О принципе сравнения для системы матричных дифференциальных уравнений
This paper presented a comparison principle for matrix differential equations. We employ the unified Liapunov’s direct method via matrix-valued Liapunov functions and some differential inequalities.
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7500 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О принципе сравнения для системы матричных дифференциальных уравнений / А.А. Мартынюк // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 28-34. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859639657695805440 |
|---|---|
| author | Мартынюк, А.А. |
| author_facet | Мартынюк, А.А. |
| citation_txt | О принципе сравнения для системы матричных дифференциальных уравнений / А.А. Мартынюк // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 28-34. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | This paper presented a comparison principle for matrix differential equations. We employ the unified Liapunov’s direct method via matrix-valued Liapunov functions and some differential inequalities.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:20:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.36
© 2008
Член-корреспондент НАН Украины А.А. Мартынюк
О принципе сравнения для системы матричных
дифференциальных уравнений
This paper presented a comparison principle for matrix differential equations. We employ the
unified Liapunov’s direct method via matrix-valued Liapunov functions and some differential
inequalities.
Мотивом исследования матричных дифференциальных уравнений является их примене-
ние при моделировании некоторых процессов в теории оптимального управления, теории
дифференциальных игр, теории устойчивости движения и других областях прикладной ма-
тематики. Одним из плодотворных методов качественной теории уравнений является обоб-
щенный прямой метод Ляпунова на основе матричнозначных функций (см. [1–3] и приве-
денную там библиогр.).
Целью данной работы является формулировка основных теорем принципа сравнения
для матричных дифференциальных уравнений на основе матричнозначной функции.
Предварительные сведения. Рассмотрим матричную систему уравнений
dX
dt
= F (t,X), X(t0) = X0, (1)
где X ∈ R
n×n и F — матричнозначная функция, обеспечивающая существование и един-
ственность решения X(t) = X(t; t0,X0) системы (1) на интервале T0 = [t0,∞), t0 > 0, при
(t0,X0) ∈ T0 × N , N ⊂ R
n×n — открытая связная область. Будем предполагать далее, что
F (t,X) = 0 при всех t ∈ [t0,∞), если X = 0 ∈ R
n×n.
Предположим, что каким-либо способом для системы (1) построена матричнозначная
функция U : T0 ×R
n×n → R
n×n. Для значений (t,X) ∈ T0 ×N определим матричнозначные
функции
D−U(t,X) = lim inf{[U(t + h,X + hF (t,X)) − U(t,X)]h−1 : h → 0−}, (2)
D+U(t,X) = lim sup{[U(t + h,X + hF (t,X)) − U(t,X)]h−1 : h → 0+}, (3)
которые являются нижней левой и верхней правой производной Дини матричнозначной
функции U(t,X) вдоль решений системы (1).
Заметим, что в качестве простейшей матричнозначной функции U(t,X) может быть
выбрана функция U(t,X) = XXT , где X ∈ R
n×n. При этом выражения (2), (3) принимают
вид D−U(t,X) = D+U(t,X) = U̇(X(t)) = XẊT + ẊXT = XF T (t,X)+F (t,X)XT , где (T ) —
знак транспонирования матрицы.
Предположим, что существует матричнозначная функция G(t, U) такая, что
D+U(t,X) 6 G(t, U(t,X)) (4)
при всех (t,X) ∈ T0 × N , где G ∈ C(T0 × R
n×n, Rn×n).
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
Матричному дифференциальному неравенству (4) сопоставим матричное дифференци-
альное уравнение
dY
dt
= G(t, Y ), Y (t0) = Y0 ∈ R
n×n. (5)
Определение 1. Матричное дифференциальное уравнение (5) является системой срав-
нения для матричного дифференциального уравнения (1), если в множестве решений урав-
нения (5) существует решение Y (t), связанное с решениями X(t) матричной системы (1)
соотношениями U(t0,X0) 6 Y0 и U(t,X(t)) 6 Y (t) при всех t > t0.
Множество индексов Θ = {(i, j) : i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , n} разделим на подмноже-
ства P и Q так, что P ∩ Q = ∅ и P ∪ Q = Θ и при этом матрицы [Ylk] и [Ymr] при любых
(l, k) ∈ P и (m, r) ∈ Q являются квадратными.
