Об эволюции основ метода наименьших квадратов на основе принципа максимума информации по Фишеру
Рассмотрены вопросы эволюции метода наименьших квадратов на основе замены гауссовского принципа наибольшего веса фишеровским принципом максимума информации. Приведены рабочие формулы для практической реализации процедур метода наименьших квадратов с целью максимизации информации по Фишеру. Розглян...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Кинематика и физика небесных тел |
|---|---|
| Дата: | 2011 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Головна астрономічна обсерваторія НАН України
2011
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/76044 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об эволюции основ метода наименьших квадратов на основе принципа максимума информации по Фишеру / И.В. Джунь // Кинематика и физика небесных тел. — 2011. — Т. 27, № 6. — С. 64-71. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860182491696988160 |
|---|---|
| author | Джунь, И.В. |
| author_facet | Джунь, И.В. |
| citation_txt | Об эволюции основ метода наименьших квадратов на основе принципа максимума информации по Фишеру / И.В. Джунь // Кинематика и физика небесных тел. — 2011. — Т. 27, № 6. — С. 64-71. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Кинематика и физика небесных тел |
| description | Рассмотрены вопросы эволюции метода наименьших квадратов на основе замены гауссовского принципа наибольшего веса фишеровским принципом максимума информации. Приведены рабочие формулы для практической реализации процедур метода наименьших квадратов с целью максимизации информации по Фишеру.
Розглянуто питання еволюції методу найменших квадратів на основі заміни гауссiвського принципу найбільшої ваги фішерівським принципом максимуму інформації. Наведено робочі формули для практичної реалізації процедур методу найменших квадратів з метою максимізації інформації за Фішером.
We consider the question on the evolution of the least-squares method on the basis of the substitution of the Fisher principle of maximum information for the Gaussian greatest weight principle. Working formulas for practical realization of the least-squares method procedures with the aim of the Fisher maximization of information are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:02:57Z |
| format | Article |
| fulltext |
519.281.2:528.1:521.1
È. Â. Äæóíü
Ìåæäóíàðîäíûé ýêîíîìèêî-ãóìàíèòàðíûé óíèâåðñèòåò
33018 ã. Ðîâíî, óë. Ñ. Äåìüÿí÷óêà 4, êîðï. 2
Îá ýâîëþöèè îñíîâ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ íà
îñíîâå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà èíôîðìàöèè ïî Ôèøåðó
Ðàñìîòðåíû âîïðîñû ýâîëþöèè ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ íà
îñíîâå çàìåíû ãàóññîâñêîãî ïðèíöèïà íàèáîëüøåãî âåñà ôèøåðîâñêèì
ïðèíöèïîì ìàêñèìóìà èíôîðìàöèè. Ïðèâåäåíû ðàáî÷èå ôîðìóëû äëÿ
ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè ïðîöåäóð ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ ñ
öåëüþ ìàêñèìèçàöèè èíôîðìàöèè ïî Ôèøåðó.
ÏÐÎ ÅÂÎËÞÖ²Þ ÏÎËÎÆÅÍÜ ÌÅÒÎÄÓ ÍÀÉÌÅÍØÈÕ ÊÂÀÄÐÀ -
Ҳ ÍÀ ÎÑÍβ ÏÐÈÖÈÏÓ ÌÀÊÑÈÌÓÌÓ ²ÍÔÎÐÌÀÖ²¯ ÇÀ Ô²ØÅ -
ÐÎÌ, Äæóíü É. Â. — Ðîçãëÿíóòî ïèòàííÿ åâîëþö³¿ ìåòîäó íàé ìåí -
øèõ êâàäðàò³â íà îñíîâ³ çàì³íè ãàóññiâñüêîãî ïðèíöèïó íàéá³ëüøî¿ âà -
ãè ô³øåð³âñüêèì ïðèíöèïîì ìàêñèìóìó ³íôîðìàö³¿. Íàâåäåíî ðîáî÷³
ôîðìóëè äëÿ ïðàêòè÷íî¿ ðåàë³çàö³¿ ïðîöåäóð ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàä -
ðà ò³â ç ìåòîþ ìàêñèì³çàö³¿ ³íôîðìàö³¿ çà Ô³øåðîì.
ON THE EVO LU TION OF CONCEPTS OF THE LEAST-SQUARES
METHOD ON THE BA SIS OF THE FISHER PRIN CI PLE OF MAX I MUM
IN FOR MA TION, by Dzhun I. V. — We consider the question on the
evo lu tion of the least-squares method on the ba sis of the sub sti tu tion of the
Fisher prin ci ple of max i mum in for ma tion for the Gaussi an greatest weight
prin ci ple. Work ing for mu las for prac ti cal re al iza tion of the least-squares
method pro ce dures with the aim of the Fisher max i mi za tion of in for ma tion
are given.
