Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій

Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій

Отримані оцінки повної абсолютної похибки деяких оптимальних за точністю та близьких до них квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій, які дозволяють дати гарантовану оцінку якості наближеного розв’язку задачі інтегрування на певному класі функцій. The complete absolut...

Full description

Saved in:
Bibliographic Details
Date:2008
Main Author: Луц, Л.В.
Format: Article
Language:Ukrainian
Published: Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2008
Subjects:
Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем
Online Access:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7665
Tags: Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій / Л.В. Луц // Штучний інтелект. — 2008. — № 4. — С. 671-681. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7665
record_format dspace
spelling Луц, Л.В.
2010-04-06T13:10:58Z
2010-04-06T13:10:58Z
2008
Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій / Л.В. Луц // Штучний інтелект. — 2008. — № 4. — С. 671-681. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
1561-5359
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7665
519.64:517.443:519.254-37
Отримані оцінки повної абсолютної похибки деяких оптимальних за точністю та близьких до них квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій, які дозволяють дати гарантовану оцінку якості наближеного розв’язку задачі інтегрування на певному класі функцій.
The complete absolute error estimates of the certain optimal with respect to accuracy quadrature formulas for computation of integrals of quick-oscillating functions are obtained. This results make in possible for guaranteed quality estimation of integration in the function classes being considered problem approximate solution.
uk
Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем
Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій
spellingShingle Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій
Луц, Л.В.
Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем
title_short Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій
title_full Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій
title_fullStr Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій
title_full_unstemmed Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій
title_sort оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій
author Луц, Л.В.
author_facet Луц, Л.В.
topic Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем
topic_facet Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем
publishDate 2008
language Ukrainian
publisher Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
format Article
description Отримані оцінки повної абсолютної похибки деяких оптимальних за точністю та близьких до них квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій, які дозволяють дати гарантовану оцінку якості наближеного розв’язку задачі інтегрування на певному класі функцій. The complete absolute error estimates of the certain optimal with respect to accuracy quadrature formulas for computation of integrals of quick-oscillating functions are obtained. This results make in possible for guaranteed quality estimation of integration in the function classes being considered problem approximate solution.
issn 1561-5359
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7665
citation_txt Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій / Л.В. Луц // Штучний інтелект. — 2008. — № 4. — С. 671-681. — Бібліогр.: 5 назв. — укр.