Определение 2 (см. [4]). Матричнозначная функция G(t, Y ) : R+ × R
n×n → R
n×n:
1) удовлетворяет свойству смешанной квазимонотонности, если для множества индексов
Θ = {(i, j) : i = 1, 2, . . . , n; j = 1, 2, . . . , n} существует разбиение на подмножества P и Q
такие, что выполняются условия:
a) для любых (l, k) ∈ P и (m, r) ∈ Q матричнозначная функция G(t, Y ) является неубы-
вающей по Ylk и невозрастающей по Ymr;
либо
б) для любых (l, k) ∈ P и (m, r) ∈ Q матричнозначная функция G(t, Y ) является невоз-
растающей по Ylk и неубывающей по Ymr;
2) является квазимонотонной неубывающей по Y , если G(t, Y ) является неубывающей
по Yij , при всех (i, j) ∈ Θ и квазимонотонной невозрастающей, если G(t, Y ) является невоз-
растающей по Yij при всех (i, j) ∈ Θ.
Далее применяются обозначения:
YP = [Yij] — матрица n × n с произвольными элементами Ylk, (l, k) ∈ P и Ymr = 0,
(m, r) ∈ Q;
YQ = [Yij] — матрица n × n с произвольными элементами Ymr, (m, r) ∈ Q и Ylk = 0,
(l, k) ∈ P .
Наряду с матричным уравнением (1) будем рассматривать матричные уравнения
dYP
dt
= G(t, YP ), YP (t0) = Y0P , (6)
dYQ
dt
= G(t, YQ), YQ(t0) = Y0Q, (7)
где G(t, YP ) = GP (t, Y ) и G(t, YQ) = GQ(t, Y ).
Пусть Y P (t), Y Q(t) — максимальные и Y P (t), Y P (t) — минимальные решения уравне-
ний (6), (7) соответственно.
Определение 3. Решение Y (t) матричного уравнения сравнения (5) называется:
а) P -максимальным — Q-минимальным, если
YP (t) 6 Y P (t) и YQ(t) > Y Q(t) (8)
при всех t ∈ [t0, t0 + a);
б) P -минимальным — Q-максимальным, если
YP (t) > Y P (t) и YQ(t) 6 Y Q(t) (9)
при всех t ∈ [t0, t0 + a).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 29
Если P = Θ и выполняются неравенства (8), то решение Y (t) системы (5) является
максимальным и при P = 0 — минимальным.
Если P = Θ и выполняются неравенства (9), то решение Y (t) системы (5) является
минимальным и при P = 0 — максимальным.
Здесь и далее неравенства между матрицами являются поэлементными.
Теоремы принципа сравнения. Принимая во внимание некоторые результаты рабо-
ты [4], покажем, что имеют место следующие утверждения.
Теорема 1. Пусть для системы (1) и матричной системы сравнения (5) выполняются
следующие условия:
1) существует матричнозначная функция U(t,X) ∈ C(T0 × R
n×n, Rn×n) локально ли-
пшицева по X;
2) существует матричнозначная функция G(t, Y ) ∈ C(T0 × R
n×n, Rn×n), обладающая
свойством смешанной квазимонотонности, для которой:
a) при t = t0 выполняются оценки
UP (t0,X(t0)) < YP (t0), UQ(t0,X(t0)) > YQ(t0); (10)
б) при t > t0 верны дифференциальные неравенства
D−UP (t,X(t)) 6 GP (t, U(t,X)),
D−YP (t) > GP (t, Y (t));
(11)
D−YQ(t) 6 GQ(t, Y (t)),
D−UQ(t,X(t)) > GQ(t, U(t,X)).
(12)
Тогда выполняются дифференциальные неравенства
UP (t,X(t)) < Y P (t), UQ(t,X(t)) > Y Q(t) (13)
при всех t ∈ [t0, t0 + a).
Доказательство. Введем обозначения MP (t) = Y P (t) − UP (t,X(t)), MQ(t) =
= UQ(t,X(t)) − Y Q(t). Согласно условию 2, а теоремы 1 имеем Mij(t0) > 0 при любом
разбиении множества индексов (i, j) ∈ Θ. Пусть оценки (13) не верны. Тогда множество
T =
n
⋃
i,j=1
{t ∈ [t0, t0 + a) : Mij(t) 6 0} является не пустым.
Пусть t1 = inf T , t1 > t0 и T замкнуто. Предположим, что для t1 ∈ T существует пара
индексов (l,m) ∈ P такая, что Mlm(t1) = 0 и Mij(t1) > 0 при (i, j) 6= (l,m) и D−Mlm(t1) 6 0.
Согласно условию (11) имеем
D−Mlm(t1) = D−(Ylm(t0) − Ulm(t0)) 6 0,
D−Ylm(t1) 6 D−Ulm(t1) 6 Glm(t1, U(t1,X(t1))).
Отсюда следует неравенство
Glm(t1, Y (t1)) < Glm(t1, U(t,X(t))).
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
В то же время Mlm(t1) = 0, и поэтому Ylm(t1) = Ulm(t1) и Mij(t1) > 0 при любых (i, j) 6=
6= (l,m). Из свойства смешанной квазимонотонности матричнозначной функции G(t, Y )
получаем неравенство
Glm(t1, U(t1,X(t1))) 6 Glm(t, Y (t1)),
которое является противоречием.
Аналогичные рассуждения для случая lm ∈ Q приводят к противоречию
Glm(t1, Y (t1)) > Glm(t1, U(t1,X(t1)))
вследствие свойства смешанной квазимонотонности функции G(t, Y ).
Таким образом, доказано, что множество T пустое. Этим завершено доказательство
теоремы 1.
Далее для матрицы Y определим норму ‖Y ‖ =
(
n
∑
i,j=1
|Yij|
2
)1/2
.
Теорема 2. Пусть матричнозначная функция G(t, Y ) определена и ограничена в облас-
ти Ω = {(t, Y ) : t ∈ [t0, t0 + a), ‖Y − Y0‖ 6 B}, т. е. существует постоянная M > 0 такая,
что ‖G(t, Y )‖ 6 M при всех (t, Y ) ∈ Ω. Если G(t, Y ) удовлетворяет свойству смешанной
квазимонотонности, то система сравнения (5) имеет P -максимальное — Q-минималь-
ное решение и P -минимальное — Q-максимальное решение при всех t ∈ [t0, t0 + η), где
η = min(a, 2B/(2M + B)).
Доказательство. Для заданной величины B выберем величины 0 < eij < B/2 при всех
(i, j) = 1, 2, . . . , n так, что ‖E‖ < B/2. Для разбиения множества Θ на подмножества P и Q
рассмотрим начальные задачи.
dYP
dt
= GP (t, Y ) + EP , YP (t0) = Y0P + EP ,
dYQ
dt
= GQ(t, Y ) − EQ, YQ(t0) = Y0Q − EQ.
(14)
Обозначим GE(t, Y ) = G(t, Y )±E ≡ [Gij(t, Y )± eij ] при всех (i, j) = 1, 2, . . . , n. Матрич-
нозначная функция GE(t, Y ) определена на множестве
ΩE =
{
(t, Y ) : t ∈ [t0, t0 + a), ‖Y − (Y0 ± E)‖ 6
1
2
B
}
,
и при этом верна оценка
‖GE(t, Y )‖ 6 ‖G(t, Y )‖ + ‖E‖ 6 M + ‖E‖ < M +
B
2
6
2M + B
2
.
По теореме Пеано начальная задача (12) имеет решение Y (t, E) на [t0, t0 + η), где η =
= min(a, 2B/(2M + B)) при p ∈ P и q ∈ Q.
Пусть заданы матрицы 0 < E2 < E1 6 E такие, что
YP (t0, E2) = YP (t0) + E2P < YP (t0, E1) = YP (t0) + E1P ,
YQ(t0, E2) > YQ(t0, E1) или YQ(t0) − E2Q > YQ(t0) − E1Q.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 31
Кроме того, верны неравенства
dYP (t, E2)
dt
6 GP (t, Y (t, E2)) + E2P ,
dYQ(t, E2)
dt
> GQ(t, Y (t, E2)) − E2Q,
dYP (t, E1)
dt
> GP (t, Y (t, E1)) + E2P > GP (t, Y (t, E2)) + E2P >
dYP (t, E2)
dt
,
dYQ(t, E1)
dt
< GQ(t, Y (t, E1)) − E2Q < GQ(t, Y (t, E2)) − E2Q 6
dYQ(t, E2)
dt
.
