Аналіз стійкості систем з регулятором Такагі-Сугено

Розглянуто нелінійну динамічну систему n -го порядку, для якої побудовано нечіткий регулятор типу Такагі-Сугено. Досліджено стійкість за Ляпуновим такої, лінеаризованої в кількох точках, системи. В статье рассмотрена нелинейная динамическая система n-го порядка, для которой построено нечёткий регу...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2008
Main Authors:	Лозинський, А.О., Демків, Л.І.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2008
Subjects:	Управление и информационное обеспечение мехатронных и робототехнических систем
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7559
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Аналіз стійкості систем з регулятором Такагі-Сугено / А.О. Лозинський, Л.І. Демків // Штучний інтелект. — 2008. — № 4. — С. 545-549. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1859476402492932096
author	Лозинський, А.О. Демків, Л.І.
author_facet	Лозинський, А.О. Демків, Л.І.
citation_txt	Аналіз стійкості систем з регулятором Такагі-Сугено / А.О. Лозинський, Л.І. Демків // Штучний інтелект. — 2008. — № 4. — С. 545-549. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
collection	DSpace DC
description	Розглянуто нелінійну динамічну систему n -го порядку, для якої побудовано нечіткий регулятор типу Такагі-Сугено. Досліджено стійкість за Ляпуновим такої, лінеаризованої в кількох точках, системи. В статье рассмотрена нелинейная динамическая система n-го порядка, для которой построено нечёткий регулятор типа Такаги-Сугено. По Ляпунову исследовано устойчивость такой, линеаризованной в нескольких точках, системы.
first_indexed	2025-11-24T11:41:42Z
format	Article
fulltext	«Штучний інтелект» 4’2008 545 6Л УДК 007:681.516.4 А.О. Лозинський, Л.І. Демків Національний університет «Львівська політехніка», м. Львів, Україна lozynsky@polynet.lviv.ua; demkivl@gmail.com Аналіз стійкості систем з регулятором Такагі-Сугено Розглянуто нелінійну динамічну систему n -го порядку, для якої побудовано нечіткий регулятор типу Такагі-Сугено. Досліджено стійкість за Ляпуновим такої, лінеаризованої в кількох точках, системи. Вступ Аналіз та синтез систем керування електромеханічними системами технологічних об’єктів нерозривно пов’язаний із забезпеченням відповідних динамічних характеристик. У деяких випадках для розв’язування поставленої задачі достатнім є застосування класичного апарату синтезу лінійних систем. Проте отримані в результаті синтезу закони керування для систем з яскраво вираженими нелінійностями відповідають умовам, закладеним в основу синтезу, тільки при роботі системи в області малих відхилень від точки, для якої синтезовано керування. У такому випадку для підвищення якісних характеристик керованих електромеханічних систем доцільним є формування нелінійних законів керування, що отримуються в результаті застосування синтезу нелінійних систем, зокрема, систем з нечітким регулятором. При цьому отримуємо систему «нелінійний регулятор – нелінійний об’єкт», для якої необхідно проводити аналіз її стійкості. Останнім часом саме дослідження, пов’язані з аналізом стійкості нечітких систем автоматизованого керування, набули значного поширення. Зокрема, в [1] розглянуто нелінійну динамічну систему n -го порядку, для якої, використовуючи метод Ляпунова, побудовано стійку нечітку систему керування. В роботі [2] сформовано матричні нерівності, при виконанні яких забезпечується стійкість системи з ТС-регулятором. Дослідженням стійкості за Ляпуновим займалися також Y. Chang, S. Chen, S. Su, T. Lee, J. Andujar, J.M. Bravo, A. Peregrin, X. Liu, S. Zhong [3-6]. У загальному випадку при дослідженні стійкості динамічних систем не можна вказати універсальний спосіб вибору функції Ляпунова. Наприклад, в [7] функцію Ляпунова вибирають рівною криволінійному