Аналітичний розв'язок рівняння Пуассона-Фермі-Дірака для напруженої наногетеросистеми з квантовими точками сферичної та аксіальної симетрій
The algorithm of the solution of the Poisson-Fermi-Dirac equation for a case of spherical and cylindrical geometries is constructed in the form of a logarithm from a power series which taking into account a deformation potential describe the allocation of an electrostatic potential and an electr...
Saved in:
| Published in: | Праці наукового товариства ім. Шевченка |
|---|---|
| Date: | 2011 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Західний науковий центр НАН України і МОН України
2011
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/75362 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Аналітичний розв'язок рівняння Пуассона-Фермі-Дірака для напруженої наногетеросистеми з квантовими точками сферичної та аксіальної симетрій / Р. Пелещак, І. Бачинський // Праці Наукового товариства ім. Шевченка. — Л., 2011. — Т. 8: Фізичний збірник. — С. 354-360. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-75362 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Пелещак, Р. Бачинський, І. 2015-01-28T21:50:01Z 2015-01-28T21:50:01Z 2011 Аналітичний розв'язок рівняння Пуассона-Фермі-Дірака для напруженої наногетеросистеми з квантовими точками сферичної та аксіальної симетрій / Р. Пелещак, І. Бачинський // Праці Наукового товариства ім. Шевченка. — Л., 2011. — Т. 8: Фізичний збірник. — С. 354-360. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. 1563-3569 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/75362 The algorithm of the solution of the Poisson-Fermi-Dirac equation for a case of spherical and cylindrical geometries is constructed in the form of a logarithm from a power series which taking into account a deformation potential describe the allocation of an electrostatic potential and an electric eld strength in a quantum dot surrounded by a matrix . uk Західний науковий центр НАН України і МОН України Праці наукового товариства ім. Шевченка Міжнародна школа-конференція "Актуальні проблеми фізики напівпровідників" Аналітичний розв'язок рівняння Пуассона-Фермі-Дірака для напруженої наногетеросистеми з квантовими точками сферичної та аксіальної симетрій Analytical solution of the Poisson-Fermi-Dirac equation for strained nanoheterosystem with quantum dots of spherical and axial symmetries Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Аналітичний розв'язок рівняння Пуассона-Фермі-Дірака для напруженої наногетеросистеми з квантовими точками сферичної та аксіальної симетрій |
| spellingShingle |
Аналітичний розв'язок рівняння Пуассона-Фермі-Дірака для напруженої наногетеросистеми з квантовими точками сферичної та аксіальної симетрій Пелещак, Р. Бачинський, І. Міжнародна школа-конференція "Актуальні проблеми фізики напівпровідників" |
| title_short |
Аналітичний розв'язок рівняння Пуассона-Фермі-Дірака для напруженої наногетеросистеми з квантовими точками сферичної та аксіальної симетрій |
| title_full |
Аналітичний розв'язок рівняння Пуассона-Фермі-Дірака для напруженої наногетеросистеми з квантовими точками сферичної та аксіальної симетрій |
| title_fullStr |
Аналітичний розв'язок рівняння Пуассона-Фермі-Дірака для напруженої наногетеросистеми з квантовими точками сферичної та аксіальної симетрій |
| title_full_unstemmed |
Аналітичний розв'язок рівняння Пуассона-Фермі-Дірака для напруженої наногетеросистеми з квантовими точками сферичної та аксіальної симетрій |
| title_sort |
аналітичний розв'язок рівняння пуассона-фермі-дірака для напруженої наногетеросистеми з квантовими точками сферичної та аксіальної симетрій |
| author |
Пелещак, Р. Бачинський, І. |
| author_facet |
Пелещак, Р. Бачинський, І. |
| topic |
Міжнародна школа-конференція "Актуальні проблеми фізики напівпровідників" |
| topic_facet |
Міжнародна школа-конференція "Актуальні проблеми фізики напівпровідників" |
| publishDate |
2011 |
| language |
Ukrainian |
| container_title |
Праці наукового товариства ім. Шевченка |
| publisher |
Західний науковий центр НАН України і МОН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Analytical solution of the Poisson-Fermi-Dirac equation for strained nanoheterosystem with quantum dots of spherical and axial symmetries |
| description |
The algorithm of the solution of the Poisson-Fermi-Dirac equation for a
case of spherical and cylindrical geometries is constructed in the form of a
logarithm from a power series which taking into account a deformation potential describe the allocation of an electrostatic potential and an electric eld
strength in a quantum dot surrounded by a matrix .
