Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського
A variational equation of the fourth order for the free relativistic top is developed starting from the Dixon's system of equations for the motion of the relativistic dipole. The obtained equation is then cast into the homogeneous space time Hamiltonian form.
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Праці наукового товариства ім. Шевченка |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Західний науковий центр НАН України і МОН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/75117 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського / Р. Мацюк // Праці Наукового товариства ім. Шевченка. — Л., 2011. — Т. 8: Фізичний збірник. — С. 90-105. — Бібліогр.: 36 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860269819011530752 |
|---|---|
| author | Мацюк, Р. |
| author_facet | Мацюк, Р. |
| citation_txt | Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського / Р. Мацюк // Праці Наукового товариства ім. Шевченка. — Л., 2011. — Т. 8: Фізичний збірник. — С. 90-105. — Бібліогр.: 36 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Праці наукового товариства ім. Шевченка |
| description | A variational equation of the fourth order for the free relativistic top is developed starting from the Dixon's system of equations for the motion of the relativistic dipole. The obtained equation is then cast into the homogeneous space time Hamiltonian form.
|
| first_indexed | 2025-12-07T19:05:26Z |
| format | Article |
| fulltext |
90 Ôiçè÷íèé çáiðíèê ÍÒØ ò.8 2011 p.
ÐÅËßÒÈÂIÑÜÊÀ ÄÇÈ�À  ÄÈÍÀÌIÖI
ÎÑÒÐÎÃÐÀÄÑÜÊÎÃÎ
Ðîìàí ÌÀÖÞÊ
Iíñòèòóò ïðèêëàäíèõ ïðîáëåì ìåõàíiêè i ìàòåìàòèêè
ÍÀÍ Óêðà¨íè,
âóë. Íàóêîâà, 3 á , Ëüâiâ 79000
Ðåäàêöiÿ îòðèìàëà ñòàòòþ 20 ãðóäíÿ 2010 ð.
Îòðèìó¹ìî âàðiÿöiéíi ðiâíÿííÿ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêó äëÿ îïèñó
âiëüíî¨ ðåëÿòèâiñüêî¨ äçè è, âèõîäÿ÷è ç ðiâíÿíü Äiêñîíà äëÿ ðåëÿòè-
âiñüêî¨ äèïîëüíî¨ ÷àñòêè. Îòðèìàíèì ðiâíÿííÿì íàäà¹ìî îäíîðiäíó
ïðîñòîðîâî�÷àñîâó ãàìiëüòîíiâñüêó ôîðìó.
1. ÂÑÒÓÏ.
Çàöiêàâëåííÿ òàêèì ñïîñîáîì îïèñó ðóõó áóöiì�êëàñè÷íî¨ ÷àñòêè, ÿêèé
ïðèâîäèòü äî ðiâíÿíü ç âèùèìè ïîõiäíèìè íà îñíîâi çàñîáiâ ìåõàíiêè
Îñòðîãðàäñüêîãî, âèíèêëî äåñü áiëÿ 70-òè ðîêiâ òîìó i ç òèõ ïið íå âùó-
õ๠[1�7]. Îñòàííüî âiäíîâèëàñÿ óâàãà äî ìîäåëåé, â îñíîâi ÿêèõ ëåæàòü ïî-
íÿòòÿ ïåðøî¨ òà âèùèõ êðèâèí Ôðåíå ñâiòîâî¨ íèòi ÷àñòêè (ãëÿäè [8�13]).
Ïîáiëüøîñòè, ðîçãëÿä çà÷èíà¹òüñÿ âiä a priori ïîäàíîãî ëÿ ðàíæiÿíó ç
âèùèìè ïîõiäíèìè, à òîäi íàìàãàþòüñÿ îòðèìàíó äèíàìi÷íó ñèñòåìó ií-
òåðïðåòóâàòè ÿê òàêó, ùî îïèñó¹ ðóõ ÷àñòêè, íàäiëåíî¨ áóöiì-êëàñè÷íèì
ñïiíîì (ïî-èíüøîìó ìîâèòè á � ÿê äçè ó). Ïðè öiì òðàïëÿþòüñÿ òåõíi-
÷íi íåïîðîçóìiííÿ äâîõ âèäiâ. Ïî-ïåðøå, âiä ñàìîãî ïî÷àòêó íàêëàäàþòü
äåêîòði íåãîëîíîìíi â'ÿçi. Öi â'ÿçi âèáèðàþòüñÿ òàêèì ÷èíîì, ùîá íàïå-
ðåä çàáåçïå÷èòè óìîâó, çãiäíî ç ÿêîþ ëÿ ðàíæiÿí çàïèñó¹òüñÿ â ñèñòåìi
êîîðäèíàò ðóõîìîãî ðåïåðà [14]. Àëå æ, ÿê âêàçàíî â ïðàöi [15], íåãîëî-
íîìíi â'ÿçi âèìàãàþòü äåëiêàòíiøîãî ïiäõîäó. Çîêðåìà, çâ'ÿçàíà ñèñòåìà
âòðà÷๠âëàñòèâiñòü âàðiÿöiéíîñòè. Ïî-äðóãå, âiäîìå i çâàáëèâå ïðèïóùå-
ííÿ ïðî óíiòàðíiñòü âåêòîðà ÷îòèðèâèìiðíî¨ øâèäêîñòi ÷àñîì âíîñÿòü çà-
ïiçíî � óæå ïiñëÿ òîãî, ÿê âàðiÿöiéíà ïðîöåäóðà ç ïåâíèì íåçâ'ÿçàíèì,
àëå é ïàðàìåòðè÷íî-íåiíâàðiÿíòíèì âàðiÿöiéíèì çàâäàííÿì âæå çîñòàëà
ïåðåâåäåíà (ïîð. [16]). Òàêèé ïiäõiä çàçíàâàâ ñïðàâåäëèâî¨ êðèòèêè ç áîêó
ðiæíèõ àâòîðiâ (ãëÿäè [17, ñòîð. 149], àáî [18]). Ç èíüøîãî áîêó, äëÿ îïèñó
ðåëÿòèâiñüêî¨ äçè è ñëóæàòü äàâíî âñòàíîâëåíi ðiâíÿííÿ òðåòüîãî ïîðÿäêó
Ìàòiñîíà [19], ðiâíÿííÿ äðóãîãî ïîðÿäêó Ìàòiñîíà�Ïàïàïåòðó [20], i ñèñòå-
ìà ðiâíÿííü ïåðøîãî ïîðÿäêó Äiêñîíà [21]. I îñü, ó 1945ìó ðîöi, ó çâ'ÿçêó ç
PACS 2006 numbers 11.15.Kc, 02.40.Ky, 45.20.Jj, 45.50.-j
Ñòàòòÿ ïîäà¹òüñÿ â àâòîðñüêié ðåäàêöi¨
Ðåëÿòèâiñüêà äçè à 91
ïðàöåþ Ìàòiñîíà [19], Âàéñåíõîô ç Ðàáå ñòâåðäèëè òàêó äóìêó:
�
Ðiâíÿííÿ
ðóõó ìàòåðiÿëüíî¨ ÷àñòêè, íàäiëåíî¨ ñïiíîì, íå çáiãàþòüñÿ ç íþòîíiâñüêè-
ìè çàêîíàìè ðóõó íàâiòü äëÿ âiëüíî¨ ÷àñòêè â àëiëå¹âñüêié îáëàñòi; îñòà-
¹òüñÿ äîäàòêîâèé ÷ëåí, çàëåæíèé âiä íóòðiøíüîãî ìîìåíòó, àáî æ ñïiíó
÷àñòêè, ÿêèé ïiäâèùó¹ ïîðÿäîê öüîãî äèôåðåíöiéíîãî ðiâíÿííÿ äî òðåòüî-
ãî.� 1 Äî íàâåäåíî¨ äóìêè ìîæåìî äîäàòè, ùî ïðîöåäóðà ïîâíîãî óñóíåííÿ
ñïiíîâèõ çìiííèõ ïiäâèùó¹ ïîðÿäîê äèôåðåíöiéíîãî ðiâíÿííÿ äëÿ ñâiòîâî¨
íèòi ÷àñòêè äî öèôðè ÷îòèðè.  íàñòóïíîìó âiääiëi ïîêàæåìî, ÿê îöå äè-
ôåðåíöiéíå ðiâíÿííÿ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêó âèïëèâ๠ç ïðîöåäóðè óñóíåííÿ
çìiííèõ ñïiíó iç ñèñòåìè ðiâíÿíü Äiêñîíà â ïëàñê�îìó ïðîñòîði i çàïðîïî-
íó¹ìî âèðàç äëÿ ôóíêöi¨ Ëÿ ðàíæà, ïðè ÿêié ïàðàìåòðè÷íî-iíâàðiÿíòíå
âàðiÿöiéíå çàâäàííÿ âèäàñòü ñâiòîâi ëiíi¨ ÷àñòêè ç íóòðiøíiì ìîìåíòîì
áåç áóäü-ÿêèõ â'ÿçåé, ùî íàêëàäàëèñÿ-á ïåðåä ïåðåâåäåííÿì âàðiÿöiéíî¨
ïðîöåäóðè. Â'ÿçü ïîñòiéíîñòè êðèâèíè Ôðåíå ïîâèííà íàêëàäàòèñÿ ïiñëÿ
ïåðåâåäåííÿ âàðiÿöi¨, i ñàìå òîìó íàçèâà¹ìî çàïðîïîíîâàíó íàìè ôóíêöiþ
Ëÿ ðàíæà ïîêðèâàþ÷èì ëÿ ðàíæiÿíîì. Îïiñëÿ çáóäó¹ìî ñèñòåìó óçàãàëü-
íåíèõ ãàìiëüòîíiâñüêèõ ðiâíÿíü, ùî âiäïîâiäàòèìóòü öüîìó ëÿ ðàíæiÿíîâi.
