Диференціальні інваріанти розшарування кривих на площині відносно R-конформно-метричної групи
Наведено повний опис алгебри диференціальних інваріантів розшарування кривих на площині відносно R-комформно-метричної групи. Приведено полное описание алгебры дифференциальных инвариантов расслоения кривых на плоскости относительно R-комформно-метрической групы. Complete description of an algebra o...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7688 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Диференціальні інваріанти розшарування кривих на площині відносно -конформно-метричної групи / В.М. Кузаконь // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 61–65. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859827763686408192 |
|---|---|
| author | Кузаконь, В.М. |
| author_facet | Кузаконь, В.М. |
| citation_txt | Диференціальні інваріанти розшарування кривих на площині відносно -конформно-метричної групи / В.М. Кузаконь // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 61–65. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | Наведено повний опис алгебри диференціальних інваріантів розшарування кривих на площині відносно R-комформно-метричної групи.
Приведено полное описание алгебры дифференциальных инвариантов расслоения кривых на плоскости относительно R-комформно-метрической групы.
Complete description of an algebra of curves bundles differential invariants on a plane with respect to R-conform-metric group is presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:30:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1810-3022. Ïðèêë. ïðîáëåìè ìåõ. ³ ìàò. – 2008. – Âèï. 6. – Ñ. 61–65.
ÓÄÊ 514.76
В. М. Кузаконь
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ ІНВАРІАНТИ РОЗШАРУВАННЯ КРИВИХ НА ПЛОЩИНІ
ВІДНОСНО -КОНФОРМНО-МЕТРИЧНОЇ ГРУПИ
Íàâåäåíî ïîâíèé îïèñ àëãåáðè äèôåðåíö³àëüíèõ ³íâàð³àíò³â ðîçøàðóâàííÿ
êðèâèõ íà ïëîùèí³ â³äíîñíî -êîíôîðìíî-ìåòðè÷íî¿ ãðóïè.
1. Âñòóï. Íåõàé 2:ϕ → – ðîçøàðóâàííÿ êðèâèõ íà ïëîùèí³. Íàãà-
äàºìî, ùî ïåðåòâîðåííÿ 2:ψ → íàçèâàþòü êîíôîðìíî-ìåòðè÷íèì ñòî-
ñîâíî ìåòðèêè ρ , ÿêùî
( ( ), ( )) ( , )a b g a bψρ ψ ψ = ρ (1)
äëÿ äåÿêî¿ äîäàòíî¿ ôóíêö³¿ 2( )g C∞
ψ ∈ òà äëÿ äîâ³ëüíèõ òî÷îê 2,a b ∈ .
ßêùî æ ïðè ïåðåòâîðåíí³ ψ ìåòðèêà äîìíîæóºòüñÿ íà äîäàòíó êîíñòàíòó
(òîáòî ó ôîðìóë³ (1) g +
ψ ∈ ), òî òàêå ïåðåòâîðåííÿ áóäåìî íàçèâàòè -
êîíôîðìíî-ìåòðè÷íèì, à â³äïîâ³äíó ãðóïó ˳ – -êîíôîðìíî-ìåòðè÷íîþ.
Íàäàë³ áóäåìî ïðèïóñêàòè, ùî ρ – åâêë³äîâà ìåòðèêà ³ áóäåìî ðîçãëÿ-
äàòè ëèøå -êîíôîðìíî-ìåòðè÷í³ ïåðåòâîðåííÿ. Ó öüîìó âèïàäêó -êîí-
ôîðìíî-ìåòðè÷íà ãðóïà óòâîðþºòüñÿ ãðóïîþ ïåðåòâîðåíü ïëîùèíè (òîáòî
ïàðàëåëüíèìè ïåðåíåñåííÿìè òà ïîâîðîòàìè íà ïëîùèí³) òà ãîìîòåò³ºþ.
Çíàéäåìî äèôåðåíö³àëüí³ ³íâàð³àíòè ðîçøàðóâàííÿ êðèâèõ ϕ â³äíîñíî ö³º¿
ãðóïè.
