Про спеціальні квазіфільтри в мультиплікативному моноїді натуральних чисел
Вводяться поняття σ-скруту в категорії S-полігонів над моноїдом S та відповідного йому σ-квазі-фільтра в моноїді S. Описано ріссові конґруенції на моноїді натуральних чисел з операцією множення. На основі цього опису побудовано деякі класи σ-квазі-фільтрів в моноїді (N, •). Основні результати статті...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7693 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Про спеціальні квазі-фільтри в мультиплікативному моноїді натуральних чисел / Р.М. Олійник // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 80-87. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860079853157482496 |
|---|---|
| author | Олійник, Р.М. |
| author_facet | Олійник, Р.М. |
| citation_txt | Про спеціальні квазі-фільтри в мультиплікативному моноїді натуральних чисел / Р.М. Олійник // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 80-87. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | Вводяться поняття σ-скруту в категорії S-полігонів над моноїдом S та відповідного йому σ-квазі-фільтра в моноїді S. Описано ріссові конґруенції на моноїді натуральних чисел з операцією множення. На основі цього опису побудовано деякі класи σ-квазі-фільтрів в моноїді (N, •). Основні результати статті містяться в теоремах 2, 3 і 4.
Вводится понятие σ-скручения в категории S-полигонов над моноидов S и соответствующего ему σ-квази-фильтра в моноиде S. Описаны риссовы конгруенцииі на мультипликативном моноиде натуральных чисел. На основе этого описания построены некоторые классы σ-квази-фильтров в моноиде (N, •). Основные результаты статьи содержатся в теоремах 2,3 и 4.
In this paper, we introduce the concept of s-torsion theory in the category S -system to monoid S and his σ-quasi-filter on a monoid S . We described Riesz congruencies on the multiplication monoid to the natural numbers. On the base of this description we established some classes of σ-quasi-filter on a monoid (N, •). The main results of this paper are in the theorems 2, 3 and 4.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:15:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1810-3022. Ïðèêë. ïðîáëåìè ìåõ. ³ ìàò. – 2008. – Âèï. 6. – Ñ. 80–87.
ÓÄÊ 512.553.2
Р. М. Олійник
ПРО СПЕЦІАЛЬНІ КВАЗІ-ФІЛЬТРИ В МУЛЬТИПЛІКАТИВНОМУ
МОНОЇДІ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ
Ââîäÿòüñÿ ïîíÿòòÿ σ -ñêðóòó â êàòåãî𳿠S -ïîë³ãîí³â íàä ìîíî¿äîì S òà
â³äïîâ³äíîãî éîìó σ -êâàç³-ô³ëüòðà â ìîíî¿ä³ S . Îïèñàíî ð³ññîâ³ êîí´ðóåíö³¿
íà ìîíî¿ä³ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë ç îïåðàö³ºþ ìíîæåííÿ. Íà îñíîâ³ öüîãî îïèñó
ïîáóäîâàíî äåÿê³ êëàñè σ -êâàç³-ô³ëüòð³â â ìîíî¿ä³ ( , )⋅ . Îñíîâí³ ðåçóëüòà-
òè ñòàòò³ ì³ñòÿòüñÿ â òåîðåìàõ 2, 3 ³ 4.
1. Âñòóï. Êàòåãîð³ÿ S -ïîë³ãîí³â áàãàòî â ÷îìó ïîä³áíà äî êàòåãîð³¿
R -ìîäóë³â. Ïðèðîäíî, ùî é ÷àñòèíà ðåçóëüòàò³â, ÿê³ ñòîñóþòüñÿ öèõ êàòå-
ãîð³é, òàêîæ ìàþòü ïåâíó àíàëîã³þ. Ó 1983 ðîö³ J. K. Luedeman [6] óâ³â äî
ðîçãëÿäó îñíîâí³ ïîíÿòòÿ, ïîâ’ÿçàí³ ç³ ñêðóòàìè â êàòåãî𳿠S -ïîë³ãîí³â, çà
àíàëî㳺þ ç ³ñíóþ÷îþ òåîð³ºþ ñêðóò³â ó êàòåãî𳿠R -ìîäóë³â. Ó äàíèé ÷àñ
òåîð³ÿ ñêðóò³â äëÿ S -ïîë³ãîí³â ñòð³ìêî ðîçâèâàºòüñÿ, ïðî ùî ñâ³ä÷àòü õî÷à
áè ïóáë³êàö³¿ [8–10] òà ìîíîãðàô³ÿ [5].
Ó ö³é ñòàòò³ îçíà÷åí³ σ -êâàç³-ô³ëüòðè êîí´ðóåíö³é â ìîíî¿ä³ S , ÿê³ º
àíàëîãàìè S -ô³ëüòð³â ³äåàë³â ê³ëüöÿ R , ÿê³ ðîçãëÿäàëèñü ó ñòàòò³ [1]. Ó ðî-
áîòàõ [9, 10] äîñë³äæóâàëèñü êâàç³-ô³ëüòðè ïðàâèõ êîí´ðóåíö³é, ÿê³ ò³ñíî
ïîâ’ÿçàí³ ç³ ñêðóòàìè. Ö³ ô³ëüòðè áóäåìî íàçèâàòè êâàç³-ô³ëüòðàìè, ùîá
óçãîäèòè òåðì³íîëîã³þ. ³äì³íí³ñòþ ì³æ êâàç³-ô³ëüòðîì ³ ðàäèêàëüíèì
ô³ëüòðîì [2] º òå, ùî êâàç³-ô³ëüòðè ñêëàäàþòüñÿ ç êîí´ðóåíö³é ³ç ïåâíèìè
âëàñòèâîñòÿìè, à ðàäèêàëüí³ ô³ëüòðè – ç ³äåàë³â.
Ó ïóíêò³ 3 îïèñàíî âñ³ ë³â³ ð³ññîâ³ êîí´ðóåíö³¿ íà ìîíî¿ä³ íàòóðàëüíèõ
÷èñåë ñòîñîâíî ìíîæåííÿ (ëåìà 5).
Ó ïóíêò³ 4 îïèñàíî äâà òèïè íåð³ññîâèõ êîí´ðóåíö³é íà ìîíî¿ä³ íàòó-
ðàëüíèõ ÷èñåë ñòîñîâíî ìíîæåííÿ. Ïåðøèé ç öèõ òèï³â ìîæíà çíàéòè ó ìî-
íîãðàô³¿ [3], àëå ñòîñîâíî îïåðàö³¿ äîäàâàííÿ. Äëÿ öèõ äâîõ òèï³â êîí´ðóåí-
ö³é ïîáóäîâàíî σ -ô³ëüòðè òà îïèñàíî ¿õ ñòðóêòóðó (òåîðåìè 2, 3 ³ 4).
