Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського

A variational equation of the fourth order for the free relativistic top is developed starting from the Dixon's system of equations for the motion of the relativistic dipole. The obtained equation is then cast into the homogeneous space time Hamiltonian form.

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Праці наукового товариства ім. Шевченка
Datum:	2011
1. Verfasser:	Мацюк, Р.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainisch
Veröffentlicht:	Західний науковий центр НАН України і МОН України 2011
Schlagworte:	Тематична конференція Комісії фізики НТШ "Міжнародний рік астрономії"
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/75117
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського / Р. Мацюк // Праці Наукового товариства ім. Шевченка. — Л., 2011. — Т. 8: Фізичний збірник. — С. 90-105. — Бібліогр.: 36 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860269819011530752
author	Мацюк, Р.
author_facet	Мацюк, Р.
citation_txt	Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського / Р. Мацюк // Праці Наукового товариства ім. Шевченка. — Л., 2011. — Т. 8: Фізичний збірник. — С. 90-105. — Бібліогр.: 36 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Праці наукового товариства ім. Шевченка
description	A variational equation of the fourth order for the free relativistic top is developed starting from the Dixon's system of equations for the motion of the relativistic dipole. The obtained equation is then cast into the homogeneous space time Hamiltonian form.
first_indexed	2025-12-07T19:05:26Z
format	Article
fulltext	90 Ôiçè÷íèé çáiðíèê ÍÒØ ò.8 2011 p. ÐÅËßÒÈÂIÑÜÊÀ ÄÇÈ�À Â ÄÈÍÀÌIÖI ÎÑÒÐÎÃÐÀÄÑÜÊÎÃÎ Ðîìàí ÌÀÖÞÊ Iíñòèòóò ïðèêëàäíèõ ïðîáëåì ìåõàíiêè i ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, âóë. Íàóêîâà, 3 á , Ëüâiâ 79000 Ðåäàêöiÿ îòðèìàëà ñòàòòþ 20 ãðóäíÿ 2010 ð. Îòðèìó¹ìî âàðiÿöiéíi ðiâíÿííÿ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêó äëÿ îïèñó âiëüíî¨ ðåëÿòèâiñüêî¨ äçè è, âèõîäÿ÷è ç ðiâíÿíü Äiêñîíà äëÿ ðåëÿòè- âiñüêî¨ äèïîëüíî¨ ÷àñòêè. Îòðèìàíèì ðiâíÿííÿì íàäà¹ìî îäíîðiäíó ïðîñòîðîâî�÷àñîâó ãàìiëüòîíiâñüêó ôîðìó. 1. ÂÑÒÓÏ. Çàöiêàâëåííÿ òàêèì ñïîñîáîì îïèñó ðóõó áóöiì�êëàñè÷íî¨ ÷àñòêè, ÿêèé ïðèâîäèòü äî ðiâíÿíü ç âèùèìè ïîõiäíèìè íà îñíîâi çàñîáiâ ìåõàíiêè Îñòðîãðàäñüêîãî, âèíèêëî äåñü áiëÿ 70-òè ðîêiâ òîìó i ç òèõ ïið íå âùó- õà¹ [1�7]. Îñòàííüî âiäíîâèëàñÿ óâàãà äî ìîäåëåé, â îñíîâi ÿêèõ ëåæàòü ïî- íÿòòÿ ïåðøî¨ òà âèùèõ êðèâèí Ôðåíå ñâiòîâî¨ íèòi ÷àñòêè (ãëÿäè [8�13]). Ïîáiëüøîñòè, ðîçãëÿä çà÷èíà¹òüñÿ âiä a priori ïîäàíîãî ëÿ ðàíæiÿíó ç âèùèìè ïîõiäíèìè, à òîäi íàìàãàþòüñÿ îòðèìàíó äèíàìi÷íó ñèñòåìó ií- òåðïðåòóâàòè ÿê òàêó, ùî îïèñó¹ ðóõ ÷àñòêè, íàäiëåíî¨ áóöiì-êëàñè÷íèì ñïiíîì (ïî-èíüøîìó ìîâèòè á � ÿê äçè ó). Ïðè öiì òðàïëÿþòüñÿ òåõíi- ÷íi íåïîðîçóìiííÿ äâîõ âèäiâ. Ïî-ïåðøå, âiä ñàìîãî ïî÷àòêó íàêëàäàþòü äåêîòði íåãîëîíîìíi â'ÿçi. Öi â'ÿçi âèáèðàþòüñÿ òàêèì ÷èíîì, ùîá íàïå- ðåä çàáåçïå÷èòè óìîâó, çãiäíî ç ÿêîþ ëÿ ðàíæiÿí çàïèñó¹òüñÿ â ñèñòåìi êîîðäèíàò ðóõîìîãî ðåïåðà [14]. Àëå æ, ÿê âêàçàíî â ïðàöi [15], íåãîëî- íîìíi â'ÿçi âèìàãàþòü äåëiêàòíiøîãî ïiäõîäó. Çîêðåìà, çâ'ÿçàíà ñèñòåìà âòðà÷à¹ âëàñòèâiñòü âàðiÿöiéíîñòè. Ïî-äðóãå, âiäîìå i çâàáëèâå ïðèïóùå- ííÿ ïðî óíiòàðíiñòü âåêòîðà ÷îòèðèâèìiðíî¨ øâèäêîñòi ÷àñîì âíîñÿòü çà- ïiçíî � óæå ïiñëÿ òîãî, ÿê âàðiÿöiéíà ïðîöåäóðà ç ïåâíèì íåçâ'ÿçàíèì, àëå é ïàðàìåòðè÷íî-íåiíâàðiÿíòíèì âàðiÿöiéíèì çàâäàííÿì âæå çîñòàëà ïåðåâåäåíà (ïîð. [16]). Òàêèé ïiäõiä çàçíàâàâ ñïðàâåäëèâî¨ êðèòèêè ç áîêó ðiæíèõ àâòîðiâ (ãëÿäè [17, ñòîð. 149], àáî [18]). Ç èíüøîãî áîêó, äëÿ îïèñó ðåëÿòèâiñüêî¨ äçè è ñëóæàòü äàâíî âñòàíîâëåíi ðiâíÿííÿ òðåòüîãî ïîðÿäêó Ìàòiñîíà [19], ðiâíÿííÿ äðóãîãî ïîðÿäêó Ìàòiñîíà�Ïàïàïåòðó [20], i ñèñòå- ìà ðiâíÿííü ïåðøîãî ïîðÿäêó Äiêñîíà [21]. I îñü, ó 1945ìó ðîöi, ó çâ'ÿçêó ç PACS 2006 numbers 11.15.Kc, 02.40.Ky, 45.20.Jj, 45.50.