ñû ìàã íèò íûõ
ñèëîâûõ ëèíèé.
Âòî ðîå íå òðè âè àëü íîå ðå øå íèå ðå à ëè çó åò ñÿ ïðè ( )
r
k a^ ×Ñ = 0 (ò. å.
ïðè
r
k ^ µ [ ]
r
B a´ Ñ ), êîã äà $x ¹ 0, $h = 0. Äëÿ òà êî ãî ñëó ÷àÿ èç (16), (17) ñëå -
äó þò óðàâ íå íèÿ
r
w x x
c
| |
$
| |
( $ )
| |
(
Ñ
+ ×Ñ
Ñ
×Ñ
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ +
×Ñ
Ña
B
a
B
a
a2
2
2 2
1 2r r r
p p¢ + =$ $
)x g xdiv
r
0, (21)
r
r
r r r r
B
p
B
B×Ñ ×Ñ
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ + + +
×g
rw
x b x
c
2 2
1
2
| |
$
( )
$ (
div div
Ñ
Ñ
=
a
a
)
| |
$
2
0x , (22)
êî òî ðûå, êàê áûëî ïî êà çà íî â ðà áî òå [8], îïè ñû âà þò ðå çî íàí ñíûå ïî -
ëî è äàëü íûå àëü âå íîâ ñêèå ìîäû, çà öåï ëåí íûå ñ ìåä ëåí íûìè ìàãíè òî -
çâóêîâûìè ìîäàìè ÷åðåç ðà äè àëü íóþ êðè âèç íó ñè ëî âûõ ëè íèé ìàã -
íèò íî ãî ïîëÿ.
Ïîêàæåì, ÷òî â äèïîëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå ìîãóò ðåàëèçîâàòüñÿ
ñïåöèôè÷åñêèå àëüâåíîâñêèå âîëíû, îáóñëîâëåííûå ñæèìàåìîñòüþ
ñðå äû div
r$
x ¹ 0. Ñ ýòîé öåëüþ ðàññìîòðèì âîçìóùåíèÿ, óäîâëåò âî -
ðÿþùèå óñëîâèþ
div
r r
$ ( )
| |
$x
c
x+
×Ñ
Ñ
=
2
0
2
a
a
. (23)
Èç (22) è (23) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
rw x x2 2
2
1
0div div
r r r
r
r r$
| |
| |
(
$
)+ ×Ñ ×Ñ
é
ë
ê
ù
û
ú =B B
B
B , (24)
îïè ñû âà þ ùåå àëü âå íîâ ñêèå âîë íû, ñó ùåñ òâó þ ùèå òîëü êî â ñæè ìà å -
ìîé ñðå äå. Óðàâ íå íèå (21) äëÿ âîç ìó ùå íèé, óäîâ ëåò âî ðÿ þ ùèõ (23),
ïðè íè ìà åò âèä
70
Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, Â. Â. ÄÀÍÈËÎÂÀ
rw
x x
2
2 2
1
| |
$
| |
( $ )
Ñ
+ ×Ñ
Ñ
×Ñ
æ
è
çç
ö
ø
÷÷a
B
a
B
r r
+
+
2
2
2
0
2 2
( )
| |
( )
| |
$
r r
c
g
c
x
×Ñ
Ñ
¢-
×Ñ
Ñ
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ =
a
a
p p
a
a
(25)
è îïè ñû âà åò “îá û÷ íûå” àëü âå íîâ ñêèå âîë íû, ìî äè ôè öè ðî âàí íûå äàâ -
ëå íè åì.  ñëó ÷àå b ® 0 óðàâ íå íèå (25) ïå ðå õî äèò â óðàâ íå íèå äëÿ ïî -
ëî è äàëü íûõ àëüôâå íîâ ñêèõ âîëí [13].
ÍÅÑÆÈÌÀÅÌÛÅ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈß
Èç óðàâ íå íèé (19)—(22) ñëå äó åò, ÷òî ïðè êî íå÷ íûõ ÷àñ òî òàõ íå ñæè -
ìà å ìûå âîç ìó ùå íèÿ div
r$
x = 0 â äè ïîëü íîì ìàã íèò íîì ïîëå ãå íå ðè ðó -
þò ñÿ òîëü êî â âèäå òî ðî è äàëü íûõ àëüôâå íîâ ñêèõ ìîä (19). Çà ìå òèì,
÷òî íå ñæè ìà å ìûå âîç ìó ùå íèÿ âîç ìîæ íû òàê æå ïðè w ® 0. Äå éñòâè -
òåëü íî, äàæå åñëè âîç ìó ùå íèÿ ïðè êî íå÷ íûõ ÷àñ òî òàõ ðå à ëè çó þò ñÿ â
âèäå ñæè ìà å ìûõ âîç ìó ùå íèé, òî ïðè w ® 0, êàê ñëå äó åò èç (13), îíè
ñòà íî âÿò ñÿ íå ñæè ìà å ìû ìè.
Åñëè w ® 0, òî óðàâíåíèå (21) ïðèíèìàåò âèä
2
1
0
2 2
p
a
a
B
a
B¢
×Ñ
Ñ
+ ×Ñ
Ñ
×Ñ
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ =
( )
| |
$
| |
$
r r rc
x x (26)
è îïè ñû âà åò ãðà íè öó óñòîé ÷è âîñ òè èäå àëü íûõ áàë ëîí íûõ ìîä â äè -
ïîëü íîì ìàã íèò íîì ïîëå. Ýòî óðàâ íå íèå ìîæ íî òàê æå ðàñ ñìàò ðè âàòü
êàê óðàâ íå íèå äëÿ êâà çèñ òà öè î íàð íûõ áàë ëîí íûõ âîç ìó ùå íèé ñ áîëü -
øèì ïå ðè î äîì, êî òî ðûå ÷àñ òî ðå à ëè çó þò ñÿ â êîñ ìè ÷åñ êîé ïëàç ìå.
