Термодинамічний аналіз квантових обчислень
The entropy dynamics of register qubits under interaction while processing any many-qubit gate has been considered. These results are applied to the estimation of the amounts of generated entropy and energy dissipation for two- and three-qubit gates, which allows us to calculate their contribution t...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7510 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Термодинамічний аналіз квантових обчислень / Є.Д. Бiлоколос, М.В. Теслик // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 79-83. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859725697679884288 |
|---|---|
| author | Білоколос, Є.Д. Теслик, М.В. |
| author_facet | Білоколос, Є.Д. Теслик, М.В. |
| citation_txt | Термодинамічний аналіз квантових обчислень / Є.Д. Бiлоколос, М.В. Теслик // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 79-83. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | The entropy dynamics of register qubits under interaction while processing any many-qubit gate has been considered. These results are applied to the estimation of the amounts of generated entropy and energy dissipation for two- and three-qubit gates, which allows us to calculate their contribution to the “price” of both processing any quantum algorithm and reading a result while measuring the register’s state.
|
| first_indexed | 2025-12-01T11:20:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
12 • 2008
ФIЗИКА
УДК 53.536+004
© 2008
Є.Д. Бiлоколос, М. В. Теслик
Термодинамiчний аналiз квантових обчислень
(Представлено академiком НАН України В. Г. Бар’яхтаром)
The entropy dynamics of register qubits under interaction while processing any many-qubit gate
has been considered. These results are applied to the estimation of the amounts of generated
entropy and energy dissipation for two- and three-qubit gates, which allows us to calculate their
contribution to the “price” of both processing any quantum algorithm and reading a result while
measuring the register’s state.
Дослiдження квантових iнформацiйних процесiв, яке на сьогоднi є однiєю з актуальних
задач сучасної фiзики та математики, почалося ще у 1994 роцi, коли П. Шор вiдкрив свiй
алгоритм факторизацiї цiлих чисел [1].
Загальновiдомо, що необхiдною умовою максимальної ефективностi класичних обчис-
лень є їх зворотнiсть, що розглядається в термодинамiцi, зокрема у зв’язку з демоном
Максвелла [2] та принципом Ландауера [3]. Даний зв’язок у квантовому випадку висвiтлю-
ється в таких роботах, як [4], що у свою чергу поклало початок дослiдженням квантових
термодинамiчних циклiв та їх оборотностi.
Аналiз квантового одночастинкового циклу Карно наведено в роботi [5]; реалiзацiю дано-
го циклу за допомогою резонаторiв описано в [6]. Робота [7] присвячена моделюванню циклу
Карно на трикубiтовому регiстрi. Рiзноманiтнi квантовi тепловi машини описано в [8, 9].
Термодинамiчнi дослiдження квантових моделей, таких як модель Джейнса–Каммiнгса,
наводяться в [10]; квантово-термодинамiчний аналiз взаємодiї мiж рiзними системами роз-
глядається в [11].
Постановка задачi. В данiй роботi аналiзуються 2- та 3-кубiтовi вентилi контрольного
типу; регiстр включатиме контрольнi кубiти |c〉, залежно вiд стану яких змiнюватиметься
стан цiльового кубiту |t〉. Квантовi ефекти враховуються лише при дiї однокубiтових вен-
тилiв. Мiжкубiтовими кореляцiями, що виникають внаслiдок дiї багатокубiтового вентилю,
ми нехтуватимемо, вiдкидаючи |c〉; саме це й призводить до зростання ентропiї.
Такий пiдхiд дає можливiсть розглядати еволюцiю квантового регiстра пiд дiєю бага-
токубiтових вентилiв як певний квантовий термодинамiчний цикл, для якого можна вве-
сти к. к. д. η. Ентропiя та дисипацiя енергiї будуть результатом нехтування наведених ко-
реляцiй.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 79
Кубiт |t〉 виступає в ролi квантового контролюючого пристрою, оскiльки вiн змiнює свiй
стан вiдповiдно до стану |c〉. Така змiна стану може розглядатися як певний фiльтр, що
визначає послiдовнiсть подальших операцiй на регiстрi. Це є аналогом квантового демона
Максвелла, який вiдрiзняється вiд класичного тим, що вiн може змiнювати свiй стан без
вимiрювання |c〉, а це є наслiдком лiнiйностi квантових вентилiв.