Ê. Ô. Ãàóññ â ðàáîòå [I] äàë îáîñíîâàíèå ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàä ðà -
òîâ (ÌÍÊ), êîòîðîå áàçèðóåòñÿ íà ïðèíöèïå íàèáîëüøåãî âåñà. Ïîñëå
íå ãî ðàçðàáîòêîé òåîðèè ÌÍÊ çàíèìàëèñü Ô. Â. Áåññåëü, Ï. À. Ãàíçåí,
É. Ô. Ýíêå, Â. Éîðäàí, Ô. Ð. Ãåëüìåðò, À. À. Ìàð êîâ. Îäíàêî èõ ðàáî -
òû íå èçìåíèëè îñíîâ ÌÍÊ è êàñàëèñü ëèøü åãî äåòàëåé è çàäà÷ åãî
ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ [5, ñ. 168]. À. Ì. Ëåæàíäð [18], âïåðâûå
íàçâàâøèé ïðèíöèï ìèíèìóìà ñóììû êâàäðàòîâ ïîïðàâîê ìåòîäîì
64
ISSN 0233-7665. Êèíåìàòèêà è ôèçèêà íåáåñ. òåë. 2011. Ò. 27, ¹ 6
© È. Â. ÄÆÓÍÜ, 2011
65
ÎÁ ÝÂÎËÞÖÈÈ ÎÑÍÎÂ ÌÅÒÎÄÀ ÍÀÈÌÅÍÜØÈÕ ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ
íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, ïðåäóïðåæäàë, ÷òî ïðåæäå ÷åì ïðèìåíèòü
ýòîò ìåòîä, íóæíî òùàòåëüíî ïðîñìîòðåòü âñå íàáëþäåíèÿ è âûáðî -
ñèòü òå èç íèõ, êîòîðûå åñòü èëè êàæóòñÿ àíîìàëüíûìè. Íî ïðîáëåìà
âûáðàêîâêè íàáëþäåíèé îêàçàëàñü çíà÷è òåëü íî áîëåå ñëîæíîé, ÷åì
îæèäàëîñü. Âïåðâûå îùóòèëè ýòî àñòðî íî ìû Ô. Â. Áåññåëü [10],
Ñ. Íüþ êîì [18, 19], Ñ. Ë. Äóëèòë [11, 12], Õ. Ð. Õþëüìå è Ë. Ñ. Ò. Ñèìñ
[13]. Ñóòü ïðîáëåìû ñîñòîÿëà â òîì, ÷òî íå òîëüêî ÷èñëî àíîìàëüíûõ
ðåçóëüòàòîâ îêàçûâàëîñü íà ïðàêòèêå çíà ÷è òåëüíî áîëüøèì, ÷åì ýòî
ñëåäîâàëî èç çàêîíà Ãàóññà, íî è ñàìà ôîð ìà äåéñòâèòåëüíûõ ðàñïðå -
äå ëåíèé îøèáîê áûëà íå ñîâñåì ãàóñ ñî âîé è èìåëà îò ïîñëåäíåé
ñòàíäàðòíûå îòëè÷èÿ. Ýòó ïðîáëåìó ïîçä íåå óñïåøíî ðàçðåøèë
Ã. Äæåô ôðèñ â ðàáîòàõ [14—18]. Îí ïîêàçàë ïðàêòè ÷åñêóþ è òåîðå -
òè÷åñêóþ íåñîñòîÿòåëüíîñòü çàêîíà îøèáîê Ãàóñ ñà ïðè óñëîâèè, åñëè
÷èñëî ìíîãîêðàòíûõ íàáëþäåíèé n > 500.  ðà áîòå [16] îí ðåêîìåí -
äóåò àíîìàëüíûå íàáëþäåíèÿ íå îòáðàñûâàòü, à ñîõðàíÿòü, ïðèäàâàÿ
èì ìåíüøèå âåñà p, âû÷èñëÿåìûå ïî ôîðìóëå
1
1
2 05
2 2
3p
m
m
= +
æ
è
ç
ö
ø
÷
-
q
s ( . )
, (1)
ãäå q — îøèáêà íàáëþäåíèÿ, s è m — ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ Ïèð -
ñî íà VII òèïà, êîòîðîå îí ïðåäëîæèë äëÿ àïïðîêñèìàöèè ðåàëüíûõ
ðàñ ïðåäåëåíèé îøèáîê íàáëþäåíèé áîëüøîãî îáú¸ìà. Óïîìÿíóòîå
ïðåä ëîæåíèå îêàçàëîñü î÷åíü óäà÷íûì. Ýòî ïîäòâåðäèëè ìíîãî ÷èñ -
ëåí íûå àñòðîìåòðè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ [2—4, 6, 8]. Ýìïè ðè ÷åñêèå
ðàñ ïðåäåëåíèÿ îøèáîê äåéñòâèòåëüíî ÷àùå âñåãî ñîîò âåòñò âó þò ðàñ -
ïðå äåëåíèþ Ïèðñîíà VII òèïà.
Íî ïðåäëîæèâ áîëåå ñîâåðøåííûé çàêîí îøèáîê è ñèñòåìó âåñîâ
(1), Äæåôôðèñ íà ýòîì îñòàíîâèëñÿ è íå ïðåäïðèíèìàë ïîïûòîê ýâî -
ëþöèè îñíîâ ÌÍÊ. Íà íàø âçãëÿä, äëÿ òàêîé ýâîëþöèè íàèáîëåå ïî -
ëåç íûì ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå èíôîðìàöèè, ââåäåííîå Ôèøåðîì. Îíî äîë -
æ íî óäîâëåòâîðÿòü òàêèì òðåáîâàíèÿì [20]:
1. Èíôîðìàöèÿ, ñîäåðæàùàÿñÿ â âûáîðêå, äîëæíà âîçðàñòàòü ïðî -
ïîð öèîíàëüíî ÷èñëó íàáëþäåíèé: óäâîåíèå èõ ÷èñëà äîëæíî óä âàè -
âàòü êîëè÷åñòâî èíôîðìàöèè, åñëè îøèáêè èçìåðåíèé íåçàâèñèìû.
