О некоторых применениях парадоксального способа суммирования непрерывных дробей
Рассматривается иное, нежели традиционное, определение сходимости непрерывных дробей. Новый
 метод суммирования используется при определении значений расходящихся в классическом смысле
 непрерывных дробей и рядов, которые нередко возникают при математическом моделировании тех
...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7661 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О некоторых применениях парадоксального способа суммирования непрерывных дробей / В.И. Шмойлов // Штучний інтелект. — 2008. — № 4. — С. 721-728. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860249037888815104 |
|---|---|
| author | Шмойлов, В.И. |
| author_facet | Шмойлов, В.И. |
| citation_txt | О некоторых применениях парадоксального способа суммирования непрерывных дробей / В.И. Шмойлов // Штучний інтелект. — 2008. — № 4. — С. 721-728. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассматривается иное, нежели традиционное, определение сходимости непрерывных дробей. Новый
метод суммирования используется при определении значений расходящихся в классическом смысле
непрерывных дробей и рядов, которые нередко возникают при математическом моделировании тех
или иных практически важных задач.
In this article we describe another, then traditional, definition of convergence of continued fractions. New
method of summation is used for determinating values of divergent in classic sense continued fractions and
series, which often appears during the mathematical modeling these or those practically important problems.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:40:40Z |
| format | Article |
| fulltext |
«Штучний інтелект» 4’2008 721
8Ш
УДК 519.651.5
В.И. Шмойлов
Южный научный центр РАН, г. Таганрог, Россия
mvs@tsure.ru
О некоторых применениях
парадоксального способа суммирования
непрерывных дробей
Рассматривается иное, нежели традиционное, определение сходимости непрерывных дробей. Новый
метод суммирования используется при определении значений расходящихся в классическом смысле
непрерывных дробей и рядов, которые нередко возникают при математическом моделировании тех
или иных практически важных задач.
Академик Н.Н. Моисеев в своей книге «Математика ставит эксперимент» [1]
писал: «Нередко наше отставание в вычислительной технике нам удаётся компен-
сировать более эффективными алгоритмами, применяемыми при решении задач».
Вниманию читателей предлагается парадоксальный способ определения значений
расходящихся непрерывных дробей, который может быть эффективно использован
разработчиками прикладного программного обеспечения современных отечествен-
ных вычислительных систем.
Одним из факторов широкого использования непрерывных дробей в вычисли-
тельной математике является то, что непрерывные дроби в большинстве случаев
дают гораздо более общие представления трансцендентных функций, чем классические
представления степенными рядами. Непрерывные дроби, зачастую, могут быть с
большим эффектом использованы для ускорения сходимости медленно сходящихся
рядов. Более того, преобразуя расходящиеся ряды в соответствующие непрерывные
дроби, нередко можно просуммировать, то есть найти значения расходящихся рядов.
Известно, что непрерывные дроби тесно связаны с аппроксимациями Паде, которые,
как отмечается в [2], стали главным вычислительным средством в задачах статической
механики и физики твердого тела. Поэтому существенные результаты, полученные в
теории непрерывных дробей, в частности, в вопросах сходимости, могут быть исполь-
зованы и в аппроксимациях Паде.
Бесконечной цепной дробью, или непрерывной дробью, называют выражение вида
,
2
2
1
1
0
n
n
b
ab
ab
ab
где ia и ib , ,2,1i – в общем случае независимые переменные.
Часто непрерывную дробь записывают в компактном виде в форме Гершеля:
.2
2
1
1
0
n
n
b
a
b
a
b
ab
Непрерывная дробь называется сходящейся, если последовательность ее
подходящих дробей имеет конечный предел. Этот предел называется значением
непрерывной дроби. Непрерывная дробь называется расходящейся, если последова-
Шмойлов В.И.
«Искусственный интеллект» 4’2008 722
8Ш
тельность ее подходящих дробей предела не имеет. Имеется большое количество
признаков сходимости, при помощи которых можно сказать, существует предел
последовательности подходящих дробей или нет. Наиболее широкое применение,
пожалуй, получил достаточный признак Ворпицкого [2]. По признаку Ворпицкого
непрерывная дробь
...
111
21
naaa
сходится, если ...3,2,4/1 nan .
В статье будет рассмотрено несколько задач из разных разделов вычисли-
тельной математики, решенных при помощи так называемого r -алгоритма, –
нового метода суммирования расходящихся непрерывных дробей.