Äëÿ ïî ëó ÷å íèÿ êðè òå ðèÿ óñòîé ÷è âîñ òè ñ ïî ìîùüþ (26) èñ ïîëü çó -
åì ýíåð ãå òè ÷åñ êèé ïðè íöèï [9]. Ñëå äóÿ åìó, óìíî æèì (26) íà $x è ïðî -
èí òåã ðè ðó åì ïî îá ú å ìó âîç ìó ùåí íîé ïëàç ìû.  ðå çóëü òà òå ïî ëó ÷à åì
âû ðà æå íèå äëÿ ïî òåí öè àëü íîé ýíåð ãèè W âîç ìó ùåí íî ãî ñî ñòî ÿ íèÿ
ïëàç ìû íà ãðà íè öå óñòîé ÷è âîñ òè:
W dV
a
B p
a
a
=
Ñ
×Ñ - ¢
×Ñ
Ñ
é
ë
ê
ù
û
ú =ò
1
2
1
2 0
2
2
2
2
| |
( $ )
( )
| |
$
r r
x
c
x . (27)
Ïåð âîå ñëà ãà å ìîå â (27) îïè ñû âà åò ýô ôåêò ñòà áè ëè çà öèè, îá -
óñëîâ ëåí íûé èç ãè áà íè åì ñè ëî âûõ ëè íèé ìàã íèò íî ãî ïî ëÿ, à âòî ðîå
— äåñ òà áè ëè çè ðó þ ùåå âëè ÿ íèå ãðà äè åí òà äàâ ëå íèÿ. Ïî ëî æè òåëü -
íîñòü êâàä ðà òè÷ íîé ôîð ìû (27) (W > 0) ãà ðàí òè ðó åò óñòîé ÷è âîñòü
ïëàç ìû îò íî ñè òåëü íî íå ñæè ìà å ìûõ ïî ïå ðå÷ íî-ìåë êî ìàñ øòàá íûõ
âîç ìó ùå íèé.
Âèä íî, ÷òî èí òåã ðàë (27) ìî æåò îá ðà òèòü ñÿ â íîëü ëèøü çà ñ÷åò
ñëà ãà å ìî ãî, ïðî ïîð öè î íàëü íî ãî
r
c ×Ñp. Ïî ý òî ìó íå ðà âå íñòâî [6, 12]
71
ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÅ ÌÃÄ-ÂÎÇÌÓÙÅÍÈß Â ÏËÀÇÌÅ
r
c ×Ñ <p 0 (28)
ÿâ ëÿ åò ñÿ ïðî ñòåé øèì äîñ òà òî÷ íûì óñëî âè åì óñòîé ÷è âîñ òè ïëàç ìû
îò íî ñè òåëü íî ïî ïå ðå÷ íî-ìåë êî ìàñ øòàá íûõ âîç ìó ùå íèé ñ êî íå÷ íûì
äàâ ëå íè åì, ò. å. áàë ëîí íûõ ìîä, â äè ïîëü íîé ãå î ìåò ðèè. Äëÿ óñòîé ÷è -
âîñ òè äîñ òà òî÷ íî, êàê âèä íî èç (28), ÷òî áû ñè ëî âàÿ ëè íèÿ èìå ëà “áëà -
ãîï ðè ÿò íóþ” êðè âèç íó, ò. å. áûëà âû ãíó òà â ñòî ðî íó óâå ëè ÷å íèÿ äàâ -
ëå íèÿ. Òà êèì îá ðà çîì, â ìàã íèò íûõ êîí ôè ãó ðà öè ÿõ íå óñòîé ÷è âûå
áàë ëîí íûå ìîäû ðå à ëè çó þò ñÿ íà îò ðåç êå ñè ëî âîé ëè íèè, ãäå êðè âèç íà
ÿâ ëÿ åò ñÿ “íå áëà ãîï ðè ÿò íîé”, ò.å. ãäå âû ïîë íÿ åò ñÿ óñëî âèå c ×Ñp > 0.
Äëÿ àíàëèçà íåóñòîé÷èâûõ âîçìóùåíèé ñ ïîìîùüþ (26) óäîáíî
ïåðåéòè ê ïðîèçâîäíîé âäîëü ñèëîâîé ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïðåä -
ñòàâèâ îïåðàòîð
r
B ×Ñ â âèäå
r
B ×Ñ = | |
r
B
l
¶
¶
, ãäå l — äëèíà äóãè ñèëîâîé
ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì
| |
| |
| |
$
| |
( )$
r r r
B
l a
B
l a
p
¶
¶ Ñ
¶
¶
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ +
Ñ
×Ñ =
1 2
0
2 2
x
c x . (29)
Ôèãóðèðóþùèå â ýòîì óðàâíåíèè âåëè÷èíû áåðóòñÿ íà ñèëîâîé ëè -
íèè. Ïóñòü íåóñòîé÷èâûå âîçìóùåíèÿ ëåæàò â ïðåäåëàõ 0 £ l £ L, ãäå
ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî c ×Ñp > 0, è èçìåíÿþòñÿ íà ýòîì èíòåðâàëå
ãîðàçäî áûñòðåå, ÷åì ðàâíîâåñíûå âåëè÷èíû. Äëÿ òàêèõ âîçìóùåíèé
èç (29) ïîëó÷àåì
¶
¶
+ ×Ñ »
2
2 2
2
0
$
| |
| | $
x
c x
l B
pr ,
îòêóäà ñëåäóåò
$ $ sin
| |
| |
x x
c
»
×Ñæ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷0 2
2
r
r
p
B
l . (30)
Èç óñëîâèÿ îáðàùåíèÿ â íîëü âîçìóùåíèé íà êîíöàõ èíòåðâàëà
íàõîäèì
2
2
| |
| | /
r
r
c p×Ñ
=
p
B L n
. (31)
Åñëè ïðåíåáðå÷ü çàâèñèìîñòüþ ðàäèóñà êðèâèçíû ñèëîâîé ëèíèè îò
êîîðäèíàòû âäîëü íåå è ïåðåéòè ê îáû÷íîìó ìàñøòàáèðîâàíèþ ìàã -
íèòíîãî ïîëÿ (
r
B µ
r
B / 4p), òî óðàâíåíèå (31) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå
L n
Rb
=
æ
è
ç
ö
ø
÷p
b
1 2/
. (32)
Çäåñü p p/| |Ñ µ b, | |
r
c µ 1/R, b = 8 2pp B/| |
r
. Èç (32) ñëå äó åò, ÷òî óñëî âèå îò -
ñó òñòâèÿ ðå øå íèé èëè, ÷òî òî æå ñà ìîå, óñëî âèå óñòîé ÷è âîñ òè ïëàç -
ìû, ìîæ íî çà ïè ñàòü êàê
72
Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, Â. Â. ÄÀÍÈËÎÂÀ
L < p
b
Rbæ
è
ç
ö
ø
÷. (33)
Êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè áàëëîííûõ âîçìóùåíèé (33) ñîâïàäàåò ñ
êðèòåðèåì, ïðèâåäåííûì â [4]. Èç íåãî ñëåäóåò, ÷òî õàðàêòåðíàÿ äëèíà
èíòåðâàëà íåóñòîé÷èâîñòè äîëæíà áûòü ìåíüøå íåêîòîðîãî ãåîìåò -
ðè ÷åñêîãî ðàçìåðà ïëàçìåííîé ñèñòåìû. Âèäíî, ÷òî ïðè b ® 0 ïî ïå -
ðå÷íî-ìåëêîìàñøòàáíûå âîçìóùåíèÿ çàâåäîìî óñòîé÷èâû.