-j Ñòàòòÿ ïîäà¹òüñÿ â àâòîðñüêié ðåäàêöi¨ Ðåëÿòèâiñüêà äçè à 91 ïðàöåþ Ìàòiñîíà [19], Âàéñåíõîô ç Ðàáå ñòâåðäèëè òàêó äóìêó: � Ðiâíÿííÿ ðóõó ìàòåðiÿëüíî¨ ÷àñòêè, íàäiëåíî¨ ñïiíîì, íå çáiãàþòüñÿ ç íþòîíiâñüêè- ìè çàêîíàìè ðóõó íàâiòü äëÿ âiëüíî¨ ÷àñòêè â àëiëå¹âñüêié îáëàñòi; îñòà- ¹òüñÿ äîäàòêîâèé ÷ëåí, çàëåæíèé âiä íóòðiøíüîãî ìîìåíòó, àáî æ ñïiíó ÷àñòêè, ÿêèé ïiäâèùó¹ ïîðÿäîê öüîãî äèôåðåíöiéíîãî ðiâíÿííÿ äî òðåòüî- ãî.� 1 Äî íàâåäåíî¨ äóìêè ìîæåìî äîäàòè, ùî ïðîöåäóðà ïîâíîãî óñóíåííÿ ñïiíîâèõ çìiííèõ ïiäâèùó¹ ïîðÿäîê äèôåðåíöiéíîãî ðiâíÿííÿ äëÿ ñâiòîâî¨ íèòi ÷àñòêè äî öèôðè ÷îòèðè. Â íàñòóïíîìó âiääiëi ïîêàæåìî, ÿê îöå äè- ôåðåíöiéíå ðiâíÿííÿ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêó âèïëèâà¹ ç ïðîöåäóðè óñóíåííÿ çìiííèõ ñïiíó iç ñèñòåìè ðiâíÿíü Äiêñîíà â ïëàñê�îìó ïðîñòîði i çàïðîïî- íó¹ìî âèðàç äëÿ ôóíêöi¨ Ëÿ ðàíæà, ïðè ÿêié ïàðàìåòðè÷íî-iíâàðiÿíòíå âàðiÿöiéíå çàâäàííÿ âèäàñòü ñâiòîâi ëiíi¨ ÷àñòêè ç íóòðiøíiì ìîìåíòîì áåç áóäü-ÿêèõ â'ÿçåé, ùî íàêëàäàëèñÿ-á ïåðåä ïåðåâåäåííÿì âàðiÿöiéíî¨ ïðîöåäóðè. Â'ÿçü ïîñòiéíîñòè êðèâèíè Ôðåíå ïîâèííà íàêëàäàòèñÿ ïiñëÿ ïåðåâåäåííÿ âàðiÿöi¨, i ñàìå òîìó íàçèâà¹ìî çàïðîïîíîâàíó íàìè ôóíêöiþ Ëÿ ðàíæà ïîêðèâàþ÷èì ëÿ ðàíæiÿíîì. Îïiñëÿ çáóäó¹ìî ñèñòåìó óçàãàëü- íåíèõ ãàìiëüòîíiâñüêèõ ðiâíÿíü, ùî âiäïîâiäàòèìóòü öüîìó ëÿ ðàíæiÿíîâi. 2. ÏIÄÂÈÙÅÍÍß ÏÎÐßÄÊÓ I ÑÊÎÐÎ×ÅÍÍß ÊIËÜÊÎÑÒI ÇÌIÍÍÈÕ. 2.1. ÐiâíÿííÿÌàòiñîíà�Ïàïàïåòðó�Äiêñîíà ç óìîâîþÌàòiñîíà� Ïiðàíi: ïåðøå ïiäâèùåííÿ ïîðÿäêó. Àáè ïî÷àòè ç íàéíèæ÷îãî äèôåðåíöiéíîãî ïîðÿäêó ðiâíÿíü, çãàäàéìî ðiâ- íÿííÿ Äiêñîíà äëÿ áóöiì-êëàñè÷íî¨ ÷àñòêè çi ñïiíîì, âçàãàëi êàæó÷è, ó ðàâiòàöiéíîìó ïîëi,  DPα dτ = −1 2 Rαβ ρν ẋβSρν DSαβ dτ = Pαẋβ − Pβẋα , (1) çàïèñàíi ç äîïîìîãîþ ïîíÿòòÿ êîâàðiÿíòíîãî óïîõiäíåííÿ D dτ âçäîâæ ñâi- òîâî¨ íèòi ç äîâiëüíèì â�iäìiðîì ìiðêîþ τ . Â çàãàëüíié òåîði¨ âiäíîñíî- ñòè öi ðiâíÿííÿ ìàþòü âèêîíóâàòèñÿ óçäîâæ ñâiòîâî¨ íèòi áóöiì-êëàñè÷íî¨ ÷àñòêè, íàäiëåíî¨ íóòðiøíiì ìîìåíòîì êiëüêîñòè ðóõó (ò. çâ. � ñïiíîì� ) Sαβ + Sβα = 0 , âiäïîâiäàëüíèì çà ¨¨ äèïîëüíó ñòðóêòóðó. Ç-ïîìiæ êiëüêîõ äîäàòêîâèõ óìîâ, ÿêi äîäàþòüñÿ äî ñèñòåìè ðiâíÿíü (1) àáè óñóíóòè ¨¨ íåäîîçíà÷åíiñòü (ãëÿäè [22]), ìè çóïèíèìîñü íà óìîâi, îáðà- íié Ìàòiñîíîì [19] ẋρSρα = 0. (2) 1�The equations of motion of a material particle endowed with spin do not coincide with the Newtonian laws of motion even for a free particle in Galileian domains; there remains an additional term depending on the internal angular momentum or spin of the particle which raised the order of these di�erential equations to three.� (Ïðàöÿ [2] äîïîâiäàëàñÿ íà çàñi- äàííi Êðàêiâñüêîãî âiääiëåííÿ Ïîëüñüêîãî ôiçè÷íîãî òîâàðèñòâà 28 ëþòíÿ 1945 ðîêó.) 92 Ð. Ìàöþê Çà öi¹¨ óìîâè âåëè÷èíà m = P·u ‖u‖ , äå u = ẋ , ¹ iíòå ðàëîì ðóõó ðiâíî æ ÿê i âåëè÷èíà ñêàëÿðó íóòðiøíüîãî ìîìåíòó σ2 = σασ α = SαβS αβ , äå σα = √ \|g\| 2‖u‖ εαβρνu βSρν . (3) Óìîâà Ìàòiñîíà äîçâîëÿ¹ ðîçâ'ÿçàòè ñïiââiäíîøåííÿ (3) ùîäî òåíçîðà ñïiíó: Sαβ = √ \|g\| ‖u‖ εαβρνu ρσν , (4) i òåïåð ñàìà âîíà íàáèðà¹ âèãëÿäó σ · u = σαu α = 0 . (5) Ïîïåðåäíiì äîñëiäæåííÿì [23] âñòàíîâëåíî, ùî ñèñòåìà ðiâíÿíü(1), îáìå- æåíà óìîâîþ(2), ¹ ðiâíîçíà÷íîþ ç òàêîþ ñèñòåìîþ: εαβρν ü βuρσν − 3 u̇ · u u2 εαβρν u̇ βuρσν + m√ \|g\| [ (u̇ · u)uα − u2u̇α ] = u2 2 Rαβ κµεκµρνu βuρσν (6) u2σ̇ + (σ · u̇) u = 0 (7) σ · u = 0 , (8) äå � ïîñòóïàëüíà ÷àñòèíà� (6) òåïåð âæå ìiñòèòü òðåòþ ïîõiäíó âiä êîîð- äèíàòè ÷àñòêè. Ñèñòåìà ðiâíÿíü (6, 7) ¹ íåâ�iäìiðíîþ (â�iäìiðíî�áàéäóæîþ), ñèði÷ iíâà- ðiÿíòíîþ ùîäî áóäü-ÿêèõ ïåðåòâîðåíü íåçàëåæíî¨ çìiííî¨ τ , ÿêà ñëóæèòü ìiðêîþ óçäîâæ ñâiòîâî¨ íèòi ÷àñòêè. Âiäíîâëåííÿ ñèñòåìè ðiâíÿíü(1, 2) äîñÿãà¹òüñÿ âïðîâàäæåííÿì çìií- íî¨ P âçîðîì Pα = m ‖u‖ uα + √ \|g\| ‖u‖3 εβρναu̇ βuρσν , (9) ÿêîãî ìîæíà çàïèñàòè, âèêîðèñòîâóþ÷è ïîçíà÷êó äâî¨ñòîãî òåíçîðà, òàê: P = m ‖u‖ u+ 1 ‖u‖3 ∗ u̇ ∧ u ∧ σ . (10) Êâàäðàò ñêàëÿðíî¨ âåëè÷èíè âåêòîðà êiëüêîñòè ðóõó P ãàðíî âèðàæà- ¹òüñÿ ÷åðåç ïîíÿòòÿ ïåðøî¨ êðèâèíè Ôðåíå ñâiòîâî¨ íèòi ÷àñòêè, k = ‖u̇ ∧ u‖ ‖u‖3 , (11) Ðåëÿòèâiñüêà äçè à 93 îñü ÿêèì ÷èíîì: P2 def= P · P = m2 + 1 ‖u‖6 ( ∗ u̇ ∧ u ∧ σ)2 = ( u̇ ∧ u ∧ σ · u̇ ∧ u ∧ σ ) = m2 + σ2 ‖u‖6 [ (u̇ · u)2 − u̇2u2 ] + (σ · u̇)2 u2 ‖u‖6 + (σ · u)2 u̇2 ‖u‖6 − 2 (u̇ · u)(σ · u)(σ · u̇) ‖u‖6 = m2 − σ2k2 + 1 ‖u‖6 [(σ · u̇)u− (σ · u) u̇] 2 . (12) 2.2. Ðiâíÿííÿ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêó äëÿ âiëüíî¨ ðåëÿòèâiñüêî¨ äçè- è. Íàäàëi êëàäåìî Rαβµν = 0 . Â ïëàñê�îìó ïðîñòîði ÷îòèðè-âåêòîð ñïiíó σ ¹ ïîñòiéíèì. Öå ìîæíà óãëåäiòè, íàïðèêëàä, ñòÿâøè ðiâíÿííÿ (6) ç âåêòîðîì σα i îïiñëÿ çèðêíóâøè íà ðiâíÿííÿ (7). Ïðîáóâàòèìåìî äàëi óñóâàòè âåëè÷èíè σν çi ñèñòåìè ðiâíÿíü (6, 5). Ùîáè ñïðîñòèòè ïiäðàõóíêè, âàðòî îáðàòè ìiðêîþ óçäîâæ ñâiòîâî¨ íèòi ÷àñòêè, ÿê çâè÷àéíî, íàòóðàëüíó ìiðêó s òàê, ùî ẋs · ẋs = 1 . Íåãàé- íî îòðèìó¹ìî, âèêîðèñòîâóþ÷è ïîíÿòòÿ äâî¨ñòîãî òåíçîðà, îñü ÿêó ôîðìó ðiâíÿííÿ (6) ∗ (üs ∧ us ∧ σ) +mu̇s = 0 . (13) Öå ðiâíÿííÿ ìà¹ ïåðøèé iíòå ðàë � êâàäðàò ïåðøî¨ êðèâèíè Ôðåíå ñâiòîâî¨ íèòi k2 = us · us . (14) Âèõîäÿ÷è çi âçîðó (12), íåãàéíî áà÷èìî, ùî i êâàäðàò ñêàëÿðíî¨ âåëè÷èíè âåêòîðà êiëüêîñòè ðóõó P2 ¹ ñòàëèì íà ðîçâ'ÿçêàõ ñèñòåìè ðiâíÿíü (13, 8) â íàøîìó ïëàñê�îìó ïðîñòîði. Òåïåð çãîðíiìî âåêòîðíå ðiâíÿííÿ (13) ç òåíçîðîì ∗(us ∧ σ) , ïàì'ÿòà- þ÷è ïðî óìîâó (8). Ïiñëÿ ïåâíèõ àë åáðè÷íèõ ìàíiïóëÿöié îòðèìà¹ìî σ2(üs + k2us) = −m ∗ (u̇s ∧ us ∧ σ) . Îöå óïîõiäíþþ÷è i îïiñëÿ ïiäñòàâëÿþ÷è ïðàâó ÷àñòèíó ç ðiâíÿííÿ (13), îñòàòî÷íî îòðèìó¹ìî ðiâíÿííÿ ... us + ( k2 − m2 σ2 ) u̇s = 0 . (15) Êîëè æ òåïåð çàïðîâàäèìî ïîçíà÷êó ω2 = −P2 σ2 , äå ω íåñå ôiçè÷íå íàâàíòàæåííÿ ïîíÿòòÿì ÷àñòîòè îñöèëÿöié, îòðèìà¹ìî áàæàíå ðiâíÿííÿ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêó äëÿ ñâiòîâî¨ íèòi âiëüíî¨ ðåëÿòèâiñüêî¨ äçè è: ... us + ω2u̇s = 0 . (16) Ðiâíÿííÿ (16) ðîçãëÿäàëîñÿ â ïðàöÿõ [16] i [24] ÿê ðiâíÿííÿ, ÿêå îïèñó¹ òðåìòiííÿ áóöiì-êëàñè÷íî¨ ÷àñòêè. 94 Ð. Ìàöþê 3. ÊÀÍÎÍI×ÍÈÉÔÎÐÌÀËIÇÌÄËß ÐÅËßÒÈÂIÑÜÊÎ� ×À- ÑÒÊÈ ÂÌÅÕÀÍIÖI ÎÑÒÐÎÃÐÀÄÑÜÊÎÃÎ ÄÐÓÃÎÃÎ ÏÎ- ÐßÄÊÓ. 3.1. Îäíîðiäíèé ãàìiëüòîíiâ ôîðìàëiçì. Òóò ðîçâèâà¹ìî ìåõàíiçì �ðàñåðà�Ðóíäà�Âàéñåíãîôà [5,17,25] îäíîðiäíî- ãî ãàìiëüòîíiâñüêîãî ïîäàííÿ ìåõàíiêè Îñòðîãðàäñüêîãî ç ïîõiäíèìè äðó- ãîãî ïîðÿäêó ó âèðàçi ôóíêöi¨ Ëÿ ðàíæà äëÿ ðåëÿòèâiñüêîãî ïàðàìåòðè÷íî- iíâàðiÿíòíîãî âàðiÿöiéíîãî çàâäàííÿ. Öåé ìåõàíiçì íàéêðàùå íàäà¹òüñÿ äëÿ ïîòðåá ðåëÿòèâiñüêî¨ ìåõàíiêè, à òàêîæ, âçàãàëi êàæó÷è, ¹ îñîáëèâî çðó÷íèì ó âñiõ òèõ âèïàäêàõ, êîëè ñàìèìè ðàìêàìè ìîäåëi ïåðåäáà÷à¹- òüñÿ iíâàðiÿíòíiñòü ùîäî äåÿêî¨ ãðóïè ïåðåòâîðåíü, ÿêà ïåðåìiøó¹ ðiâíî- ïðàâíèì ÷èíîì çàëåæíi çìiííi ç íåçàëåæíèìè, ÿê öå é âiäáóâà¹òüñÿ ïiä âèìîãîþ ëîðåíö-iíâàðiÿíòíîñòè. Íåõàé pr : T rM \ {0} → Cr(1,M) (17) îçíà÷à¹ ôàêòîð-ïðî¹êöiþ ç ìíîãîâèäó íåíóëüîâèõ øâèäêîñòåé Åðåñìàíà íà ìíîãîâèä åëåìåíòiâ òîðêàííÿ r -ãî ïîðÿäêó ïiä äi¹þ ãðóïè (ìiñöåâèõ) ïåðåòâîðåíü íåçàëåæíî¨ çìiííî¨ Glr(1,R) on T rM . Ùîðàçó, ÿê òiëüêè ôóíêöiÿ Ëÿ ðàíæà L : T rM 7→ R çàäîâîëüíÿ¹ òàê çâàíi óìîâè Öåðìå- ëî, âîíà âèçíà÷à¹ äåÿêå ïàðàìåòðè÷íî-iíâàðiÿíòíå âàðiÿöiéíå çàâäàííÿ íà T rM . Óñÿêå òàêå çàâäàííÿ óñïiøíî ïåðåæèâà¹ çãàäàíó âèùå ôàêòî- ðèçàöiþ i âèçíà÷à¹ ïåâåí ïó÷îê ðiâíîçíà÷íèõ ìiæ ñîáîþ ïðèñàäæåíèõ (äî îñíîâè C0(1,M)=M )1 -ôîðì (àáî æ ëÿ ðàíæåâèõ ãóñòèí), îçíà÷åíèõ íà âîëîêíèñòîìó ìíîãîâèäi Cr(1,M) íàä îñíîâîþ M . Çàãàëüíà êîíñòðóêöiÿ öüîãî ìåõàíiçìó äåòàëüíî ðîçãëÿäàëàñÿ â ïðàöi [26], çàñòîñóâàííÿ òåîði¨ ïó÷êiâ îá ðóíòîâàíà Äåäåêåðîì â ïðàöi [27]. Òóò îáìåæèìîñÿ âèïàäêîì âàðiÿöiéíîãî çàâäàííÿ ïîðÿäêó 2 ( r = 2 ) i, áiëüø òîãî, ïðàöþâàòèìåìî â ìiñöåâèõ êîîðäèíàòàõ ùîá ÿêîìîãà áëèæ÷å ïiäiéòè äî êîíêðåòíî¨ ôiçè- ÷íî¨ ìîäåëi. Íàãàäà¹ìî ïîçíà÷åííÿ êîîðäèíàò ó âèùå çãàäàíèõ ìíîãîâè- äàõ: xα , uα , u̇α , üα , ... uα äëÿ T 4M òà x0 , xi , vi , v′i , v′′i , v′′′i äëÿ C4(1,M) . ßê òiëüêè ó íàøèõ ôiçè÷íèõ çàñòîñóâàííÿõ ìíîãîâèä M ïå- ðåòâîðþ¹òüñÿ â ïðîñòið-÷àñ ñïåöiÿëüíî¨ òåîði¨ âiäíîñíîñòè ç äiÿãîíàëüíîþ ìåòðèêîþ (1,−1,−1,−1) , ìè âïðîâàäæó¹ìî âåêòîðíi ïîçíà÷êè çà âçiðöåì u = (u0,u) , u · u = u2 0 + u2 , u2 = u · u = uαu α . Íåõàé L(x, u, u̇) ¹ ôóíêöi¹þ Ëÿ ðàíæà, îçíà÷åíîþ íà ìíîãîâèäi T 2M , ÿêà çàäîâiëüíÿ¹ óìîâè Öåðìåëî: uα ∂L ∂u̇α ≡ 0 uα ∂L ∂uα + 2 u̇α ∂L ∂u̇α − L ≡ 0 . (18) ßê âåäåòüñÿ, çàñòîñó¹ìî ïåðåòâîðåííÿ Ëåæàíäðà Le : (x, u, u̇, ü) 7→ (x, u, ℘, ℘(1)) Ðåëÿòèâiñüêà äçè à 95 ℘(1) = ∂L ∂u̇ ℘ = ∂L ∂u −Dτ℘(1) , (19) äå Dτ = u ∂ ∂x + u̇ ∂ ∂u + ü ∂ ∂u̇ (20) îçíà÷àòèìå îïåðàòîð ïîâíî¨ ïîõiäíî¨. Çàóâàæèìî òàêîæ, ùî â ïîäàëü- øèõ çàñòîñóâàííÿõ âiäñóòíüîþ áóäå áóäü-ÿêà çàëåæíiñòü âiä ïðîñòîðîâî- ÷àñîâî¨ çìiííî¨ x , îñêiëüêè íàñ çîáîâ'ÿçóâàòèìå ëæå-åâêëiäiâñüêà ñèìå- òðiÿ. Ìîæíà áà÷èòè, ùî óìîâè Öåðìåëî, êîëè âèêîíóþòüñÿ, ¹ ðiâíîçíà÷íi äî òàêèõ: uα℘(1) α ≡ 0 (21.a) uα℘α + u̇α℘(1) α ≡ L . (21.b) Ó çãîäi ç Ðóíäîì [17], ïðèïóñòèìî, ùî iñíó¹ äåÿêà C2 ôóíêöiÿ H âiä ÷îòèðüîõ çìiííèõ (x, u, ℘, ℘(1)) , ÿêà íå ¹ òðèâiÿëüíî ïîñòiéíîþ óçäîâæ êîæíî¨ ç äâîõ îñòàííiõ çìiííèõ i ÿêà, ðàçîì ç öèì, ¹ ïîñòiéíîþ óçäîâæ ïåðåòâîðåííÿ Ëåæàíäðà, i ìè âèáèðà¹ìî öå ïîñòiéíå çíà÷åííÿ ðiâíèì 1 áåç ÿêî¨ñü ñóòò¹âî¨ âòðàòè çàãàëüíîñòè: H ◦ Le ≡ 1 . (22) ßê ïîêàçàíî ó ïðàöi [17] (ãëÿäè òàêîæ [25]), çà óìîâè rank ∥∥∥∥ ∂2L ∂u̇α∂u̇β ∥∥∥∥ = dimM − 1 , (23) ìàþòü iñíóâàòè íåâèçíà÷åíi ìíîæíèêè λ òà µ , âçàãàëi êàæó÷è, çàëåæíi îä x, u, u̇, ü , òàêi, ùî íàñòóïíà êàíîíi÷íà ñèñòåìà äèôåðåíöiéíèõ ðiâíÿíü ïåðøîãî ïîðÿäêó ùîäî çìiííèõ x, u, ℘, ℘(1) çàäîâîëüíÿ¹òüñÿ óçäîâæ êî- æíî¨ ç åêñòðåìàëåé âàðiÿöiéíîãî çàâäàííÿ ç ôóíêöi¹þ Ëÿ ðàíæà L : dx dτ = λ ∂H ∂℘ (24.i) du dτ = λ ∂H ∂℘(1) + µu (24.ii) d℘ dτ = −λ ∂H ∂x (24.iii) d℘(1) dτ = −λ ∂H ∂u − µ℘(1) . (24.iv) Òåïåð ðîçâèòîê äîâiëüíî¨ ôóíêöi¨ f âiä çìiííèõ ôàçîâîãî ïðîñòîðó x , u , ℘ , ℘(1) çàäà¹òüñÿ äóæêîþ Ïóàñîíà{ f,H } def= ∂f ∂xα ∂H ∂℘α + ∂f ∂uα ∂H ∂℘ (1) α − ∂f ∂℘α ∂H ∂xα − ∂f ∂℘ (1) α ∂H ∂uα 96 Ð. Ìàöþê îñü ÿêèì ÷èíîì [25] df dτ = λ { f,H } + µ [ uα ∂f ∂uα − ℘(1) α ∂f ∂℘ (1) α ] . (25) 3.2. Îòðèìàííÿ ôóíêöi¨ H . Îáñÿã ìíîæèíè ìîæëèâèõ ôóíêöié H , ÿêi çàäîâîëüíÿëè á (22) ¹ íåìà- ëèì. Àëå, îñêiëüêè êîæíå ïàðàìåòðè÷íî-iíâàðiÿíòíå âàðiÿöiéíå çàâäàííÿ, ïîñòàâëåíå íà ïðîñòîði T rM , ïîðîäæó¹ âiäïîâiäíå éîìó ôîðìóëþâàííÿ íà ïðîñòîði Cr(1,M) , i íàâïàêè, ìîæíà ç óñïiõîì ïðîáóâàòè â öié ðîëi âiäòÿãíåíå äî ïðîñòîðó T rM ãàìiëüòîíiâñüêå ôîðìóëþâàííÿ, ïåðåä òèì çáóäîâàíå íà ïðîñòîði Cr(1,M) . Ïîñòàâèìî âàðiÿöiéíå çàâäàííÿ íà ïðîñòîði R × T rM ó âèãëÿäi ïðè- ñàäæåíî¨ (ùîäî R ) äèôåðåíöiéíî¨ 1 -form L dτ , äå L îçíà÷åíà ëèøå íà T rM i çàäîâiëüíÿ¹ óìîâè Öåðìåëî. Íåõàé òåæ Ldx0 áóäå òèì ïðåäñòàâíè- êîì âiäïîâiäíîãî ïó÷êà ðiâíîçíà÷íèõ ïðèñàäæåíèõ (ùîäî M ) äèôåðåíöié- íèõ 1 -ôîðì íà âîëîêíèñòîìó ìíîãîâèäi Cr(1,M) , ÿêèé, ó çàïðîâàäæåíèõ âèùå êîîðäèíàòàõ, çàäà¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿìè L dτ − (L◦pr) dx0 = − (L ◦ pr)ϑ , äå ϑ = dx0 − u0dτ (26) ¹ îäíi¹þ ç ôîðì òîðêàííÿ íà ìíîãîâèäi J1(R,M) ≈ R× TM . Çâiäñiëÿ L = u0 L ◦ pr. (27) Êàíîíi÷íi êiëüêîñòi ðóõó çàïðîâàäæóþòüñÿ, ÿê çâè÷àéíî: p(1) = ∂L ∂v′ p = ∂L ∂v −Dtp (1) , (28) äå Dt = vi ∂ ∂xi + v′i ∂ ∂vi + v′′i ∂ ∂v′i (29) îçíà÷à¹ îïåðàòîð ïîâíî¨ ïîõiäíî¨ ùîäî çìiííî¨ x0 . Ñïiââiäíîøåííÿ ïîìiæ îïåðàòîðàìè (20) òà (29) ïîâíî¨ ïîõiäíî¨ íà âiä- ïîâiäíèõ ïðîñòîðàõ ñòðóìåíiâ, J2(R,M) òà (ìiñòå÷êîâî) J2(R,R dimM−1) âèäà¹òüñÿ î÷åâèäíèì, ÿê íàñïðàâäi âîíî i ¹: ÿêùî f ¹ ìiñöåâîþ ôóíêöi¹þ íà ïðîñòîði C2(1,M) , òîäi Dτ (f ◦ pr) = u0Dtf ◦ pr . (30) Ðåëÿòèâiñüêà äçè à 97 Ìîæíà òàêîæ îòðèìàòè (30) áåçïîñåðåäíiì óïîõiäíåííÿì ïðî¹êöi¨ (17), ÿêà, ó òðåòüîìó ïîðÿäêó, òàê âèãëÿäà¹ â íàøèõ êîîðäèíàòàõ: v ◦ pr = u u0 v′ ◦ pr = u̇ u2 0 − u̇0 u3 0 u v′′ ◦ pr = ü u3 0 − 3 u̇0 u4 0 u̇ + 3 ( u̇2 0 u5 0 − ü0 u4 0 ) u . (31) Ìàþ÷è ó ñâî¹ìó ðîçïîðÿäæåííi ñïiââiäíîøåííÿ (30), ìîæåìî òàêîæ âñòàíîâèòè i ñïiââiäíîøåííÿ ïîìiæ ïàðîþ êiëüêîñòåé ðóõó ℘ = (℘0,℘) òà ℘(1) = (℘(1) 0 ,℘(1)) â (19), ïiäðàõîâàíèìè äëÿ ôóíêöi¨ Ëÿ ðàíæà L , äàíî¨ âçîðîì (27), ç îäíîãî áîêó, i ïàðîþ âiäòÿãíóòèõ âçàä êiëüêîñòåé ðóõó (28) ç èíüøîãî áîêó: ℘ (1) 0 = u0 ∂(L◦pr) ∂u̇0 = − 1 u2 0 u ( ∂L ∂v′ ◦pr ) = − 1 u2 0 u (p(1)◦pr) (32.a) ℘(1) = u0 ∂(L◦pr) ∂u̇ = 1 u0 ( ∂L ∂v′ ◦pr ) = 1 u0 (p(1)◦pr) (32.b) ℘0 = L◦pr + u0 ∂(L◦pr) ∂u0 −Dτ℘(1) 0 ïðàâîì (31), (30) òà (32.a) = L◦pr − u0 [ 1 u2 0 u ( ∂L ∂v ◦pr ) + 2 u3 0 u̇ ( ∂L ∂v′ ◦pr ) − 3u̇0 u4 0 u ( ∂L ∂v′ ◦pr )] − 2 u̇0 u3 0 u(p(1)◦pr) + 1 u2 0 u̇(p(1)◦pr) + 1 u0 u(Dtp (1) ◦ pr) = L◦pr − 1 u0 u ( ∂L ∂v ◦pr ) + u̇0 u3 0 u(p(1)◦pr)− 1 u2 0 u̇(p(1)◦pr) + 1 u0 u(Dtp (1) ◦ pr) = L◦pr − vp ◦ pr − v′p(1) ◦ pr (32.c) ℘ = u0 ∂(L◦pr) ∂u −Dτ℘(1) ïðàâîì (31), (30) òà (32.b) = u0 [ 1 u0 ( ∂L ∂v ◦pr ) − u̇0 u3 0 ( ∂L ∂v′ ◦pr )] + u̇0 u2 0 (p(1)◦pr)−Dtp (1) ◦ pr) = ∂L ∂v ◦ pr −Dtp (1) ◦ pr = p ◦ pr . (32.d) Iç (32.c) òà (32.d) âèïëèâà¹, ùî ℘u = u0 L◦pr − u0 v′p(1) ◦ pr , (33.a) 98 Ð. Ìàöþê òîäi, ÿê iç (32.a) òà (32.b) ïðàâîì (31) âèïëèâà¹, ùî ℘(1)u̇ = u0 v′p(1) ◦ pr , (33.b) i, îòæå, (21.b) ñïðàâäæó¹òüñÿ íåãàéíî. Â íàñòóïíèõ ðîçâàæàííÿõ ïðèäåðæó¹ìîñü òåîði¨ óçàãàëüíåíèõ ãàìiëü- òîíiâñüêèõ ñèñòåì â òàêîìó ïîäàííi, ÿê âîíà âèêëàäåíà ó êíèçi [28]. Îòæå æ, â íàøèõ êîîðäèíàòàõ íàéëiïøå îïèñóâàòè ðîçâèòîê ñèñòåìè ÿäðîì äè- ôåðåíöiéíî¨ äâî�ôîðìè ω = −dH ∧ dx0 + dp ∧ dx + dp(1) ∧ dv , (34) äå çíàê çîâíiøíüîãî äîáóòêó ∧ ìiñòèòü â ñîái ùå é çãîðòêó âåêòîðíèõ äèôåðåíöiéíèõ ôîðì çà íåîáõiäíîñòi. Õîòiëîñÿ á, àáè é íà ìíîãîâèäi R× T 3M ðîçâèòîê öi¹¨ ñàìî¨ ñèñòåìè çàäàâàâñÿ äèôåðåíöiéíîþ äâî�ôîðìîþ ïîäiáíîãî âèãëÿäó, Ω = −dH ∧ dτ + d℘ ∧ dx+ d℘(1) ∧ du , (35) äå êiëüêîñòi ðóõó ℘ òà ℘(1) âèâîäÿòüñÿ ç ôóíêöi¨ Ëÿ ðàíæà (27). ßê ïðèéíÿòî, êëàäåìî H = pv+p(1)v′−L . Ïiä öèì ïðèïóùåííÿì ëåãêî ïiäðàõóâàòè ðiæíèöþ ïîìiæ (35) òà (34), çâàæàþ÷è íà ñïiââiäíîøåííÿ (32.b, 32.d) i íà óìîâè Öåðìåëî (21.a): Ω − pr∗ω = d(pr∗H + ℘0) ∧ dx0 − dH ∧ dτ . (36) Õîòiëîñÿ á, àáè öÿ ðiæíèöÿ âèÿâèëàñÿ ïðîïîðöiéíîþ äî ôîðìè äîòèêó (26), à ñàìå, Ω − pr∗ω = α ∧ ϑ . (37) Íàéïðîñòiøèì ñïîñîáîì óçãîäæåííÿ ó (36) ç (37) ¹ ïîêëàñòè dH = u0d(pr∗H + ℘0) (38) òà H = u0pr ∗H + Ψ . (39) Òåïåð çàõîäèìîñü âèçíà÷àòè îöþ ôóíêöiþ âiäõèëåííÿ Ψ . Iç (39) ìà¹ìî: pr∗dH = dH u0 + (Ψ −H) du0 u2 0 − dΨ u0 . (40) Âèñòà÷èòü ïiäñòàâèòè (40) ó (38), àáè îòðèìàòè ñïiââiäíîøåííÿ H− Ψ u0 du0 − u0 d℘0 = − dΨ , çâiäêiëü ñòà¹ çîâñiì çðîçóìiëî, ùî{ Ψ = u0℘0 + c H = c , à òàêîæ, ùî, ïðàâîì (22), c = 1 . Îòîæ, H = u0pr ∗H + u0℘0 + 1 (41) Ðåëÿòèâiñüêà äçè à 99 3.3. Òðåìòiííÿ (Zitterbewegung) áóöiì-êëàñè÷íî¨ ðåëÿòèâiñüêî¨ ÷àñòêè. Äàâíî òîìó, ó 1946ìó ðîöi Ôðiö Áîï âèíàéøîâ ôóíêöiþ Ëÿ ðàíæà, ùî ìiñòèëà ïðèñïiøåííÿ, äëÿ îïèñó äðóãîãî íàáëèæåííÿ çà ïàðàìåòðîì çà- ïiçíåíî¨ äi¨ äî ðóõó êëàñè÷íî¨ ÷àñòêè [1]. Âèãëÿäà¹ çíàìåííèì òå, ùî ëÿ- ðàíæiÿíó Áîïà ìîæíà íàäàòè ïðîñòî¨ òà çðîçóìiëî¨ ôîðìè â ïîíÿòòÿõ ïåðøî¨ êðèâèíè Ôðåíå ñâiòîâî¨ íèòi ÷àñòêè (11) îñü ÿêèì ÷èíîì: L def= aLr +ALe = a 2 ‖u‖k2 + A 2 ‖u‖ , (42) äå ìè ïðèéìåìî, ùî a 6= 0 , àáè óçãîäèòèñÿ ç (23). Îöÿ ôóíêöiÿ Ëÿ ðàíæà çàäîâiëüíÿ¹ óìîâè Öåðìåëî (18). Ïåðøèé äîäàíîê ó (42), Lr , âèÿâëÿ¹òüñÿ òîãî òèïó, ùî ðîçãëÿäàâñÿ Ðóíäîì ó [17] (òåæ ãëÿäè [25]). Äðóãèé äîäàíîê, Le , ¹ ôóíêöi¹þ Ëÿ ðàíæà âiëüíî¨ ÷àñòêè. Çãiäíî ç (27), âiäïîâiäíà ìiñöåâà ëÿ ðàíæåâà ãóñòèíà, îçíà÷åíà â äåÿêîìó îêîëi íà ìíîãîâèäi C2(1,M) , ìîæå áóòè âèðàæåíà â êîîðäèíàòàõ x0 , v òà v′ : Ldx0 def= aLrdx 0 +ALedx 0 = a 2 √ (1 + v2) ( v′2 (1 + v2)2 − (v · v′)2 (1 + v2)3 ) dx0 + A 2 √ (1 + v2)dx0 . (43) Êiëüêîñòi ðóõó (28) äëÿ öüîãî ëÿ ðàíæiÿíó ¹ òàêèìè: p(1) r = v′ (1 + v2)3/2 − v · v′ (1 + v2)5/2 v pr = − v′′ (1 + v2)3/2 + 3 v · v′ (1 + v2)5/2 v′ + v · v′′ (1 + v2)5/2 v − 1 2 v′2 (1 + v2)5/2 v − 5 2 (v · v′)2 (1 + v2)7/2 v . Çàïðîâàäæó¹ìî ñòàíäàðòíó ôóíêöiþ Ãàìiëüòîíà H = pv + p(1)v′ − L def= aHr +AHe = aprv + ap(1) r v′ − aLr +Apev −ALe , (44) òîìó, ùî p (1) e = 0 . Ïîòðiáíî âèëó÷èòè çìiííó v′ iç (44). Ïiäðàõîâó¹ìî:p (1) r v′ = 2Lr p (1) r 2 + (p(1) r v)2 = 2 Lr (1 + v2)3/2 , 100 Ð. Ìàöþê i îò îñòàòî÷íî ìà¹ìî ôóíêöiþ Ãàìiëüòîíà H = pv + 1 2a ( 1 + v2 )3/2 ( p(1)2 + (p(1)v)2 ) − A 2 √ 1 + v2 . (45) Ó ïðàöi [1], íà ñòîðiíöi 199, Ôðiö Áîï ñòâåðäæóâàâ: � Íà êëàñè÷íèé ðóõ íàêëàäà¹òüñÿ äåÿêå òðåìòiííÿ, ÿêå îïèñó¹òüñÿ íîâèìè çìiííèìè v òà p(1) . Âîíî ïðîâàäèòü äî