work_keys_str_mv AT luclv ocínkaâkostídeâkihkvadraturnihformulobčislennâíntegralívvídšvidkooscilûûčihfunkcíi
first_indexed 2025-11-26T11:32:50Z
last_indexed 2025-11-26T11:32:50Z
_version_ 1850619530131275776
fulltext «Штучний інтелект» 4’2008 671 8Л УДК 519.64:517.443:519.254-37 Л.В. Луц Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, м. Київ, Україна Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій Отримані оцінки повної абсолютної похибки деяких оптимальних за точністю та близьких до них квадратурних формул обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій, які дозволяють дати гарантовану оцінку якості наближеного розв’язку задачі інтегрування на певному класі функцій. Вступ При розв’язуванні задач цифрової обробки сигналів, таких як спектральний та кореляційний аналіз випадкових процесів, класифікація сигналів, виявлення геометрич- них ознак зображень, вибір характерних ознак для розпізнавання образів, фільтрація сигналів в реальному масштабі часу та ін., виникає необхідність в обчисленні інтег- ралів вигляду ,)()( 1 0 dxxfeI xi  ,xdxsin)x(f)(I   1 0 1 xdxxfI  cos)()( 1 0 2  . Дана стаття присвячена обґрунтуванню квадратурних формул обчислення інтег- ралів від швидкоосцилюючих функцій для різних класів підінтегральних функцій на основі отримання оцінок їх повної похибки. Це дає можливість дати гарантовану оцінку якості наближеного значення інтеграла, оскільки при такому підході врахо- вуються всі джерела похибок, які впливають на якість розв’язку. Постановка задачі Будемо розглядати оптимальні за точністю квадратурні формули обчислення інтегралів вигляду xdxxfI  sin)()( 1 0 1  (1) в припущенні, що   Fxf  ( F – деякий клас функцій),  – деяке дійсне число,  2 , та інформація про  xf задана не більше, ніж в N точках. Для цих квадратурних формул отримаємо оцінки їх повної похибки. В якості класів підінтегральних функцій розглядатимемо наступні. LQ – клас обмежених на  1,0 функцій, що мають кусково-неперервні перші похідні, обмежені константою L . Луц Л.В. «Искусственный интеллект» 4’2008 672 8Л LC – клас визначених на  1,0 функцій, що задовільняють умові Ліпшица  1,0,,)()( 212121  xxxxLxfxf . NLС , – клас функцій LCxf )( і заданих фіксованими значеннями   1 0 N if у вузлах фіксованої сітки   1 0 N ix . LW ,2 – клас визначених на  1,0 функцій  xf , таких, що мають абсолютно неперервну першу похідну, причому   Lxf  . LNW ,,2 – клас функцій   LWxf ,2 і заданих фіксованими значеннями функції   1 0 N if та її першої похідної   1 0  N if у вузлах фіксованої сітки   1 0 N ix . Сформулюємо низку умов, які знадобляться в подальшому для спрощення викладок: умова У1:   1 нулів функції xx  cos,sin на  1,0 входять у число вузлів Nixi ,1,  квадратурної формули; умова У2: 2 21 42 L f xLfx ff i iii ii     . Клас QL Розглянемо квадратурну формулу обчислення інтеграла )(I 1 вигляду:        1 0 1 21 21 sin)( N i x x i i i xdxfR  , 2 1 2 1 ii i xxx     , 0 2 1 xx   , NN xx   2 1 . (2) Теорема 1. Нехай   LQxf  задана таблицею значень у вузлах рівномірної сітки 1,0,1,  NiNxxixi , можливі похибки i задання функції  xf у вузлах ix розподілені рівноймовірно на  ,0 та обчислення проводяться на ЕОМ в режимі з плаваючою комою з  двійковими розрядами у мантис чисел. Тоді квадратурна формула  1R наближеного обчислення )(1 I є оптимальною за точністю при N та   1 N і асимптотично оптимальною за точністю при N , при цьому з ймовірністю 0,96 і з точністю до величин другого порядку малості відносно 2 спра- ведлива оцінка повної абсолютної похибки