Алгоритм численно-аналитического определения параметров версальной модели при параметрическом возмущении матрицы системы
Рассмотрена задача блочно-диагональной декомпозиции семейств матриц с варьируемыми параметрами на блоки минимальной размерности, характерные для колебательных систем. Разработан алгоритм построения численно-аналитических разложений по варьируемым параметрам изучаемого семейства систем. Данные методы...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7650 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Алгоритм численно-аналитического определения параметров версальной модели при параметрическом возмущении матрицы системы / В.Е. Набивач // Кибернетика и вычисл. техника. — 2009. — Вип. 157. — С. 81-94. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859754765566607360 |
|---|---|
| author | Набивач, В.Е. |
| author_facet | Набивач, В.Е. |
| citation_txt | Алгоритм численно-аналитического определения параметров версальной модели при параметрическом возмущении матрицы системы / В.Е. Набивач // Кибернетика и вычисл. техника. — 2009. — Вип. 157. — С. 81-94. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассмотрена задача блочно-диагональной декомпозиции семейств матриц с варьируемыми параметрами на блоки минимальной размерности, характерные для колебательных систем. Разработан алгоритм построения численно-аналитических разложений по варьируемым параметрам изучаемого семейства систем. Данные методы важны для решения задач анализа устойчивости семейств динамических систем и систем управления, зависящих от варьируемых параметров.
|
| first_indexed | 2025-12-02T00:58:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
81
Сложные системы óправления
УДК 681.5:519.6
В.Е. Набивач
АЛГОРИТМ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОГО
ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ВЕРСАЛЬНОЙ
МОДЕЛИ ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ
ВОЗМУЩЕНИИ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ
Рассмотрена задача блочно-диагональной декомпозиции семейств мат-
риц с варьируемыми параметрами на блоки минимальной размерности, характерные для
колебательных систем. Разработан алгоритм построения численно-аналитических раз-
ложений по варьируемым параметрам изучаемого семейства систем. Данные методы
важны для решения задач анализа устойчивости семейств динамических систем и систем
управления, зависящих от варьируемых параметров.
Введение
В теории динамических систем часто приходится рассматривать не ин-
дивидуальные объекты, скажем, дифференциальное уравнение или вектор-
ное поле, задающее систему, а некоторое семейство таких объектов, зави-
сящее от варьируемых параметров.
Изучение семейств систем позволяет выяснять условия разрешимости
задач приведения таких систем в пространстве варьируемых параметров
к каноническим формам [1–4] и гарантировать численную (вычислитель-
ную) устойчивость решения задач приведения с использованием средств
вычислительной техники. В [4] определена структура приводящей группы
преобразований подобия и трансверсального дополнения к ней, обеспечи-
вающие приведение семейств матриц простой структуры к соответствую-
щей форме Жордана, а в [1] построен алгоритм численного приведения се-
мейств систем с варьируемыми параметрами. В работах [1, 2, 5, 6] предло-
жено использовать представление приводящего преобразования подобия
в виде матричной экспоненты, известное разложение Кэмпбелла–Хаусдор-
фа и рассматривать задачи локального приведения с помощью метода ма-
лого параметра. В этой работе на основе предложенного алгоритма числен-
ной параметризации рассматривается применение метода малого параметра
для повышения сходимости при используемом представлении матричной
экспоненты в пространстве 2-струи разложения. Построен алгоритм чис-
ленно-аналитической параметризации для трехпараметрического семейства
систем, ассоциированного с семейством систем управления в пространстве
параметров автомата стабилизации. Предложенный алгоритм позволяет
оценивать в пространстве варьируемых параметров запасы устойчивости
системы и строить в изучаемой окрестности D-разбиение. Достаточно пол-
ный обзор последних обобщений и областей применения метода D-разбие-
ния приведен в [7].
