Статистическая энтропия как мера неопределённости и связности структуры гидрографической сети
В статье рассмотрен новый подход к описанию строения и распределения в пространстве полей, состоящих из рек, их притоков. Впервые к водотокам на территории Украины применён математический аппарат теории информации. Подсчитаны значения энтропии полей речных систем и показана их связь с такими характе...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Культура народов Причерноморья |
|---|---|
| Дата: | 2003 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Кримський науковий центр НАН України і МОН України
2003
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/76301 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Статистическая энтропия как мера неопределённости и связности структуры гидрографической сети / Б.В. Киндюк // Культура народов Причерноморья. — 2003. — № 46. — С. 27-30. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859833367607902208 |
|---|---|
| author | Киндюк, Б.В. |
| author_facet | Киндюк, Б.В. |
| citation_txt | Статистическая энтропия как мера неопределённости и связности структуры гидрографической сети / Б.В. Киндюк // Культура народов Причерноморья. — 2003. — № 46. — С. 27-30. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Культура народов Причерноморья |
| description | В статье рассмотрен новый подход к описанию строения и распределения в пространстве полей, состоящих из рек, их притоков. Впервые к водотокам на территории Украины применён математический аппарат теории информации. Подсчитаны значения энтропии полей речных систем и показана их связь с такими характеристиками речных бассейнов, как их площадь, длина, уклон, среднемноголетний расход воды ливневых паводков.
In work the new approach to the description of a structure and distribution in space of the fields consisting of the rivers, of their tributaries is considered. For the first time to watercurrents in territory of Ukraine the mathematical device of the theory of the information is applied. Values entropy fields of river systems are counted up and their bond with such characteristics of river pools, as their area, length, slope, average of several years the expenses of water of storm high waters is shown.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:33:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
Киндюк Б.В.
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЭНТРОПИЯ КАК МЕРА НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ И
СВЯЗНОСТИ СТРУКТУРЫ ГИДРОГРАФИЧЕСКОЙ СЕТИ
Цель работы – изучить строение и конфигурацию речной сети как совокупности случайных фактов с
определенной вероятностью проявления. С этой целью к описанию системы водотоков, протекающих по
территории речного бассейна, применяется математический аппарат теории информации. Это связано в
первую очередь с тем обстоятельством, что конфигурация водотоков, их распределение по территории – это
случайный процесс, у которого имеются элементы неопределённости.
В ранее опубликованных исследованиях рассматривались различные аспекты теории информатики,
применительно к задачам метеорологии [1], сельского хозяйства, географии [6,7]. Относительно структуры
речных водотоков такой математический аппарат применялся относительно рек Дальнего Востока [3].
Территория Украины оказалась вне поля зрения ученых, занимающихся этой проблемой. Кроме этого су-
ществует и временной фактор. Дело в том, что с момента опубликования этих работ прошло более 30-ти лет
и возникла необходимость в их дальнейшем продолжении.
Данное исследование является частью более общей работы, посвящённой изучению строения гидро-
графической сети рек Украинских Карпат. Актуальность этой проблемы резко возросла в последнее время,
т.к. этот регион всё больше вовлекается в хозяйственную деятельность. Другим аспектом проблемы явля-
ется постоянное прохождение на его реках катастрофических ливневых паводков. Ущерб, который они
наносят народному хозяйству региона, исчисляется суммами в десятки миллионов гривен, а изучить фор-
мирование этих природных феноменов без учета особенностей строения гидрографической сети практи-
чески не возможно.
Фактический материал и методы исследования. В качестве исходных данных использовались мате-
риалы о гидрографическом строении рек Закарпатья, справочная литература, различные пособия, карто-
графические данные.
Распределение водотоков по территории можно рассматривать как систему равновозможных событий,
при неопределённости наших знаний о наступлении (проявлении) каждого конкретного события из них.
Полной системой событий Х1, Х2,…,Хn называется группа взаимно несовместимых событий, сумма веро-
ятностей которых равна единице. Полная система событий Х будет статистически задана, если для каждого
события Хк задана вероятность его наступления Pk. Эту полную систему символически можно записать в
таком виде:
n
n
PPP
XXX
X
...