2. Èíôîðìàöèÿ äîëæíà áûòü ñâÿçàíà èñêëþ÷èòåëüíî ñ çàäà÷àìè
àñòðî ìåòðè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà. Äàííûå, íå èìåþùèå îòíîøåíèÿ ê
ïðî âåðÿåìîé ãèïîòåçå, íå äîëæíû èìåòü êàêîé-ëèáî èíôîðìàöèè.
3. Èíôîðìàöèÿ äîëæíà áûòü ñâÿçàíà ñ òî÷íîñòüþ: ÷åì âûøå òî÷ -
íîñòü íàáëþäåíèé, òåì áîëüøå èíôîðìàöèè ìû ïîëó÷àåì. Äëÿ àñòðî -
íîìèè èìåííî òî÷íîñòü èíñòðóìåíòàëüíûõ ñðåäñòâ ÿâëÿåòñÿ ðå øà þ -
ùèì ïîêàçàòåëåì åå ðàçâèòèÿ.
Î÷åâèäíî, ÷òî ïîíÿòèå, èìåþùåå íàçâàííûå ñâîéñòâà, ÿâëÿåòñÿ
î÷åíü öåííûì ïðè ïîñòàíîâêå è àíàëèçå àñòðîíîìè÷åñêèõ íàáëþ -
äåíèé.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç y x i( ; , , )q q1 2 K ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè, çàâè ñÿ -
ùóþ îò k ïàðàìåòðîâ q äëÿ n íàáëþäåíèé xi, êîòîðûå ìû ðàñ ñìàòðè âà -
åì êàê n ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ôóíêöèÿ ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäî ïîäî áèÿ
äëÿ ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèé áóäåò èìåòü âèä
L y x
i
n
i=
=
Õ
1
1 2( , ,...).;q q (2)
Ïî îïðåäåëåíèþ Ôèøåðà îáú¸ì èíôîðìàöèè îá èñêîìîì ïàðà -
ìåò ðå q, ñîäåðæàùèéñÿ â íàáëþäåíèè õ, âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé
I
L
y x dxx i( ) ( , )q
q
q=
¶
¶
æ
è
ç
ö
ø
÷
-¥
¥
ò
ln
2
. (3)
Èíôîðìàöèÿ (3) èìååò ðÿä öåííûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñâîéñòâ, îïè -
ñàí íûõ â ðàáîòå [20], à, òàêæå ñâîéñòâî, ïîçâîëÿþùåå ñóùåñòâåííî
óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ:
E
ln
E
ln¶
¶
æ
è
ç
ö
ø
÷ = -
¶
¶
æ
è
ç
ö
ø
÷
L L
q q
2 2
2
, (4)
ãäå Å — îïåðàòîð ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.
Ïðè k-ìåðíîì q âûðàæåíèå (3) ïðåâðàùàåòñÿ â èíôîðìàöèîííóþ
ìàò ðèöó ðàçìåðà k´k, ýëåìåíò êîòîðîé èìååò âèä
I
L
y x dxx i j
i j
i( ) ( ; , , )q q
q q
q q= -
¶
¶ ¶
-¥
¥
ò
2
1 2
ln
K . (5)
Ïóñòü ïåðåìåííàÿ õ ðàñïðåäåëåíà íîðìàëüíî ñ èçâåñòíîé äèñïåð -
ñè åé s2 è íåèçâåñòíûì ñðåäíèì à:
y x a
x a
i( ; , )
( )
s
ps s
= -
-é
ë
ê
ù
û
ú
1
2 2
2
2
exp . (6)
Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (4) èíôîðìàöèÿ, êîòîðàÿ ñîäåð -
æèò ñÿ â îäíîì íàáëþäåíèè õ, ðàâíà
I a
a
x a
y x a dx1
2
2
2
2
2
2
1
( )
( )
( , , )= -
¶
¶
- -
-æ
è
ç
ö
ø
÷ =
-¥
¥
ò lns p
s
s
s 2
. (7)
Êàê âèäèì èç ôîðìóëû (7), â ñëó÷àå íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
îøè áîê âåñ íàáëþäåíèÿ — ýòî ìåðà êîëè÷åñòâà èíôîðìàöèè ïî
Ôèøåðó.
 ñëó÷àå n íàáëþäåíèé èìååì äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (6)
L y x a
i
n
i=
=
Õ
1
( ; , )s .
 ñîîòâåòñòâèè ñ (4) ïîëó÷èì
I a
a
x a
f xn ( )
( )
( ; ,=
¶
¶
- -
-æ
è
ç
ö
ø
÷
é
ë
ê
ù
û
ú
-¥
¥
ò å
2
2
2
2
2
2
lns p
s
s a dx) = (8)
= n I a
n
× =1 2
( )
s
.