© В.Е. Набивач, 2009
ISSN 0452-9910. Кибернетика и вычисл. техника. 2009. Вып. 157
82
Постановка задачи
Будем рассматривать семейство квадратных вещественных матриц
),()( 0 µ+=µ BAA ,0)0( =B (1)
находящееся в окрестности канонического представителя
,
10
diag
2,212,2
0
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
− jjjj aa
A ,2/,1 nj =
и зависящих от вектора варьируемых параметров ,kR∈µ ассоциированных
с семейством линейных динамических систем
,)( xA
dt
dx
µ= ,nRx ∈ .kR∈µ (2)
Ставится задача численно-аналитической блочно-диагональной деком-
позиции семейства матриц )(µA при достаточно гладких зависимостях мат-
рицы )(µA от параметров µ, ассоциированных с параметрами обратных свя-
зей линейных динамических систем управления, на блоки минимально воз-
можной размерности путем применения приводящего преобразования подо-
бия ),(µT ,)0( ET = также гладко зависящего от параметров.
Предполагается, что матрицы 0A и приведенные матрицы )(~
µA являют-
ся матрицами полного ранга простой структуры, которая для исходной мат-
рицы 0A и приведенной матрицы )(~
µA совпадает, т.е. матрицы относятся к
одному классу. Простая структура матриц предполагает отсутствие кратных
комплексно-сопряженных корней, а кратные действительные корни должны
принадлежать одной подсистеме второго порядка.
Если матрица параметрических возмущений )(µB задана численно, то в
соответствии с [1, 2] для отыскания однородных компонент )(iT∆ и ,)(iX
,3,1=i имеем систему матричных уравнений
,
,]],,[[
2
1]],,[[
2
1
]],,[[
2
1],[],[
,]],,[[
2
1],[],[
,],[
)1()1()2()1(
0
)1()2(
0
)2()3()3(
0
)3(
)1()1(
0
)1()2()2(
0
)2(
)1()1(
0
)1(
KKKKKKKKKKKKKKKKKKKK
TTBTTA
TTATBBTAX
TTATBBTAX
BBTAX
∆∆+∆∆+
+∆∆+∆==∆−
∆∆+∆==∆−
≡=∆−
(3)
где 0
)()(
0
)(
0 ],[ ATTATA iii ∆−∆=∆ — обозначение скобки Ли, коммутатор
матриц 0A и )(iT∆ .
При численной параметризации инвариантного многообразия (прост-
ранства преобразований подобия — матрица ∑∆+=∆+=
i
iTETET )( ),
83
трансверсального дополнения к нему (пространства деформаций исходного
объекта управления — матрица ∑=
i
iXX )( ) каждое матричное уравнение
из этой системы решается последовательно [1].
Таким образом, это последовательность гомологических уравнений для
параметризации приводящего преобразования и трансверсального дополне-
ния к орбите действия группы преобразований подобия, которые могут быть
определены с заданной точностью.
Цель данной работы — показать применение метода малого параметра
для повышения точности параметризации с использованием определяющей
системы уравнений (3) и разработка алгоритмов для численно-аналити-
ческого определения параметров версальной модели, предложенной в [4], на
S-параметрическом семействе систем (1).
В теории управления при некоторых фиксированных значениях пара-
метров, например при нулевых значениях управляющих воздействий, мы
получаем исходно заданный объект управления. Поэтому семейство объек-
тов (или семейство систем) может быть ассоциировано с деформацией
исходного объекта системой управления. В этой работе при численно-
аналитическом разложении рассмотрим такие деформации объекта управле-
ния, когда стационарные параметры системы управления воздействуют на
объект управления линейно:
.)()(
1
00 ∑
=
µ+=µ+=µ
S
i
iiBABAA
Разрешимость метода и точность алгоритмов численной
параметризации семейств матриц с варьируемыми параметрами
Заметим, что левая часть матричных уравнений (3) линейна, а выбор
структуры параметров матриц для определения однородных составляю-
щих [4]:
— приводящего преобразования подобия
,
...
............
...
...
21
22221
11211
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∆∆∆
∆∆∆
∆∆∆
=∆
mmmm
m
m
TTT
TTT
TTT
T
где ,
00
2,212,2 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=∆
− jjjjjj ttT jkT∆ — полные матрицы второго порядка,
;kj ≠
— и трансверсального дополнения
,
...00
............
0...0
0...0
21
22221
11211
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
mmmm
m
m
X
X
X
X
84
где =jjX ,
00
2,212,2 ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
− jjjj xx
jk0 — нулевые матрицы второго порядка,
;kj ≠ ;,1, mkj = 2/nm = ; позволяет получать единственное решение в об-
щем случае переопределенной системы уравнений.