Îçíà÷åííÿ, ÿê³ íå íàâåäåí³ ó ñòàòò³, ìîæíà çíàéòè ó ìîíîãðàô³ÿõ [2–5].
2. Òåðì³íîëîã³ÿ òà ïîïåðåäí³ â³äîìîñò³. Íàäàë³, ÿêùî íå ñêàçàíî ïðî-
òèëåæíå, ë³òåðà S ïîçíà÷àòèìå ô³êñîâàíèé ìîíî¿ä.
Ïîíÿòòÿ S -ïîë³ãîíà (ïîë³ãîíà íàä ìîíî¿äîì) â³äíîñíî íîâå. Ïåðåä òèì,
ÿê ïîÿâèâñÿ òåðì³í S -ïîë³ãîíà, ç³ ñõîæèìè ñòðóêòóðàìè ïðàöþâàëè ðàí³-
øå â òåî𳿠ïåðåòâîðåíü ³ â äîñë³äæåííÿõ ç òåî𳿠ãðóï òàê³ ìàòåìàòèêè, ÿê
Ï. Ðóô³í³, À. Êåë³, Ñ. ˳, À. Ñóøêåâè÷ ³ ò. ä.
Ââåäåìî îçíà÷åííÿ, íåîáõ³äí³ äëÿ ôîðìóëþâàííÿ ðåçóëüòàò³â.
Îçíà÷åííÿ 1. Íåõàé S – ìîíî¿ä ³ A ≠ ∅ – ìíîæèíà. Íàçâåìî ìíîæè-
íó A ë³âèì ïîë³ãîíîì íàä S , ÿêùî çàäàíî òàêå â³äîáðàæåííÿ : S Aµ × →
A→ , ( , ) ( , )s a sa s a→ = µ , ùî âèêîíóþòüñÿ óìîâè:
1) 1a a= ;
2) ( ) ( )st a s ta= äëÿ âñ³õ a A∈ , ,s t S∈ .
Íàçèâàòèìåìî µ ìíîæåííÿì çë³âà åëåìåíò³â ç S íà åëåìåíòè ç A .
Àíàëîã³÷íî âèçíà÷àºòüñÿ ïðàâèé S -ïîë³ãîí A ³ â ïîçíà÷åííÿõ öå â³äîáðà-
æàºòüñÿ òàê: SA – ïðàâèé, S A – ë³âèé ïîë³ãîíè. Âæèâàºìî ñêîðî÷åíèé
òåðì³í S -ïîë³ãîí, ÿêùî â³äîìî, ÿêó îïåðàö³þ âèáðàíî íà íüîìó.
Çàóâàæèìî, ùî çàì³ñòü òåðì³íó S -ïîë³ãîí ³íîä³ âæèâàºòüñÿ îäèí ³ç íà-
ñòóïíèõ: S -ìíîæèíà, S -îïåðàíäà, S -ä³ÿ, S -ñèñòåìà, S -àâòîìàò ³ ò. ä.
Îçíà÷åííÿ 2. Íåõàé S A òà S B – ë³â³ S -ïîë³ãîíè. ³äîáðàæåííÿ
: S Sf A B→ íàçèâàºòüñÿ ãîìîìîðô³çìîì S -ïîë³ãîí³â A òà B , ÿêùî äëÿ
Про спеціальні квазі-фільтри в мультиплікативному моноїді натуральних чисел 81
áóäü-ÿêèõ s S∈ òà a A∈ âèêîíóºòüñÿ ð³âí³ñòü ( ) ( )f sa sf a= . Êàòåãîð³þ ë³-
âèõ S-ïîë³ãîí³â òà ¿õ ãîìîìîðô³çì³â áóäåìî ïîçíà÷àòè S Act− .
Îçíà÷åííÿ 3. Íåõàé ρ – â³äíîøåííÿ åêâ³âàëåíòíîñò³ íà S -ïîë³ãîí³ A .
Òîä³ ρ íàçèâàºòüñÿ ë³âîþ êîí´ðóåíö³ºþ íà A , ÿêùî ç óìîâè a bρ âèïëèâàº
sa sbρ äëÿ âñ³õ s S∈ . Àíàëîã³÷íî âèçíà÷àºòüñÿ ïðàâà êîí´ðóåíö³ÿ.
Ðîçãëÿíåìî äåÿê³ îïåðàö³¿ íàä êîí´ðóåíö³ÿìè:
1) Íåõàé ,ρ τ – ë³â³ êîí´ðóåíö³¿ íà ìîíî¿ä³ S . Òîä³ ρ ∧ τ =
( , ) ( , ) ,( , )a b a b a b= ∈ ρ ∈ τ{ } – ë³âà êîí´ðóåíö³ÿ íà ìîíî¿ä³ S .
2) Íåõàé ,ρ τ – ë³â³ êîí´ðóåíö³¿ íà ìîíî¿ä³ S . Òîä³ ρ ∨ τ – íàéìåíøà
êîí´ðóåíö³ÿ íà ìîíî¿ä³ S , ÿêà ì³ñòèòü êîí´ðóåíö³¿ ρ òà τ .
Ìíîæèíó âñ³õ êîí´ðóåíö³é íà S ïîçíà÷èìî ÷åðåç ( )Con S . Öÿ ìíîæè-
íà íàñïðàâä³ º ´ðàòêîþ ñòîñîâíî îá’ºäíàííÿ ³ ïåðåòèíó êîí´ðóåíö³é [7]. Íàé-
ìåíøó êîí´ðóåíö³þ ïîçíà÷èìî ÷åðåç ∆ , äå ( , ) |a b S S a b∆ = ∈ × ={ } , íàé-
á³ëüøó êîí´ðóåíö³þ – ÷åðåç 1S , äå 1S S S= × .
Äëÿ äîâ³ëüíî¿ ë³âî¿ êîí´ðóåíö³¿ ρ íà A ³ äëÿ áóäü-ÿêîãî åëåìåíòà
m A∈ îçíà÷èìî ìíîæèíó
( : ) ( , ) ( , )m a b S S am bmρ = ∈ × ∈ ρ{ } .
