Граничні цикли подвійного маятника з жорсткими характеристиками пружних елементів і слідкуючою силою
It is shown that the stable and unstable limit cycles exist in the phase space of а double pendulum with the hard characteristic of elastic elements.
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7508 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Граничні цикли подвійного маятника з жорсткими характеристиками пружних елементів і слідкуючою силою / В.Ю. Iчанський // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 71-73. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7508 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Ічанський, В.Ю. 2010-03-31T16:48:56Z 2010-03-31T16:48:56Z 2008 Граничні цикли подвійного маятника з жорсткими характеристиками пружних елементів і слідкуючою силою / В.Ю. Iчанський // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 71-73. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7508 531.53:517.938 It is shown that the stable and unstable limit cycles exist in the phase space of а double pendulum with the hard characteristic of elastic elements. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Механіка Граничні цикли подвійного маятника з жорсткими характеристиками пружних елементів і слідкуючою силою Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Граничні цикли подвійного маятника з жорсткими характеристиками пружних елементів і слідкуючою силою |
| spellingShingle |
Граничні цикли подвійного маятника з жорсткими характеристиками пружних елементів і слідкуючою силою Ічанський, В.Ю. Механіка |
| title_short |
Граничні цикли подвійного маятника з жорсткими характеристиками пружних елементів і слідкуючою силою |
| title_full |
Граничні цикли подвійного маятника з жорсткими характеристиками пружних елементів і слідкуючою силою |
| title_fullStr |
Граничні цикли подвійного маятника з жорсткими характеристиками пружних елементів і слідкуючою силою |
| title_full_unstemmed |
Граничні цикли подвійного маятника з жорсткими характеристиками пружних елементів і слідкуючою силою |
| title_sort |
граничні цикли подвійного маятника з жорсткими характеристиками пружних елементів і слідкуючою силою |
| author |
Ічанський, В.Ю. |
| author_facet |
Ічанський, В.Ю. |
| topic |
Механіка |
| topic_facet |
Механіка |
| publishDate |
2008 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| format |
Article |
| description |
It is shown that the stable and unstable limit cycles exist in the phase space of а double pendulum with the hard characteristic of elastic elements.
|
| issn |
1025-6415 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7508 |
| citation_txt |
Граничні цикли подвійного маятника з жорсткими характеристиками пружних елементів і слідкуючою силою / В.Ю. Iчанський // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 71-73. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT íčansʹkiivû graničníciklipodvíinogomaâtnikazžorstkimiharakteristikamipružnihelementívíslídkuûčoûsiloû |
| first_indexed |
2025-11-26T11:32:04Z |
| last_indexed |
2025-11-26T11:32:04Z |
| _version_ |
1850619518180655104 |
| fulltext |
УДК 531.53:517.938
© 2008
В.Ю. Iчанський
Граничнi цикли подвiйного маятника з жорсткими
характеристиками пружних елементiв i слiдкуючою
силою
(Представлено членом-кореспондентом НАН України А.А. Мартинюком)
It is shown that the stable and unstable limit cycles exist in the phase space of а double pendulum
with the hard characteristic of elastic elements.
Сили радiальної корекцiї в гiроскопiї [1], а також слiдкуючi сили [2, 3] зумовлюють появу
в рiвняннях збуреного руху непотенцiальних позицiйних сил, яким вiдповiдає кососимет-
рична матриця. Динамiчнi системи з такими силами втрачають консервативнiсть i набу-
вають низку особливостей [4, 5], однiєю з яких є втрата однозначної залежностi характеру
стiйкостi руху вiд структури сил, встановлюваної теоремами [1]. Цими особливостями та
важливими практичними застосуваннями таких систем пояснюється науковий iнтерес до
них. В [6] розглянуто еволюцiю граничних циклiв дволанкового математичного маятника
з лiнiйнодеформiвними пружними елементами. Можливi типи фiзичних нелiнiйностей [7]
та їх математичне описування вказано в [8]. Узагальнена математична модель n-ланкового
маятника з верхнiм положенням рiвноваги i рiзними типами пружних елементiв запропоно-
вана в [9]. Дана робота присвячена дослiдженню еволюцiї граничних циклiв дволанкового
математичного маятника зi змiною модуля слiдкуючої сили у випадку жорстких характе-
ристик пружних елементiв.
Згiдно з [8], сила ~Qc та моменти ~M1, ~M2 (рис. 1) описуються залежностями
~Qc = −~jQc, Qc = Qh
c =
2ca
π
tg
(
πy2
2a
)
, y2 = l1 sin(ϕ1) + l2 sin(ϕ2),
M1 = Mh
1 + µ1ϕ̇1, M2 = Mh
2 + µ2(ϕ̇2 − ϕ̇1),
Mh
1 =
2c1a1
π
tg
(
πϕ1
2a1
)
, Mh
2 =
2c2a2
π
tg
(
π(ϕ2 − ϕ1)
2a2
)
, (·) =
d
dt
.
(1)
З [9] при n = 2 одержуємо такi диференцiальнi рiвняння плоскопаралельного руху по-
двiйного маятника:
(m1 + m2)l
2
1ϕ̈1 + m2l1l2ϕ̈2 cos(ϕ1 − ϕ2) + m2l1l2ϕ̇
2
2sin(ϕ1 − ϕ2) =
= (m1 + m2)gl1sinϕ1 + Pl1 sin(ϕ1 − kϕ2) − Qh
c l1 cos ϕ1 − M1 + M2,
m2l
2
2ϕ̈2 + m2l1l2ϕ̈1 cos(ϕ1 − ϕ2) − m2l1l2ϕ̇
2
1 sin(ϕ1 − ϕ2) =
= m2gl2 sinϕ2 + Pl2 sin[(1 − k)ϕ2] − Qh
c l2 cos ϕ2 − M2.