Алгоритм параметризации приводящего преобразования подобия, пред-
ставленного в виде матричной экспоненты ,Te∆ сводится к тому, чтобы вы-
числить (параметризировать) как можно больше членов разложения и тем
самым уменьшить их влияние в приведенной (преобразованной) матрице .~A
В общем случае этот вычислительный процесс бесконечный.
В (3) представлена система матричных уравнений, полученная для
параметризации матричной экспоненты Te∆ в пространстве 2-струи ее раз-
ложения.
Алгоритм численной параметризации такой системы матричных урав-
нений, предложенный в [1], имеет то преимущество, что для параметриза-
ции может использоваться ограниченное число членов разложения приво-
дящего преобразования, связанного с решением нелинейной задачи пара-
метризации, а на каждом шаге алгоритма как численной, так и численно-
аналитической параметризации будут решаться линейные системы матрич-
ных уравнений. Это особенно важно при необходимости исследования мо-
дели систем большой размерности, которые, как правило, за счет системы
управления деформируют модель объекта управления в ограниченной окре-
стности, связанной с собственными свойствами объекта.
Важным вопросом является вопрос сходимости разложения, а соответ-
ственно и точности параметризации. Покажем это. Совершенно формально
рассмотрим параметрические возмущения системы (1) малым парамет-
ром µ , что можно представить в виде
,)(~
0
TT eBAeA ∆∆− µ+= (4)
где ;~
0 XAA += ,
10
diag
2,212,2
0
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
− iiii aa
A .2/,1 ni =
Тогда в пространстве 2-струи разложения получим систему матричных
уравнений (3) в виде
.]],,[[
2
1]],,[[
2
1
]],,[[
2
1],[],[
,]],,[[
2
1],[],[
,],[
)1()1()2()1(
0
)1()2(
0
)2()3()3(
0
)3(
)1()1(
0
)1()2()2(
0
)2(
)1()1(
0
)1(
TTBTTA
TTATBBTAX
TTATBBTAX
BBTAX
∆∆µ+∆∆+
+∆∆+∆µ==∆−
∆∆+∆µ==∆−
µ≡=∆−
(5)
Сходимость итерационного процесса, определяемого уравнениями (5) и
параметризирующего трансверсальные дополнения X к орбите, индуциро-
85
ванной в пространстве систем действием группы преобразований подобия
,)(
⎭
⎬
⎫∆+
⎩
⎨
⎧= ∑
i
iTEG к нулевой деформации )(iX гарантирует устойчивость
вычислительного процесса параметризации.
Имеется необходимое условие сходимости вычислительного процесса
параметризации, так как вычисляемые на каждом шаге члены разложения
приводящего преобразования подобия )(iT∆ являются унипотентными мат-
рицами [6, 8], которые определяются окрестностью параметрических воз-
мущений исходной матрицы .0A
Соотношение (5) можно использовать для выбора значения малого па-
раметра ,µ достаточного для достижения сходимости или заданной точно-
сти параметризации в пространстве 2-струи разложения.
Для практических целей достаточно решения задачи параметризации с
заданной точностью, что не требует организации бесконечного вычисли-
тельного процесса.
Для оценки точности получаемых решений можно проводить анализ
получаемых решений на каждом шаге итерационного процесса последова-
тельных приближений путем изучения численных характеристик трансвер-
сальных дополнений ,)(iX которые определяют поправки для решения зада-
чи параметризации на заданном шаге используемого метода последователь-
ных приближений.
Покажем это на примере решения задачи численной параметризации.
Пример 1. Пусть задана модель механической системы вида
,
474,02470
10,
448,02200
10,
408,01830
10diag0
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−
=A
которая претерпевает параметрические возмущения, связанные с управле-
нием ,100 BABA µ+=+
где ,2,0=µ а .
0017,018,062,069,1
000000
17,016,0012,0012,0253,1385,1
000000
202,1717,1312,1308,1132,0146,0
000000
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−−−
−−−−−−
=B
В результате применения алгоритма численной параметризации полу-
чаем модель объекта и системы управления, приведенную к главным коор-
динатам замкнутой системы
.
