Багатоточкова задача для параболічного рівняння зі змінними коефіцієнтами
The correctness of a problem with multipoint conditions with respect to the time for the Petrovskii parabolic equation with coefficients depending on the spatial coordinate is investigated. The conditions of existence and uniqueness of the solution of the problem are established. The metrical theore...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7501 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Багатоточкова задача для параболічного рівняння зі змінними коефіцієнтами / Б.Й. Пташник, I.Р. Тимкiв // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 34-39. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859602851383214080 |
|---|---|
| author | Пташник, Б.Й. Тимків, І.Р. |
| author_facet | Пташник, Б.Й. Тимків, І.Р. |
| citation_txt | Багатоточкова задача для параболічного рівняння зі змінними коефіцієнтами / Б.Й. Пташник, I.Р. Тимкiв // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 34-39. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | The correctness of a problem with multipoint conditions with respect to the time for the Petrovskii parabolic equation with coefficients depending on the spatial coordinate is investigated. The conditions of existence and uniqueness of the solution of the problem are established. The metrical theorems on the lower bounds of small denominators of the problem are proved.
|
| first_indexed | 2025-11-28T00:51:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
В этом случае найдется η > 0 такое, что
Urs(t,X(t)) > Y rs(t) при t ∈ [t∗ − η, t∗).
Но это противоречит выбору величины t∗. Следовательно, неравенство (16) выполняется
при всех t ∈ [t0, t0 + η).
В заключение отметим, что теоремы 1 и 3 являются основными теоремами принципа
сравнения для матричной системы (1). Этот принцип позволяет исследовать динамические
свойства решений системы (1) на основе матричнозначной функции аналогично тому, как
исследуются системы обыкновенных дифференциальных уравнений на основе векторных
функций Ляпунова (см. [5]). Эти результаты будут предметом другой работы.
Пользуясь случаем, выражаю благодарность профессору Д.Д. Шильяку за возможность озна-
комления с его работой [6], которая побудила автора к проведенным исследованиям.
1. Martynyuk A.A. Stability by Liapunov’s matrix function method with application. – New York: Marcel
Dekker, 1998. – 276 p.
2. Martynyuk A.A. Qualitative methods in nonlinear dynamics. Novel approaches to Liapunov’s matrix functi-
ons. – New York: Marcel Dekker, 2002. – 301 p.
3. Martynyuk A.A. Stability of motion: the role of multicomponent Liapunov functions. – London: Cambridge
Sci. Publ., 2007. – 322 p.
4. Shaw M.D. Generalized stability of motion and matrix Lyapunov functions // J. Math. Anal. and Appl. –
1995. – 189. – P. 104–114.
5. Матросов B.M. Метод векторных функций Ляпунова: Анализ динамических свойств нелинейных
систем. – Москва: Физматлит, 2001. – 380 с.
6. Šiljak D.D. Dynamic graphs (Manuscript). – Santa Clara University, 2006. – 31 p.
Поступило в редакцию 21.03.2008Институт механики им. С.П. Тимошенко
НАН Украины, Киев
УДК 517.95+511.2
© 2008
Член-кореспондент НАН України Б. Й. Пташник, I. Р. Тимкiв
Багатоточкова задача для параболiчного рiвняння
зi змiнними коефiцiєнтами
The correctness of a problem with multipoint conditions with respect to the time for the Petrov-
skii parabolic equation with coefficients depending on the spatial coordinate is investigated.
The conditions of existence and uniqueness of the solution of the problem are established. The
metrical theorems on the lower bounds of small denominators of the problem are proved.
Багатоточковi задачi для гiперболiчних та безтипних диференцiальних рiвнянь в обмежених
областях вивчались багатьма дослiдниками (див., напр., [1–4] та наведену там бiблiогр.).
Встановлено, що такi задачi є умовно коректними, а їх розв’язнiсть у багатьох випадках
пов’язана з проблемою малих знаменникiв. Локальнi багатоточковi задачi для деяких класiв
параболiчних рiвнянь високого порядку зi сталими коефiцiєнтами вивчались в роботах [5, 6],
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
а в роботi [7] дослiджувалась нелокальна багатоточкова задача для параболiчного рiвняння
другого порядку з оператором Бесселя.
У данiй роботi дослiджено коректнiсть задачi з багатоточковими умовами за часовою
змiнною для параболiчного за Петровським рiвняння високого порядку зi змiнними за прос-
торовими координатами коефiцiєнтами в (p + 1)-вимiрному паралелепiпедi. На основi мет-
ричного пiдходу встановлено оцiнки знизу малих знаменникiв, що виникли при побудовi
розв’язку задачi.
