Екстраполяційний метод чисельного розв’язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь
З використанням нового підходу до побудови апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично, побудовано новий числовий метод екстраполяційного типу розв'язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Встановлено ознаку збіжності методу...
Saved in:
| Date: | 2008 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian |
| Published: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2008
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7698 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Екстраполяційний метод числового розв'язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь / Н.Р. Лещишин, Г.Г. Цегелик // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 104-110. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859722469124866048 |
|---|---|
| author | Лещишин, Н.Р. Цегелик, Г.Г. |
| author_facet | Лещишин, Н.Р. Цегелик, Г.Г. |
| citation_txt | Екстраполяційний метод числового розв'язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь / Н.Р. Лещишин, Г.Г. Цегелик // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 104-110. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. |
| collection | DSpace DC |
| description | З використанням нового підходу до побудови апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично, побудовано новий числовий метод екстраполяційного типу розв'язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Встановлено ознаку збіжності методу, наведено приклад. Метод найбільш ефективний у випадку, коли функції, що замінюються некласичними мажорантами Ньютона, є вгнутими.
С использованием нового подхода к построению аппарата неклассических мажорант и диаграмм Ньютона функций, заданных таблично, построен новый численный метод экстраполяционного типа решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Установлен признак сходимости метода.
The new approach to construction of the apparatus of non-classical Newtonian majorants and diagrams functions given tabularly has been used for construction a new numerical method extrapolation type of solving the Cauchy problem for systems of ordinary differential equations. The convergence of the method has been proved.
|
| first_indexed | 2025-12-01T10:33:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
ISSN 1810-3022. Ïðèêë. ïðîáëåìè ìåõ. ³ ìàò. – 2008. – Âèï. 6. – Ñ. 104–110.
ÓÄÊ 519.622.2
Н. Р. Лещишин, Г. Г. Цегелик
ЕКСТРАПОЛЯЦІЙНИЙ МЕТОД ЧИСЕЛЬНОГО РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧІ
КОШІ ДЛЯ СИСТЕМ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
Ç âèêîðèñòàííÿì íîâîãî ï³äõîäó äî ïîáóäîâè àïàðàòó íåêëàñè÷íèõ ìàæî-
ðàíò ³ ä³àãðàì Íüþòîíà ôóíêö³é, çàäàíèõ òàáëè÷íî, ïîáóäîâàíî íîâèé ÷è-
ñåëüíèé ìåòîä åêñòðàïîëÿö³éíîãî òèïó ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ Êîø³ äëÿ ñèñ-
òåì çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ïåðøîãî ïîðÿäêó. Âñòàíîâëåíî îçíà-
êó çá³æíîñò³ ìåòîäó, íàâåäåíî ïðèêëàä. Ìåòîä íàéá³ëüø åôåêòèâíèé ó âè-
ïàäêó, êîëè ôóíêö³¿, ùî çàì³íþþòüñÿ íåêëàñè÷íèìè ìàæîðàíòàìè Íüþòî-
íà, º âãíóòèìè.
Âñòóï. Ó ðîáîò³ [8] ç âèêîðèñòàííÿì àïàðàòó íåêëàñè÷íèõ ìàæîðàíò ³
ä³àãðàì Íüþòîíà ôóíêö³é, çàäàíèõ òàáëè÷íî [5], ïîáóäîâàíî íîâèé îäíîêðî-
êîâèé ÷èñåëüíèé ìåòîä ³íòåðïîëÿö³éíîãî òèïó ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ Êîø³
äëÿ çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ïåðøîãî ïîðÿäêó, äîâåäåíî éîãî
çá³æí³ñòü. Ó [2] çä³éñíåíî îá´ðóíòóâàííÿ ìåòîäó, âñòàíîâëåíî éîãî òî÷í³ñòü ³
ìàæîðàíòíó âëàñòèâ³ñòü. Ó [4] öåé ìåòîä óçàãàëüíåíî äëÿ ÷èñåëüíîãî ðîç-
â’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ Êîø³ äëÿ ñèñòåì çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü,
âñòàíîâëåíî îçíàêó çá³æíîñò³ ìåòîäó, â [1] ïîêàçàíî éîãî îá÷èñëþâàëüíó
ñò³éê³ñòü. Ïîðÿä ³ç ïîáóäîâîþ ÷èñåëüíèõ ìåòîä³â ³íòåðïîëÿö³éíîãî òèïó
ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ Êîø³ äëÿ çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ³ ¿õ
ñèñòåì áóëè ðîçðîáëåí³ ÷èñåëüí³ ìåòîäè åêñòðàïîëÿö³éíîãî òèïó [3, 7, 9].
