Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. І. Когерентна складова динамічної картини розсіяння

В рамках динамічної теорії розсіяння Рентґенових променів у недосконалих кристалах розглянуто випадок геометрії дифракції за Ляве без обмежень на розміри дефектів. Одержано аналітичні вирази для когерентних компонент коефіцієнтів проходження і відбиття для кристалів з однорідно розподіленим...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Published in:	Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
Date:	2008
Main Authors:	Молодкін, В.Б., Оліховський, С.Й., Шелудченко, Б.В., Лень, Є.Г., Когут, М.Т.
Format:	Article
Language:	Ukrainian
Published:	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2008
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/76087
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. І. Когерентна складова динамічної картини розсіяння / В.Б. Молодкін, С.Й. Оліховський, Б.В. Шелудченко, Є.Г. Лень, М.Т. Когут // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2008. — Т. 6, № 3. — С. 785-806. — Бібліогр.: 23 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860024107232395264
author	Молодкін, В.Б. Оліховський, С.Й. Шелудченко, Б.В. Лень, Є.Г. Когут, М.Т.
author_facet	Молодкін, В.Б. Оліховський, С.Й. Шелудченко, Б.В. Лень, Є.Г. Когут, М.Т.
citation_txt	Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. І. Когерентна складова динамічної картини розсіяння / В.Б. Молодкін, С.Й. Оліховський, Б.В. Шелудченко, Є.Г. Лень, М.Т. Когут // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2008. — Т. 6, № 3. — С. 785-806. — Бібліогр.: 23 назв. — укр.
collection	DSpace DC
container_title	Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
description	В рамках динамічної теорії розсіяння Рентґенових променів у недосконалих кристалах розглянуто випадок геометрії дифракції за Ляве без обмежень на розміри дефектів. Одержано аналітичні вирази для когерентних компонент коефіцієнтів проходження і відбиття для кристалів з однорідно розподіленими дефектами ріжних типів. З урахуванням анізотропії полів зміщень атомів кристалу навколо дефектів одержано аналітичні вирази для дисперсійних поправок до хвильових векторів «сильних» Бреґґових хвиль, які виникають внаслідок дифузного розсіяння. Враховано інструментальні фактори трикристального дифрактометра у режимі картографування оберненого простору. В рамках динамической теории рассеяния рентгеновских лучей в несовершенных кристаллах рассмотрен случай геометрии дифракции по Лауэ без ограничений на размеры дефектов. Получены аналитические выражения для когерентных компонент коэффициентов прохождения и отражения для кристалла с однородно распределёнными дефектами разных типов. С учетом анизотропии полей смещений атомов кристалла вокруг дефектов получены аналитические выражения для дисперсионных поправок к волновым векторам «сильных» брэгговских волн, возникающих вследствие диффузного рассеяния. Учтены инструментальные факторы трехкристального дифрактометра в режиме картографирования обратного пространства. Within the dynamical theory of x-ray scattering by imperfect crystal without defect-size restrictions, the case of Laue-diffraction geometry is considered. Analytical expressions for the coherent components of transmission and reflection coefficients for the crystal containing homogenously distributed defects of various types are obtained. Taking into account anisotropy of atomic-displacement fields about crystal defects, the analytical expressions for the dispersion corrections to the wave vectors of ‘strong’ Bragg waves appeared due to the diffuse scattering are derived. The instrumental factors of the three-crystal diffractometer in a mode of mapping of reciprocal space are considered.
first_indexed	2025-12-07T16:48:37Z
format	Article
fulltext	785 PACS numbers: 07.85.Jy, 61.05.cc, 61.05.cf, 61.05.cp, 61.72.Dd, 61.72.J-, 61.72.Lk Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. І. Когерентна складова динамічної картини розсіяння В. Б. Молодкін, С. Й. Оліховський, Б. В. Шелудченко, Є. Г. Лень, М. Т. Когут Інститут металофізики ім. Г. В. Курдюмова НАН України, бульв. Акад. Вернадського, 36, 03680, МСП, Київ-142, Україна В рамках динамічної теорії розсіяння Рентґенових променів у недоскона- лих кристалах розглянуто випадок геометрії дифракції за Ляве без обме- жень на розміри дефектів. Одержано аналітичні вирази для когерентних компонент коефіцієнтів проходження і відбиття для кристалів з однорід- но розподіленими дефектами ріжних типів. З урахуванням анізотропії полів зміщень атомів кристалу навколо дефектів одержано аналітичні вирази для дисперсійних поправок до хвильових векторів «сильних» Бре- ґґових хвиль, які виникають внаслідок дифузного розсіяння. Враховано інструментальні фактори трикристального дифрактометра у режимі кар- тографування оберненого простору. В рамках динамической теории рассеяния рентгеновских лучей в несо- вершенных кристаллах рассмотрен случай геометрии дифракции по Лауэ без ограничений на размеры дефектов. Получены аналитические выра- жения для когерентных компонент коэффициентов прохождения и отра- жения для кристалла с однородно распределёнными дефектами разных типов. С учетом анизотропии полей смещений атомов кристалла вокруг дефектов получены аналитические выражения для дисперсионных по- правок к волновым векторам «сильных» брэгговских волн, возникающих вследствие диффузного рассеяния. Учтены инструментальные факторы трехкристального дифрактометра в режиме картографирования обратно- го пространства. Within the dynamical theory of x-ray scattering by imperfect crystal without defect-size restrictions, the case of Laue-diffraction geometry is considered. Analytical expressions for the coherent components of transmission and re- flection coefficients for the crystal containing homogenously distributed de- fects of various types are obtained. Taking into account anisotropy of atomic- Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Nanosystems, Nanomaterials, Nanotechnologies 2008, т. 6, № 3, сс. 785—806 © 2008 ІМФ (Інститут металофізики ім. Г. В. Курдюмова НАН України) Надруковано в Україні. Фотокопіювання дозволено тільки відповідно до ліцензії 786 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін. displacement fields about crystal defects, the analytical expressions for the dispersion corrections to the wave vectors of ‘strong’ Bragg waves appeared due to the diffuse scattering are derived. The instrumental factors of the three-crystal diffractometer in a mode of mapping of reciprocal space are considered. Ключові слова: Ляве-дифракція, трикристальна дифрактометрія, ди- намічна теорія дифракції, дефекти Кульонового типу, когерентне і ди- фузне розсіяння, анізотропія поля пружньої