åôåêòiâ ñïiíîâîãî òèïó . . . � 2 Ãàìiëüòîíiâñüêó ôóíêöiþ íà ïðîñòîði T 3M ìîæíà îòðèìàòè ç (41): H = ℘u+ 1 2a ‖u‖3℘(1)2 − A 2 ‖u‖+ 1 . (46) Çàóâàæèìî, ùî öåé ñàì âèðàç ìîæíà áóëî á îòðèìàòè áåçïîñåðåäíüî ç ïðèïóùåííÿ H = ℘u+ ℘(1)u̇− L+ 1 , (47) ââàæàþ÷è, ùî L óçÿòî ç (42). Ç îãëÿäó íà (23), íåñèëà ïîâíiñòþ ðîçâ'ÿçàòè ïåðåòâîðåííÿ Ëåæàí- äðà (19). Çàòå îñü ÿê ìîæíà âèëó÷èòè çìiííó u̇ ç (47): ñïî÷àòêó ïiäðàõó¹ìî êiëüêîñòi ðóõó äëÿ (42) ℘(1) = a ‖u‖5 [ u2u̇− (u · u̇)u ] ℘ = Au 2‖u‖ − a [ ü ‖u‖3 − 3 u · u̇ ‖u‖5 u̇− u · ü ‖u‖5 u+ u̇2 2‖u‖5 u+ 5 2 (uu̇)2 ‖u‖7 u ] . Íàñòóïíèì êðîêîì, âèðàçèìî âñi âåëè÷èíè ó (47), êóäè âõîäèòü u̇ , ó çìií- íèõ ℘(1) òà u :  ℘(1)u̇ = ‖u‖3 a ℘(1)2 Lr = ‖u‖3 2a2 ℘(1)2 , (48) i, âðåøòi, ïiäñòàâèìî äî (47), ùîá îñòàòî÷íî îòðèìàòè ôóíêöiþ Ãàìiëüòî- íà (46). Çàóâàæåííÿ. Íàø ïiäõiä äî ïîáóäîâè ôóíêöi¨ Ãàìiëüòîíà ðiæíèòüñÿ âiä ïiäõîäó �ðàñåðà. Âií øâèäøå ïîâ'ÿçàíèé ç ðîçãëÿäîì ôóíêöié Ëÿ ðàí- æà, êâàäðàòè÷íèõ çà øâèäêîñòÿìè, â òåîði¨ ïðîñòîðiâ Ôiíñëåðà. Òåïåð íå âàæêî îòðèìàòè ðiâíÿííÿ Îéëåðà�Ïóàñîíà ÷åòâåðòîãî ïîðÿä- êó äëÿ âàðiÿöiéíîãî çàâäàííÿ ç ôóíêöi¹þ Ëÿ ðàíæà (42), âiäøòîâõóþ÷èñü 2 � Der klassischen Bewegung �uberlagert sich eine Zitterbewegung, die durch die neuen Variabeln v und p(1) beschrieben wird. Sie f�uhrt zu spinartigen E�ekten. . . � Ðåëÿòèâiñüêà äçè à 101 âiä ãàìiëüòîíiâñüêî¨ ñèñòåìè (24) òà âèðàçó (46). Äëÿ (24) ìà¹ìî: dx dτ = λu du dτ = λ ‖u‖3 a ℘(1) + µu d℘ dτ = 0 d℘(1) dτ = λ A 2 u ‖u‖ − λ℘− λ 3‖u‖ 2a ℘(1)2u− µ℘(1) . Ç äðóãîãî ðiâíÿííÿ îòðèìó¹ìî çíà÷åííÿ ìíîæíèêà µ øëÿõîì çãîðòêè ç âåêòîðîì u i ç íàñòóïíèì âèêîðèñòàííÿì óìîâ Öåðìåëî (18). Ìà¹ìî µ = u·u̇ ‖u‖2 . Òiëüêè íà öié ñòàäi¨ ìà¹ìî ïðàâî íàêëàñòè ïåâíi â'ÿçi íà ïiäáið ìiðêè óçäîâæ ñâiòîâî¨ íèòi. Âèáèðà¹ìî íàòóðàëüíó ìiðêó s , òàê, ùî us · us = 1 . Îòðèìà¹ìî du ds = ℘(1) a (49.a) d℘(1) ds = A 2 us − ℘− 3 2a ℘(1)2us , (49.b) i òåïåð âèäíî, ùî λ = 1 i µ = 0 , òàê, ùî ðiâíÿííÿ ðîçâèòêó (25) âiäíîâëþ¹ ñâié çâè÷àéíèé âèãëÿä. Äàëi óïîõiäíþ¹ìî ðiâíÿííÿ (49.a) i ïiäñòàâëÿ¹ìî òóäè ðiâíÿííÿ (49.b), ùîá îòðèìàòè üs = A 2a us − ℘ a − 3 2a2 ℘(1)2us , (50) ℘u̇s a = − üs · u̇s , (51) à ç èíüøîãî áîêó, çãîðòêà (49.a ç (49.b) äà¹ ℘(1) · ˙℘(1) = − a℘u̇s . (52) Ùå îäíå óïîõiäíåííÿ ðiâíÿííÿ (50) äà¹ ... us = A 2a u̇s − 3 a2 (℘(1) · ˙℘(1))us − 3 2a2 ℘(1)2u̇s , (53) êóäè ìè i ïiäñòàâëÿ¹ìî (52), (49.a), i, ïîñëiäîâíî, (51), àáè âðåøòi äîáóòè îñòàòî÷íå ðiâíÿííÿ ðóõó ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêó ... us + ( 3 2 u̇s 2 − A 2a ) u̇s + 3 (u̇s · üs)us = 0 . (54) 102 Ð. Ìàöþê Ïðàâîì (14) íà çâ'ÿçàíîìó ïiäìíîãîâèäi ïîñòiéíî¨ âåëè÷èíè ðåëÿòèâiñüêî- ãî ïðèñïiøåííÿ k = k0 ðiâíÿííÿ (54) çâîäèòüñÿ äî ðiâíÿííÿ ãâèíòîâî¨ ñâiòîâî¨ íèòi ðóõó ÷àñòêè ç áóöiì-êëàñè÷íèì ñïiíîì (16), ÿêùî ïîêëà- ñòè ω2 = 3 2 k2 0 − A 2a . 4. ÎÁÃÎÂÎÐÅÍÍß. 1. Ðiâíÿííÿ 16 áóëî âiäîìå ùå Ðiâîâi [16], òà éîãî âèâåäåííÿ áåçïîñåðå- äíüî ç (1), àáî æ ç ðiâíÿíü Ìàòiñîíà�Ïàïàïåòðó [20], ÿê âèäà¹òüñÿ, íå áóëî î÷åâèäíèì. 2. Ïðàâîì ôîðìóëè kk2k3 = ‖usu̇süs ... us‖ , ÿêà âèêàçó¹ ñïiââiäíîøåííÿ ïîìiæ ïîñëiäîâíèìè êðèâèíàìè Ôðåíå ó íàòóðàëüíîìó â�iäìiði, íå- ãàéíî áà÷èìî, ùî óñi åêñòðåìàëi âàðiÿöiéíîãî çàâäàííÿ (42) ìàþòü íóëüîâó òðåòþ êðèâèíó, ùî, ç îãëÿäó íà îçíà÷åííÿ ñâiòîâî¨ íèòi, îçíà- ÷à¹, ùî â ïðîñòîði ÷àñòêà ïåðåìiùà¹òüñÿ ó (äâîâèìiðíié) ïëîùèíi. Âàðòî ïîðiâíÿòè öåé ðåçóëüòàò ç ïîäiáíèì ðåçóëüòàòîì ðîáîòè [29]. 3. ßê äàâíî äîâåäåíî [30], êîæíà ç êðèâèí Ôðåíå, âçÿòà ó ðîëi ôóí- êöi¨ Ëÿ ðàíæà, äà¹ åêñòðåìàëi, âçäîâæ ÿêèõ öÿ ñàìà êðèâèíà ¹ ïî- ñòiéíîþ. Öåé ôàêò òàêîæ ñïîñòåðåæåíèé Àðîäçåì ñòîñîâíî òiëüêè ïåðøî¨ êðèâèíè [9]. Îäíàê ïðîáëåìà âàðiÿöiéíîãî îïèñó ñòåæîê, óñi êðèâèíè ÿêèõ îäíî÷àñíî çáåðiãàþòüñÿ, çàëèøà¹òüñÿ âiäêðèòîþ. 4. Ç ôiçè÷íîãî ïîãëÿäó, öiêàâèì ¹ òîé ôàêò, ùî ðiâíÿííÿ (1) ó ¨õ äèôå- ðåíöiéíèõ ïðîäîâæåííÿõ ïîêðèâàþòü, ÿê ðiâíÿííÿ Ìàòiñîíà�Ïàïà- ïåòðó ÷àñòêè çi ñïiíîì, òàê i ðiâíÿííÿ Ëîðåíöà�Äiðàêà ñàìîâèïðîìi- íþþ÷î¨ ÷àñòêè ó çãîäi ç ïåðåäáà÷åííÿìè Áàðóòà [31,32]. 