...
21
21
(1)
Теория информации, в качестве меры неопределённости наших знаний о полной системе, использует
следующую формулу:
k
n
k
kn PPPPPHXH lg),...,,()(
1
21
, (2)
где H(X) – значение энтропии.
Логарифм в выражении (2) может быть взят при любом основании, а вероятности Pk подчинены ус-
ловию:
1
1
n
k
kP (3)
где n – число членов ряда.
Выражение (2) получило название статистической энтропии полной системы. Исторически оно заим-
ствовано из классической физики, где аналогичное выражение по предложению Больцмана, употребляется
для характеристики термодинамических систем. Прежде чем применить эту формулу для подсчёта энтро-
пии речных систем, покажем её практическое применение для ряда абстрактных задач. Возьмём известный
пример с бросанием монеты. Здесь имеется простейшая альтернатива. Может выпасть решетка или герб,
т.е. система состоит из двух равновозможных событий. Энтропия такой системы по формуле (2) будет
подсчитана таким образом:
6939,02ln
2
1
ln
2
1
,
2
1
H ,
где Ln –натуральный логарифм.
Эта теоретическая база может быть использована при описании распределения гидрографических ха-
рактеристик на территории речного водосбора. По теории Р. Е. Хортона система водотоков представляет
собой множество соподчиненных элементов, которые находятся между собой в определённых количест-
венных соотношениях [2,3]. Для введения системы топологии в пространство, заполненное различными
водотоками, необходимо выделить в нем простейшие элементы. Говоря иным языком, нужна топологиче-
ская характеристика, которая будет своеобразным метрическим шагом или мерой системы. При этом она
должна удовлетворять двум свойствам. Первое свойство – это не поддаваться дальнейшему делению (раз-
резанию, уменьшению), т.к. иначе будет потеряна её качественная определённость. Из теории информа-
ционных систем [1,7] известно, что такие элементы формируют открытые множества. Второе свойство
состоит в возможности составить из элементов открытых множеств, по определённым правилам, произ-
вольную систему водотоков. Исходя из этого, можно ввести понятие идеализированной системы речных
водотоков. Это означает две вещи: первое – система не включает в себя никаких других объектов, кроме
водотоков. Условно считается, что отсутствуют озера, болота, старицы. Второе – в системе нет точек, в
которых сливается больше двух водотоков, т.е. её любые две точки соединяются единственным образом.
Тем самым, из рассмотрения исключаются сложные дельтовые образования и те редкие случаи, когда в
одной точке сходятся более трех потоков. Если смотреть на систему против течения, то внешние элементы
заканчиваются истоком, а внутренние – разветвлением. Тогда по схемам Хортона, Шайдеггера, Ржаницына
[2,4] к внешним элементам относятся только притоки первого порядка П1, а к внутренним – элементы более
высоких порядков (Пi>1). Под притоками первого уровня иерархии П1 понимаются элементарные нераз-
ветвленные потоки, второй порядок образуется от слияния двух П1.
В соответствии с изложенными в пространстве сети потоков можно выделить два открытых множества,
представляющих его внешний (D) и внутренний (Т) отделы. Первый из них включает в себя только эле-
менты П1, а отдел Т – только Пi>1. Элементы из Т могут быть образованы тремя различными способами:
первый из них – путём слияния двух внешних элементов П1, тогда новый элемент приобретёт порядок k = 2.
Второй вариант возникает в случае слияния элемента внутреннего отдела с элементами внешнего, тогда
новый элемент из множества Т примет порядок k > 2. Третий случай может быть, если сливаются два эле-
мента внутреннего отдела, тогда вновь образованный поток имеет порядок k ≥ 3. Таким образом, внут-
ренний отдел является упорядоченной структурой и состоит из множества подотделов, каждый из которых
включает элементы определённого порядка.