³äîìî, ùî ( : )mρ º ë³âîþ êîí´ðóåíö³ºþ íà S .
Ëåìà 1. Íåõàé I – ë³âèé ³äåàë ìîíî¿äà S . Òîä³ ( )I I∆ × – ë³âà êîí-
´ðóåíö³ÿ ìîíî¿äà S .
Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ( )I Iρ = ∆ × , ( , )a b ∈ ρ òîä³ é ò³ëüêè òîä³, êîëè
,a b I∈ àáî a b= . Ïåðåâ³ðèìî, ùî ρ º â³äíîøåííÿì åêâ³âàëåíòíîñò³ íà ìî-
íî¿ä³ S . Çà ïîáóäîâîþ ρ – ðåôëåêñèâíå. Ïîêàæåìî, ùî â³äíîøåííÿ ρ –
ñèìåòðè÷íå. Íåõàé ( , )a b ∈ ρ . Îñê³ëüêè I – ³äåàë, òî ( , )b a ∈ ρ . Òðàíçèòèâ-
í³ñòü: íåõàé ( , )a b ∈ ρ òà ( , )b c ∈ ρ . Öå îçíà÷àº, ùî , ,a b c I∈ . Çâ³äñè îòðè-
ìóºìî, ùî ( , )a c ∈ ρ . Ïîêàæåìî, ùî äëÿ áóäü-ÿêèõ ïàð ( , )a b ∈ ρ òà åëåìåí-
ò³â s S∈ âèêîíóºòüñÿ ( , )sa sb ∈ ρ . Îñê³ëüêè ,a b I∈ , òî çà îçíà÷åííÿì ³äåà-
ëó ,sa sb I∈ . Ëåìó äîâåäåíî. ◊
Êîí´ðóåíö³¿, ïîáóäîâàí³ çà äîïîìîãîþ ³äåàëó, ÿê ó ëåì³ 1, íàçèâàþòü
êîí´ðóåíö³ÿìè гññà ³ ïîçíà÷àþòü Iρ .
Ëåìà 2. Íåõàé 1 2,I I – ë³â³ ³äåàëè ìîíî¿äà S , 1 1( )I Iρ = ∆ × òà
2 2( )I Iτ = ∆ × – ë³â³ êîí´ðóåíö³¿ íà S . Òîä³ 1 2 1 2( ) ( )I I I Iρ ∧ τ = ∆ × ( )
òà 1 2 1 2( ) ( )I I I Iρ ∨ τ = ∆ × ( ) .
Ä î â å ä å í í ÿ âèïëèâຠç ëåìè 1. ◊
Îçíà÷åííÿ 4 [7]. Òåîð³ºþ ñêðóòó τ â êàòåãî𳿠ë³âèõ S -ïîë³ãîí³â
S Act− íàçèâàºìî âïîðÿäêîâàíó ïàðó ( , )T F êëàñ³â S -ïîë³ãîí³â ç òàêèìè
âëàñòèâîñòÿìè:
1) ( , )SHom T F = ∅ äëÿ âñ³õ T ∈ T ³ F ∈ F ;
2) ÿêùî ( , )SHom T F = ∅ äëÿ âñ³õ F ∈ F , òîä³ T ∈ T ;
3) ÿêùî ( , )SHom T F = ∅ äëÿ âñ³õ T ∈ T , òîä³ F ∈ F .
Òîä³ S -ïîë³ãîíè ç êëàñó T íàçèâàþòüñÿ ïåð³îäè÷íèìè ïîë³ãîíàìè òà ç
êëàñó F íàçèâàþòü íàï³âïðîñòèìè. Êëàñè T òà F íàçèâàþòüñÿ ïåð³îäè÷-
íèìè òà íàï³âïðîñòèìè â³äïîâ³äíî. Òåîð³ÿ ñêðóòó τ íàçèâàºòüñÿ ñïàäêîâîþ,
ÿêùî êëàñ T º çàìêíåíèé ñòîñîâíî ï³äïîë³ãîí³â. Ñïàäêîâó òåîð³þ ñêðóòó τ
íàçèâàºìî ñêðóòîì.
82 Р. М. Олійник
Îçíà÷åííÿ 5. Êîí´ðóåíö³ÿ ρ íà S -ïîë³ãîí³ A íàçèâàºòüñÿ τ -ù³ëüíîþ,
ÿêùî /A τρ ∈ T . Ïîçíà÷èìî ìíîæèíó âñ³õ τ -ù³ëüíèõ êîí´ðóåíö³é íà A
÷åðåç Aτ [ ] .
Îçíà÷åííÿ 6. Êâàç³-íàïåðåäô³ëüòðîì ìîíî¿äà S íàçèâàþòü ï³äìíî-
æèíó E â ( )Con S , ÿêà çàäîâîëüíÿº óìîâè:
1) ÿêùî Eρ ∈ ³ ( )Con Sρ ⊆ τ ∈ , òî Eτ ∈ ;
2) ç óìîâè Eρ ∈ âèïëèâຠ( : )s Eρ ∈ äëÿ âñ³õ s S∈ .
ßêùî, êð³ì öèõ óìîâ, âèêîíóºòüñÿ óìîâà
3) ÿêùî Eρ ∈ ³ ( )Con Sτ ∈ òàêå, ùî ( : )sτ , ( : )tτ íàëåæàòü äî E äëÿ
âñ³õ ( , )s t ∈ ρ , òî Eτ ∈ ,
òîä³ E íàçèâàþòü êâàç³-ô³ëüòðîì. Êâàç³-íàïåðåäô³ëüòðè óòâîðþþòü ´ðàò-
êó ñòîñîâíî î÷åâèäíèõ îïåðàö³é îá’ºäíàííÿ ³ ïåðåòèíó.
Çâ’ÿçîê ì³æ ñêðóòàìè â êàòåãî𳿠S -ïîë³ãîí³â òà êâàç³-ô³ëüòðàìè ìî-
íî¿äà S âñòàíîâëþº íàñòóïíà
Òåîðåìà 1 [9] . Íåõàé S – S -ïîë³ãîí òà τ – òåîð³ÿ ñêðóòó íàä S .
Òîä³:
(³) ÿêùî τ º ñïàäêîâîþ òåîð³ºþ ñêðóòó, òî τ º êâàç³-ô³ëüòðîì ë³-
âèõ êîí´ðóåíö³é âèçíà÷åíèõ íà ìîíî¿ä³ S ;
(³³) ÿêùî E º êâàç³-ô³ëüòðîì, òî ³ñíóº òàêà ñïàäêîâà òåîð³ÿ ñêðóòó
τ , ùî E τ= .