квадратурної формули  1R вигляду: 321 EEEE  , (3) де N E 3 5 1   , (4)                                                   ,,12 ,1,12 ,,cos4sin411cos4 2 1 2 2 2              NL N N L N N NN N L E (5) Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів… «Штучний інтелект» 4’2008 673 8Л 3E                     L N fLffLffLfLfN NNN 4 3 2 72 2 2 1010100 1   , (6)   08406,006,1log 21   , 0 – константа, що залежить від способу обчис- лення синусів і косинусів. Доведення 1) Нехай  – максимальна похибка, з якою задана функція )(xf у вузлах Nixi ,0,  :      ii xfxf ~ . Оцінимо абсолютну неусувну похибку 1E :             2 sin2 sin~sin~ 2 1 2 1 2 1 2 1 1 0 1 0 1 x NxdxxfxfxdxxfxfE i i i i x x N i ii N i x x ii             . Оскільки 22 sin xx     , то      0101 xxxNE N . Ймовірнісна оцінка неусувної похибки 1E доведена в монографії [1]. 2) Оцінка абсолютної похибки методу 2E квадратурної формули  1R в класі LQ доведена в монографії [1] у випадку, коли 1,     NN , та в роботі [2] у випадку, коли N . 3) Обчислимо інтеграли    2 1 2 1 sin i i x x xdx та приведемо формулу )(1 R до вигляду, зручного для обчислення на ЕОМ:        1 0 2 2 1 2 1 sin)( N i x x i i i xdxfR      ...coscoscoscos1 2 31 2 11 2 1000 xfxfxfxf   2 31 cos   NN xf                1 1 1 2 1001 coscoscos1cos N i NNiiNN xfxfxfxf    , 1 iii fff . Скориставшись співвідношеннями Уілкінсона [3] для похибок заокруглення вико- нання основних арифметичних операцій, а також припустивши, що     sinsinfl ,     coscosfl , де 0 – константа, що залежить від способу обчислення сину- сів і косинусів та не залежить від вхідних даних, 11   ,   2 , отримаємо                         2 sin 2 sin2cos2 010010 0000011   xx xffxNRRfl                         1 1 11 2 sin 2 sin2cos4 N i iiii iiiii xx xffxiN                      2 sin 2 sin2cos3 11 11 NNNN NNNNN xx xffx   , де 12  i , Nii ,0,2 1 1   ,   08406,006,1log 21   . Луц Л.В. «Искусственный интеллект» 4’2008 674 8Л Врахувавши, що 1cos  , 1sin  та  sin , при 1 , отримаємо нас- тупну оцінку похибки заокруглень:                   1 1 1003 3422 1 N i NNii fxfxiNfxNЕ  . Оскільки  1,0ix ,   LQxf  , а отже 1ix , xLf i  , врешті-решт маємо                     11 23422 1 1 103   N i Ni fxLiNfNЕ                       22342 1 1 1 10 Nf N LiNfN N i N                              2 2314 2 010 1 LfNf N LNNf N           L N fLffLffLf NNN 4 3 2 72 101010   . Теорема доведена. Клас CL,N Розглянемо квадратурну формулу обчислення інтеграла  1I вигляду:         1 0 12 1 sin)( N i x x i i xdxxfR  , (7) де                           ,, ,, ,, ,, ,, 11 1 111 NNN NN iii iiiii iii xxxf xxx xxxf xxxfsignxxLf xxxf xf (8) L fxxx L fxxx iii i iii i 22 , 22 11          . (9) Теорема 2. Нехай   NLСxf , , виконується умова У1, можливі похибки задання функції, обмежені умовами     , ~ iii xfxf  Ni ,0 , та обчислення проводяться на ЕОМ в режимі з плаваючою комою з  двійковими розрядами у мантис чисел. Тоді квадратурна формула  2R наближеного обчислення )(I 1 є оптимальною за точністю при N та 1 N , при цьому з точністю до величин другого порядку малості відносно 2 справедлива оцінка повної абсолютної похибки квад- ратурної формули  2R вигляду: 321 EEEE  , (10) Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів… «Штучний інтелект» 4’2008 675 8Л де                  2 0 11121 sin2coscossin 2 1 N i iiiiiiii xLxxxsignEE                     11111 cossinsinsinsin NNNNiii xxsignxxx  (11)        11 sinsin22cos NNNNNN xxLxLx    , N ,                     1 0 21 sinsin2sin 2       i iiiii xxxsignLEE      2sin 1Nxsign ,   1 N , (12)                         020 2 23 331141114112 1 fNLCCLCLCfNLCE                     LCCLCfLCff NN 331241131441 2101     , (13)   08406,006,1log 21   , N Cxii max , 0 – константа, що залежить від способу обчислення синусів і косинусів. Доведення 1. Оцінка 21 EE  доведена в [4]. 