2. ÏIÄÂÈÙÅÍÍß ÏÎÐßÄÊÓ I ÑÊÎÐÎ×ÅÍÍß ÊIËÜÊÎÑÒI
ÇÌIÍÍÈÕ.
2.1. ÐiâíÿííÿÌàòiñîíà�Ïàïàïåòðó�Äiêñîíà ç óìîâîþÌàòiñîíà�
Ïiðàíi: ïåðøå ïiäâèùåííÿ ïîðÿäêó.
Àáè ïî÷àòè ç íàéíèæ÷îãî äèôåðåíöiéíîãî ïîðÿäêó ðiâíÿíü, çãàäàéìî ðiâ-
íÿííÿ Äiêñîíà äëÿ áóöiì-êëàñè÷íî¨ ÷àñòêè çi ñïiíîì, âçàãàëi êàæó÷è, ó
ðàâiòàöiéíîìó ïîëi,
DPα
dτ
= −1
2
Rαβ
ρν ẋβSρν
DSαβ
dτ
= Pαẋβ − Pβẋα ,
(1)
çàïèñàíi ç äîïîìîãîþ ïîíÿòòÿ êîâàðiÿíòíîãî óïîõiäíåííÿ D
dτ âçäîâæ ñâi-
òîâî¨ íèòi ç äîâiëüíèì â�iäìiðîì ìiðêîþ τ .  çàãàëüíié òåîði¨ âiäíîñíî-
ñòè öi ðiâíÿííÿ ìàþòü âèêîíóâàòèñÿ óçäîâæ ñâiòîâî¨ íèòi áóöiì-êëàñè÷íî¨
÷àñòêè, íàäiëåíî¨ íóòðiøíiì ìîìåíòîì êiëüêîñòè ðóõó (ò. çâ.
�
ñïiíîì� )
Sαβ + Sβα = 0 , âiäïîâiäàëüíèì çà ¨¨ äèïîëüíó ñòðóêòóðó.
Ç-ïîìiæ êiëüêîõ äîäàòêîâèõ óìîâ, ÿêi äîäàþòüñÿ äî ñèñòåìè ðiâíÿíü (1)
àáè óñóíóòè ¨¨ íåäîîçíà÷åíiñòü (ãëÿäè [22]), ìè çóïèíèìîñü íà óìîâi, îáðà-
íié Ìàòiñîíîì [19]
ẋρSρα = 0. (2)
1�The equations of motion of a material particle endowed with spin do not coincide with
the Newtonian laws of motion even for a free particle in Galileian domains; there remains an
additional term depending on the internal angular momentum or spin of the particle which
raised the order of these di�erential equations to three.� (Ïðàöÿ [2] äîïîâiäàëàñÿ íà çàñi-
äàííi Êðàêiâñüêîãî âiääiëåííÿ Ïîëüñüêîãî ôiçè÷íîãî òîâàðèñòâà 28 ëþòíÿ 1945 ðîêó.)
92 Ð. Ìàöþê
Çà öi¹¨ óìîâè âåëè÷èíà m = P·u
‖u‖ , äå u = ẋ , ¹ iíòå ðàëîì ðóõó ðiâíî æ ÿê
i âåëè÷èíà ñêàëÿðó íóòðiøíüîãî ìîìåíòó σ2 = σασ
α = SαβS
αβ , äå
σα =
√
|g|
2‖u‖
εαβρνu
βSρν . (3)
Óìîâà Ìàòiñîíà äîçâîëÿ¹ ðîçâ'ÿçàòè ñïiââiäíîøåííÿ (3) ùîäî òåíçîðà
ñïiíó:
Sαβ =
√
|g|
‖u‖
εαβρνu
ρσν , (4)
i òåïåð ñàìà âîíà íàáèð๠âèãëÿäó
σ · u = σαu
α = 0 . (5)
Ïîïåðåäíiì äîñëiäæåííÿì [23] âñòàíîâëåíî, ùî ñèñòåìà ðiâíÿíü(1), îáìå-
æåíà óìîâîþ(2), ¹ ðiâíîçíà÷íîþ ç òàêîþ ñèñòåìîþ:
εαβρν ü
βuρσν − 3
u̇ · u
u2
εαβρν u̇
βuρσν +
m√
|g|
[
(u̇ · u)uα − u2u̇α
]
=
u2
2
Rαβ
κµεκµρνu
βuρσν (6)
u2σ̇ + (σ · u̇) u = 0 (7)
σ · u = 0 , (8)
äå
�
ïîñòóïàëüíà ÷àñòèíà� (6) òåïåð âæå ìiñòèòü òðåòþ ïîõiäíó âiä êîîð-
äèíàòè ÷àñòêè.
Ñèñòåìà ðiâíÿíü (6, 7) ¹ íåâ�iäìiðíîþ (â�iäìiðíî�áàéäóæîþ), ñèði÷ iíâà-
ðiÿíòíîþ ùîäî áóäü-ÿêèõ ïåðåòâîðåíü íåçàëåæíî¨ çìiííî¨ τ , ÿêà ñëóæèòü
ìiðêîþ óçäîâæ ñâiòîâî¨ íèòi ÷àñòêè.
Âiäíîâëåííÿ ñèñòåìè ðiâíÿíü(1, 2) äîñÿãà¹òüñÿ âïðîâàäæåííÿì çìií-
íî¨ P âçîðîì
Pα =
m
‖u‖
uα +
√
|g|
‖u‖3
εβρναu̇
βuρσν , (9)
ÿêîãî ìîæíà çàïèñàòè, âèêîðèñòîâóþ÷è ïîçíà÷êó äâî¨ñòîãî òåíçîðà, òàê:
P =
m
‖u‖
u+
1
‖u‖3
∗ u̇ ∧ u ∧ σ . (10)
Êâàäðàò ñêàëÿðíî¨ âåëè÷èíè âåêòîðà êiëüêîñòè ðóõó P ãàðíî âèðàæà-
¹òüñÿ ÷åðåç ïîíÿòòÿ ïåðøî¨ êðèâèíè Ôðåíå ñâiòîâî¨ íèòi ÷àñòêè,
k =
‖u̇ ∧ u‖
‖u‖3
, (11)
Ðåëÿòèâiñüêà äçè à 93
îñü ÿêèì ÷èíîì:
P2 def= P · P = m2 +
1
‖u‖6
( ∗ u̇ ∧ u ∧ σ)2 = ( u̇ ∧ u ∧ σ · u̇ ∧ u ∧ σ )
= m2 +
σ2
‖u‖6
[
(u̇ · u)2 − u̇2u2
]
+
(σ · u̇)2 u2
‖u‖6
+
(σ · u)2 u̇2
‖u‖6
− 2
(u̇ · u)(σ · u)(σ · u̇)
‖u‖6
= m2 − σ2k2 +
1
‖u‖6
[(σ · u̇)u− (σ · u) u̇] 2 . (12)
2.2. Ðiâíÿííÿ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêó äëÿ âiëüíî¨ ðåëÿòèâiñüêî¨ äçè-
è.