66
È. Â. ÄÆÓÍÜ
Ñîîòíîøåíèå (8) ÿñíî âûðàæàåò ñóòü ïðàêòè÷åñêèõ óñèëèé àñòðîíî -
ìîâ: óâåëè÷åíèå êîëè÷åñòâà èíôîðìàöèè äîñòèãàåòñÿ äâóìÿ ïóòÿìè
¾ ïîâûøåíèåì òî÷íîñòè è óâåëè÷åíèåì ÷èñëà íàáëþäåíèé.
Äëÿ çàêîíà îøèáîê Äæåôôðèñà, ò. å. äëÿ ìîäèôèöèðîâàííîãî èì
ðàñïðåäåëåíèÿ Ïèðñîíà VII òèïà [15]
y x mi( ; , , )l s VII =
G
G
( )
( . ) ( . )
m
m m
+
- +
1
2 05 05p
´
´
1
1
05
05
2
3
2
s
l
sVII VII
+
-
-æ
è
çç
ö
ø
÷÷
é
ë
ê
ê
ù
û
ú
ú
-
.
( . )
m
m
x
m
(9)
èìååì òàêîå çíà÷åíèå èíôîðìàöèè ïî Ôèøåðó äëÿ ñëó÷àÿ n íàáëþ äå -
íèé, êîòîðîå ïîëó÷åíî â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî sVII è m èçâåñòíû:
I E
L n m
m m
n ( )
( . ) ( )
l
l s
= -
¶
¶
æ
è
ç
ö
ø
÷ = ×
- +
2
2 2
3
205 1
ln
VII
. (10)
Ðàñïðåäåëåíèå (9) ïðè m ® ¥ ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì.  ýòîì ñëó ÷àå
ñîîòíîøåíèå (10) ñòàíîâèòñÿ èäåíòè÷íûì âûðàæåíèþ (8).  îòëè ÷èå
îò ðåçóëüòàòà (8), ôîðìóëà (10) äåìîíñòðèðóåò îäèí ïàðàäîêñ: èí ôîð -
ìàöèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ íå òîëüêî ñ óâåëè÷åíèåì n è óìåíüøåíèåì s VII
2 ,
îíà óâåëè÷èâàåòñÿ è ñ óâåëè÷åíèåì óêëîíåíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïèðñî -
íà VII òèïà îò çàêîíà Ãàóññà, óâåëè÷èâàÿñü ñ óìåíüøåíèåì m.
Íûíåøíèé óðîâåíü ðàçâèòèÿ àñòðîìåòðèè, îòëè÷àþùèéñÿ âñå
áîëü øèìè îáú¸ìàìè íàáëþäåíèé, òðåáóåò âû õîäà íà êà÷åñòâåííî íî -
âûå óðîâíè ïðîöåäóð ÌÍÊ, ó÷èòûâàþùèõ ìàêñè ìèçàöèþ ôèøåðîâ -
ñêîé èíôîðìàöèè. Êàê ïðàêòè÷åñêè îñó ùåñò âèòü ýòó ìàêñèìèçàöèþ â
ñîîòâåòñòâèè ñ îòíîøåíèåì (10)? Î÷åâèäíî, äëÿ ýòîãî íóæíî ïîëó -
÷èòü ýôôåêòèâíûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ sVII è m â (10) äëÿ çàêîíà îøè -
áîê Äæåôôðèñà (9). Êðîìå òîãî, íóæíî çíàòü åùå àëãîðèòì ðåàëèçà -
öèè ïðèíöèïà ìàêñèìóìà èíôîðìàöèè ïî Ôèøåðó. Ýòîò ïðèíöèï ëåã -
êî îñóùåñòâèòü íà ïðàêòèêå, íå ìåíÿÿ îáû÷íûõ ïðî öå äóðíûõ ñõåì
êëàññè÷åñêîãî ÌÍÊ è âíîñÿ ëèøü íåçíà÷èòåëüíûå èç ìå íåíèÿ â åãî
ïðîãðàììíîå îáåñïå÷åíèå. Ïðàêòè÷åñêè ðåàëèçàöèÿ ïðèí öèïà ìàêñè -
ìó ìà èíôîðìàöèè ïî Ôèøåðó ìîæåò áûòü îñóùåñòâå íà â òðè ýòàïà.
Âíà÷àëå ïðèìåíÿþò êëàññè÷åñêèé ÌÍÊ, îñíîâûâàÿñü íà ïðèíöè -
ïå íàèáîëüøåãî âåñà Ãàóññà. Íà ýòîì æå ýòàïå ïîëó÷àåì ðàçíîñòè «îb -
ser vation - cal cu la tion» J i è îïðåäåëÿåì íåñìåùåííûå îöåíêè èõ àñèì -
ìåòðèè è ýêñöåññà [7, ñ. 423]:
A
n n
n
=
-
-
( )1
2
3
3
m
s
,
(11)
e
m
m
=
-
- -
+ -
æ
è
çç
ö
ø
÷÷ +
é
ë
ê
ù
û
ú
n
n n
n
1
2 3
1 3 64
2
2( )( )
( ) ,
ãäå mr— öåíòðàëüíûå âûáîðî÷íûå ìîìåíòû ïîðÿäêà r; s = m 2 .