2. Обчислимо інтеграли    1 sin)(1 i i x x xdxxf  та приведемо формулу )(2 R до вигляду, зручного для обчислення на ЕОМ:                    2 0 1 0 12 sinsinsin)( 1 N i x x x x iiii N i x x i i i i i i xdxxxfLsignfxdxfxdxxfR  +                     2 1 0011 cos1sinsin 1 1 N i iii x x N x x i fxLfsignxfxdxfxdxf N N i i                NN iiiii xf L fxxxx    cos 2 sin 2 cos2 2 sin 1 11 . Скориставшись тими ж міркуваннями, що і при доведенні пункту 3 теореми 1, та врахувавши, що   NLCxf , ,  1,0x , отримаємо таку оцінку похибки заокруглень:                               2 0 1 003 2 3 2 222132412 1 N i iii i xxx iNxLxNfE                               NN iii xfxxxiN   3 2 3 2 22210241 1 1 . Луц Л.В. «Искусственный интеллект» 4’2008 676 8Л Нехай N Cxii max . Оскільки  1,0ix , врешті-решт маємо                           2 0 03 2 32 2 132242 1 N i N CiN N CLNfE                                             423 2 32522 01 1 Nff N CiN N                                    1 2 3221241 2 322154 N N CN N CN N CL                            LCLCfNLCf N 11141123 20 2 21 1                  3144133114 1010    NN fLCfffNLCC      LCCLC 3312411 2   . Теорема доведена. Зауваження 1. У випадку рівномірної сітки 1C . Клас W2,L Розглянемо квадратурну формулу вигляду        1 0 33 1 sin)( N i x x i i xdxxSR  , (14) де  xS3 – ермітовий кубічний сплайн,   ii fxS 3 ,   ii fxS 3 , Ni ,0 . Відомо [5], що  xS3 на відрізку  1, ii xx можна записати у вигляді      iftxS 13        14312   iii fhtfhtft  , де      ttt 211 2 1  ,    2 2 tt  t23 ,    23 1 ttt  ,    ttt  12 3 , iii xxh  1 ,   ii hxxt  . Теорема 3. Нехай   LWxf ,2 задана таблицею значень  N if 0 ,  N if 0 у вузлах рівномірної сітки NiNhhixi ,0,1,  , можливі похибки задання функції  xf у вузлах ix не перевищують  , можливі похибки задання похідної  xf  у вузлах ix не перевищують  , та обчислення проводяться на ЕОМ в режимі з плаваючою комою з  двійковими розрядами у мантис чисел. Тоді квадратурна формула  3R наближеного обчислення )(I 1 є оптимальною за порядком за точністю в класі LW ,2 при N , при цьому з точністю до величин другого порядку малості відносно 2 справедлива така оцінка повної абсолютної похибки квадратурної формули  3R 321 EEEE  , (15) де                     12412 34 1  NNE                          246221 32  NNN , (16) Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів… «Штучний інтелект» 4’2008 677 8Л   4 2sin 2 1 16 22  N LE , (17) 123 E                   201266 43 4 4 5 LLNLN                   19361217512 43 3 LLN     32 02 5  Lf N                       981112 2204 Nf fNL (18)                       54156 0 3 NffL , де   08406,006,1log 21   , 0 – константа, що залежить від способу обчис- лення синусів і косинусів. Доведення 1. Обчислимо інтеграли  1 sin)(3 i i x x xdxxS  та приведемо формулу )(3 R до вигляду, зручного для обчислення на ЕОМ:                         h x ffff h fxxdxxSR N i x x i i       0 1010200 1 0 33 sin 2261cos1sin)( 1                         1 1 1112101020 426cos1261 N i iiiii ffffx h ffff h f                211111 1cos226 sin h fxfffff h x f NNiiiii i i                               NNNNN N NNNN ffff h f h xffff 11211 261sin 226   .                           