3. Îïèñ ´ðàòêè ³äåàë³â ó ìîíî¿ä³ ( , )⋅ . Íàäàë³ ðîçãëÿäàºìî ìîíî¿ä íà-
òóðàëüíèõ ÷èñåë ñòîñîâíî ìíîæåííÿ, ÿêèé áóäåìî ïîçíà÷àòè ÷åðåç ( , )⋅ .
Äëÿ çðó÷íîñò³ ïîñèëàíü âèä³ëèìî ó âèãëÿä³ ëåìè äîáðå â³äîìèé ôàêò
ïðî ãîëîâí³ ³äåàëè öüîãî ìîíî¿äà, ÿêèé º ïðÿìèì íàñë³äêîì îñíîâíî¿ òåîðå-
ìè àðèôìåòèêè.
Ëåìà 3. Íåõàé n – íàòóðàëüíå ÷èñëî. Òîä³ äîâ³ëüíèé ë³âèé ãîëîâíèé
³äåàë âèãëÿäó n ìîæíà çàïèñàòè ÿê ïåðåòèí ãîëîâíèõ ë³âèõ ³äåàë³â,
òîáòî 1 2
1 2
knn n
kn p p p= , äå ip – ïðîñò³ ÷èñëà, in – ¿õ ñòåïå-
í³, òà 1 2
1 2
knn n
kn p p p= ⋅ ⋅ ⋅ , äå 1 2 kp p p< < < .
 ïîäàëüøîìó áåç äîäàòêîâèõ ïîñèëàíü âèêîðèñòîâóâàòèìåìî ð³çí³
î÷åâèäí³ íàñë³äêè ëåìè 3. Íàïðèêëàä, ÿêùî , ,A B C – ë³â³ ãîëîâí³ ³äåàëè â
ìîíî¿ä³ ( , )⋅ , òî âèêîíóºòüñÿ
( ) ( ) ( )A B C A C B C= . (1)
Àíàëîã³÷íî, ÿêùî ,p q – ïðîñò³ ÷èñëà, òî np òà mq – ãîëîâí³ ë³â³
³äåàëè â ( , )⋅ . Òîä³ n mp q ≠ ∅ òà
, ,
max ,
, ,
n m
n m
t
p q p q
p q t n m
p p q
⋅ ≠= =
=
{ } .
Ëåìà 4. Äîâ³ëüíèé ë³âèé ³äåàë I ìîíî¿äà ( , )⋅ º îá’ºäíàííÿì ïîñë³äîâ-
íîñò³ ãîëîâíèõ ë³âèõ ³äåàë³â, òâ³ðí³ ÿêèõ óòâîðþþòü ìîíîòîííî çðîñòà-
þ÷èé ëàíöþã íàòóðàëüíèõ ÷èñåë.
Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé I ≠ ∅ òà I ≠ . Òîä³ ³ñíóº 0n I∈ òàêå, ùî 0n –
íàéìåíøå íàòóðàëüíå ÷èñëî â ³äåàë³ I . Ëåãêî áà÷èòè, ùî 0n I∈ . ßêùî
0 1\I n I= ≠ ∅ , òîä³ ³ñíóº 1n I∈ , ÿêå º íàéìåíøèì íàòóðàëüíèì ÷èñëîì â
Про спеціальні квазі-фільтри в мультиплікативному моноїді натуральних чисел 83
1I òà 0 1n n< . Àíàëîã³÷íî îòðèìóºìî, ùî 0 1 2I n n n= òà
0 1 2n n n< < < . Öåé ïðîöåñ àíàëîã³÷íèé äî «ðåøåòà Åðàòîñôåíà». ³äì³í-
í³ñòü: òóò çàì³ñòü ïðîñòèõ ÷èñåë áåðåìî íàòóðàëüí³. Ëåìó äîâåäåíî. ◊
ßêùî ³äåàë 0 1 2
0 1 2
n n nI p p p= , äå ip – ïðîñò³ ÷èñëà, in – ¿õ
ñòåïåí³ òà 1 2 3p p p< < < , òîä³ éîãî ïîçíà÷èìî pI . Ï³ä ³íäåêñîì ðîçó쳺ìî
ïîñë³äîâí³ñòü 0 1 2
0 1 2( , , , )n n np p p . Ìíîæèíó âñ³õ òàêèõ ³íäåêñ³â áóäåìî ïîçíà-
÷àòè P . Íåõàé P P⊆ . Çðîçóì³ëî, ùî êîæí³é ï³äìíîæèí³ P â³äïîâ³äຠïåâ-
íèé ³äåàë ³, íàâïàêè, äëÿ êîæíîãî ³äåàëó ³ñíóº ï³äìíîæèíà P .
Ëåìà 5. Íåõàé P P⊆ , äå P – ìíîæèíà âñ³õ ïîñë³äîâíîñòåé ñòåïåí³â
ïðîñòèõ ÷èñåë òà I – äîâ³ëüíèé ë³âèé ³äåàë ìîíî¿äà ( ), ⋅ . Òîä³ p
P
I I= .
Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé I ≠ ∅ òà I ≠ . Òîä³ çà ëåìîþ 4: 0 1I n n=
2n , äå 0 1 2n n n< < < , òà çà ëåìîþ 3: 1 2
1 2
n n
i i in p p=
kn
kip , äå 0i ∈ { } . Òîä³ 10 20 0 11
10 20 110
kn n n n
kI p p p p= ( ) (
21 1
21 1
sn n
sp p ) . Çà ôîðìóëîþ (1) çàïèøåìî
10 11 21 1
10 11 21 1( )sn n n n
sI p p p p= ( )
20 11 21 1
20 11 21 1( sn n n n
sp p p p ( )
0 11 21 1
11 21 10 ( )k sn n n n
skp p p p ( ) .
ϳñëÿ íåñêëàäíèõ ïåðåòâîðåíü îòðèìàºìî
10 11 12
10 11 12
n n nI p p p= ( )
10 11 2
10 11 2
tn n n
tp p p ( ) .