Речные системы отличаются большим разнообразием, поэтому в отношении оценки их количественной
структуры можно рассматривать имеющуюся в них степень разнообразия или упорядоченности. Такую
количественную характеристику структуры водотоков можно получить, если использовать введенную
Шенноном [1,7] для марковских цепей меру количества разнообразия, называемую энтропией. Применение
к описанию речных систем этого понятия является вполне допустимым, т.к. структуры речных систем эк-
вивалентны марковским цепям. Для практических расчетов наиболее удобно в качестве меры мощности
звеньев речной сети использовать количество притоков первого порядка П1. Гидрографическая сеть может
рассматриваться как система графов, образующих определённое дерево элементов.
Пусть в точке X1 сливаются два элемента S1 и S2, тогда их вероятностная мера Р1 представляет собой:
21
1
1
SS
S
P
, (4)
аналогично вероятностная мера Р2 определяется по формуле:
21
2
2
SS
S
P
, (5)
Тогда по определению Шеннона энтропия такой системы рассчитывается по формуле:
)loglog(loglog 22112211 PPPPPPPPH узла , (6)
Если речная сеть состоит из более сложной дизъюнкции различных графов, то её общая энтропия оп-
ределяется суммированием по всем точкам слияния. Например, энтропия в точке Х3 после добавления звена
S3 рассчитывается по формуле:
321
3
321
3
321
21
321
21 loglog
2 SSS
S
SSS
S
SSS
SS
SSS
SS
H x
(7)
где
2xH – суммарная энтропия в точке Х2.
В качестве практического примера выполнены расчёты значений энтропии для бассейна р. Рики с за-
мыкающим створом г. Хуст. Выбор этого водосбора является не случайным, т.к. на нём находится уни-
кальный исследовательский гидрометеорологический полигон – Закарпатская воднобалансовая станция
(ЗВБС). Река Рика является притоком Тисы, впадает в неё у г. Хуст, водосбор находится в типичном горном
районе Украинских Карпат. Характеризуется сильно развитой гидрографической сетью с большим числом
различных притоков. В качестве подготовительного этапа по решению этой задачи выполнена идентифи-
кация всей сети, подсчитано количество притоков всех порядков, детальная информация имеется в работе
[4]. Далее, используя формулы (4)–(6), выполнялся расчет энтропии по каждой реке до замыкающего
створа, где имеются данные гидрологических наблюдений. Данные по расчетам энтропии и по гидрогра-
фическим характеристикам исследуемых водотоков приводятся в таблице 1. Располагая такой информа-
цией, не сложно построить графики связи между суммарной энтропией Н и длиной рек L = f(H), площадями
водосборов F = f(H), уклоном I = f(H) и водоносностью max
Q (рис. 1, 2). В качестве характеристики по-
следней принимались осреднённые за многолетний период наивысшие срочные максимальные расходы
S2
S1
X1
S3
X2
ливневых паводков. Степень тесноты связи между аргументом и функцией обычно характеризуется ко-
эффициентом корреляции.
С целью оценки точности построенных трёх графиков зависимостей между энтропией и четырьмя ар-
гументами, по каждому из них подсчитывался коэффициент корреляции R. Его величина для функции F =
f(H) оказалась равной 0,976; у функции L = f(H) R = 0,919; график связи I = f(H) показал R = -0,695 и у за-
висимости
max
Q = f(H) R = 0,947.
Численные значения коэффициентов корреляции позволяет положительно оценить полученные ре-
зультаты и рекомендовать их для рек с ограниченной информацией по стоку воды. Такие задачи часто
возникают на практике, когда требуется построить гидротехническое сооружение, а исходных данных или
нет, или они очень ограничены. В таком случае, подсчитав значение энтропии с помощью картографиче-
ского материала, по зависимости Q = f(H) (рис. 1) можно определить среднемноголетнее значение макси-
мальных расходов ливневых паводков на реках бассейна Рики.