Îäíàê óñ³ ö³ ïîáóäîâàí³ ÷èñåëüí³ ìåòîäè (³íòåðïîëÿö³éíîãî òà åêñòðàïîëÿ-
ö³éíîãî òèï³â) íàéá³ëüø åôåêòèâí³ â òîìó âèïàäêó, êîëè ôóíêö³¿, ùî çàì³-
íþþòüñÿ íåêëàñè÷íèìè ìàæîðàíòàìè Íüþòîíà, º îïóêëèìè.
Çàïðîïîíîâàíî òàêîæ ³íøèé ï³äõ³ä [10] äî ïîáóäîâè àïàðàòó íåêëàñè÷-
íèõ ìàæîðàíò ³ ä³àãðàì Íüþòîíà ôóíêö³é, çàäàíèõ òàáëè÷íî. Ç âèêîðèñòàí-
íÿì öüîãî ï³äõîäó òàì æå ïîáóäîâàíî íîâèé ÷èñåëüíèé ìåòîä ³íòåðïîëÿö³é-
íîãî òèïó ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ Êîø³ äëÿ çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³â-
íÿíü ïåðøîãî ïîðÿäêó, âñòàíîâëåíî éîãî çá³æí³ñòü òà îá÷èñëþâàëüíó ñò³é-
ê³ñòü. Öåé àïàðàò çàñòîñîâàíî â [6] äî ïîáóäîâè åêñòðàïîëÿö³éíîãî ìåòîäó
÷èñåëüíîãî ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ Êîø³ äëÿ çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³â-
íÿíü, âñòàíîâëåíî îçíàêó çá³æíîñò³ ìåòîäó, ïîêàçàíî éîãî îá÷èñëþâàëüíó
ñò³éê³ñòü. Ïîáóäîâàí³ ÷èñåëüí³ ìåòîäè ç âèêîðèñòàííÿì íîâîãî ï³äõîäó äî
ïîáóäîâè àïàðàòó íåêëàñè÷íèõ ìàæîðàíò ³ ä³àãðàì Íüþòîíà ôóíêö³é, çàäà-
íèõ òàáëè÷íî, íàéá³ëüø åôåêòèâí³ ó âèïàäêó, êîëè ôóíêö³¿, ùî çàì³íþþòü-
ñÿ íåêëàñè÷íèìè ìàæîðàíòàìè Íüþòîíà, º âãíóòèìè.
Ó ö³é ðîáîò³ ç âèêîðèñòàííÿì íîâîãî ï³äõîäó äî ïîáóäîâè àïàðàòó íå-
êëàñè÷íèõ ìàæîðàíò ³ ä³àãðàì Íüþòîíà ôóíêö³é, çàäàíèõ òàáëè÷íî, ïîáó-
äîâàíî ÷èñåëüíèé ìåòîä åêñòðàïîëÿö³éíîãî òèïó ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ Êîø³
äëÿ ñèñòåì çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü, âñòàíîâëåíî îçíàêó çá³æ-
íîñò³ ìåòîäó.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷³. Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó Êîø³ äëÿ ñèñòåìè çâè÷àéíèõ
äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü
1 2( , , , , )i
i n
dy
f x y y y
dx
= , (1)
0 ,0( )i iy x y= , 1,2, ,i n= . (2)
Íåõàé â îáëàñò³ D , ÿêà âèçíà÷àºòüñÿ íåð³âíîñòÿìè
0 0x x x a≤ ≤ + , ,0i iy y b− ≤ , 1,2, ,i n= ,
ôóíêö³¿ 1 2( , , , , )i nf x y y y , 1,2, ,i n= , íåïåðåðâí³ é çàäîâîëüíÿþòü óìîâó
Екстраполяційний метод чисельного розв’язування задачі Коші … 105
˳ïøèöÿ çà àðãóìåíòàìè 1 2, , , ny y y ç³ ñòàëîþ L . Òîä³ â ïðîì³æêó
0 0,x x c+[ ] çàäà÷à Êîø³ (1), (2) ìàòèìå ºäèíèé ðîçâ’ÿçîê, äå min ( , / )c a b M= ,
à M – ñòàëà òàêà, ùî 1 2( , , , , )i nf x y y y M≤ , 1,2, ,i n= , äëÿ âñ³õ 1( ,x y ,
2 , , )ny y D∈ .
Øóêàòèìåìî ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (1), (2) íà ïðîì³æêó 0 0,x x c+[ ] . Äëÿ öüîãî
íà ïðîì³æêó 0 0,x x c+[ ] âèáåðåìî ñèñòåìó òî÷îê 0 1, , , mx x x , äå kx =
0x kh= + , 0,1, ,k m= , /h c m= , ³, âèêîðèñòîâóþ÷è íîâèé ï³äõ³ä äî ïîáó-
äîâè àïàðàòó íåêëàñè÷íèõ ìàæîðàíò ³ ä³àãðàì Íüþòîíà ôóíêö³é, çàäàíèõ
òàáëè÷íî [10], ïîáóäóºìî ÷èñåëüíèé ìåòîä åêñòðàïîëÿö³éíîãî òèïó â³äøó-
êàííÿ íàáëèæåíèõ çíà÷åíü ,1 ,2 ,, , ,i i i my y y , 1,2, ,i n= , òî÷íîãî ðîçâ’ÿçêó
( )i iy y x= , 1,2, ,i n= , çàäà÷³ (1), (2) ó òî÷êàõ 1 2, , , mx x x .