Íàäàëi êëàäåìî Rαβµν = 0 .  ïëàñê�îìó ïðîñòîði ÷îòèðè-âåêòîð ñïiíó σ ¹
ïîñòiéíèì. Öå ìîæíà óãëåäiòè, íàïðèêëàä, ñòÿâøè ðiâíÿííÿ (6) ç âåêòîðîì
σα i îïiñëÿ çèðêíóâøè íà ðiâíÿííÿ (7).
Ïðîáóâàòèìåìî äàëi óñóâàòè âåëè÷èíè σν çi ñèñòåìè ðiâíÿíü (6, 5).
Ùîáè ñïðîñòèòè ïiäðàõóíêè, âàðòî îáðàòè ìiðêîþ óçäîâæ ñâiòîâî¨ íèòi
÷àñòêè, ÿê çâè÷àéíî, íàòóðàëüíó ìiðêó s òàê, ùî ẋs · ẋs = 1 . Íåãàé-
íî îòðèìó¹ìî, âèêîðèñòîâóþ÷è ïîíÿòòÿ äâî¨ñòîãî òåíçîðà, îñü ÿêó ôîðìó
ðiâíÿííÿ (6)
∗ (üs ∧ us ∧ σ) +mu̇s = 0 . (13)
Öå ðiâíÿííÿ ì๠ïåðøèé iíòå ðàë � êâàäðàò ïåðøî¨ êðèâèíè Ôðåíå ñâiòîâî¨
íèòi
k2 = us · us . (14)
Âèõîäÿ÷è çi âçîðó (12), íåãàéíî áà÷èìî, ùî i êâàäðàò ñêàëÿðíî¨ âåëè÷èíè
âåêòîðà êiëüêîñòè ðóõó P2 ¹ ñòàëèì íà ðîçâ'ÿçêàõ ñèñòåìè ðiâíÿíü (13,
8) â íàøîìó ïëàñê�îìó ïðîñòîði.
Òåïåð çãîðíiìî âåêòîðíå ðiâíÿííÿ (13) ç òåíçîðîì ∗(us ∧ σ) , ïàì'ÿòà-
þ÷è ïðî óìîâó (8). Ïiñëÿ ïåâíèõ àë åáðè÷íèõ ìàíiïóëÿöié îòðèìà¹ìî
σ2(üs + k2us) = −m ∗ (u̇s ∧ us ∧ σ) .
Îöå óïîõiäíþþ÷è i îïiñëÿ ïiäñòàâëÿþ÷è ïðàâó ÷àñòèíó ç ðiâíÿííÿ (13),
îñòàòî÷íî îòðèìó¹ìî ðiâíÿííÿ
...
us +
(
k2 − m2
σ2
)
u̇s = 0 . (15)
Êîëè æ òåïåð çàïðîâàäèìî ïîçíà÷êó ω2 = −P2
σ2 , äå ω íåñå ôiçè÷íå
íàâàíòàæåííÿ ïîíÿòòÿì ÷àñòîòè îñöèëÿöié, îòðèìà¹ìî áàæàíå ðiâíÿííÿ
÷åòâåðòîãî ïîðÿäêó äëÿ ñâiòîâî¨ íèòi âiëüíî¨ ðåëÿòèâiñüêî¨ äçè è:
...
us + ω2u̇s = 0 . (16)
Ðiâíÿííÿ (16) ðîçãëÿäàëîñÿ â ïðàöÿõ [16] i [24] ÿê ðiâíÿííÿ, ÿêå îïèñó¹
òðåìòiííÿ áóöiì-êëàñè÷íî¨ ÷àñòêè.
94 Ð. Ìàöþê
3. ÊÀÍÎÍI×ÍÈÉÔÎÐÌÀËIÇÌÄËß ÐÅËßÒÈÂIÑÜÊÎ� ×À-
ÑÒÊÈ ÂÌÅÕÀÍIÖI ÎÑÒÐÎÃÐÀÄÑÜÊÎÃÎ ÄÐÓÃÎÃÎ ÏÎ-
ÐßÄÊÓ.
3.1. Îäíîðiäíèé ãàìiëüòîíiâ ôîðìàëiçì.
Òóò ðîçâèâà¹ìî ìåõàíiçì �ðàñåðà�Ðóíäà�Âàéñåíãîôà [5,17,25] îäíîðiäíî-
ãî ãàìiëüòîíiâñüêîãî ïîäàííÿ ìåõàíiêè Îñòðîãðàäñüêîãî ç ïîõiäíèìè äðó-
ãîãî ïîðÿäêó ó âèðàçi ôóíêöi¨ Ëÿ ðàíæà äëÿ ðåëÿòèâiñüêîãî ïàðàìåòðè÷íî-
iíâàðiÿíòíîãî âàðiÿöiéíîãî çàâäàííÿ. Öåé ìåõàíiçì íàéêðàùå íàäà¹òüñÿ
äëÿ ïîòðåá ðåëÿòèâiñüêî¨ ìåõàíiêè, à òàêîæ, âçàãàëi êàæó÷è, ¹ îñîáëèâî
çðó÷íèì ó âñiõ òèõ âèïàäêàõ, êîëè ñàìèìè ðàìêàìè ìîäåëi ïåðåäáà÷à¹-
òüñÿ iíâàðiÿíòíiñòü ùîäî äåÿêî¨ ãðóïè ïåðåòâîðåíü, ÿêà ïåðåìiøó¹ ðiâíî-
ïðàâíèì ÷èíîì çàëåæíi çìiííi ç íåçàëåæíèìè, ÿê öå é âiäáóâà¹òüñÿ ïiä
âèìîãîþ ëîðåíö-iíâàðiÿíòíîñòè.
Íåõàé
pr : T rM \ {0} → Cr(1,M) (17)
îçíà÷๠ôàêòîð-ïðî¹êöiþ ç ìíîãîâèäó íåíóëüîâèõ øâèäêîñòåé Åðåñìàíà
íà ìíîãîâèä åëåìåíòiâ òîðêàííÿ r -ãî ïîðÿäêó ïiä äi¹þ ãðóïè (ìiñöåâèõ)
ïåðåòâîðåíü íåçàëåæíî¨ çìiííî¨ Glr(1,R) on T rM . Ùîðàçó, ÿê òiëüêè
ôóíêöiÿ Ëÿ ðàíæà L : T rM 7→ R çàäîâîëüíÿ¹ òàê çâàíi óìîâè Öåðìå-
ëî, âîíà âèçíà÷๠äåÿêå ïàðàìåòðè÷íî-iíâàðiÿíòíå âàðiÿöiéíå çàâäàííÿ
íà T rM . Óñÿêå òàêå çàâäàííÿ óñïiøíî ïåðåæèâ๠çãàäàíó âèùå ôàêòî-
ðèçàöiþ i âèçíà÷๠ïåâåí ïó÷îê ðiâíîçíà÷íèõ ìiæ ñîáîþ ïðèñàäæåíèõ (äî
îñíîâè C0(1,M)=M )1 -ôîðì (àáî æ ëÿ ðàíæåâèõ ãóñòèí), îçíà÷åíèõ íà
âîëîêíèñòîìó ìíîãîâèäi Cr(1,M) íàä îñíîâîþ M . Çàãàëüíà êîíñòðóêöiÿ
öüîãî ìåõàíiçìó äåòàëüíî ðîçãëÿäàëàñÿ â ïðàöi [26], çàñòîñóâàííÿ òåîði¨
ïó÷êiâ îá ðóíòîâàíà Äåäåêåðîì â ïðàöi [27]. Òóò îáìåæèìîñÿ âèïàäêîì
âàðiÿöiéíîãî çàâäàííÿ ïîðÿäêó 2 ( r = 2 ) i, áiëüø òîãî, ïðàöþâàòèìåìî
â ìiñöåâèõ êîîðäèíàòàõ ùîá ÿêîìîãà áëèæ÷å ïiäiéòè äî êîíêðåòíî¨ ôiçè-
÷íî¨ ìîäåëi. Íàãàäà¹ìî ïîçíà÷åííÿ êîîðäèíàò ó âèùå çãàäàíèõ ìíîãîâè-
äàõ: xα , uα , u̇α , üα ,
...
uα äëÿ T 4M òà x0 , xi , vi , v′i , v′′i , v′′′i äëÿ
C4(1,M) . ßê òiëüêè ó íàøèõ ôiçè÷íèõ çàñòîñóâàííÿõ ìíîãîâèä M ïå-
ðåòâîðþ¹òüñÿ â ïðîñòið-÷àñ ñïåöiÿëüíî¨ òåîði¨ âiäíîñíîñòè ç äiÿãîíàëüíîþ
ìåòðèêîþ (1,−1,−1,−1) , ìè âïðîâàäæó¹ìî âåêòîðíi ïîçíà÷êè çà âçiðöåì
u = (u0,u) , u · u = u2
0 + u2 , u2 = u · u = uαu
α .