Таблица 1 - Основные параметры гидрографической сети малых рек бассейна реки Рика
Река – пункт Площадь
Водо-
сбора
F км2
Длин
а ре-
ки
L км
Уклон
русла
реки I
‰
Средняя
высота
водосбо-
ра Н м
Средний мак-
симальный рас-
ход ливневых
паводков
max
Q
м3/с
Кол-во
притоков
первого
порядка S1
Энтропия
речной
системы
Н энт
1 2 3 4 5 6 7 8
Рика – с. Верхний Быстрый 165 15 40,0 23,4 52,9 28 23,38
Рика – пгт Межгорье 550 28 24,3 71,5 222 101 71,5
Лопушна – с. Лопушное (ниж) 37,3 9,4 63,2 6,23 13,4 11 6,28
Бранище – с. Лопушное 10,3 4,8 66,6 2,71 15,11 4 2,73
Голятинка – с. Голятин 59,0 12 39,0 5,5 36,5 13 5,5
Голятинка – с. Майдан 86,0 18 23,4 7,38 48,1 22 7,38
Репинка – с. Изки 103 18 19,5 16,23 44,4 29 16,23
Репинка – с. Репино 203 22 14,4 30,2 91,1 58 30,2
Студеный – с. Верхний Студеный 8,0 2,0 56,6 0,6 5,5 4 0,5
Студеный – с. Нижний Студеный 25,4 7,5 31,6 5,9 139 8 5,9
Пилипец – с. Подобец 7,8 3,2 47,5 1,91 6,67 3 1,91
Пилипец – с. Пилипец 44,2 6,2 41,1 3,9 30,4 12 3,88
Рика – с. Нижний Быстрый 781 59 10,9 81,9 260 149 81,9
Рика – г. Хуст 1130 91 10,4 95,4 338 228 95,4
0
500
1000
1500
2000
0 50 100 150 Нэнт
F,км2
0
100
200
300
400
500
Q,м3/с
1
2
Рис.1. - Соотношение между площадью водосбора F, среднемноголетними расходами воды ливневых
паводков max
Q и энтропии Нэнт р. Рика; 1 – зависимость между площадью водосбора F и энтропии Нэнт; 2 –
зависимость между среднемноголетними расходами воды ливневых паводков max
Q и энтропии Нэнт.
Все четыре графика, представленные на рисунках 1-2, соответствуют параболической зависимости
между аргументом и функцией. Причём, три из них – площади, средние максимальные расходы и длины –
это возрастающие функции, а зависимость уклонов рек от энтропии – убывающая.
0
20
40
60
80
100
0 20 40 60 80 100 120
Нэнт
L,км
0
10
20
30
40
50
60
70
I,‰
I
L
Рис.2 - Зависимость между длинами рек L (1), их средними уклонами I (2)
и энтропией Нэнт р. Рика
Результатом настоящего исследования является:
1. подбор математического метода из теории информации, который может помочь описать структуру
речной сети, представляя её в виде совокупности графов;
2. доказательство возможности практического рассчёта энтропии по рекам бассейна р.Рика;
3. построение графиков связи между значениями энтропии речных бассейнов и их основными характе-
ристиками: длиной, площадью водосбора, среднемноголетним расходом воды ливневых паводков, что
сделано впервые для территории Украины;
4. оценка точности полученных графических зависимостей и возможность их практического использо-
вания в случае ограниченности исходной информации.
Задачей дальнейших исследований является расчет значений энтропии по всем рекам Украинских
Карпат с целью построения территориально общих зависимостей между этой характеристикой и парамет-
рами строения речных систем.
Источники и литература
1. Багров Н. А. Статистическая энтропия как показатель сходства или различия метеорологических полей. –
“Метеорология и гидрология”, 1963, №1, с. 9 – 15.
2. Гарцман И. Н. Некоторые проблемы системного подхода в гидрометеорологии. – Труды ДВНИГМИ,
1975, вып. 54, с. 3 – 47.
3. Гарцман И. Н. Системные аспекты моделирования в гидрологии. – Труды ДВНИГМИ, 1977, вып. 63, с. 3
– 85.