інтеграла від додатно визначених симет- ричних матриць, у роботі [8] при побудові функції Ляпунова використовувались ідеї так званого LMI підходу. Метою даної роботи є дослідження стійкості за Ляпуновим модельної системи з регулятором ТС. Побудова системи з ТС-регулятором Розглянемо нелінійну систему, яка в загальному випадку описується диференціаль- ним рівнянням n -го порядку. Її можна звести до системи диференціальних рівнянь першого порядку:            ttutxgtxftx  , де         Tn txtxtxtx ,, 21 ,        ,, 21 txtxtxtx   tu – вектор керуючих впливів,  t – зовнішні збурюючі впливи,   txf та   txg – нелінійні функції, описані в області робочих точок системи. Цю систему, нехтуючи зовнішніми збуреннями та вико- Лозинський А.О., Демків Л.І. «Искусственный интеллект» 4’2008 546 6Л ристовуючи перший доданок розкладу в ряді Тейлора правої частини, лінеаризовано в кількох точках, що дає можливість записати її таким чином:      tuBtxAtx  * , де                tutxtutututxtxtx 0000 ,,,  – вектори, в околі яких розкла- даємо в ряд Тейлора,   , 1,, j in jiji x faA       j in jiji x gbB    1,, * . У результаті отри- мано лінійну модель зі змінними параметрами. Робочу область розбито на n підоб- ластей, а загальну модель нелінійної системи утворено набором n нечітких правил виду           ,,1, , : 2211 2211 kitxKtu THENNxiNxiNxIF tuBtxAtx THENMxiMxiMxIFR i i nn ii ii i nn iii        де iR – i -е правило, njkiNM i j i j ,1,,1,,  – області розбиття, nn iii RKBA ,, – матриці, що формують модель системи в околі певної робочої точки (локальна модель),   nRtu  – вектор керуючих впливів. Використовуючи дефазифікацію, гравітаційним методом отримаємо таку модель системи:        , 1 1 txKxBAxtx k i k j jjiii              (1) де         1 1 1 n i j j j i i nk i j j i j M x t x M x t          ,             k i n j j i j n j j i j ii txN txN x 1 1 1 ,   txM j i j ,   txN j i j – функції належності  tx j до відповідної області i jM чи i jN , 1,1 11    k i i k i i  . Тобто модель i -ої системи матиме вигляд      txKBAtx iii  . (2) Нехай кожна з таких систем буде асимптотично стійкою за Ляпуновим, тобто для кожної з них виконується     kiQKBAPPKBA iiiiii T iii ,1,  , (3) де iP – розв’язок рівняння Ляпунова (2) 0,0  T ii T ii PPQQ . Проведемо деякі перетворення системи (1):                    txKKBtxKBAtx k i k j ijjii k i iiii 1 11  Аналіз стійкості систем з регулятором Такагі-Сугено «Штучний інтелект» 4’2008 547 6Л                                   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k i i i i i i j j j i i i j j k k k i i i i i i j j i i i j k k k i i i i i i j j i i i j k k k i i i i j j i i j j i i j j A B K x t B K K x t A B K x t B K K x t A B K x t B K K x t A B K x t B K K x t B K K x t                                                                                        2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 k i k k k i i i i j j i i i i j i k k i i j j i i j A B K x t B K K x t B K K x t B K K x t                                                                        k i k j ijjii k j jj k i iiii k i iiii k i k j ijjii k i iiii k i iiii txKKB txKKBtxBBKKtxKBA txKKBtxBBKKtxKBA 3 2 2 211 2 1111 1 2 22 1111 1                                k i k j ijjii k i iii k i ii k i iiii k i iiii txKKBtxKKB txKKBtxBBKKtxKBA 3 33 22 2 222 2 1111 1                      . 3 33 2222 2 1111 1        k i k j ijjii k i iiii k i iiii k i iiii txKKBtxBBKK txBBKKtxKBA   Використовуючи такі ж міркування, можна отримати:                 1 1 11 k j k ji ijijijji k i iiii txBBKKtxKBAtx  . (4) Основний результат Надалі будемо користуватись означенням несиметричної додатно визначеної матриці [9]: дійсна матриця називається додатно визначеною, якщо  , 0, , 0nDz z z R z    або, що еквіваленто, 0,,0  zRzDzz nT . Аналогічно вводять поняття несиметричної від’ємно визначеної матриці. Якщо, крім того, D симетрична, то будемо називати її симетричною додатно визначеною матрицею. Властивості таких матриць широко розглянуті, зокрема, в [10], [11]. Лозинський А.