Íåõàé L(x, u, u̇) ¹ ôóíêöi¹þ Ëÿ ðàíæà, îçíà÷åíîþ íà ìíîãîâèäi T 2M ,
ÿêà çàäîâiëüíÿ¹ óìîâè Öåðìåëî:
uα
∂L
∂u̇α
≡ 0
uα
∂L
∂uα
+ 2 u̇α
∂L
∂u̇α
− L ≡ 0 .
(18)
ßê âåäåòüñÿ, çàñòîñó¹ìî ïåðåòâîðåííÿ Ëåæàíäðà
Le : (x, u, u̇, ü) 7→ (x, u, ℘, ℘(1))
Ðåëÿòèâiñüêà äçè à 95
℘(1) =
∂L
∂u̇
℘ =
∂L
∂u
−Dτ℘(1) ,
(19)
äå
Dτ = u
∂
∂x
+ u̇
∂
∂u
+ ü
∂
∂u̇
(20)
îçíà÷àòèìå îïåðàòîð ïîâíî¨ ïîõiäíî¨. Çàóâàæèìî òàêîæ, ùî â ïîäàëü-
øèõ çàñòîñóâàííÿõ âiäñóòíüîþ áóäå áóäü-ÿêà çàëåæíiñòü âiä ïðîñòîðîâî-
÷àñîâî¨ çìiííî¨ x , îñêiëüêè íàñ çîáîâ'ÿçóâàòèìå ëæå-åâêëiäiâñüêà ñèìå-
òðiÿ.
Ìîæíà áà÷èòè, ùî óìîâè Öåðìåëî, êîëè âèêîíóþòüñÿ, ¹ ðiâíîçíà÷íi äî
òàêèõ:
uα℘(1)
α ≡ 0 (21.a)
uα℘α + u̇α℘(1)
α ≡ L . (21.b)
Ó çãîäi ç Ðóíäîì [17], ïðèïóñòèìî, ùî iñíó¹ äåÿêà C2 ôóíêöiÿ H âiä
÷îòèðüîõ çìiííèõ (x, u, ℘, ℘(1)) , ÿêà íå ¹ òðèâiÿëüíî ïîñòiéíîþ óçäîâæ
êîæíî¨ ç äâîõ îñòàííiõ çìiííèõ i ÿêà, ðàçîì ç öèì, ¹ ïîñòiéíîþ óçäîâæ
ïåðåòâîðåííÿ Ëåæàíäðà, i ìè âèáèðà¹ìî öå ïîñòiéíå çíà÷åííÿ ðiâíèì 1
áåç ÿêî¨ñü ñóòò¹âî¨ âòðàòè çàãàëüíîñòè:
H ◦ Le ≡ 1 . (22)
ßê ïîêàçàíî ó ïðàöi [17] (ãëÿäè òàêîæ [25]), çà óìîâè
rank
∥∥∥∥ ∂2L
∂u̇α∂u̇β
∥∥∥∥ = dimM − 1 , (23)
ìàþòü iñíóâàòè íåâèçíà÷åíi ìíîæíèêè λ òà µ , âçàãàëi êàæó÷è, çàëåæíi
îä x, u, u̇, ü , òàêi, ùî íàñòóïíà êàíîíi÷íà ñèñòåìà äèôåðåíöiéíèõ ðiâíÿíü
ïåðøîãî ïîðÿäêó ùîäî çìiííèõ x, u, ℘, ℘(1) çàäîâîëüíÿ¹òüñÿ óçäîâæ êî-
æíî¨ ç åêñòðåìàëåé âàðiÿöiéíîãî çàâäàííÿ ç ôóíêöi¹þ Ëÿ ðàíæà L :
dx
dτ
= λ
∂H
∂℘
(24.i)
du
dτ
= λ
∂H
∂℘(1)
+ µu (24.ii)
d℘
dτ
= −λ ∂H
∂x
(24.iii)
d℘(1)
dτ
= −λ ∂H
∂u
− µ℘(1) . (24.iv)
Òåïåð ðîçâèòîê äîâiëüíî¨ ôóíêöi¨ f âiä çìiííèõ ôàçîâîãî ïðîñòîðó x ,
u , ℘ , ℘(1) çàäà¹òüñÿ äóæêîþ Ïóàñîíà{
f,H
} def=
∂f
∂xα
∂H
∂℘α
+
∂f
∂uα
∂H
∂℘
(1)
α
− ∂f
∂℘α
∂H
∂xα
− ∂f
∂℘
(1)
α
∂H
∂uα
96 Ð. Ìàöþê
îñü ÿêèì ÷èíîì [25]
df
dτ
= λ
{
f,H
}
+ µ
[
uα
∂f
∂uα
− ℘(1)
α
∂f
∂℘
(1)
α
]
. (25)
3.2. Îòðèìàííÿ ôóíêöi¨ H .
Îáñÿã ìíîæèíè ìîæëèâèõ ôóíêöié H , ÿêi çàäîâîëüíÿëè á (22) ¹ íåìà-
ëèì. Àëå, îñêiëüêè êîæíå ïàðàìåòðè÷íî-iíâàðiÿíòíå âàðiÿöiéíå çàâäàííÿ,
ïîñòàâëåíå íà ïðîñòîði T rM , ïîðîäæó¹ âiäïîâiäíå éîìó ôîðìóëþâàííÿ
íà ïðîñòîði Cr(1,M) , i íàâïàêè, ìîæíà ç óñïiõîì ïðîáóâàòè â öié ðîëi
âiäòÿãíåíå äî ïðîñòîðó T rM ãàìiëüòîíiâñüêå ôîðìóëþâàííÿ, ïåðåä òèì
çáóäîâàíå íà ïðîñòîði Cr(1,M) .
Ïîñòàâèìî âàðiÿöiéíå çàâäàííÿ íà ïðîñòîði R × T rM ó âèãëÿäi ïðè-
ñàäæåíî¨ (ùîäî R ) äèôåðåíöiéíî¨ 1 -form L dτ , äå L îçíà÷åíà ëèøå íà
T rM i çàäîâiëüíÿ¹ óìîâè Öåðìåëî. Íåõàé òåæ Ldx0 áóäå òèì ïðåäñòàâíè-
êîì âiäïîâiäíîãî ïó÷êà ðiâíîçíà÷íèõ ïðèñàäæåíèõ (ùîäî M ) äèôåðåíöié-
íèõ 1 -ôîðì íà âîëîêíèñòîìó ìíîãîâèäi Cr(1,M) , ÿêèé, ó çàïðîâàäæåíèõ
âèùå êîîðäèíàòàõ, çàäà¹òüñÿ ñïiââiäíîøåííÿìè
L dτ − (L◦pr) dx0 = − (L ◦ pr)ϑ ,
äå
ϑ = dx0 − u0dτ (26)
¹ îäíi¹þ ç ôîðì òîðêàííÿ íà ìíîãîâèäi J1(R,M) ≈ R× TM . Çâiäñiëÿ
L = u0 L ◦ pr. (27)
Êàíîíi÷íi êiëüêîñòi ðóõó çàïðîâàäæóþòüñÿ, ÿê çâè÷àéíî:
p(1) =
∂L
∂v′
p =
∂L
∂v
−Dtp
(1) ,
(28)
äå
Dt = vi
∂
∂xi
+ v′i
∂
∂vi
+ v′′i
∂
∂v′i
(29)
îçíà÷๠îïåðàòîð ïîâíî¨ ïîõiäíî¨ ùîäî çìiííî¨ x0 .