4. Киндюк Б. В. Русловая сеть и характеристики ливневого стока бассейна р. Рики. "Людина і довкілля". –
Х.: Харківський національний університет ім.. Карабіна, 2003, вип.. 4, с. 70–74.
5. Хаггерт П. Сетевые модели в географии. – “Модели в географии”, М., “Прогресс”, 1971, с.287 – 343.
6. Харвей Д. Научное объяснение в географии. – М., “Прогресс”, 1974, 502 с.
7. Харрари Ф. Теория графов. – М., “Мир”, 1973, 300 с
УДК 528.44:519.2
Киндюк Б.В.В статье рассмотрен новый подход к описанию строения и распределения в
пространстве полей, состоящих из рек, их притоков. Впервые к водотокам на территории
Украины применён математический аппарат теории информации. Подсчитаны значения эн-
тропии полей речных систем и показана их связь с такими характеристиками речных бассейнов,
как их площадь, длина, уклон, среднемноголетний расход воды ливневых паводков.
Kindyuk B.V. In work the new approach to the description of a structure and distribution in
space of the fields consisting of the rivers, of their tributaries is considered. For the first time to wa-
ter-currents in territory of Ukraine the mathematical device of the theory of the information is applied.
Values entropy fields of river systems are counted up and their bond with such characteristics of river
pools, as their area, length, slope, average of several years the expenses of water of storm high waters
is shown.
Ключевые слова: гидрографическая сеть, энтропия., бассейн реки.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-76301 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1562-0808 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:33:31Z |
| publishDate | 2003 |
| publisher | Кримський науковий центр НАН України і МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Киндюк, Б.В. 2015-02-09T18:00:16Z 2015-02-09T18:00:16Z 2003 Статистическая энтропия как мера неопределённости и связности структуры гидрографической сети / Б.В. Киндюк // Культура народов Причерноморья. — 2003. — № 46. — С. 27-30. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1562-0808 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/76301 528.44:519.2 В статье рассмотрен новый подход к описанию строения и распределения в пространстве полей, состоящих из рек, их притоков. Впервые к водотокам на территории Украины применён математический аппарат теории информации. Подсчитаны значения энтропии полей речных систем и показана их связь с такими характеристиками речных бассейнов, как их площадь, длина, уклон, среднемноголетний расход воды ливневых паводков. In work the new approach to the description of a structure and distribution in space of the fields consisting of the rivers, of their tributaries is considered. For the first time to watercurrents in territory of Ukraine the mathematical device of the theory of the information is applied. Values entropy fields of river systems are counted up and their bond with such characteristics of river pools, as their area, length, slope, average of several years the expenses of water of storm high waters is shown. ru Кримський науковий центр НАН України і МОН України Культура народов Причерноморья Проблемы материальной культуры – ГЕОГРАФИЧЕСКИЕ НАУКИ Статистическая энтропия как мера неопределённости и связности структуры гидрографической сети Article published earlier |
| spellingShingle | Статистическая энтропия как мера неопределённости и связности структуры гидрографической сети Киндюк, Б.В. Проблемы материальной культуры – ГЕОГРАФИЧЕСКИЕ НАУКИ |
| title | Статистическая энтропия как мера неопределённости и связности структуры гидрографической сети |
| title_full | Статистическая энтропия как мера неопределённости и связности структуры гидрографической сети |
| title_fullStr | Статистическая энтропия как мера неопределённости и связности структуры гидрографической сети |
| title_full_unstemmed | Статистическая энтропия как мера неопределённости и связности структуры гидрографической сети |
| title_short | Статистическая энтропия как мера неопределённости и связности структуры гидрографической сети |
| title_sort | статистическая энтропия как мера неопределённости и связности структуры гидрографической сети |
| topic | Проблемы материальной культуры – ГЕОГРАФИЧЕСКИЕ НАУКИ |
| topic_facet | Проблемы материальной культуры – ГЕОГРАФИЧЕСКИЕ НАУКИ |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/76301 |
| work_keys_str_mv | AT kindûkbv statističeskaâéntropiâkakmeraneopredelennostiisvâznostistrukturygidrografičeskoiseti |