Классификация состояний равновесия магнетиков с векторным и квадрупольным параметрами порядка
Проведена классификация состояний равновесия магнитных конденсированных сред, симметрия которых спонтанно нарушена относительно поворотов в спиновом пространстве и трансляций в конфигурационном пространстве. Рассмотрены случаи векторного и тензорного параметров порядка, обладающих различными трансфо...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2007
|
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7720 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Классификация состояний равновесия магнетиков с векторным и квадрупольным параметрами порядка / Д.А. Демьяненко, М.Ю. Ковалевский // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 11. — С. 1271-1281. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860004909633503232 |
|---|---|
| author | Демьяненко, Д.А. Ковалевский, М.Ю. |
| author_facet | Демьяненко, Д.А. Ковалевский, М.Ю. |
| citation_txt | Классификация состояний равновесия магнетиков с векторным и квадрупольным параметрами порядка / Д.А. Демьяненко, М.Ю. Ковалевский // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 11. — С. 1271-1281. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Проведена классификация состояний равновесия магнитных конденсированных сред, симметрия которых спонтанно нарушена относительно поворотов в спиновом пространстве и трансляций в конфигурационном пространстве. Рассмотрены случаи векторного и тензорного параметров порядка, обладающих различными трансформационными свойствами при отражении времени. Сформулированы условия ненарушенной симметрии и пространственной симметрии состояний равновесия для таких сред. В случае векторного параметра порядка выяснена связь этих условий симметрии с пара-, ферро-, антиферро-, ферри- и спиральными магнитными состояниями. Выяснена связь указанных условий симметрии с квадрупольными магнитными состояниями - одно- и двухосными магнитными нематиками, магнитными холестериками и двойной магнитной спиралью.
Проведено класифікацію станів рівноваги магнітних конденсованих середовищ, симетрія яких спонтанно порушена щодо поворотів у спіновому просторі й трансляцій у конфігураційному просторі. Розглянуто випадки векторного та тензорного параметрів порядку, які мають різні трансформаційні властивості при відбитті часу. Сформульовано умови непорушеної симетрії й просторової симетрії станів рівноваги для таких середовищ. У випадку векторного параметра порядку з’ясовано зв’язок цих умов симетрії з пара-, феро-, антиферо-, фери-і спіральними магнітними станами. З’ясовано зв’язок зазначених умов симетрії із квадрупольними магнітними станами — одно-та двохосьовими магнітними нематиками, магнітними холестериками й подвійною магнітною спіраллю.
The classification of equilibrium states of magnetic condensed media, the symmetry of which is spontaneously broken relative to rotations in the spin space and translations in the configuration space, is carried out. The cases of vector and tensor order parameters are considered. The conditions of an unbroken symmetry and a spatial symmetry of the equilibrium states is formulated. The connection of these symmetry conditions with ferromagnetic, antiferromagnetic, ferrimagnetic and spiral magnetic states is found out for the case of vector order parameter. The connection of the above symmetry conditions with quadrupole magnetic states — uniaxial and biaxial magnetic nematics, magnetic cholesterics and dual spiral magnetic — is established.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:38:24Z |
| format | Article |
| fulltext |
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 11, ñ. 1271–1281
Êëàññèôèêàöèÿ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ ìàãíåòèêîâ ñ
âåêòîðíûì è êâàäðóïîëüíûì ïàðàìåòðàìè ïîðÿäêà
Ä.À. Äåìüÿíåíêî
Õàðüêîâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Â.Í. Êàðàçèíà, ïë. Ñâîáîäû, 4, ã. Õàðüêîâ, 61077, Óêðàèíà
Ì.Þ. Êîâàëåâñêèé
Íàöèîíàëüíûé íàó÷íûé öåíòð «Õàðüêîâñêèé ôèçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò»
óë. Àêàäåìè÷åñêàÿ,1, ã. Õàðüêîâ, 61108, Óêðàèíà
Áåëãîðîäñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò, óë. Ïîáåäû, 85, ã. Áåëãîðîä, 308015, Ðîññèÿ
mikov@kharkov.ua
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 31 ìàÿ 2007 ã.