Из этих неравенств следует, что
YP (t, E2) < YP (t, E1) и YQ(t, E2) > YQ(t, E1)
при всех t ∈ [t0, t0 +η). Аналогичные рассуждения можно провести для любого матричного
элемента последовательности En, n = 1, 2, . . .. Следовательно, равномерно по t ∈ [t0, t0 + η)
выполняется соотношение lim
En→0
Y (t, En) = Y (t), где Y (t) — решение начальной задачи (5).
Для того чтобы показать, что Y (t) является P -максимальным — Q-минимальным ре-
шением уравнения сравнения (5) на [t0, t0 + η) нужно доказать, что верны неравенства
YP (t) 6 Y P (t) и YQ(t) > Y Q(t)
при всех t ∈ [t0, t0 + η).
Пусть Y (t) — некоторое решение системы (5) на [t0, t0 + η). Из последовательности
неравенств
YP (t0) < YP (t0, E), YQ(t0) > YQ(t0, E),
dYP (t)
dt
< GP (t, Y (t)) + EP ,
dYQ(t)
dt
> GQ(t, Y (t)) − EQ,
dYP (t, E)
dt
> GP (t, Y (t, E)) + EP ,
dYQ(t, E)
dt
6 GQ(t, Y (t, E)) − EQ,
где ‖EP ‖, ‖EQ‖ < B/2, получаем
YP (t) < YP (t, E) и YQ(t) > YQ(t, E)
при t ∈ [t0, t0 + η) и
YP (t) 6 lim
E→0
YP (t, E) = Y P (t),
YQ(t) > lim
E→0
YQ(t, E) = Y Q(t)
при всех t ∈ [t0, t0 + η).
Доказательство существования P -минимального — Q-максимального решений систе-
мы (5) проводится аналогично.
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
Теорема 3. Пусть для системы (1) и матричной системы сравнения (5) выполняются
условия:
1) существует матричнозначная функция U(t,X) ∈ C(T0 × R
n×n, Rn×n) локально ли-
пшицева по X;
2) существует матричнозначная функция G(t, U) ∈ C(T0 × R
n×n, Rn×n), квазимоно-
тонно неубывающая по U при всех t ∈ R+, такая, что
D+U(t,X(t)) 6 G(t, U(t,X))
при всех (t,X) ∈ R+ × R
n×n;
3) существуют решение X(t) системы (1) и максимальное решение Y (t) системы срав-
нения (5) при всех t > t0.
Тогда при условии, что
U(t0,X0) < Y0 (15)
выполняется оценка
U(t,X(t)) < Y (t; t0, Y0) (16)
при всех t > t0.
Доказательство. Пусть X(t) = X(t; t0,X0) — любое решение системы (1), для кото-
рого U(t0,X0) < Y0. Так как матричнозначная функция M(t) = U(t,X(t; t0,X0)) является
локально липшицевой по X, то для сколь угодно малого β > 0 имеем
M(t + β) − M(t) 6 K‖X(t + β) − X(t) − βF (t,X)‖ +
+ U(t + β,X(t) + βF (t,X(t))) − U(t,X(t)), (17)
где K — постоянная матрица. Из (17) следует оценка
D+M(t) 6 D+U(t,X(t)) 6 G(t, U(t,X(t))) = G(t,M(t)).
Покажем вначале, что матричное неравенство (16) выполняется покомпонентно на ин-
тервале [t0, t0 + δ), где δ — сколь угодно малое положительное число. При выполнении
неравенства (15) это следует из непрерывности элементов матриц U(t,X(t)) и Y (t).
Предположим теперь, что существует пара индексов (r, s) ∈ Θ, для которой Urs(t0,X0) =
= Y rs(t0). Учитывая квазимонотонность матричнозначной функции G(t, U), получим
D+Urs(t0,X0) < Grs(t0, U(t0,X)) 6 Grs(t0, Y (t0)) = D+Y rs(t0).
Отсюда следует, что
D+Urs(t0,X0) − D+Y rs(t0) < 0,
и поэтому найдется δ > 0 такое, что при всех t ∈ [t0, t0+δ) будет верна оценка Urs(t0,X(t)) <
< Yrs(t) при (r, s) ∈ Θ.