Íîâèé ÷èñåëüíèé ìåòîä. Íåõàé ( )i iy y x= , 1,2, ,i n= , – øóêàíèé
ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (1), (2). ϳäñòàâëÿþ÷è éîãî â äèôåðåíö³àëüí³ ð³âíÿííÿ,
îäåðæèìî òîòîæíîñò³
1( ) ( , ( ), , ( ))i i ny x f x y x y x′ ≡ , 1,2, ,i n= .
Ïðî³íòåãðóâàâøè ö³ òîòîæíîñò³ íà êîæíîìó ç ïðîì³æê³â 1,k kx x +[ ] , 0k = ,
1, , 1m − , ìàòèìåìî
1
1 1( ) ( ) ( , ( ), , ( ))
k
k
x
i k i k i n
x
y x y x f x y x y x dx
+
+ = + ∫ , 1,2, ,i n= . (3)
Íå çìåíøóþ÷è çàãàëüíîñò³, ââàæàòèìåìî, ùî 1( , ( ), , ( )) 0i nf x y x y x > ,
1,2, ,i n= , äëÿ âñ³õ 0 0,x x x c∈ +[ ] .
Ïîáóäóºìî äëÿ ôóíêö³é 1( , ( ), , ( ))i nf x y x y x , 1,2, ,i n= , íåêëàñè÷í³
ìàæîðàíòè Íüþòîíà ( )
if
M x çà äâîìà òî÷êàìè 1 1 1 1, ( , ( ),k i k kx f x y x− − − ( ,
1( ))n ky x − ) ³ 1, ( , ( ), , ( ))k i k k n kx f x y x y x( ) . Îäåðæèìî
, ,
1
1
( ) ( )
( ) ln
i k i k
i
A B
k k
f
k k
e x x e x x
M x
x x
−
−
− + −
=
−
, 1,2, ,i n= , (4)
äå , 1 1 1 1( , ( ), , ( ))i k i k k n kA f x y x y x− − −= , , 1( , ( ), , ( ))i k i k k n kB f x y x y x= . Çàì³-
íèâøè ï³ä³íòåãðàëüí³ ôóíêö³¿ 1( , ( ), , ( ))i nf x y x y x ó (3) íåêëàñè÷íèìè ìà-
æîðàíòàìè Íüþòîíà (4), ä³ñòàíåìî
1
1 , 1( ) ( ) ( )
k
i
k
x
i k i k f i k
x
y x y x M x dx R
+
+ += + +∫ , 1,2, ,i n= ,
äå , 1i kR + – çàëèøêîâ³ ÷ëåíè. Îá÷èñëèâøè ïðè , ,i k i kA B≠ , 1,2, ,i n= , ³í-
òåãðàëè, ìàòèìåìî
1 1( ) ( ) ( , ( ), , ( )) 1i k i k i k k n ky x y x h f x y x y x+
= + − +
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 exp ( , ( ), , ( )) ( , ( ), , ( ))
1 exp ( , ( ), , ( )) ( , ( ), , ( ))
i k k n k i k k n k
i k k n k i k k n k
f x y x y x f x y x y x
f x y x y x f x y x y x
− − −
− − −
− −
+ ×
− −
( )
( )
1 1 1 1 1ln 2 exp ( ( , ( ), , ( )) ( , ( ), , ( )))i k k n k i k k n kf x y x y x f x y x y x− − −
× − − +
( )
, 1i kR ++ , 1,2, ,i n= .
106 Н. Р. Лещишин, Г. Г. Цегелик
ßêùî , ,i k i kA B= äëÿ äåÿêîãî i r= , òî
1 1 , 1( ) ( ) ( , ( ), , ( ))r k r k r k k n k r ky x y x hf x y x y x R+ += + + .
Çàçíà÷èìî, ùî íà îñíîâ³ ãðàíèö³
1/
0
lim (1 ) x
x
x e
→
+ = .