Ñïiââiäíîøåííÿ ïîìiæ îïåðàòîðàìè (20) òà (29) ïîâíî¨ ïîõiäíî¨ íà âiä-
ïîâiäíèõ ïðîñòîðàõ ñòðóìåíiâ, J2(R,M) òà (ìiñòå÷êîâî) J2(R,R dimM−1)
âèäà¹òüñÿ î÷åâèäíèì, ÿê íàñïðàâäi âîíî i ¹: ÿêùî f ¹ ìiñöåâîþ ôóíêöi¹þ
íà ïðîñòîði C2(1,M) , òîäi
Dτ (f ◦ pr) = u0Dtf ◦ pr . (30)
Ðåëÿòèâiñüêà äçè à 97
Ìîæíà òàêîæ îòðèìàòè (30) áåçïîñåðåäíiì óïîõiäíåííÿì ïðî¹êöi¨ (17),
ÿêà, ó òðåòüîìó ïîðÿäêó, òàê âèãëÿä๠â íàøèõ êîîðäèíàòàõ:
v ◦ pr =
u
u0
v′ ◦ pr =
u̇
u2
0
− u̇0
u3
0
u
v′′ ◦ pr =
ü
u3
0
− 3
u̇0
u4
0
u̇ + 3
(
u̇2
0
u5
0
− ü0
u4
0
)
u .
(31)
Ìàþ÷è ó ñâî¹ìó ðîçïîðÿäæåííi ñïiââiäíîøåííÿ (30), ìîæåìî òàêîæ
âñòàíîâèòè i ñïiââiäíîøåííÿ ïîìiæ ïàðîþ êiëüêîñòåé ðóõó ℘ = (℘0,℘) òà
℘(1) = (℘(1)
0 ,℘(1)) â (19), ïiäðàõîâàíèìè äëÿ ôóíêöi¨ Ëÿ ðàíæà L , äàíî¨
âçîðîì (27), ç îäíîãî áîêó, i ïàðîþ âiäòÿãíóòèõ âçàä êiëüêîñòåé ðóõó (28)
ç èíüøîãî áîêó:
℘
(1)
0 = u0
∂(L◦pr)
∂u̇0
= − 1
u2
0
u
(
∂L
∂v′
◦pr
)
= − 1
u2
0
u (p(1)◦pr) (32.a)
℘(1) = u0
∂(L◦pr)
∂u̇
=
1
u0
(
∂L
∂v′
◦pr
)
=
1
u0
(p(1)◦pr) (32.b)
℘0 = L◦pr + u0
∂(L◦pr)
∂u0
−Dτ℘(1)
0 ïðàâîì (31), (30) òà (32.a)
= L◦pr − u0
[
1
u2
0
u
(
∂L
∂v
◦pr
)
+
2
u3
0
u̇
(
∂L
∂v′
◦pr
)
− 3u̇0
u4
0
u
(
∂L
∂v′
◦pr
)]
− 2
u̇0
u3
0
u(p(1)◦pr) +
1
u2
0
u̇(p(1)◦pr) +
1
u0
u(Dtp
(1) ◦ pr)
= L◦pr − 1
u0
u
(
∂L
∂v
◦pr
)
+
u̇0
u3
0
u(p(1)◦pr)− 1
u2
0
u̇(p(1)◦pr)
+
1
u0
u(Dtp
(1) ◦ pr)
= L◦pr − vp ◦ pr − v′p(1) ◦ pr (32.c)
℘ = u0
∂(L◦pr)
∂u
−Dτ℘(1) ïðàâîì (31), (30) òà (32.b)
= u0
[
1
u0
(
∂L
∂v
◦pr
)
− u̇0
u3
0
(
∂L
∂v′
◦pr
)]
+
u̇0
u2
0
(p(1)◦pr)−Dtp
(1) ◦ pr)
=
∂L
∂v
◦ pr −Dtp
(1) ◦ pr = p ◦ pr . (32.d)
Iç (32.c) òà (32.d) âèïëèâà¹, ùî
℘u = u0 L◦pr − u0 v′p(1) ◦ pr , (33.a)
98 Ð. Ìàöþê
òîäi, ÿê iç (32.a) òà (32.b) ïðàâîì (31) âèïëèâà¹, ùî
℘(1)u̇ = u0 v′p(1) ◦ pr , (33.b)
i, îòæå, (21.b) ñïðàâäæó¹òüñÿ íåãàéíî.
 íàñòóïíèõ ðîçâàæàííÿõ ïðèäåðæó¹ìîñü òåîði¨ óçàãàëüíåíèõ ãàìiëü-
òîíiâñüêèõ ñèñòåì â òàêîìó ïîäàííi, ÿê âîíà âèêëàäåíà ó êíèçi [28]. Îòæå
æ, â íàøèõ êîîðäèíàòàõ íàéëiïøå îïèñóâàòè ðîçâèòîê ñèñòåìè ÿäðîì äè-
ôåðåíöiéíî¨ äâî�ôîðìè
ω = −dH ∧ dx0 + dp ∧ dx + dp(1) ∧ dv , (34)
äå çíàê çîâíiøíüîãî äîáóòêó ∧ ìiñòèòü â ñîái ùå é çãîðòêó âåêòîðíèõ
äèôåðåíöiéíèõ ôîðì çà íåîáõiäíîñòi. Õîòiëîñÿ á, àáè é íà ìíîãîâèäi R×
T 3M ðîçâèòîê öi¹¨ ñàìî¨ ñèñòåìè çàäàâàâñÿ äèôåðåíöiéíîþ äâî�ôîðìîþ
ïîäiáíîãî âèãëÿäó,
Ω = −dH ∧ dτ + d℘ ∧ dx+ d℘(1) ∧ du , (35)
äå êiëüêîñòi ðóõó ℘ òà ℘(1) âèâîäÿòüñÿ ç ôóíêöi¨ Ëÿ ðàíæà (27).
ßê ïðèéíÿòî, êëàäåìî H = pv+p(1)v′−L . Ïiä öèì ïðèïóùåííÿì ëåãêî
ïiäðàõóâàòè ðiæíèöþ ïîìiæ (35) òà (34), çâàæàþ÷è íà ñïiââiäíîøåííÿ
(32.b, 32.d) i íà óìîâè Öåðìåëî (21.a):
Ω − pr∗ω = d(pr∗H + ℘0) ∧ dx0 − dH ∧ dτ . (36)
Õîòiëîñÿ á, àáè öÿ ðiæíèöÿ âèÿâèëàñÿ ïðîïîðöiéíîþ äî ôîðìè äîòèêó (26),
à ñàìå,
Ω − pr∗ω = α ∧ ϑ . (37)
Íàéïðîñòiøèì ñïîñîáîì óçãîäæåííÿ ó (36) ç (37) ¹ ïîêëàñòè
dH = u0d(pr∗H + ℘0) (38)
òà
H = u0pr
∗H + Ψ . (39)
Òåïåð çàõîäèìîñü âèçíà÷àòè îöþ ôóíêöiþ âiäõèëåííÿ Ψ . Iç (39) ìà¹ìî:
pr∗dH =
dH
u0
+ (Ψ −H)
du0
u2
0
− dΨ
u0
. (40)
Âèñòà÷èòü ïiäñòàâèòè (40) ó (38), àáè îòðèìàòè ñïiââiäíîøåííÿ
H− Ψ
u0
du0 − u0 d℘0 = − dΨ ,
çâiäêiëü ñò๠çîâñiì çðîçóìiëî, ùî{
Ψ = u0℘0 + c
H = c ,
à òàêîæ, ùî, ïðàâîì (22), c = 1 .
Îòîæ,
H = u0pr
∗H + u0℘0 + 1 (41)
Ðåëÿòèâiñüêà äçè à 99
3.3. Òðåìòiííÿ (Zitterbewegung) áóöiì-êëàñè÷íî¨ ðåëÿòèâiñüêî¨
÷àñòêè.