478,02473
10,
452,02190
10,
543,01836
10diag
3
1
)(
0
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−
=+ ∑
=i
iXA
Сходящийся вычислительный процесс на рассматриваемой вычисли-
тельной схеме дает два верных знака, что для определенного количества
86
приложений может быть достаточным. Покажем это с помощью стандарт-
ного алгоритма eigenvals решения полной проблемы собственных значений
системы MathCAD v. 12.0, и запишем используемую каноническую форму в
следующем виде:
,
476,02473
10,
456,02190
10,
542,01836
10diag0
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−
≅+ BA
что подтверждает наличие даже трех верных знаков.
При 4,0=µ имеем
.
527,02483
10,
377,02160
10,
714,01854
10diag
3
1
)(
0
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−
=+ ∑
=i
iXA
С использованием стандартного алгоритма eigenvals решения полной
проблемы собственных значений системы MathCad v. 12.0 каноническая
форма принимает вид
.
5,02481
10,
406,02158
10,
712,01857
10diag20
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−
≅+ BA
Результаты исследования сходимости и точности параметризации пред-
ложенной вычислительной схемы в зависимости от значений малого пара-
метра µ представлены на рис. 1.
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1
µ
5
10
15
20
25
30
35
40
y
Рис. 1. Зависимость точности параметризации (в %) от малого параметра
При 6,0>µ система неустойчива и находится в окрестности структур-
ных изменений, поэтому для параметризации следует использовать более
сложный канонический представитель и версальную модель. Итак, при
2,0=µ получена точность решения задачи приведения, соответствующая
двум верным знакам, что достаточно для практических приложений.
Таким образом, в окрестности канонического представителя исходной
системы 0A предложенная вычислительная схема обеспечивает сходимость
87
и требуемую точность приведения системы к главным координатам. При
больших деформациях исходного объекта возможно использование:
• более сложного канонического представителя и версальной модели —
при наличии структурных изменений;
• более сложной вычислительной схемы, разложение матричной экспо-
ненты в пространстве большего числа струй с соответствующим увеличени-
ем количества определяющих уравнений вычислительной схемы;
• методологии введения малого параметра с последовательным перехо-
дом в новую окрестность системы, принятие в качестве канонического
представителя 0A полученного значения параметризованной системы, с со-
ответствующим приведением параметрических возмущений к новым глав-
ным координатам;
• использование введенного малого параметра в качестве аппроксима-
ции искомых решений.
Почти аналогично эта методология (техника моделирования систем
с малым параметром) может применяться при построении процедур чис-
ленно-аналитического разложения моделей систем управления по пара-
метрам автомата стабилизации (например, по параметрам каналов стабили-
зации). В этом случае деформации объекта управления системой стабилиза-
ции существенно уменьшаются, причем чем больше параметров сохраняется
в разложении, тем с бóльшим числом малых параметров изучается система
(в качестве малых параметров в этом случае можно рассматривать, напри-
мер, параметры автомата стабилизации).
Численно-аналитическое определение параметров версальной модели
Из системы уравнений (3) видно, что левые части матричных уравнений
однотипны и структурно совпадают с видом определяющего матричного
гомологического уравнения, полученного в общем виде, где нелинейные
слагаемые отнесены к правой части и включены в матрицу B~
TXTBBBTATAX ∆−∆+≡=∆−∆+ ~
00 , (6)
здесь 0A — блочно-диагональная матрица главной части параметризируе-
мой системы.
Таким образом, при заданной структуре матриц )(iT∆ и )(iX левые час-
ти каждого из приведенных в (3) матричных уравнений однотипны, для за-
данной окрестности канонического представителя 0A одинаковы и решаемые
задачи отличаются только правыми частями. Аналогичная ситуация, как и в
общем случае (6), должна иметь место и при построении алгоритмов чис-
ленно-аналитической параметризации, что мы покажем ниже.
В [9, 10] представлены алгоритмы численной параметризации элемен-
тов матрицы приводящей группы преобразований T∆ и трансверсального
дополнения к ней ,X построенные на основе алгоритмов параметризации
моделей систем четвертого порядка и применения методов последователь-
ных уточнений.
88
Подобные алгоритмы применялись при численной параметризации эле-
ментов матрицы приводящей группы преобразований T∆ и трансверсаль-
ного дополнения к ней X в [1] и будут использоваться при построении ал-
горитмов численно-аналитической параметризации.