1. В областi Qp = (0, T ) × Πp, Πp = {x = (x1, . . . , xp) ∈ R
p : 0 < xr < π, r = 1, . . . , p}
розглянемо задачу
∂nu(t, x)
∂tn
+
n−1∑
s0=0
∑
bs0+2|s|=bn
As0,s
(
∂
∂t
)s0
Ls1
1 . . . L
sp
p u(t, x) = f(t, x), (1)
u(tj , x) = ϕj(x), j = 1, . . . , n, 0 6 t1 < t2 < · · · < tn 6 T, (2)
Lm
r u(t, x)
∣∣
xr=0
= Lm
r u(t, x)
∣∣
xr=π
= 0, m = 0, 1, . . . ,
(
bn
2
− 1
)
, r = 1, . . . , p, (3)
де s = (s1, . . . , sp) ∈ Z
p
+, |s| = s1 + · · · + sp, b ∈ N — парне число, As0,s ∈ R; Lr :=
= −∂/∂xr(ar(xr)∂/∂xr)+qr(xr); ar ∈ Cbn−1([0, π]), qr ∈ Cbn−2([0, π]) — дiйснозначнi функцiї,
ar(xr) > 0, qr(xr) > 0, r = 1, . . . , p.
Припустимо, що рiвняння (1) є рiвномiрно параболiчним за Петровським в областi Qp,
тобто що ξ-коренi рiвняння
ξn +
n−1∑
s0=0
∑
bs0+2|s|=bn
As0,s
p∏
r=1
(ar(xr))
srη2sr
r ξs0 = 0 (4)
для довiльного η ∈ R
p i для довiльного x ∈ Πp задовольняють нерiвностi
Re ξj(x, η) 6 −δ‖η‖b, δ > 0, j = 1, . . . , n. (5)
Нехай {Xkr
(xr), kr ∈ N} i Λr = {λkr
, kr ∈ N}, r = 1, . . . , p, — система власних функцiй
та множина власних значень вiдповiдної задачi
LrX(xr) = λX(xr), X(0) = X(π) = 0, r = 1, . . . , p. (6)
Вiдомо [8], що власнi функцiї задачi (6) утворюють повну ортогональну в L2(0, π) систему
i для всiх kr ∈ N виконуються оцiнки
C̃0k
2
r 6 λkr
6 C̃1k
2
r , (7)
|X
(j)
kr
(xr)| 6 pjλ
j/2
kr
, j = 0, 1, . . . , n, (8)
де C̃0, C̃1, pj — додатнi константи; при цьому система функцiй {Xk(x) = Xk1
(x1) . . . Xkp
(xp),
k = (k1, . . . , kp) ∈ N
p} є повною ортогональною системою в просторi L2(Π
p) (вважатимемо,
що вона ортонормована). Далi позначимо: Λ = {λk = (λk1
, . . . , λkp
), k ∈ N
p}, |λk| = λk1
+
+ · · · + λkp
; C(q,m)(Qp) — банахiв простiр функцiй v(t, x) з нормою
‖v(t, x);C(q,m)(Qp)‖ =
∑
06j6q,
06|s|6m
max
(t,x)∈Qp
∣∣∣∣
∂j+|s|v(t, x)
∂tj∂xs1
1 · · · ∂x
sp
p
∣∣∣∣;
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 35
Gα,γ(Πp) ⊂ L2(Π
p), α > 0, γ > 0, — простiр функцiй ϕ(x) =
∑
k∈Np
ϕkXk(x), для яких є скiн-
ченною норма
‖ϕ(x);Gα,γ (Πp)‖ =
∑
k∈Np
|ϕk| exp(α|λk|
γ);
Cq([0, T ];Gα,γ (Πp)) — простiр функцiй v(t, x), визначених в Qp, таких, що для кожного
t ∈ [0, T ] ∂jv(t, x)/∂tj ∈ Gα,γ(Πp) i є неперервною за t в нормi цього простору, j = 0, 1, . . . , q,
‖v(t, x);Cq([0, T ];Gα,γ (Πp))‖ =
∑
k∈Np
q∑
j=0
max
06t6T
|v
(j)
k (t)| exp(α|λk|
γ),
де vk(t) =
∫
Πp
v(t, x)Xk(x) dx, k ∈ N
p.