Покажем теперь, что неравенство (16) выполняется на интервале [t0, t0 + η). Пусть t∗ =
= inf{t ∈ [t0, t0 + η)}, для которого хотя бы для одной пары индексов (r, s) ∈ Θ неравенст-
во (16) обращается в равенство. Пусть Urs(t
∗,X(t∗)) = Y rs(t
∗) и при t ∈ (t0, t
∗) выполняется
неравенство (16) при всех (i, j) = 1, 2, . . . , n. Как и выше, нетрудно получить, что
D+Urs(t
∗,X(t∗)) − D+Yrs(t
∗) < 0.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 33
В этом случае найдется η > 0 такое, что
Urs(t,X(t)) > Y rs(t) при t ∈ [t∗ − η, t∗).
Но это противоречит выбору величины t∗. Следовательно, неравенство (16) выполняется
при всех t ∈ [t0, t0 + η).
В заключение отметим, что теоремы 1 и 3 являются основными теоремами принципа
сравнения для матричной системы (1). Этот принцип позволяет исследовать динамические
свойства решений системы (1) на основе матричнозначной функции аналогично тому, как
исследуются системы обыкновенных дифференциальных уравнений на основе векторных
функций Ляпунова (см. [5]). Эти результаты будут предметом другой работы.
Пользуясь случаем, выражаю благодарность профессору Д.Д. Шильяку за возможность озна-
комления с его работой [6], которая побудила автора к проведенным исследованиям.
1. Martynyuk A.A. Stability by Liapunov’s matrix function method with application. – New York: Marcel
Dekker, 1998. – 276 p.
2. Martynyuk A.A. Qualitative methods in nonlinear dynamics. Novel approaches to Liapunov’s matrix functi-
ons. – New York: Marcel Dekker, 2002. – 301 p.
3. Martynyuk A.A. Stability of motion: the role of multicomponent Liapunov functions. – London: Cambridge
Sci. Publ., 2007. – 322 p.
4. Shaw M.D. Generalized stability of motion and matrix Lyapunov functions // J. Math. Anal. and Appl. –
1995. – 189. – P. 104–114.
5. Матросов B.M. Метод векторных функций Ляпунова: Анализ динамических свойств нелинейных
систем. – Москва: Физматлит, 2001. – 380 с.
6. Šiljak D.D. Dynamic graphs (Manuscript). – Santa Clara University, 2006. – 31 p.
Поступило в редакцию 21.03.2008Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
УДК 517.95+511.2
© 2008
Член-кореспондент НАН України Б. Й. Пташник, I. Р. Тимкiв
Багатоточкова задача для параболiчного рiвняння
зi змiнними коефiцiєнтами
The correctness of a problem with multipoint conditions with respect to the time for the Petrov-
skii parabolic equation with coefficients depending on the spatial coordinate is investigated.
The conditions of existence and uniqueness of the solution of the problem are established. The
metrical theorems on the lower bounds of small denominators of the problem are proved.
Багатоточковi задачi для гiперболiчних та безтипних диференцiальних рiвнянь в обмежених
областях вивчались багатьма дослiдниками (див., напр., [1–4] та наведену там бiблiогр.).
Встановлено, що такi задачi є умовно коректними, а їх розв’язнiсть у багатьох випадках
пов’язана з проблемою малих знаменникiв. Локальнi багатоточковi задачi для деяких класiв
параболiчних рiвнянь високого порядку зi сталими коефiцiєнтами вивчались в роботах [5, 6],
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7500 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:20:54Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мартынюк, А.А. 2010-03-31T16:32:10Z 2010-03-31T16:32:10Z 2008 О принципе сравнения для системы матричных дифференциальных уравнений / А.А. Мартынюк // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 28-34. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7500 517.36 This paper presented a comparison principle for matrix differential equations. We employ the unified Liapunov’s direct method via matrix-valued Liapunov functions and some differential inequalities. ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика О принципе сравнения для системы матричных дифференциальных уравнений Article published earlier |
| spellingShingle | О принципе сравнения для системы матричных дифференциальных уравнений Мартынюк, А.А. Математика |
| title | О принципе сравнения для системы матричных дифференциальных уравнений |
| title_full | О принципе сравнения для системы матричных дифференциальных уравнений |
| title_fullStr | О принципе сравнения для системы матричных дифференциальных уравнений |
| title_full_unstemmed | О принципе сравнения для системы матричных дифференциальных уравнений |
| title_short | О принципе сравнения для системы матричных дифференциальных уравнений |
| title_sort | о принципе сравнения для системы матричных дифференциальных уравнений |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7500 |
| work_keys_str_mv | AT martynûkaa oprincipesravneniâdlâsistemymatričnyhdifferencialʹnyhuravnenii |