 êîîðäèíàòàõ ðîçøàðóâàííÿ ϕ ìîæíà çàäàòè çà äîïîìîãîþ äåÿêî¿
ãëàäêî¿ ôóíêö³¿ (ç êëàñó C∞ ) â³ä äâîõ çì³ííèõ 1 2( , )u f x x= òàêî¿, ùî ¿¿ äè-
ôåðåíö³àë 0df ≠ . Ë³í³¿ ð³âíÿ ö³º¿ ôóíêö³¿ ñï³âïàäàþòü ç êðèâèìè ðîçøàðó-
âàííÿ. Òóò 1 2,x x – êîîðäèíàòè íà ïëîùèí³, à u – êîîðäèíàòà íà ïðÿì³é
. Ïðè öüîìó ôóíêö³ÿ f âèçíà÷åíà ç òî÷í³ñòþ äî êàë³áðîâî÷íîãî ïåðåòâî-
ðåííÿ ( )f F f→ , äå :F → – äåÿêà ãëàäêà ôóíêö³ÿ.
-êîíôîðìíî-ìåòðè÷íà ãðóïà ïëîùèíè ðàçîì ç êàë³áðîâî÷íèì ïåðå-
òâîðåííÿì ïðÿìî¿ ïîðîäæóº ïñåâäîãðóïó ˳ ïðîñòîðó 0 2 3 2J = = × ç
êîîðäèíàòàìè 1 2, ,x x u , ÿêó ïîçíà÷àòèìåìî ÷åðåç cmG , à ¿¿ ï³äíÿòòÿ ó ïðî-
ñò³ð k -äæåò³â 2kJ – ÷åðåç ( )
cm
kG .
Áàçà àëãåáðè ˳ ö³º¿ ïñåâäîãðóïè ñêëàäàºòüñÿ ç òàêèõ âåêòîðíèõ ïîë³â
ó ïðîñòîð³ 3 :
– ïàðàëåëüíèõ ïåðåíîñ³â â ïëîùèí³ 2
1 2
,
x x
∂ ∂
∂ ∂
, (2)
– ïîâîðîò³â ó ïëîùèí³ 2 â³äíîñíî ïî÷àòêó êîîðäèíàò
1 2
2 1
x x
x x
∂ ∂−
∂ ∂
, (3)
– ãîìîòåò³¿ â ïëîùèí³ 2 ç öåíòðîì ó ïî÷àòêó êîîðäèíàò
1 2
1 2
x x
x x
∂ ∂+
∂ ∂
, (4)
62 В. М. Кузаконь
– ïåðåïàðàìåòðèçàö³¿ ïðÿìî¿
( )h u
u
∂
∂
, (5)
(òóò ( )h C∞∈ ), ³ öÿ ïñåâäîãðóïà ìîæå áóòè îòîòîæíåíà ç àëãåáðîþ ˳
êîíòàêòíèõ âåêòîðíèõ ïîë³â ç òâ³ðíèìè ôóíêö³ÿìè âèãëÿäó
1 1 2 2 3 1 2 2 1 4 1 1 2 2( , , ) ( ) ( ) ( )f x u p h u a p a p a x p x p a x p x p= + + + − + + , (6)
äå 1 4, ,a a – êîíñòàíòè (äèâ. òàêîæ [1, 2, 6]).
Íåõàé M – ãëàäêèé ìíîãîâèä, íà ÿêîìó 䳺 äåÿêà ïñåâäîãðóïà G , ³
kJ M – ïðîñò³ð k -äæåò³â ãëàäêèõ ôóíêö³é íà M . Íàãàäàºìî, ùî ðîçì³ð-
í³ñòü ïðîñòîðó äèôåðåíö³àëüíèõ ³íâàð³àíò³â ïñåâäîãðóïè G – öå êîðîçì³ð-
í³ñòü ðåãóëÿðíèõ îðá³ò ïðîäîâæåííÿ ( )kG ïñåâäîãðóïè ˳ G â ðîçøàðóâàí-
íÿ kJ M .