Рассмотрим алгоритм построения решения задачи параметризации
трансверсального дополнения X в виде явной зависимости от варьируемых
параметров.
Пусть матрица В параметрических возмущений матрицы 0A является
линейной функцией варьируемых параметров, которыми могут быть, на-
пример, параметры соответствующих каналов автомата стабилизации, и
имеет размерность nn × , которую по аналогии с (4) можно записать в виде
∑
=
µ=µ
S
i
ii BB
1
)( , 2nS ≤ , (7)
где iB — некоторые постоянные матрицы.
Рассмотрим однородные компоненты матриц X и T∆ , которые запи-
шем в виде
,,,,
,,,,
1,,
)3()3(
1,
)2()2(
1
)1()1(
1,,
)3()3(
1,
)2()2(
1
)1()1(
K
K
∑∑∑
∑∑∑
===
===
∆µµµ=∆∆µµ=∆∆µ=∆
µµµ=µµ=µ=
S
kji
ijkkji
S
ji
ijji
S
i
ii
S
kji
ijkkji
S
ji
ijji
S
i
ii
TTTTTT
XXXXXX
(8)
гдe ...,, )3()2()1(
ijkiji XXX и ...,, )3()2()1(
ijkiji TTT ∆∆∆ — бесконечные последователь-
ности матриц.
Для 3=S подставим представления (8) в разложение (3) и, учитывая (7),
получим:
=µ∆−µ=µ=µ∆−µ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∆µ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∆µ+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∆µµ=
=µ=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∆µµ−µµ=µ∆−µ
µ≡µ=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∆µ−µ=µ∆−µ
∑∑∑∑
∑∑
∑∑∑
====
==
===
)](,[)()()](,[)(
,,,
2
1,
)(,)](,[)(
,)(,)](,[)(
)3(
0
)3()3()3(
0
)3(
3
1
)1(
3
1
)1(
0
3
1
)1(
3
1
)2(
3
1,
)2(
0
3
1,
)2()2(
0
)2(
3
1
)1(
3
1
)1(
0
3
1
)1()1(
0
)1(
TAXBTAX
TTATB
BTAXTAX
BBTAXTAX
j
jj
i
ii
j
jj
i
ii
ji
ijji
ji
ijji
i
ii
i
ii
i
ii
(9)
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∆µµµ−µµµ= ∑∑
==
3
1,,
)2(
0
3
1,,
)2( ,
kji
ijkji
kji
ijkji TAX
89
.,,
2
1,,
2
1
,,
2
1,
3
1
)1(
3
1
)1(
3
1
3
1,
)2(
3
1
)1(
0
3
1
)1(
3
1,
)2(
0
3
1,
)2(
3
1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∆µ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∆µµ+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∆µµ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∆µ+
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∆µ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∆µµ+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∆µµµ=
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
=====
====
k
kk
j
jj
i
ii
kj
jkkj
i
ii
i
ii
kj
jkkj
kj
jkkj
i
ii
TTBTTA
TTATB
Рассматривая однородные компоненты матриц X и T∆ , запишем
уравнения для нахождения матриц )1(
iX , )2(
ijX , )3(
ijkX , )1(
iT∆ , )2(
ijT∆ , )3(
ijkT∆ ,
которые соответствуют влиянию данных комбинаций варьируемых пара-
метров iµ 3,1=i , полученные при представлении матричной экспоненты
разложением в пространстве 2-струи:
.3,1,,,]],,[[
2
1]],,[[
2
1
]],,[[
2
1],[],[
;3,1,,],],[[
2
1],[],[
;3,1,],[
)2()1(
0
)1()1(
)1()2(
0
)2()3(
0
)3(
)1()1(
0
)1()2(
0
)2(
)1(
0
)1(
=∆∆+∆∆+
+∆∆+∆==∆−
=∆∆+∆==∆−
==∆−
kjiTTATTB
TTATBBTAX
jiTTATBBTAX
iBTAX
jkikji
ijkjkiijkijkijk
jijiijijij
iii
(10)
Отсюда с учетом (8), (9) и конечномерности пространств матриц X
и T∆ получим уравнения линейного приближения для разложения по пара-
метрам трансверсального дополнения )()1( µX
∑
=
µ==µ
3
1
)1()1()1( )(
i
ii XXX ,
уравнения для определения трансверсального дополнения )()2( µX квадра-
тичного приближения разложения по варьируемым параметрам iµ 3,1=i ,
которые имеют вид
∑
=
µµ==µ
3
1,
)2()2()2( )(
ji
ijji XXX ,
а также уравнения для определения трансверсального дополнения )()3( µX
для кубических членов разложения по варьируемым параметрам iµ :3,1=i
∑
=
µµµ==µ
3
1,,
)3()3()3( )(
kji
ijkkji XXX .