2. Розв’язок задачi (1)–(3) шукаємо у виглядi ряду
u(t, x) =
∑
k∈Np
uk(t)Xk(x). (9)
Кожна функцiя uk(t) є розв’язком багатоточкової задачi
∂nuk(t)
∂tn
+
n−1∑
s0=0
∑
bs0+2|s|=bn
As0,sλ
s1
k1
· · ·λ
sp
kp
∂s0uk(t)
∂ts0
= fk(t), (10)
uk(tj) = ϕjk, j = 1, . . . , n, (11)
де fk(t) =
∫
Πp
f(t, x)Xk(x) dx, ϕjk =
∫
Πp
ϕj(x)Xk(x) dx, j = 1, . . . , n.
Розглянемо вiдповiдну до (10), (11) однорiдну задачу
∂nuk(t)
∂tn
+
n−1∑
s0=0
∑
bs0+2|s|=bn
As0,sλ
s1
k1
· · ·λ
sp
kp
∂s0uk(t)
∂ts0
= 0, (12)
uk(tj) = 0, j = 1, . . . , n, (13)
i зауважимо, що розв’язок задачi (10), (11) можна зобразити у виглядi суми
uk(t) = wk(t) + vk(t), (14)
де wk(t) — розв’язок задачi (11), (12), а vk(t) — розв’язок задачi (10), (13).
Припустимо, що для довiльного λk ∈ Λ всi коренi µj(λk), j = 1, . . . , n, рiвняння
µn +
n−1∑
s0=0
∑
bs0+2|s|=bn
As0,sλ
s1
k1
· · ·λ
sp
kp
µs0 = 0 (15)
є рiзними, i нехай Reµl(λk) 6 Reµr(λk), l < r, l, r = 1, . . . , n. Зi структури рiвняння (15)
на пiдставi [9, с. 102] випливають оцiнки
|µj(λk)| 6 2C1|λk|
b/2, j = 1, . . . , n, C1 = max
m∈{1,...,n}
(
max
|s|=bm/2
|An−m,s|
)1/m
. (16)
36 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
Розв’язок задачi (11), (12) має вигляд
wk(t) =
n∑
q=1
ckq(λk) exp(µq(λk)t),
де сталi ckq(λk) := ckq, q = 1, . . . , n, визначаються зi системи рiвнянь
n∑
q=1
ckq exp(µq(λk)tj) = ϕjk, j = 1, . . . , n,
визначник якої
∆(λk) = det ‖ exp(µq(λk)tj)‖
n
q,j=1.
Теорема 1. Для єдиностi розв’язку задачi (1)–(3) у просторi C(n,bn)(Qp) необхiдно i до-
статньо, щоб виконувалась умова
∀ λk ∈ Λ ∆(λk) 6= 0. (17)
Доведення проводиться за схемою доведення теореми 5.3 з [3, гл. 2].
3. Нехай виконується умова (17). Тодi для кожного λk ∈ Λ iснує розв’язок задачi (11),
(12), який зображується формулою
wk(t) =
n∑
j,q=1
∆jq(λk)
∆(λk)
ϕjk exp(µq(λk)t), (18)
де ∆jq(λk) — алгебраїчне доповнення елемента exp(µq(λk)tj) у визначнику ∆(λk), а також
у квадратi K = {(t, τ) : 0 6 t 6 T, 0 6 τ 6 T} iснує єдина функцiя Грiна Gk(t, τ) зада-
чi (12), (13), за допомогою якої розв’язок задачi (10), (13) визначається формулою
vk(t) =
T∫
0
Gk(t, τ)fk(τ) dτ. (19)
У кожнiй з областей Kj = {(t, τ) : 0 6 t 6 T, tj < τ < tj+1}, j = 0, 1, . . . , n, t0 = 0,
tn+1 = T , функцiя Gk(t, τ) збiгається з функцiєю
Gkj(t, τ) =
sgn(t − τ)
2
n∑
q=1
exp(µq(λk)(t − τ))
n∏
r=1,r 6=q
(µq(λk) − µr(λk))
+
+
1
2
(
j∑
l=1
(−1)lFkl(t, τ) −
n∑
l=j+1
(−1)lFkl(t, τ)
)
, j = 0, 1, . . . , n, (20)
де
Fkl(t, τ) =
n∑
p,q=1
(−1)p exp(µq(λk)(tl − τ) + µp(λk)t)∆lp(λk)
∆(λk)
n∏
r=1,r 6=q
(µq(λk) − µr(λk))
, l = 1, . . . , n. (21)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 37
На вiдрiзках прямих τ = tj, j = 0, 1, . . . , n, доозначуємо функцiю Gk(t, τ) за неперервнiстю
за τ справа, а при τ = T — за неперервнiстю злiва.