деформації, дисперсійні поправки внаслідок дифузного розсіяння. (Отримано 1 вересня 2008 р.) 1. ВСТУП Розсіяння Рентґенових променів (а також невтронів та заряджених частинок) є однією з найважливіших неруйнівних метод дослі- дження недосконалостей кристалічної структури твердих тіл [1, 2]. Останнім часом в наукових дослідженнях і на практиці усе більше використовуються майже досконалі кристалічні системи з цілесп- рямовано створеною дефектною структурою, які є основою сучас- них і майбутніх нанотехнологій. Відповідно стає актуальною зада- ча дослідження їх структурної досконалости адекватними динамі- чними рентґенодифракційними методами [3—5]. Найбільш інфор- мативними серед них є підходи, що базуються на трикристальній Рентґеновій дифрактометрії, яка надає змогу картографувати у просторі оберненої ґратниці розподіл дифрагованої у зразку інтен- сивности [4, 6—12]. Узагальнення статистичної динамічної теорії дифракції Рентґе- нових променів у кристалах з однорідно розподіленими дефектами, яке враховує багатократність Бреґґового і дифузного розсіяння як на середній (періодичній), так і на флюктуаційній частинах поля- ризовности кристалу, було виконано в роботах [13, 14]. Для випад- ку геометрії дифракції за Бреґґом в них одержано аналітичні вира- зи для когерентної і дифузної компонент коефіцієнта відбиття, які описують процеси розсіяння Рентґенового випромінення криста- лом з дефектами як малих, так і великих розмірів. Випадок дифракції за Ляве було розглянуто в рамках тієї ж уза- гальненої динамічної теорії Рентґенових променів у монокристалах з дефектами довільних розмірів у роботі [15], де були головним чи- ном одержані вирази для Бреґґової та дифузної складових інтеґра- льної інтенсивности. Однак розв’язання задачі трикристального картографування дифрагованої інтенсивности в просторі оберненої ґратниці вимагає диференційного (неінтеґрального) розгляду кар- тини розсіяння. Детальне дослідження при Ляве-дифракції розпо- ділів в оберненім просторі інтенсивности динамічного дифузного КОГЕРЕНТНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 787 розсіяння (ДР) для дефектів ріжних типів в залежности від товщи- ни кристалу проведено в роботі [16]. При розгляді ДР від кластерів було враховано анізотропію кристалічної ґратниці, а від дисльока- ційних петель – асиметрію полів зміщень атомів навколо них. Од- нак в цій роботі ще не було зроблено узагальнення на важливий ви- падок наявности в кристалі дефектів великих розмірів, сумірних з довжиною екстинкції, а також не розглядалася когерентна складо- ва картини розсіяння, яка в динамічному підході є не менш чутли- вою до параметрів дефектів, а ніж ДР [13, 14], зокрема, завдяки ефектам екстинкції за рахунок ДР. При цьому вирази для інтенси- вности ДР було одержано в [16] без врахування внеску области роз- сіяння Стокса—Вільсона та інструментальних факторів, у тому чис- лі й апаратурного інтеґрування трикристальним дифрактометром (ТКД) інтенсивности Рентґенового пучка по вертикальній розбіж- ности. Крім того, в згаданих вище роботах не приймалося до уваги, що сферично несиметричні дефекти можуть мати в кристалі лише дискретній набір рівноцінних орієнтацій, тобто, не проводилося аналітичне усереднення інтенсивности ДР, наприклад, від дисльо- каційних петель з врахуванням дискретної орієнтації їх Бюрґерсо- вих векторів (в роботі [17] вплив ефектів анізотропії полів зміщень атомів кристалу навколо цих дефектів на картину розсіяння прово- дився шляхом числового розрахунку). В першій частині даної роботи, що виходить окремою статтею, спираючись на узагальнену динамічну теорію розсіяння (розд. 2), для випадку геометрії дифракції за Ляве одержано аналітичні ви- рази для когерентних компонент коефіцієнтів проходження і від- биття кристалу з однорідно розподіленими дефектами довільних розмірів (розд. 3). З урахуванням ефектів анізотропії полів зміщень атомів кристалу навколо дефектів одержано аналітичні вирази для дисперсійних поправок до хвильових векторів когерентних хвиль, що виникають внаслідок ДР (розд. 4). Враховано інструментальні фактори ТКД, що забезпечило можливість аналізувати експериме- нтальні розподіли в просторі оберненої ґратниці когерентної і ди- фузної складових дифрагованої інтенсивности (розд. 5). У другій частині роботи, яка друкується окремо, буде розглянуто дифузну складову динамічної картини розсіяння Рентґенових променів від недосконалих кристалів, яка реєструється на ТКД у режимі карто- графування оберненого простору. 2. ОСНОВНІ РІВНАННЯ Хвильове поле електричної індукції D(r), що збуджується в крис- талі падаючою з вакууму гармонічною пласкою хвилею з елект- ричною напруженістю ( ) ( )0 exp /i it c= − + ωE r E Kr (r – просторо- ва координата, t – час, ω і c – відповідно частота і швидкість 788 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін. світла, 2 /K = π λ – модуль хвильового вектора, λ – довжина хвилі), описується хвильовим рівнанням ( )2 rotrotKΔ + + χ =D D D 0 , (1) яке одержується з рівнань Максвела за умови 1χ << , де ( )χ r – поляризовність кристалу, помножена на 4π [3]. На відміну від досконалого кристалу, де поляризовність ( )χ r можна розглядати як періодичну функцію і розвинути в ряд Фур’є по векторах оберненої ґратниці, в недосконалім кристалі цю функцію, як і поле електричної індукції D(r), слід представ- ляти у вигляді інтеґрала Фур’є [5]: ( ) ( ) ( )− +− +χ = χ ≅ χ π ∑∑∫3 2 iicv d e e G q rqr q G q G q r q , (2) ( ) ( ) ( )− +− += ≅ π ∑∑∫3 2 iicv d e e G q rqr q G q G q D r qD D , (3) де інтеґрування проводиться по всьому імпульсному просторі, а q в сумах (2) і (3) пробігає N дискретних значень в першій Бріллюено- вій зоні; vc – об’єм елементарної комірки. Підстановка (2) та (3) в (1) дає систему основних рівнань для недосконалого кристалу: ( )2 2K k + − −− − χ × × =∑∑k G q k G q G q D k k D 0 . (4) Ця нескінченна система містить в собі амплітуди сильних і слабких Бреґґових хвиль DG ( , ,...