Îñê³ëüêè ïðè 0h →
1 1 1 1 1( , ( ), , ( )) ( , ( ), , ( )) 0k k n k k k n kf x y x y x f x y x y x− − −− → ,
îäåðæèìî
1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1
2 exp ( ( , ( ), , ( )) ( , ( ), , ( )))
lim
1 exp ( ( , ( ), , ( )) ( , ( ), , ( )))
i k k n k i k k n k
h i k k n k i k k n k
f x y x y x f x y x y x
f x y x y x f x y x y x
− − −
→ − − −
− −
×
− −
1 1 1 1 1ln 2 exp ( ( , ( ), , ( )) ( , ( ), , ( ))) 1.i k k n k i k k n kf x y x y x f x y x y x− − −× − − = ( ) (5)
Îòæå, äëÿ â³äøóêàííÿ íàáëèæåíèõ çíà÷åíü ,1 ,2 ,, , ,i i i my y y , 1i = ,
2, ,n , ðîçâ’ÿçêó ( )i iy y x= , 1,2, ,i n= , çàäà÷³ (1), (2) îäåðæóºìî ôîð-
ìóëó
, 1 , 1, ,( , , , ) 1i k i k i k k n ky y h f x y y+
= + − +
1 1, 1 , 1 1, ,
1 1, 1 , 1 1, ,
2 exp ( ( , , , ) ( , , , ))
1 exp ( ( , , , ) ( , , , ))
i k k n k i k k n k
i k k n k i k k n k
f x y y f x y y
f x y y f x y y
− − −
− − −
− −
+ ×
− −
1 1, 1 , 1 1, ,ln 2 exp ( ( , , , ) ( , , , ))i k k n k i k k n kf x y y f x y y− − −
× − −
( ) , (6)
äå 0,1, , 1k m= − , 1,2, ,i n= .
Ïèòàííÿ çá³æíîñò³ ìåòîäó. Ñïðàâäæóºòüñÿ òàêà
Òåîðåìà. ßêùî â îáëàñò³ ,D ÿêà âèçíà÷àºòüñÿ íåð³âíîñòÿìè 0x x≤ ≤
0x a≤ + , ,0i iy y b− ≤ , 1,2, ,i n= , ôóíêö³¿ 1( , , , )i nf x y y , 1,2, ,i n= ,
íåïåðåðâí³, çàäîâîëüíÿþòü óìîâó ˳ïøèöÿ ç³ ñòàëîþ L çà àðãóìåíòàìè
1 2, , , ny y y ³
1
1
i i i i
n i
n
df f f f
f f N
dx x y y
∂ ∂ ∂
= + + + ≤ < ∞
∂ ∂ ∂
, 1,2, ,i n= , (7)
äå iN – äåÿê³ ñòàë³, òî íàáëèæåí³ çíà÷åííÿ ,1 ,2 ,, , ,i i i my y y , 1,2, ,i n= ,
çíàéäåí³ çà ôîðìóëîþ (6), ïðè 0h → ð³âíîì³ðíî â³äíîñíî x çá³ãàþòüñÿ äî
òî÷íîãî ðîçâ’ÿçêó ( )i iy y x= , 1,2, ,i n= , çàäà÷³ (1), (2).
Ä î â å ä å í í ÿ. Çàçíà÷èìî, ùî àíàëîã³÷íî äî (5) îòðèìóºìî ãðàíèöþ
1 1, 1 , 1 1, ,
0 1 1, 1 , 1 1, ,
2 exp ( ( , , , ) ( , , , ))
lim
1 exp ( ( , , , ) ( , , , ))
i k k n k i k k n k
h i k k n k i k k n k
f x y y f x y y
f x y y f x y y
− − −
→ − − −
− −
×
− −
1 1, 1 , 1 1, ,ln 2 exp( ( , , , ) ( , , , )) 1i k k n k i k k n kf x y y f x y y− − −× − − = ( ) . (8)
Íåõàé , , ( )i k i k i ky y xε = − , 1,2, ,i n= , – ïîõèáêà íàáëèæåíîãî çíà÷åí-
íÿ ðîçâ’ÿçêó ( )i iy y x= çàäà÷³ (1), (2) ó òî÷ö³ kx x= . Òîä³ ïðèð³ñò ïîõèáêè
íà ( 1)k + -ìó êðîö³ äîð³âíþâàòèìå
Екстраполяційний метод чисельного розв’язування задачі Коші … 107
, , 1 , , 1 , 1( ) ( ( ) ( ))i k i k i k i k i k i k i ky y y x y x+ + +∆ε = ε − ε = − − − =
1, ,( , , , )i k k n kh f x y y= −
1 1, 1 , 1 1, ,
1 1, 1 , 1 1, ,
2 exp ( ( , , , ) ( , , , ))
1
1 exp ( ( , , , ) ( , , , ))
i k k n k i k k n k
i k k n k i k k n k
f x y y f x y y
f x y y f x y y
− − −
− − −
− −
− + ×
− −
1 1, 1 , 1 1, ,ln 2 exp ( ( , , , ) ( , , , ))i k k n k i k k n kf x y y f x y y− − −
× − − −
( )
1
1( , ( ), , ( ))
k
k
x
i n
x
f x y x y x dx
+
− ∫ .