90
Результирующее выражение для параметров универсальной модели в
виде степенных рядов от параметров исходной деформации ,
3
1
0 ∑
=
µ+
i
ii BA
а именно, численно-аналитическое разложение трансверсального дополне-
ния X в пространстве варьируемых параметров ,µ принимает вид
.)()()(
3
1,,
)3(
3
1,
)2(
3
1
)1()3()2()1( ∑∑∑
===
µµµ+µµ+µ=µ+µ+µ=
kji
ijkkji
ji
ijji
i
ii XXXXXXX
В результате матрицу динамической системы
xBAxBAx
i
ii )())((
3
1
00 ∑
=
µ+=µ+=& ,
приведенную к блочно-диагональному виду с блоками второго порядка
(форме Жордана) в численно-аналитическом виде, с точностью до кубиче-
ских членов разложения и при представлении матричной экспоненты в про-
странстве 2-струи (10), запишем
=+≅µ+=µ+ ∑
=
XABABA
i
ii 0
3
1
00 )(
∑∑∑
===
µµµ+µµ+µ+=
3
1,,
)3(
3
1,
)2(
3
1
)1(
0
kji
ijkkji
ji
ijji
i
ii XXXA , (11)
где )1(
iX , )2(
ijX , )3(
ijkX — численные матрицы соответствующей структуры,
определяемые множеством матричных уравнений (10). В выражении (11)
знак « ≅ » обозначает эквивалентность матриц и приближенную точность
параметризации в пространстве варьируемых параметров.
Таким образом, мы имеем универсальную модель численно-аналити-
ческой параметризации трехпараметрического семейства динамических сис-
тем, которое ассоциировано с семействами замкнутых систем управления с
варьируемыми параметрами в контурах стабилизации. Решения получены
для универсальных моделей третьего порядка точности представления зави-
симости от варьируемых параметров.
Аналогично можно записать решения для произвольного числа варьи-
руемых параметров деформации матрицы исходной системы, вплоть до
2nS = . Точность представления матричной экспоненты и требования к чис-
лу степеней приближения численно-аналитических решений (порядку уни-
версальных моделей) в пространстве варьируемых параметров определяется
требуемой точностью искомых решений.
Вследствие конечномерности пространств матриц X и T∆ каж-
дая из двух бесконечных последовательностей матриц ,...},,{ )3()2()1(
ijkiji XXX и
,...},,{ )3()2()1(
ijkiji TTT ∆∆∆ будет конечномерной линейной комбинацией ба-
зисных.
91
Если в этих рядах ограничиться n членами разложения, то можно гово-
рить об универсальных моделях n -го порядка.
Проиллюстрируем результаты применения разработанного алгоритми-
ческого и программного обеспечения для решения задачи численно-анали-
тической параметризации главной части динамической системы управления
десятого порядка с тремя варьируемыми параметрами.