В [3] предложено иное, нежели традиционное, толкование сходимости не-
прерывных дробей. Для установления значений непрерывных дробей будем
использовать r -алгоритм:
Непрерывная дробь сходится и имеет своим значением в общем случае комп-
лексное число 0
0
ierz , если существуют пределы
0
1
|/|lim rQPs
s
i
ii
s
, (1)
0lim
s
ks
s
, (2)
где Pi /Qi – значения i-й подходящей дроби из совокупности, включающей s подхо-
дящих дробей, ks – число отрицательных подходящих дробей из s подходящих
дробей.
Этот алгоритм применим как к обыкновенным непрерывным дробям, так и к
непрерывным дробям с графами иных типов, например, к непрерывным дробям
Хессенберга и ветвящимся непрерывным дробям.
В случае непрерывных дробей, сходящихся в классическом смысле, аргумент
0 примет значения 0 или . Если 0 = 0, то значение сходящейся непрерывной
дроби будет совпадать со значением модуля r0 :
0
0
0 rerz i .
Если 0 , то значение сходящейся непрерывной дроби будет отрицательное
число:
00 rerz i .
Предложенный r -алгоритм даёт возможность устанавливать значения расхо-
дящихся непрерывных дробей. Проиллюстрируем эффективность предложенного
способа суммирования расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей
решением ряда задач вычислительной математики.
Известно, что непрерывные дроби целесообразнее использовать для аппрок-
симации функций, нежели степенные ряды, так как непрерывные дроби зачастую
сходятся в более широкой области. Например, ряд Меркатора
...
432
)1ln(
432
xxxxx
представляет логарифмическую функцию в единичном круге, в то время как
непрерывная дробь Лагранжа
...122...5
2
2
2
321
)1ln(
n
nxnxxxxxxx
сходится к функции )1ln( x на всей плоскости комплексного переменного, за
исключением выреза от –1 до [2].
О некоторых применениях парадоксального способа суммирования...
«Штучний інтелект» 4’2008 723
8Ш
При отрицательных значениях аргумента логарифмическая функция имеет комп-
лексное значение, и естественно, что непрерывные дроби, получающиеся из непрерывной
дроби Лагранжа при 1x будут расходящимися в классическом смысле.
На рис. 1 (а, б, в, г, д, е) показано распределение подходящих непрерывной
дроби Лагранжа (2.1) при х = –10, –100, –1000 на начальных участках
)5001и1001( nn .
Рисунок 1 – Распределение значений подходящих непрерывной дроби
логарифмической функции
100 1
500 1
100 1
500 1
100 1
150
-150
150
-150
150
-150
15
-15
15
-15
15
-15
4268.05876.7)999ln( ie
4268.05876.7)999ln( ie
5996.05663.5)99ln( ie
9604.08337.3)9ln( ie
5996.05663.5)99ln( ie
9604.08337.3)9ln( ie
а)
б)
в)
г)
д)
е)
500
Шмойлов В.И.
«Искусственный интеллект» 4’2008 724
8Ш
В табл. 1 показаны результаты суммирования расходящейся непрерывной дроби
....12
3
2
3
...5
6
2
6
3
3
2
3
1
3)2ln(
n
nn (3)
При отрицательном аргументе логарифмическая функция имеет комплексное
значение
,2171505117,3)2ln( 3536398454,1ie
которое, естественно, не может приближаться непрерывной дробью с вещественными
элементами и, тем не менее, суммирование при помощи r -алгоритма позволяет
установить значение дроби (3).
Таблица 1
Определение значения расходящейся непрерывной дроби
....12
3
2
3
...5
6
2
6
3
3
2
3
1
3)2ln(
n
nn
...2171505117.30 r ...3536398454.10
В первой колонке таблицы даны номера n подходящих дробей разложения (3).
Номера подходящих дробей составляют степень 2: 231,2 in i . Значения подходя-
щих дробей с этими номерами приведены в соседней колонке 2. Как и следовало
ожидать, значения подходящих дробей nn QP с ростом n не стремятся к какому-либо
пределу. Для чисел же, расположенных в колонке 3, напротив, стремление к пределу
можно без труда обнаружить – значения асимптотически приближаются к величине
3.2171505117..., то есть к модулю комплексного числа )2ln( . Даже беглого взгляда
на колонки 6 и 7 достаточно, чтобы убедиться, что с ростом количества подходящих
дробей разложения (3) все более точно устанавливается значение аргумента иско-
мого комплексного числа.