Íàïðèêëàä, ðîçì³ðí³ñòü ïðîñòîðó 1 2J 1-äæåò³â äîð³âíþº 5, à ðîçì³ð-
í³ñòü îðá³òè çàãàëüíîãî ïîëîæåííÿ ïñåâäîãðóïè (1)
cmG òàêîæ äîð³âíþº 5. Òî-
ìó â òàêîìó ðîçøàðóâàíí³ êðèâèõ ϕ íå ³ñíóº äèôåðåíö³àëüíèõ ³íâàð³àíò³â
ïåðøîãî ïîðÿäêó.
Ðîçì³ðí³ñòü ïðîñòîðó 2 2J äîð³âíþº 8, à ðîçì³ðí³ñòü îðá³òè çàãàëüíîãî
ïîëîæåííÿ ïñåâäîãðóïè (2)
cmG äîð³âíþº 7. Îòæå, â öüîìó ðîçøàðóâàíí³ ³ñíóº
ëèøå îäèí äèôåðåíö³àëüíèé ³íâàð³àíò äðóãîãî ïîðÿäêó.
Ç îãëÿäó íà ñêàçàíå âèùå â³äì³òèìî, ùî ðîçì³ðí³ñòü îðá³òè çàãàëüíîãî
ïîëîæåííÿ ïñåâäîãðóïè ( )
cm
kG â 2kJ äîð³âíþº 5k + , à ðîçì³ðí³ñòü ïðîñòî-
ðó
2kJ äîð³âíþº 2 2k
kC + + . Òîìó êîðîçì³ðí³ñòü îðá³òè äîð³âíþº 2( ) k
kv k C += −
3k− − . Öå ÷èñëî ñï³âïàäຠç ÷èñëîì ôóíêö³îíàëüíî íåçàëåæíèõ äèôåðåí-
ö³àëüíèõ ³íâàð³àíò³â ïñåâäîãðóïè ˳ cmG , ïîðÿäîê ÿêèõ íå á³ëüøèé í³æ k .
Îòæå, ÷èñëî ( )kµ ³íâàð³àíò³â k -ãî ïîðÿäêó ìîæíà îá÷èñëèòè çà ôîð-
ìóëîþ
( ) ( ) ( 1)k k k kµ = ν − ν − = . (7)
Íàøà ìåòà – îïèñàòè àëãåáðó äèôåðåíö³àëüíèõ ³íâàð³àíò³â ðîçøàðó-
âàíü êðèâèõ íà ïëîùèí³ â³äíîñíî -êîíôîðìíî-ìåòðè÷íî¿ ãðóïè. Çàóâàæè-
ìî, ùî öÿ ñòàòòÿ º ïðîäîâæåííÿì äîñë³äæåíü, ðîçïî÷àòèõ àâòîðîì â ðîáî-
òàõ [3, 4].
2. Äèôåðåíö³àëüíèé ³íâàð³àíò 2-ãî ïîðÿäêó. Ó ðîáîò³ [5] àâòîðà îïèñà-
íî àëãåáðó äèôåðåíö³àëüíèõ ³íâàð³àíò³â ðîçøàðóâàííÿ ϕ â³äíîñíî ðóõ³â
ïëîùèíè. Òàì òàêîæ ïîêàçàíî, ùî ó ðîçøàðóâàíí³ ϕ ³ñíóº ð³âíî äâà íåçà-
ëåæíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ³íâàð³àíòè äðóãîãî ïîðÿäêó â³äíîñíî ãðóïè ðóõ³â:
2 2
2 11 1 2 12 1 22
1 2 2 3/2
1 2
2
( )
p p p p p p p
I
p p
− +
=
+
òà
2 2
1 2 12 1 2 22 11
2 2 2 3/2
1 2
( ) ( )
( )
p p p p p p p
I
p p
− + −
=
+
– êðèâèçíà êðèâî¿ ñ³ì’¿ òà êðèâèçíà îðòîãîíàëüíèõ òðàºêòîð³é ñ³ì’¿ êðèâèõ
â³äïîâ³äíî.