Пример 2. Пусть задана модель механической системы десятого по-
рядка
},,,,,{diag 05040302010 AAAAAA =
,
408,01830
00
,
391,01680
10
,
356,01390
10
030201 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
= AAA
,
474,02470
00
,
448,02200
00
0504 ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
= AA
которая претерпевает параметрические возмущения вида (7), ассоциирован-
ные с трехпараметрическим семейством систем управления, где
,][ 12111 BBB =
,
0,0690001,00001,00011,00012,0
00000
385,10023,00026,0022,0024,0
00000
146,0024,00003,00023,00025,0
00000
004,00000
00000
009,0000001,00002,0
00000
11
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−−
−−−
−
−−−
=B
,
0006,00008,00,00060,00060,062
0000
011,0016,0012,0012,0253,1
00000
0012,00017,00013,00013,0132,0
00000
00000037,0
00000
00001,0000081,0
00000
12
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−−−−
−−−−−
−
−−
=B
92
а остальные матрицы
,][ 22212 BBB =
,
0000002,00001,0
0017,00005,00013,0058,0036,0
0000007,00004,0
0000016,0001,0
0002,000002,00076,00047,0
21
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−
−−
−
=B
,
00000
017,0016,0015,0025,00014,0
0002,00002,00002,00003,00
0005,00004,00004,00007,00
0023,00022,0002,00033,00
22
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
=B
,][ 32313 BBB =
,
0009,0012,0013,0002,00056,0
0031,004,0044,00068,0019,0
00003,00004,000001,0
0004,00053.00059,00009,00025,0
0004.00047,00052,00079,00022,0
31
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−−
−
−−
−−
=B
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−
−−−
−−
−−
=
011,00071,0001,00008,00009,0
039,0024,00035,00027,00032,0
0003,00002,0000
0052,00032,00005,00004,00004,0
0045,00028,00004,00003,00004,0
32B
представлены без строк с нулевыми элементами.
В результате применения алгоритма численно-аналитической парамет-
ризации версальной модели трехпараметрического семейства систем (7)
получаем модель параметрических возмущений объекта управления деся-
того порядка параметрами системы управления, приведенную к главным
координатам и учитывающую параметрические возмущения, не превышае-
щие 210− величины возмущающего параметра
,)}(),(),(),(),({diag
)(
54321
3
1,,
)3(
3
1,
)2(
3
1
)1(
00
µµµµµ=
=µµµ+µµ+µ+=µ+ ∑∑∑
===
AAAAA
XXXAXA
kji
ijkkji
ji
ijji
i
ii
где
,
356,01390
10)(1 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−
=µA ,
391,01680
10)(2 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−
=µA
93
,
132,0408,001,0146,01830
10)(
1
2
11
3 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
µ−−µ−µ−−
=µA
,
015,0012,0448,001,0025,0012,02200
10)(
21
2
121
4 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
µ−µ−−µ+µ−µ−−
=µA
.011,0474,02470
10)(
3
5 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
µ+−−
=µA
Исходя из предположения, что параметры системы управления ,1<µ i
,3,1=i в приведенных численно-аналитических разложениях не представ-
лены квадратичные и более высокого порядка члены разложения, имеющие
коэффициенты влияния, меньшие 210− . Таким образом, полученные реше-
ния гарантируют наличие трех верных знаков, что в практических приложе-
ниях, как правило, бывает достаточным, не хуже точности задания исход-
ных данных.
Из приведенных результатов численно-аналитической параметризации
главной части замкнутой системы управления видно, что наиболее сущест-
венное влияние на устойчивость исследуемой системы оказывает пара-
метр .3µ Однако изменение этого параметра в рассматриваемых пределах
не может привести к потере устойчивости объекта управления.
Заключение
Разработанные вычислительные алгоритмы расчета параметров группы
преобразований подобия и параметров трансверсального дополнения, кото-
рое в общем положении дополняет орбиту группы преобразований до всего
пространства систем, практически идентичны и отличаются лишь методами
расчета правых частей. Причем это полезное свойство относится как к чис-
ленным [1, 9, 10 ], так и численно-аналитическим алгоритмам параметриза-
ции соответствующих гомологических уравнений.
Аналогично алгоритмам численной параметризации алгоритмы числен-
но-аналитической параметризации имеют то преимущество, что для пред-
ставления нелинейных членов в правой части матричных уравнений исполь-
зовалось ограниченное число членов разложения матричной экспоненты,
связанное с решением нелинейной задачи параметризации.
Это особенно важно при решении задач параметризации высокой раз-
мерности, когда ищется численно-аналитическое решение в пространстве
варьируемых параметров. При ограниченной точности искомых решений,
достаточной для практических приложений, алгоритмы решения численно-
аналитической задачи параметризации, так же как и задачи численной пара-
метризации, всегда конечны.
Приведенные примеры численной и численно-аналитической парамет-
ризации показывают результативность разработанного алгоритмического и
программного обеспечения, а также демонстрируют возможности оценки
точности и сходимости получаемых решений.