Äàâíî òîìó, ó 1946ìó ðîöi Ôðiö Áîï âèíàéøîâ ôóíêöiþ Ëÿ ðàíæà, ùî
ìiñòèëà ïðèñïiøåííÿ, äëÿ îïèñó äðóãîãî íàáëèæåííÿ çà ïàðàìåòðîì çà-
ïiçíåíî¨ äi¨ äî ðóõó êëàñè÷íî¨ ÷àñòêè [1]. Âèãëÿä๠çíàìåííèì òå, ùî ëÿ-
ðàíæiÿíó Áîïà ìîæíà íàäàòè ïðîñòî¨ òà çðîçóìiëî¨ ôîðìè â ïîíÿòòÿõ
ïåðøî¨ êðèâèíè Ôðåíå ñâiòîâî¨ íèòi ÷àñòêè (11) îñü ÿêèì ÷èíîì:
L def= aLr +ALe =
a
2
‖u‖k2 +
A
2
‖u‖ , (42)
äå ìè ïðèéìåìî, ùî a 6= 0 , àáè óçãîäèòèñÿ ç (23). Îöÿ ôóíêöiÿ Ëÿ ðàíæà
çàäîâiëüíÿ¹ óìîâè Öåðìåëî (18). Ïåðøèé äîäàíîê ó (42), Lr , âèÿâëÿ¹òüñÿ
òîãî òèïó, ùî ðîçãëÿäàâñÿ Ðóíäîì ó [17] (òåæ ãëÿäè [25]). Äðóãèé äîäàíîê,
Le , ¹ ôóíêöi¹þ Ëÿ ðàíæà âiëüíî¨ ÷àñòêè. Çãiäíî ç (27), âiäïîâiäíà ìiñöåâà
ëÿ ðàíæåâà ãóñòèíà, îçíà÷åíà â äåÿêîìó îêîëi íà ìíîãîâèäi C2(1,M) ,
ìîæå áóòè âèðàæåíà â êîîðäèíàòàõ x0 , v òà v′ :
Ldx0 def= aLrdx
0 +ALedx
0
=
a
2
√
(1 + v2)
(
v′2
(1 + v2)2
− (v · v′)2
(1 + v2)3
)
dx0 +
A
2
√
(1 + v2)dx0 . (43)
Êiëüêîñòi ðóõó (28) äëÿ öüîãî ëÿ ðàíæiÿíó ¹ òàêèìè:
p(1)
r =
v′
(1 + v2)3/2
− v · v′
(1 + v2)5/2
v
pr = − v′′
(1 + v2)3/2
+ 3
v · v′
(1 + v2)5/2
v′
+
v · v′′
(1 + v2)5/2
v − 1
2
v′2
(1 + v2)5/2
v − 5
2
(v · v′)2
(1 + v2)7/2
v .
Çàïðîâàäæó¹ìî ñòàíäàðòíó ôóíêöiþ Ãàìiëüòîíà
H = pv + p(1)v′ − L
def= aHr +AHe = aprv + ap(1)
r v′ − aLr +Apev −ALe , (44)
òîìó, ùî p
(1)
e = 0 . Ïîòðiáíî âèëó÷èòè çìiííó v′ iç (44). Ïiäðàõîâó¹ìî:p
(1)
r v′ = 2Lr
p
(1)
r
2 + (p(1)
r v)2 = 2
Lr
(1 + v2)3/2
,
100 Ð. Ìàöþê
i îò îñòàòî÷íî ìà¹ìî ôóíêöiþ Ãàìiëüòîíà
H = pv +
1
2a
(
1 + v2
)3/2 (
p(1)2 + (p(1)v)2
)
− A
2
√
1 + v2 . (45)
Ó ïðàöi [1], íà ñòîðiíöi 199, Ôðiö Áîï ñòâåðäæóâàâ:
�
Íà êëàñè÷íèé ðóõ
íàêëàäà¹òüñÿ äåÿêå òðåìòiííÿ, ÿêå îïèñó¹òüñÿ íîâèìè çìiííèìè v òà p(1) .
Âîíî ïðîâàäèòü äî åôåêòiâ ñïiíîâîãî òèïó . . . � 2
Ãàìiëüòîíiâñüêó ôóíêöiþ íà ïðîñòîði T 3M ìîæíà îòðèìàòè ç (41):
H = ℘u+
1
2a
‖u‖3℘(1)2 − A
2
‖u‖+ 1 . (46)
Çàóâàæèìî, ùî öåé ñàì âèðàç ìîæíà áóëî á îòðèìàòè áåçïîñåðåäíüî ç
ïðèïóùåííÿ
H = ℘u+ ℘(1)u̇− L+ 1 , (47)
ââàæàþ÷è, ùî L óçÿòî ç (42).
Ç îãëÿäó íà (23), íåñèëà ïîâíiñòþ ðîçâ'ÿçàòè ïåðåòâîðåííÿ Ëåæàí-
äðà (19). Çàòå îñü ÿê ìîæíà âèëó÷èòè çìiííó u̇ ç (47): ñïî÷àòêó ïiäðàõó¹ìî
êiëüêîñòi ðóõó äëÿ (42)
℘(1) =
a
‖u‖5
[
u2u̇− (u · u̇)u
]
℘ =
Au
2‖u‖
− a
[
ü
‖u‖3
− 3
u · u̇
‖u‖5
u̇− u · ü
‖u‖5
u+
u̇2
2‖u‖5
u+
5
2
(uu̇)2
‖u‖7
u
]
.
Íàñòóïíèì êðîêîì, âèðàçèìî âñi âåëè÷èíè ó (47), êóäè âõîäèòü u̇ , ó çìií-
íèõ ℘(1) òà u :
℘(1)u̇ =
‖u‖3
a
℘(1)2
Lr =
‖u‖3
2a2
℘(1)2 ,
(48)
i, âðåøòi, ïiäñòàâèìî äî (47), ùîá îñòàòî÷íî îòðèìàòè ôóíêöiþ Ãàìiëüòî-
íà (46).
Çàóâàæåííÿ. Íàø ïiäõiä äî ïîáóäîâè ôóíêöi¨ Ãàìiëüòîíà ðiæíèòüñÿ
âiä ïiäõîäó �ðàñåðà. Âií øâèäøå ïîâ'ÿçàíèé ç ðîçãëÿäîì ôóíêöié Ëÿ ðàí-
æà, êâàäðàòè÷íèõ çà øâèäêîñòÿìè, â òåîði¨ ïðîñòîðiâ Ôiíñëåðà.
Òåïåð íå âàæêî îòðèìàòè ðiâíÿííÿ Îéëåðà�Ïóàñîíà ÷åòâåðòîãî ïîðÿä-
êó äëÿ âàðiÿöiéíîãî çàâäàííÿ ç ôóíêöi¹þ Ëÿ ðàíæà (42), âiäøòîâõóþ÷èñü
2
�
Der klassischen Bewegung �uberlagert sich eine Zitterbewegung, die durch die neuen
Variabeln v und p(1) beschrieben wird. Sie f�uhrt zu spinartigen E�ekten. . . �
Ðåëÿòèâiñüêà äçè à 101
âiä ãàìiëüòîíiâñüêî¨ ñèñòåìè (24) òà âèðàçó (46). Äëÿ (24) ìà¹ìî:
dx
dτ
= λu
du
dτ
= λ
‖u‖3
a
℘(1) + µu
d℘
dτ
= 0
d℘(1)
dτ
= λ
A
2
u
‖u‖
− λ℘− λ 3‖u‖
2a
℘(1)2u− µ℘(1) .
Ç äðóãîãî ðiâíÿííÿ îòðèìó¹ìî çíà÷åííÿ ìíîæíèêà µ øëÿõîì çãîðòêè
ç âåêòîðîì u i ç íàñòóïíèì âèêîðèñòàííÿì óìîâ Öåðìåëî (18). Ìà¹ìî
µ = u·u̇
‖u‖2 .
Òiëüêè íà öié ñòàäi¨ ìà¹ìî ïðàâî íàêëàñòè ïåâíi â'ÿçi íà ïiäáið ìiðêè
óçäîâæ ñâiòîâî¨ íèòi. Âèáèðà¹ìî íàòóðàëüíó ìiðêó s , òàê, ùî us · us = 1 .
Îòðèìà¹ìî
du
ds
=
℘(1)
a
(49.a)
d℘(1)
ds
=
A
2
us − ℘−
3
2a
℘(1)2us , (49.b)
i òåïåð âèäíî, ùî λ = 1 i µ = 0 , òàê, ùî ðiâíÿííÿ ðîçâèòêó (25) âiäíîâëþ¹
ñâié çâè÷àéíèé âèãëÿä.