Îñê³ëüêè
11
1 1 1( , ( ), , ( )) ( ) ( , ( ), , ( ))|
kk
k
k
xx
i n k i nx
x
f x y x y x dx x x f x y x y x
++
+= − −∫
1 1
1 1 1( ) ( , ( ), , ( )) ( )
k k
k k
x x
i i
k i k k n k k
x x
df df
x x dx hf x y x y x x x dx
dx dx
+ +
+ +− − = − −∫ ∫ ,
òî
, 1, , 1( , , , ) ( , ( ), , ( )i k i k k n k i k k n kh f x y y f x y x y x∆ε = − + ( )
1 1, 1 , 1 1, ,
1 1, 1 , 1 1, ,
2 exp ( ( , , , ) ( , , , ))
1 exp ( ( , , , ) ( , , , ))
i k k n k i k k n k
i k k n k i k k n k
f x y y f x y y
h
f x y y f x y y
− − −
− − −
− −
+ × − −
1 1, 1 , 1 1, ,ln 2 exp ( ( , , , ) ( , , , )) 1i k k n k i k k n kf x y y f x y y− − −
× − − − +
( )
1
1( )
k
k
x
i
k
x
df
x x dx
dx
+
++ −∫ .
Íà ï³äñòàâ³ (8) ìîæåìî çàïèñàòè
1 1, 1 , 1 1, ,
1 1, 1 , 1 1, ,
2 exp ( ( , , , ) ( , , , ))
1 exp ( ( , , , ) ( , , , ))
i k k n k i k k n k
i k k n k i k k n k
f x y y f x y y
f x y y f x y y
− − −
− − −
− −
×
− −
1 1, 1 , 1 1, , ,ln 2 exp ( ( , , , ) ( , , , )) 1 ( )i k k n k i k k n k i kf x y y f x y y h− − −× − − − = δ ( ) ,
äå , ( ) 0i k hδ → ïðè 0h → . Òîìó
, 1, , 1( , , , ) ( , ( ), , ( ))i k i k k n k i k k n kh f x y y f x y x y x∆ε = − + ( )
1
, 1( ) ( )
k
k
x
i
i k k
x
df
h h x x dx
dx
+
++ δ + −∫ .
Âèêîðèñòîâóþ÷è óìîâó ˳ïøèöÿ çà àðãóìåíòàìè 1 2, , , ny y y , îäåðæóºìî
1, , 1( , , , ) ( , ( ), , ( ))i k k n k i k k n kf x y y f x y x y x− ≤
, ,
1 1
( )
n n
j k j k j k
j j
L y y x L
= =
≤ − = ε∑ ∑ .
ßêùî ïîçíà÷èòè
,
1
maxk j k
j n≤ ≤
ε = ε ,
108 Н. Р. Лещишин, Г. Г. Цегелик
òî îñòàííþ íåð³âí³ñòü ìîæíà ïåðåïèñàòè òàê:
1, , 1( , , , ) ( , ( ), , ( ))i k k n k i k k n k kf x y y f x y x y x n L− ≤ ε .
Íà ï³äñòàâ³ óìîâè (7) îäåðæèìî
1 1
2
1 1
1( )
2
k k
k k
x x
i
k k
x x
df
x x dx N x x dx Nh
dx
+ +
+ +− ≤ − =∫ ∫ ,
äå
1
max i
i n
N N
≤ ≤
= .
Îòæå, äëÿ âñ³õ 1,2, ,i n=
2
, ,
1 ( )
2i k k i kn Lh Nh h h∆ε ≤ ε + + δ .
ßêùî ïîçíà÷èòè
,
1
max i k k
i n≤ ≤
∆ε = ∆ε , ,
1
max ( ) ( )i k k
i n
h h
≤ ≤
δ = δ ,
òî
21 ( )
2k k kn Lh Nh h h∆ε ≤ ε + + δ .
Îñê³ëüêè
, , 1 , , 1 ,
1 1 1 1
max max max maxi k i k i k i k i k
i n i n i n i n
+ +≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
∆ε = ε − ε ≥ ε − ε ,
òî
1k k k+ε − ε ≤ ∆ε
àáî
2
1
1 ( )
2k k k kn Lh Nh h h+ε − ε ≤ ε + + δ .
Çâ³äñè
2
1
1(1 ) ( )
2k k kn Lh Nh h h+ε ≤ + ε + + δ .
ϳäñòàâèâøè â öþ ôîðìóëó 0,1, , 1k m= − , âðàõîâóþ÷è, ùî 0 0ε = , îäåð-
æèìî
2
1 0
1 ( )
2
Nh h hε ≤ + δ ,
2
2 1 1
1(1 ) ( )
2
nLh Nh h hε ≤ + ε + + δ ≤
2
0 1
1 ((1 ) 1) ((1 ) ( ) ( ))
2
Nh nLh h nLh h h≤ + + + + δ + δ ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
2
1 1
1(1 ) ( )
2m m mnLh Nh h h− −ε ≤ + ε + + δ ≤
2 1 21 ((1 ) (1 ) 1)
2
m mNh nLh nLh− −≤ + + + + + +
1 2
0 1 1(1 ) ( ) (1 ) ( ) ( )m m
mh nLh h nLh h h− −
−+ + δ + + δ + + δ( ) .