Íèæ÷å âèÿñíèìî, ÿê âåäóòü ñåáå ö³ ³íâàð³àíòè ñòîñîâíî ïåðåòâîðåííÿ
ãîìîòåò³¿. ³äïîâ³äíå âåêòîðíå ïîëå ìຠâèãëÿä
1 2
1 2
S x x
x x
∂ ∂= +
∂ ∂
.
Диференціальні інваріанти розшарування кривих на площині відносно … 63
Çñóâè âçäîâæ òðàºêòîð³é öüîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ïîðîäæóþòü ïåðå-
òâîðåííÿ ïëîùèíè
1 2 1 2: ( , ) ( , )t tx x e x e xγ → .
Íåõàé ( )kS ³ ( )kγ – ï³äíÿòòÿ â ïðîñò³ð 2kJ âåêòîðíîãî ïîëÿ S òà ïå-
ðåòâîðåííÿ γ â³äïîâ³äíî. Äëÿ 2k = îòðèìóºìî
(2)
1 2 1 2 11
1 2 1 2 11
2S x x p p p
x x p p p
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + − − − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
12 22
12 22
2 2p p
p p
∂ ∂− −
∂ ∂
³
(2)
1 2 1 2 11 12 22: ( , , , , , , , )x x u p p p p pγ →
2 2 2
1 2 1 2 11 12 22( , , , , , , , )t t t t t t te x e x u e p e p e p e p e p− − − − −→ .
Òîìó 1I òà 2I º â³äíîñíèìè ³íâàð³àíòàìè âàãè 1− ñòîñîâíî äî -êîí-
ôîðìíî-ìåòðè÷íî¿ ãðóïè:
1 1 2 2, t tI e I I e I− −→ → .
Îòæå, ¿õ â³äíîøåííÿ cm 1
2
I
I
I
= – öå àáñîëþòíèé äèôåðåíö³àëüíèé ³íâà-
ð³àíò ðîçøàðóâàííÿ â³äíîñíî ãðóïè cmG . ßê áóëî çàçíà÷åíî âèùå, öå º ºäè-
íèé ³íâàð³àíò äðóãîãî ïîðÿäêó ðîçøàðóâàííÿ ϕ . Éîãî êîîðäèíàòíå ïîäàííÿ
ìຠâèãëÿä
2 2
cm 2 11 1 2 12 1 22
2 2
1 2 12 1 2 22 11
2
( ) ( )
p p p p p p p
I
p p p p p p p
− +
=
− + −
.
Öåé ³íâàð³àíò áóäåìî íàçèâàòè â³äíîñíîþ êðèâèíîþ ðîçøàðóâàííÿ ϕ .
3. ²íâàð³àíòí³ äèôåðåíö³þâàííÿ. ³äì³òèìî, ùî ãðóïà ˳ cmG º ïðÿ-
ìîþ ñóìîþ ìåòðè÷íî¿ ïñåâäîãðóïè ˳ cmG òà îäíîâèì³ðíî¿ ãðóïè ˳, ïîðîä-
æåíî¿ ïåðåòâîðåííÿì ãîìîòåò³¿.
Íåõàé ðîçøàðóâàííÿ ϕ çàäàíå ë³í³ÿìè ð³âíÿ ôóíêö³¿ 1 2( , )f f x x= .
Âåêòîðí³ ïîëÿ
1 2
1 2
2 2 1 2
1
x x
x x
A f f
x xf f
∂ ∂= + ∂ +
òà
2 1
1 2
2 2 1 2
1
x x
x x
B f f
x xf f
∂ ∂= − ∂ +
º ³íâàð³àíòíèìè ñòîñîâíî ìåòðè÷íî¿ ïñåâäîãðóïè ˳ cmG . Ö³ âåêòîðí³ ïîëÿ
ïðåäñòàâëÿþòü ñîáîþ ïîëå îäèíè÷íèõ íîðìàëüíèõ ³ äîòè÷íèõ âåêòîð³â â³ä-
ïîâ³äíî äî êðèâèõ ðîçøàðóâàííÿ ϕ . Çàóâàæèìî, ùî ö³ âåêòîðí³ ïîëÿ íå º
³íâàð³àíòíèìè â³äíîñíî -êîíôîðìíî-ìåòðè÷íî¿ ãðóïè, îñê³ëüêè ïðè ïåðå-
òâîðåíí³ γ âîíè äîìíîæàþòüñÿ íà te− .