 ñëó÷àå L µ Rb /b , òî íà ñè ëî âîé ëè íèè ðå à ëè çó åò ñÿ åäè íñòâåí -
íîå (n = 1) âîç ìó ùå íèå â âè äå “øëå ìî ïî äîá íîé” ñòðóê òó ðû. Òà êèå
âîç ìó ùå íèÿ ãå íå ðè ðó þò ñÿ â ñî ëíå÷ íûõ êî ðî íàëü íûõ ïåò ëÿõ, õî ðî øî
íà áëþ äà þò ñÿ ýêñ ïå ðè ìåí òàëü íî [7] è ÿâ ëÿ þò ñÿ ïåð âî íà ÷àëü íûì çà ðî -
äû øåì ôîð ìè ðó þ ùå ãî ñÿ êî ðî íàëü íî ãî âû áðî ñà ìàñ ñû íà Ñîë íöå [3]
— ïëàç ìåí íî ãî îá ðà çî âà íèÿ, îò âå ÷à þ ùå ãî çà ìàã íèò íûå áó ðè â îê -
ðåñ ò íîñ òè Çåì ëè. Òà êèå æå âîç ìó ùå íèÿ íà áëþ äà þò ñÿ êîñ ìè ÷åñ êè ìè
àï ïà ðà òà ìè [18] â íî÷ íîì ñåê òî ðå ìàã íè òîñ ôå ðû Çåì ëè íà ðàñ ñòî ÿ íèè
ïî ðÿä êà äå ñÿ òè ðà äè ó ñîâ Çåì ëè. Íà íå ëè íåé íîé ñòà äèè áàë ëîí íîå
âîç ìó ùå íèå èìå åò âèä “ïàëü öà”, âû òÿ íó òî ãî â íà ïðàâ ëå íèè “õâîñ òà”
ìàã íèò íî ãî ïî ëÿ Çåì ëè. Îòëè ÷è òåëü íîé îñî áåí íîñ òüþ “øëå ìî ïî äîá -
íûõ” è “ïàëü öå âûõ” ñòðóê òóð ÿâ ëÿ åò ñÿ èõ ìåä ëåí íîå èç ìå íå íèå (ò. å.
êâà çèñ òà öè î íàð íîñòü), ÷òî ñî îò âå òñòâó åò w ® 0 .
 ñëó÷àå L >> Rb /b ñî ãëàñ íî (32) ðå øå íèå (31) ïðåä ñòàâ ëÿ åò ñî -
áîé “ãðå áåí êó”, ñî ñòî ÿ ùóþ èç ìíî æåñ òâà âîç ìó ùå íèé (n >> 1) ñ îäè -
íà êî âîé àì ïëè òó äîé
$ $ sin
/
x x
p
=
æ
è
ç
ö
ø
÷0
l
L n
. (34)
Ðåøåíèå (34) ñîãëàñóåòñÿ ñ ìåòîäîì “ýêâèâàëåíòíûõ ãàðìîíèê” [5],
ïðèìåíÿåìûì äëÿ îïèñàíèÿ óñòîé÷èâîñòè òîðîèäàëüíûõ ïëàçìåííûõ
ñòðóêòóð.