Íåõàé
0 1
max ( ) ( )k
k m
h h
≤ ≤ −
δ = δ .
Òîä³
2 1 21 ( ) (1 ) (1 ) 1
2
m m
m Nh h h nLh nLh
− −ε ≤ + δ + + + + +( )
Екстраполяційний метод чисельного розв’язування задачі Коші … 109
àáî
1 1 ( ) (1 ) 1
2
m
m Nh h nLh
nL
ε ≤ + δ + −( ) .
Îñê³ëüêè ïðè 0u > âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü 1ue u> + , òî
1 1 ( ) 1
2
nmhL
m Nh h e
nL
ε ≤ + δ −( ) .
ßêùî âðàõóâàòè, ùî mh c= , òî îñòàòî÷íî îäåðæóºìî
1 1 ( ) 1
2
cnL
m Nh h e
nL
ε ≤ + δ −( ) .
Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî ïðè 0h → íåçàëåæíî â³ä x ìàºìî 0mε → . À öå îç-
íà÷àº, ùî íàáëèæåí³ çíà÷åííÿ ,1 ,2 ,, , ,i i i my y y , 1,2, ,i n= , ïðè 0h → ð³â-
íîì³ðíî â³äíîñíî x çá³ãàþòüñÿ äî òî÷íîãî ðîçâ’ÿçêó ( )i iy y x= , 1,2, ,i n= ,
çàäà÷³ (1), (2). Òåîðåìó äîâåäåíî. ◊
Ïðèêëàä. Çíàéòè ÷èñåëüíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ Êîø³
2
11 ,
,
y
z
z z
′ = +
′ =
(0) 1, (0) 0.5y z= = −
íà ïðîì³æêó 0,1[ ] ç êðîêîì 0.1h = . Òî÷íèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³
2
1
2
xy x∗ = − − , 1
2
z
x
∗ = −
+
.
Ðåçóëüòàòè ÷èñåëüíîãî ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ çà äîïîìîãîþ ïîáóäîâàíî-
ãî ìåòîäó, ìåòîäó Åéëåðà òà òðàïåö³é íàâåäåíî â òàáë. 1.
Таблиця 1
Ìåòîä Åéëåðà Ìåòîä òðàïåö³é Íîâèé ìåòîä Òî÷íèé ðîçâ’ÿçîê
ix
iy iz iy iz iy iz iy iz
0 1 –0.5 1 –0.5 1 –0.5 1 –0.5
0.1 0.9 –0.475 0.89470 –0.47622 0.9 –0.475 0.895 –0.47619
0.2 0.78947 –0.45244 0.77950 –0.45459 0.7837 –0.45368 0.780 –0.45455
0.3 0.66845 –0.43197 0.65428 –0.43485 0.6579 –0.43410 0.655 –0.43478
0.4 0.53695 –0.41331 0.51909 –0.41674 0.5221 –0.41614 0.520 –0.41667
0.5 0.395 –0.39623 0.37390 –0.40008 0.3764 –0.39960 0.375 –0.4
0.6 0.24262 –0.38053 0.21876 –0.38470 0.2207 –0.38431 0.220 –0.38462
0.7 0.07982 –0.36605 0.05360 –0.37046 0.0551 –0.37015 0.055 –0.37037
0.8 –0.09337 –0.35265 –0.12150 –0.35724 –0.1205 –0.35699 –0.120 –0.35714
0.9 –0.27694 –0.34021 –0.30660 –0.34492 –0.3060 –0.34473 –0.305 –0.34483
1 –0.47087 –0.32864 –0.50170 –0.33343 –0.5016 –0.33327 –0.50 –0.33333
ßê âèäíî ç òàáëèö³, äëÿ ðîçãëÿíóòîãî ïðèêëàäó òî÷í³ñòü ìåòîäó 3( )O h .
Âèñíîâêè. Ç âèêîðèñòàííÿì íîâîãî ï³äõîäó äî ïîáóäîâè àïàðàòó íå-
êëàñè÷íèõ ìàæîðàíò ³ ä³àãðàì Íüþòîíà ôóíêö³é, çàäàíèõ òàáëè÷íî, ïîáó-
äîâàíî ÷èñåëüíèé ìåòîä åêñòðàïîëÿö³éíîãî òèïó ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ Êîø³
äëÿ ñèñòåì çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü, âñòàíîâëåíî îçíàêó çá³æ-
íîñò³ ìåòîäó. Ìåòîä íàéá³ëüø åôåêòèâíèé ó âèïàäêó, êîëè ôóíêö³¿, ùî çà-
ì³íþþòüñÿ íåêëàñè÷íèìè ìàæîðàíòàìè Íüþòîíà, º âãíóòèìè. ²äåÿ ðîçðîáêè
÷èñåëüíèõ ìåòîä³â íà îñíîâ³ îáîõ ï³äõîä³â äî ïîáóäîâè àïàðàòó íåêëàñè÷-
íèõ ìàæîðàíò ³ ä³àãðàì Íüþòîíà ôóíêö³é ìîæå áóòè óñï³øíî âèêîðèñòàíà
äëÿ ðîçðîáêè äâîá³÷íèõ ÷èñåëüíèõ ìåòîä³â.