Òîáòî îñòàòî÷íî ìàºìî ðîçêëàä äîâ³ëüíîãî ë³âîãî ³äåàëó ó âèãëÿä³ ïåðå-
òèíó ³äåàë³â âèãëÿäó pI , òîáòî p
P
I I= . Ëåìó äîâåäåíî. ◊
4. σ − êâàç³-ô³ëüòðè êîí´ðóåíö³é. Êâàç³-ô³ëüòðè â³ä³ãðàþòü âàæëèâó
ðîëü, ÿê áóëî ñêàçàíî âèùå, ó âèâ÷åíí³ ñêðóò³â â êàòåãî𳿠S Act− .  çà-
ãàëüíîìó òàê³ ô³ëüòðè ìîæóòü áóòè äóæå ñêëàäíèìè. Ïðîïîíóºìî ñïî÷àò-
êó âèâ÷èòè á³ëüø ïðîñò³ êâàç³-ô³ëüòðè, ÿê³ íàçèâàòèìåìî σ -êâàç³-ô³ëüòðà-
ìè.
Íåõàé çàäàíî ô³êñîâàíó ë³âó êîí´ðóåíö³þ σ íà S . Òîä³ ðîçãëÿíåìî
ìíîæèíó
| ( ), 1SE Con Sσ = τ τ ∈ τ ∨ σ ={ } .
Öÿ ìíîæèíà º êâàç³-ô³ëüòðîì. Íàçèâàòèìåìî éîãî ñïåö³àëüíèì êâàç³-
ô³ëüòðîì àáî ñêîðî÷åíî σ -êâàç³-ô³ëüòðîì. Ãîâîðèòèìåìî, ùî σ -êâàç³-
ô³ëüòð òðèâ³àëüíèé, ÿêùî â³í ì³ñòèòü ∆ àáî ñêëàäàºòüñÿ ò³ëüêè ç 1S .
Ëåìà 6. Äëÿ äîâ³ëüíî¿ êîí´ðóåíö³¿ σ ìíîæèíà Eσ º êâàç³-ô³ëüòðîì.
Ä î â å ä å í í ÿ. Ïåðåâ³ðèìî òðè óìîâè ç îçíà÷åííÿ 6. Ïåðø³ äâ³ óìîâè
ëåãêî ïåðåâ³ðèòè. Ïîêàæåìî â³ä ñóïðîòèâíîãî, ùî òðåòÿ óìîâà âèêîíóºòüñÿ.
Ïðèïóñòèìî, ùî óìîâè 3) âèêîíóþòüñÿ, àëå Eστ ∉ . Òîáòî ³ñíóº òàêà êîí-
´ðóåíö³ÿ ρ , ÿêà ì³ñòèòü êîí´ðóåíö³¿ σ òà τ , àëå 1Sρ ≠ . Òîä³ ìîæåìî çíàé-
òè òàê³ ïàðè ( , )a b ç êîí´ðóåíö³¿ 1S , ÿê³ «äîäàâàííÿì» äî τ çá³ëüøóþòü
84 Р. М. Олійник
1Sσ ∨ τ = . Àëå ç ³íøîãî áîêó, ( , )a s òà ( , )s b íàëåæàòü äî ρ . Îñê³ëüêè ρ –
êîí´ðóåíö³ÿ, òîä³ ç òðàíçèòèâíîñò³ âèïëèâàº, ùî ( , )a b ∈ ρ . À öå ñóïåðå÷-
í³ñòü. Ëåìó äîâåäåíî. ◊
Ëåìà 7. Íåõàé S – ìîíî¿ä, I – ë³âèé ³äåàë â S , Iσ = σ – ð³ññîâà êîí-
´ðóåíö³ÿ. Òîä³ σ -êâàç³-ô³ëüòð Eσ íå ì³ñòèòü íåòðèâ³àëüíèõ êîí´ðóåí-
ö³é гññà.
Ä î â å ä å í í ÿ. ³ä ñóïðîòèâíîãî. Íåõàé êîí´ðóåíö³¿ , ( )Con Sτ ρ ∈ , àëå
âîíè ð³ññîâ³. Òîáòî ¿õ ìîæíà çáóäóâàòè òàê: 1 1( )I Iρ = ∆ × ³ 2 2( )I Iτ = ∆ × .
Ùîá ô³ëüòð áóâ σ -êâàç³-ô³ëüòðîì Eσ òðåáà, ùîá 1Sσ ∨ τ = . Ç ëåìè 2:
1 2 1 2( ) ( )I I I Iρ ∨ τ = ∆ × ( ) . Ç ³íøîãî áîêó, 1 2 1 2( ) ( )I I I Iσ ∨ τ = ∆ × = ( )
S S= × . Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî 1 2I I S= . Àëå öå âèêîíóºòüñÿ òîä³ é ò³ëüêè
òîä³, ÿêùî 1I S= àáî 2I S= . Îñê³ëüêè ìîíî¿ä S ì³ñòèòü îäèíèöþ, òî îòðè-
ìóºìî, ùî 1I àáî 2I ñï³âïàäຠç âñ³ì S . Ëåìó äîâåäåíî. ◊
Ëåìà 8. Íåõàé I – ë³âèé ãîëîâíèé ³äåàë ìîíî¿äà ( , )⋅ . Ìíîæèíà τ =
( , ) | àáî a b a b I a b= − ∈ ={ } ïîðîäæóº êîí´ðóåíö³þ íà ìîíî¿ä³ ( ), ⋅ .
Ä î â å ä å í í ÿ. Ïîêàæåìî, ùî ( , ) | àáî a b a b I a bτ = − ∈ ={ } º êîí´ðó-
åíö³ºþ íà ìíîæèí³ íàòóðàëüíèõ ÷èñåë. Ðåôëåêñèâí³ñòü ³ ñèìåòðè÷í³ñòü î÷å-
âèäí³. Ïåðåâ³ðèìî òðàíçèòèâí³ñòü. Îñê³ëüêè a b I− ∈ òà b c I− ∈ , òîä³
a b c c I− + − ∈ , a b c c a c c b I− + − = − + − ∈ . Îñê³ëüêè b c I− ∈ , òî
çâ³äñè âèïëèâàº, ùî a c I− ∈ . Öå â³äíîøåííÿ åêâ³âàëåíòíîñò³ âèòðèìóº
ìíîæåííÿ, áî, ÿêùî a b I− ∈ , òîä³ sa sb I− ∈ . Ëåìó äîâåäåíî. ◊
Ëåìà 9. ßêùî σ – ð³ññîâà êîí´ðóåíö³ÿ, ïîáóäîâàíà çà äîïîìîãîþ ³äå-
àëó ³ç ëåìè 5, òà Iτ – íåð³ññîâ³ êîí´ðóåíö³¿ ³ç ëåìè 8. Òîä³ ìíîæèíà Eσ =
2, , , , ,np p p
= × τ τ τ
{ } º σ-êâàç³-ô³ëüòðîì, äå p – äîâ³ëüíå ïðîñòå
÷èñëî òà 0n ∈ { } .