67
ÎÁ ÝÂÎËÞÖÈÈ ÎÑÍÎÂ ÌÅÒÎÄÀ ÍÀÈÌÅÍÜØÈÕ ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ
Äàëåå îïðåäåëÿåì äèñïåðñèè s A
2 è s e
2 ñòàòèñòèê À è e ïî ôîð -
ìó ëàì [7]:
s A
n n
n n n
2 6 1
2 1 3
=
-
- + +
( )
( )( )( )
,
(12)
s e
2
224 1
3 2 3 5
=
-
- - + +
n n
n n n n
( )
( )( )( )( )
.
Íà îñíîâå (12) ñòðîèì 90 % äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû äëÿ À è e ïî
ôîð ìóëàì
A A± 1645. s , e s e± 1645. . (13)
Åñëè îáà äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû (13) íàêðûâàþò íóëü, ìîæíî
îãðàíè÷èòüñÿ ïðèìåíåíèåì êëàññè÷åñêîãî ÌÍÊ.  äàëüíåéøèõ ïðè -
áëèæåíèÿõ íåò íåîáõîäèìîñòè. Ïîëó÷åííûå ðå çóëü òàòû ìîæíî ñ÷è -
òàòü îêîí÷àòåëüíûìè.
Ìû íå ðàññìàòðèâàåì çäåñü ïàòîëîãè÷åñêèå ñëó÷àè ïðèìåíåíèÿ
êëàññè÷åñêîãî ÌÍÊ, êîãäà äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ À íå íàêðû -
âà åò íóëü, èëè êîãäà âåñü äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ e íàõîäèòñÿ â
îò ðè öàòåëüíîé îáëàñòè. Ýòè ñëó÷àè òðåáóþò ñïåöèàëüíîãî àíàëèçà.
Êî âòîðîìó ýòàïó âû÷èñëåíèé ïðèñòóïàþò â òîì ñëó÷àå, êîãäà äî -
âå ðèòåëüíûé èíòåðâàë äëÿ À íàêðûâàåò íóëü, à âåñü äîâåðèòåëüíûé
èí òåð âàë äëÿ e íàõîäèòñÿ â îáëàñòè ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé. Òàêîãî
ðî äà ðàñïðåäåëåíèÿ îñòàòî÷íûõ îøèáîê óäîâëåòâîðèòåëüíî ïðåä -
ñòàâ ëÿþòñÿ êðèâîé Ïèðñîíà VII òèïà (9), êîòîðóþ íàïèøåì â áîëåå
êîìïàêòíîì âèäå:
y m
c
Ri
m( ; , , )J l s
s
VII
VII
= - , (14)
ãäå J i — çíà÷åíèÿ îñòàòî÷íûõ îøèáîê,
c m m m= + - - -G G( )[ ( . ) ( . )]1 2 05 05 1p ,
R x a M= + - - -1 052 2 1( ) .s VII , M m m= - -( . )05 3 2 .
Çàòåì íàõîäèì ýôôåêòèâíûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ
(14), äèôôåðåíöèðóÿ ôóíêöèþ ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ L ïî l,
sVII è m, èñïîëüçóÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé, ïðåäëîæåííóþ Äæåôôðèñîì
[15] è âèäîèçìåíåííóþ â ðàáîòå [4]:
-
¶
¶
= - =-
=
å
ln
VII
L m
M
Ri
i
n
i
l s
J l
2
1
1
0( ) , (15)
-
¶
¶
= - - =-
=
å
ln
VII VII VII
L n m
M
Ri
i
n
i
s s s
J l
3
1
1
2 0( ) , (16)
-
¶
¶
= - +
-æ
è
çç
ö
ø
÷÷
= =
-å å
ln
ln
VII
L
m
n R M R
i
n
i
i
n
i
iy
J l
s
0
1
1
1
1
2
= 0, (17)
68
È. Â. ÄÆÓÍÜ
ãäå y 0= y(m + 1) - y(m + 0.5) – [2(m - 0.5)]-1, y(m) ¾ ïñè-ôóíêöèÿ,
M1 = 0.5m2(m + 1)(m - 0.5)-4.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (15)¾(17) ðåøàåòñÿ ìåòîäîì ïðèáëèæåíèé. Â
ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïðèíèìàåòñÿ l = åJi / n, s VII
2 = 0.933m2, m = 4.
Ñ öåëüþ âû÷èñëåíèÿ âåñà îøèáêè íàïèøåì ñëåäóþùåå ñîîò íî øå -
íèå, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî L çàâèñèò òîëüêî îò l, à çíà÷åíèÿ sVII è m äëÿ
ðàñ ïðåäåëåíèÿ (14) èçâåñòíû:
-
¶
¶
=
¢
å
ln VII
VII
L y m
y m
i
il
J l s
J l s
( ; , , )
( ; , , )
. (18)
Óìíîæàÿ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü â (18) íà Ji - l, ïîëó÷àåì îöåí -
êó äëÿ l, ïðåäïîëàãàþùóþ ïðèìåíåíèå ìåòîäà ïîñëåäî âàòåëü íûõ
ïðèáëèæåíèé:
l
J J l
J l
i
i i i
i i
p
p
=
-
-
å
å
-
-
( )
( )
1
1
. (19)
 ôîðìóëå (19) èíäåêñ i ïîêàçûâàåò íîìåð ïðèáëèæåíèÿ, à âåñà
p i(J - l i -1) îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå
p
y m
y m
i i
i
i i i
( )
( ; , , )
( ) ( ; , , )
J l
J l s
J l J l s
- =
¢
-
-
-
1
1
VII
VII
. (20)
Åñëè ïðèäåðæèâàòüñÿ âòîðîãî ïîñòóëàòà ÌÍÊ, ââåäåííîãî Ãàóñ -
ñîì, è ñ÷èòàòü íóëåâûìè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ âåëè÷èí J, òî
ôîðìóëà äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåñîâ ïðèîáðåòàåò îêîí ÷àòåëüíûé âèä:
p
y m
y m
m
m
i
i
i i
( )
( ; , , )
( ; , , )
.