ÑÆÈÌÀÅÌÛÅ ÂÎÇÌÓÙÅÍÈß
Ðàññìîòðåííûå âûøå íåñæèìàåìûå âîçìóùåíèÿ (div
r$
x = 0) ÿâëÿþòñÿ
òîëüêî îäíèì èç âîçìîæíûõ âîçìóùåíèé, ðåàëèçóþùèõñÿ íà ãðàíèöå
óñòîé÷èâîñòè.  îáùåì ñëó÷àå íà ãðàíèöå óñòîé÷èâîñòè ñïðàâåäëèâî
ðàâåíñòâî div
r$
x = C = const. ×òîáû óáåäèòüñÿ â ýòîì, îáðàòèìñÿ ê
óðàâíåíèÿì (13) è (14), êîòîðûå äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ âîçìóùåíèé
èìåþò âèä
rw t g x2 0$ (
$
)+ ×Ñ =pB
r r
div , (35)
r
r
r r
B
B
a
a
×Ñ
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ = + +
×Ñ
Ñ
$
| |
( )
$ ( )
| |
$t
b x
c
x
2 2
1
2
div , (36)
73
ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÅ ÌÃÄ-ÂÎÇÌÓÙÅÍÈß Â ÏËÀÇÌÅ
è èç êîòîðûõ âûòåêàåò óðàâíåíèå (17). Ïðè w2 ® 0 èç (35) ñëåäóåò div$x
= const. Òîãäà óðàâíåíèå (36) ïðèíèìàåò âèä
r
r
r
B
l B
C
a
a
×Ñ
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ = + +
×Ñ
Ñ
¶
¶
t
b
c
x
$
| |
( )
( )
| |
$
2 2
1
2
. (37)
Ïðåäñòàâèâ äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð
r
B ×Ñ â âèäå ïðîèçâîäíîé
âäîëü ñèëîâîé ëèíèè
r
B ×Ñ = | | /
r
B l¶ ¶ , èç (37) ïîëó÷àåì
| |
$
| |
( )
( )
| |
$
r
r
r
B
l B
C
a
a
¶
¶
t
b
c
x
2 2
1
2
0
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ = + +
×Ñ
Ñ
= . (38)
Êîíñòàíòó C íàéäåì, èñïîëüçóÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ $t. Äëÿ îïðå -
äåëåííîñòè ñ÷èòàåì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå âîçìóùåíèÿ ëîêàëèçîâàíû
íà ñèëîâîé ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ìåæäó òî÷êàìè l = 0 è l = L, íà -
ïðèìåð êàê â ìàãíèòíûõ ïåòëÿõ â àòìîñôåðå Ñîëíöà èëè â ìàãíè òî -
ñôåðå Çåìëè. Èíòåãðèðóÿ ïîëó÷èâøååñÿ óðàâíåíèå âäîëü ñèëîâîé ëè -
íèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, íàõîäèì
C
B
dl
B
a
a
dl
B
L L
L
=
-
×Ñ
Ñ
+
ò
ò
$
| | | |
( )
| |
$
| |( )
t c
x
b
r r
r
r
2
0 0
2
0
2
1
. (39)
Íà ãðàíèöå óñòîé÷èâîñòè óðàâíåíèå (21) äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ ñæè -
ìàåìûõ âîçìóùåíèé ïðèíèìàåò âèä
2
1
0
2 2
( )
| | | |
$p pC
a
a
B
a
B¢ +
×Ñ
Ñ
+ ×Ñ
Ñ
×Ñ
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ =x g
c
x
r r r
. (40)
Óðàâíåíèå (40) îòëè÷àåòñÿ îò óðàâíåíèÿ (26) ìîäèôèêàöèåé ñëàãà -
åìîãî ñ äàâëåíèåì
p p pC¢ ® ¢ +$ $x x g . (41)
Ïîñ êîëü êó ïðè l = 0 è l = L àì ïëè òó äà $t îá û÷ íî ÿâ ëÿ åò ñÿ ëè íåé íîé
ôóíê öè åé $x, è â îá ùåì ñëó ÷àå íå óäîâ ëåò âî ðÿ åò óñëî âèþ C = 0, òî ãðà -
íè öà óñòîé ÷è âîñ òè, îïðå äå ëÿ å ìàÿ èç (40), ìî æåò ïðè âî äèòü ê áî ëåå
ìÿã êèì óñëî âè ÿì äëÿ ãå íå ðà öèè íå óñòîé ÷è âûõ âîç ìó ùå íèé.  ÷àñ -
òíîñ òè, â ðà áî òå [12] áû ëî ïî êà çà íî, ÷òî èç-çà ãðà íè÷ íûõ óñëî âèé íà
èî íîñ ôå ðå â ìàã íè òîñ ôåð íîé ïëàç ìå ðå à ëè çó þò ñÿ íå óñòîé ÷è âûå æå -
ëîá êî âûå âîç ìó ùå íèÿ ñ áî ëåå ìÿã êèì îãðà íè ÷å íè åì íà ãðà äè åíò äàâ -
ëå íèÿ ìàã íè òîñ ôåð íîé ïëàç ìû ïî ñðàâ íå íèþ ñ ðà íåå èç âåñ òíûì êðè -
òå ðè åì Ãîë äà — Êà äîì öå âà [1, 15] äëÿ ýòî ãî ñëó÷àÿ.
Åñëè æå ñè ëî âàÿ ëè íèÿ ìàã íèò íî ãî ïî ëÿ ÿâ ëÿ åò ñÿ çà ìêíó òîé, èëè
àì ïëè òó äà $t îá ðà ùà åò ñÿ â íîëü ïðè l = 0 è l = L, òî ñëà ãà å ìîå, îïè ñû âà -
þ ùåå ïðî äîëü íîå ñìå ùå íèå $t, â (39) èñ ÷å çà åò.  ðå çóëü òà òå ïî ñòî ÿí -
74
Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, Â. Â. ÄÀÍÈËÎÂÀ
íàÿ âå ëè ÷è íà C îïè ñû âà åò òîëü êî ñòà áè ëè çè ðó þ ùåå âëè ÿ íèå ñæè ìà å -
ìîñ òè.  ýòîì ñëó ÷àå óðàâ íå íèå (40) äà åò áî ëåå ìÿã êèé êðè òå ðèé
óñòîé ÷èâîñòè ïî ñðàâ íå íèþ ñ êðè òå ðè åì äëÿ íå ñæè ìà å ìûõ âîç ìó ùå -
íèé, âû òå êà þ ùèì èç (39).