Ä î â å ä å í í ÿ. Ëåãêî ïåðåâ³ðèòè, ùî îá’ºäíàííÿ êîí´ðóåíö³é np
σ ∨ τ =
1= = × . Òîä³ 2, , , , ,np p p
Eσ = × τ τ τ
{ } – σ -êâàç³-ô³ëüòð, äå p
– ïðîñòå ÷èñëî òà 0n ∈ { } çà îçíà÷åííÿì 6. Ëåìó äîâåäåíî. ◊
Ïðèêëàä. Íåõàé 2p = , òîä³ 22 2 2
, , , , ,nEσ = × τ τ τ
{ } , σ =
( , ) | , 2 , 0na b a b n= ∉ ∈ { }{ } .  σ íåìຠïàð, ó ÿêèõ åëåìåíòè áóëè á ñòå-
ïåíÿìè 2, ³ ïàð âèãëÿäó (1, )np òà ( ,1)np .
³äì³òèìî, ùî 2 2 2 ( ) 2a b a bτ = × − − ∈ { } .
Ëåãêî áà÷èìî, ùî 2σ ∨ τ = × . Ïîêàæåìî, ùî êîí´ðóåíö³ÿ θ =
2= σ ∨ τ , ÿêà ì³ñòèòü êîí´ðóåíö³¿ σ òà 2τ , ñï³âïàäຠç × . Áåðåìî
ïàðè (6,5) ∈ σ òà 2(5,1) ∈ τ , òîä³ çà òðàíçèòèâí³ñòþ (1,6) íàëåæèòü θ .
Îñê³ëüêè 2(6,2) ∈ τ , òîä³ (1,2) ∈ θ . ßêùî (1,2) ∈ θ , òî çà òðàíçèòèâí³ñòþ äî
θ íàëåæàòü âñ³ ìîæëèâ³ ïàðè.
Àíàëîã³÷íî ìîæíà ïîêàçàòè, ùî 4σ ∨ τ = × .
Òå, ùî
2nσ ∨ τ = ×
äëÿ äîâ³ëüíîãî 0n ∈ { } , âèïëèâຠ³ç âëàñ-
òèâîñò³ êâàç³-ô³ëüòðà (óìîâà 3) ç îçíà÷åííÿ 6). ◄
Про спеціальні квазі-фільтри в мультиплікативному моноїді натуральних чисел 85
Ëåìà 10. Íåõàé Iτ – êîí´ðóåíö³¿ ³ç ëåìè 8 òà σ – ð³ññîâà êîí´ðóåí-
ö³ÿ, ïîáóäîâàíà çà äîïîìîãîþ ë³âîãî ãîëîâíîãî ³äåàëó ìîíî¿äà ( , )⋅ . Òîä³
1I Sσ ∨ τ = .
Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé 1I p= òà 2 2p pσ = × ∆ { } , äå 1p òà 2p – äî-
â³ëüí³ ïðîñò³ ÷èñëà. Îá’ºäíàºìî ö³ äâ³ êîí´ðóåíö³¿. Âèáåðåìî ïàðè 1( ,s np +
1
) ps+ ∈ τ òà 2 2( , )p k p t ∈ σ , äå , ,s t k ∈ . Âèáèðàºìî 1 2np s p k+ = , çà òðàí-
çèòèâí³ñòþ îòðèìóºìî ïàðè âèãëÿäó 2( , )s p t . Ö³ ïàðè ïîðîäÿòü âñ³ ³íø³, òîá-
òî
1pσ ∨ τ = × . Ëåìó äîâåäåíî. ◊
Ëåìà 11. ßêùî Iτ , Rτ – êîí´ðóåíö³¿ ³ç ëåìè 8, ïîðîäæåí³ ãîëîâíèìè
³äåàëàìè I, R ìîíî¿äà ( , )⋅ . Òîä³ 1R I Sτ ∨ τ = .
Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé 1I p= òà 2R p= , äå 1p òà 2p – äîâ³ëüí³ ïðîñò³
÷èñëà. Âèáèðàºìî ïàðè âèãëÿäó 1(1, 1) Ikp + ∈ τ òà 1 2 1( 1, 1)kp np kp+ + + . Çà
òðàíçèòèâí³ñòþ îòðèìóºìî ïàðè âèãëÿäó 2 1(1, 1)np kp+ + . Çà äîïîìîãîþ
ï³äáîðó ,n k ∈ îòðèìàºìî, ùî 2 1 1np kp t+ + = , äå 2,3,t = . Çâ³äñè
1R I Sτ ∨ τ = . Ëåìó äîâåäåíî. ◊
Òåîðåìà 2. Íåõàé σ – ð³ññîâà êîí´ðóåíö³ÿ, ÿêà ïîáóäîâàíà ç äîâ³ëüíî-
ãî ³äåàëó â ëåì³ 5. ßêùî σ íå ì³ñòèòüñÿ â êîí´ðóåíö³¿ ³ç ëåìè 8, òî Eσ
áóäå íåòðèâ³àëüíèì σ -êâàç³-ô³ëüòðîì. ßêùî σ – íåð³ññîâà êîí´ðóåíö³ÿ,
òî σ -êâàç³-ô³ëüòð áóäå ì³ñòèòè âñ³ ð³ññîâ³ êîí´ðóåíö³¿ ³ç ëåìè 8 òà âñ³
íåð³ññîâ³ ³ç ëåìè 8, ÿê³ íå ì³ñòÿòü ö³º¿ êîí´ðóåíö³¿ σ .
Ä î â å ä å í í ÿ âèïëèâຠ³ç ëåì 10 òà 11.
Îçíà÷èìî ìíîæèíó
2
(1, ) ( , ) | (1, ), ( ,1), (1, ),k a b s k s k s kρ = ∈ × {
2( ,1), , (1, ), ( ,1),n ns k s k s k ∆ } ,
äå k – äîâ³ëüíå íàòóðàëüíå ÷èñëî, ,s n ∈ .
Ëåìà 12. Ìíîæèíà (1, )kρ ïîðîäæóº íåð³ññîâó êîí´ðóåíö³ºþ íà ìîíî¿-
ä³ ( , )⋅ .