110 Н. Р. Лещишин, Г. Г. Цегелик
1. Ãëåáåíà Ì. ²., Öåãåëèê Ã. Ã. Ïðî îá÷èñëþâàëüíó ñò³éê³ñòü ³íòåðïîëÿö³éíîãî ìåòî-
äó ìàæîðàíòíîãî òèïó ðîçâÿçóâàííÿ çàäà÷³ Êîø³ äëÿ ñèñòåìè çâè÷àéíèõ äèôå-
ðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü // Íàóê. â³ñí. Óæãîðîä. óí-òó. Ñåð. ìàòåìàòèêà ³ ³íôîðìà-
òèêà. – 2008. – Âèï. 16. – Ñ. 53–56.
2. Ãðèïèíñüêà Í. Íåë³í³éíèé, íåÿâíèé, îäíîêðîêîâèé ÷èñåëüíèé ìåòîä ðîçâ’ÿçó-
âàííÿ çàäà÷³ Êîø³ äëÿ çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ïåðøîãî ïîðÿäêó //
³ñí. Ëüâ³â. óí-òó. Ñåð. Ïðèêë. ìàòåìàòèêà òà ³íôîðìàòèêà. – 2002. – Âèï. 4. –
Ñ. 23–29.
3. ϳäê³âêà Ë., Öåãåëèê Ã., Ãðèïèíñüêà Í. Ïðî òî÷í³ñòü åêñòðàïîëÿö³éíîãî ìåòîäó
ìàæîðàíòíîãî òèïó ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ Êîø³ äëÿ çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëü-
íèõ ð³âíÿíü // ³ñí. Ëüâ³â. óí-òó. Ïðèêë. ìàòåìàòèêà òà ³íôîðìàòèêà. – 2003. –
Âèï. 6. – Ñ. 86–89.
4. Öåãåëèê Ã. Ã. Íåë³í³éíèé, íåÿâíèé, îäíîêðîêîâèé ÷èñåëüíèé ìåòîä ðîçâ’ÿçóâàí-
íÿ çàäà÷³ Êîø³ äëÿ ñèñòåì çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü // Ïðèêë. ïðîá-
ëåìè ìåõàí³êè ³ ìàòåìàòèêè. – 2005. – Âèï. 3. – Ñ. 21–27.
5. Öåãåëèê Ã. Ã. Òåîðèÿ ìàæîðàíò è äèàãðàìì Íüþòîíà ôóíêöèé, çàäàííûõ òàá-
ëè÷íî, è åå ïðèëîæåíèå // Óêð. ìàò. æóðí. – 1989. – 41, ¹ 9. – Ñ. 1273–1276.
6. Öåãåëèê Ã. Ã., Ëåùèøèí Í. Ð. Åêñòðàïîëÿö³éíèé ìåòîä ÷èñåëüíîãî ðîçâ’ÿçóâàí-
íÿ çàäà÷³ Êîø³ äëÿ çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü // Âîëèí. ìàò. â³ñí.
Ñåð. Ïðèêë. ìàòåìàòèêà. – 2008. – Âèï. 5 (14). – Ñ. 265–276.
7. Öåãåëèê Ã., ϳäê³âêà Ë., Ôåä÷èøèí Í. Åêñòðàïîëÿö³éíèé ìåòîä ìàæîðàíòíîãî
òèïó ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ Êîø³ äëÿ çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü //
³ñí. Ëüâ³â. óí-òó. Ñåð. Ïðèêë. ìàòåìàòèêà òà ³íôîðìàòèêà. – 2002. – Âèï. 4. –
Ñ. 76–82.
8. Öåãåëèê Ã. Ã., Ôåä÷èøèí Í. Â. ²íòåðïîëÿö³éíèé ìåòîä ìàæîðàíòíîãî òèïó ðîç-
â’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ Êîø³ äëÿ çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü // Äîï. ÍÀÍ
Óêðà¿íè. – 2002. – ¹ 2. – Ñ. 37–43.
9. Ôóíäàê Ë., Öåãåëèê Ã. Åêñòðàïîëÿö³éíèé ìåòîä ìàæîðàíòíîãî òèïó ðîçâ’ÿçóâàí-
íÿ çàäà÷³ Êîø³ äëÿ ñèñòåì çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü // ³ñí. Ëüâ³â.
óí-òó. Ñåð. Ïðèêë. ìàòåìàòèêà òà ³íôîðìàòèêà. – 2005. – Âèï. 10. – Ñ. 41–48.