1100110020001 ~~22~~61~cos1 ffffffff h ffxE                              1 1 211001100200 0 1~~~~261~sin N i h ffffffff h ff h x                    11111111 ~4~2~~6cos iiiiiiiiiii ffffffffffx                 11111111 ~~~2~26 sin iiiiiiiiii i ffffffffff h x                         NNNNNNNNNNN ffffffff h ffx ~2~2~~61~cos 11112                              NNNNNNNNNN N ffffffff h ff h x ~~~~261~sin 11112                                               24622112412 3234  NNNNN . Луц Л.В. «Искусственный интеллект» 4’2008 678 8Л 2. Оцінимо абсолютну похибку методу    1 0 32 sin)()( xdxxfxSE  . Скориставшись нерівністю Гельдера, отримаємо     1 0 2 1 0 2 32 sin)()( xdxdxxfxSE  . В [5] доведено, що   2]1,0[3 1 0 2 3 16 )()()()( 2 N LxfxSdxxfxS L  .       4 2sin 2 122cos 4 1 2 12cos1 2 1sin 1 0 1 0 1 0 2   xxddxxxdx . Отже   4 2sin 2 1 16 22  N LE . 3. Скориставшись тими ж міркуваннями, що і при доведенні пункту 3 теореми 1 та врахувавши, що   LWxf ,2 , а отже 1ix , Lhf i  ,   Lxf  , отримаємо наступну оцінку похибки заокруглень:                     81114642 02 2 003 1 NfN N NLNxNfE                           1 1 2 2 2 2 6611432111812 N i N N iNLN N NLN                        51819266686 NfiNiN N Ni                               111912911156 2 2 2 2 N LNfN N LN N                              32 3 32 4 3 5 3612175122012662 1       LLNLLNLN                                        Nf fNLLf N 81112 2 1 3 1619 032 02                  541569 02 NffL . Теорема доведена. Класс W2,N,L Для обчислення інтеграла )(1 I у випадку, коли LNWxf ,,2)(  , в монографії [4] побудована квадратурна формула вигляду           1 0 24 sin 1N i x x xdxxfR i i  , (19) Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів… «Штучний інтелект» 4’2008 679 8Л                                                ,,, ,, , ~~, , ~~~, 4 2 1 ,~, 1111 1 1111 2 1 2 111 2 NNNNN NN iiiii iiiii iiiiii iiiii xxxxxff xxx xxxxxff xxxxxxxfsignL xxffxxff xxxxxff xf (20) L fxxx iii i 22 ~ 1      , L fxxx iii i 22 ~ 1      . Теорема 4. Нехай   LNWxf ,,2 , виконуються умови У1 та У2, можливі похибки задання функції та її похідної обмежені умовами         ,~,~ iiiiii xfxfxfxf   Ni ,0 , та обчислення проводяться на ЕОМ в режимі з плаваючою комою з  двійковими розрядами у мантис чисел. Тоді квадратурна формула  4R наближеного обчислення )(I 1 є оптимальною за точністю при N та 1 N , при цьому з точністю до величин другого порядку малості відносно 2 справедлива така оцінка повної абсолют- ної похибки квадратурної формули  4R 321 EEEE  , (21) де        1 0 ,21 1 sin N i x x i i xdxxEE   , (22)                                                                                                                                ,, 22 1 ,,~~~~ ~ 2 1~1 ~1~1 ~1 4 1 2 1 4 ,, 22 1 1 2 11111 111 11 1 1 2 1 2 2 , iiiiiii iiiiiiii iiii iiiii iiiiii iiiiiii xxxxxLxx xxxxxffxxff fsignxxfsign fsignxxfsign fsignxxxxL xxxxxLxx x        (23)                         2129 2 2341 2 12 202 2 3 1      LLCLfNLNE         92134212840    LLLCf (24)                4 23 2 2152228 2 12   LC N fL N                6 2 2157 2   LCLC , N Cxii max , 0 – константа, що залежить від способу обчислення синусів і косинусів. Луц Л.В. «Искусственный интеллект» 4’2008 680 8Л Тут      iiiiii xxxxxx ~,~max,~,~min , i ii i xxx     2 ~ 1 , i i i p s  ,    2 i i xs        iiiiiiiiiiiii fxsignff             ~ sin2 1 2 1~~ 11111 ,        iiiiiii xxLsignxsignfp    sinsin12 1~ ,  i ,  i – відповідно максимально і мінімально допустимі розв’язки системи лінійних нерівностей       .2,0, ~~ ,1,0, 1 NifxLfxL Ni iiiiii iii   Доведення 1. Оцінка 21 EE  доведена в [4]. 