Âåêòîðí³ ïîëÿ A ³ B ïîðîäæóþòü äâ³ îïåðàö³¿ ³íâàð³àíòíîãî äèôå-
ðåíö³þâàííÿ íà C∞ ( 2J∞ ), ÿê³ áóäåìî ïîçíà÷àòè òèìè ñàìèìè áóêâàìè:
64 В. М. Кузаконь
1 22 2 1 2
1 2
1 d dA p p
dx dxp p
= +
+
òà
2 12 2 1 2
1 1
1 d dB p p
dx dxp p
= −
+
.
Òóò
1
d
dx
òà
2
d
dx
– îïåðàòîðè ïîâíîãî äèôåðåíö³þâàííÿ çà çì³ííèìè 1x òà
2x â³äïîâ³äíî. Ö³ îïåðàòîðè ³íâàð³àíòí³ â³äíîñíî ìåòðè÷íî¿ ãðóïè ˳, àëå
ïðè 䳿 ïåðåòâîðåííÿì ( )kγ âîíè äîìíîæóþòüñÿ íà te− . Îñê³ëüêè ôóíêö³¿ 1I
òà 2I òàêîæ ïîìíîæóþòüñÿ íà te− , òî äèôåðåíö³þâàííÿ
1
1X I A−= òà 1
2Y I B−=
³íâàð³àíòí³ ñòîñîâíî ïñåâäîãðóïè cmG .
4. Äèôåðåíö³àëüí³ ³íâàð³àíòè 3-ãî ïîðÿäêó. Ôóíêö³¿
cm cm cm1 1 2
1 2 3
2 2 2
( ) ( ) ( )
, ,
( ) ( ) ( )
A I B I A I
I I I
B I B I B I
= = = ,
º äèôåðåíö³àëüíèìè ³íâàð³àíòàìè òðåòüîãî ïîðÿäêó. Îñê³ëüêè (3) 3µ = , òî
öå ºäèí³ äèôåðåíö³àëüí³ ³íâàð³àíòè òðåòüîãî ïîðÿäêó ïñåâäîãðóïè ˳ (3)
mG .
Íèæ÷å íàâåäåìî êîîðäèíàòí³ ïîäàííÿ ïåðøèõ äâîõ ³íâàð³àíò³â:
cm 2 2 5 4 2
1 1 2 2 12 112 11 122 1 1 22 112 12 12 11 22(( )( ( ) ( (2I p p p p p p p p p p p p p p p= + − + + − +
2 3 2 3 2
22 1 122 1 2 11 22 22 11 12 1 122)) ( 2 ( 4 )p p p p p p p p p p p p+ − + − + + − + +
2 3 3 2
22 11 1 111 122 1 12 222 1 2 11 11 22( ( )) ) (p p p p p p p p p p p p p+ + − + − − + −
2 2
1 12 112 22 11 12 1 111 122 1 12 222(2 4 ( )) )p p p p p p p p p p p p− − + + − + + +
4 3
2 12 12 11 11 22 1 111 1 11 22 112( 2 ( ( ) ) ( ( )p p p p p p p p p p p p+ − + − + + + − + +
2 2 2 2
11 222 1 2 11 12 12 22 1 12 111 122)) (3 3 ( ( )p p p p p p p p p p p p+ + − + − +
2 2 3
11 112 222 1 12 2 12 1 2 11 22( ))))( ( ))p p p p p p p p p p p −+ − + − + + − ,
2 2 3 2 4 3 5
2 1 2 1 1 11 2 12 22 1 22 2 12 111(( )( ( 4 ) (cmI p p p p p p p p p p p p p= + + − + −
4 2 2
11 112 2 1 12 112 11 11 12 1 122) ( ( 2 2 ))p p p p p p p p p p p− − + + − −
4 2 4 2 3 4 2
22 2 11 1 111 1 2 112 1 2 112 1 12( ( ) 2 2 (2p p p p p p p p p p p p p− − + − − + +
2 2 2 5
1 122 1 2 12 1 111 122 1 12 222) (6 ( )))p p p p p p p p p p p+ + + + + −
3 3 2 2 2
1 2 12 1 12 122 1 11 222 1 2 12 12( 4 ) ( 6p p p p p p p p p p p p p− − + + + − −
3 3
1 12 112 1 12 122 1 12 222 1 2 122 ) ( 4p p p p p p p p p p p p− + + − − +
2
12 11 1 111 122 1 11 112 222( 4 ( )) ( ))))p p p p p p p p p+ − + − + + + ×
2 2 3
1 12 2 12 1 2 11 22( ( ))p p p p p p p p −× − + + − .