Двокубiтовi вентилi. Розглянемо кубiт у станi |c0〉 з енергiєю m0, який переходить
у суперпозицiю станiв з енергiями m− < m0, m+ > m0:
|c0〉 → |c〉 = α|−〉 + β|+〉,
де ± вiдповiдає m±. Iнiцiюємо |t〉 в початковому станi
|t0〉 =
1√
2
(|t−〉 + |t+〉), (1)
який взаємодiє з |c〉 таким чином:
|c〉|t0〉 → |ct〉 = α|−〉|t−〉 + β|+〉|t+〉, (2)
що еквiвалентно виконанню двокубiтового вентилю. Тодi матриця густини цiльового кубiту
пiсля взаємодiї має вигляд
ρt = Trc|ct〉〈ct| = |α|2|t−〉〈t−| + |β|2|t+〉〈t+|.
Вiдповiдно, змiна ентропiї цiльового кубiту в даному процесi буде
∆St = S(ρt) − S(ρt0) = −|α|2 ln |α|2 − |β|2 ln |β|2, 0 6 ∆St 6 ln 2. (3)
Отже, як видно з (3), спроба визначення стану контрольного кубiту призводить до ге-
нерацiї ентропiї на цiльовому кубiтi. Цей процес характеризується коефiцiєнтом корисної
дiї η2q. Вiдповiдно до принципу Ландауера,
η2q > 0 ⇔ T∆St 6 T ln 2 6 m+ − m0, (4)
де T — температура регiстра.
Данi розрахунки аналогiчнi проведеним у [12]; вiдмiннiсть полягає у змiнi формалiзму
для узгодженостi з нижченаведеними мiркуваннями.
Трикубiтовi вентилi. Введемо додатковий контрольний кубiт з базисом |o〉, |i〉. Тодi
стан контрольного пiдрегiстра
|c1c2〉 = α|o−〉 + β|o+〉 + γ|i−〉 + δ|i+〉. (5)
Нехай цiльовий кубiт iнiцiйовано у станi (1). Його еволюцiя визначатиметься не лише
кубiтом |c1〉, а й додатковим контрольним кубiтом |c2〉. Еволюцiю регiстра визначаємо так:
|c1c2〉|t0〉 → |c1c2t〉 = α|o−〉|t−〉 + β|o+〉|t+〉 + γ|i−〉|t0〉 + δ|i+〉|t0〉, (6)
що еквiвалентно виконанню трикубiтового вентилю на регiстрi; тодi власнi значення мат-
рицi густини цiльового кубiту ρt = Trc1c2|c1c2t〉〈c1c2t|
ρt1 =
1 +
√
χ
2
, ρt2 =
1 −√
χ
2
,
80 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
де χ = (|β|2 − |α|2)2 + (|γ|2 + |δ|2)2. Отже, змiна ентропiї
∆St = −ρt1 ln ρt1 − ρt2 ln ρt2 − 0, 0 6 ∆St 6 ln 2. (7)
Дисипацiя у багатокубiтових вентилях. Вираз (2) описує виконання двокубiтового
вентилю; рiвняння (3) оцiнює величину кореляцiй, iндукованих ним на регiстрi. Тодi з (4)
η2q = 1 − T∆St
m+ − m0
6 1. (8)
Тут η2q є к. к. д. термодинамiчного циклу, який визначається двокубiтовим вентилем; 1−η2q
оцiнює енергiю, що розсiюється внаслiдок нехтування квантовими кореляцiями, iндукова-
ними ним у регiстрi.