= ±G 0 H ), а також амплітуди дифузно роз- сіяних хвиль +G kD ( ≠k 0 ). Для розв’язання системи (1) Фур’є-компоненту χG+g поляризовно- сти кристалу зручно подати у вигляді суми усередненої за ансамб- лем дефектів та флюктуаційної (δχG+g) складових: + + +χ = χ + δχG q G q G q , (5) причому флюктуаційна складова +δχ = χ − χG q G G при 0=q і + +δχ = χG q G q при ≠q 0 . Аналогічно хвильове поле вектора електри- чної індукції можна представити у вигляді суми усередненого за ансамблем дефектів і флюктуаційного доданків, які відповідають когерентно й дифузно розсіяним хвильовим полям: ( ) ( ) ( )= + δD r D r D r , (6) ( ) 0i ie e− −= ∑K r Gr G G D r D , (7) КОГЕРЕНТНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 789 ( ) ( )0 iie e− +− + ≠ δ = ∑ ∑ G q rK r G q G q 0 D r D , (8) де K0 – хвильовий вектор прохідної когерентної пласкої хвилі в кристалі, а кутові дужки означають усереднення по статистич- ному ансамблю дефектів. У двохвильовому випадку дифракції всередині кристалу збері- гаються тільки дві так звані «сильні» Бреґґові (когерентні) хвилі. Тоді у рівнаннях (4), так само, як і у виразах (7) і (8), залишаються тільки дві амплітуди когерентних хвиль DG ( ,=G 0 H ) і відповідні їм 2N амплітуд дифузно розсіяних хвиль +G qD (N – число векторів оберненого простору, що перебувають у межах першої Бріллюено- вої зони та задовольняють умовам циклічности). Рештою Бреґґових (слабких) й дифузно розсіяних хвиль (з ,≠G 0 H ) можна знехтува- ти. Тоді нескінченну систему (4) можна представити у вигляді двох зв’язаних систем рівнань, а саме, однієї для двох амплітуд залом- леної (D0) і дифрагованої (DH) когерентних пласких хвиль із хви- льовими векторами 0=k K і 0= = +Hk K K H : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2 , 2 , D CE D D C D CE D D C D D − − − + − + − − ⎧ − ε + χ + χ = − δχ + δχ ⎪ ⎨ χ + − ε + χ = − δχ + δχ⎪ ⎩ ∑ ∑ H H q q H q H q q H H H H q q q H q q (9) і другої для 2N амплітуд заломлених (Dq) і дифрагованих (DH+q) дифузно розсіяних пласких хвиль із хвильовими векторами qKKk q +== 00 і qKKk HHq +== : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2 , 2 , D CE D D C D D C D CE D D C D D C D D − + ′ ′ ′ ′− + − − + + − ′≠ + ′ ′ ′ ′+ + − + − ′≠ ⎧ − ε + χ + χ = ⎪ ⎪= − δχ + δχ − δχ + δχ ⎪ ⎨ χ + − ε + χ =⎪ ⎪ = − δχ + δχ − δχ + δχ⎪ ⎩ ∑ ∑ q q H H q q H q H q q q H q H q q q q H q Hq H q H q q H H q q q q H q q q q (10) де поляризаційний множник C = 1 або C = 2θB відповідно для σ- й π- поляризацій вектора D, ( )expE L= − H – статичний фактор Криво- глаза—Дебая—Валлера [1]; θB – Бреґґів кут. Похибки збудження для сильних Бреґґових хвиль у рівнаннях (9) і для дифузно розсія- них хвиль у рівнаннях (10) відповідно означені як: 2 2 22 K K K K K K − − ε = ≈G G G , 2 2 22 K K K K K K − − ε = ≈Gq Gq Gq , (11) де G = 0 і H. 790 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін. Нескінченна система рівнань (10) може бути розв’язана мето- дом ітерацій. Відповідний розв’язок має вигляд [13, 14]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0 0 0 1 2 ,D CE A A d − ′ ′ ′ ′⎡ ⎤⎡ ⎤= χ + Δχ − − ε + χ + Δχ⎣ ⎦ ⎣ ⎦q H H H Hq HHq q q q q (12) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0 0 0 0 00 1 2 ,D CE A A d+ ′ ′ ′ ′⎡ ⎤⎡ ⎤= χ + Δχ − − ε + χ + Δχ⎣ ⎦ ⎣ ⎦H q H H q Hq q q q q K2O q11 q21q12 q22 K1O K1H K2H Δθ n H OH H OH k K' K K Δθ' Рис. 1. Співвідношення між хвильовими векторами когерентних ( 0 δK , δ HK ) та дифузно розсіяних ( 0 δ δτ+K q , δ δτ+HK q ) пласких хвиль і відповідними переданими імпульсами ( δτq ) всередині кристалу для симетричного випа- дку дифракції за Ляве (H – вектор оберненої ґратниці). Хвильові вектори падаючої (K) та дифузно розсіяної (K′) пласких хвиль у вакуумі показано у відповідности до межових умов; n – внутрішня нормаль до вхідної повер- хні кристалу, Δθ та Δθ′ – кутові відхилення відповідно векторів K та K′ від їх точних Бреґґових напрямків в площині ( ),K H ; k – переданий ім- пульс у вакуумі. Гілки гіперболи є перетинами листів дисперсійної повер- хні з площиною когерентного розсіяння ( ),K H , вектори δτq , k та K′ мають компоненти, перпендикулярні до цієї площини. КОГЕРЕНТНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 791 де позначено: ( ) ( )0 0 0, ,A D C D A C D D− + +′ ′= δχ + δχ = δχ + δχq H q H H H q q Hq q ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 a sC S d ′ ′ ′ ′ ′≠ ′ ′ ′− + Δχ − ′ ′Δχ = ′ −∑ GG GG GG GG q q q q q q q q q q , (13) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 00 0 0 0 2 2 . d CE CE− ′⎡ ⎤= − ε + χ + Δχ ×⎣ ⎦ ′ ′ ′⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤× − ε + χ + Δχ − χ + Δχ χ + Δχ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ q Hq HH H H H H q q q q q (14) Вираз (13) представляє дисперсійні поправки до хвильових векто- рів дифузно розсіяних хвиль, а рівнання d(q) = 0 описує дисперсій- ну поверхню для цих векторів і при врахуванні межових умов дає змогу знайти передані імпульси qδτ (δ, τ = 1, 2) від хвильових векто- рів сильних Бреґґових хвиль до хвильових векторів дифузно розсі- яних хвиль (див. рис. 1). У формулах (13) та (14) використано позначення s = 1 при ′ ≠G G і s = −1 при ′ =G G , ( ) 02a = − ε + χGG Gqq , ( )a CE′ ′−= χGG G Gq при ′ ≠G G . Кореляційна функція в (13) визначається як середнє по ансамблю дефектів: ( ) 2 2S ′ ′− + − + −= δχ δχGG q H G q H Gq , (15) де G й ′ =G 0 або H, і була введена замість відповідних добутків флюктуаційних компонент Фур’є поляризовности кристалу. Така заміна можлива, якщо можна знехтувати відхиленням добутків флюктуаційних компонент від їхнього усередненого добутку, що буде мати місце, якщо об’єм кристалу і концентрація дефектів до- сить великі, і розподіл дефектів можна вважати однорідним. При одержанні рівнань (13) припускалось, що виконано нерівності: − − ± ± − ±δχ δχ << δχ δχ << δχ δχq q q q H q H q H , (16) які справедливі в области q << H, оскільки +δχ ∝ +H q H q [4]. Щоб описати ослаблення когерентних хвиль внаслідок ДР, по- трібно підставити амплітуди дифузних хвиль (12) у праву частину рівнань (9). Враховуючи нерівності (16) і нехтуючи доданками більш високого порядку малости, одержимо систему рівнань для визначення амплітуд сильних Бреґґових хвиль: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 00 0 0 0 0 0 2 0, 2 0, D CE D CE D D −⎧ − ε + χ + Δχ + χ + Δχ =⎪ ⎨ χ + Δχ + − ε + χ + Δχ =⎪⎩ H H H H H H HH H (17) де дисперсійні поправки до хвильових векторів «сильних» Бреґ- 792 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін. ґових хвиль, що обумовлені ДР, визначаються за допомогою на- ступних рівнань [13, 14]: ( ) ( ) ( ) ( )2 a sC S d ′ ′ ′ ′ + Δχ Δχ = −∑ GG G G GG GG q q q q q . (18) Одержані із застосуванням теорії збурень рівнання для амплі- туд хвиль (17) і дисперсійних поправок (18) справедливі, якщо виконується нерівність ( ) E′ ±Δχ << χGG Hq , (19) де , ,′ =G G 0 H й врахована нерівність 0±χ < χH . 