5. Ñòðóêòóðà àëãåáðè äèôåðåíö³àëüíèõ ³íâàð³àíò³â. Ôóíêö³¿
cm cm cm cm cm cm
11 1 12 2 22 2( ), ( ), ( )I X I I X I I Y I= = =
º äèôåðåíö³àëüíèìè ³íâàð³àíòàìè ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêó â³äíîñíî ïñåâäîãðóïè
˳ (4)
mG .
Диференціальні інваріанти розшарування кривих на площині відносно … 65
Îñê³ëüêè êîðîçì³ðí³ñòü îðá³òè çàãàëüíîãî ïîëîæåííÿ ïñåâäîãðóïè ˳
(4)
mG â ïðîñòîð³ 4 2J äîð³âíþº 4, òî ì³æ ôóíêö³îíàëüíèìè ³íâàð³àíòàìè
cmI , cm
1I , cm
2I , cm
11I , cm
12I òà cm
22I ³ñíóº ëèøå îäíå ñï³ââ³äíîøåííÿ.
Ïîð³âíþþ÷è ðîçì³ðíîñò³ îðá³ò çàãàëüíîãî ïîëîæåííÿ ïñåâäîãðóï ( )
m
kG ³
ïðîñòîð³â 2kJ äëÿ 2k > , îòðèìóºìî òàêó òåîðåìó.
Òåîðåìà. Ïîâíà ñèñòåìà ëîêàëüíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ³íâàð³àíò³â ðîç-
øàðóâàííÿ êðèâèõ â³äíîñíî -êîíôîðìíî-ìåòðè÷íèõ ïåðåòâîðåíü ïëî-
ùèíè ïîðîäæóºòüñÿ ôóíêö³ÿìè cm
1I , cm
2I , cm
3I òà óñ³ìà ìîæëèâèìè
¿õí³ìè äîáóòêàìè â³äíîñíî äèôåðåíö³þâàíü X òà Y .
1. Àëåêñååâñêèé Ä. Â., Âèíîãðàäîâ À. Ì., Ëû÷àãèí Â. Â. Îñíîâíûå èäåè è ïîíÿòèÿ
äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè / Èòîãè íàóêè è òåõí. Ñåð. Ñîâðåì. ïðîáëåìû ìà-
òåìàòèêè. Ôóíäàì. íàïðàâëåíèÿ. – Ìîñêâà: ÂÈÍÈÒÈ, 1988. – 28. – 289 ñ.
2. Âèíîãðàäîâ À. Â., Êðàñèëüùèê È. Ñ., Ëû÷àãèí Â. Â. Ââåäåíèå â ãåîìåòðèþ íåëè-
íåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. – Ìîñêâà: Íàóêà, 1986. – 336 ñ.
3. Êóçàêîíü Â. Ì. Âû÷èñëåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ âòîðîãî ïîðÿäêà
ñóáìåðñèé åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ // Ìàò. ìåòîäè òà ô³ç.-ìåõ. ïîëÿ. – 2005. –
48, ¹ 4. – Ñ. 95–99.
4. Êóçàêîíü Â. Ì. Äèôåðåíö³àëüí³ ³íâàð³àíòè ñóáìåðñ³é ìíîãîâèä³â // ³ñí.