q
J l s
J J l s
=
¢
=
-æ
è
ç
ö
ø
÷
VII
VII
05
3
2
2
1
2
s
J
VII +
é
ë
ê
ù
û
ú
-
i
m
, (21)
ãäå sVII è m ¾ îöåíêè ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿ Ïèðñîíà VII òèïà
äëÿ îñòàòî÷íûõ ïîãðåøíîñòåé, ïîëó÷åííûå èç ðåøåíèÿ ñèñòåìû
(15)¾(17).
Ïðàêòèêà ïîêàçûâàåò, ÷òî íåçíà÷èòåëüíûå îòëè÷èÿ l » åJi / n îò
íóëÿ íå îêàçûâàþò êàêîãî-ëèáî ñóùåñòâåííîãî âîçäåéñòâèÿ íà çíà ÷å -
íèÿ âåñîâ p i( )J .
Ïîñëå ïîëó÷åíèÿ âåñîâ (21) ïðèñòóïàþò ê òðåòüåìó ýòàïó âû÷èñ -
ëå íèé. Äëÿ ýòîãî êàæäîå óðàâíåíèå îøèáîê Ji â ñõåìàõ ÌÍÊ íîð ìè -
ðó þò, óìíîæàÿ åãî íà âåñ p i( )J , âû÷èñëåííûé ïî ôîðìóëå (21), è
ïîëó÷à þò âòîðîé ðàç îöåíêè èñêîìûõ ïàðàìåòðîâ, íî óæå ïðè óñëîâèè
J i
2å p i( )J = min.
Èñêîìûå ïàðàìåòðû (ïîïðàâêè) ïîëó÷àþò ïî ôîðìóëå
l D Dj l j
= / , (22)
ãäå D ¾ äåòåðìèíàíò ñèñòåìû íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé, Dl j
¾ îïðå -
äåëèòåëè ñîîòâåòñòâóþùèõ íåèçâåñòíûõ lj, j = 1, 2, ..., k.
69
ÎÁ ÝÂÎËÞÖÈÈ ÎÑÍÎÂ ÌÅÒÎÄÀ ÍÀÈÌÅÍÜØÈÕ ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ
Ñòàíäàðòíûå îøèáêè íàéäåííûõ çíà÷åíèé lj ïîëó÷èì èç ñîîòíî -
øå íèé
s sl
jj
j
A
D
2
0
2= ,
(23)
s
J J
0
2
2
=
-
å i ip
n k
( )
,
ãäå Ajj ¾ ìèíîðû ñîîòâåòñòâóþùèõ äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ ñèñòå ìû
íîðìàëüíûõ óðàâíåíèé.
 ìåíåå îòâåòñòâåííûõ ñëó÷àÿõ âåñà p i( )J îñòàòî÷íûõ ïîãðåø íîñ -
òåé Ji ìîæíî ïîëó÷àòü çíà÷èòåëüíî ïðîùå, áåç ðåøåíèÿ ñèñòåìû
(15)—(17), èñïîëüçóÿ ñëåäóþùóþ âåñîâóþ ôóíêöèþ, âïåðâûå ïîëó -
÷åí íóþ â ðàáîòå [2]:
p i
i
( )J
e
s b eJ
=
+
+
5 6
2 2
2
2
,
(24)
b e2 3= + ,
ãäå e — ýêñöåñ ðàñïðåäåëåíèÿ îñòàòî÷íûõ ïîãðåøíîñòåé, ïîëó÷åí -
íûé åùå íà ïåðâîì ýòàïå âû÷èñëåíèé.
 ðåçóëüòàòå íàøåãî èññëåäîâàíèÿ ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèå
âûâîäû.
1. Ïðè îáðàáîòêå àñòðîíîìè÷åñêèõ íàáëþäåíèé î÷åíü âàæíî ó÷è -
òû âàòü ðåàëüíûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçíîñòåé «ob ser va tion - cal cu -
la tion», òàê êàê èíôîðìàöèÿ ïî Ôèøåðó óâåëè÷èâàåòñÿ íå òîëüêî ñ
óìåíü øåíèåì s, íî è ñ óìåíüøåíèåì ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíèÿ Ïèð -
ñî íà VII òèïà. Ïðè ýòîì çàìåòèì, ÷òî äëÿ çàêîíà Ãàóññà m = ¥.