3. КОГЕРЕНТНІ КОМПОНЕНТИ КОЕФІЦІЄНТІВ ПРОХОДЖЕННЯ ТА ВІДБИТТЯ Однорідна система рівнань (17) може мати відмінні від нуля розв’язки тільки за умови рівности нулю її детермінанта: 0 0 00 0 0 0( 2 )( 2 ) ( )( ) 0.CE CE−− ε + χ + Δχ − ε + χ + Δχ − χ + Δχ χ + Δχ =H HH H H H H (20) Корені дисперсійного рівнання (20) можна визначити, скорис- тавшись зв’язком між величинами похибок збудження ε0 і εH (11) для хвильових векторів прохідної та дифрагованої пласких хвиль ( )0 0 0/= + ε γK K n , ( )/= + ε γH H HK K n , що записані з врахуван- ням межових умов для них: 0 0/ , sin2 ,Bε = ε γ γ + α α = −Δθ θH H % % (21) де n – внутрішня нормаль до вхідної поверхні пласкопаралельної кристалічної пластинки, /B KΔθ ≅ −K K – відхилення хвильово- го вектора K падаючої хвилі від точного Бреґґового напрямку KB. Оскільки квадратне рівнання (20) має два корені, то ми одержуємо два ріжних листи дисперсійної поверхні, а відтак, і по два хвильо- вих вектори для прохідної 0 δK та дифрагованої δ HK «сильних» Бреґ- ґових хвиль (δ = 1, 2). Підставляючи (21) в (20), одержимо акомода- ції 0 0/δ δΔ = ε γ хвильового вектора падаючої пласкої хвилі в криста- лі 0 Kδ δ= + ΔK K n : ( ) ( )( )2 0 00 0 1 1 1 2 2 y y δ δ λ Δ = χ + Δχ + + − + γ Λ , (22) КОГЕРЕНТНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 793 0y b α − α = σ % , ( )0 0 0 00 1 2 b α = χ + Δχ − χ + ΔχHH , bλγ Λ = σ H , ( ) ( )2 0 0CE CE−σ = χ + Δχ χ + ΔχH H H H , де = γ γ0 /b H – параметер асиметрії дифракції; γ0 і γH – напрям- ні косинуси відповідно прохідної та дифрагованої хвиль, δ = 1, 2. Відповідно всередині кристалу утворяться дві пласкі хвилі зало- мленого випромінення із хвильовими векторами 0 Kδ δ= + ΔK K n й амплітудами ( ) 0D δ , що формують прохідну хвилю: ( ) ( ) ( )T 0 0expD D iδ δ δ = −∑r K r , (23) й відповідні їм дві пласкі хвилі дифрагованого випромінення із хвильовими векторами Kδ δ= + + ΔHK K H n й амплітудами ( )D δ H : ( ) ( ) ( )S expD D iδ δ δ = −∑ H Hr K r , (24) де ( ), ,x y z=r – координата всередині кристалу. Таким чином, сумарне когерентне хвильове поле в кристалі складається із чо- тирьох пласких хвиль: ( ) ( ) ( )T SD D D= +r r r% . (25) Для визначення амплітуд ( ) 0D δ і ( )D δ H потрібно скористатися умовами неперервности хвильового поля на межі переходу з вакууму в крис- тал. На вхідній поверхні кристалу межові умови мають вигляд: ( ) ( ) ( )T 0 0 S 0exp , 0 ,z zD E i D= == − =r Kr r (26) де E0 – амплітуда падаючої пласкої хвилі. Враховуючи зв’язок між амплітудами ( ) 0D δ й ( )D δ H згідно (17): ( ) ( ) ( ) 0D c Dδ δ δ=H , ( ) 0 0 00 0 2 c CE δ δ − − γ Δ + χ + Δχ = − χ + ΔχH H , (27) одержимо з умов (26) значення амплітуд: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 1 1 c E D c c ′δ δδ = − − − , .′δ ≠ δ (28) Після проходження випромінення через кристал у вакуумі утво- рюються дві пласкі хвилі: одна, з амплітудою ET і хвильовим векто- ром 0 ′K , що відповідає прохідній хвилі, і друга з амплітудою ES – дифрагованій. Із закону збереження енергії й неперервности танґе- нційних компонент хвильових векторів на поверхнях кристалу ви- 794 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін. пливає, що хвильовий вектор 0 ′K прохідної хвилі у вакуумі дорів- нює хвильовому вектору K падаючої на кристал пласкої хвилі. Аналогічно, хвильовий вектор ′ HK дифрагованої хвилі у вакуумі може бути знайдений з умови K K′ =H та рівности танґенційних компонент векторів ′ HK та δ HK : ( )/δ δ′= + ε γH H H HK K n . З використанням умов неперервности хвильового поля на ви- хідній поверхні кристалу (z = t, t – товщина кристалу) можна одержати з рівнань (23) амплітуди ET і ES: ( ) ( ) ( ) ( )0exp , exp .T T z t S S z tD E i D E i= =′ ′= − = − Hr K r r K r (29) Розв’язок цієї системи з урахуванням рівностей (26) визначає амплітуди ET й ES через E0: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 10 1 22 1 exp expT E E c iK t c iK t c c ⎡ ⎤= − Δ − − Δ⎣ ⎦− , (30) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 1 22 1 exp exp expS E c c E iK t iK t iKt c c ⎡ ⎤= − Δ − − Δ − α⎣ ⎦− % . (31) У виразі (22) можна виділити два доданки: β – загальний для акомодацій Δ1 і Δ2, та доданок пропорційний W, який входить з про- тилежними знаками: ( )0 00 0 1 2 2 b y σ β = χ + Δχ + γ γ , 2 1W y b σ = + . (32) З урахуванням (32) можна переписати (30) та (31) у більш зру- чному для аналізи вигляді: ( ) ( ) ( ) − β = × + ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ × + + − − − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟γ γ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ T 0 2 2 2 exp 2 1 1 exp 1 exp , 2 2 iKt E E y KtW KtW y y i y y i H H (33) ( ) ( ) − − βσ = × χ + Δχ + ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ × − − − α⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟γ γ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ % 0 S 2 0 exp 2 1 exp exp exp . 2 2 iKtE b E CE y KtW KtW i i iKt H H H H (34) Коефіцієнти проходження T і відбиття R за означенням дорів- нюють квадрату модуля відношень амплітуд відповідно прохідної та дифрагованої хвиль до амплітуди падаючої хвилі: КОГЕРЕНТНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 795 2 0 TE T E = , 2 0 0 SE R E γ = γ H . (35) Уявну частину величини β, що входить у показник експонент в (33)—(34) та визначає коефіцієнт поглинання, можна записати у ви- гляді двох доданків: ( )0 DS 1 Im K β = μ + Μ , (36) де μ0 – нормальний коефіцієнт фотоелектричного поглинання i0 0 0 1 1 2 K ⎛ ⎞χ μ = − +⎜ ⎟γ γ⎝ ⎠H , (37) а DSΜ – нормальний коефіцієнт поглинання, що обумовлений уя- вною частиною дисперсійних поправок внаслідок ДР на дефектах до хвильових векторів «сильних» Бреґґових хвиль у випадку диф- ракції за Ляве: 00 0 Im 2DS K ⎛ ⎞Δχ Δχ Μ = − +⎜ ⎟γ γ⎝ ⎠ HH H . (38) У виразі (37) iχ G (G = 0, , H ) представляє відповідну Фур’є- компоненту уявної частини комплексної поляризовности кристалу r i( ) ( ) ( )χ = χ + χr r r . Тоді для коефіцієнтів проходження й відбиття (35) одержимо ви- рази: ( ) ( ) ( ) 0 DS 22 2 2 2 2 i i 1 exp 4 1 1 exp 1 exp T t y y y Ktw y y Ktw ⎡ ⎤= − μ + Μ ×⎣ ⎦ + ⎧× + + − + − + −⎨ ⎩ ( ) ( ) ( ) * 2 2 r2Re 1 1 exp ,y y y y iKtw ⎫⎡ ⎤− + + − + ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎭ (39) ( ) ( ) ( ) ( ){ }20 DS i i r22 exp exp exp 2cos 4 1 R t Ktw Ktw Ktw y = ⎡ ⎤− μ + Μ⎣ ⎦= ς + − − + ,(40) де wr = Rew, wi = Imw, w = W/γH, ( ) ( ) 1/21 0 0 .CE CE − − ⎡ ⎤ς = χ + Δχ χ + Δχ⎣ ⎦H H H H 796 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін. На рисунках 2 і 3 представлено кутові залежності коефіцієнтів відбиття і проходження монокристалічної пластинки кремнію то- вщиною 500 мкм з однорідно розподіленими дефектами в геометрії дифракції за Ляве відповідно для асимптотичних випадків тонкого (випромінення MoKα) і товстого (випромінення CuKα) кристалів. Для порівняння на рисунках наведено також коефіцієнти відбиття і проходження досконалого кристалу (товста суцільна лінія). У випадку тонкого кристалу (рис. 2, а, б) зі збільшенням величини коефіцієнта поглинання внаслідок ДР максимуми центрального і бокових піків коефіцієнтів відбиття і проходження знижуються, але в незначній мірі. У випадку товстого кристалу, як видно з рис. 3, а і б, вплив екстинкції внаслідок ДР значно зростає порівняно з попере- днім випадком, що обумовлено збільшенням коефіцієнта аномально- го проходження (μAT = μ0 − μHCЕ, де μH = K\|χiH\|) за рахунок додавання до нього коефіцієнта поглинання внаслідок ДР μds (див. (68)). а б в г Рис. 2. Криві дифракційного відбиття (а і в) і проходження (б і г) кристалу кремнію товщиною 500 мкм у випадку симетричної