Для трикубiтового регiстра отримуємо, що (6) описує вентиль, де (5) є контрольним
пiдрегiстром, а |t(0)〉 кодує цiльовий кубiт. Тодi (7) оцiнює ентропiю, що виникає внаслiдок
дiї вентилю за умови нехтування iндукованих ним кореляцiй мiж |c1c2〉 та |t〉. Коефiцiєнт
корисної дiї η3q даного циклу описується виразом (8). Оцiнюючи внесок в η3q компонентiв
|t±〉, необхiдно провести нормалiзацiю, врахувавши вiдповiднi ймовiрностi виходу:
η3q,+ =
(
|β|2 +
ζ2
2
)
η2q, η3q,− =
(
|α|2 +
ζ2
2
)
η2q, (9)
де ζ2 = |γ|2 + |δ|2.
Використовуючи формули (8) i (9), можна оцiнити ентропiю, дисипацiю та к. к. д. до-
вiльного квантового алгоритму, якi беруть початок у нелокальних квантових кореляцiях,
спричинених дiєю дво- та трикубiтових вентилiв, що визначає термодинамiчну “цiну” його
виконання.
Термодинамiчний аналiз FFTQ. Швидке квантове перетворення Фур’є FFTQ на
N -кубiтовому регiстрi задається послiдовнiстю операторiв FFTQ = Φ0 · · ·ΦN−1, де Φk =
= WkCk,N−1Ck,N−2 · · ·Ck,k+1, Wk — перетворення Волша–Адамара; Ck,s — двокубiтовий
фазовий вентиль.
Даний алгоритм включає в себе N(N − 1)/2 двокубiтових фазових вентилiв. Кожний
з них визначає певний квантовий термодинамiчний процес, що генерує ентропiю ∆St|k
(див. (3)); тут k задає iндекс (номер) вентилю, або процесу. Повна ентропiя, згiдно з (3),
тодi визначається як
∆St = −
N(N−1)/2
∑
k=1
(|αk|2 ln |αk|2 + |βk|2 ln |βk|2) 6
N(N − 1)
2
ln 2, (10)
що дозволяє визначити величину дисипацiї енергiї ∆E даним алгоритмом (див. (4) i (10)):
∆E =
N(N−1)/2
∑
k=1
T∆St|k = T∆St 6 T
N(N − 1)
2
ln 2. (11)
Отже, кожний двокубiтовий вентиль еквiвалентний квантовому термодинамiчному цик-
лу, що генерує ентропiю ∆St|k, та розсiює енергiю T∆St|k. Для повного к. к. д. алгоритму
FFTQ з (11) ηFFTQ
= 1 − T∆St/ξ, де ξ =
N(N−1)/2
∑
k=1
(m+,k − m0,k).
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 81
Термодинамiчний аналiз вимiрювань на регiстрi. Розглянемо квантове обчислен-
ня, що дає правильну вiдповiдь |+〉 або, у випадку помилки, |−〉. Згiдно з квантовою тер-
модинамiкою, воно характеризується к. к. д. η, який визначає дисипацiю; процес буде обо-
ротним, лише якщо η = 1, iнакше для його реалiзацiї необхiдно буде розсiяти 1 − η 6= 0
частину енергiї, задiяну для операцiй на регiстрi.
Проте процес зчитування результату обчислень внаслiдок редукцiї стану квантового
регiстра є необоротним процесом, i тому вимiрювання на регiстрi повиннi призводити до
генерацiї ентропiї та дисипацiї енергiї.