Ïðîâåäåíà êëàññèôèêàöèÿ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ ìàãíèòíûõ êîíäåíñèðîâàííûõ ñðåä, ñèììåòðèÿ
êîòîðûõ ñïîíòàííî íàðóøåíà îòíîñèòåëüíî ïîâîðîòîâ â ñïèíîâîì ïðîñòðàíñòâå è òðàíñëÿöèé â êîí-
ôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå. Ðàññìîòðåíû ñëó÷àè âåêòîðíîãî è òåíçîðíîãî ïàðàìåòðîâ ïîðÿäêà, îá-
ëàäàþùèõ ðàçëè÷íûìè òðàíñôîðìàöèîííûìè ñâîéñòâàìè ïðè îòðàæåíèè âðåìåíè. Ñôîðìóëèðîâàíû
óñëîâèÿ íåíàðóøåííîé ñèììåòðèè è ïðîñòðàíñòâåííîé ñèììåòðèè ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ äëÿ òàêèõ
ñðåä.  ñëó÷àå âåêòîðíîãî ïàðàìåòðà ïîðÿäêà âûÿñíåíà ñâÿçü ýòèõ óñëîâèé ñèììåòðèè ñ ïàðà-, ôåð-
ðî-, àíòèôåððî-, ôåððè- è ñïèðàëüíûìè ìàãíèòíûìè ñîñòîÿíèÿìè. Âûÿñíåíà ñâÿçü óêàçàííûõ óñëî-
âèé ñèììåòðèè ñ êâàäðóïîëüíûìè ìàãíèòíûìè ñîñòîÿíèÿìè — îäíî- è äâóõîñíûìè ìàãíèòíûìè íå-
ìàòèêàìè, ìàãíèòíûìè õîëåñòåðèêàìè è äâîéíîé ìàãíèòíîé ñïèðàëüþ.
Ïðîâåäåíî êëàñèô³êàö³þ ñòàí³â ð³âíîâàãè ìàãí³òíèõ êîíäåíñîâàíèõ ñåðåäîâèù, ñèìåòð³ÿ ÿêèõ
ñïîíòàííî ïîðóøåíà ùîäî ïîâîðîò³â ó ñï³íîâîìó ïðîñòîð³ é òðàíñëÿö³é ó êîíô³ãóðàö³éíîìó ïðî-
ñòîð³. Ðîçãëÿíóòî âèïàäêè âåêòîðíîãî òà òåíçîðíîãî ïàðàìåòð³â ïîðÿäêó, ÿê³ ìàþòü ð³çí³ òðàíñôîð-
ìàö³éí³ âëàñòèâîñò³ ïðè â³äáèòò³ ÷àñó. Ñôîðìóëüîâàíî óìîâè íåïîðóøåíî¿ ñèìåò𳿠é ïðîñòîðîâî¿ ñè-
ìåò𳿠ñòàí³â ð³âíîâàãè äëÿ òàêèõ ñåðåäîâèù. Ó âèïàäêó âåêòîðíîãî ïàðàìåòðà ïîðÿäêó ç’ÿñîâàíî
çâ’ÿçîê öèõ óìîâ ñèìåò𳿠ç ïàðà-, ôåðî-, àíòèôåðî-, ôåðè- ³ ñï³ðàëüíèìè ìàãí³òíèìè ñòàíàìè. Ç’ÿñî-
âàíî çâ’ÿçîê çàçíà÷åíèõ óìîâ ñèìåò𳿠³ç êâàäðóïîëüíèìè ìàãí³òíèìè ñòàíàìè — îäíî- òà
äâîõîñüîâèìè ìàãí³òíèìè íåìàòèêàìè, ìàãí³òíèìè õîëåñòåðèêàìè é ïîäâ³éíîþ ìàãí³òíîþ ñï³ðàëëþ.
PACS: 75.40.Cx Ñòàòè÷åñêèå ñâîéñòâà (ïàðàìåòð ïîðÿäêà, ñòàòè÷åñêàÿ âîñïðèèì÷èâîñòü,
òåïëîåìêîñòè, êðèòè÷åñêèå èíäåêñû è ò.ä.).
Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìàãíåòèêè, ôàçîâûå ïåðåõîäû, ïàðàìåòð ïîðÿäêà, êâàçèñðåäíèå, ñèììåòðèÿ,
ðàñïðåäåëåíèå Ãèááñà, ñïèíîâûé íåìàòèê.