геометрії дифракції за Ляве (рефлекс Si (220), випромінення MoKα , що відповідає наближенню тон- кого кристалу, Λ ≈ 41мкм) при ріжних значеннях коефіцієнта поглинання внаслідок ДР (а і б) і показника статичногофактораДебая—Валлера (в і г). КОГЕРЕНТНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 797 Збільшення величини показника LH статичного фактора Криво- глаза—Дебая—Валлера E у випадку товстого кристалу призводить до його зменшення і, відповідно, до збільшення коефіцієнта аномаль- ного проходження μAT (рис. 3, в, г), що подібно до впливу коефіцієн- та поглинання внаслідок ДР. У той же час, у випадку тонкого крис- талу збільшення величини показника статичного фактора Криво- глаза—Дебая—Валлера призводить до зміни фаз хвильових полів у недосконалім кристалі. При цьому спостерігається не тільки зни- ження висоти піків, як у товстому кристалі (рис. 3, в, г), а і зміна їх тонкої структури, зокрема, змінюється форма центральної частини кутових залежностей T і R та збільшується період їх бокових осци- ляцій (рис. 2, в, г). Для деяких значень показника LH ефект зміни фазових співвідношень є настільки сильним, що спостерігається обернення контрасту коефіцієнтів проходження і відбиття, тобто, центральні пік і провал у цих коефіцієнтах міняються місцями (див. криві для LH = 0,05 на рис. 2, в і г). а б в г Рис. 3. Криві дифракційного відбиття і проходження кристалу кремнію у наближенні товстого кристалу (випромінення CuKα, Λ ≈ 17мкм). Решта даних наведена у підпису до рис. 2. 798 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін. 4. ДИСПЕРСІЙНІ ПОПРАВКИ ВНАСЛІДОК ДР Дисперсійні поправки внаслідок ДР можна представити у вигляді суми дійсної та уявної частин: P i Kδ δ ′ ′ ′Δχ = − μGG GG GG . (41) В першім наближенні теорії збурень можна обчислити коефіці- єнти поглинання внаслідок ДР за виразом [13] ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 2 2 1,2 1 Re 8 K K V C K dS f S δ τ τδ ′ ′ ′ ′δ τ δ τ τ= ′= μ Δθ = − − π ∑ ∫ q GG K GG GGq q ,(42) де при незміннім δ обчислюються інтеґрали для обох листів дис- персійної поверхні хвильових векторів 0 tδ qK дифузно розсіяних пласких хвиль і введено позначення: ( ) ( ) 1 0 0 2 14tf a − τ ′ ′δ ⎡ ⎤′ ′= γ Δ − Δ⎣ ⎦GG GG Hq , (43) 0 02aτ τ ′ = − ε + χGG Gq , 0a CEτ = χH H , 0a CEτ −= χH H , 0 0 δ τ δ δτ= +qK K q , (44) ( )0 0Kδτ τ δ′= + Δ − Δq k n , (45) 0 0 0 0/τ τ ′ε = ε γ γ + αHq q H % , 0 0 0 0 τ τ′ε = γ Δq , ( )sin 2 B ′ ′α = −Δθ θ% , (46) ( )0 20 0 0 0 0 1 1 2 2 y y τ τ χ λ ⎡ ⎤′ ′ ′Δ = + + − + ⎣ ⎦γ Λ , (47) ( )0 0 0 0/y b′ ′= α − α σ% , ( )0 1 0 0 1 / 2b−α = χ − , 2 2 0 C E −σ = χ χH H . (48) Кореляційні функції ( )S ′GG q в рівнанні (42) задаються виразом (15), де комплексний імпульс q має вигляд (45). Оскільки поведінка кореляційної функції ( )S ′GG q майже не змі- нюється при ріжних значеннях індексів δ і τ, то можна покласти: ( )( ) ReS S′ δτ + − −≈ = δχ δχGG q H q Hq q , (49) де q = k + iμn, а μ дорівнює граничному значенню інтерференційного коефіцієнта поглинання ( )0 0 i ImKδτ τ δ′μ = Δ − Δ при Δθ та ′Δθ → ∞ . Тепер ми можемо наближено підсумувати вираз (42) використову- ючи співвідношення (44)—(47) та замінюючи інтеґрування по лис- тах дисперсійної поверхні на інтеґрування по площині, дотичній до Евальдової сфери поблизу розглядуваної точки оберненої ґратниці: ( ) ( ) 2 00 24 C V b d S′μ Δθ ≈ λ ∫ k q , (50) КОГЕРЕНТНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 799 ( ) ( )1 00b−μ Δθ ≈ μ ΔθHH , (51) ( ) ( )0 0 0μ Δθ ≈ μ Δθ ≈H H . (52) Для обчислення функції (49) скористаємось методою флюктуа- ційних хвиль концентрацій дефектів [1], і при 1cα << та eff1mq k Rα α<< = (α – тип дефекту, а effRα – його ефективний ра- діюс [18]) одержимо наближений вираз для флюктуаційної скла- дової поляризовности кристалу δχG+q: ( )iE c+ α α α δχ ≈ χ ∑H q H q qHu , (53) 1 ( ) i c d e vα α= ∫ qr qu rU r , 1 ( ) ti t t c c c e Nα α α= −∑ qR q , (54) де uqα – Фур’є-компоненти полів статичних зміщень (Uα(r)) від де- фектів типу α; cq – Фур’є-компоненти флюктуацій концентрації дефектів; N – кількість елементарних комірок в кристалі. Якщо у розташуванні дефектів у кристалі існують тільки парні кореляції, то виконується рівність [1]: * 0 1 (1 ) ( ) ic c c c e N ρ ′ ′ ′α α αα α α αα ρ≠ ⎡ ⎤ = δ − + ε ρ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ q q q , (55) де ′ααδ – Кронекерів симболь та ( )′ααε ρ – параметри парної ко- реляції. Тоді для кореляційної функції (49) ми одержуємо: ( ) ( ) ( )S S S ′α αα ′α αα = +∑ ∑q q q , (56) 2 H( ) ( ) c S E F N α α − α= χ χH Hq q , ( ) ( )( )HFα α − α= q qq Hu Hu , (57) 2 H,H 0 1 ( ) ( ) ( ) iS E F e N ρ ′ ′ ′αα − αα αα ρ≠ = χ χ ε ρ∑ q H Hq q , ( ) ( ), ( )H HF ′ ′αα α − α= q qq Hu Hu .(58) Друга сума в рівнанні (56) враховує вплив парних кореляцій у роз- поділі дефектів, верхній індекс в рівнаннях (57) та (56) використа- ний для позначення того, що ці рівнання справедливі тільки в обла- сти розсіяння Хуаня—Кривоглаза, тобто при mq k α< . В области роз- сіяння Стокса—Вільсона (тобто при mq k α>> ) кожний доданок у ви- разі (53) потрібно помножити на mk qα (див. [14] та [18]) і, відповід- но, замінити функції ( )HFα q та ( ),H HF ′αα q в рівнаннях (57)—(58) на ( ) ( ) 2 2/SW H mF F k qα α α=q q , (59) 800 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін. та ( ) ( ) 2/SW H m mF F k k q′ ′ ′αα αα α α=q q , (60) якщо mq k α> та mq k ′α> , або на ( ) ( ), /H SW H mF F k q′ ′αα αα α=q q чи ( ) ( ), m /H SW HF F k q′ ′ ′αα αα α=q q , (61) якщо mq k α> та mq k ′α< чи mq k α< та mq k ′α> . Як вже зазначалося, сферично несиметричні дефекти можуть ма- ти в кристалі лише дискретній набір рівноцінних орієнтацій вздовж певних кристалографічних напрямків. Далі, на прикладі призмати- чних дисльокаційних петель з дискретною орієнтацією Бюрґерсових векторів, проведено врахування впливу ефектів анізотропії полів зміщень атомів кристалу навколо цих дефектів на спричинені ДР ди- сперсійні поправки до хвильових векторів «сильних» Бреґґових хвиль. Анізотропія полів зміщень навколо дефектів розглядається в наближенні пружньоізотропного середовища і пов’язується з симет- рію кристалічної ґратниці за рахунок врахування певної дискретної орієнтації дефектів у кристалі. При цьому, вищезазначені ефекти анізотропії будуть визначатись взаємною орієнтацією дефектів і век- тора дифракції H. Для кристалу кубічної симетрії, який містить од- норідно розподілені дисльокаційні петлі з Бюрґерсовими векторами (b) <110> або <111>, вираз для F(q) після усереднення за відповідни- ми дискретними напрямками b матиме вигляд: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 22 2 0 20 1 1 c 1 2 20 * 0 02 2 2* 0 0 * *0 2 2 9 4 2 6 7 3 1 4 3 4 1 1 2Re 1 , , , , , , 1 Re , , , , 2 nC H R F n n v n q S S S q ⎧⎛ ⎞π ⎪ ⎡ ⎤= − η ν + η − ν + +⎜ ⎟ ⎨ ⎣ ⎦⎜ ⎟− ν ⎪⎝ ⎠ ⎩ ⎡ ⎤ η − ⎡⎢ ⎥− ν − ν − + − ν −⎣⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎫⎤⎛ ⎞ ⎪⎥⎜ ⎟− − ν + ⎬⎜ ⎟ ⎥⎪⎝ ⎠ ⎦⎭ b H q q q H q H H q q q q H q H q q q H q q q q q q (62) де функція ( )1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4, , , x x x x y y y y z z z zS a a a a a a a a a a a a= + +a a a a залежить від компонент векторів na , 1 1 1 2 n nC Cη = , 1 m nC – біноміяльні коефіцієнти, а n1 дорівнює числу одиниць у Бюрґерсовім векторі; R0 – радіюс дефекту; ν – Пуассонів коефіцієнт. Пара чисел ( )1, n η визначає тип усереднення і для орієнтацій <110> та <111> відповід- но дорівнює (2,2) та (3,1). Для обчислення інтеґрала (50) розкладемо k на суму перпендику- КОГЕРЕНТНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 801 лярної до поверхні Евальдової сфери (k0) та танґенційної (κ) компо- нент. Врахуємо й рівності 0 sin2 Bk K= Δθ θ і 2 2 2 2 0 ik= κ + + μq . Оскіль- ки інтеґрал обчислюється у нескінченних межах, то в F(q) можна зне- хтувати непарними степенями складових κ і замінити інтеґрування формули (62) інтеґруванням більш простої функції, яка в областях Хуаня—Кривоглаза та Стокса—Вільсона відповідно має вигляд ( ) ( ) H 0 2 2 21 0 i 2 M n n n A F A k= ′ = κ + + μ ∑κ , (63) ( ) ( ) 2 0 12 2 21 0 i 2 M SW n m n n A k F A k + = ′ = κ + + μ ∑κ , (64) де ( )( ) 1 23 2 2 0 0 1 c 1 3nA C H R n v= π − νb , а коефіцієнти An залежать тільки від кута Δθ повороту зразка (при врахуванні дискретної орієнтації дисльокаційних петель M = 4): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 1 1 2 1 5 9 4 2 2 3 4 1 1 1 4 1 , A A n n A A ⎡′= − η ν + η − ν +⎣ ⎤′ ′+ η − − ν − ν − + − + − ν⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 1 19 4 2 6 4 3 1 7 4 1A A n n⎡ ⎤′= − η ν + η − ν + η − − ν + − − ν ×⎣ ⎦ ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 3 1 2 3 4 0 i 5 1 6 92 3 3 ,A A A A A k A A A A⎡ ⎤⎡ ⎤′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′× + η − + + − η − + μ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (65) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎡ ′ ′ ′ ′ ′= η − + μ + + μ − ν − − +⎢⎣ ′ ′ ′ ′ ′ ⎤+ + − − ν ⎦ 22 2 2 2 3 0 i 1 0 i 4 1 6 9 1 7 8 2 3 3 4 1 2 4 1 , A k A k A A A A A A A A A ( ) ( ) ( )22 2 2 2 4 0 i 9 0 i 8 2 73A k A k A A A⎡ ⎤′ ′ ′ ′= η − + μ − + μ +⎢ ⎥⎣ ⎦ , де введено позначення: 2 1 cos 2BA′ = θ , ( ) ( )2 2 2 2 2 2 0 i icos tg 1 2B BA k⎡ ⎤′ = θ + μ θ − + μ⎣ ⎦ , ( ) ( )2 2 2 2 2 3 0 i icos tg 1 2 2B BA k⎡ ⎤′ = θ − μ θ − − μ⎣ ⎦ , 2 2 4 0 sin 2BA k′ = θ , ( )4 4 5 3 1 cos sin 8B BA′ = + θ + θ , (66) 2 2 6 i 4cos 3BA A′ ′= μ θ + , ( )22 4 2 2 2 7 0 0 icos sinB BA k k′ = θ + θ + μ , ( )2 2 8 2 6 4 i 02 cos2 BA A A A k′ ′ ′ ′= + μ − θ , 2 9 2 5 43 cos 2BA A A A′ ′ ′ ′= + θ . Тоді після інтеґрування (63) та (64) одержимо: 802 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін. ( ) ( ) ( )( )00 0 i i1 exp 2 2ds k t tμ Δθ = μ − − μ μ , (67) ( ) ( )μ = %2 2 0 0 0 0 ,ds k cC E m A J k ( )π = χ λ% 2c 0 r4 v m H , (68) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 0 i2 2 1 2 22 220 i 0 i 0 2 2 2 2 0 i 2 21 0 i 1 1 ln , ; 1 , ; M m n mn n n m M n m mn n k A A e k k nk nkk J k A k k k n k − − = = ⎧ ⎛ ⎞ ⎪ ⎜ ⎟+ − + μ ≤⎪ ⎜ ⎟−+ μ + μ⎪ ⎝ ⎠= ⎨ ⎪ + μ >⎪ + μ⎪⎩ ∑ ∑ (69) тут е – основа натурального логарифму, а ( , )χ =G G 0 HΓ – Фур’є- компоненти дійсної частини поляризовности кристалу. Неважко помітити, що випадки сферично симетричних кластерів і сферично усереднених дисльокаційних петель є частинними випа- дками (62), і тому розклади (63) та (64) і результат інтеґрування по Евальдовій сфері будуть також справедливі і для них. При цьому константи A0 та An для сферично симетричних кластерів [14] з по- тужністю 3 0 ( (1 ) / (3 3 )clA R= Γε Γ = + ν − ν (ε –деформація на межі клас- тера) дорівнюватимуть (M = 2): ( )23 0 4 cl cA A H v= π , (70) 2 1 cos 2BA = θ , ( ) ( )2 2 2 2 2 2 0 i icos tg 1 2B BA k⎡ ⎤= θ + μ θ − + μ⎣ ⎦ , а для сферично усереднених дисльокаційних петель (також M = 2) ( )( )23 2 0 0 1 15cA H R v= π − νb , ( ) ( )22 2 1 cos 3 6 1 2 4 1BA = θ ν + ν − + − ν , (71) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 i cos 3 6 1 tg 1 2 3 6 1 tg 1 2 3 18 23 . B B B A k⎡= θ ν + ν − θ − +⎣ ⎤+ ν + ν − θ − + ν − ν + μ ⎦ Одержаний вираз для коефіцієнта поглинання внаслідок ДР (68) надає змогу при використанні співвідношень (51),(52) та (67) для уявних частин дисперсійних поправок проводити розрахунки куто- вих залежностей ефектів поглинання когерентних хвиль в моно- кристалах зі сферично несиметричними дефектами довільних роз- мірів. При цьому дійсні частини дисперсійних поправок (41) мо- жуть бути знайдені через їх уявні частини (50) і (51) з використан- ням відомих дисперсійних співвідношень [19]. Слід звернути увагу на те, що результати проведеного розгляду ко- ефіцієнту поглинання внаслідок ДР від дискретно орієнтованих дис- КОГЕРЕНТНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 803 льокаційних петель можуть бути безпосередньо перенесені на випадок дископодібних кластерів, що залягають в еквівалентних площинах кристалічної ґратниці. Для цього достатньо вектором b позначити но- рмаль до площини залягання дископодібного кластера, а «потуж- ність» петлі ( 2 0Rπ b ) замінити на потужність цього кластера clA [18]. 5. ІНСТРУМЕНТАЛЬНІ ФАКТОРИ ТКД Інтенсивність дифрагованого випромінення, що реєструється ТКД, залежить від двох кутів Δθ і Δθ′, які задають відхилення кристалів зразка і аналізатора від їх точних відбиваючих положень. У випад- ку, коли досліджуваний кристал містить хаотично розподілені де- фекти, ця інтенсивність може бути представлена у вигляді суми ко- герентної (Icoh) і дифузної (Idiff) компонент [20]: ( ) ( ) ( )coh diff, , ,I I I′ ′ ′Δθ Δθ = Δθ Δθ + Δθ Δθ . (72) При використанні бездисперсійної схеми ТКД (n, —n′, n) з геоме- трією дифракції за Бреґґом на всіх кристалах окрім зразка (на яко- му реалізується геометрія дифракції за Ляве з індексами відбиття n′) когерентну і дифузну компоненти вимірюваної інтенсивности можна записати у вигляді [20—22]: ( ) ( ){ } ( ) ( ) coh 1 1 1 0 coh , ,Mn M M S S A I I dxR b b x R b x R x ∞ − − − −∞ ′Δθ Δθ = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ′= − − Δθ − Δθ − − Δθ − Δθ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ (73) ( ) ( )diff 0 diff A, ( ) ( )Mn MI I dx R x dx r R x ∞ ∞ −∞ −∞ ′ ′ ′ ′Δθ Δθ = − Δθ∫ ∫ κ (74) де I0 – інтенсивність випромінення, що падає на монохроматор; RM і RA – коефіцієнти відбиття відповідно монохроматора і аналізатора; nM – кратність відбиття на монохроматорі; bM і bS – параметри аси- метрії монохроматора і досліджуваного кристалу, x x z zk kκ = +e e , ех і еz – орти в площині розсіяння. Функція rdiff у виразі (74) є проінтеґ- рованою по вертикальній розбіжности ϕ дифузною компонентою ди- ференційного коефіцієнта відбиття досліджуваного кристалу, а