Нехай |t〉 кодує детектор, що зчитує результат (стан кубiту |c〉). Детектор, iнiцiйований
у станi |t0〉 (1), переходить у процесi вимiрювання в стан |t±〉, пiсля чого його знову необхiдно
перевести в |t0〉, що й призведе до додаткової генерацiї ентропiї та дисипацiї. Аналiз даного
процесу подiбний до аналiзу квантового двигуна Сциларда [12]. Коефiцiєнт корисної дiї η2q
циклу
η2q = η − T∆St
m+ − m0
6 η. (12)
Узагальнення можна зробити, ввiвши додатковий кубiт, що вiдкриває (перебуваючи
в станi |o〉) або закриває (в станi |i〉) детектору доступ до регiстра. Даний процес вимi-
рювання з контрольованим доступом характеризується к. к. д. η3q,± (див. (9)). З (12) та
з |α|2 + |β|2 + |γ|2 + |δ|2 = 1 (див. (5)), η3q,−+η3q,+ = η2q = η можливо тодi i тiльки тодi, коли
|β|2 = 1; цей випадок реалiзується лише за умови переходу регiстра в |o+〉, що еквiвалентно
зупинцi обчислень у фiксованому базисному станi.
Отже, показано, що квантовi обчислення, навiть за умови їх оборотностi, призводять
до генерацiї ентропiї та дисипацiї енергiї внаслiдок необхiдностi зчитування результату об-
числень. Слiд вiдзначити, що аналогiчний результат можна отримати й у класичному ви-
падку, оскiльки класичний детектор також необхiдно iнiцiювати у початковому станi пiсля
кожного циклу вимiрювання.
Таким чином, в роботi виконано термодинамiчний аналiз еволюцiї дво- та трикубiто-
вих логiчних вентилiв, що дає змогу описувати їх дiю в термiнах термодинамiчних циклiв
i ввести вiдповiдну генерацiю ентропiї та дисипацiї.
Одержанi результати можуть бути застосованi для термодинамiчного аналiзу операцiй
на квантовому регiстрi, як це продемонстровано на прикладi алгоритму квантового швид-
кого перетворення Фур’є та процесу вимiрювань.
1. Shor P.W. Algorithms for quantum computation: discrete log and factoring // Proc. 35th Annual Sympo-
sium on Foundations of Computer Science. – Inst. of Electrical and Electronic Engineers Computer Society
Press, 1994. – P. 124–134.
2. Maxwell J. C. Theory of Heat. – London: Longmans, Green and Co., 1902. – 348 p.
3. Landauer R. Irreversibility and heat generation in the computing process // IBM J. of Res. and Develop. –
1961. – 5, No 3. – P. 261–269.
4. Mora C. E., Briegel H. J., Kraus B. Quantum Kolmogorov complexity and its applications – 2006. –
arXiv:quant-ph/0610109.
5. Bender C.M., Brody D.C., Meister B.K. Quantum-mechanical Carnot engine // J. Phys. A. – 2000. –
33. – P. 4427–4436.
6. Quan H.T., Zhang P., Sun C.P. Quantum-classical transition of photon-Carnot engine induced by quantum
decoherence. – 2006. – arXiv:quant-ph/0508008.
7. Henrich M. J., Michel M., Mahler G. Small quantum networks operating as quantum thermodynamic
machines // Europhys. Lett. – 2006. – 76, No 6. – P. 1057–1063.
82 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
8. Quan H.T., Liu Y., Sun C.P., Nori F. Quantum thermodynamic cycles and quantum heat engines. –
2007. – arXiv:quant-ph/0611275.
9. Arnaud J., Chusseau L., Philippe F. A simple quantum heat engine. – 2003. – arXiv: quant-ph/0211072.
10. Boukobza E., Tannor D. J. Thermodynamic analysis of quantum light amplification. – 2006. – arXiv: quant-
ph/0611175.
11. Weimer H., Henrich M. J., Rempp F. et al. Local effective dynamics of quantum systems: a generalized
approach to work and heat. – 2007. – arXiv:0708.2354[quant-ph].
12. Zurek W.H. Maxwell’s demon, Szilard’s engine and quantum measurements. – 2003. –
arXiv:quant-ph/0301076.