Номер
звена
дроби
Значение
подходящей
дроби
Модуль
комплексного
числа, nr
Погрешность,
nr rr 0
min
r
Аргумент
комплексного
числа,
n
Погрешность,
n 0
min
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
8192
16384
32768
65536
131072
262144
524288
1048576
2097152
4194304
8388608
–3.0000000
6.0000000
–3.0000000
–97.5000000
1.4880473
3.1985122
62.8693924
0.9165216
1.7095765
3.9037050
–15.4772571
2.6358581
11.1007665
–0.6961262
–1.7591587
–6.4347291
5.5879135
–3.9038315
16.0431708
–0.0551483
–0.2709104
–0.7308612
–1.8537413
–7.2124648
3.0000000000
4.2426406871
3.0000000000
4.9614481602
3.5474336503
3.6050160485
3.3885474566
3.1810462758
3.2148854739
3.2112688498
3.2219262392
3.2194825453
3.2127253440
3.2169015620
3.2167104407
3.2170964982
3.2171496506
3.2171884212
3.2171480639
3.2171287791
3.2171427009
3.2171496552
3.2171502478
3.2171495794
0.2171505117
1.0254901754
0.2171505117
1.7442976485
0.3302831386
0.3878655367
0.1713969449
0.0361042359
0.0022650377
0.0058816618
0.0047757275
0.0023320336
0.0044251676
0.0002489496
0.0004400709
0.0000540134
0.0000008610
0.0000379094
0.0000024477
0.0000217325
0.0000078107
0.0000008564
0.0000002638
0.0000009323
m
m
m
m
m
m
3.1415926535
1.5707963267
1.5707963267
1.5707963267
1.3744467859
1.3744467859
1.3744467859
1.3499030933
1.3621749396
1.3499030933
1.3560390164
1.3529710549
1.3529710549
1.3533545501
1.3533545501
1.3536421715
1.3536421715
1.3536182030
1.3535942346
1.3536421715
1.3536361793
1.3536361793
1.3536391754
1.3536399244
1.7879528081
0.2171564813
0.2171564813
0.2171564813
0.0208069405
0.0208069405
0.0208069405
0.0037367521
0.0085350941
0.0037367521
0.0023991710
0.0006687905
0.0006687905
0.0002852953
0.0002852953
0.0000023260
0.0000023260
0.0000216423
0.0000456108
0.0000023260
0.0000036660
0.0000036660
0.0000006699
0.0000000790
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
О некоторых применениях парадоксального способа суммирования...
«Штучний інтелект» 4’2008 725
8Ш
Найдены представления элементарных и некоторых специальных функций в
виде непрерывных дробей Хессенберга [4]. Например,
....
!1100
!2!110
!3!2!11
!4!3!2!1
.....
!11000
!2!1100
!3!2!110
!4!3!2!11
!5!4!3!2!1
11ln
1
x
xx
xxx
xxxx
x
xx
xxx
xxxx
xxxxx
x
. (4)
Непрерывная дробь (4) определяет логарифмическую функцию на всей плоскости
комплексного переменного с разрезом от 0 до –1. Комплексное значение логарифми-
ческой функции на разрезе определяется из (4) суммированием по формулам (1) и (2).
В качестве подходящих дробей (4) будем брать последовательность отношений опре-
делителей:
,
1
!1/
0
xP ,
!1/
!1/1
!2/!1/
1 x
x
xx
P
,
!1/1
!2/!1/
!1/10
!2/!1/1
!3/!2/!1/
2
x
xx
x
xx
xxx
P
...
В табл. 2 приведены результаты вычисления комплексного числа 1/ln(–2) при
помощи функциональной непрерывной дроби Хессенберга (4) и алгоритма суммиро-
вания расходящихся непрерывных дробей, то есть формул (1) и (2).
Определение значения непрерывной дроби (2.3) при 31x .