Äàëi óïîõiäíþ¹ìî ðiâíÿííÿ (49.a) i ïiäñòàâëÿ¹ìî òóäè ðiâíÿííÿ (49.b),
ùîá îòðèìàòè
üs =
A
2a
us −
℘
a
− 3
2a2
℘(1)2us , (50)
℘u̇s
a
= − üs · u̇s , (51)
à ç èíüøîãî áîêó, çãîðòêà (49.a ç (49.b) äà¹
℘(1) · ˙℘(1) = − a℘u̇s . (52)
Ùå îäíå óïîõiäíåííÿ ðiâíÿííÿ (50) äà¹
...
us =
A
2a
u̇s −
3
a2
(℘(1) · ˙℘(1))us −
3
2a2
℘(1)2u̇s , (53)
êóäè ìè i ïiäñòàâëÿ¹ìî (52), (49.a), i, ïîñëiäîâíî, (51), àáè âðåøòi äîáóòè
îñòàòî÷íå ðiâíÿííÿ ðóõó ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêó
...
us +
(
3
2
u̇s
2 − A
2a
)
u̇s + 3 (u̇s · üs)us = 0 . (54)
102 Ð. Ìàöþê
Ïðàâîì (14) íà çâ'ÿçàíîìó ïiäìíîãîâèäi ïîñòiéíî¨ âåëè÷èíè ðåëÿòèâiñüêî-
ãî ïðèñïiøåííÿ k = k0 ðiâíÿííÿ (54) çâîäèòüñÿ äî ðiâíÿííÿ ãâèíòîâî¨
ñâiòîâî¨ íèòi ðóõó ÷àñòêè ç áóöiì-êëàñè÷íèì ñïiíîì (16), ÿêùî ïîêëà-
ñòè
ω2 =
3
2
k2
0 −
A
2a
.
4. ÎÁÃÎÂÎÐÅÍÍß.
1. Ðiâíÿííÿ 16 áóëî âiäîìå ùå Ðiâîâi [16], òà éîãî âèâåäåííÿ áåçïîñåðå-
äíüî ç (1), àáî æ ç ðiâíÿíü Ìàòiñîíà�Ïàïàïåòðó [20], ÿê âèäà¹òüñÿ,
íå áóëî î÷åâèäíèì.
2. Ïðàâîì ôîðìóëè kk2k3 = ‖usu̇süs
...
us‖ , ÿêà âèêàçó¹ ñïiââiäíîøåííÿ
ïîìiæ ïîñëiäîâíèìè êðèâèíàìè Ôðåíå ó íàòóðàëüíîìó â�iäìiði, íå-
ãàéíî áà÷èìî, ùî óñi åêñòðåìàëi âàðiÿöiéíîãî çàâäàííÿ (42) ìàþòü
íóëüîâó òðåòþ êðèâèíó, ùî, ç îãëÿäó íà îçíà÷åííÿ ñâiòîâî¨ íèòi, îçíà-
÷à¹, ùî â ïðîñòîði ÷àñòêà ïåðåìiùà¹òüñÿ ó (äâîâèìiðíié) ïëîùèíi.
Âàðòî ïîðiâíÿòè öåé ðåçóëüòàò ç ïîäiáíèì ðåçóëüòàòîì ðîáîòè [29].
3. ßê äàâíî äîâåäåíî [30], êîæíà ç êðèâèí Ôðåíå, âçÿòà ó ðîëi ôóí-
êöi¨ Ëÿ ðàíæà, ä๠åêñòðåìàëi, âçäîâæ ÿêèõ öÿ ñàìà êðèâèíà ¹ ïî-
ñòiéíîþ. Öåé ôàêò òàêîæ ñïîñòåðåæåíèé Àðîäçåì ñòîñîâíî òiëüêè
ïåðøî¨ êðèâèíè [9]. Îäíàê ïðîáëåìà âàðiÿöiéíîãî îïèñó ñòåæîê, óñi
êðèâèíè ÿêèõ îäíî÷àñíî çáåðiãàþòüñÿ, çàëèøà¹òüñÿ âiäêðèòîþ.
4. Ç ôiçè÷íîãî ïîãëÿäó, öiêàâèì ¹ òîé ôàêò, ùî ðiâíÿííÿ (1) ó ¨õ äèôå-
ðåíöiéíèõ ïðîäîâæåííÿõ ïîêðèâàþòü, ÿê ðiâíÿííÿ Ìàòiñîíà�Ïàïà-
ïåòðó ÷àñòêè çi ñïiíîì, òàê i ðiâíÿííÿ Ëîðåíöà�Äiðàêà ñàìîâèïðîìi-
íþþ÷î¨ ÷àñòêè ó çãîäi ç ïåðåäáà÷åííÿìè Áàðóòà [31,32].
5. Ñëiäêóþ÷è iäåÿìè Ñêîðîáîãàòüêà [6], ÿ ñâîãî ÷àñó îòðèìàâ (ãëÿ-
äè [33, ñ. 18], [34, ñ. 88]) äåÿêi íåòî÷êîâi (iíòå ðàëüíi) ïåðåòâîðåííÿ
ïðîñòîðó�÷àñó, ÿêi çàëèøàþòü íåçìiííèì òî÷íèé âèðàç iíòå ðàëà äi¨∫
Lε =
∫ √
ε2ds2 − dα2 , (55)
äå dα âèìiðþ¹ ïîâîðîò äîòè÷íî¨ äî ñâiòîâî¨ íèòi ó âiäïîâiäíîñòi ç
ïðèðîñòîì íàòóðàëüíî¨ ìiðêè (âëàñíîãî ÷àñó) ds âçäîâæ íå¨, òàê ùî
êðèâèíà âèðàæà¹òüñÿ ôîðìóëîþ k = dα
ds . Ðîáèëèñÿ ñïðîáè íàäà-
òè öèì íåëîêàëüíèì, ëiíiéíèì çà α i s , ïåðåòâîðåííÿì ôiçè÷íî-
ãî çíà÷åííÿ ïåðåòâîðåííÿ êîîðäèíàò ïðè ïåðåõîäi ïîìiæ ñèñòåìàìè
âiäëiêó, ÿêi âçà¹ìíî ðiâíîïðèñïiøóþòüñÿ. Òðàêòóþ÷è çìiííi α i s
÷èñòî ôîðìàëüíî, ÿê íåçàëåæíi âåëè÷èíè, ìîæíà ïîêàçàòè, ùî âà-
ðiÿöi¨ ôóíêöi¨ äi¨ (55) ïðèâåäóòü äî åêñòðåìàëåé ïîñòiéíî¨ êðèâèíè
(òîáòî, ñâiòîâèõ íèòåé ðiâíîïðèñïiøåíèõ ÷àñòîê). Ç èíüøîãî áîêó,
áiëüø äåòàëüíå âèâ÷åííÿ ïðèðîäè ôóíêöi¨ Ëÿ ðàíæà
Lε =
√
ε2 − k2 (56)
Ðåëÿòèâiñüêà äçè à 103
íåãàéíî ïðîâàäèòü äî êîíöåïöi¨ ìàêñèìàëüíîãî ïðèñïiøåííÿ [34,35].
Îêðåìi àâòîðè íàäàþòü ðiçíèõ çíà÷åíü öié ôiçè÷íié êîíñòàíòi. Çîêðå-
ìà, âêàæåìî íà òàêi äâà çíà÷åííÿ, ùî íå âiäðiçíÿþòüñÿ ïîðÿäêîì:
ε = c7/2G−1/2~1/2 = 6 · 1053 cm/sec2 (Êîìàðíèöüêèé [36]) òà ε =
5 · 1053 cm/sec2 (Ñêàðïåòà [35]).
6. Âèíèêàþòü äâi ïåðåïîíè äëÿ ïîâíîãî óçãîäæåííÿ âèêëàäåíèõ â ïóí-
êòi 5 ìiðêóâàíü:
- ïî-ïåðøå, ôóíêöiÿ Ëÿ ðàíæà 56, ïîòðàêòîâàíà, ÿê ëÿ ðàíæiÿí,
ùî íàñïðàâäi ìiñòèòü âèùi ïîõiäíi (ïðèñïiøåííÿ), âæå ó äâîâè-
ìiðíîìó âèïàäêó ä๠òàêi âàðiÿöiéíi ðiâíÿííÿ Îéëåðà�Ïóàñîíà,
ñåðåä ðîçâ'ÿçêiâ ÿêèõ ëèø ïð�îñòi ëiíi¨ ìàþòü ïîñòiéíó êðèâèíó;
- ïî-äðóãå, âàðiÿöiéíå çàâäàííÿ (55) íå ¹ ïàðàìåòðè÷íî-iíâàðiÿ-
íòíèì, îñêiëüêè ôóíêöiÿ Ëÿ ðàíæà ‖u‖Lε ç êðèâèíîþ k , ÿêà
çàäà¹òüñÿ âèðàçîì (11), íå çàäîâiëüíÿ¹ óìîâè Öåðìåëî (18).