5. Ñëiäêóþ÷è iäåÿìè Ñêîðîáîãàòüêà [6], ÿ ñâîãî ÷àñó îòðèìàâ (ãëÿ- äè [33, ñ. 18], [34, ñ. 88]) äåÿêi íåòî÷êîâi (iíòå ðàëüíi) ïåðåòâîðåííÿ ïðîñòîðó�÷àñó, ÿêi çàëèøàþòü íåçìiííèì òî÷íèé âèðàç iíòå ðàëà äi¨∫ Lε = ∫ √ ε2ds2 − dα2 , (55) äå dα âèìiðþ¹ ïîâîðîò äîòè÷íî¨ äî ñâiòîâî¨ íèòi ó âiäïîâiäíîñòi ç ïðèðîñòîì íàòóðàëüíî¨ ìiðêè (âëàñíîãî ÷àñó) ds âçäîâæ íå¨, òàê ùî êðèâèíà âèðàæà¹òüñÿ ôîðìóëîþ k = dα ds . Ðîáèëèñÿ ñïðîáè íàäà- òè öèì íåëîêàëüíèì, ëiíiéíèì çà α i s , ïåðåòâîðåííÿì ôiçè÷íî- ãî çíà÷åííÿ ïåðåòâîðåííÿ êîîðäèíàò ïðè ïåðåõîäi ïîìiæ ñèñòåìàìè âiäëiêó, ÿêi âçà¹ìíî ðiâíîïðèñïiøóþòüñÿ. Òðàêòóþ÷è çìiííi α i s ÷èñòî ôîðìàëüíî, ÿê íåçàëåæíi âåëè÷èíè, ìîæíà ïîêàçàòè, ùî âà- ðiÿöi¨ ôóíêöi¨ äi¨ (55) ïðèâåäóòü äî åêñòðåìàëåé ïîñòiéíî¨ êðèâèíè (òîáòî, ñâiòîâèõ íèòåé ðiâíîïðèñïiøåíèõ ÷àñòîê). Ç èíüøîãî áîêó, áiëüø äåòàëüíå âèâ÷åííÿ ïðèðîäè ôóíêöi¨ Ëÿ ðàíæà Lε = √ ε2 − k2 (56) Ðåëÿòèâiñüêà äçè à 103 íåãàéíî ïðîâàäèòü äî êîíöåïöi¨ ìàêñèìàëüíîãî ïðèñïiøåííÿ [34,35]. Îêðåìi àâòîðè íàäàþòü ðiçíèõ çíà÷åíü öié ôiçè÷íié êîíñòàíòi. Çîêðå- ìà, âêàæåìî íà òàêi äâà çíà÷åííÿ, ùî íå âiäðiçíÿþòüñÿ ïîðÿäêîì: ε = c7/2G−1/2~1/2 = 6 · 1053 cm/sec2 (Êîìàðíèöüêèé [36]) òà ε = 5 · 1053 cm/sec2 (Ñêàðïåòà [35]). 6. Âèíèêàþòü äâi ïåðåïîíè äëÿ ïîâíîãî óçãîäæåííÿ âèêëàäåíèõ â ïóí- êòi 5 ìiðêóâàíü: - ïî-ïåðøå, ôóíêöiÿ Ëÿ ðàíæà 56, ïîòðàêòîâàíà, ÿê ëÿ ðàíæiÿí, ùî íàñïðàâäi ìiñòèòü âèùi ïîõiäíi (ïðèñïiøåííÿ), âæå ó äâîâè- ìiðíîìó âèïàäêó äà¹ òàêi âàðiÿöiéíi ðiâíÿííÿ Îéëåðà�Ïóàñîíà, ñåðåä ðîçâ'ÿçêiâ ÿêèõ ëèø ïð�îñòi ëiíi¨ ìàþòü ïîñòiéíó êðèâèíó; - ïî-äðóãå, âàðiÿöiéíå çàâäàííÿ (55) íå ¹ ïàðàìåòðè÷íî-iíâàðiÿ- íòíèì, îñêiëüêè ôóíêöiÿ Ëÿ ðàíæà ‖u‖Lε ç êðèâèíîþ k , ÿêà çàäà¹òüñÿ âèðàçîì (11), íå çàäîâiëüíÿ¹ óìîâè Öåðìåëî (18). Ëÿ ðàíæiÿí (42) âiëüíèé îä öèõ íåäîëiêiâ. ÏÎÊËÈÊÈ ÍÀ ËIÒÅÐÀÒÓÐÓ [1] Bopp F. Zf. f�ur Naturf. 1946. 1. 196�203. [2] Weyssenho� J., Raabe A. Acta Phys. Polon. 1947. 9, fasc. 1. 7�18. [3] H�onl H. Zf. f�ur Naturf. 1948. 3a, Ht. 8�11. 573�583. [4] Bopp F. Zf. f�ur Naturf. 1948. 3a, Ht. 8�11. 564�573. [5] J Weyssenho� J. Acta Phys. Polon. 1951. 11. 49�70. [6] Ñêîðîáîãàòüêî Â.ß. Äîïîâiäi ÀÍ Óêð. ÐÑÐ. Ñåð. À. 1970, � 10. 897�900. [7] Rivas M. Kinematical theory of classical elementatry spinning particles. Preprint of Lecture course delivered at Bogolyubov Institute in Kyiv (Ukraine). � Bilbao: The University of Basque Country, 1998, 160 pp. [8] Plyushchay M.S. Int. J. Mod. Phys. 1989. 4, N 15. 3851�3865. [9] Arod�z H., Sitarz A., W�egrzyn P. Acta Phys. Polon. B. 1989. 20, fasc. 11. 921�939. [10] Nesterenko V.V., Feoli A., Scarpetta G. J. Math. Phys. 1995. 36, N 10. 5552�5564. [11] Íåðñåñÿí À.Ï. Òåîð. ìàò. ôèçèêà. 2000. 126, � 2. 179�195. [12] Arreaga G., Capovilla R., Guven J. Class. Quant. Grav. 2001, 18, N 23. 5065�5083. [13] Ëåéêî Ñ.Ã. Èçâ. âóçîâ. Ìàòåìàòèêà. 1990. Âûï. 10. 9�17. 104 Ð. Ìàöþê [14] Plyushchay M.S. Phys. Lett. B. 1990. 235, N 1�2. 47�51. [15] Krupkova O. J. Math. Phys. 2000, 41, N 8. 5304�5324. [16] Riewe F. il Nuovo cim. 1972. 8 B. 271�277. [17] Rund H. The Hamilton-Jacobi theory in the calculus of variations. � London e.a.: D. Van Nostrand Co. Ltd., 1966, xii+404 pp. [18] Lim P.H. J. Math. Phys. 1982. 23, N 9. 1641�1646. [19] Mathisson M. Acta Phys. Polon. 1937. 6, fasc. 3. 163�200. [20] Papapetrou A. Proc. Royal Soc. London A. 1951. 209. 248�258. [21] Dixon W.G. Proc. Roy. Soc. London. Ser. A 1970. 314. 499�527. [22] Bailyn M., Ragusa S. Phys. Rev. D 1977. 15, N 12. 3543�3552. [23] Ìàöþê Ð. Ôiçè÷íèé çáiðíèê ÍÒØ. 2006. � 6. 206�214. [24] Costantelos G.C. il Nuovo cim. 1984. 84 B, N 1. 91�101. [25] Gr�asser H.S.P. Istit. Lombardo Accad. Sci. Lett., Rend. A. 1988. 122. 105�125. [26] Matsyuk R.Ya. Â êí. Di�erential Geometry and Its Applications, Proc. Conf. 2001, Opava (Czech Republic). � Opava: Silesian Universi- ty, 2002. 447�459. [27] Dedecker P. Lecture Notes in Mathematics. 570. Berlin: Springer, 1977. 