31x , ....3536398454.1,...3108340739.0 00 r
Таблица 2
Номер
звена
дроби
Значение
подходящей
дроби
Модуль
комплексного
числа, nr
Погрешность,
nr rr 0
min
r
Аргумент
комплексного
числа, n
Погрешность,
n 0
min
1 2 3 4 5 6 7 8
20
21
42
84
168
336
672
1344
2688
5376
10752
21504
43008
86016
172032
344064
688128
1376256
2752512
5505024
11010048
0.85127256
0.02044264
–0.02832422
–0.14445825
–0.75441728
0.32678464
2.01078357
–0.03019484
–0.14954713
–0.81466750
0.30407891
1.28357034
–0.09454281
–0.38364272
0.81555456
–0.22761506
–10.07498787
0.08515530
0.10347124
0.14104327
0.22449739
0.99198117
0.82455439
0.50977666
0.40513373
0.35654051
0.33285231
0.32176153
0.31569144
0.31342156
0.31217034
0.31149855
0.31116989
0.31099243
0.31091665
0.31087600
0.31085447
0.31084454
0.31083902
0.31083657
0.31083533
0.31083471
0.68114710
0.51372032
0.19894259
0.09429965
0.04570644
0.02201823
0.01092745
0.00485737
0.00258748
0.00133626
0.00066447
0.00033582
0.00015836
0.00008257
0.00004193
0.00002039
0.00001047
0.00000495
0.00000249
0.00000126
0.00000064
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
–1.41371669
–1.34639685
–1.42119667
–1.38379676
–1.36509680
–1.35574682
–1.35574682
–1.35574682
–1.35457808
–1.35399370
–1.35370152
-1.35370152
–1.35370152
–1.35366499
–1.35364673
–1.35364673
–1.35364217
–1.35363988
–1.35363988
–1.35363988
–1.35363988
0.06007684
0.00724299
0.06755683
0.03015691
0.01145696
0.00210698
0.00210698
0.00210698
0.00093823
0.00035386
0.00006167
0.00006167
0.00006167
0.00002515
0.00000689
0.00000689
0.00000232
0.00000004
0.00000004
0.00000004
0.00000004
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
Шмойлов В.И.
«Искусственный интеллект» 4’2008 726
8Ш
Приведём ещё пример нахождения значений расходящейся в классическом
смысле непрерывной дроби при помощи описанного выше алгоритма суммирования.
Известна непрерывная дробь Лагранжа для степенной функции [2]:
...12
)(
2
)(
...3
)1(
2
)1(
1
1)1(
m
xmxmxxxx . (5)
Непрерывная дробь (5) сходится на всей плоскости комплексного переменного,
разрезанной по вещественной оси от –1 до . При 1x подкоренное выражение
функции )1( xy становится отрицательным, следовательно, значение функции )1( x
при 1x становится комплексной величиной, которая, очевидно, не может прибли-
жаться вещественной последовательностью подходящих дробей разложения (5),
элементы которого при 1x остаются действительными величинами.
В табл. 3 приведены результаты вычисления значения расходящейся непрерыв-
ной дроби для 3 9 при помощи r -алгоритма.
Определение значения расходящейся непрерывной дроби
...)12(3
10)13(
2
10)13(
...2
105
9
104
2
102
3
10193
n
nn .
....047197.1,...080083.2 00 r
Таблица 3
Номер
звена
дроби
Значение
подходящей
дроби
Модуль
комплексного
числа, nr
Погрешность,
nr rr 0
min
r
Аргумент
комплексного
числа, n
Погрешноcть,
n 0
min
1 2 3 4 5 6 7 8
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4096
8192
16384
32768
65536
131072
262144
524288
1048576
2097152
4194304
8388608
2.4285714
7.9230769
0.0083609
2.3793179
3.4334933
–6.6957404
1.8056646
2.7046939
14.0355053
0.4131559
–0.5703198
–33.5321135
1.1197769
1.0914866
1.0349376
0.9216825
0.6914169
0.1869493
–1.4500205
5.5741164
–0.8763266
15.7595707
0.4758782
8.095238095238
1.892578548704
0.946908431432
1.514212477498
1.931910874242
2.285828469458
2.171608471371
2.095947975804
2.077080542151
2.063579787259
2.085479528230
2.082858835017
2.079900863342
2.080396700069
2.080307362394
2.079865087605
2.080106476321
2.079930141859
2.080071498760
2.080081877069
2.080075907132
2.080077041783
2.080083260804
6.015154272186
0.187505274347
1.133175391618
0.565871345553
0.148172948809
0.205744646406
0.091524648319
0.015864152753
0.003003280900
0.016504035792
0.005395705178
0.002775011965
0.000182959709
0.000312877017
0.000223539343
0.000218735446
0.000022653270
0.000153681192
0.000012324291
0.000001945982
0.000007915919
0.000006781268
0.000000562247
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
0.000000000000
0.000000000000
0.785398163397
0.785398163397
0.687223392972
0.932660319034
0.957204011640
1.043106935762
1.043106935762
1.046174897338
1.044640916550
1.046174897338
1.048092373322
1.047133635330
1.047229509129
1.047229509129
1.047205540679
1.047193556454
1.047199548567
1.047190560398
1.047195054483
1.047199548567
1.047197301525
1.047197551196
1.047197551196
0.261799387799
0.261799387799
0.359974158223
0.114537232162
0.089993539555
0.004090615434
0.004090615434
0.001022653858
0.002556634646
0.001022653858
0.000894822126
0.000063915866
0.000031957933
0.000031957933
0.000007989483
0.000003994741
0.000001997370
0.000006990797
0.000002496713
0.000001997370
0.000000249671
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
На рис. 2 показано распределение подходящих дробей расходящейся непрерывной
дроби для 3 9 .