Ëÿ ðàíæiÿí (42) âiëüíèé îä öèõ íåäîëiêiâ.
ÏÎÊËÈÊÈ ÍÀ ËIÒÅÐÀÒÓÐÓ
[1] Bopp F. Zf. f�ur Naturf. 1946. 1. 196�203.
[2] Weyssenho� J., Raabe A. Acta Phys. Polon. 1947. 9, fasc. 1. 7�18.
[3] H�onl H. Zf. f�ur Naturf. 1948. 3a, Ht. 8�11. 573�583.
[4] Bopp F. Zf. f�ur Naturf. 1948. 3a, Ht. 8�11. 564�573.
[5] J Weyssenho� J. Acta Phys. Polon. 1951. 11. 49�70.
[6] Ñêîðîáîãàòüêî Â.ß. Äîïîâiäi ÀÍ Óêð. ÐÑÐ. Ñåð. À. 1970, � 10.
897�900.
[7] Rivas M. Kinematical theory of classical elementatry spinning particles.
Preprint of Lecture course delivered at Bogolyubov Institute in Kyiv
(Ukraine). � Bilbao: The University of Basque Country, 1998, 160 pp.
[8] Plyushchay M.S. Int. J. Mod. Phys. 1989. 4, N 15. 3851�3865.
[9] Arod�z H., Sitarz A., W�egrzyn P. Acta Phys. Polon. B. 1989. 20, fasc. 11.
921�939.
[10] Nesterenko V.V., Feoli A., Scarpetta G. J. Math. Phys. 1995. 36, N 10.
5552�5564.
[11] Íåðñåñÿí À.Ï. Òåîð. ìàò. ôèçèêà. 2000. 126, � 2. 179�195.
[12] Arreaga G., Capovilla R., Guven J. Class. Quant. Grav. 2001, 18, N 23.
5065�5083.
[13] Ëåéêî Ñ.Ã. Èçâ. âóçîâ. Ìàòåìàòèêà. 1990. Âûï. 10. 9�17.
104 Ð. Ìàöþê
[14] Plyushchay M.S. Phys. Lett. B. 1990. 235, N 1�2. 47�51.
[15] Krupkova O. J. Math. Phys. 2000, 41, N 8. 5304�5324.
[16] Riewe F. il Nuovo cim. 1972. 8 B. 271�277.
[17] Rund H. The Hamilton-Jacobi theory in the calculus of variations. �
London e.a.: D. Van Nostrand Co. Ltd., 1966, xii+404 pp.
[18] Lim P.H. J. Math. Phys. 1982. 23, N 9. 1641�1646.
[19] Mathisson M. Acta Phys. Polon. 1937. 6, fasc. 3. 163�200.
[20] Papapetrou A. Proc. Royal Soc. London A. 1951. 209. 248�258.
[21] Dixon W.G. Proc. Roy. Soc. London. Ser. A 1970. 314. 499�527.
[22] Bailyn M., Ragusa S. Phys. Rev. D 1977. 15, N 12. 3543�3552.
[23] Ìàöþê Ð. Ôiçè÷íèé çáiðíèê ÍÒØ. 2006. � 6. 206�214.
[24] Costantelos G.C. il Nuovo cim. 1984. 84 B, N 1. 91�101.
[25] Gr�asser H.S.P. Istit. Lombardo Accad. Sci. Lett., Rend. A. 1988. 122.
105�125.
[26] Matsyuk R.Ya. Â êí. Di�erential Geometry and Its Applications,
Proc. Conf. 2001, Opava (Czech Republic). � Opava: Silesian Universi-
ty, 2002. 447�459.
[27] Dedecker P. Lecture Notes in Mathematics. 570. Berlin: Springer, 1977.
395�456.
[28] Krupkov�a O. The Geometry of ordinary variational equations. Lecture
Notes in Mathematics, 1678. Berlin: Springer, 1997, x+252 pp.
[29] ßêóïîâ Ì.Ø. Ãðàâèòàöèÿ è òåîðèÿ îòíîñèòåëüíîñòè. 1983. Âûï. 19.
Êàçàíü: Èçä. Êàç. óí-òà. 146�162.
[30] Ìàöþê Ð.ß. Ïóàíêàðå-èíâàðèàíòíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ëàãðàí-
æåâîé ìåõàíèêå ñ âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè. Äèññ. êàíä. ôèç-ìàò. íàóê.
Ëüâîâ, 1984, 140 ñ.
[31] Matsyuk R.Ya. Â êí. 11th International Conference on General Relativi-
ty and Gravitation. Stockholm, Sweeden, July 6�12, 1986. Abstracts of
contributed papers. Vol. II. Stockholm, 1986, p. 648.
[32] Barut A.O. Lecture Notes in Mathematics. 905. Berlin: Springer, 1982,
90�98.
[33] Ñêîðîáîãàòüêî Âiòàëié ßêîâè÷. Çà ðåä.: Áîáèê Î.I. òà èí. � Êè¨â: Ií-ò
ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¨íè, 1997, 72 ñ.
[34] Íîâiêîâ Ë.Î., Ñêîðîáîãàòüêî Â.ß. Ìåòîäè ìàòåìàòèêè: ðîçâèòîê, çà-
ñòîñóâàííÿ, ñóñïiëüíå âiäëóííÿ. � Ëüâiâ: Ñëîâî i êîìåðöiÿ, 1995, 218 ñ.
Ðåëÿòèâiñüêà äçè à 105
[35] Scarpetta G. Lett. Nuovo cim. 1984. 41, � 2. 51�58.
[36] Êîìàðíèöêèé ß.È, Îãèðêî Î.Â. Â êí. Ðàñïàðàëëåëèâàíèå îáðàáîòêè
èíôîðìàöèè. Òåçèñû äîêë. è ñîîáù. V Âñåñ. øêîëà-ñåìèíàð. Ëüâîâ:
Ôèç.-ìåõ. èí-ò., 1985. 181�183.
RELATIVISTIC TOP IN THE OSTROHRADS'KYJ DYNAMICS
Roman MATSYUK
Institute for Applied Problems in Mechanics and Mathematics
3 b Naukova St., L'viv, Ukraine
A variational equation of the fourth order for the free relativistic top is
developed starting from the Dixon's system of equations for the motion of the
relativistic dipole. The obtained equation is then cast into the homogeneous
space�time Hamiltonian form.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-75117 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1563-3569 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T19:05:26Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Західний науковий центр НАН України і МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Мацюк, Р. 2015-01-26T16:56:13Z 2015-01-26T16:56:13Z 2011 Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського / Р. Мацюк // Праці Наукового товариства ім. Шевченка. — Л., 2011. — Т. 8: Фізичний збірник. — С. 90-105. — Бібліогр.: 36 назв. — укр. 1563-3569 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/75117 A variational equation of the fourth order for the free relativistic top is developed starting from the Dixon's system of equations for the motion of the relativistic dipole. The obtained equation is then cast into the homogeneous space time Hamiltonian form. uk Західний науковий центр НАН України і МОН України Праці наукового товариства ім. Шевченка Тематична конференція Комісії фізики НТШ "Міжнародний рік астрономії" Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського Relativistic top in the Ostrohr ads'kyj dynamics Article published earlier |
| spellingShingle | Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського Мацюк, Р. Тематична конференція Комісії фізики НТШ "Міжнародний рік астрономії" |
| title | Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського |
| title_alt | Relativistic top in the Ostrohr ads'kyj dynamics |
| title_full | Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського |
| title_fullStr | Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського |
| title_full_unstemmed | Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського |
| title_short | Релятивіська дзиґа в динаміці Остроградського |
| title_sort | релятивіська дзиґа в динаміці остроградського |
| topic | Тематична конференція Комісії фізики НТШ "Міжнародний рік астрономії" |
| topic_facet | Тематична конференція Комісії фізики НТШ "Міжнародний рік астрономії" |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/75117 |
| work_keys_str_mv | AT macûkr relâtivísʹkadzigavdinamícíostrogradsʹkogo AT macûkr relativistictopintheostrohradskyjdynamics |