äåðæ. óí-òó «Ëüâ³â. ïîë³òåõí³êà». Ñåð. Ïðèêë. ìàòåìàòèêà. – 1999. – ¹ 364. –
Ñ. 295–298.
5. Êóçàêîíü Â. Ì. Ìåòðè÷åñêèå äèôôåðåíöèàëüíûå èíâàðèàíòû ðàññëîåíèÿ êðè-
âûõ íà ïëîñêîñòè // Çá. ïðàöü ²í-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¿íè. – 2006. – 3,
¹ 3. – Ñ. 201–212.
6. Kushner A., Lychagin V., Rubtsov V. Contact geometry and non-linear differential
equations. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2007. – 496 p.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ РАССЛОЕНИЯ КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
ОТНОСИТЕЛЬНО -КОНФОРМНО-МЕТРИЧЕСКОЙ ГРУППЫ
Ïðèâåäåíî ïîëíîå îïèñàíèå àëãåáðû äèôôåðåíöèàëüíûõ èíâàðèàíòîâ ðàññëîåíèÿ
êðèâûõ íà ïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî -êîíôîðìíî-ìåòðè÷åñêîé ãðóïïû.
CURVES BUNDLES DIFFERENTIAL INVARIANTS ON A PLANE WITH
RESPECT TO -CONFORM-METRIC GROUP
Complete description of an algebra of curves bundles differential invariants on a plane
with respect to -conform-metric group is presented.
Îäåñüêà íàö. àêàä. õàð÷îâ. òåõíîëîã³é, Îäåñà Îäåðæàíî
12.03.08
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7688 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3022 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:30:41Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кузаконь, В.М. 2010-04-08T10:05:42Z 2010-04-08T10:05:42Z 2008 Диференціальні інваріанти розшарування кривих на площині відносно -конформно-метричної групи / В.М. Кузаконь // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 61–65. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. 1810-3022 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7688 514.76 Наведено повний опис алгебри диференціальних інваріантів розшарування кривих на площині відносно R-комформно-метричної групи. Приведено полное описание алгебры дифференциальных инвариантов расслоения кривых на плоскости относительно R-комформно-метрической групы. Complete description of an algebra of curves bundles differential invariants on a plane with respect to R-conform-metric group is presented. uk Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Диференціальні інваріанти розшарування кривих на площині відносно R-конформно-метричної групи Дифференциальные инварианты расслоения кривых на плоскости относительно R-конформно-метрической группы Curves bundles differential invariants on a plane with respect to R-conform-metric group Article published earlier |
| spellingShingle | Диференціальні інваріанти розшарування кривих на площині відносно R-конформно-метричної групи Кузаконь, В.М. |
| title | Диференціальні інваріанти розшарування кривих на площині відносно R-конформно-метричної групи |
| title_alt | Дифференциальные инварианты расслоения кривых на плоскости относительно R-конформно-метрической группы Curves bundles differential invariants on a plane with respect to R-conform-metric group |
| title_full | Диференціальні інваріанти розшарування кривих на площині відносно R-конформно-метричної групи |
| title_fullStr | Диференціальні інваріанти розшарування кривих на площині відносно R-конформно-метричної групи |
| title_full_unstemmed | Диференціальні інваріанти розшарування кривих на площині відносно R-конформно-метричної групи |
| title_short | Диференціальні інваріанти розшарування кривих на площині відносно R-конформно-метричної групи |
| title_sort | диференціальні інваріанти розшарування кривих на площині відносно r-конформно-метричної групи |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7688 |
| work_keys_str_mv | AT kuzakonʹvm diferencíalʹníínvaríantirozšaruvannâkrivihnaploŝinívídnosnorkonformnometričnoígrupi AT kuzakonʹvm differencialʹnyeinvariantyrassloeniâkrivyhnaploskostiotnositelʹnorkonformnometričeskoigruppy AT kuzakonʹvm curvesbundlesdifferentialinvariantsonaplanewithrespecttorconformmetricgroup |