|
| issn |
1563-3569 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/75362 |
| citation_txt |
Аналітичний розв'язок рівняння Пуассона-Фермі-Дірака для напруженої наногетеросистеми з квантовими точками сферичної та аксіальної симетрій / Р. Пелещак, І. Бачинський // Праці Наукового товариства ім. Шевченка. — Л., 2011. — Т. 8: Фізичний збірник. — С. 354-360. — Бібліогр.: 13 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT peleŝakr analítičniirozvâzokrívnânnâpuassonafermídírakadlânapruženoínanogeterosistemizkvantovimitočkamisferičnoítaaksíalʹnoísimetríi AT bačinsʹkiií analítičniirozvâzokrívnânnâpuassonafermídírakadlânapruženoínanogeterosistemizkvantovimitočkamisferičnoítaaksíalʹnoísimetríi AT peleŝakr analyticalsolutionofthepoissonfermidiracequationforstrainednanoheterosystemwithquantumdotsofsphericalandaxialsymmetries AT bačinsʹkiií analyticalsolutionofthepoissonfermidiracequationforstrainednanoheterosystemwithquantumdotsofsphericalandaxialsymmetries |
| first_indexed |
2025-11-24T08:13:22Z |
| last_indexed |
2025-11-24T08:13:22Z |
| _version_ |
1850843813779603456 |
| fulltext |
��� Fiziqni� zbirnik NTX t�� ���� p�
ANAL�TIQNI� ROZV��ZOK
R�VN�NN� PUASSONA�FERM��D�RAKA
DL� NAPRU�ENO� NANOGETEROSISTEMI
Z KVANTOVIMI TOQKAMI
SFERIQNO� TA AKS�AL�NO� SIMETR��
Roman PELEWAK� �gor BAQINS�KI�
Drogobic�ki� der�avni� pedagogiqni� universitet
imen� Ivana Franka
vul� Ivana Franka ��� Drogobiq �����
e�mail� slajider rambler�ru
Redakci� otrimala statt� �� lipn� ���� r�
Pobudovano algoritm rozv��zku r�vn�nn� Puassona�Ferm��
D�raka dl� kvantovih toqok sferiqno� ta cil�ndriqno� geometr��
u vigl�d� logarifma v�d stepenevogo r�du� �ki� opisu�� z vrahu�
vann�m deformac��nogo potenc�alu� rozpod�l elektrostatiqnogo
potenc�alu ta napru�enost� elektriqnogo pol� v kvantov�� toqc��
�ka otoqena matrice��
�� VSTUP
Odn��� �z osnovnih problem u f�zic� nanosistem z kvantovimi toq�
kami � znahod�enn� rozpod�lu potenc�alu� koncentrac�� elektron�v ta
napru�enost� elektriqnogo pol� �k v kvantov�� toqc�� tak � v matric��
U nax qas dobre v�dom� rozv��zki l�nearizovanogo r�vn�nn� Puasso�
na � potenc�ali Deba��H�kkel�� Der�g�na�Landau�Verve��Overbeka
� �
� ta potenc�al� obqisleni� v me�ah samouzgod�eno� elektron�
deformac��no� model� ���� Odnak v nano�geterosistemah z neodnor�dnim
rozpod�lom koncentrac�� nos��v zar�du sl�d vrahovuvati nel�n��nu za�
le�n�st� elektronno� gustini v�d elektrostatiqnogo potenc�alu� tomu
neobh�dno znati rozv��zok nel�n��nogo r�vn�nn� Puassona z funkc���
Ferm��D�raka� U robotah ����� qisel�nim metodom zna�deno rozv���
zok r�vn�nn� Puassona�Bol�cmana� Anal�tiqni� rozv��zok nel�n��no�
go r�vn�nn� Puassona�Bol�cmana dl� plosko�� sferiqno� ta aks�al�no�
geometr�� buv zna�deni� v robotah �
� ���
U c�� robot� zna�deno prostorovi� rozpod�l elektrostatiqnogo po�
tenc�alu� napru�enost� elektriqnogo pol� ta koncentrac�� elektron�v
u kvantov�� toqc� na osnov� nel�n��nogo r�vn�nn� Puassona�Ferm��
D�raka z graniqnimi umovami� �k� vrahovu�t� vpliv napru�eno� me��
kvantova toqka�matric��
PACS numbers� ������Hb� ���� �La� ������Kv
Anal�tiqni� rozv��zok r�vn�nn� Puassona�Ferm��D�raka ���
�� MATEMATIQNA MODEL�
Rozgl�da�mo nel�n��ne r�vn�nn� Puassona�Ferm��D�raka dl� napru�e�
no� nanogeterosistemi z kvantovimi toqkami sferiqno� ta cil�ndriq�
no� simetr���
d��
dr�
�
L
r
d�
dr
�
e
���
�n �� �r��� n�� � � �
z takimi graniqnimi umovami na me�� kvantova toqka�matric���
� �r� jr�R�
� ��
�
d��r�
dr jr�R�
� E�
�
�
de L � �
� dl� cil�ndriqno� ta sferiqno� simetr�� v�dpov�dno� � �
v�dnosna d�elektriqna pronikn�st� mater�alu kvantovo� toqki� �� �
d�elektriqna stala� n� � seredn� koncentrac�� elektron�v u nanoge�
terosistem� z kvantovimi toqkami� �� � znaqenn� elektrostatiqnogo
potenc�alu na me�� kvantova toqka�matric�� E� � znaqenn� napru�e�
nost� elektriqnogo pol� na me�� kvantova toqka�matric�� n �� �r�� �
koordinatni� rozpod�l nos��v zar�du u kvantov�� toqc�� �ki� xuka�mo
v�dpov�dno do statistiki Ferm��D�raka ����
n �� �r�� �
NQD
exp
�
E� � �� � ac�rr � e��r� � �
kT
�
�
� ���
de NQD � poverhneva gustina kvantovih toqok� �ka r�vna dl�
nanogetero�strukturi InAs�GaAs z kvantovimi toqkami InAs � � �
��� sm�� � ��� E� � energ�� elektrona na perxomu lokal�zovanomu r�v�
n� v kvantov�� �m�� ac � stala g�drostatiqnogo deformac��nogo poten�
c�alu zoni prov�dnost� mater�alu kvantovo� toqki� � � h�m�qni� po�
tenc�al mater�alu kvantovo� toqki� �� � energ�� dna nedeformovano�
zoni prov�dnost� u kvantov�� toqc�� �rr��r� � rad�al�na komponenta ten�
zora deformac�� mater�alu kvantovo� toqki� �ka r�vna �rr � C
�
� � �
Dl� nanogeterosistemi InAs�GaAs z kvantovimi toqkami InAs rad�u�
som R� � �� �A � C� � ���� � ��
P�dstavivxi viraz dl� koncentrac�� nos��v zar�du��� u r�vn�nn�� ��
otrimu�mo v �vnomu vigl�d� nel�n��ne r�vn�nn� Puassona�Ferm��
D�raka z vrahuvann�m elektron�deformac��no� vza�mod���
d��
dr�
�
L
r
d�
dr
�
e
���
�
��� N
���
QD
exp
�
E� � �� � ac�rr � e��r� � �
kT
�
�
� n�
�
��� � ���
Vvedemo bezrozm�rni� potenc�al � � �
e� �r�
kT
� a za odinic� dov�i�
ni v�z�memo elektronni� rad�us Deba� Red �
�
���kT
e�n�
����
� Tod� r�v�
��� R� Pelewak� �� Baqins�ki�
n�nn� ��� zapixet�s� u vigl�d� �
d��
dz�
�
L
z
d�
dz
� �
e���� �
� ���
de z � r
Red
� �� �
En � �� � ac�rr � �
kT
� �
�NQD�
���
n� � �
Rozv��zok nel�n��nogo r�vn�nn� Puassona�Ferm��D�raka ��� znaho�
dimo u vigl�d� logarifma�
� � Z ln �y�� ��� ���
de Z � de�ke c�le� v�dm�nne v�d nul� qislo� Rozvinenn� y u stepenevi�
r�d zd��sn��mo v okol� toqki a � R�
Red �me�a kvantovo� toqki z
matrice��� de zadan� graniqn� umovi� Zrobimo zam�nu zm�nno��
z � a � � x�p � ���
de p � dodatne c�le abo nap�vc�le qislo�
Z urahuvann�m ��� ta ��� r�vn�nn� ��� nabude vigl�du�
� � x�
y
d�y
dx�
�
�
dy
dx
��
� �p� � Lp� y
dy
dx
�
�
p�a�
Z
� � x��p�� y�
�
�
yZ �
�
� �� �
�
Vibira�mo graniqn� umovi�
y ��� � exp
�
��� � ��
Z
�
�
dy
dx
x��
� �E�
pa
Z
exp
�
��� � ��
Z
�
� ���
�k� v�dpov�da�t� umovam �
� �tut ��� � �e��
kT
� �E� � �E�
eRed
kT
��
Rozv��zok r�vn�nn� �
� budemo xukati u vigl�d� stepenevogo r�du
y �
�X
n��
bnx
n� � ��
Z graniqnih umov ��� vipliva�� wo b� � exp
�
��� � ��
Z
�
� b� �
�E�
pa
Z exp
�
��� � ��
Z
�
� P�dstavl��qi � �� v �
�� otrimu�mo sistemu al�
gebra�qnih r�vn�n� dl� viznaqenn� koef�c��nt�v bn� n �
� ���� �
� � x�
�
����
�X
n��
bnx
n
d�
�
�P
n��
bnx
n
�
dx�
�
�
BB�
d
�
�P
n��
bnx
n
�
dx
�
CCA
�
�
�����
Anal�tiqni� rozv��zok r�vn�nn� Puassona�Ferm��D�raka ���
�p� � Lp�
�X
n��
bnx
n
d
�
�P
n��
bnx
n
�
dx
�
p�a�
Z�
� � x��p���
�
�
�X
n��
bnx
n
��
�
BBB� �
�
�P
n��
bnxn
�Z
�
�
CCCA � �� � �
V�d znaqenn� Z zale�it� stup�n� nel�n��nost� r�vn�nn� �
�� U c�� za�
daq� parametr Z vibira�mo takim� wob stup�n� nel�n��nost� r�vn�nn�
�
� buv m�n�mal�nim� tobto Z � �
Osk�l�ki nezale�na zm�nna x � �
�z
a
���p
� to pri zb�l�xenn� para�
metra p zrosta� xvidk�st� zb��nost� r�du � ��� Ale b�l�x� znaqenn�
r uskladn��t� r�vn�nn� �
�� Tomu koef�c��nti r�du � �� obqisl�va�
lis� pri Z � � r � �
�
Tod� rozv��zok nel�n��nogo r�vn�nn� Puassona�Ferm��D�raka ��� z
vrahuvann�m ���� ��� � � �� predstavimo u vigl�d��
��r� � �
kT
e
�
�Z ln
�
�b� � b�
�
�
�
r
R�
� �
p
�
�b�
�
�
�
r
R�
� �
p
��
� ����
�bn
�
�
�
r
R�
� �
p
�n
� ���
�
� ��
� �
�
Xvidk�st� zb��nost� r�du �
� zmenxu�t�s� pri r � � � tobto v
okol� centra kvantovo� toqki� Wob zabezpeqiti toqn�st� obqislenn�
�n�� � �n
�n��
� ��� neobh�dno obqisliti � � � qlen�v r�du �
��
Rad�us zb��nost� r�du �
� znahodit�s� v me�ah��
�
bn
bn��
�p
�
r
R�
�
�
�
bn
bn��
�p
� � ��
�� QISLOV� OBQISLENN� � OBGOVORENN� REZUL��
TAT�V
U c�omu paragraf�� v ramkah nel�n��nogo r�vn�nn� Puassona�Ferm��
D�raka ��� z urahuvann�m elektron�deformac��nogo potenc�alu� nave�
den� qislov� rezul�tati teoretiqnih dosl�d�en� koordinatno� zale��
nost� rozpod�lu elektrostatiqnogo potenc�alu� napru�enost� elek�
triqnogo pol� ta elektronno� gustini v kvantov�� toqc� InAs� �ka �
��
R� Pelewak� �� Baqins�ki�
4
3
5
2
1
2
4
5
3
1
Ris� � Koordinatna zale�n�st� elektrostatiqnogo potenc�alu ��r� v
kvantov�� toqc� rozm�rom R� � �� �A pri r�znih znaqenn�h parametra
� � � �� �
����� ������ ������ ������ suc�l�na l�n�� � T � ��K �
punktirna l�n�� � T � ���K �
matric�GaAs �na�vn�st� matric� v�dobra�eno v graniqnih umovah �
��
z takimi parametrami� ac � ����
eB �
�� � � �� � � E� � �� eB � ���
� � ��
eB � �� � ��r�
r����
�
A
� �� ���B ���� E� � �
d�
dr
r����
�
A
�
���kBcM ����
Qislove obqislenn� elektrostatiqnogo potenc�alu � �r� � napru�
�enost� elektriqnogo pol� E �r� ta elektronno� gustini n �r� v kvan�
tov�� toqc� InAs provedeno dl�
� qlen�v r�du �
�� z v�dnosno� pohib�
ko� � � � ��� �
Na ris� �� navedeno koordinatn� zale�nost� elektrostatiqnogo
potenc�alu � �r� � napru�enost� elektriqnogo pol� E �r� ta pereroz�
pod�lu elektronno� gustini n �r� v kvantov�� toqc� dl� takih znaqen�
parametra � � � �� �
� ���� �� ���� �� ���� �� ����
�k baqimo �ris� �� �z zb�l�xenn�m parametra �temperaturi�
potenc�al � �r� zrosta� �spada��� Zokrema� zb�l�xenn� parametra
v �nterval� �� � ��� prizvodit� do zb�l�xenn� elektrostatiqnogo po�
tenc�alu v centr� kvantovo� toqki rad�usa R� � �� �A pri temperatur�
T � ��K na �mV� a pri T � ���K � na
�mV�
Rozpod�l napru�enost� elektriqnogo pol� u kvantov�� toqc�
�ris�
� ma� nemonotonni� harakter z m�n�mumom� roztaxuvann� �kogo
z rostom temperaturi zsuva�t�s� do centru kvantovo� toqki� z zb�l��
xenn�m parametra v �nterval� �� � ��� sposter�ga�t�s� zmenxenn�
Anal�tiqni� rozv��zok r�vn�nn� Puassona�Ferm��D�raka ���
napru�enost� elektriqnogo pol� na ��kV�sm pri T � ���K �
3
2
1
5
4
3
2
4
1
5
-50
-100
-150
E(r), kВ/см
Ris�
� Rozpod�l napru�enost� elektriqnogo pol� E �r� v kvantov��
toqc� rozm�rom R� � �� �A pri r�znih znaqenn�h parametra � � �
�� �
����� ������ ������ ������ suc�l�na l�n�� � T � ��K � punktirna
l�n�� � T � ���K �
2
5
1
4
3
Ris� �� Rozpod�l elektronno� koncentrac�� u kvantov�� toqc� rozm�rom
R� � �� �A pri r�znih znaqenn�h parametra � � � �� �
� ���� ��
���� � � ���� � � ���� suc�l�na l�n�� � T � ��K � punktirna l�n�� �
T � ���K �
��� R� Pelewak� �� Baqins�ki�
�k vipliva� z graf�k�v� predstavlenih na ris� �� z v�ddalenn�m v�d
centru kvantovo� toqki koncentrac�� elektron�v monotonno zrosta��
Priqomu z� zmenxenn�m temperaturi koncentrac�� elektron�v u kvan�
tov�� toqc� zrosta�� a harakter rozpod�lu praktiqno sta� r�vnom�rnim
�ris� � � suc�l�na l�n����
L�TERATURA
� � Derjaguin B�V�� Landau L�D� Acta Physicochim� USSR� �� � ��� ��
�
� Verwey E�J�W�� Overbeek J�Th�G� Theory of the Stability of Lyophobic
Colloids� Amsterdam� Elsevier� ��
�
��� Peleshchak R�M�� Bachynsky I�Ya� Cond� Matt� Phys�
���� ���
�
��� Gibson E�G�� Phys� Fluids� ���� ��
�
��� Nefedov A�P�� Petrov O�F�� Hrapak S�A�Fizika plazmy� ��
� ���
�
��� �kovlenko S�I� Kratkie soobweni� po fizike FIAN�
��
� �
��� Gundienkov V�A�� �kovlenko S�I�
�TF�
��
� ���� ��
�
� �kovlenko S�I� Pis�ma v
TF�
�� � ��� ��
��� D��qkov L�G� Pis�ma v
TF�
���� ��� ��
� �� Brounkov P�N�� Polimeni A�� Stoddart S�T�� Henini M�� Eaves L�� Main
P�C� Appl� Phys� Lett� ��
� ��� ��
�
� � Gibson E�G�� Phys� Fluids� ���� ��
�
�
� Pelewak R�M�� Baqins�ki� ���� UF
�
���� ��� ��
� �� Novikov B�V�� Zegr� G�G�� Pelewak R�M�� Dan�kiv O�O�� Ga�sin V�A��
Talalaev V�G�� Xtrom I�V�� Cyrlin G��� FTP�
��
� ��� ��
ANALYTICAL SOLUTION
OF THE POISSON�FERMI�DIRAC EQUATION
FOR STRAINED NANOHETEROSYSTEM
WITH QUANTUM DOTS
OF SPHERICAL AND AXIAL SYMMETRIES
Roman PELESHCHAK� Ihor BACHYNSKY
Ivan Franco Drohobych State Pedagogical University�
� Ivan Franco Str�� Drohobych� Lviv Region
��
e�mail�slajider�rambler�ru
The algorithm of the solution of the Poisson�Fermi�Dirac equation for a
case of spherical and cylindrical geometries is constructed in the form of a
logarithm from a power series which� taking into account a deformation po�
tential� describe the allocation of an electrostatic potential and an electric �eld
strength in a quantum dot surrounded by a matrix�
|