Rcoh для зразка у випадку Ляве-геометрії набуває значення або T (39), або R (40) в залежности від того, прохідні чи дифраговані промені реєст- руються детектором ТКД. Якщо структурні дефекти містяться в кристалах монохроматора і аналізатора, то їх коефіцієнти відбиття також складаються з коге- рентної і дифузної компонент [13, 14]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), .M M A A M B D A B DR R R R R R= + = +k k k k k k (75) 804 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін. Врахування впливу дефектів у зазначених кристалах на інтенси- вність, що реєструється ТКД, вимагає додаткового інтеґрування в формулах (73) і (74) по тілесних кутах dΩK і d ′ΩK , що відповідають відхиленням від точного Бреґґового положення хвильових векторів дифузно розсіяних хвиль відповідно в монохроматорі і аналізаторі. Тоді відповідні коефіцієнти відбиття набувають вигляду: ( ) ( ) ( )coh diff ,M M MR R RΔθ = Δθ + Δθ ( ) ( ) ( )Δθ = Δθ + Δθcoh diff ,A A AR R R (76) де , coh M AR – когерентні складові коефіцієнтів відбиття недосконалих кристалів монохроматора і аналізатора у геометрії дифракції за Бреґ- ґом [13, 14], а відповідні дифузні компоненти описуються виразами: ( ) ( ) ( )Δθ = Δθ∫diff diff ,M M x zR d r k k , ( ) ( ) ( )′Δθ = Δθ∫diff diff ,A A x zR d r k k .(77) У виразах (77) дифузні складові , diff M Ar диференційних коефіцієнтів відбиття кристалів монохроматора і аналізатора також мають обчи- слюватись за формулами для випадку Бреґґ-дифракції [13, 14]. Наявність ДР від дефектів в монохроматорі призводить до різко- го зростання висоти псевдопіка порівняно з головним [23]. Крім то- го, спостережувана в багатьох експериментах зміна висоти псевдо- піка на профілях ТКД для однакових за величиною, але протилеж- них за знаком відхилень досліджуваного зразка може бути поясне- на тільки наявністю антисиметричної компоненти в інтенсивности ДР від дефектів у монохроматорі [23]. При побудові розподілів дифрагованої інтенсивности на картах оберненого простору без врахування згортки (73), (74) зв’язок вели- чин kx та kz з кутами Δθ і Δθ′ для випадку Ляве-дифракції задається системою рівнань: ( ) ( ) 2 sin sin cos 2 sin cos sin , x B B z B B k K k K ⎧ ′⎡ ⎤= Δθ θ ψ + Δθ θ + ψ⎪ ⎣ ⎦ ⎨ ′⎡ ⎤= Δθ θ ψ − Δθ θ + ψ⎪ ⎣ ⎦⎩ (78) де ψ – кут між нормаллю до поверхні кристалу й відбиваючими атомними площинами. При розрахунках з врахуванням згортки (73), (74) зв’язок kx та kz з кутами Δθ, x і x′ має наступний вигляд: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin sin cos 2 sin cos sin . x B B z B B k K x x x k K x x x ⎧ ′⎡ ⎤= Δθ + θ ψ + + θ + ψ⎪ ⎣ ⎦ ⎨ ′⎡ ⎤= Δθ + θ ψ − + θ + ψ⎪ ⎣ ⎦⎩ (79) Явний вигляд функції rdiff з урахуванням впливу ефектів анізот- ропії полів пружньої деформації навколо дефектів, на динамічну картину розсіяння буде розглянуто у другій частині даної роботи, яка друкується окремо. КОГЕРЕНТНА СКЛАДОВА ДИНАМІЧНОЇ КАРТИНИ РОЗСІЯННЯ 805 6. РЕЗЮМЕ І ВИСНОВКИ В рамках динамічної теорії дифракції Рентґенових променів у недос- коналих монокристалах у двохвильовому випадку геометрії дифрак- ції за Ляве в кристалічних пластинках довільної товщини, які містять однорідно розподілені дефекти, одержано аналітичні вирази для коге- рентних компонент диференційних коефіцієнтів проходження та від- биття. Ці вирази залежать від параметрів дефектів через статичний фактор Дебая—Валлера та коефіцієнти поглинання внаслідок ДР. Про- аналізовано вплив цих параметрів на кутові залежності когерентних компонент диференційних коефіцієнтів проходження та відбиття. З урахуванням анізотропії полів зміщень від дефектів одержано вирази для дисперсійних поправок до хвильових векторів сильних Бреґґових хвиль (коефіцієнтів поглинання внаслідок ДР), які є справедливими в усьому кутовому діяпазоні включно з областю по- вного відбиття і при довільних радіюсах дефектів (включно до дов- жини екстинкції і більше). Ці вирази дозволяють описувати вплив на коефіцієнти проходження та відбиття, який справляють анізот- ропні поля зміщень атомів кристалу навколо як призматичних ди- сльокаційних петель, так і дископодібних кластерів. Враховано інструментальні фактори ТКД, що дозволяє проводи- ти коректний опис когерентної і дифузної складових динамічної картини Ляве-дифракції при аналізі карт оберненого простору для відтворенні за ними характеристик дефектної структури кристалів. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. M. A. Krivoglaz, X-Ray and Neutron Diffraction in Nonideal Crystals (Berlin: Springer: 1996), p. 466. 2. B. C. Larson, J. Appl. Cryst., 8, No. 1: 150 (1975). 3. З. Г. Пинскер, Рентгеновская кристаллооптика (Москва: Наука: 1982), с. 392. 4. А. М. Афанасьев, П. А. Александров, Р. М. Имамов, Рентґенодифракци- онная диагностика субмикронных слоев (Москва: Наука: 1989), c. 152. 5. Л. И. Даценко, В. Б. Молодкин, М. Е. Осиновский, Динамическое рассеяние рентгеновских лучей реальными кристаллами (Киев: Наукова думка: 1988). 6. B. C. Larson and W. G. Schmatz, Phys. Rev. B, 10, No. 6: 2307 (1974). 7. A. Iida and K. Kohra, Phys. Stat. Solidi A, 51, No. 2: 533 (1979). 8. A. Iida, Phys. Stat. Solidi A, 54, No. 2: 701 (1979). 9. А. М. Афанасьев, М. В. Ковальчук, Э. Ф. Лобанович и др., Кристаллогра- фия, 26, вып. 1: 28 (1981). 10. Э. К. Ковьев, В. В. Ратников, Л. М. Сорокин, ФТТ, 23, № 6: 1626 (1981). 11. P. Zaumseil and U. Winter, Phys. Stat. Solidi A, 70, No. 2: 497 (1982). 12. P. Zaumseil and U. Winter, Phys. Stat. Solidi A, 73, No. 2: 455 (1982). 13. V. B. Molodkin, S. I. Olikhovskii, E. N. Kislovskii, E. G. Len, and E. V. Pervak, Phys. Stat. Solidi B, 227, No. 2: 429 (2001). 14. S. I. Olikhovskii, V. B. Molodkin, E. N. Kislovskii, E. G. Len, and E. V. Pervak, Phys. Stat. Solidi B, 231, No. 1: 199 (2002). 806 В. Б. МОЛОДКІН, С. Й. ОЛІХОВСЬКИЙ, Б. В. ШЕЛУДЧЕНКО та ін. 15. В. Б. Молодкин, С. И. Олиховский, С. В. Дмитриев и др., Металлофиз. но- вейшие технол., 27, № 12: 1659 (2005). 16. V. V. Kochelab, V. B. Molodkin, S. I. Olikhovskii, and M. E. Osinovskii, Phys. Stat. Solidi A, 107, No. 1: 67 (1988). 17. V. B. Molodkin, S. I. Olikhovskii, M. E. Osinovskii et al., Phys. Stat. Solidi A, 87, No. 2: 597 (1985). 18. С. Й. Оліховський, Є. М. Кисловський, В. Б. Молодкiн та ін., Металлофиз. новейшие технол., 22, № 6: 3 (2000). 19. A. N. Kostyuk, V. B. Molodkin, and S. I. Olikhovskii, Phys. Stat. Solidi B, 178, No. 1: 45 (1993). 20. В. Б. Молодкин, С. И. Олиховский, М. Е. Осиновский и др., Металлофизи- ка, 6, № 3: 7 (1984). 21. В. В. Немошкаленко, В. Б. Молодкин, С. И. Олиховский и др., Металлофи- зика, 15, № 11: 53 (1993). 22. V. B. Molodkin, V. V. Nemoskalenko, S. I. Olikhovskii et al., Metal Phys. Adv. Technol., 20, № 11: 29 (1998). 23. Є. М. Кисловський, О. В. Решетник, Т. П. Владімірова та ін., Металлофиз. новейшие технол., 29, № 5: 701 (2007).