Ñëå äóÿ ïîä õî äó, èç ëî æåí íî ìó â ïðåä û äó ùåì ðàç äå ëå, ñî ñòà âèì
èç (40) èí òåã ðàë W ïî òåí öè àëü íîé ýíåð ãèè âîç ìó ùå íèé íà ãðà íè öå
óñòîé ÷è âîñ òè:
W d
dl
B a
B
l
L
=
ì
í
î Ñ
æ
è
çç
¶
¶
ö
ø
÷÷ - ×Ñò ò
1
2
1
2
0
2
2
F
| | | |
| |
$
(r
r rx
c p)$x 2
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
+
+
4
1
0
2
2
0
g
c
x
b
p
dl
B
a
a
dl
B
L
L
| |
( )
| |
$
| |
( )
r
r
r
ò
ò
×Ñ
Ñ
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+
ü
ý
ï
ï
þ
ï
ï
. (42)
Çäåñü dV = d dlS — îá ú åì ìàã íèò íîé ñè ëî âîé òðóá êè ñ ïî ïå ðå÷ íûì ñå -
÷å íè åì d d lS S= ( ), à l, êàê è ðàíü øå, — ðàñ ñòî ÿ íèå âäîëü ñè ëî âîé ëè -
íèè ìàã íèò íî ãî ïîëÿ. Ýòîé ñè ëî âîé òðóá êå ñî îò âå òñòâó åò ìàã íèò íûé
ïî òîê d B l d lF S= ( ) ( ), íå çà âè ñÿ ùèé îò l.
Óñòîé ÷è âîñ òè ïëàç ìû ñî îò âå òñòâó åò íå ðà âå íñòâî W > 0. Ïåð âîå
ñòà áè ëè çè ðó þ ùåå ñëà ãà å ìîå â (42) áó äåò ðàâ íî íó ëþ äëÿ âîç ìó ùå íèé
æå ëîá êî âî ãî òè ïà ¶ ¶$ /x l = 0, ò. å. äëÿ $( )x l = const . Ýòî îçíà ÷à åò, ÷òî ïî
îò íî øå íèþ ê æå ëîá êî âûì âîç ìó ùå íè ÿì ïëàç ìà îá ëà äà åò ëèøü ñòà áè -
ëè çè ðó þ ùåé óïðó ãîñ òüþ, îá óñëîâ ëåí íîé åå ñæè ìà å ìîñ òüþ (òðåòüå
ñëà ãà å ìîå â (42)). Ïî ý òî ìó, åñ ëè èìå åò ñÿ äîñ òà òî÷ íî áîëü øîå äàâ ëå -
íèå, íà ïðàâ ëåí íîå â ñòî ðî íó “íå áëà ãîï ðè ÿò íîé” êðè âèç íû ñè ëî âûõ
ëè íèé ìàã íèò íî ãî ïî ëÿ (
r
c ×Ñp > 0) , òî óêà çàí íûå âîç ìó ùå íèÿ íà ÷íóò
íà ðàñ òàòü ñî âðå ìå íåì. Ïîä ñòàâ ëÿÿ â (42) âîç ìó ùå íèÿ $( )x l = const, ïî -
ëó ÷à åì ëî êàëü íûé êðè òå ðèé óñòîé ÷è âîñ òè îò íî ñè òåëü íî æå ëîá êî âûõ
âîçìóùåíèé â âèäå
2
0
2
2
g
c
p
dl
B
a
a
L
| |
( )
| |
r
r
ò
×Ñ
Ñ
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷ >
dp
da
dl
B
dl
B
a
a
L L
| |
( )
| |
( )
| |
r r
r
0 0
2
1ò ò+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
×Ñ
Ñ
æ
è
çb
c
ç
ö
ø
÷
÷. (43)
Êàê ïîêàçàíî â Ïðèëîæåíèè, êðèòåðèé (43) ýêâèâàëåíòåí êðèòåðèþ
óñòîé÷èâîñòè Øïèçà [20]
( & & ) & &
| |
gpU pU U pU
B
+ -
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
1
2
r > 0. (44)
Çäåñü èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ
U
dl
B
L
= ò | |
r
0
, (...) (...) /
.
= d da, ...
| |
(...) /
| |
= ò ò
dl
B
dl
B
L L
r r
0 0
, (45)
75
ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÅ ÌÃÄ-ÂÎÇÌÓÙÅÍÈß Â ÏËÀÇÌÅ
ãäå óãëîâûìè ñêîáêàìè îáîçíà÷åíî óñðåäíåíèå ïî îáúåìó ñëîÿ ìåæäó
áåñêîíå÷íî áëèçêèìè ìàãíèòíûìè ïîâåðõíîñòÿìè.  ïðåäåëå ìàëîãî
äàâëåíèÿ âòîðîå ñëàãàåìîå â (44) ìîæåò áûòü çàìåíåíî íà &U , è êðè -
òåðèé (44) ïåðåõîäèò â êðèòåðèé Ãîëäà — Êàäîìöåâà [1, 15]
gpU pU& &+ > 0. (46)
Èç (44) âèäíî, ÷òî âòîðàÿ îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè
& &
| |
U pU
B
- >
1
0
2
r (47)
ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò b.
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÐÅÇÓËÜÒÀÒÛ
 ðàáîòå ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå îñíîâíûå ðåçóëüòàòû.
1. Ïî ëó ÷å íà ñèñ òå ìà óðàâ íå íèé (15)—(17) (èëè ýê âè âà ëåí òíàÿ åé
ñèñ òå ìà (12)—(15)) äëÿ ïî ïå ðå÷ íî-ìåë êî ìàñ øòàá íûõ âîç ìó ùå íèé â
ïëàç ìå ñ ìàã íèò íû ìè ïî âåð õíîñ òÿ ìè, îá îá ùà þ ùàÿ ñèñ òå ìó óðàâ íå -
íèé Äå âà ðà — Ãëàñ ñå ðà.