94
1. Набивач В.Е. Алгоритм численной параметризации версальных моделей при решении
задачи декомпозиции линейного оператора // Проблемы управления и информатики. —
2008. — № 6. — С. 5–10.
2. Удилов В.В. Численные и численно-аналитические методы вычисления параметров вер-
сальной модели на основе разложения Кэмпбелла–Хаусдорфа // Там же. — 1998. —
№ 4. — С. 5–9.
3. Набивач В. Е., Удилов В.В. Устойчивость численных методов приведения матриц, зави-
сящих от параметров // Кибернетика и вычисл. техника. — 1988. — Вып. 77. — С. 7–18.
4. Набивач В.Е. Задача структурно устойчивой параметризации семейств сильвестровых
матриц // Проблемы управления и информатики. — 2007. — № 6. — С. 14–25.
5. Митропольский Ю.А., Лопатин А.К. Теоретико-групповой подход в асимптотических
методах нелинейной механики. — Киев: Наук. думка, 1988. — 270 с.
6. Богаевский В.Н., Повзнер А.Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмуще-
ний. — М.: Наука, 1987. — 256 с.
7. Грязина Е.Н., Поляк Б.Т., Тремба А.А. Современное состояние метода D-разбиения // Ав-
томатика и телемеханика. — 2008. — № 12. — С. 3–40.
8. Математическая энциклопедия. Т. 3 / Гл. ред. И.М. Виноградов. — М.: Сов. энциклопе-
дия, 1982. — 1184 с.
9. Набивач В.Е., Фурсов А.К., Телегин И.В. Алгоритмы устойчивой декомпозиции, отщеп-
ления и упрощения моделей многомерных динамических систем с параметрами в окре-
стности особых точек // Конечномерные и распределенные системы управления. — Ки-
ев: ИК АН УССР, 1986. — С. 51–61.
10. Удилов В.В., Набивач В. Е., Турчина О.В. Метод блочно-диагональной декомпозиции
матриц с параметрами (D-метод) и его применение // Там же. — 1983. — С. 45–53.
Институт космических исследований
НАН Украины и НКА Украины Получено 02.06.2009
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7650 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0452-9910 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-02T00:58:21Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Набивач, В.Е. 2010-04-06T12:04:07Z 2010-04-06T12:04:07Z 2009 Алгоритм численно-аналитического определения параметров версальной модели при параметрическом возмущении матрицы системы / В.Е. Набивач // Кибернетика и вычисл. техника. — 2009. — Вип. 157. — С. 81-94. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0452-9910 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7650 681.5:519.6 Рассмотрена задача блочно-диагональной декомпозиции семейств матриц с варьируемыми параметрами на блоки минимальной размерности, характерные для колебательных систем. Разработан алгоритм построения численно-аналитических разложений по варьируемым параметрам изучаемого семейства систем. Данные методы важны для решения задач анализа устойчивости семейств динамических систем и систем управления, зависящих от варьируемых параметров. ru Міжнародний науково-навчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України Сложные системы управления Алгоритм численно-аналитического определения параметров версальной модели при параметрическом возмущении матрицы системы Article published earlier |
| spellingShingle | Алгоритм численно-аналитического определения параметров версальной модели при параметрическом возмущении матрицы системы Набивач, В.Е. Сложные системы управления |
| title | Алгоритм численно-аналитического определения параметров версальной модели при параметрическом возмущении матрицы системы |
| title_full | Алгоритм численно-аналитического определения параметров версальной модели при параметрическом возмущении матрицы системы |
| title_fullStr | Алгоритм численно-аналитического определения параметров версальной модели при параметрическом возмущении матрицы системы |
| title_full_unstemmed | Алгоритм численно-аналитического определения параметров версальной модели при параметрическом возмущении матрицы системы |
| title_short | Алгоритм численно-аналитического определения параметров версальной модели при параметрическом возмущении матрицы системы |
| title_sort | алгоритм численно-аналитического определения параметров версальной модели при параметрическом возмущении матрицы системы |
| topic | Сложные системы управления |
| topic_facet | Сложные системы управления |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7650 |
| work_keys_str_mv | AT nabivačve algoritmčislennoanalitičeskogoopredeleniâparametrovversalʹnoimodelipriparametričeskomvozmuŝeniimatricysistemy |