Ä î â å ä å í í ÿ. Çà ïîáóäîâîþ (1, )kρ º ðåôëåêñèâíå, ñèìåòðè÷íå. Òðàíçè-
òèâí³ñòü âèïëèâຠç òîãî, ùî â ö³é ìíîæèí³ º ïàðè ò³ëüêè òàêîãî òèïó, à ³í-
øèõ ïàð íå ìîæíà îòðèìàòè. Çàìêíåí³ñòü ùîäî ìíîæåííÿ òàêîæ âèïëèâàº
³ç ïîáóäîâè. Ëåìó äîâåäåíî. ◊
Ëåìà 13. Íåõàé rρ – ð³ññîâà êîí´ðóåíö³ÿ, (1, )rτ – íåð³ññîâà êîí´ðóåí-
ö³ÿ, äå r – äîâ³ëüíå íàòóðàëüíå ÷èñëî. Òîä³
(1, )
1nr Sr
ρ ∨ τ = , äå n – äî-
â³ëüíå íàòóðàëüíå ÷èñëî.
Ä î â å ä å í í ÿ. ³çüìåìî ïàðè
(1, )
( , ) n
n
r
s sr ∈ τ òà ( , )n n
rsr r ∈ ρ . Çà òðàí-
çèòèâí³ñòþ îòðèìàºìî ïàðó ( , )ns r . Âçÿâøè ïàðè
(1, )
( ,1) n
n
r
r ∈ τ òà ( , )ns r ,
îòðèìàºìî ïàðó âèãëÿäó ( ,1)s , äå s ∈ . Öå îçíà÷àº, ùî îòðèìàëè âñ³ ïàðè
ç × . Ëåìó äîâåäåíî. ◊
86 Р. М. Олійник
Ëåìà 14. Íåõàé rρ – ð³ññîâà êîí´ðóåíö³ÿ, (1, )rτ – íåð³ññîâà êîí´ðóåí-
ö³ÿ, äå r – äîâ³ëüíå íàòóðàëüíå ÷èñëî. Òîä³ (1, ) 1n r Sr
ρ ∨ τ =
, äå n – äî-
â³ëüíå íàòóðàëüíå ÷èñëî.
Ä î â å ä å í í ÿ àíàëîã³÷íå, ÿê â ëåì³ 13. ◊
Ëåìà 15. Íåõàé
2mρ – ð³ññîâà êîí´ðóåíö³ÿ,
1(1, )mτ – íåð³ññîâà êîí´ðó-
åíö³ÿ, 1 2,m m – äîâ³ëüí³ íàòóðàëüí³ ÷èñëà òàê³, ùî 1
nm r≠ òà 2
km r≠ ,
äå r ∈ . Òîä³
2 1(1, ) 1m m Sρ ∨ τ ≠ .
Ä î â å ä å í í ÿ. ßêùî 1m íå ä³ëèòü 2m , òîä³
2 1 2(1, )m m mρ ∨ τ = ρ
1(1, ) 1m Sτ ≠ . Öå çâè÷àéíå îá’ºäíàííÿ áóäå êîí´ðóåíö³ºþ. Òðàíçèòèâí³ñòü
í³ÿêèõ íîâèõ ïàð íå äàñòü.
Íåõàé 1 2ÍÑÄ( , )u m m= , òîáòî 1 1m uk= òà 2 2m uk= . Òîä³ âèáåðåìî
ïàðè
22 1 2( , ) mm k m ∈ ρ òà
12 1 2 (1, )( , ) mk m k ∈ τ . Îñê³ëüêè 1 1m uk= , òîä³ ç ïàðè
12 2 2 (1, )( , ) mk um k ∈ τ òà ïðè 2 2m uk= îòðèìàºìî ïàðó
11 2 2 (1, )( , ) mk m k ∈ τ . Çà
òðàíçèòèâí³ñòþ îòðèìàºìî ïàðè
22 2( , ) km k ∈ρ . Îòæå,
2 1 2(1, )m m kρ ∨ τ = ρ ∨
1(1, ) 1m S∨ τ ≠ , áî 2k íå ä³ëèòü 1m .
Äîâåäåííÿ âèïàäêó, êîëè 1m ä³ëèòü 2m , âèïëèâຠç äîâåäåíîãî âèùå
ïðè 1 1k = . Ëåìó äîâåäåíî. ◊
Ëåìà 16. Íåõàé 1 2,m m – äîâ³ëüí³ íàòóðàëüí³ ÷èñëà,
1(1, )mτ – íåð³ññîâà
êîí´ðóåíö³ÿ òà
2(1, )mτ – íåð³ññîâà êîí´ðóåíö³ÿ. Òîä³
1 2(1, ) (1, ) 1m m Sτ ∨ τ ≠ .
Ä î â å ä å í í ÿ. Çà òðàíçèòèâí³ñòþ ìàòèìåìî áàãàòî íîâèõ ïàð, àëå íå
áóäå ïàð òèïó 1 2(1, )s m m+ , îñê³ëüêè â áóäü-ÿêîìó ðîçêëàä³ ÷èñëà 1 2m m+
íà ìíîæíèêè íå ìîæóòü çóñòð³òèñÿ îäíî÷àñíî 1m ³ 2m ÿê ñï³âìíîæíèêè.
Ëåìó äîâåäåíî. ◊
Òåîðåìà 3. Íåõàé rσ = ρ – ð³ññîâà êîí´ðóåíö³ÿ, äå r – äîâ³ëüíå íà-
òóðàëüíå ÷èñëî. Äëÿ äîâ³ëüíîãî σ -êâàç³-ô³ëüòðà
2(1, ) (1, ) (1, )
, , , ,nr r r
Eσ = × τ τ τ { } ,
äå n ∈ .
Ä î â å ä å í í ÿ âèïëèâຠ³ç ëåìè 13 òà ëåìè 15. ◊
Òåîðåìà 4. Íåõàé (1, )rσ = τ – íåð³ññîâà êîí´ðóåíö³ÿ, äå r – äîâ³ëüíå
íàòóðàëüíå ÷èñëî. Äëÿ äîâ³ëüíîãî σ-êâàç³-ô³ëüòðà
2, , , , ,nr r r
Eσ = × τ τ τ
{ } ,
äå n ∈ .