Ââåäåíèå
Ôàçîâûå ïåðåõîäû II ðîäà ñîïðîâîæäàþòñÿ èçìå-
íåíèåì ñèììåòðèè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû
ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç êðèòè÷åñêóþ òåìïåðàòóðó. Àäåê-
âàòíîå îïèñàíèå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ â êîíäåíñèðî-
âàííûõ ñðåäàõ ñ íàðóøåííîé ñèììåòðèåé íèæå êðèòè-
÷åñêîé òåìïåðàòóðû òðåáóåò ââåäåíèÿ â òåîðèþ
äîïîëíèòåëüíûõ òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, íå
ñâÿçàííûõ ñ çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ, à îáóñëîâëåííûõ
ôèçè÷åñêîé ïðèðîäîé íîâîé ôàçû.  ñîîòâåòñòâèè ñ
ôåíîìåíîëîãèåé êëàññèôèêàöèè ñîñòîÿíèé ðàâíî-
âåñèÿ âûðîæäåííûõ êîíäåíñèðîâàííûõ ñðåä [1] íåîá-
õîäèìî çíàíèå â ÿâíîì âèäå ñâîáîäíîé ýíåðãèè êàê
ôóíêöèè ïàðàìåòðà ïîðÿäêà. Ìèíèìèçàöèÿ ñâîáîä-
íîé ýíåðãèè ïî ïàðàìåòðó ïîðÿäêà è âîçíèêàþùåå
ïðè ýòîì óðàâíåíèå íà ðàâíîâåñíóþ ñòðóêòóðó ïàðà-
ìåòðà ïîðÿäêà èìååò â îáùåì ñëó÷àå íåëèíåéíûé
õàðàêòåð. Òåîðåòèêî-ãðóïïîâîé ïîäõîä [2,3], íå çàâè-
ñÿùèé îò êîíêðåòíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, èñ-
ïîëüçóåò ïðåäñòàâëåíèå î íåíàðóøåííîé ñèììåòðèè
© Ä.À. Äåìüÿíåíêî, Ì.Þ. Êîâàëåâñêèé, 2007
âûðîæäåííîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ êàê ïîäãðóïïå
ñèììåòðèè íîðìàëüíîé ôàçû.
Êëàññèôèêàöèÿ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ ìàãíèòíûõ
ñîñòîÿíèé â íàñòîÿùåé ðàáîòå îñóùåñòâëÿåòñÿ èñõîäÿ
èç óñëîâèé íåíàðóøåííîé è ïðîñòðàíñòâåííîé ñèì-
ìåòðèè ïðè íåíóëåâûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ïîðÿäêà.
Äåòàëüíî ðàññìîòðåíû ìàãíåòèêè ñ âåêòîðíûì è
êâàäðóïîëüíûì ïàðàìåòðàìè ïîðÿäêà. Ýòè ïàðàìåòðû
èìåþò ðàçëè÷íóþ ÷åòíîñòü ïðè ïðåîáðàçîâàíèè îòðà-
æåíèÿ âðåìåíè. Â ðàçâèâàåìîì íàìè ïîäõîäå óðàâíåíèÿ
íà ðàâíîâåñíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ïîðÿäêà ïîëó÷àþò-
ñÿ ëèíåéíûìè. Äàíà ôèçè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ïîëó-
÷åííûõ ðåøåíèé äëÿ âåêòîðíîãî è êâàäðóïîëüíîãî ïà-
ðàìåòðîâ ïîðÿäêà.
1. Ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ íîðìàëüíûõ
êîíäåíñèðîâàííûõ ñðåä
Ðàâíîâåñíûé ñòàòèñòè÷åñêèé îïåðàòîð Ãèááñà äëÿ
ìàãíèòíûõ ñðåä èìååò âèä
� exp( ( ) � )w Y Ya a� �� � , (1)
ãäå Ya — òåðìîäèíàìè÷åñêèå ñèëû, ñîïðÿæåííûå
àääèòèâíûì èíòåãðàëàì äâèæåíèÿ, � ( � , � , � )� �a kH P S� ,
a k� 0, ,�. Çäåñü �
�( )H d x x� � 3 � — ãàìèëüòîíèàí,
�
� ( )P d x xk k� � 3 — èìïóëüñ, ñïèí �
� ( )S d xs x� �� � 3 .