2. Ñ óâåëè÷åíèåì ÷èñëà íàáëþäåíèé ðàçíîñòè «ob ser va tion - cal cu -
la tion» ïðèîáðåòàþò âñå áîëåå îò÷åòëèâî âûðàæåííûé íåãàóññîâ õà -
ðàê òåð. Ýòè ðàçíîñòè ïî÷òè âñåãäà ñëåäóþò ðàñïðåäåëåíèþ Ïèðñîíà
VII òèïà. Îíè èìåþò, êàê ïðàâèëî, íà ïîðÿäîê è áîëåå ðàçëè÷àþùèåñÿ
âå ñà, ÷òî îáóñëîâëåíî íåïðåðûâíûì èçìåíåíèåì óñëîâèé àñòðîíî ìè -
÷åñêèõ íàáëþäåíèé. Ïîýòîìó âàæíîñòü ïðåäëîæåíîé íàìè ýâîëþ öè -
îí íîé ñõåìû ÌÍÊ áóäåò âîçðàñòàòü âìåñòå ñ âîçðàñòàíèåì îáú¸ìîâ
âûáîðîê â àñòðîìåòðè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòàõ.
Íàøå ðàññìîòðåíèå ìîæíî çàêîí÷èòü ñëîâàìè Ï. Ò. Øàðäåíà î
çíà ÷åíèè ýâîëþöèè [9]: «×òî òàêîå ýâîëþöèÿ ¾ òåîðèÿ, ñèñòåìà, ãè -
ïî òåçà?... Íåò, íå÷òî ãîðàçäî áîëüøåå, ÷åì âñå ýòî: îíà îñíîâíîå óñëî -
âèå, êîòîðîìó äîëæíû ïîä÷èíÿòüñÿ è óäîâëåòâîðÿòü âñå òåîðèè, ãèïî -
òå çû, ñèñòåìû, åñëè îíè õîòÿò áûòü ðàçóìíûìè è èñêðåííèìè».
1. Ãàóññ Ê. Ô. Èçáðàííûå ãåîäåçè÷åñêèå ñî÷èíåíèÿ / Ïîä ðåä. Ã. Â. Áàãðàòóíè. Ïåð. ñ
ëàò. è íåì. — Ì.: Èçä-âî ãåîäåç. ëèò., 1957.—Ò. 1. Ñïîñîá íàèìåíüøèõ êâàäðà -
òîâ.—234 ñ.
2. Äæóíü È. Â. Àíàëèç ïàðàëëåëüíûõ øèðîòíûõ íàáëþäåíèé, âûïîëíåííûõ ïî îá -
ùåé ïðîãðàììå: Àâòîðåô. äèñ. ... êàíä. ôèç-ìàò. íàóê. — Êèåâ: Èí-ò ìàòåìà òè -
êè ÀÍ Óêðàèíû, 1974.—19 ñ.
70
È. Â. ÄÆÓÍÜ
3. Äæóíü È. Â. Ðàñïðåäåëåíèå Ïèðñîíà VII òèïà îøèáîê ëàçåðíûõ íàáëþäåíèé ÈÑÇ
// Êèíåìàòèêà è ôèçèêà íåáåñ. òåë.—1991.—7, ¹ 3.—Ñ. 82—91.
4. Äæóíü È. Â. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ îáðàáîòêà àñòðîíîìè÷åñêîé è êîñìè÷åñêîé èíôîð -
ìàöèè ïðè íåãàóññîâûõ îøèáêàõ íàáëþäåíèé. Àâòîðåô. äèñ. ... ä-ðà ôèç.-ìàò.
íàóê. — Êèåâ: ÃÀÎ ÀÍ Óêðàèíû, 1992.—46 ñ.
5. Êåìíèö Þ. Â. Òåîðèÿ îøèáîê èçìåðåíèé. ¾ 2-å èçä., ïåðåðàá. è äîï. ¾ Ì.: Íåäðà,
1967.—176 ñ.
6. Êîðîëü À. Ê. Ñêëîíåíèÿ ÿðêèõ è ñëàáûõ ôóíäàìåíòàëüíûõ çâåçä â åäèíîé ñèñòåìå.
— Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1969.—234 ñ.
7. Êðàìåð Ã. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû ñòàòèñòèêè. — Ì.: Ìèð, 1978.—648 ñ.
8. Õàðèí À. Ñ., ßöêèâ ß. Ñ. Èçó÷åíèå îøèáîê íàáëþäåíèé Ãîëîñååâñêîãî êàòàëîãà
çâåçä øèðîòíûõ ïðîãðàìì // Àñòðîìåòðèÿ è àñòðîôèçèêà.—1970.—Âûï. 10.—
Ñ. 34—43.
9. Øàðäåí Ï. Ò. Ôåíîìåí ÷åëîâåêà. — Ì.: Íàóêà, 1987.—286 ñ.
10. Bessel F. W. Fundamenta astronomiae. — K`nigsberg, 1818.
11. Doolittle C. L. Re sults of ob ser va tion with the ze nith-tele scope and the Whar ton re flex
ze nith tube // Astron. J.—1910.—26, N 608.—P. 12—24.
12. Doolittle C. L. Re sults of ob ser va tion with the ze nith-tele scope and the Whar ton re flex
ze nith tube // Astron. J.—1912.—27, N 641.—P. 46—62.