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-76087
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1816-5230
language	Ukrainian
last_indexed	2025-12-07T16:48:37Z
publishDate	2008
publisher	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
record_format	dspace
spelling	Молодкін, В.Б. Оліховський, С.Й. Шелудченко, Б.В. Лень, Є.Г. Когут, М.Т. 2015-02-07T18:07:03Z 2015-02-07T18:07:03Z 2008 Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. І. Когерентна складова динамічної картини розсіяння / В.Б. Молодкін, С.Й. Оліховський, Б.В. Шелудченко, Є.Г. Лень, М.Т. Когут // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2008. — Т. 6, № 3. — С. 785-806. — Бібліогр.: 23 назв. — укр. 1816-5230 PACS numbers: 07.85.Jy,61.05.cc,61.05.cf,61.05.cp,61.72.Dd,61.72.J-,61.72.Lk https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/76087 В рамках динамічної теорії розсіяння Рентґенових променів у недосконалих кристалах розглянуто випадок геометрії дифракції за Ляве без обмежень на розміри дефектів. Одержано аналітичні вирази для когерентних компонент коефіцієнтів проходження і відбиття для кристалів з однорідно розподіленими дефектами ріжних типів. З урахуванням анізотропії полів зміщень атомів кристалу навколо дефектів одержано аналітичні вирази для дисперсійних поправок до хвильових векторів «сильних» Бреґґових хвиль, які виникають внаслідок дифузного розсіяння. Враховано інструментальні фактори трикристального дифрактометра у режимі картографування оберненого простору. В рамках динамической теории рассеяния рентгеновских лучей в несовершенных кристаллах рассмотрен случай геометрии дифракции по Лауэ без ограничений на размеры дефектов. Получены аналитические выражения для когерентных компонент коэффициентов прохождения и отражения для кристалла с однородно распределёнными дефектами разных типов. С учетом анизотропии полей смещений атомов кристалла вокруг дефектов получены аналитические выражения для дисперсионных поправок к волновым векторам «сильных» брэгговских волн, возникающих вследствие диффузного рассеяния. Учтены инструментальные факторы трехкристального дифрактометра в режиме картографирования обратного пространства. Within the dynamical theory of x-ray scattering by imperfect crystal without defect-size restrictions, the case of Laue-diffraction geometry is considered. Analytical expressions for the coherent components of transmission and reflection coefficients for the crystal containing homogenously distributed defects of various types are obtained. Taking into account anisotropy of atomic-displacement fields about crystal defects, the analytical expressions for the dispersion corrections to the wave vectors of ‘strong’ Bragg waves appeared due to the diffuse scattering are derived. The instrumental factors of the three-crystal diffractometer in a mode of mapping of reciprocal space are considered. uk Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. І. Когерентна складова динамічної картини розсіяння Anisotropic Model of Dynamic Three-Crystal Laue Diffractometry of Structural Perfection of Nanotechnologies Crystalline Products. I. Coherent Component of Dynamical Scattering Pattern Article published earlier
spellingShingle	Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. І. Когерентна складова динамічної картини розсіяння Молодкін, В.Б. Оліховський, С.Й. Шелудченко, Б.В. Лень, Є.Г. Когут, М.Т.
title	Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. І. Когерентна складова динамічної картини розсіяння
title_alt	Anisotropic Model of Dynamic Three-Crystal Laue Diffractometry of Structural Perfection of Nanotechnologies Crystalline Products. I. Coherent Component of Dynamical Scattering Pattern
title_full	Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. І. Когерентна складова динамічної картини розсіяння
title_fullStr	Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. І. Когерентна складова динамічної картини розсіяння
title_full_unstemmed	Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. І. Когерентна складова динамічної картини розсіяння
title_short	Анізотропний модель динамічної трикристальної Ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. І. Когерентна складова динамічної картини розсіяння
title_sort	анізотропний модель динамічної трикристальної ляве-дифрактометрії структурної досконалости кристалічних виробів нанотехнологій. і. когерентна складова динамічної картини розсіяння
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/76087
work_keys_str_mv	AT molodkínvb anízotropniimodelʹdinamíčnoítrikristalʹnoílâvedifraktometríístrukturnoídoskonalostikristalíčnihvirobívnanotehnologíiíkogerentnaskladovadinamíčnoíkartinirozsíânnâ AT olíhovsʹkiisi anízotropniimodelʹdinamíčnoítrikristalʹnoílâvedifraktometríístrukturnoídoskonalostikristalíčnihvirobívnanotehnologíiíkogerentnaskladovadinamíčnoíkartinirozsíânnâ AT šeludčenkobv anízotropniimodelʹdinamíčnoítrikristalʹnoílâvedifraktometríístrukturnoídoskonalostikristalíčnihvirobívnanotehnologíiíkogerentnaskladovadinamíčnoíkartinirozsíânnâ AT lenʹêg anízotropniimodelʹdinamíčnoítrikristalʹnoílâvedifraktometríístrukturnoídoskonalostikristalíčnihvirobívnanotehnologíiíkogerentnaskladovadinamíčnoíkartinirozsíânnâ AT kogutmt anízotropniimodelʹdinamíčnoítrikristalʹnoílâvedifraktometríístrukturnoídoskonalostikristalíčnihvirobívnanotehnologíiíkogerentnaskladovadinamíčnoíkartinirozsíânnâ AT molodkínvb anisotropicmodelofdynamicthreecrystallauediffractometryofstructuralperfectionofnanotechnologiescrystallineproductsicoherentcomponentofdynamicalscatteringpattern AT olíhovsʹkiisi anisotropicmodelofdynamicthreecrystallauediffractometryofstructuralperfectionofnanotechnologiescrystallineproductsicoherentcomponentofdynamicalscatteringpattern AT šeludčenkobv anisotropicmodelofdynamicthreecrystallauediffractometryofstructuralperfectionofnanotechnologiescrystallineproductsicoherentcomponentofdynamicalscatteringpattern AT lenʹêg anisotropicmodelofdynamicthreecrystallauediffractometryofstructuralperfectionofnanotechnologiescrystallineproductsicoherentcomponentofdynamicalscatteringpattern AT kogutmt anisotropicmodelofdynamicthreecrystallauediffractometryofstructuralperfectionofnanotechnologiescrystallineproductsicoherentcomponentofdynamicalscatteringpattern

Institution

Similar Items