10. Ôóíäàê Ë. ²., Öåãåëèê Ã. Ã. Íîâèé ï³äõ³ä äî ïîáóäîâè àïàðàòó íåêëàñè÷íèõ ìà-
æîðàíò ³ ä³àãðàì Íüþòîíà ôóíêö³é òà éîãî çàñòîñóâàííÿ // Âîëèí. ìàò. â³ñí.
Ñåð. Ïðèêë. ìàòåìàòèêà. – 2005. – Âèï. 3 (12). – Ñ. 186–200.
ЭКСТРАПОЛЯЦИОННЫЙ МЕТОД ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Ñ èñïîëüçîâàíèåì íîâîãî ïîäõîäà ê ïîñòðîåíèþ àïïàðàòà íåêëàññè÷åñêèõ ìàæî-
ðàíò è äèàãðàìì Íüþòîíà ôóíêöèé, çàäàííûõ òàáëè÷íî, ïîñòðîåí íîâûé ÷èñ-
ëåííûé ìåòîä ýêñòðàïîëÿöèîííîãî òèïà ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ ñèñòåì îáûê-
íîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà. Óñòàíîâëåí ïðèçíàê
ñõîäèìîñòè ìåòîäà.
EXTRAPOLATION METHOD OF NUMERICAL SOLVING THE CAUCHY PROBLEM
FOR SYSTEMS OF ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
The new approach to construction of the apparatus of non-classical Newtonian majo-
rants and diagrams functions given tabularly has been used for construction a new nu-
merical method extrapolation type of solving the Cauchy problem for systems of ordi-
nary differential equations. The convergence of the method has been proved.
Ëüâ³â. íàö. óí-ò ³ì. ²âàíà Ôðàíêà, Ëüâ³â Îäåðæàíî
04.09.08
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7698 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1810-3022 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-12-01T10:33:35Z |
| publishDate | 2008 |
| publisher | Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Лещишин, Н.Р. Цегелик, Г.Г. 2010-04-08T10:16:17Z 2010-04-08T10:16:17Z 2008 Екстраполяційний метод числового розв'язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь / Н.Р. Лещишин, Г.Г. Цегелик // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 104-110. — Бібліогр.: 10 назв. — укp. 1810-3022 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7698 519.622.2 З використанням нового підходу до побудови апарату некласичних мажорант і діаграм Ньютона функцій, заданих таблично, побудовано новий числовий метод екстраполяційного типу розв'язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку. Встановлено ознаку збіжності методу, наведено приклад. Метод найбільш ефективний у випадку, коли функції, що замінюються некласичними мажорантами Ньютона, є вгнутими. С использованием нового подхода к построению аппарата неклассических мажорант и диаграмм Ньютона функций, заданных таблично, построен новый численный метод экстраполяционного типа решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Установлен признак сходимости метода. The new approach to construction of the apparatus of non-classical Newtonian majorants and diagrams functions given tabularly has been used for construction a new numerical method extrapolation type of solving the Cauchy problem for systems of ordinary differential equations. The convergence of the method has been proved. uk Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України Екстраполяційний метод чисельного розв’язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь Экстраполяционный метод численного решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений Extrapolation method of numerical solving the Cauchy problem for systems of ordinary differential equations Article published earlier |
| spellingShingle | Екстраполяційний метод чисельного розв’язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь Лещишин, Н.Р. Цегелик, Г.Г. |
| title | Екстраполяційний метод чисельного розв’язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь |
| title_alt | Экстраполяционный метод численного решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений Extrapolation method of numerical solving the Cauchy problem for systems of ordinary differential equations |
| title_full | Екстраполяційний метод чисельного розв’язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь |
| title_fullStr | Екстраполяційний метод чисельного розв’язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь |
| title_full_unstemmed | Екстраполяційний метод чисельного розв’язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь |
| title_short | Екстраполяційний метод чисельного розв’язування задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь |
| title_sort | екстраполяційний метод чисельного розв’язування задачі коші для систем звичайних диференціальних рівнянь |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7698 |
| work_keys_str_mv | AT leŝišinnr ekstrapolâcíiniimetodčiselʹnogorozvâzuvannâzadačíkošídlâsistemzvičainihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT cegelikgg ekstrapolâcíiniimetodčiselʹnogorozvâzuvannâzadačíkošídlâsistemzvičainihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT leŝišinnr ékstrapolâcionnyimetodčislennogorešeniâzadačikošidlâsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenii AT cegelikgg ékstrapolâcionnyimetodčislennogorešeniâzadačikošidlâsistemobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenii AT leŝišinnr extrapolationmethodofnumericalsolvingthecauchyproblemforsystemsofordinarydifferentialequations AT cegelikgg extrapolationmethodofnumericalsolvingthecauchyproblemforsystemsofordinarydifferentialequations |