2. Ïî êà çà íî, ÷òî óðàâ íå íèÿ (14), (15) íà êëà äû âà þò äî ïîë íè òåëü -
íûå îãðà íè ÷å íèÿ íà ïðî äîëü íûå è ïî ïå ðå÷ íûå êîì ïî íåí òû âåê òî ðà
ñìå ùå íèÿ. Èõ äî áàâ ëå íèå ê óðàâ íå íè ÿì Äå âà ðà — Ãëàñ ñå ðà (12) è (13)
ïðè âî äèò ê îãðà íè ÷å íè ÿì íà òè ïû âîç ìîæ íûõ âîç ìó ùå íèé.
3. Ïðÿìûìè ðàñ÷åòàìè èç óðàâíåíèé ÌÃÄ ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
âåêòîð
r
k ^ ïàðàëëåëåí âåêòîðó âîçìóùåííîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ.
Ïî ýòîìó èç (15)—(17) ñëåäóåò, ÷òî â äèïîëüíîì ìàãíèòíîì ïîëå
ðåàëèçóþòñÿ âîçìóùåíèÿ ñ äâóìÿ ïîëÿðèçàöèÿìè (
r
k ^ µ Ña è
r
k ^ µ
[ ]
r
B a´ Ñ ). Äëÿ ýòèõ ïîëÿðèçàöèé ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ (19), (21) è (22),
îïèñûâàþùèå òîðîèäàëüíûå àëüâåíîâñêèå ìîäû è ïîëîèäàëüíûå àëü -
âåíîâñêèå ìîäû, ”çàöåïëåííûå” ÷åðåç ðàäèàëüíóþ êðèâèçíó ñèëîâûõ
ëèíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ ìåäëåííûìè ìàãíèòîçâóêîâûìè ìîäàìè.
4. Óñòà íîâ ëå íî, ÷òî â ïëàç ìåí íîé ñðå äå ìî ãóò ðå à ëè çî âû âàòü ñÿ
ñïå öè ôè ÷åñ êèå ïî ëî è äàëü íûå àëü âå íîâ ñêèå ìî äû, îïè ñû âà å ìûå
óðàâ íåíèåì (24) è îá óñëîâ ëåí íûå ñæè ìà å ìîñ òüþ ïëàç ìåí íîé ñðå äû
div
r
x ¹ 0.
5. Îòìå ÷å íî, ÷òî â äè ïîëü íîé ãå î ìåò ðèè ìàã íèò íî ãî ïî ëÿ íå ñæè -
ìà å ìûå ïî ïå ðå÷ íî-ìåë êî ìàñ øòàá íûå âîç ìó ùå íèÿ ñ êî íå÷ íû ìè ÷àñ -
òî òà ìè ðå à ëè çó þò ñÿ òîëü êî â âè äå òî ðî è äàëü íûõ àëüôâå íîâ ñêèõ ìîä.
Èç óðàâ íå íèÿ (26) ïî êà çà íî, ÷òî ïðè w ® 0 ðå à ëè çó þò ñÿ áàë ëîí íûå
ìî äû. Èç ýòî ãî óðàâ íå íèÿ ïî ëó ÷å íî êâà çèñ òà öè î íàð íîå ðå øå íèå, êî -
òî ðîå îïè ñû âà åò “øëå ìî ïî äîá íûå” ñòðóê òó ðû â ñî ëíå÷ íûõ êî ðî íàëü -
íûõ ïåò ëÿõ è “ïàëü öå âûå” ñòðóê òó ðû â ìàã íè òîñ ôå ðå Çåìëè.
6. Îáðà ùå íî âíè ìà íèå íà òî îá ñòî ÿ ò åëüñòâî, ÷òî â îãðà íè ÷åí íîé
ïëàç ìåí íîé ñðå äå ìàã íè òîñ ôå ðû íå ñæè ìà å ìûå âîç ìó ùå íèÿ íå ÿâ ëÿ -
76
Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, Â. Â. ÄÀÍÈËÎÂÀ
þò ñÿ ñà ìû ìè îïàñ íû ìè ñ òî÷ êè çðå íèÿ óñòîé ÷è âîñ òè. Ïî ÿñ íå íî, ÷òî
èç-çà ãðà íè÷ íûõ óñëî âèé, îá óñëîâ ëåí íûõ êî íå÷ íîé ïðî âî äè ìîñ òüþ
èî íîñ ôå ðû, âîç ìîæ íà ðå à ëè çà öèÿ ñæè ìà å ìûõ âîç ìó ùå íèé ñ áî ëåå
“ìÿã êèì” êðè òå ðè åì íå óñòîé ÷è âîñ òè ìàã íè òîñ ôåð íîé ïëàç ìû, ïî
ñðàâ íå íèþ ñ êðè òå ðè åì äëÿ íå ñæè ìà å ìûõ âîç ìó ùå íèé.
ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ
Ïî ëó ÷èì êðè òå ðèé óñòîé ÷è âîñ òè (44). Äëÿ óïðî ùå íèÿ (43) ïðåä ñòà -
âèì ìàã íèò íîå ïîëå â âèäå
r
B a b= Ñ ´ Ñ[ ], (Ï.1)
ãäå a, êàê è âûøå, âû áå ðåì â êà ÷åñ òâå ìåò êè ìàã íèò íûõ ïî âåð õíîñ òåé.
Èç óðàâ íå íèÿ ìàã íè òîñ òà òè ÷åñ êî ãî ðàâ íî âå ñèÿ è âû ðà æå íèÿ äëÿ âåê -
òî ðà êðè âèç íû ìàã íèò íî ãî ïîëÿ
Ñ = ´p j B[ ]
r r
,
r
r
r
r
r
r
r
c =
Ñ +
- ×Ñ
( | | )
| | | |
( )
| |2
2 2
2
2 4
2p B
B
B
B
B
B
,
ïîëó÷àåì
r r
r r
r
r
c × Ñ ´
= -
Ñ ´æ
è
ç
ç
ö[ ]
| | | |
[ ]
| |
b B
B
dp
da B
b B
B
1
2
1 1
22 2
div
ø
÷
÷. (Ï.2)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
r r
r
r
c c× Ñ ´
=
×Ñ
Ñ
[ ]
| | | |
b B
B
a
a2 2
,
èç (Ï.2) íàõîäèì
dl
B
a
a
dp
da
U
B
dl
B
b
| |
( )
| | | | | |
[
r r r
r
ò ò
×Ñ
Ñ
= -
Ñ ´c
2 2
1
2
1 1
2
div
B
B
]
| |
r
2
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷, (Ï.3)
ãäå âåëè÷èíû U è ... îïðåäåëåíû (45).
