Від моделі Ізінґа до статистичної фізики складних систем
It is a short essay on statistical physics of complex systems a trend of studies which nowadays acquires all features of a well defined branch of science with its own subject of analysis system of notions and methods. The Ising model is chosen as a starting point for an expos e. Apart from conceptua...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Праці наукового товариства ім. Шевченка |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Західний науковий центр НАН України і МОН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/75372 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Від моделі Ізінґа до статистичної фізики складних систем / Ю. Головач // Праці Наукового товариства ім. Шевченка. — Л., 2011. — Т. 8: Фізичний збірник. — С. 429-449. — Бібліогр.: 35 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860123873831288832 |
|---|---|
| author | Головач, Ю. |
| author_facet | Головач, Ю. |
| citation_txt | Від моделі Ізінґа до статистичної фізики складних систем / Ю. Головач // Праці Наукового товариства ім. Шевченка. — Л., 2011. — Т. 8: Фізичний збірник. — С. 429-449. — Бібліогр.: 35 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Праці наукового товариства ім. Шевченка |
| description | It is a short essay on statistical physics of complex systems a trend of studies which nowadays acquires all features of a well defined branch of science with its own subject of analysis system of notions and methods. The Ising model is chosen as a starting point for an expos e. Apart from conceptual simplicity, such a choice makes it possible to follow the formation and development of the phase transition theory in the Lviv school of statistical physics. Considerations adduced herein give a brief account of a talk given at the workshop on the occasion of academician I .R. Yukhnovskii s 85- th anniversary.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:40:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
Fiziqni� zbirnik NTX t�� ���� p� ���
V�D MODEL� �Z�N�A DO STATISTIQNO� F�ZIKI
SKLADNIH SISTEM
�r�� GOLOVAQ
�nstitut f�ziki kondensovanih sistem NAN Ukra�ni�
vul� Sv�nc�c�kogo �� L�v�v �����
Redakci� otrimala statt� �� l�togo ���� r�
Statt� � korotkim narisom pro statistiqnu f�ziku skladnih
sistem � napr�mok dosl�d�en�� wo zaraz nabuva� harakternih ris
dobre sformovano� d�l�nki nauki z� svo�m ob��ktom dosl�d�en��
pon�t��nim aparatom� metodami anal�zu� V�dpravno� toqko� roz�
pov�d� obrano model� �z�n a� Kr�m konceptual�no� prostoti� ta�
ki� vib�r da� zmogu proste�iti za stanovlenn�m ta rozvitkom
teor�� fazovih perehod�v u l�v�vs�k�� xkol� statistiqno� f�ziki�
Priveden� m�rkuvann� � stislim vikladom dopov�d�� vigoloxeno�
na qitann�h� prisv�qenih ��r�qq� akadem�ka I�R�
hnovs�kogo�
� VSTUP� WO VIVQA� STATISTIQNA F�ZIKA
SKLADNIH SISTEM
Pon�tt� skladna sistema postupovo sta� odnim �z p�dstavovih pon�t�
suqasno� nauki� qi� xirxe� vse qast�xe vistupa� v zagal�nokul�tur�
nomu kontekst�� Tak� poxuk za zapitom complex system na poxukovomu
server� Google znahodit� ponad �� mln� cituvan�� Dl� por�vn�nn��
ce� �e server na zapit �atom da� �
mln� poklik�v� a �molecule �
ponad �� mln� Zrostann� kola zastosuvan� c�ogo pon�tt�� a tako� vi�
�vlenn� qi usv�domlenn� vse xirxogo kola �viw� de vono zastosovne�
privodit� do trudnow�v pri �ogo strogomu oznaqenn�� �k pravilo�
ma�t�s� na uvaz� sistema� �ka sklada�t�s� z bagat�oh z��dnanih m��
sobo� qastin� wo �k c�le volod��t� vlastivost�mi� ne oqevidnimi �z
vlastivoste� okremih �� qastin
���� Takim qinom� nauka pro skladn�
sistemi vivqa�� �k skladov� qastini porod�u�t� kolektivnu poved�n�
ku sistemi� U qitaqa�f�zika� mabut�� v�drazu vinikne dumka pro bez�
perspektivn�st� tako� �nterpretac�� dl� f�ziqnih bagatoqastinkovih
sistem� d��sno� u f�zic� viniklo �qi� toqn�xe� zaraz formu�t�s��
�nxe rozum�nn� skladno� sistemi� sistema � skladno�� �kwo �� po�
ved�nka kardinal�nim qinom zale�it� v�d detale� sistemi
��� Pri
c�omu ma�t�s� na uvaz� tak� �viwa �k determ�n�stiqni� haos� kvan�
tove zaplutuvann�� viniknenn� tretinno� strukturi makromolekul
PACS numbers �������m� �������q� ������ k
�Pokliki na l�teraturn� d�erela vkazu�t� na de�k� va�liv� qi c�kav�
z pogl�du
avtora
roboti� �h perel�k ne pretendu� na viqerpn�st� qi povnotu�
��� ��Golovaq
b�lk�v� viniknenn� stanu sp�novogo skla� towo� Zgadan� �viwa du�e
r�zn� � teoretiqno dosl�d�u�t�s� r�znimi d�l�nkami f�ziki �teor��
dinam�qnih sistem� kvantova mehan�ka� statistiqna f�zika�� Prote �h
sp�l�no� riso� � te� wo �nf�n�tezimal�na zm�na u �r�znih za f�ziq�
no� prirodo�� poqatkovih umovah prizvodit� do dokor�nno r�znih
scenar��v evol�c���
V c�� statt� �time mova pro statistiqnu f�ziku skladnih sistem�
A ot�e� pro kolektivn� efekti� More is di�erent � taki� zagolovok
statt� Nobel�vs�kogo laureata F�l�pa Andersona
��� wo qasto pri�
vodit�s� �k pevni� poqatok v�dl�ku c��� nauki� Peredus�m ma�t�s�
na uvaz� kolektivna poved�nka� �ku ne mo�na peredbaqiti na p�dstav�
vlastivoste� okremih skladovih abo � vza�mod�� m�� dek�l�koma skla�
dovimi
��� Taka poved�nka mo�e vinikati� napriklad� p�d vplivom
frustrac�� qi strukturnogo bezladu� �k rezul�tat� r�vnova�ni� stan
t��ko dos�gnuti� a v�dguk na zburenn� � du�e pov�l�nim � qasto vi�
padkovim
�� �� ��
�� Anal�z takih efekt�v priv�v do rozrobki me�
tod�v ta viniknenn� koncepc��� wo z qasom buli usp�xno zastosovan�
dl� opisu formal�no pod�bnih �viw u h�m�qnih� b�olog�qnih� soc�al��
nih ta �nxih sistemah� wo sklada�t�s� z bagat�oh tak zvanih agent�v
nef�ziqno� prirodi �div�� napriklad
�� ���� Tomu qasto do zadaq stati�
stiqno� f�ziki skladnih sistem v�dnos�t� � tak zvan� ekzotiqn� zadaq�
statiqno� f�ziki� koli metodi � koncepc�� c��� nauki zastosovu�t�s�
do nef�ziqnih ob��kt�v
���
Ni�qe mi privedemo korotki� naris pro statistiqnu f�ziku
skladnih sistem � napr�mok dosl�d�en�� wo zaraz nabuva� harak�
ternih ris dobre sformovano� d�l�nki nauki �z svo�m ob��ktom do�
sl�d�en�� pon�t��nim aparatom� metodami anal�zu� V�dpravno� toq�
ko� rozpov�d� oberemo model� z�n
a� Kr�m konceptual�no� prostoti�
taki� vib�r da� zmogu proste�iti za stanovlenn�m ta rozvitkom te�
or�� fazovih perehod�v u l�v�vs�k�� xkol� statistiqno� f�ziki� Prive�
den� m�rkuvann� � stislim vikladom dopov�d�� vigoloxeno� na qitan�
n�h� prisv�qenih ���r�qq� akadem�ka I�R� �hnovs�kogo� Avtor vva�
�a� visoko� qest� dl� sebe podati c� statt� u zb�rku� prisv�qenu
gorev� Rafa�loviqu� � tim samim doluqitis� do wirih v�tan� �ogo
qislennih � vd�qnih uqn�v�
Plan dal�xo� rozpov�d� taki�� v rozd�l� � na p�dstav� model� z�n
a
bude vvedeno osnovn� f�ziqn� pon�tt�� va�liv� dl� podal�xo� roz�
pov�d�� a tako� korotko zgadano pro dosl�d�enn� c��� model� v robotah
I�R� �hnovs�kogo ta �ogo uqn�v� Rozd�li � ta � prisv�qen� rozgl�du
de�kih zadaq statistiqno� f�ziki skladnih sistem� priqomu v rozd�l�
� rozgl�nuto tradic��n� f�ziqn� ob��kti� a rozd�l � prisv�qeni� ekzo�
tiqnim zadaqam statistiqno� f�ziki� M�rkuvann� pro suqasne � ma��
butn� statistiqno� f�ziki skladnih sistem priveden� v rozd�l� ��
� MODEL� �Z�N�A V SV�T� TA MODEL� �Z�N�A U L�VOV�
Tradic��no �stor�� model� z�n
a rozpoqina�t�s� �z zadaq�� postavle�
no� V�l�gel�mom Lencom svo�mu uqnev�� Ernstu z�n
u� Rozv��zok od�
novim�rnogo � d � � � var�antu c��� model� stav osnovo� doktors�ko�
disertac�� Ernsta z�n
a
��� � spriqiniv pevne rozqaruvann� v�dsut�
n�st� feromagnetizmu� viniknenn� �kogo model� �kraz � bula pokli�
V�d model� �z�n�a do statistiqno� f�ziki skladnih sistem ���
kana po�sniti� Odnak� �k stalo zrozum�lo z podal�xih dosl�d�en��
viklad �kih � osnovo� p�druqnik�v z teor�� fazovih perehod�v ta kri�
tiqnih �viw
���� prostorova vim�rn�st� d � � � ni�n�o� kritiq�
no� vim�rn�st� c��� model�� feromagnetizm prisutn�� pri d � � �
stor�� dosl�d�en� ta zastosuvan� c��� model� bagata � r�znoman�tna
�� ��� �� �k bagatim na pod�� � nasiqenim bulo �itt� samogo Ernsta
z�n
a �Ernst Ising� ����������� K�ol�n� N�meqqina � ����������� Peor�a�
ll�no�s� SXA�
����
Ris� �� Sin Ernsta z�n
a Tom v m�st� Rek�n
en�Merx �L�ksembur
�
na vulic�� wo nosit� �m�� bat�ka
���� Tut s�m�� z�n
�v r�tuvalas� v
qasi drugo� sv�tovo� v��ni�
V kontekst� podal�xo� rozpov�d� bude va�livo zapisati gam�l��
ton�an model� z�n
a� Nagada�mo� wo model� opisu� sistemu N
vza�mod��qih klasiqnih vektor�v ��sp�n�v �� roztaxovanih na vuzlah
d �vim�rno�
ratki� Ko�en vektor mo�e perebuvati v dvoh stanah �vgo�
ru � vniz��
H � �
X
�i�j�
SiSj � h
X
i
Si� ���
Tut p�dsumovuvann� vedet�s� za na�bli�qimi sus�dami na d �vim�rn��
ratc�� Si � �� � a h � zovn�xn� magn�tne pole� Taki� prosti�
gam�l�ton�an bagatoqastinkovo� vza�mod��qo� sistemi privodit� �pri
d � � � u termodinam�qn�� granic� N �� do viniknenn� kolektivnogo
efektu� pri niz�kih temperaturah T � Tc pri v�dsutnost� zovn�xn�o�
go pol� h � � u sistem� prisutn� spontanna namagn�qen�st� M � a pri
��� ��Golovaq
malih � � jT � Tcj�Tc � h termodinam�qn� veliqini opisu�t�s� ste�
penevimi zakonami �zakonami ske�l�n�u�� Tak� temperaturna zale��
n�st� spontanno� namagn�qenost�� pitomo� teplo�mnost� � �zoterm�qno�
spri�n�tlivost� pri h � � ma� vigl�d�
M � B�� � ch � A���� � �T � �
���� � ���
de B�A���� � kritiqn� ampl�tudi pri T�Tc � �� � v�dpov�dno� a �� ��
� kritiqn� pokazniki� Pri � � � c� � termodinam�qn� veliqini �
stepenevimi funkc��mi magn�tnogo pol��
h � DcM jM j
��� � ch � Ach
��c � �T � �ch
��c � ���
z kritiqnimi ampl�tudami Dc� Ac��c � kritiqnimi pokaznikami
� �c� c � V sam�� kritiqn�� toqc� stepenevo� sta� � asimptotika sp�n�
sp�novo� korel�c��no� funkc��� Okr�m ske�l�n
u� osoblivo� riso�
kritiqno� poved�nki � �� un�versal�n�st�� kritiqn� pokazniki ta pev�
n� sp�vv�dnoxenn� kritiqnih ampl�tud zale�at� lixe v�d tak zvanih
global�nih zm�nnih �takih �k vim�rn�st� prostoru� vim�rn�st� ta si�
metr�� parametra por�dku�
���� Tomu kritiqna poved�nka du�e r�znih
sistem opisu�t�s� timi � samimi zakonami �ka�ut�� wo c� r�zn� si�
stemi zale�at� do odnogo klasu un�versal�nost��� � tomu taka prosta
model�� �k model� z�n
a� da� k�l�k�sno adekvatni� opis kritiqnost�
takih r�znih ob��kt�v� �k odnov�sn� magnetiki� prost� r�dini� b�narn�
splavi ta �n�
Zvernemo uvagu qitaqa na tri koncepc��� zm�st �kih da� zmogu pro�
�sniti rozgl�d model� z�n
a� �i� viniknenn� skladno� kritiqno� po�
ved�nki generovano� prostim zakonom m��qastinkovo� vza�mod��� �ii�
ske�l�n
� �iii� un�versal�n�st�� U dvoh nastupnih rozd�lah mi pro�l��
stru�mo� �kim novim zm�stom napovn��t�s� c� koncepc�� pri rozgl�d�
r�znih zadaq statistiqno� f�ziki skladnih sistem� Pered tim� �k
pere�ti do rozgl�du takih zadaq� zaznaqimo� wo viniknenn� cih kon�
cepc�� pov��zane � z d��l�n�st� l�v�vs�ko� xkoli statistiqno� f�ziki�
Perx� roboti I�R� �hnovs�kogo ta �ogo uqn�v� v �kih rozgl�dalas�
trivim�rna model� z�n
a� datu�t�s� poqatkom ���h rok�v minulogo
stol�tt� �div� p�dsumkov� monograf��
�
� ta Ris� ��� Ce qas� koli
tvorilas� suqasna teor�� fazovih perehod�v� � hoqet�s� z pri�mn�st�
v�dznaqiti vklad gora Rafa�loviqa ta �ogo uqn�v � posl�dovnik�v v
stanovlenn� ta rozvitok c��� teor���
� F�ZIQN� OB��KTI �K SKLADN� SISTEMI
T��ka � marna sprava perel�quvati r�zn� f�ziqn� ob��kti� qi nav�t�
klasi ob��kt�v� v �kih sposter�ga�t�s� harakterna dl� skladnih si�
stem poved�nka� Ni�qe mi privedemo lixe dva prikladi� odin �z nih
stosu�t�s� f�ziki tverdogo t�la� a �nxi� � m��ko� reqovini �soft mat�
ter�� C� prikladi privedeno � tomu� wo voni stosu�t�s� zovs�m r�znih
za svo�� prirodo� ob��kt�v � frustrovanih � strukturno nevpor�dko�
vanih magnetik�v �p�drozd�l ���� � pol�mernih makromolekul �p�drozd�l
����� � tomu� wo skladna kooperativna poved�nka keru�t�s� v nih r�zni�
mi parametrami � temperaturo� ta h�m�qnim potenc�alom� �� narext��
V�d model� �z�n�a do statistiqno� f�ziki skladnih sistem ���
Ris� �� Stor�nka z preprintu I�R� �hnovs�kogo� ��K� Rudavs�ko�
go Primenenie metoda kollektivnyh peremennyh k modeli Izinga� I�
Statistiqeska� summa
���� tak poqinalis� dosl�d�enn� trivim�rno�
model� z�n
a u L�vov��
tomu� wo �h dosl�d�enn� stosuvalos� kola zac�kavlenn� avtora � �ogo
koleg
��� ��� ����
��� Sp�nov� �ratkov� sistemi
Klasiqnim prikladom skladno� sistemi� wo opisu�t�s� metodami sta�
tistiqno� f�ziki� � sp�nove sklo � strukturno nevpor�dkovani� mag�
netik �z frustrovanimi vza�mod��mi� Sp�nove sklo harakterne ba�
gat�ma metastab�l�nimi stanami� wo� v svo� qergu� privodit� do pri�
sutnost� v sistem� bagat�oh qasovih masxtab�v
���� Skladn�st� opi�
su sp�novogo skla privela� zokrema� do rozgl�du qastkovih vipadk�v�
wo opisu�t�s� regul�rnimi �strukturno�vpor�dkovanimi� frustro�
vanimi model�mi� qi strukturno nevpor�dkovanimi model�mi� ale
bez frustrac��
���� Rozgl�nemo dek�l�ka takih sp�novih modele��
V to� qas �k k�l�k�sni� anal�z kritiqno� poved�nki pri fazovomu
perehod� v magnetovpor�dkovani� stan v �deal�zovanih bazovih mode�
l�h �takih� �k opisana v poperedn�omu rozd�l� model� z�n
a� na s�o�
��� ��Golovaq
godn� zd��sneni� z visoko� toqn�st� �� faktiqno� sklada� golovni�
zm�st suqasno� teor�� fazovih perehod�v
��� ���� opis kritiqnost� za
prisutnost� takih real�stiqnih umov �k strukturni� bezlad� an�zo�
trop��� frustrac��� qi efekti sk�nqenogo ob��mu � aktual�no�� va��
ko� � c�kavo� zadaqe�� Taka zadaqa aktual�na� bo real�n� ob��kti�
v �kih v�dbuva�t�s� magn�tni� fazovi� pereh�d� qasto harakterizu�
�t�s� strukturnim bezladom zam�wenn� �tverd� rozqini antiferomag�
netik�v ta �h nemagn�tnih �zomorf�v�� lokal�no� vipadkovo� an�zo�
trop��� �amorfn� splavi r�dk�snozemel�nih z pereh�dnimi metalami��
frustrac��mi �xaruvat� trikutn� antiferomagnetiki� gel�magneti�
ki�� Taka zadaqa va�ka� bo por�d �z zviqa�nimi trudnowami� wo vi�
nika�t� pri opis� kritiqnost�� dovodit�s� dolati trudnow� teor��
nevpor�dkovanih sistem� A c�kav�st� � perspektivn�st� tako� zadaq�
pol�ga� � v tomu� wo zavd�ki un�versal�nost� kritiqno� poved�nki�
opisan� efekti mo�ut� sposter�gatis� ne lixe v magn�tnih sistemah
� ne lixe v ob��ktah f�ziki kondensovanih sistem�
Ris� �� �ratkova model� m �vektornogo rozvedenogo magneti�
ka� qastina vuzl�v d �vim�rno�
ratki za�n�ta klasiqnimi m �
komponentnimi vektorami �elementarnimi magn�tnimi momentami��
wo vza�mod��t� m�� sobo�� Rexta vuzl�v v�l�na abo za�n�ta nemag�
n�tnimi atomami
��� b �
Odnim �z sposob�v uzagal�nenn� model� z�n
a dl� rozgl�du
strukturno�nevpor�dkovanih sistem �
ratkova model� m �vektornogo
rozvedenogo magnetika �div� Ris� �� z gam�l�ton�anom�
H � �
X
�i�j�
SiSjcicj� ���
Gam�l�ton�an ��� zapisani� za v�dsutnost� zovn�xn�ogo pol� � m�stit�
skal�rni� dobutok m �komponentnih vektor�v Si � Sj � lokal�zovanih
na vuzlah i� j � v�dpov�dno� a qisla zapovnenn� ci pri�ma�t� znaqen�
n� � � �kwo vuzol i za�n�ti� sp�nom � � � �kwo vuzol i v�l�ni� �qi
V�d model� �z�n�a do statistiqno� f�ziki skladnih sistem ���
G
P
R
γeff
lnl1
1.05
1.1
1.15
1.2
1.25
1.3
-50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
-100 -75 -50 -25 0
0,95
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
1,25
1,30
1,35
1,40
1,45
1,50
1,55
1,60
10
7 6
9
5
8
γ
eff
ln l
a� b�
Ris� �� Teoretiqn� obqislenn� zm�ni znaqenn� efektivnogo kritiq�
nogo pokaznika �zoterm�qno� spri�n�tlivost� e� pri nabli�enn� do
kritiqno� toqki� R�zn� kriv� v�dpov�da�t� r�znim mo�livim sce�
nar��m efektivno� kritiqno� poved�nki� Graniqne znaqenn� teoretiq�
nogo renormgrupovogo parametru �� � v�dpov�da� granic� T � Tc � a�
trivim�rna rozvedena model� z�n
a ���� pri d � � � m � � �
��� a � Spo�
ster�ga�t�s� kritiqna poved�nka� wo v�dpov�da� klasam un�versal��
nost�
ausovo� model� �G�� qisto� �P� ta rozvedeno� �R� model� z�n
a�
b� trivim�rna model� z v�ss� an�zotrop��� vipadkovo rozpod�leno�
vzdov� reber m �vim�rnogo g�perkuba ���� pri d � � � m � � �
��� c �
R�zn� plato v�dpov�da�t� r�znim klasam un�versal�nost��
za�n�ti� nemagn�tnim atomom�� Rozgl�nemo situac��� koli magn�tn�
� nemagn�tn� vuzli zaf�ksovan� v pevn�� konf�gurac��� ce tak zvani�
zamoro�eni� bezlad �quenched disorder�
���� v�n real�zu�t�s�� napri�
klad� pri xvidk�� zm�n� temperaturi rozplavu� koli qas relaksac��
sistemi do r�vnova�nogo stanu nabagato b�l�xi� v�d tipovogo qasu
spostere�enn�� Vi�vl��t�s�� wo nav�t� pri slabkomu rozvedenn� ne�
magn�tno� komponento�� koli koncentrac�� magn�tnih vuzl�v c � � �
a korel�c�� v rozpod�l� za�n�tih � v�l�nih vuzl�v v�dsutn�� v sistem�
sposter�ga�t�s� skladna kritiqna poved�nka� Pri c�omu mo�e v�dbu�
vatis�� zokrema� zm�na klasu un�versal�nost� � koli pri rozvedenn�
zm�n��t�s� asimptotiqn� znaqenn� kritiqnih pokaznik�v ta v�dno�
xen� kritiqnih ampl�tud� abo skladna efektivna kritiqna poved�nka
� koli pri nabli�enn� do kritiqno� toqki v sistem� posl�dovno spo�
ster�ga�t�s� stepenev� zakoni ���� ��� haraktern� dl� dek�l�koh r�znih
klas�v un�versal�nost��
Na Ris� �a zobra�eno odin �z rezul�tat�v teoretiqnogo anal�zu
kritiqno� poved�nki model� ��� pri d � � � m � � �trivim�rna ro�
zvedena model� z�n
a� metodom teoretiko�pol�ovo� renormal�zac��no�
grupi
��� a � Pri nabli�enn� do kritiqno� toqki � ��T � Tc�� � � mo�
�ut� sposter�gatis� r�zn� scenar�� efektivno� kritiqno� poved�nki�
wo suprovod�u� fazovi� pereh�d drugogo rodu v magnetovpor�dkova�
ni� stan� B�l�xe togo� mo�e zm�n�vatis� � tip fazovogo perehodu�
Spriqinenu zamoro�enim bezladom zm�nu tipu fazovogo perehodu
��
��Golovaq
dobre prosl�dkuvati na priklad� model� z vipadkovo� an�zotrop����
wo opisu�t�s� gam�l�ton�anom
��� c �
H � �
X
�i�j�
SiSj �
X
i
D
�
Si�xi
��
� ���
Na v�dm�nu v�d gam�l�ton�anu rozvedeno� model� ���� tut magn�tn� momen�
ti za�ma�t� vs� vuzli
ratki� Strukturni� bezlad opisu�t�s� v ���
drugim dodankom� de �xi � vipadkovo spr�movani� zamoro�eni� odi�
niqni� vektor� a D � � � stala an�zotrop��� Ce� dodanok robit� spr��
muvann� lokal�nogo magn�tnogo momentu vzdov� lokal�no� os� vipad�
kovo� an�zotrop�� energetiqno vig�dnim� Taka model� xiroko zastoso�
vu�t�s� dl� opisu amorfnih magnetik�v� �k p�dtverd�u�t� rezul��
tati eksperiment�v� teoretiqnih rozrahunk�v � qislovogo model�van�
n�� nav�t� slaba �D � � � an�zotrop�� mo�e spriqiniti kardinal�n�
zm�ni u kritiqn�� poved�nc�� Zokrema� v trivim�rn�� model� feromag�
netizm v�dsutn�� pri �zotropno rozpod�len�� lokal�n�� os� an�zotrop��
� niz�kotemperaturna faza � fazo� sp�novogo skla� Dl� an�zotrop�
nogo rozpod�lu fazovi� pereh�d mo�e zalixatis� fazovim perehodom
drugogo rodu� prote klas un�versal�nost� zm�n��t�s� �div� Ris� �b �
ogl�d
��� c ��
Prirodnimi uzagal�nenn�mi ta ur�znoman�tnenn�m opisanih vi�
we modele� ���� ��� � vrahuvann� korel�c�� m�� vipadkovimi zm�nni�
mi �dl� opisu tak zvanih prot��nih dom�xok�� rozgl�d �nxih tip�v
strukturnogo bezladu �vipadkov� pol�� vipadkov� vza�mod��� ta �h su�
kupnogo vplivu� Tak� zadaq� �kraz � rozgl�da�t�s� pri anal�z� ko�
operativno� poved�nki sp�novih
ratkovih modele�
��� ���� Same
pri �h rozgl�d� vinika� suqasne rozum�nn� kooperativno� poved�nki
skladnih sistem� dl� �ko� haraktern� viniknenn� skladno� kritiq�
no� poved�nki generovano� prostim zakonom m��qastinkovo� vza�mod���
ske�l�n
ta un�versal�n�st� � koncepc�� zaprovad�en� v poperedn�omu
rozd�l� na priklad� model� z�n
a�
��� M��ka reqovina
Koncepc�� ske�l�ngu v okol� fazovogo perehodu drugogo rodu zna�xla
sv�� dal�xi� rozvitok � qislenn� zastosuvann� u f�zic� m��ko� reqo�
vini� We v robotah Nobel�vs�kogo laureata ta zakordonnogo d��sno�
go qlena NAN Ukra�ni P��ra�
�l� de
ena �Pierre�Gilles de Gennes�
���� � ����� vkazano na gliboki� zv��zok m�� f�ziko� kritiqnih �viw
� f�ziko� makromolekul
���� Zokrema� pon�tt� skladnost� f�guru� u
formul�vann� Nobel�vs�kogo kom�tetu� premi� ���� roku bula prisu�
d�ena P��
� de
enu za ����discovering that methods developed for study�
ing order phenomena in simple systems can be generalized to more complex
forms of matter� in particular to liquid crystals and polymers���
�����
Dobre v�domo� wo konformac��n� vlastivost� dovgih pol�mernih
lanc�g�v v dobromu rozqinniku p�dl�ga�t� stepenevim zakonam � za�
konam ske�l�n
u� Na v�dm�nu v�d temperaturno� qi pol�ovo� zale�nost�
�Kursiv m��
��G�
V�d model� �z�n�a do statistiqno� f�ziki skladnih sistem ���
termodinam�qnih veliqin v okol� toqki fazovogo perehodu ���� ���� dl�
gnuqkih pol�mernih lanc�g�v stepenev� zakoni vinika�t� v granic�
N �� � de N � k�l�k�st� monomer�v� wo utvor��t� pol�merni� lan�
c�g� Tak� seredn�� harakterni� rozm�r R i k�l�k�st� konf�gurac�� Z
pol�mernogo klubka zrosta�t� z N �k
R � N� � Z � zNN��� � �
�
Tut z � neun�versal�na stala �fugativn�st��� a �� � prikladi
pol�mernih kritiqnih pokaznik�v� Pod�bno �k v teor�� kritiqnih
�viw� dl� gnuqkogo pol�meru c� pokazniki un�versal�n� � nezale�n�
v�d osoblivoste� h�m�qnogo skladu makromolekuli � zale�at� lixe
v�d vim�rnost� prostoru� Poxuk formi zakon�v �
� priv�v ne lixe do
stvorenn� suqasno� teoretiqno� f�ziki � h�m�� pol�mer�v� ale � dozvoliv
vstanoviti gliboki� zv��zok� wo �snu� m�� f�ziko� kritiqnih �viw
� f�ziko� makromolekul� Zokrema� ske�l�n
ov� vlastivost� pol�mer�
nih lanc�g�v nale�at� do togo � klasu un�versal�nost�� wo � vlasti�
vost�
ratkovih blukan� �z samounikann�m �self avoiding walks� SAW��
A ostann�� v svo� qergu� �deal�no opisu�t�s� m �vektorno� modell�
v granic� m � � � V poperedn�omu p�drozd�l� mi privodili gam�l��
ton�an rozvedeno� m �vektorno� model�� formula ���� Pri v�dsutnost�
rozvedenn� ce� gam�l�ton�an ma� prostu formu�
H � �
X
�i�j�
SiSj � ���
Vim�rn�st� m vhodit� �k vim�rn�st� vektoraS � �S���� S���� � � � � S�m��
� tomu granic� m� � � strogo ka�uqi� ne ma� sensu dl� gam�l�ton�anu
���� �k pokazano v robotah de
ena � �ogo xkoli� c� granic� nabu�
va� sensu pri obqislenn� termodinam�ki� anal�tiqne prodov�enn� za
m robit� zadaqu obqislenn� termodinam�qnih funkc�� model� dobre
oznaqeno� v granic� m � � � B�l�xe togo� v c�� granic� prirodn�m
qinom vinika� statistika blukan� �z samounikann�mi
����
Stepenevim zakonam p�dl�ga�t� � �nx� spostere�uvan�� wo opisu�
�t� konformac��n� vlastivost� pol�mernih lanc�g�v ta �nxih makro�
molekul�rnih utvoren�� skladnih �k za topolog��� �pol�mern� s�tki
ta z�rki�� tak � za h�m�qnim skladom �kopol�meri ta kopol�mern� s�tki��
Tak� k�l�k�st� konf�gurac�� z�rkovogo pol�mera � makromolekuli� wo
sklada�t�s� z pol�mernih lakc�g�v� pri�dnanih do sp�l�nogo koru �
pod�bno do �
� p�dl�ga� zakonam ske�l�n
u
��� a �
Zf � zNfN�f�� � R�f�f�� � ���
Tut f � k�l�k�st� lanc�g�v� N� R � k�l�k�st� monomer�v u okre�
momu lanc�gu ta �ogo harakterni� rozm�r� a f �
f � un�versal�n�
kritiqn� pokazniki� Odnak teper global�nimi zm�nnimi� v�d �kih
zale�at� kritiqn� pokazniki � ne lixe vim�rn�st� prostoru d a �
funkc�onal�n�st� z�rkovogo pol�mera �k�l�k�st� okremih lanc�g�v v
z�rc�� f � Takim qinom� ske�l�n
z�rkovih pol�mer�v r�zno� funkc�o�
nal�nost� keru�t�s� r�znimi znaqenn�mi kritiqnih pokaznik�v� K�l��
k�st� global�nih zm�nnih zrosta� pri rozgl�d� bagatosortnih z�rko�
vih pol�mer�v� Tak� dl� z�rkovogo kopol�mera � pol�merno� z�rki� wo
��� ��Golovaq
sklada�t�s� z f� lanc�g�v sortu � � f� lanc�g�v sortu � � k�l�k�st�
konf�gurac�� zm�n��t�s� z R �k�
Zf�f� � R
�f�f��f�����f���� � ���
Tut kritiqn� pokazniki
f�f� zale�at� v�d tr�oh global�nih zm�nnih
d� f�� f� �
�Gf��f�
f� f�
�������� � � � � � �
���
���
��
�
�
�
�
�
�
m � �
�
f
m
��
�
�� ��� ��
�
�
�
�
�
��
a� b�
Ris� �� Un�versal�n� harakteristiki ske�l�n
u skladnih pol�mer�v
ta pov��zanih z cim �viw� a� pokaznik
f�f� ��� dvovim�rno� � d � � �
pol�merno� z�rki utvoreno� dvoma naborami f� � f� vza�mnouniknih
vipadkovih blukan� �random walks�
��� a � Shodinki na kilim� v�d�
pov�da�t� r�znic� u znaqenn�h� otrimanih v r�znih teoretiqnih p�d�
hodah� Znaqenn� na d�agonal� v�dpov�da�t� pokazniku ske�l�n
u od�
nor�dno� pol�merno� z�rki
�f ���� b� Spektral�na funkc��� wo k�l��
k�sno opisu� �viwe difuz�� qastinok b�l� adsorbera u form� z�rki z
m pol�mernih lanc�g�v
��� b �
Znann� privedenih viwe zakon�v �
�� ���� ��� da� zmogu ne t�l�ki
zd��sniti k�l�k�sni� opis nizki �viw� wo v�dbuva�t�s� za uqast�
pol�mer�v� a � teoretiqno po�sniti r�zn� efekti� dl� �kih va�liva
statistika vipadkovih blukan�� Sered takih efekt�v � fazove roz�
xaruvann� sum�x� z�rkovih pol�mer�v v poristomu seredoviw�� zm�na
vlastivoste� kerovanih difuz��� reakc�� �z pastkami� �kwo pastka
znahodit�s� na pol�mernomu lanc�gov� abo na pol�mern�� z�rc�� vinik�
nenn� mul�tifraktal�no� poved�nki u makromolekul�rnih sistemah�
zm�na rodu fazovogo perehodu pri rozqeplenn� molekuli DNK �unzip�
ping transition�
����
Na Ris� � zobra�en� rezul�tati teoretiqnogo anal�zu ske�l�n
u
skladnih pol�mer�v
��� a�b � Ris� �a zobra�a� pokaznik
f�f� ��� dvo�
vim�rno� dvosortno� pol�merno� z�rki �k funkc�� k�l�kost� lanc�g�v
f� � f� � Pri otrimann� c�ogo rezul�tatu vva�alos�� wo okrem� lan�
c�gi vedut� sebe �k vipadkov� blukann� ��m dozvoleno peretinatis���
U f�zic� makromolekul taka situac�� v�dpov�da� tak zvan�� � �toqc�
�analog�qn�� toqc� Bo�l� v termodinam�c�� koli real�ni� gaz vede se�
be �k �deal�ni��� Odnak statistic� vipadkovih blukan� p�dl�ga�t�
� �nx� zadaq�� zokrema� zadaqa pro difuz��� koli blukann� opisu�
V�d model� �z�n�a do statistiqno� f�ziki skladnih sistem ���
tra�ktor�� qastinki� Taka �nterpretac�� dozvolila zastosuvati re�
zul�tati dl� pokaznik�v
f�f� �� teor��� wo da� zmogu otrimati c�
rezul�tati� dl� opisu �viwa difuz�� qastinok b�l� pol�mernogo ad�
sorbera
��� b � Vi�vl��t�s�� wo k�l�k�sn� harakteristiki takogo �vi�
wa opisu�t�s� mul�tifraktal�nimi spektrami
���� �k�� �k pravilo�
va�ko p�dda�t�s� anal�tiqnomu opisu � pereva�no anal�zu�t�s� qi�
slovimi metodami� Ris� �b pokazu� odin �z rezul�tat�v anal�tiqnih
rozrahunk�v dl� tak zvano� spektral�no� funkc��� wo k�l�k�sno opisu�
�viwe difuz�� qastinok b�l� adsorbera u form� z�rki z m pol�mernih
lanc�g�v� Zauva�imo� wo rezul�tati dl� pokaznik�v
f�f� �Ris� �a�
otriman� za dopomogo� metodu teoretiko�pol�ovo� renormal�zac��no�
grupi� Takim qinom� �h zastosuvann� dl� obqislenn� spektral�no�
funkc�� proklada� m�stok m�� teor��� pol� ta teor��� mul�tifrak�
tal�v� wo samo po sob� � c�kavim rezul�tatom� �ki� mo�e mati dobr�
perspektivi�
Na zak�nqenn� c�ogo p�drozd�lu zvernemo uvagu na osoblivost� ko�
operativno� poved�nki skladnih pol�mernih sistem� sp�l�n� z osobli�
vost�mi
ratkovih magnetik�v p�drozd�lu ���� Ce znovu skladna kri�
tiqna poved�nka generovana prostim zakonom vza�mod�� ���� ske�l�n
�
�� ���� ��� ta un�versal�n�st��
� EKZOTIQN� ZADAQ� STATISTIQNO� F�ZIKI
V c�omu rozd�l� mi navedemo dek�l�ka priklad�v zadaq� de metodi �
koncepc�� statistiqno� f�ziki vikoristovu�t�s� dl� anal�zu sistem
bagat�oh agent�v nef�ziqno� prirodi� wo vza�mod��t� m�� sobo� � tak
zvanih ekzotiqnih zadaq statistiqno� f�ziki� Pri c�omu znovu nago�
los bude zrobleno na skladnu poved�nku� wo vinika� v takih sistemah
� prosl�dkovano pod�bn�st� c��� poved�nki do v�dpov�dnih efekt�v� wo
sposter�ga�t�s� v bagatoqastinkovih f�ziqnih zadaqah�
��� Soc�of�zika ekonof�zika ta �nx�
Mo�na vibirati r�zn� poqatki v�dl�ku zastosuvann� koncepc�� pri�
rodniqih nauk dl� opisu �viw� wo v�dbuva�t�s� v susp�l�stv�� Tak�
�k priklad takogo poxuku analog�� navod�t� vislovl�vann� davn�o�
grec�kogo f�losofa Empedokla ��E���
o���
� � � ��� � ���� do R�H��
pro te� wo l�di pod�bn� do r�din� de�k� legko zm�xu�t�s� m�� sobo��
�k vino � voda� a de�k� � n�� �k ol�� � voda�� Nabagato p�zn�xe� �tal��s��
ki� ekonom�st V�l�fredo Pareto �Vilfredo Pareto� ���� � ����� por�vn��
vav v�dkriti� nim v ���
roc� zakon rozpod�lu bagatstva z zakonami
Keplera�
Sam term�n soc�of�zika zustr�qa�t�s� v nazv� kni�ki bel�g��s�kogo
astronoma� matematika � soc�ologa Adol�fa Ketl� �Adolphe Quetelet�
���
� ������ Sur l�hommee et le developpement de ses facult�es� essai d�une
physique sociale �angl��s�ki� pereklad div� v
�
��� V c�� robot� Ketl�
proste�u� nizku analog�� m�� f�ziko� ta astronom���� z odnogo bo�
ku� ta susp�l�nim �itt�m� z �nxogo� po�sn�� va�liv�st� normal�nogo
�Pod�bna �de� zna�xla k�l�k�sne vira�enn� v tak zvan�� model� Xel�n a
div� ���
�
��� ��Golovaq
rozpod�lu dl� opisu susp�l�nih �viw� zaprovad�u� koncepc�� �sered�
n�o� l�dini z �ndiv�dual�nimi vipadkovimi fl�ktuac��mi� zapropo�
novani� nim �ndeks Ketl� �v�dnoxenn� vaga�r�st� � prikladom f�ziq�
no� koncepc�� harakteristiqno� stalo� v �itt� l�dini� Hoqa term�n
ekonof�zika vinik lixe naprik�nc� XX stol�tt�� odnim �z nar��nih
kamen�v c��� nauki vva�a�t�s� disertac�� francuz�kogo matematika
Lu� Baxel�� �Louis Bachelier� ���� � ���
� Th�eorie de la sp�eculation
���� V
c�� robot� Baxel�� vperxe zaprovadiv koncepc�� vipadkovih blukan�
�do po�vi model� A�nxta�na broun�vs�kogo ruhu v ���� r�� � stoha�
stiqnogo procesu �do rob�t A� Markova ����
� ta N� V�nera ������� �
vikoristav �h dl� anal�zu f�nans�v� a dl� vivedenn�
ausovogo roz�
pod�lu �mov�rnost� v�n vikoristav por�vn�nn� z anal�tiqno� teor���
perenosu tepla�
Odnak� ne zva�a�qi na zastosuvann� k�l�k�snih metod�v anal�zu�
f�ziqnih koncepc�� ta analog�� z f�ziqnimi sistemami� zgadan� roboti
Ketl�� Baxel�� ta �nxih korife�v priveli do viniknenn� takih nauk
�k soc�olog�� � f�nansova matematika� �k�� oqevidno� ne � d�l�nkami
f�ziki�� Cuqasne rozum�nn� zadaq soc�o� ta ekonof�ziki sformuvalo�
s� nabagato p�zn�xe� a pevno� m�ro� formu�t�s� � teper� pov��zane
vono� v perxu qergu� �z k�l�k�snim anal�zom togo kola �viw v susp�l��
stv� qi v ekonom�c�� de prosl�dkovu�t�s� pr�m� analog�� �z poved�nko�
skladnih bagatoqastinkovih sistem� Tak� pri rozgl�d� funkc�� roz�
pod�lu zm�ni c�n na rinku vi�vilos�
���� wo hv�st c��� funkc�� m�stit�
nabagato b�l�xe pod��� n�� ce vipliva� �z zaprovad�enogo v robotah
Baxel��
ausovogo rozpod�lu� Tak� rozpod�li otrimali nazvu roz�
pod�l�v �z tovstim hvostom �fat tail distributions�� a pod��� wo opisuvali�
s� takim hvostom otrimali nazvu r�dk�snih pod�� �rare events� qi cu�
nam�� �k pravilo� tak� hvosti mali stepenevu asimptotiku � c� asim�
ptotika qasto vi�vl�las� odnakovo� dl� r�znih �viw
���� A ot�e�
emp�riqno sposter�gavs� ske�l�n
� un�versal�n�st� � risi� harakter�
n� dl� poved�nki skladnih sistem� dl� k�l�k�snogo opisu � po�snenn�
�kih mo�na bulo zastosuvati potu�ni� aparat statistiqno� f�ziki�
Sam term�n ekonof�zika zavd�qu� svo�� po�v� v ���� amerikans��
komu f�zikov� D��nu Stenl� �H� Eugene �Gene� Stanley�� perxa konfe�
renc�� z c��� discipl�ni bula organ�zovana v Budapext� v lipn� ���� r�
�noxem Kertexom �J�anos Kert�esz� ta mre Kondorom �Imre Kondor�� De�
wo ran�xe vinik teper ma��e nev�ivani� term�n phynance �� physics
� �nance�� Zaraz ekonof�zic� prisv�qeno c�lu nizku monograf�� �na��
b�l�x citovano� zalixa�t�s�
����� okrem� �urnali qi �h rozd�li�
woroku v�dbuva�t�s� qislenn� konferenc��� a v�e vikoristani� na po�
qatku c��� statt� eksperiment �z vikoristann�m poxukovogo servera
Google da� ponad ��� tis� poklik�v u v�dpov�d� na zapit �econophysics �
Zagalom� predmetom zadaq ekonof�ziki � zrozum�ti � k�l�k�sno opi�
sati� �k vza�mod�� m�� bagat�ma agentami privodit� do skladno� po�
ved�nki� pri �k�� v sistem� vinika�t� nov� vlastivost�� �k� ne mo�na
otrimati prostim nakopiqenn�m vlastivoste� okremih �� komponent�
�Koli francuz�ki� f�losof � zasnovnik soc�olog�
O �st Kont �Auguste Comte
���� � ����� d�znavs�
wo Ketl� vikoristovu� �ogo term�n soc�al�na f�zika
v�n za
provadiv term�n sociologie �soc�olog���
bo ne pogod�uvavs� �z statistiqnim v�dborom
Ketl��
V�d model� �z�n�a do statistiqno� f�ziki skladnih sistem ���
Nezva�a�qi na te� wo term�nu soc�of�zika v�e ma��e dv�st� rok�v
�
�� suqasne �ogo rozum�nn� sformuvalos� tako� zovs�m nedavno� po�
qatkom novogo v�dl�ku mo�na vva�ati ���t� roki XX stol�tt�
����
Zavdann�m soc�of�ziki � model�vann� metodami statistiqno� f�ziki
takih velikomasxtabnih soc�al�nih �viw �k formuvann� toqki zoru
�opinion formation�� rozpovs�d�enn� kul�tur� pohod�enn� � evol�c��
movi� poved�nka �rmi� dinam�ka popul�c��� poxirenn� ep�dem��� towo�
znovu� �k � v privedenih viwe prikladah� robl�t�s� sprobi vivqati
kolektivnu poved�nku� wo vinika� �z vza�mod�� m�� �ndiv�duumami �k
elementarnimi odinic�mi soc�al�nih struktur� znovu� ske�l�n
�
un�versal�n�st� vi�vl��t�s� central�nimi risami c��� poved�nki�
��� Z�pf Pareto Bredford���
Osk�l�ki viniknenn� stepenevogo zakonu � ma��e neodm�nnim atri�
butom poved�nki skladnih bagatoqastinkovih sistem� rozgl�nemo v
c�omu p�drozd�l� dek�l�ka priklad�v �ogo viniknenn� � d�� v skladnih
sistemah nef�ziqno� prirodi� �k pravilo� taki� zakon naziva�t�
zakonom Z�pfa� za �menem amerikans�kogo l�n
v�sta D�ord�a Z�pfa
�George Kingsley Zipf� ���� � ������ Zastosovu�qi k�l�k�sn� metodi do
anal�zu sl�v u tekst�� v�n vi�viv� wo qastota f � z �ko� zadane slovo
zustr�qa�t�s� v tekst�� � stepenevo� funkc��� rangu r c�ogo slova �
�ogo m�sc� u vpor�dkovanomu za spadann�m qastoti spisku vs�h sl�v
tekstu
��� �div� tabl� ���
f�r� �
A
r�
� ����
de A � stala normuvann�� a pokaznik stepen� � dovxi� qas vva�avs�
odnakovim dl� r�znih mov �� � � � div� Ris�
� � nezale�nim v�d ta�
kih faktor�v �k avtor� �anr� qas napisann� tvoru towo� �k pokazu�
detal�n�xi� ogl�d l�teraturnih d�erel� D�ord�a Z�pfa ne buv per�
xim� hto zauva�iv stepeneve spadann� funkc�� ���� dl� sl�v u tekst��
ran�xe pod�bn� m�rkuvann� vislovl�vali
� B� Estu �J� B� Estoup�
���
� ta E� U� Kondon �E� U� Condon� �����
����
V r�zni� qas stepenev� rozpod�li� wo opisu�t� statistiku sistem
bagat�oh vza�mod��qih agent�v buli v�dkrit� u r�znih specif�qnih
d�l�nkah� � qasto nos�t� �m�� svo�h perxov�dkrivaq�v� v ekonom�c� ce
v�e zgadani� v poperedn�omu p�drozd�l� rozpod�l pributk�v m�� vlas�
nikami �Pareto� ���
�� v demograf�� � rozpod�l m�st za �h rozm�rom
�Auerbah� F� Auerbach� ������ v b�olog�� ce rozpod�l b�olog�qnih rodin
za k�l�k�st� vid�v� wo u nih vhod�t� �V�ll�s ��l�� J� C� Willis� G� Yule�
������ v naukometr�� � rozpod�l state�� napisanih okremimi vqenimi
�Lotka� A� J� Lotka� ���
�� naukovih �urnal�v za k�l�k�st� opubl�kova�
nih state� �Bredford� S� C� Bradford ������ cituvan� naukovih state�
�Pra�s� D� de S� Price� ��
��� Ce� perel�k mo�na prodov�iti
����
Xiroke kolo �viw� wo opisu�t�s� rozpod�lami z �tovstimi hvo�
stami � porod�u� prina�mn� dva p�dstavov� tverd�enn�� �i� priqini
�h viniknenn� ma�t� buti dostatn�o zagal�nimi � ne zale�ati v�d �n�
div�dual�nih osoblivoste� �h skladovih� �ii� te� wo r�zn� �viwa opisu�
�t�s� odnakovimi stepenevimi zakonami� we ne oznaqa�� wo priqini
��� ��Golovaq
r f slovo r f slovo
� ��� � � �
� v�n
� ��� ne � �
� v
� ��� v � ��� ne
� ��� � � ��� �
� ��� ti � ��� to�
��� wo
��� wo
� ��� na � ��� na
���
���
���
���
���
���
�
��� lis �� �� kapec�
�� ��� Mikita ��
� Abu�Kasim
�� �� vovk �� �� pan
�� �� car �� �� sudd�
Tablic� �� Prikladi vpor�dkovanih za rangom r sl�v �z tvor�v vana
Franka �Lis Mikita �l�va qastina tablic�� ta �Abu�Kasimov� kap�
c� �prava qastina�� f � k�l�k�st� po�v �qastota� slova v tekst�
��� b �
�h viniknenn� � odnakov�� Na s�ogodn� nema� �dino� dumki pro te� qo�
mu perel�qen� viwe rozpod�li ma�t� stepenevu formu� b�l�xe togo�
�h viniknenn� mo�na po�sniti r�znimi mehan�zmami
��� ���� Zaraz
robl�t�s� sprobi klasif�kuvati r�zn� model�� wo opisu�t� vinik�
nenn� stepenevih zakon�v za pevnimi principovimi oznakami� pod�bno
do togo� �k v teor�� kritiqnih �viw vid�l��t�s� r�zn� klasi un�ver�
sal�nost�� Pri tak�� klasif�kac��� okremi� klas v�dvodit�s� samim
kritiqnim �viwam �pri c�omu mehan�zmom� wo porod�u� stepenev� za�
koni � narostann� fluktuac�� pri nabli�enn� do kritiqno� toqki�� do
�nxogo klasu v�dnos�t�s� �viwa samoorgan�zovano� kritiqnost� �tut
stepenev� zakoni vinika�t� zavd�ki nel�n��nim vza�mod��m m�� skla�
dovimi sistemi�� �viwa� pro �k� �xla mova v c�omu p�drozd�l�� �k pra�
vilo vva�a�t� spriqinenimi abo tak zvanim scenar��m pereva�nogo
pri�dnann� �preferential attachment� abo scenar��m optim�zac��� Sce�
nar�� optim�zac��� zaproponovani� Mandel�brotom �Benoit Mandelbrot�
���� � ������ bazu�t�s� na teor�� �nformac�� � stepenev� zakoni v n�o�
mu vinika�t� vnasl�dok optim�zac�� seredn�o� k�l�kost� peredano� �n�
formac�� � zatraqenih vitrat� Scenar�� pereva�nogo pri�dnann� pe�
redbaqa�� wo pri evol�c�� sistemi �� nov� elementi pereva�no utvo�
r��t� zv��zki z timi� wo v�e ma�t� b�l�xe zv��zk�v� �nkoli taki�
scenar�� naziva�t� reach gets reacher� Sered na�b�l�x v�domih mode�
le�� v �kih real�zu�t�s� taki� scenar�� � model� Sa�mona �Herbert
Simon� ���
� �����
���� Zokrema� taki� scenar�� zastosovu�t�s� dl�
po�snenn� viniknenn� bezmasxtabnih mere�� pro �k� mova �time v
nastupnomu p�drozd�l�� Prote de�k� model� stohastiqnih proces�v ne
popada�t� u �oden �z perel�qenih viwe klas�v �tak� �k model� qerg
v teor�� masovogo obslugovuvann�
����
��� c qi zaproponovana ameri�
kans�kim psihologom M�llerom �G� A Miller� ����� model� vipadkovogo
drukuvann�
�����
V�d model� �z�n�a do statistiqno� f�ziki skladnih sistem ���
Ris�
� Zale�n�st� qastota�rang dl� sl�v �z tvoru vana Franka �Lis
Mikita
��� b � Suc�l�na pr�ma � aproksimac�� stepenevo� funkc���
���� �z pokaznikom � � ���� �
��� Skladn� mere �
Ostann�m qasom u f�ziqn�� l�teratur� vse qast�xe zustr�qa�t�s� po�
n�tt� skladno� mere�� � complex network
���� Z matematiqno� toqki
zoru ko�na mere�a � ce graf� wo sklada�t�s� z naboru verxin � re�
ber �u f�ziqn�� l�teratur� qasto v�iva�t�s� term�ni vuzli � links �
� zv��zki � nodes�� Bagato prirodnih abo stvorenih l�dino� sistem
ma�t� formu mere�� ce ne�ronn� mere��� mere�� metabol�zmu� har�
quvann�� �nternet� www� transportn�� rozpod�l�q� �napriklad krovo�
nosn� arter�� qi poxtova slu�ba�� soc�al�n� mere��� ta bagato �nxih�
Ob��ktami f�ziqnogo anal�zu mere�� stali nedavno� perx� statt� da�
tu�t�s� k�ncem �����ih rok�v� Meta dosl�d�en� zm�nilas� v�d anal�zu
nevelikih graf�v ta vlastivoste� okremih verxin ta reber do roz�
gl�du statistiqnih vlastivoste� cih graf�v �mere��� z zm�no� meti
zm�nilis� � metodi anal�zu � zaraz v c�� d�l�nc� usp�xno zastosovu�t��
s� metodi statistiqno� f�ziki skladnih sistem�
Z emp�riqnih dosl�d�en� stalo zrozum�lim� wo na�b�l�x va�liv�
mere�� ma�t� specif�qnu strukturu� �ka harakterizu�t�s� roz�
pod�lom stupen�v vuzl�v P �k� z tovstim hvostom�
P �k� � k� � k � �� ����
Tut k � stup�n� vuzla� tobto k�l�k�st� pri�dnanih do n�ogo zv��zk�v�
a P �k� � �mov�rn�st� togo� wo stup�n� dov�l�no vibranogo vuzla me�
re�� r�vni� k � Mere��� �k� harakterizu�t�s� stepenevim zagasann�m
funkc�� P �k� naziva�t�s� bezmasxtabnimi � scale�free� Tak� mere��
volod��t� c�lo� nizko� un�kal�nih vlastivoste�� wo v�dr�zn��t� �h
v�d mere� z� napriklad� eksponenc��nim zagasann�m P �k� � Na qas vi�
niknenn� nauki pro mere�� matematiqna teor�� vipadkovih
raf�v
��� ��Golovaq
bula dobre rozroblena faktiqno dl� na�prost�xogo ob��ktu� tak zva�
nogo vipadkovogo
rafu Erd�xa�Ren�� �P� Erd�os� A� R�enyi�� funkc��
P �k� �kogo zagasa� eksponenc��no�� To � peredbaqenn� c��� teor�� ne
prac�vali pri zastosuvann� do mere� real�nogo sv�tu� Same tod�
� viniklo pon�tt� skladna mere�a� p�d �kim� faktiqno� rozum�las�
bud���ka mere�a� skladn�xa za klasiqni� vipadkovi�
raf Erd�xa�
Ren��� Skladn� mere�� volod��t� nadzviqa�no korotko� seredn�o�
v�dstann� m�� vuzlami �tak zvan� mere�� t�snogo sv�tu � small world
networks�� ce sil�no skorel�ovan� strukturi� �kim pritamann� efek�
ti samoorgan�zac��� Tak� osoblivost� budovi skladnih mere�� v svo�
qergu� spriqin��t� c�li� r�d osoblivoste� proces�v� wo v�dbuva�t��
s� na mere�ah� Privedemo ni�qe dva prikladi� wo �l�stru�t� ce
tverd�enn�� Perxi� priklad stosu�t�s� poved�nki skladno� mere��
pri postupovomu usunenn� �� komponent �vuzl�v qi zv��zk�v�� drugi� �
ce poved�nka sistemi vza�mod��qih qastinok� lokal�zovanih na vuz�
lah skladno� mere��� Oqevidno� wo u f�ziqni� term�nolog��� perxi�
priklad stosu�t�s� zadaq� pro perkol�c��� a drugi� � zadaq� pro fa�
zovi� pereh�d lad�bezlad�
Z perkol�c��� pov��zan� r�znoman�tn� �viwa� wo v�dbuva�t�s� z me�
re�ami � na nih� Veliqina� wo vistupa� �k perkol�c��ni� klaster�
koli rozgl�da�t�s� perkol�c�� na mere�� � ce g�gants�ka zv��zana kom�
ponenta� GZK �giant connected component�� GZK mere�� � ce mno�ina
vza�mno dos��nih vuzl�v� wo m�stit� sk�nqenu qastku vuzl�v nav�t�
u granic�� koli rozm�r mere�� N � � � �k mo�na pobuduvati mere�
�u� wo m�stit� GZK� ta �kimi � vlastivost� mere��� koli z��vl��t�s�
ce� klaster� �k� strateg�� zniwenn� GZK � nask�l�ki st��ko� � mere�
�a do zastosuvann� r�znih scenar��v atak� �k mere�e� poxir��t�s�
�nfekc�� � �ka optimal�na strateg�� �mun�zac��� wob zupiniti ce po�
xirenn�� Poxuk v�dpov�d� na c� ta �nx� sho�� zapitann� priv�v do
v�dkritt� bagat�oh nezviqnih efekt�v� wo haraktern� dl� skladnih
mere��
Perx� dokazi togo� wo perkol�c�� na bezmasxtabnih mere�ah
sil�no v�dr�zn��t�s� v�d perkol�c�� na d �vim�rnih
ratkah� buli ot�
riman� pri emp�riqnomu anal�z� k�l�koh real�nih bezmasxtabnih me�
re�� www ta �nternetu� metabol�zmu� mere�� harquvann� �food web��
prote�n�v
���� �viwem� �ke viklikalo osoblive zac�kavlenn�� stala
st��k�st� cih mere� do vikidann� �h vuzl�v� Z odnogo boku vi�vl��t��
s�� wo c� mere�� nadzviqa�no st��k� do vipadkovih ura�en�� z �nxo�
go boku� voni vrazliv� do tak zvanih zaplanovanih atak� koli usu�
va�t�s� v�d�bran� za pevnimi harakteristikami komponenti mere���
Anal�tiqn� dosl�d�enn� priveli do we b�l�x nespod�vanogo rezul��
tatu� dl� bezme�no� bezmasxtabno� mere�� GZK �snu� pri dov�l�n��
qastc� vikinutih vuzl�v� �kwo lixe pokaznik � � � v ����� a ot�e
por�g prot�kann� na tak�� mere�� v�dsutn��� pc � � � Takim qinom� me�
re�a � nadzviqa�no st��kim do vipadkovih usuvan� vuzl�v� a perehodi�
�k� sposter�galis� dl� real�nih sistem� � lixe efektom sk�nqennogo
rozm�ru � znika�t� pri �formal�n��� granic� do bezme�nih sistem�
��snu�t� dv� model� klasiqnogo vipadkovogo grafa� u perx�� vva�a�t�s�
wo M
reber rozpod�len� dov�l�no ta nezale�no m�� parami z N verxin grafa� u drug��
model� f�ksu�t�s� �mov�rn�st� m
z �ko� mo�e ob��dnuvatis� ko�na para verxin�
Pri m� �
N �� dl� oboh modele� P �k� viznaqa�t�s� formulo� Puassona�
V�d model� �z�n�a do statistiqno� f�ziki skladnih sistem ���
Dl� prikladu� wob zniwiti GZK mere�� �nternetu� treba vipadkovim
qinom usunuti �� �� vuzl�v� Z �nxogo boku� GZK c��� mere�� du�e
vrazliva do spr�movanih atak �koli� napriklad� vikida�t�s� vuzli
z na�b�l�ximi stupen�mi � gabi��
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