(2)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 71
Рис. 1
Для вертикального стану рiвноваги маятника (ϕ1 = 0, ϕ̇1 = 0, ϕ2 = 0, ϕ̇2 = 0) система (2)
є одночасно i системою рiвнянь збуреного руху. Подамо її у виглядi
x′ = f(x), f ∈ C1(R4, R4), x(t0) = x0, (′) =
d
dτ
. (3)
Нехай D(s, 4 − s) — область площини параметрiв c та P , в якiй s коренiв вiдповiдного
характеристичного рiвняння мають вiд’ємнi дiйснi частини, 4 − s — додатнi. На нiй гра-
ниця областi асимптотичної стiйкостi D(4, 0) має стiйку та нестiйку дiлянки [6]. Вiзьмемо
m1 = 10 кг, m2 = 5 кг, l1 = l2 = 0,5 м, c1 = c2 = 400 Н ·м, µ1 = µ2 = 10 Н ·м · с, c = 500 Н/м,
параметр P варiюємо. Числовi експерименти з великою кiлькiстю варiантiв значень пара-
метрiв маятника i початкових умов дають пiдставу стверджувати, що у фазовому просторi
зi змiною модуля слiдкуючої сили ~P вiдбувається змiна топологiчної структури, пов’язана
з бiфуркацiями народження або злиття стiйкого та нестiйкого граничних циклiв. Теоретичнi
обгрунтування цих якiсних перетворень динамiчної системи (3) випливають з робiт [10, 11].
При невеликих значеннях модуля слiдкуючої сили ~P областю притягування нульового
розв’язку x = 0 динамiчної системи (3) є весь фазовий простiр. З досягненням парамет-
ром P значення P∗ = P∗(c, k, a, a1, a2) вiдбувається бiфуркацiя народження “з нiчого” [11]
двох граничних циклiв: стiйкого (L+) та нестiйкого (L−), якi при подальшому зростан-
нi модуля сили перемiщуються з рiзними швидкостями в протилежних напрямах: стiйкий
(L+) розпускається, нестiйкий (L−) сплющується до початку координат O(0, 0, 0, 0) фазо-
вого простору R4. При P = P1(c) вiн зливається з точкою O, руйнуючи її стiйкiсть як
особливої точки динамiчної системи (3). При зменшеннi значень P граничнi цикли (L−)
i (L+) рухаються назустрiч один одному. При P = P∗ вони анiгiлюють. Рис. 2 (k = 0,5;
a = a1 = a2 = 1) iлюструє еволюцiю граничних циклiв (L+), причому кривi 1–4 вiдпо-
вiдають значенням P = 1250 Н, 1350 Н, 1550 Н, 1750 Н. Дещо iншу конфiгурацiю мають
граничнi цикли, зображенi на рис. 3 (k = 1; a = 2; a1 = a2 = 1), причому кривi 1–3
вiдповiдають значенням P = 1720 Н, 1800 Н, 1900 Н.
72 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
Рис. 2
Рис. 3
Стiйкий граничний цикл (L+) отримали комп’ютерним моделюванням динамiчної сис-
теми (3), виходячи безпосередньо з його означення, тобто як граничної множини точок
фазового простору, що притягують з плином часу фазовi траєкторiї маятника.
1. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. – Москва: Наука, 1971. – 321 с.
2. Pflüger A. Stabilitätsprobleme der elastotatic. – Berlin; Göttingen; Hеidelbеrg: Springer, 1950. – 339 s.
3. Ziegler H. Die Stabilitätskriterien der Elastomechanik // Ingenieur-Archiv. – 1952. – 20, No 1. – S. 49–56.
4. Циглер Г. Об устойчивости упругих систем // Пробл. механики. – Москва: Изд-во иностр. лит., 1959. –
Вып. 2. – С. 116–160.
5. Болотин В.В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. – Москва: Физматгиз, 1961. –
340 с.
6. Борук И.Г., Лобас В.Л. Эволюции предельных циклов в области устойчивости двойного маятника
при изменении следящей силы // Прикл. механика. – 2004. – 40, № 3. – С. 121–129.
7. Василенко М.В., Алексiйчук О.М. Теорiя коливань i стiйкостi руху. – Київ: Вища шк., 2004. – 528 с.
8. Лобас В.Л. Влияние нелинейных характеристик упругих элементов на бифуркации состояний рав-
новесия двойного маятника со следящей силой // Прикл. механика. – 2005. – 41, № 2. – С. 103–109.
9. Лобас Л.Г. Об уравнениях опрокинутого маятника с произвольным числом звеньев под воздействием
асимметричной следящей силы // Там же. – 2007. – 43, № 5. – С. 106–114.
10. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. – Москва: Наука,
1984. – 176 с.
11. Арнольд В.И. Теория катастроф // Итоги науки и техники: Сер. “Современные проблемы математи-
ки”. Фундаментальные направления. Т. 5. – Москва: ВИНИТИ, 1985. – С. 219–277.
Надiйшло до редакцiї 21.04.2008Державний економiко-технологiчний
унiверситет транспорту, Київ
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 73
|