На основi формул (9), (14), (18), (19) одержуємо формальне зображення розв’язку за-
дачi (1)–(3) у виглядi ряду
u(t, x) =
∑
k∈Np
(
n∑
j,q=1
∆jq(λk)
∆(λk)
ϕjk exp(µq(λk)t) +
T∫
0
Gk(t, τ)fk(τ) dτ
)
Xk(x). (22)
Ряд (22), взагалi, є розбiжним, бо величини |∆(λk)|, |µq(λk) − µr(λk)|, q, r = 1, . . . , n,
q 6= r, будучи вiдмiнними вiд нуля, можуть набувати як завгодно малих значень для не-
скiнченного числа векторiв λk ∈ Λ. Тому питання про iснування розв’язку задачi (1)–(3)
пов’язане з проблемою малих знаменникiв.
Враховуючи структуру рiвнянь (4) та (15), а також оцiнки (5), знаходимо, що
Reµj(λk) 6 −δa0|λk|
b/2, j = 1, . . . , n, a0 =
(
max
16r6p
(
max
06xr6π
ar(xr)
))−b/2
. (23)
Враховуючи (23), отримуємо, що для довiльного λk ∈ Λ справедливi оцiнки
|∆jq(λk) exp(µq(λk)t)| 6 C2 exp(−(n − 1)δa0t1|λk|
b/2), j, q = 1, . . . , n. (24)
Теорема 2. Нехай справджується умова (17), iснують додатнi сталi Mi, ωi, i ∈ {1, 2},
та ν ∈ R такi, що для всiх (крiм скiнченної кiлькостi) векторiв λk ∈ Λ виконуються
нерiвностi
n∏
r=1,r 6=q
|µq(λk) − µr(λk)| > M1|λk|
−ω1 , q = 1, . . . , n, (25)
|∆(λk)| > M2|λk|
−ω2 exp(−ν|λk|
b/2). (26)
Якщо ϕj(x) ∈ Gα1,b/2(Π
p), j = 1, . . . , n, f(t, x) ∈ C([0, T ];Gα2 ,b/2(Π
p)), α1 > ν − (n − 1)δa0t1,
α2 > ν + (T − nt1)δa0, то в просторi C(n,bn)(Qp) iснує розв’язок задачi (1)–(3), який зобра-
жується рядом (22) i неперервно залежить вiд функцiй f(t, x) та ϕj(x), j = 1, . . . , n.
Доведення. Iз (18)–(21), враховуючи оцiнки (24)–(26), отримуємо
max
t∈[0,T ]
|w
(s)
k (t)| 6 C3
n∑
j=1
|λk|
bs/2+ω2 |ϕjk| exp((ν − (n − 1)δa0t1)|λk|
b/2), (27)
max
t∈[0,T ]
|v
(s)
k (t)| 6 C4|λk|
bs/2+ω1+ω2 exp((ν + (T − nt1)δa0)|λk|
b/2) max
t∈[0,T ]
|fk(t)|, (28)
де s = 0, 1, . . . , n. На пiдставi формули (22), враховуючи оцiнки (8), (27), (28) та елементарну
нерiвнiсть θσ
6 C(σ) exp(ρθ), C(σ) > 0, яка при 0 < θ < +∞ справедлива для довiльних
σ > 0 i ρ > 0, отримуємо таку оцiнку для норми розв’язку задачi (1)–(3):
‖u(t, x);C(n,bn)(Qp)‖ 6 C5‖f(t, x);C([0, T ];Gα2 ,b/2(Π
p))‖ + C6
n∑
j=1
‖ϕj(x);Gα1 ,b/2(Π
p)‖,
звiдки випливає доведення теореми.
38 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
За умов теореми 2 розв’язок задачi (1)–(3) належить простору Cn([0, T ];Gα3 ,b/2(Π
p)), де
α3 < min(α1 − ν + (n − 1)t1δa0, α2 − ν − (T − nt1)δa0).
4. Проаналiзуємо можливiсть виконання нерiвностей (25), (26). Нехай ~y = (y1, . . . , yh) —
вектор, складений з усiх коефiцiєнтiв рiвняння (1).
Теорема 3. Для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R
h) векторiв ~y нерiвнiсть (25)
виконується при ω1 > (n− 1)(p− 2b)/4 для всiх (крiм скiнченного числа) векторiв λk ∈ Λ.
Доведення здiйснюється за схемою доведення теореми 6 з [1]; при цьому використову-
ються оцiнки (7), (16).