RV
k
ki
C(C)
Ci(C)
C(G)
Ci(G)
C
Ci
C(S)
Ci(S)
C(B)
Ci(B)
z2
z2i
RN
Ris� �� St��k�st� mere�� gromads�kogo transportu Pari�u do atak
� posl�dovnogo usuvann� vuzl�v mere��
��� d � Vzdov� vertikal�no�
os� v�dkladeno normal�zovani� rozm�r na�b�l�xo� komponenti mere���
vzdov� gorizontal�no� � procent usunutih vuzl�v� R�zn� kriv� v�d�
pov�da�t� r�znim scenar��m atak� pri �kih v�db�r vuzl�v vikonuvavs�
zg�dno r�znih harakteristik vuzl�v�
Na Ris� � pokazano rezul�tat komp��ternogo model�vann� st���
kost� mere�� gromads�kogo transportu Pari�u do atak � posl�dovno�
go usuvann� vuzl�v mere��
��� d � Osk�l�ki GZK strogo oznaqena lixe
v granic� bezme�no� mere��� pro st��k�st� mere� real�nogo sv�tu qa�
sto sud�t� za poved�nko� na�b�l�xo� komponenti mere��� Z risunku
vidno� �k reagu� na�b�l�xa komponenta mere�� na postupove usuvann�
�� vuzl�v �v danomu vipadku vuzli v�dpov�da�t� okremim stanc��m gro�
mads�kogo transportu�� Reakc�� na�b�l�xo� komponenti zm�n��t�s�
v�d postupovogo r�vnom�rnogo spadann� ��kwo vuzli usuva�t�s� vi�
padkovim qinom � tonka qervona kriva� na risunku poznaqena RV��
do xvidkogo zniknenn� pri usunenn� �� � �� vuzl�v ��kwo spoqatku
usuva�t�s� vuzli z na�b�l�ximi stupen�mi � zelena kriva� poznaqena
k na risunku�� Zale�no v�d obranogo scenar�� usuvann� vuzl�v spo�
ster�ga�t�s� �k�sno r�zna poved�nka na�b�l�xo� komponenti� �k zobra�
�eno r�znimi krivimi �detal�n�x� po�snenn� mo�na zna�ti v
��� d ��
Z praktiqno� toqki zoru� tak� dosl�d�enn� mo�ut� spri�ti planu�
vann� efektivnih transportnih mere�� na fundamental�nomu r�vn�
voni v�dkriva�t� mo�liv�st� anal�zu �viwa perkol�c�� na vipadko�
vih ne
ratkovih sistemah�
Na zak�nqenn� c�ogo rozd�lu � dek�l�ka sl�v pro osoblivost� pere�
hodu lad�bezlad� koli sistema� v �k�� v�dbuva�t�s� fazovi� pereh�d�
znahodit�s� na vuzlah neskorel�ovano� bezmasxtabno� mere��� V c�o�
mu vipadku doreqnim bude rozgl�nuti� v rozd�l� � priklad z modell�
��
��Golovaq
� �
�c c
� � � � ��� � � � ���
� � � � � ��
��
�
�� � �� � ��
��
��
��
Tablic� �� Kritiqn� pokazniki� wo opisu�t� temperaturn� � pol�ov�
zale�nost� termodinam�qnih veliqin ��� � ��� v okol� toqki fazovogo
perehodu dl� dl� bezmasxtabno� mere�� pri r�znih znaqenn�h �
����
��� e �
z�n
a� ale teper p�dsumovuvann� v gam�l�ton�an� ��� vedet�s� ne za na��
bli�qimi sus�dami na vuzlah d �vim�rno�
ratki� a za za na�bli�qi�
mi sus�dami na vuzlah bezmasxtabno� mere�� �z funkc��� rozpod�lu
����� Taka zm�na v model� privodit� do sutt�vih zm�n v �� kritiqn��
poved�nc�
����
��� e � Opisan� u virazah ������� stepenev� zale�nost�
zber�ga�t� svo� formu� kritiqn� pokazniki � dal� viznaqa�t� asim�
ptotiku spostere�uvanih termodinam�qnih veliqin pri nabli�enn�
do kritiqno� toqki� odnak pon�tt� un�versal�nost� modif�ku�t�s�� V
qislo global�nih zm�nnih� �k� viznaqa�t� klas un�versal�nost� si�
stemi teper vhodit� � zm�nna � � wo opisu� zagasann� P �k� ����� Tak�
pri � � � sp�nova sistema ne v�dquva� prisutnost� mere��� kritiqn�
pokazniki pokazniki � pokaznikami teor�� seredn�ogo pol� �div� dru�
gi� r�dok tablic� ��� v d�l�nc� � � � � � kritiqn� pokazniki sta�t�
funkc��mi � �div� tret�� r�dok�� a pri � � � sistema zalixa�t�s�
vpor�dkovano� pri bud� �k�� sk�nqen�� temperatur�� Ce� rezul�tat
legko zrozum�ti� �kwo zgadati� wo �z zmenxenn�m � tovst�xa� hv�st
rozpod�lu ����� a ot�e zrosta� rol� vuzl�v z na�b�l�ximi stupen�mi
� gab�v� Same gabi � viznaqal�nimi u formuvann� nezviqnih vlasti�
voste� skladnih mere��
QUO VADIS ������ �
Spos�b pobudovi c��� statt� da� zmogu ob��tis� bez rozlogih visnov�
k�v� osnovn� tverd�enn� � wo take skladna sistema vzagal�� wo ta�
ke skladna sistema dl� f�zika � qim za�ma�t�s� statistiqna f�zika
skladnih sistem � sformul�ovan� v�e u Vstup�� U rexta rozd�l�v pri�
vedeno �l�strac��� wo ma�t� na met� uvesti v kolo zadaq � pon�t� c���
nauki� Za kadrom zalixilis� metodi� a ce� faktiqno� ves� spektr me�
tod�v suqasno� statistiqno� f�ziki� Zokrema� dl� otrimann� konkret�
nih rezul�tat�v� �k� privodilis� v rozd�lah �� � buli zastosovan� �k
anal�tiqn� p�dhodi �teoretiko�pol�ova renormal�zac��na grupa� funk�
c�onal�ne �ntegruvann�� peresumovuvann� rozb��nih r�d�v� fenomeno�
log�qni� termodinam�qni� p�dh�d� tak � komp��terne model�vann� ta
emp�riqni� anal�z baz danih
��� ��� ���� Same metodi� pon�t��ni� apa�
rat � koncepc�� statistiqno� f�ziki kooperativnih �viw dopomaga�t�
vi�viti sp�l�n� risi� wo v�dbuva�t�s� v dokor�nno v�dm�nnih za svo��
prirodo� sistemah� zrozum�ti �h priqini� zastosuvati sp�l�n� model�
dl� �h k�l�k�snogo opisu � prognozuvann� �h poved�nki� �kraz cim �
V�d model� �z�n�a do statistiqno� f�ziki skladnih sistem ���
za�ma�t�s� statistiqna f�zika skladnih sistem�
Na zak�nqenn� vislovl�� wiru pod�ku svo�m kolegam � Ra�ngar�
dov� Fol�ku �L�nc�� Bertranov� Berxu �Nans��� Bertranov� Del�mo�
tu� Dom�n�kov� Muan� �Pari��� Tarasov� Golovaqu� Ral�fov� Kenn��
Kr�st�anov� fon Ferberu �Koventr��� Vasilev� Pal�qikovu �Gel�s�n�
k��� Tarasov� �vors�komu �Ma�nc�� V�ktor�� Blavac�k��� Maksimov�
Dudc�� Oleksandrov� Kap�kran�nu� Oles� Mriglod �L�v�v�� u sp�vprac�
z �kimi buli otriman� rezul�tati
��� ��� ���� priveden� v rozd�lah ���
c��� statt��
L�TERATURA
�� Div� napriklad� P�F� Henshaw� M� McGinley� C�M� Hogan� Complex
Systems� In� Encyclopedia of Earth� ed� by Cutler J� Cleveland �Wash�
ington� D�C�� Environmental Information Coalition� National Council for
Science and the Environment�� B�J� Caldwell� Cahiers de d��epist�emologie
��� ������ �� p�
�� G� Parisi� Physica A �
� ������ ����
�� P�W� Anderson� Science l�� ������ ����
�� D� Sherrington� Phil� Trans� Roy� Soc� A �
� ������ �����
�� N� Goldenfeld� L� P� Kadano�� Science ��� ������ ���
� S� Solomon� B� Shir� Europhys� News� March�April ������ ���
�� D� Sornette� Critical phenomena in natural Sciences� �New York�
Springer�Verlag� ������
�� A�I� Olemsko�� Sinergetika slo�nyh sistem� Fenomenologi� i
statistiqeska� teori�� �Moskva� URSS� ����� ��� s��
�� D� Stau�er� Physica A ��
������ ����
��� E� Ising� Beitrag zur Theorie des Ferro� und Paramagnetism �Hamburg�
������ Z� Phys� �� ������ ����
��� C� Domb� The Critical Point� �Taylor ! Francis� London� ���
��
��� Pro �itt� E� z�n
a mo�na proqitati v statt� S� Kobe� Journ� Stat�
Phys� �� ������ ���� ukra�ns�ki� pereklad� S� Kobe�
urn� F�z�
Dosl� � ������ ��
��� Avtor vd�qni� p� T� z�n
u za dozv�l opubl�kuvati foto z �ogo
privatnogo arh�vu�
��� L� P� Kadano�� et al� Rev� Mod� Phys� �� ���
�� ���� M� E� Fisher� Rev�
Mod� Phys� �� ������
��� C� Itzykson� J� M� Drou�e� Statistical Field
Theory� �Cambridge University Press� Cambridge� England� ������
��� ��Golovaq
��� I�R��hnovski����K� Rudavski��Preprint ITF�������R� Kiev�
�����
�
� I�R� �hnovski�� Fazovye perehody vtorogo roda� Metod kollek�
tivnyh peremennyh� �Kiev� Naukova dumka� ������ �� �hnovs�ki��
M� Kozlovs�ki�� �� Pil k� M�kroskop�qna teor�� fazovih pere�
hod�v u trivim�rnih sistemah� �L�v�v� �vrosv�t� ������
��� a R� Folk� Yu� Holovatch� T� Yavors�kii� UFN ��� ������ ���
Physics�
Uspiekhi �
������ �
��� b Yu� Holovatch� V� Blavats�ka� M� Dudka� C�
von Ferber� R� Folk� T� Yavors�kii� Int� J� Mod� Phys� B �
������ �����
c M� Dudka� R� Folk� Yu� Holovatch� J�Magn�Magn�Mat� ��� ������ ����
d O� Kapikranian� B� Berche� Yu� Holovatch� Phys� Lett� A ��� ������
���
� e B� Delamotte� M� Dudka� Yu� Holovatch� D� Mouhanna� Phys�
Rev� B �� ������ �������
��� a C� von Ferber� Yu� Holovatch� Phys� Rev� E
������
���� b C� von
Ferber� Yu� Holovatch� Phys� Rev E
� ������
���� c V� Blavats�ka� C�
von Ferber� R� Folk� Yu� Holovatch� Renormalization group approaches
to polymers in disordered media� In� Statistics of Linear Polymers in
Disordered Media� ed� by Bikas K� Chakrabarti �Elsevier� Amsterdam�
����� pp���������
��� a �� Golovaq� K� fon Ferber� O� Ol�msko�� T� Golovaq� O� Mri�
glod� �� Ol�msko�� V� Pal�qikov�
urn� F�z� Dosl� �� ����
� ����
b �� Golovaq� V� Pal�qikov�
urn� F�z� Dosl� �� ������ ��� c O�
Mryglod� Yu� Holovatch� Condens� Matter Phys� �� ������ ���� d C�
von Ferber� T� Holovatch� Yu� Holovatch� Attack Vulnerability of Pub�
lic Transport Networks� In� Tra"c and Granular Flow���� ed� by C�
Appert�Rolland et al� �Springer� Berlin Heidelberg� ������ p� ��������
e V� Palchykov� C� von Ferber� R� Folk� Yu� Holovatch� R� Kenna� Phys�
Rev� E �� ������ �������
��� M� M�ezard� G� Parisi� M� A� Virasoro� Spin Glass Theory and Beyond�
�World Scienti�c� Singapore� ������
��� Order� Disorder and Criticality� Advanced Problems of Phase Transition
Theory� ed� by Yu� Holovatch� vol� �� �World Scienti�c� Singapore� ������
vol� �� �World Scienti�c� Singapore� ������
��� P��G� de Gennes� Scaling Concepts in Polymer Physics� �Cornell Univer�
sity Press� Ithaca� ������
��� http���nobelprize�org�nobel prizes�physics�laureates������
��� J� Feder� Fractals� �Plenum Press� New York and London� ������
��� T�C� Schelling� J� Math� Sociol� � ������ ���� D� Stau�er� S� Solomon�
Eur� Phys� J� B
� ������ ����
V�d model� �z�n�a do statistiqno� f�ziki skladnih sistem ���
�
� A� Quetelet� A Treatise on Man and the Development of His Faculties�
������ Scholars Facsimilies ! Reprint� ISBN ���������
����
��� L� Bachelier� Combined volume prints of �Th�eorie de la sp�eculation and
�Th�eorie math�ematique du jeu � �Editions Jacques Gabay� ����� ISBN
���
�������
��� R� N� Mantegna� H� E� Stanley� Introduction to Econophysics� Correla�
tions ! Complexity in Finance �Cambridge University Press� Cambridge�
������
��� The complex networks of economic interactions� Essays in agent�based
economics and econophysics� ed� by A� Namatame� T� Kaizouji� Y� Aruka�
�Springer�Verlag� Berlin Heidelberg� ���
�
��� S� Galam� Y� Gefen� Y� Shapir� J� Math� Sociol� � ������ �� S� Galam�
Physica A ��
������ ���
��� M� Mitzenmacher� Internet Math� � ������ ��
� M� E� J� Newman�
Contemp� Phys� �
������ ���� M�V� Simkin� V�P� Roychowdhury�
arXiv�physics��
�����v��
��� G� F� Zipf� The Psycho�Biology of Language� �Houghton�Mi#in� Boston�
������ B�bl�ograf�� rob�t pro zakon Z�pfa mo�na zna�ti na sa�t��
http���www�nslij�genetics�org�wli�zipf�
��� H� A� Simon� Biometrika �� ������ ����
��� A� Barab�asi� Nature ��
������ ����
��� S� N� Dorogovtsev� S� N� Mendes� Evolution of Networks� �Oxford Uni�
versity Press� Oxford� ������ R� Albert� A��L� Barab�asi� Rev� Mod� Phys�
�� ������ ��� A��L� Barab�asi� Linked� The New Science of Networks�
�Perseus Press� New York� ������
FROM THE ISING MODEL TO STATISTICAL PHYSICS
OF COMPLEX SYSTEMS
Yurij HOLOVATCH
Institute for Condensed Matter Physics� National Academy of Sciences of
Ukraine� � Svientsitskii Str�� ����� Lviv� Ukraine
It is a short essay on statistical physics of complex systems� a trend of stud�
ies which nowadays acquires all features of a well de�ned branch of science with
its own subject of analysis� system of notions and methods� The Ising model
is chosen as a starting point for an expos�e� Apart from conceptual simplicity�
such a choice makes it possible to follow the formation and development of
the phase transition theory in the Lviv school of statistical physics� Consid�
erations adduced herein give a brief account of a talk given at the workshop
on the occasion of academician I�R� Yukhnovskii�s ��th anniversary�
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-75372 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1563-3569 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:40:53Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Західний науковий центр НАН України і МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Головач, Ю. 2015-01-29T15:27:18Z 2015-01-29T15:27:18Z 2011 Від моделі Ізінґа до статистичної фізики складних систем / Ю. Головач // Праці Наукового товариства ім. Шевченка. — Л., 2011. — Т. 8: Фізичний збірник. — С. 429-449. — Бібліогр.: 35 назв. — укр. 1563-3569 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/75372 It is a short essay on statistical physics of complex systems a trend of studies which nowadays acquires all features of a well defined branch of science with its own subject of analysis system of notions and methods. The Ising model is chosen as a starting point for an expos e. Apart from conceptual simplicity, such a choice makes it possible to follow the formation and development of the phase transition theory in the Lviv school of statistical physics. Considerations adduced herein give a brief account of a talk given at the workshop on the occasion of academician I .R. Yukhnovskii s 85- th anniversary. uk Західний науковий центр НАН України і МОН України Праці наукового товариства ім. Шевченка Наукові читання, приурочені 85-ій річниці з дня народження академіка НАН України І.Р. Юхновського Від моделі Ізінґа до статистичної фізики складних систем From the Ising model to statistical physics of complex systems Article published earlier |
| spellingShingle | Від моделі Ізінґа до статистичної фізики складних систем Головач, Ю. Наукові читання, приурочені 85-ій річниці з дня народження академіка НАН України І.Р. Юхновського |
| title | Від моделі Ізінґа до статистичної фізики складних систем |
| title_alt | From the Ising model to statistical physics of complex systems |
| title_full | Від моделі Ізінґа до статистичної фізики складних систем |
| title_fullStr | Від моделі Ізінґа до статистичної фізики складних систем |
| title_full_unstemmed | Від моделі Ізінґа до статистичної фізики складних систем |
| title_short | Від моделі Ізінґа до статистичної фізики складних систем |
| title_sort | від моделі ізінґа до статистичної фізики складних систем |
| topic | Наукові читання, приурочені 85-ій річниці з дня народження академіка НАН України І.Р. Юхновського |
| topic_facet | Наукові читання, приурочені 85-ій річниці з дня народження академіка НАН України І.Р. Юхновського |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/75372 |
| work_keys_str_mv | AT golovačû vídmodelíízíngadostatističnoífízikiskladnihsistem AT golovačû fromtheisingmodeltostatisticalphysicsofcomplexsystems |