Ïðåîáðàçóåì âòîðîå ñëàãàåìîå ñïðàâà â (Ï.3), ó÷èòûâàÿ, ÷òî ýëå -
ìåíò dV îáúåìà ïëàçìû ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
dV
dsda
a
dadbdl
B
=
Ñ
=
| | | |
r . (Ï.4)
Çäåñü ds — ýëå ìåíò ïëî ùà äè íà ìàã íèò íîé ïî âåð õíîñ òè a = const. Òîã -
äà èñ êî ìîå ñëà ãà å ìîå ïðè íè ìà åò âèä
dl
B
b B
B| |
[ ]
| |
r
r
rò
Ñ ´æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷div
2
=
d
da
d
db
dadbdl
B
b B
B| |
[ ]
| |
r
r
rò
Ñ ´æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷div
2
=
77
ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÅ ÌÃÄ-ÂÎÇÌÓÙÅÍÈß Â ÏËÀÇÌÅ
=
d
da
d
db
n b B
B
ds
r r
r
× Ñ ´
ò
[ ]
| |2
=
d
da
d
db
dbdl
B
d
da
dl
B
dU
da| | | |
r rò ò= = . (Ï.5)
Ïðè ïîëó÷åíèè (Ï.5) áûëî ó÷òåíî, ÷òî
r
n = Ñ Ña a/| |.
Èç (43) è (Ï.2)—(Ï.5) ïî ñëå ïðî ñòûõ àë ãåá ðà è ÷åñ êèõ ïðå îá ðà çî -
âà íèé ïî ëó ÷à åì êðè òå ðèé óñòîé ÷è âîñ òè (44).
1. Êàäîìöåâ Á. Á. Ãèäðîìàãíèòíàÿ óñòîé÷èâîñòü ïëàçìû // Âîïðîñû òåîðèè ïëàçìû /
Ïîä ðåä. Ì. À. Ëåîíòîâè÷à. — Ì.: Ãîñàòîìèçäàò, 1963.—Âûï. 2.—Ñ. 132—
176.
2. Êàäîìöåâ Á. Á. Êîëëåêòèâíûå ÿâëåíèÿ â ïëàçìå. — Ì.: Íàóêà, 1988.—304 ñ.
3. Êðåìåíåöêèé È. À., ×åðåìíûõ Î. Ê. Êîñìè÷åñêàÿ ïîãîäà: ìåõàíèçìû è ïðîÿâëå -
íèÿ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2009.—144 ñ.
4. Ìèõàéëîâñêèé À. Á. Òåîðèÿ ïëàçìåííûõ íåóñòîé÷èâîñòåé. — Ì.: Àòîìèçäàò,
1977.—Ò. 2.—306 ñ.
5. Ïîãóöå Î. Ï., Þð÷åíêî Ý. È. Áàëëîííûå ýôôåêòû è óñòîé÷èâîñòü ïëàçìû â
òîêàìàêå // Âîïðîñû òåîðèè ïëàçìû / Ïîä ðåä. Á. Á. Êàäîìöåâà. — Ì.: Ýíåð ãî -
èçäàò, 1987.—Âûï. 11.—Ñ. 56—117.
6. Ïóñòîâèòîâ Â. Ä., Øàôðàíîâ Â. Ä. Ðàâíîâåñèå è óñòîé÷èâîñòü ïëàçìû â ñòåëëàðà -
òîðàõ // Âîïðîñû òåîðèè ïëàçìû / Ïîä ðåä. Á. Á. Êàäîìöåâà. — Ì.: Ýíåðãîèç -
äàò, 1987.—Âûï. 15.—Ñ. 146—293.
7. Öàï Þ. Ò., Êîïûëîâà Þ. Ã., Ñòåïàíîâ À. Â. Áàëëîííàÿ íåóñòîé÷èâîñòü è êîëåáà -
íèÿ êîðîíàëüíûõ ïåòåëü // Àñòðîí. æóðí.—2006.—¹ 12.—C. 1142—1152.
8. ×åðåìíûõ Î. Ê. Ê âîïðîñó î ðåçîíàíñíûõ ÌÃÄ-âîçìóùåíèÿõ â ìàãíèòîñôåðíîé
ïëàçìå // Êîñì³÷íà íàóêà è òåõíîëîã³ÿ.—2010.—16.—Ñ. 57—63.
9. Bernstein I. B., Frieman E. A., Kruskal M. D., Kulsrud R. M. An en ergy prin ci ple for
hydromagnetic stability prob lems // Proc. Roy. Soc. Lon don A.—1958.—244.—
P. 17—40.
10. Cheng C. Z., Chang T. C., Lin C. A., Tsai W. H. J. Magnetohydrodynamic the ory of
field line res o nances in the mag neto sphere // J. Geophys. Res.—1993.—98A, N 7.—
P. 11339—11347.
11. Cheremnykh O. K. Transversally small-scale per tur ba tions in ar bi trary plasma con fig u -
ra tions with mag netic sur faces // Plasma Phys. Contr. Fu sion.—2010.—52.
12. Cheremnykh O. K., Parnovski A. S. Flute and bal loon ing modes in the in ner mag neto -
sphere of the Earth: Sta bil ity and in flu ence of the ion o spheric con duc tiv ity // Space
Sci ence: New Re search / Ed. by Nick S. Maravell. — New York: Nova Sci. Publs
Inc., 2006.—P. 71—108.