395�456. [28] Krupkov�a O. The Geometry of ordinary variational equations. Lecture Notes in Mathematics, 1678. Berlin: Springer, 1997, x+252 pp. [29] ßêóïîâ Ì.Ø. Ãðàâèòàöèÿ è òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè. 1983. Âûï. 19. Êàçàíü: Èçä. Êàç. óí-òà. 146�162. [30] Ìàöþê Ð.ß. Ïóàíêàðå-èíâàðèàíòíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ëàãðàí- æåâîé ìåõàíèêå ñ âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè. Äèññ. êàíä. ôèç-ìàò. íàóê. Ëüâîâ, 1984, 140 ñ. [31] Matsyuk R.Ya. Â êí. 11th International Conference on General Relativi- ty and Gravitation. Stockholm, Sweeden, July 6�12, 1986. Abstracts of contributed papers. Vol. II. Stockholm, 1986, p. 648. [32] Barut A.O. Lecture Notes in Mathematics. 905. Berlin: Springer, 1982, 90�98. [33] Ñêîðîáîãàòüêî Âiòàëié ßêîâè÷. Çà ðåä.: Áîáèê Î.I. òà èí. � Êè¨â: Ií-ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, 1997, 72 ñ. [34] Íîâiêîâ Ë.Î., Ñêîðîáîãàòüêî Â.ß. Ìåòîäè ìàòåìàòèêè: ðîçâèòîê, çà- ñòîñóâàííÿ, ñóñïiëüíå âiäëóííÿ. � Ëüâiâ: Ñëîâî i êîìåðöiÿ, 1995, 218 ñ. Ðåëÿòèâiñüêà äçè à 105 [35] Scarpetta G. Lett. Nuovo cim. 1984. 41, � 2. 51�58. [36] Êîìàðíèöêèé ß.È, Îãèðêî Î.Â. Â êí. Ðàñïàðàëëåëèâàíèå îáðàáîòêè èíôîðìàöèè. Òåçèñû äîêë. è ñîîáù. V Âñåñ. øêîëà-ñåìèíàð. Ëüâîâ: Ôèç.-ìåõ. èí-ò., 1985. 181�183. RELATIVISTIC TOP IN THE OSTROHRADS'KYJ DYNAMICS Roman MATSYUK Institute for Applied Problems in Mechanics and Mathematics 3 b Naukova St., L'viv, Ukraine A variational equation of the fourth order for the free relativistic top is developed starting from the Dixon's system of equations for the motion of the relativistic dipole. The obtained equation is then cast into the homogeneous space�time Hamiltonian form.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-75117
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1563-3569
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T19:05:26Z
publishDate	2011
publisher	Західний науковий центр НАН України і МОН України
record_format	dspace
spelling	Мацюк, Р. 2015-01-26T16:56:13Z 2015-01-26T16:56:13Z 2011 Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського / Р. Мацюк // Праці Наукового товариства ім. Шевченка. — Л., 2011. — Т. 8: Фізичний збірник. — С. 90-105. — Бібліогр.: 36 назв. — укр. 1563-3569 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/75117 A variational equation of the fourth order for the free relativistic top is developed starting from the Dixon's system of equations for the motion of the relativistic dipole. The obtained equation is then cast into the homogeneous space time Hamiltonian form. uk Західний науковий центр НАН України і МОН України Праці наукового товариства ім. Шевченка Тематична конференція Комісії фізики НТШ "Міжнародний рік астрономії" Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського Relativistic top in the Ostrohr ads'kyj dynamics Article published earlier
spellingShingle	Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського Мацюк, Р. Тематична конференція Комісії фізики НТШ "Міжнародний рік астрономії"
title	Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського
title_alt	Relativistic top in the Ostrohr ads'kyj dynamics
title_full	Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського
title_fullStr	Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського
title_full_unstemmed	Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського
title_short	Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського
title_sort	релятивіська дзиґа в динаміці остроградського
topic	Тематична конференція Комісії фізики НТШ "Міжнародний рік астрономії"
topic_facet	Тематична конференція Комісії фізики НТШ "Міжнародний рік астрономії"
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/75117
work_keys_str_mv	AT macûkr relâtivísʹkadzigavdinamícíostrogradsʹkogo AT macûkr relativistictopintheostrohradskyjdynamics

Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського

Institution

Ähnliche Einträge