Рисунок 2 – Распределение значений подходящих непрерывной дроби для 3 9
О некоторых применениях парадоксального способа суммирования...
«Штучний інтелект» 4’2008 727
8Ш
Следует отметить, что при использовании r -алгоритма необходимо иметь
эффективные алгоритмы для построения так называемых соответствующих непрерыв-
ных дробей и для вычисления длинных серий значений подходящих дробей. Исполь-
зование для счёта классического рекуррентного алгоритма (FR-алгоритм) приводит к
быстрому переполнению разрядной сетки компьютера, а применение естественной
процедуры вычисления непрерывной дроби «снизу-вверх» (BR-алгоритм) невозможно
из-за недопустимо больших временных затрат при определении серий значений подхо-
дящих дробей. В [4] были детально рассмотрены алгоритмы для вычисления длинных
серий значений подходящих дробей. В [5] изложены различные методы построения
соответствующих непрерывных дробей.
Расходящиеся ряды нередко суммируются через соответствующие цепные
дроби [6]. Для степенного ряда
...xc...xcxcc n
n 2
210 (6)
можно построить непрерывную дробь
,
...11...111
212321
0
xxxxx nn
(7)
такую, что разложение n-й подходящей дроби этой цепной дроби будет совпадать с
исходным рядом (6) вплоть до члена n
nxc включительно:
......
)(
)( 1
1
2
210
n
n
n
n
n
n xxcxcxcc
xQ
xP
Такую непрерывную дробь называют соответствующей ряду или соответст-
вующей непрерывной дробью.
Используя коэффициенты ic степенного ряда (6), можно построить соответствую-
щую непрерывную дробь (7) по формулам Хейлерманна – Стилтьеса [7]:
,, 1100 cc
;,
1
1
12
11
2
nn
nn
n
nn
nn
n
221
143
32
121
132
21
...
....
...
...
,
...
....
...
...
nnn
n
n
n
nnn
n
n
n
ccc
ccc
ccc
ccc
ccc
ccc
, (8)
1,1 10 .
Найдем значение расходящегося ряда Эйлера:
...11...1
2
1
2
1
1
1
1
1
1...!4!3!2!11
nn = 0,5963473623231945... (9)
Ряд Эйлера (9) связан с интегральной показательной функцией )(xEi .
Действительно, известен быстро сходящийся ряд:
)1(eEi
...
!33
1
!22
11Ce = 0,5963473623231945... ,
где e – неперово число, равное 2.718281… ,
C – постоянная Эйлера, имеющая значение 0.577215…
Определив по расходящимся рядам соответствующие непрерывные дроби,
Шмойлов В.И.
«Искусственный интеллект» 4’2008 728
8Ш
можем найти значения других расходящихся рядов. Например,
1 + 1 – 1 + 2 – 5 + 14 – 42 + 132 –…= 1 1 1 1 51 1,618033
... ...1 1 1 2
… (10)
1 1 2 31 1 1 3 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 ... 0,655679
... ...1 1 1 1 1
n
… (11)
Расходящийся ряд (10) имеет своим значением «отношение золотого сечения»,
а расходящийся ряд (11) связан с неполной гамма-функцией
1 1 2 3 1 1 1, 0,6556795424...
... ...1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
n e eerfc
Метод суммирования расходящихся непрерывных дробей может быть эффек-
тивно использован при решении такой практически важной проблемы, как решение
бесконечных нерегулярных систем линейных алгебраических уравнений. Известно,
что решение трёхдиагональной системы линейных алгебраических уравнений можно
представить в виде непрерывных дробей, частными числителями и знаменателями
которых были бы некоторые выражения из элементов исходной матрицы. Этот способ
записи решений трёхдиагональной системы эквивалентен алгоритму «прогонки».