О., Демків Л.І. «Искусственный интеллект» 4’2008 548 6Л Перш ніж приступити до знаходження функції Ляпунова V для системи (1), доведемо такі твердження: Лема 1. Якщо матриці nnRDCRZ ,,, і ,0,0  TT RRZZ ,0,0  DC то а) ;0 DC б) ;0RZ в) ;0ZC г) ;0CZ д) .0TC Доведення. Нехай nRz  – довільний вектор, тоді а)   0 zDzzCzzDCz TTT , тому 0 DC ; б) оскільки TZZ  і 0Z , то (див. [10])    EZZEZ maxmin0   , де    ZZ maxmin ,  мінімальне та максимальне значення матриці Z відповідно, E – одинична матриця. Тоді     0minmin  zRzZzERZzzZRz TTT  , що доводить пункт б) леми; в) враховуючи, що якщо 0,, 1  baRba , то bCaC  , то     0minmin  zCzZzEZCzzCZz TTT  . Тобто 0CZ ; г) доводиться аналогічно пункту в); д)     0 TTTTTT zCzzzCzCz T , що і слід було довести. Лема 2. Якщо 0,0,,,   TTnn RRZZRCRZ та справедлива рівність ZRCRCT  , (5) то 0C . Доведення. Ґрунтуючись на результатах леми 1, очевидно, що матриця C не може бути додатно визначеною та може бути від’ємно визначеною. Залишається показати, що вираз zCzT не може набувати різних знаків у залежності від значення вектора nRz  . З рівності (5) одержимо:   zCzzCzRzRCzzRCzzZz TTTTTTT  max0  . Оскільки   0max R , то 0 zCzzCz TTT . А оскільки з леми 1 випливає, що C та TC мають однакові знаки, то 0C , тобто  0:  zCzRz Tn . Теорема. Якщо вибрати матриці kiKi ,1,  таким чином, що системи (2) стійкі за Ляпуновим та         1 1 1 1 , k k kT i j j i j i j i j i j i j i j i i j i j i K K B B P P K K B B Q                      (6) де kiQi ..1,0  , матриця P пов’язана з усіма системами,    k i iPP 1 , то система (1) теж стійка за Ляпуновим. Доведення. Запишемо функцію Ляпунова для системи (1) у вигляді xPxV T , Аналіз стійкості систем з регулятором Такагі-Сугено «Штучний інтелект» 4’2008 549 6Л де 0P , а, отже, і 0V (див. пункт б) леми). Тоді                     1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k TTT T T i i i i i j j i j i j i i j i j k k k T i i i i i j j i j i j i i j i j k TT i i i i i i i i T j i j i j i j i V x Px x Px x A B K K K B B Px x P A B K K K B B x x A B K P P A B K x x K K B B                                                                              1 1 2 1 1 1 . jk k kT i j j i j i j i j i j i j P P K K B B x                     Оскільки справедливою є рівність (3), то з леми 2 випливає, що 0,i i iA B K  1,i k . Тоді, враховуючи результати леми 1 та те, що   kii ,1,1;0  можна стверд- жувати, що вираз в перших дужках      kiQQKBAPPKBA i k i i k i iii T iiii ,1,0, 11     , тобто для того, щоб 0V необхідно, щоб виконувалась нерівність (6). Зауваження 1. Доведення теореми залишається справедливим, якщо замість P взяти довільну симетричну додатно визначену матрицю або добуток довільної кількості таких матриць. Наслідок 1. Якщо вибрати матриці kiKi ,1,  таким чином, що системи (2) стійкі за Ляпуновим, kjijiij ,1,,   та kiBBi ,1,  , то система (1) стійка за Ляпуновим. Доведення, очевидним чином, випливає з доведення теореми. Література 1. Chaio-Shuing Chen, Wen-Liang Chen Analysis and design of a stable control system // Fuzzy Sets and Systems. – 1998. – № 96. – P. 21-35. 2. Tanaka K, Ikeda T., Wang H. O. Fuzzy regulators and fuzzy observers: relaxed stability conditions and LMI-based design // IEEE Transactions on Fuzy Systems. – 1998. – Т. 6, № 2. – P. 250-265. 3. Chang Y., Chen S., Su S., Lee T. Static output feedback stabilization for nonlinear interval time-delay systems via fuzzy control approach // Fuzzy Sets and Systems. – 2004. – № 148. – Р. 395-410. 4. Andujar J., Bravo J.M., Peregrin A. Stability analysis and syntesis of multivariable fuzzy systems using interval arichmetics // Fuzzy Sets and Systems. – 2004. – № 148. – Р. 337-353. 