2. Обчислимо інтеграли    1 sin)( i i x x xdxxf  та приведемо формулу )(4 R до виг- ляду, зручного для обчислення на ЕОМ:                   2 0 1 0 4 sinsin)( 1 N i x x iii N i x x i i i i xdxxxffxdxxfR                    i i x x iiiiiiiii xdxxxxxfsignLfxxfxxff sin 42 1 2 1 2 111 +                 N N i i x x NNN x x iii xdxxxffxdxxxff 1 1 sinsin 111111                          2 1 1 0 0 00 42 coscossincos1 N i iiii ii ffxfxxxfxf                                   2 22 8 coscos 8   Lfsign L ffsignxxxLfsign i i iii i i         N N NNNN x f xfxf    sincos 1 111 . Скориставшись тими ж міркуваннями, що і при доведенні пункту 3 теореми 1 та врахувавши, що   LNWxf ,,2 , 1ix , ii xLf  ,   Lxf  , отримаємо наступну оцінку похибки заокруглень:                2 0 03 22022542 1 N i i iNxLNLNfE                    82182222222 2 22222 8 2 2 iNLiNLiN xL i                                  475 28 112 2 LxLfLLxLxL NN i i . Нехай N Cxii max . Оскільки  1,0ix , врешті-решт маємо                  2 0 03 4102542 1 N i iN N CLNLNfE      Оцінка якості деяких квадратурних формул обчислення інтегралів… «Штучний інтелект» 4’2008 681 8Л           122 2 492411411 4 NfiNLiNLiN N LC                              02 2 1 1 2 12475 1 fNLNLxL N                     212842129 2 234 02    LCfLLCL          5222892134 12      NfLLL                      6 2 2157 4 23 2 21 22     LCLCLC N . Теорема доведена. Зауваження 2. В випадку рівномірної сітки 1C . Висновки Розв’язання більшості задач, в тому числі задач цифрової обробки сигналів, за допомогою сучасної обчислювальної техніки в основному полягає в створенні матема- тичної моделі на основі спостережень досліджуваного явища або процесу, реалізації математичної моделі за допомогою обчислювального алгоритму, що апроксимує ви- хідну модель і робить її придатною для практичного використання, та розрахунків на ЕОМ. Похибки цієї апроксимації, а також похибки заокруглення реалізації обчислю- вального алгоритму на ЕОМ та похибки вимірювання або спостереження реалізацій досліджуваного процесу повинні враховуватися при визначенні міри адекватності математичної моделі та процесу. У статті містяться результати з визначення похибки квадратурних формул набли- женого обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій, пов’язаних з розв’яз- анням багатьох задач цифрової обробки сигналів. Отримані результати можуть бути широко застосованими в тестуванні якості розроблених обчислювальних алгоритмів та враховуватися при формулюванні вимог до точності розв’язку різноманітних задач циф- рової обробки сигналів. Література 1. Задирака В.К. Теория вычисления преобразования Фурье. – Киев: Наук. думка, 1983. – 215 с. 2. Задирака В.К., Мельникова С.С., Луц Л.В. Оптимальные квадратурные и кубатурные формулы вычисления преобразования Фурье финитных функций одного класса (случай сильной осцилляции) // Киберенетика и системный анализ. – 2007. – № 5. – С.144-164. 3. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений. – М.: Наука, 1970. – 564 с. 4. Задирака В.К., Мельникова С.С. Цифровая обработка сигналов. – Киев: Наук. думка, 1993. – 294 с. 5. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций. – М.: Наука, 1980. – 352 с. The complete absolute error estimates of the certain optimal with respect to accuracy quadrature formulas for computation of integrals of quick-oscillating functions are obtained. This results make in possible for guaranteed quality estimation of integration in the function classes being considered problem approximate solution. Стаття надійшла до редакції 22.07.2008.

Similar Items