Ä î â å ä å í í ÿ âèïëèâຠ³ç ëåìè 14 òà ëåìè 16. ◊
1. Ãîðáà÷óê Î. Ë., Êîìàðíèöüêèé Ì. ß. Ïðî S -êðó÷åííÿ â ìîäóëÿõ // ³ñí. Ëüâ³â.
äåðæ. óí-òó. Ñåð. Ìåõ.-ìàò. – 1977. – Âèï. 12. – Ñ. 32–34.
2. Ìèøèíà À. Ï., Ñêîðíÿêîâ Ë. À. Àáåëåâû ãðóïïû è ìîäóëè. – Ìîñêâà: Íàóêà,
1969. – 152 ñ.
3. Grillet P. A. Semigroups. An introduction to the structure theory. – New York:
Marcel Dekker Inc., 1995. – 398 ð.
Про спеціальні квазі-фільтри в мультиплікативному моноїді натуральних чисел 87
4. Howie J. M. An introduction to semigroup theory. – London: Acad. Press, 1976. –
272 ð.
5. Kilp M., Knauer U., Mikhalov A. V. Monoids, acts and categories. – Berlin: Walter
de Gruyter, 2000. – 529 ð.
6. Luedeman J. K. Torsion theories and semigroup of quotients // Lect. Notes in
Math. – Berlin: Springer-Verlag, 1983. – 998. – P. 350–373.
7. Mitsch H. Semigroups and their lattice of congruencies. II // Semigroup Forum. –
1997. – 54. – P. 1–42.
8. Wiegandt R. Radicals and torsion theory for acts // Semigroup Forum. – 2006. –
72. – P. 312–328.
9. Zang R. Z., Gao W. M., Xu F. Y. Torsion theories and quasi-filters of right
congruencies // Algebra Colloq. – 1944. – 1, No. 3. – P. 273–280.
10. Zang R. Z., Shum K. P. Hereditary torsion classes of S -systems // Semigroup
Forum. – 1996. – 52. – P. 253–270.
О СПЕЦИАЛЬНЫХ КВАЗИ-ФИЛЬТРАХ В МУЛЬТИПЛИКАТИВНОМ
МОНОИДЕ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Ââîäèòñÿ ïîíÿòèå σ -êðó÷åíèÿ â êàòåãîðèè S -ïîëèãîíîâ íàä ìîíîèäîì S è ñî-
îòâåòñòâóåùåãî åìó σ -êâàçè-ôèëüòðà â ìîíîèäå S . Îïèñàíû ðèññîâû êîíãðó-
ýíöèè íà ìóëüòèïëèêàòèâíîì ìîíîèäå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Íà îñíîâå ýòîãî îïè-
ñàíèÿ ïîñòðîåíû íåêîòîðûå êëàññû σ -êâàçè-ôèëüòðîâ â ìîíîèäå ( , )⋅ . Îñíîâíûå
ðåçóëüòàòû ñòàòüè ñîäåðæàòñÿ â òåîðåìàõ 2, 3 è 4.
ON SPECIAL QUASI-FILTERS ON THE MULTIPLICATIVE MONOID
TO THE NATURAL NUMBERS
In this paper, we introduce the concept of σ-torsion theory in the category S -system to
monoid S and his σ-quasi-filter on a monoid S . We described Riesz congruencies on
the multiplication monoid to the natural numbers. On the base of this description we
established some classes of σ-quasi-filter on a monoid ( , )⋅ . The main results of this
paper are in the theorems 2, 3 and 4.
Ëüâ³â. íàö. óí-ò ³ì. ²âàíà Ôðàíêà, Ëüâ³â Îäåðæàíî
12.11.08
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7693 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3022 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:15:28Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Олійник, Р.М. 2010-04-08T10:11:02Z 2010-04-08T10:11:02Z 2008 Про спеціальні квазі-фільтри в мультиплікативному моноїді натуральних чисел / Р.М. Олійник // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 80-87. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. 1810-3022 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7693 512.553.2 Вводяться поняття σ-скруту в категорії S-полігонів над моноїдом S та відповідного йому σ-квазі-фільтра в моноїді S. Описано ріссові конґруенції на моноїді натуральних чисел з операцією множення. На основі цього опису побудовано деякі класи σ-квазі-фільтрів в моноїді (N, •). Основні результати статті містяться в теоремах 2, 3 і 4. Вводится понятие σ-скручения в категории S-полигонов над моноидов S и соответствующего ему σ-квази-фильтра в моноиде S. Описаны риссовы конгруенцииі на мультипликативном моноиде натуральных чисел. На основе этого описания построены некоторые классы σ-квази-фильтров в моноиде (N, •). Основные результаты статьи содержатся в теоремах 2,3 и 4. In this paper, we introduce the concept of s-torsion theory in the category S -system to monoid S and his σ-quasi-filter on a monoid S . We described Riesz congruencies on the multiplication monoid to the natural numbers. On the base of this description we established some classes of σ-quasi-filter on a monoid (N, •). The main results of this paper are in the theorems 2, 3 and 4. uk Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Про спеціальні квазіфільтри в мультиплікативному моноїді натуральних чисел О специальных квази-фильтрах в мультипликативном моноиде натуральных чисел On special quasi-filters on the multiplicative monoid to the natural numbers Article published earlier |
| spellingShingle | Про спеціальні квазіфільтри в мультиплікативному моноїді натуральних чисел Олійник, Р.М. |
| title | Про спеціальні квазіфільтри в мультиплікативному моноїді натуральних чисел |
| title_alt | О специальных квази-фильтрах в мультипликативном моноиде натуральных чисел On special quasi-filters on the multiplicative monoid to the natural numbers |
| title_full | Про спеціальні квазіфільтри в мультиплікативному моноїді натуральних чисел |
| title_fullStr | Про спеціальні квазіфільтри в мультиплікативному моноїді натуральних чисел |
| title_full_unstemmed | Про спеціальні квазіфільтри в мультиплікативному моноїді натуральних чисел |
| title_short | Про спеціальні квазіфільтри в мультиплікативному моноїді натуральних чисел |
| title_sort | про спеціальні квазіфільтри в мультиплікативному моноїді натуральних чисел |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7693 |
| work_keys_str_mv | AT olíinikrm prospecíalʹníkvazífílʹtrivmulʹtiplíkativnomumonoídínaturalʹnihčisel AT olíinikrm ospecialʹnyhkvazifilʹtrahvmulʹtiplikativnommonoidenaturalʹnyhčisel AT olíinikrm onspecialquasifiltersonthemultiplicativemonoidtothenaturalnumbers |