5. Le Hung Lan Stability analysis for a class of Takagi-Sugeno fuzzy control systems with PID controlers // Int. J. of Approximate Reasoning. – 2007. – № 46. – Р. 109-119. 6. Liu X., Zhong S. T-S fuzzy model-based impulsive control of chaotic systems with exponential decay rate // Physics Letters A. – 2007. – № 370. – Р. 260-264. 7. Rhee B., Won S. A new fuzzy Lyapunov function approach for a Takagi-Sugeno fuzzy control system design // Fuzzy Sets and Systems. – 2006. – № 157. – Р. 1211-1228. 8. K. Tanaka, H. Ohtake, H. Wang A descraptor system approach to fuzzy control system design via fuzzy Lyapunov function // IEEE Transactions on Fuzy Systems. – 2007. – Т. 15, № 3. – Р. 333-341. 9. Saad Y. Iterative methods for sparse linear systems. – SIAM, 2003. – 528 p. 10. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. – М.: Наука, 1978. – 592 с. 11. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1966. – 664 с. А.О. Лозинский, Л.И. Демкив Анализ устойчивости систем с регулятором Такаги-Сугено В статье рассмотрена нелинейная динамическая система n-го порядка, для которой построено нечёткий регулятор типа Такаги-Сугено. По Ляпунову исследовано устойчивость такой, линеаризованной в нескольких точках, системы. Стаття надійшла до редакції 01.07.2008.
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7559
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1561-5359
language	Ukrainian
last_indexed	2025-11-24T11:41:42Z
publishDate	2008
publisher	Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
record_format	dspace
spelling	Лозинський, А.О. Демків, Л.І. 2010-04-02T11:28:12Z 2010-04-02T11:28:12Z 2008 Аналіз стійкості систем з регулятором Такагі-Сугено / А.О. Лозинський, Л.І. Демків // Штучний інтелект. — 2008. — № 4. — С. 545-549. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7559 007:681.516.4 Розглянуто нелінійну динамічну систему n -го порядку, для якої побудовано нечіткий регулятор типу Такагі-Сугено. Досліджено стійкість за Ляпуновим такої, лінеаризованої в кількох точках, системи. В статье рассмотрена нелинейная динамическая система n-го порядка, для которой построено нечёткий регулятор типа Такаги-Сугено. По Ляпунову исследовано устойчивость такой, линеаризованной в нескольких точках, системы. uk Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Управление и информационное обеспечение мехатронных и робототехнических систем Аналіз стійкості систем з регулятором Такагі-Сугено Анализ устойчивости систем с регулятором Такаги-Сугено Article published earlier
spellingShingle	Аналіз стійкості систем з регулятором Такагі-Сугено Лозинський, А.О. Демків, Л.І. Управление и информационное обеспечение мехатронных и робототехнических систем
title	Аналіз стійкості систем з регулятором Такагі-Сугено
title_alt	Анализ устойчивости систем с регулятором Такаги-Сугено
title_full	Аналіз стійкості систем з регулятором Такагі-Сугено
title_fullStr	Аналіз стійкості систем з регулятором Такагі-Сугено
title_full_unstemmed	Аналіз стійкості систем з регулятором Такагі-Сугено
title_short	Аналіз стійкості систем з регулятором Такагі-Сугено
title_sort	аналіз стійкості систем з регулятором такагі-сугено
topic	Управление и информационное обеспечение мехатронных и робототехнических систем
topic_facet	Управление и информационное обеспечение мехатронных и робототехнических систем
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7559
work_keys_str_mv	AT lozinsʹkiiao analízstíikostísistemzregulâtoromtakagísugeno AT demkívlí analízstíikostísistemzregulâtoromtakagísugeno AT lozinsʹkiiao analizustoičivostisistemsregulâtoromtakagisugeno AT demkívlí analizustoičivostisistemsregulâtoromtakagisugeno

Аналіз стійкості систем з регулятором Такагі-Сугено

Institution

Similar Items