13. Hulme H. R., Syms L. S. T. The law of er ror and the com bi na tion of ob ser va tions // Mon.
Notic. Roy. Astron. Soc.—1939.—99, N 8.—P. 642—658.
14. Jeffreys H. The law of er ror and the com bi na tion of ob ser va tions // Phil. Trans. Roy.
Soc. Lon don A.—1937.—N 237.—P. 231—271.
15. Jeffreys H. The law of er ror in the Green wich vari a tion of lat i tude ob ser va tions // Mon.
Notic. Roy Astron. Soc.—1939.—99, N 9.—P. 703—709.
16. Jeffreys H. The ory of Prob a bil ity. Sec. Edi tion. — Ox ford, 1940.—468 ð.
17. Legendre A. M. On the method of least sguares (1805) Trans lated from the french in “A
source book in math e matic” / Ed. D. E. Smith. — New York: Do ver Pub li ca tion Inc.,
1989.—P. 576—579.
18. New comb S. A. Gen er al ized the ory of the com bi na tion of ob ser va tions so as to ob tain
the best re sult // Amer. J. Math.—1886.—N 1/14.—P. 343—366.
19. New comb S. Re searches of the mo tion of the Moon // Astron. Pap. Publ. US Naut.
Of fice.—1912.—9.—P. 1—249.
20. Sta tis ti cal meth ods in ex per i men tal phys ics / W. T. Eadie, D. Dryard, F. E. James,
M. Roos, B. Sadoulet. — Cern, Geneva and Uni ver sity of Hel sinki, Am ster dam —
Lon don: North-Hol land Publisching Com pany, 1971.—330 p.
Ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 11.02.11
71
ÎÁ ÝÂÎËÞÖÈÈ ÎÑÍÎÂ ÌÅÒÎÄÀ ÍÀÈÌÅÍÜØÈÕ ÊÂÀÄÐÀÒÎÂ
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-76044 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0233-7665 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:02:57Z |
| publishDate | 2011 |
| publisher | Головна астрономічна обсерваторія НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Джунь, И.В. 2015-02-07T16:07:09Z 2015-02-07T16:07:09Z 2011 Об эволюции основ метода наименьших квадратов на основе принципа максимума информации по Фишеру / И.В. Джунь // Кинематика и физика небесных тел. — 2011. — Т. 27, № 6. — С. 64-71. — Бібліогр.: 20 назв. — рос. 0233-7665 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/76044 519.281.2:528.1:521.1 Рассмотрены вопросы эволюции метода наименьших квадратов на основе замены гауссовского принципа наибольшего веса фишеровским принципом максимума информации. Приведены рабочие формулы для практической реализации процедур метода наименьших квадратов с целью максимизации информации по Фишеру. Розглянуто питання еволюції методу найменших квадратів на основі заміни гауссiвського принципу найбільшої ваги фішерівським принципом максимуму інформації. Наведено робочі формули для практичної реалізації процедур методу найменших квадратів з метою максимізації інформації за Фішером. We consider the question on the evolution of the least-squares method on the basis of the substitution of the Fisher principle of maximum information for the Gaussian greatest weight principle. Working formulas for practical realization of the least-squares method procedures with the aim of the Fisher maximization of information are given. ru Головна астрономічна обсерваторія НАН України Кинематика и физика небесных тел Математическая обработка астроинформации Об эволюции основ метода наименьших квадратов на основе принципа максимума информации по Фишеру Про еволюцію положень методу найменших квадратів на основі приципу максимуму інформації за Фішером On the evolution of concepts of the least-squares method on the basis of the Fisher principle of maximum information Article published earlier |
| spellingShingle | Об эволюции основ метода наименьших квадратов на основе принципа максимума информации по Фишеру Джунь, И.В. Математическая обработка астроинформации |
| title | Об эволюции основ метода наименьших квадратов на основе принципа максимума информации по Фишеру |
| title_alt | Про еволюцію положень методу найменших квадратів на основі приципу максимуму інформації за Фішером On the evolution of concepts of the least-squares method on the basis of the Fisher principle of maximum information |
| title_full | Об эволюции основ метода наименьших квадратов на основе принципа максимума информации по Фишеру |
| title_fullStr | Об эволюции основ метода наименьших квадратов на основе принципа максимума информации по Фишеру |
| title_full_unstemmed | Об эволюции основ метода наименьших квадратов на основе принципа максимума информации по Фишеру |
| title_short | Об эволюции основ метода наименьших квадратов на основе принципа максимума информации по Фишеру |
| title_sort | об эволюции основ метода наименьших квадратов на основе принципа максимума информации по фишеру |
| topic | Математическая обработка астроинформации |
| topic_facet | Математическая обработка астроинформации |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/76044 |
| work_keys_str_mv | AT džunʹiv obévolûciiosnovmetodanaimenʹšihkvadratovnaosnoveprincipamaksimumainformaciipofišeru AT džunʹiv proevolûcíûpoloženʹmetodunaimenšihkvadratívnaosnovípricipumaksimumuínformacíízafíšerom AT džunʹiv ontheevolutionofconceptsoftheleastsquaresmethodonthebasisofthefisherprincipleofmaximuminformation |