Теорема 4. Для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R
n) векторiв ~t = (t1, . . . , tn) ∈
∈ [0, T ]n i для майже всiх (стосовно мiри Лебега в R
h) векторiв ~y нерiвнiсть (26) викону-
ється для всiх (крiм скiнченного числа) векторiв λk ∈ Λ при ω2 > (n2 − 1)p/4, ν > 2nC1T .
Доведення здiйснюється за схемою доведення теореми 3 з [4] з використанням оцi-
нок (7), (16).
Результати роботи можна поширити на випадок загальнiших, нiж (2), умов
n−1∑
r=0
dr
∂ru(tj , x)
∂tr
= ϕj(x), j = 1, . . . , n, dr ∈ C.
Робота виконана за часткової фiнансової пiдтримки ДФФД України (проект № 14.1/017).
1. Берник В.И., Пташник Б.И., Салыга Б.О. Аналог многоточечной задачи для гиперболического
уравнения с постоянными коэффициентами // Дифференц. уравнения. – 1977. – 13, № 4. – С. 637–645.
2. Василишин П.Б., Клюс I.С., Пташник Б.Й. Багатоточкова задача для гiперболiчних рiвнянь зi
змiнними коефiцiєнтами // Укр. мат. журн. – 1996. – 48, № 11. – С. 1468–1476.
3. Пташник Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными
производными. – Киев: Наук. думка, 1984. – 264 с.
4. Пташник Б.Й., Симотюк М.М. Багатоточкова задача для неiзотропних диференцiальних рiвнянь
iз частинними похiдними зi сталими коефiцiєнтами // Укр. мат. журн. – 2003. – 55, № 2. – С. 241–254.
5. Силюга Л.П. Багатоточкова задача для параболiчних рiвнянь зi сталими коефiцiєнтами // Мат.
методи i фiз.-мех. поля. – 2000. – 43, № 4. – С. 42–48.
6. Силюга Л.П. Багатоточкова задача для параболiчних за Шиловим диференцiальних рiвнянь // Мiж-
нар. мат. конф., присв’ячена пам’ятi Ганса Гана (Чернiвцi, 10–15 жовтня 1994 p.): Тези доп. – Чернiвцi:
Рута, 1994. – С. 132.
7. Лавренчук В.П. Деякi нелокальнi задачi для параболiчного рiвняння другого порядку з операто-
ром Бесселя // Крайовi задачi з рiзними виродженнями i особливостями. – Чернiвцi: Рута, 1990. –
С. 111–119.
8. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. – Москва: Физматгиз, 1961. –
400 с.
9. Фаддєєв Д.К., Сомiнський I.С. Збiрник задач з вищої алгебри. – Київ: Вища шк., 1971. – 316 с.
Надiйшло до редакцiї 05.05.2008Iнститут прикладних проблем механiки
i математики iм. Я.С. Пiдстригача
НАН України, Львiв
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 39
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7501 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-28T00:51:25Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Пташник, Б.Й. Тимків, І.Р. 2010-03-31T16:34:13Z 2010-03-31T16:34:13Z 2008 Багатоточкова задача для параболічного рівняння зі змінними коефіцієнтами / Б.Й. Пташник, I.Р. Тимкiв // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 34-39. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7501 517.95+511.2 The correctness of a problem with multipoint conditions with respect to the time for the Petrovskii parabolic equation with coefficients depending on the spatial coordinate is investigated. The conditions of existence and uniqueness of the solution of the problem are established. The metrical theorems on the lower bounds of small denominators of the problem are proved. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Багатоточкова задача для параболічного рівняння зі змінними коефіцієнтами Article published earlier |
| spellingShingle | Багатоточкова задача для параболічного рівняння зі змінними коефіцієнтами Пташник, Б.Й. Тимків, І.Р. Математика |
| title | Багатоточкова задача для параболічного рівняння зі змінними коефіцієнтами |
| title_full | Багатоточкова задача для параболічного рівняння зі змінними коефіцієнтами |
| title_fullStr | Багатоточкова задача для параболічного рівняння зі змінними коефіцієнтами |
| title_full_unstemmed | Багатоточкова задача для параболічного рівняння зі змінними коефіцієнтами |
| title_short | Багатоточкова задача для параболічного рівняння зі змінними коефіцієнтами |
| title_sort | багатоточкова задача для параболічного рівняння зі змінними коефіцієнтами |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7501 |
| work_keys_str_mv | AT ptašnikbi bagatotočkovazadačadlâparabolíčnogorívnânnâzízmínnimikoefícíêntami AT timkívír bagatotočkovazadačadlâparabolíčnogorívnânnâzízmínnimikoefícíêntami |