Îñòàëüíûå èíòåãðàëû äâèæåíèÿ íå ñóùåñòâåííû äëÿ
èññëåäîâàíèÿ çàäà÷è êëàññèôèêàöèè ñîñòîÿíèé ðàâ-
íîâåñèÿ ìàãíèòíûõ ñðåä.
Âõîäÿùèå â ïîäûíòåãðàëüíûå âûðàæåíèÿ îïåðàòî-
ðû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïëîòíîñòè àääèòèâíûõ èíòåã-
ðàëîâ äâèæåíèÿ. Òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîòåíöèàë �(Y)
îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè Sp �w �1. Íàáîð
òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ñèë âêëþ÷àåò â ñåáÿ Y T0
1� � —
òåìïåðàòóðó, � �Y /Y vk k0 — íîðìàëüíóþ ñêîðîñòü,
� �Y /Y h� �0 — ýôôåêòèâíîå ìàãíèòíîå ïîëå.
Ñôîðìóëèðóåì ñâîéñòâà ñèììåòðèè ñîñòîÿíèÿ ðàâ-
íîâåñèÿ. Óñëîâèå ïðîñòðàíñòâåííîé îäíîðîäíîñòè
íîðìàëüíîãî ñîñòîÿíèÿ èìååò âèä
[ � , � ]w Pn k � 0. (2)
Íàëè÷èå èíòåãðàëà äâèæåíèÿ — îïåðàòîðà ñïèíîâîãî
ìîìåíòà — ïîçâîëÿåò ñôîðìóëèðîâàòü ñîîòâåòñòâóþ-
ùåå ñâîéñòâî ñèììåòðèè. Ñ ýòîé öåëüþ ââåäåì â ðàñ-
ñìîòðåíèå îáîáùåííûé îïåðàòîð ñïèíîâîãî ìîìåíòà
ðàâåíñòâîì:
� ( ) � �
� � �Y S S Y� � , �S i Y
Y
Y
� ��� �
�
�� �
. (3)
Ââåäåííûé îïåðàòîð äåéñòâóþò êàê â ãèëüáåðòîâîì
ïðîñòðàíñòâå, òàê è â ïðîñòðàíñòâå òåðìîäèíàìè-
÷åñêèõ ôóíêöèé. Íà âåêòîð Y�äèôôåðåíöèàëüíûé
îïåðàòîð äåéñòâóåò òàê: i S Y YY[ � , ]� � ��� ��� .  ñèëó èç-
âåñòíûõ êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé
i S S S[ � , � ] �
� � ��� ��� �
è ÿâíîãî âèäà îïåðàòîðîâ (3) ïîëó÷èì êâàíòîâûå
ñêîáêè Ïóàññîíà äëÿ ââåäåííûõ îïåðàòîðîâ (3):
i Y Y Y[ � ( ), � ( )] � ( )
� � ��� ��� � .
Ñ ïîìîùüþ ýòîãî îïåðàòîðà óäîáíî ñôîðìóëèðîâàòü
ñâîéñòâà ñèììåòðèè ðàâíîâåñíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî
îïåðàòîðà îòíîñèòåëüíî ñïèíîâûõ ïîâîðîòîâ
[ � , � ( )]w Yn
� � 0. (4)
Óñëîâèÿ ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïîâîðîòîâ â ñïèíî-
âîì ïðîñòðàíñòâå îçíà÷àþò ïðåíåáðåæåíèå ñëàáûìè
äèïîëüíûìè è ñïèí-îðáèòàëüíûìè âçàèìîäåéñòâèÿ-
ìè â ãàìèëüòîíèàíå ìàãíèòíîé ñèñòåìû. Ãðóïïà ñèì-
ìåòðèè íîðìàëüíîãî ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñðåäû
èìååò âèä
G SO TS� �[ ( )] [ ( )]3 3 .