13. Cheremnykh O., Parnowski A., Burdo O. Bal loon ing modes in the in ner mag neto sphere
of the Earth // Planet. Space Sci.—2004.—55.—P. 1217—1229.
14. Dewar R. L., Glas ser A. H. Bal loon ing mode spec trum in gen eral to roid al sys tems //
Phys. Flu ids.—1983.—26.—P. 3038—3052.
15. Gold T. I. Mo tions in the mag neto sphere of the Earth // J. Geophys.Res.—1959.—
64.—P. 1219—1226.
16. Guthbert P., Lewandowski J. L. V., Gardner H. J., et al. Toroidally lo cal ized and non -
lo calized bal loon ing in sta bil i ties in a stellarator // Phys. Plas mas.—1998.—5.—
P. 2921—2931.
17. Hazeltine R. D., Meiss J. D. Shear-Alfven dy nam ics of toroidally con fined plas mas //
Phys. Repts.—1985.—121, N 1-2.—P. 1—167.
78
Î. Ê. ×ÅÐÅÌÍÛÕ, Â. Â. ÄÀÍÈËÎÂÀ
18. Hur ri cane O. A., Fong B. H., Cow ley S. C., et al. Substorm det o na tion // J. Geophys.
Res.—1999.—104A, N 5.—P. 10221—10231.
19. Nakajima N. High-mode-num ber bal loon ing modes in a heliotron/torsatron sys tem. II.
Sta bil ity // Phys. Plas mas.—1996.—3.—P. 4556—4567.
20. Spies G. O. Magnetohydrodynamic sta bil ity the ory with closed mag netic field lines //
Phys. Flu ids.—1974.—17.—P. 400—407.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 10.08.09
79
ÏÎÏÅÐÅ×ÍÎ-ÌÅËÊÎÌÀÑØÒÀÁÍÛÅ ÌÃÄ-ÂÎÇÌÓÙÅÍÈß Â ÏËÀÇÌÅ
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-74947 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0233-7665 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T07:59:48Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Головна астрономічна обсерваторія НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Черемных, О.К. Данилова, В.В. 2015-01-24T20:19:45Z 2015-01-24T20:19:45Z 2011 Поперечно-мелкомасштабные МГД-возмущения в космической плазме с магнитными поверхностями / О.К. Черемных, В.В. Данилова // Кинематика и физика небесных тел. — 2011. — Т. 27, № 2. — С. 63-79. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0233-7665 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/74947 533.951; 533.951.8 Анализируются поперечные мелкомасштабные возмущения в произвольных трехмерных пространственно неоднородных плазменных космических системах с магнитными поверхностями. Получена система уравнений для таких возмущений. Показано, что в дипольном магнитном поле реализуются возмущения с двумя различными поляризациями. В рамках дипольной геометрии получены уравнения для собственных МГД-мод, а также исследована устойчивость возмущений. Аналізуються поперечні дрібномаштабні збурення у довільних тривимірних просторово неоднорідних плазмових космічних системах з магнітними поверхнями. Отримано систему рівнянь для таких збурень. Показано, що у дипольній геометрії магнітного поля реалізуються збурення з двома різними поляризаціями. В рамках дипольної геометрії отримано рівняння для власних МГД-мод, а також досліджено стійкість збурень. Transversal small-scale perturbations in arbitrary three-dimensional (3-D) spatially non-uniform space plasma systems with magnetic surfaces are analysed. A system of equations describing the disturbances is deduced. It is shown that in dipole geometry of magnetic field the disturbances of two different polarizations can be realized. In the framework of dipole geometry equations for MHD-eigenmodes are obtained and stability of the disturbances is investigated. ru Головна астрономічна обсерваторія НАН України Кинематика и физика небесных тел Физика космоса Поперечно-мелкомасштабные МГД-возмущения в космической плазме с магнитными поверхностями Поперечно-дрібномасштабні МГД-збурення у космічній плазмі з магнітними поверхнями Transverselly small-scale MHD perturbation in space plasma with magnetic surfaces Article published earlier |
| spellingShingle | Поперечно-мелкомасштабные МГД-возмущения в космической плазме с магнитными поверхностями Черемных, О.К. Данилова, В.В. Физика космоса |
| title | Поперечно-мелкомасштабные МГД-возмущения в космической плазме с магнитными поверхностями |
| title_alt | Поперечно-дрібномасштабні МГД-збурення у космічній плазмі з магнітними поверхнями Transverselly small-scale MHD perturbation in space plasma with magnetic surfaces |
| title_full | Поперечно-мелкомасштабные МГД-возмущения в космической плазме с магнитными поверхностями |
| title_fullStr | Поперечно-мелкомасштабные МГД-возмущения в космической плазме с магнитными поверхностями |
| title_full_unstemmed | Поперечно-мелкомасштабные МГД-возмущения в космической плазме с магнитными поверхностями |
| title_short | Поперечно-мелкомасштабные МГД-возмущения в космической плазме с магнитными поверхностями |
| title_sort | поперечно-мелкомасштабные мгд-возмущения в космической плазме с магнитными поверхностями |
| topic | Физика космоса |
| topic_facet | Физика космоса |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/74947 |
| work_keys_str_mv | AT čeremnyhok poperečnomelkomasštabnyemgdvozmuŝeniâvkosmičeskoiplazmesmagnitnymipoverhnostâmi AT danilovavv poperečnomelkomasštabnyemgdvozmuŝeniâvkosmičeskoiplazmesmagnitnymipoverhnostâmi AT čeremnyhok poperečnodríbnomasštabnímgdzburennâukosmíčníiplazmízmagnítnimipoverhnâmi AT danilovavv poperečnodríbnomasštabnímgdzburennâukosmíčníiplazmízmagnítnimipoverhnâmi AT čeremnyhok transversellysmallscalemhdperturbationinspaceplasmawithmagneticsurfaces AT danilovavv transversellysmallscalemhdperturbationinspaceplasmawithmagneticsurfaces |