Надiйшло до редакцiї 18.04.2008Iнститут магнетизму НАН України, Київ
Київський нацiональний унiверситет
iм. Тараса Шевченка
УДК 539.216/22:535.33/34
© 2008
Академiк НАН України А.П. Шпак, В. Л. Карбiвський,
Т.А. Корнiюк
Поведiнка вiрусiв рослин та їх комплексiв на поверхнi
монокристала Si (111)
We use ultrahigh-vacuum atomic force microscopy (UHV — AFM) to study the interaction of
tobacco mosaic virus (TMV) and alfalfa mosaic virus (AMV) with a Si (111) surface. Changes
of the virion conformation and different degrees of order on the investigated surface are establi-
shed. It is demonstrated that the adsorption of TMV virions is accompanied by the formation
of predominantly single-layer ordered films, while the AMV adsorption is accompanied by the
formation of unordered accumulations of virions and a more abrupt change of the height of
viral particles. It is established that the change of virions’ height depends on the number of
negativelycharged amino acid residues on the outer surface of a capsid.
Вiруси складаються з нуклеїнової кислоти i глобулярних бiлкових молекул та є найпростi-
шими формами живих органiзмiв. Вiрусна частинка не має власного апарату вiдтворення,
однак, проникаючи в клiтину, забезпечує власну реплiкацiю за рахунок синтезу iнфiко-
ваною клiтиною вiрусних бiлкiв. Розмiри вiрусних частинок коливаються у межах вiд 15
до 600 нм [1, 2]. Окрiм бiологiчних ознак (здатнiсть до вiдтворення, iнфекцiйнiсть), вiруси
мають багато корисних властивостей. Зокрема, вiруснi частинки здатнi утворювати кри-
стали з вигiдними оптичними властивостями. Наявнiсть великої кiлькостi зарядiв на вну-
трiшнiй i зовнiшнiй поверхнях вiрiонiв дозволяє отримувати наночастинки матерiалiв за
допомогою бiомiметичного методу [3, 4]. Здатнiсть вiрусiв проникати до клiтини може бути
використана для створення новiтнiх внутрiшньоклiтинних нанозондiв та наносенсорiв. Най-
бiльш перспективними для застосування у нанотехнологiї є вiруси рослин, оскiльки вони
є безпечними для людини та тварин, можуть бути отриманi у великiй кiлькостi та здатнi
витримувати модифiкацiї [5].
Авторами даної роботи проведено дослiдження поведiнки палочкоподiбних вiрусiв,
зокрема, вiрусiв тютюнової мозаїки (ВТМ), що мають спiральну симетрiю, згiдно з якою
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 83
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7510 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T11:20:03Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Білоколос, Є.Д. Теслик, М.В. 2010-03-31T16:52:27Z 2010-03-31T16:52:27Z 2008 Термодинамічний аналіз квантових обчислень / Є.Д. Бiлоколос, М.В. Теслик // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 79-83. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7510 53.536+004 The entropy dynamics of register qubits under interaction while processing any many-qubit gate has been considered. These results are applied to the estimation of the amounts of generated entropy and energy dissipation for two- and three-qubit gates, which allows us to calculate their contribution to the “price” of both processing any quantum algorithm and reading a result while measuring the register’s state. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Фізика Термодинамічний аналіз квантових обчислень Article published earlier |
| spellingShingle | Термодинамічний аналіз квантових обчислень Білоколос, Є.Д. Теслик, М.В. Фізика |
| title | Термодинамічний аналіз квантових обчислень |
| title_full | Термодинамічний аналіз квантових обчислень |
| title_fullStr | Термодинамічний аналіз квантових обчислень |
| title_full_unstemmed | Термодинамічний аналіз квантових обчислень |
| title_short | Термодинамічний аналіз квантових обчислень |
| title_sort | термодинамічний аналіз квантових обчислень |
| topic | Фізика |
| topic_facet | Фізика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7510 |
| work_keys_str_mv | AT bílokolosêd termodinamíčniianalízkvantovihobčislenʹ AT teslikmv termodinamíčniianalízkvantovihobčislenʹ |