Непрерывные дроби, представляющие решения системы, будут бесконечными, если
бесконечна система линейных алгебраических уравнений. Но бесконечные непре-
рывные дроби могут быть сходящимися и расходящимися. Задачи математической
физики зачастую описываются бесконечными системами линейных алгебраических
уравнений. Нередко при такой аппроксимации получают так называемые нерегулярные
системы алгебраических уравнений. Под нерегулярными понимают системы алгеб-
раических уравнений, решения которых не стремятся к пределу в классическом
смысле с ростом размерности системы.
При решении регулярных систем не возникает трудностей, так как вместо беско-
нечных систем оперируют «усечёнными» системами. Непосредственно метод «усечения»,
очевидно, не срабатывает в случае нерегулярных бесконечных систем. При некоторых
ограничениях решения нерегулярных бесконечных систем находятся при помощи
рассмотренного выше метода суммирования расходящихся непрерывных дробей. Можно
указать ещё ряд «проблемных» задач в вычислительной математике, эффективное ре-
шение которых обеспечивается алгоритмом суммирования расходящихся непрерывных
дробей.
Литература
1. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. – М.: Наука, 1979. – 224 с.
2. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения: Пер. с англ.– М.:
Мир, 1985. – 414 с.
3. Шмойлов В.И. Периодические цепные дроби. – Львов: Академический Экспресс, 1998. – 219 с.
4. Качмар В.С., Русин Б.П., Шмойлов В.И. Алгоритмы вычисления значений цепных дробей //
Вычислительная математика. – 1998. – Том 38, № 9. – С. 1436-1451.
5. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби: В 3-х т. – Т. 2: Расходящиеся непрерывные дроби. – Львов:
Меркатор, 2004. – 558 с.
6. Brezinski C. History of continued fraction and Pade approximants. – Berlin: Springer-Verlag, 1991. – 547 p.
7. Lorentzen L., Waadeland H. Continued fractions with applications. – Amsterdam – London – New-York –
Tokyo, 1992. – 606 p.
V.I. Shmoylov
On Some Applications of Paradoxal Method of Continued Fractions Summation
In this article we describe another, then traditional, definition of convergence of continued fractions. New
method of summation is used for determinating values of divergent in classic sense continued fractions and
series, which often appears during the mathematical modeling these or those practically important problems.
Статья поступила в редакцию 22.07.2008.
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7661 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1561-5359 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:40:40Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шмойлов, В.И. 2010-04-06T13:03:38Z 2010-04-06T13:03:38Z 2008 О некоторых применениях парадоксального способа суммирования непрерывных дробей / В.И. Шмойлов // Штучний інтелект. — 2008. — № 4. — С. 721-728. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1561-5359 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7661 519.651.5 Рассматривается иное, нежели традиционное, определение сходимости непрерывных дробей. Новый
 метод суммирования используется при определении значений расходящихся в классическом смысле
 непрерывных дробей и рядов, которые нередко возникают при математическом моделировании тех
 или иных практически важных задач. In this article we describe another, then traditional, definition of convergence of continued fractions. New
 method of summation is used for determinating values of divergent in classic sense continued fractions and
 series, which often appears during the mathematical modeling these or those practically important problems. ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем О некоторых применениях парадоксального способа суммирования непрерывных дробей On Some Applications of Paradoxal Method of Continued Fractions Summation Article published earlier |
| spellingShingle | О некоторых применениях парадоксального способа суммирования непрерывных дробей Шмойлов, В.И. Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем |
| title | О некоторых применениях парадоксального способа суммирования непрерывных дробей |
| title_alt | On Some Applications of Paradoxal Method of Continued Fractions Summation |
| title_full | О некоторых применениях парадоксального способа суммирования непрерывных дробей |
| title_fullStr | О некоторых применениях парадоксального способа суммирования непрерывных дробей |
| title_full_unstemmed | О некоторых применениях парадоксального способа суммирования непрерывных дробей |
| title_short | О некоторых применениях парадоксального способа суммирования непрерывных дробей |
| title_sort | о некоторых применениях парадоксального способа суммирования непрерывных дробей |
| topic | Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем |
| topic_facet | Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7661 |
| work_keys_str_mv | AT šmoilovvi onekotoryhprimeneniâhparadoksalʹnogosposobasummirovaniânepreryvnyhdrobei AT šmoilovvi onsomeapplicationsofparadoxalmethodofcontinuedfractionssummation |