Çäåñü [ ( )]SO S3 — ãðóïïà ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ïî-
âîðîòîâ â ñïèíîâîì ïðîñòðàíñòâå, [ ( )]T 3 — òðàíñëÿ-
öèîííàÿ ãðóïïà â ïðîñòðàíñòâå. Êàæäûé ýëåìåíò
ãðóïïû ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óíèòàðíûé îïåðàòîð
U iGg� exp � , (g — äåéñòâèòåëüíûå ïàðàìåòðû ïðåîáðà-
çîâàíèÿ), îñòàâëÿþùèé èíâàðèàíòíûì ðàñïðåäåëåíèå
Ãèááñà
Uw U wn n� �
� � . (5)
Ãåíåðàòîðàìè ïðåîáðàçîâàíèé (5) ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûå
êîìáèíàöèè îïåðàòîðîâ � {� , � }G �
� Pk . Îáðàòèì âíèìà-
íèå, ÷òî ñâîéñòâî èíâàðèàíòíîñòè (5) èìååò ìåñòî äëÿ
ïðîèçâîëüíûõ ïàðàìåòðîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ, ñîïðÿ-
æåííûõ ê èíòåãðàëàì äâèæåíèÿ â ñèëó óñëîâèé ñèì-
ìåòðèè (2),(4). Ïîýòîìó ñðåäíèå Sp � [ � , �( )]w G b x îáðàùà-
þòñÿ â íóëü äëÿ ïðîèçâîëüíîãî êâàçèëîêàëüíîãî
îïåðàòîðà �( )b x . Ýòî, â ÷àñòíîñòè, ñïðàâåäëèâî äëÿ
îïåðàòîðîâ �( ) � ( ),b x xa� � èìåþùèõ ñìûñë îïåðàòîðîâ
ïàðàìåòðà ïîðÿäêà è íå êîììóòèðóþùèõ ñ èíòåãðàëà-
ìè äâèæåíèÿ �G. Èíäåêñ a îòðàæàåò òåíçîðíóþ ðàçìåð-
íîñòü ïàðàìåòðà ïîðÿäêà. Â ïîñëåäóþùèõ ðàçäåëàõ
áóäóò ñôîðìóëèðîâàíû òðàíñôîðìàöèîííûå ñâîéñòâà
îïåðàòîðîâ ïàðàìåòðà ïîðÿäêà èçó÷àåìûõ ìàãíåòè-
êîâ. Çäåñü æå äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî âîçíèêàþùèå
êîììóòàòîðû òèïà [ � , � ( )]G xa� ëèíåéíû è îäíîðîäíû ïî
îïåðàòîðàì ïàðàìåòðà ïîðÿäêà � ( )� a x , ÷òî ïðèâîäèò ê
îáðàùåíèþ â íóëü èõ ðàâíîâåñíûõ ñðåäíèõ
Sp �
� ( )w xn a� � 0
â íîðìàëüíîì ñîñòîÿíèè, òî åñòü â ñîñòîÿíèè, îïèñû-
âàåìîì ñòàòèñòè÷åñêèì îïåðàòîðîì Ãèááñà (1).
1272 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 11
Ä.À. Äåìüÿíåíêî, Ì.Þ. Êîâàëåâñêèé
Ìàãíèòíûå ñâîéñòâà ñðåäû â íîðìàëüíîì ñîñòîÿ-
íèè ðàâíîâåñèÿ õàðàêòåðèçóþòñÿ òîëüêî çíà÷åíèåì
ñïèíà s w s xn� �� Sp � � ( ).  ñèëó (2),(4) ñïðàâåäëèâî
óðàâíåíèå � ���� � ��� � � �s Y s / Y�
� 0, îòêóäà ñëåäóåò
ðàâåíñòâî s sY /Y� �� , � �Y � Y. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì
ñîñòîÿíèè ñïèí íàïðàâëåí âäîëü íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà
Y è åãî âåëè÷èíà â òåðìèíàõ ïëîòíîñòè òåðìîäèíàìè-
÷åñêîãî ïîòåíöèàëà
�( ) lim ( )Y Y /V
V
�
��
�
èìååò, î÷åâèäíî, âèä s Y Y Y / Y( ) ( )�
2 2� . Çäåñü V —
îáúåì ñèñòåìû. Ðàññìîòðåííûé ñëó÷àé ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ïàðàìàãíèòíîå ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ êîíäåí-
ñèðîâàííîé ñðåäû.
2. Ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ âûðîæäåííûõ
ìàãíèòíûõ ñðåä è çàäà÷à èõ êëàññèôèêàöèè
Ðàññìîòðèì ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñî ñïîíòàííî
íàðóøåííîé ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ïîâîðîòîâ â
ñïèíîâîì ïðîñòðàíñòâå.  ýòîì ñëó÷àå ñòàòèñòè÷åñ-
êèé îïåðàòîð (1) íå îïèñûâàåò ïðàâèëüíî ðàâíîâåñ-
íûå ñîñòîÿíèÿ èçó÷àåìûõ êîíäåíñèðîâàííûõ ñðåä,
äëÿ êîòîðûõ ðàâíîâåñíûé ïàðàìåòð ïîðÿäêà îòëè÷åí
îò íóëÿ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé òåîðèè ðàâ-
íîâåñèÿ êîíäåíñèðîâàííîé ñðåäû â ðàìêàõ ñòàòèñòè-
÷åñêîé òåîðèè èñïîëüçóåì êîíöåïöèþ êâàçèñðåäíèõ
[4]. Êîíñòðóêòèâíûì ìîìåíòîì ýòîé êîíöåïöèè
ÿâëÿåòñÿ ââåäåíèå â ðàâíîâåñíûé ñòàòèñòè÷åñêèé
îïåðàòîð áåñêîíå÷íî ìàëîãî èñòî÷íèêà � �F, êîòîðûé
óìåíüøàåò ñèììåòðèþ ñîñòîÿíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàâ-
íîâåñèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ñèììåòðèåé ãàìèëüòîíèàíà è
ïîçâîëÿåò îáîáùèòü ðàñïðåäåëåíèå Ãèááñà íà êîíäåí-
ñèðîâàííûå ñðåäû â óñëîâèÿõ ñïîíòàííîãî íàðóøåíèÿ
ñèììåòðèè. Ñîãëàñíî [4], êâàçèñðåäíåå âåëè÷èíû a x( )
â ñîñòîÿíèè ñòàòèñòè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ ñ íàðóøåííîé
ñèììåòðèåé îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
a x a x w a x
V
( ) �( ) lim lim � �( ),� �
� ���
�
0
Sp
ãäå
� exp( �
� )w Y Y Fa a� � � �� � �� 0 . (6)
Èñòî÷íèê �F îáëàäàåò ñèììåòðèåé èññëåäóåìîé ôàçû
êîíäåíñèðîâàííîé ñðåäû è ñíèìàåò âûðîæäåíèå ñî-
ñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Èìååò ìåñòî ñïîíòàííîå íàðó-
øåíèå ñèììåòðèè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ [ � , � ] ,w G0 0�
ïðè [ � , � ]H G0 0� , è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíîâåñíîå ñðåäíåå
ïàðàìåòðà ïîðÿäêà îòëè÷íî îò íóëÿ
� �a ax w x( ) �
� ( )� �Sp 0,
ãäå �G0 — ïîäìíîæåñòâî ãåíåðàòîðîâ ãðóïïû �G, ïî îò-
íîøåíèþ ê êîòîðûì ñèììåòðèÿ íàðóøåíà. Âûïèñàí-
íîå îïåðàòîðíîå ñîîòíîøåíèå ñëåäóåò ïîíèìàòü â
ñìûñëå êâàçèñðåäíèõ, òî åñòü
lim lim � [ � , �( )]
�
�
� ��
�
0
0 0
V
w G a xSp .
Çäåñü è â äàëüíåéøåì èñïîëüçóåì îäèíàêîâîå îáîç-
íà÷åíèå êàê äëÿ ñðåäíèõ, òàê è äëÿ êâàçèñðåäíèõ. Â
ñîîòâåòñòâèè ñ êîíöåïöèåé êâàçèñðåäíèõ âûáèðàåì
èñòî÷íèê �F, íàðóøàþùèé ñèììåòðèþ ñîñòîÿíèÿ ðàâ-
íîâåñèÿ, â âèäå ëèíåéíîãî ôóíêöèîíàëà îïåðàòîðà ïà-
ðàìåòðà ïîðÿäêà � ( )� a x :
� ( ( ) � ( ) )F d x f x xa a� �� 3 � h.c. , (7)
ãäå f xa ( ) — íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ êîîðäèíàò, ñîïðÿæåí-
íàÿ îïåðàòîðó ïàðàìåòðà ïîðÿäêà, êîòîðàÿ çàäàåò åãî
ðàâíîâåñíûå çíà÷åíèÿ � �a ax x( ) � ( )� . Òàêàÿ ìîäè-
ôèêàöèÿ ñòàòèñòè÷åñêîãî îïåðàòîðà Ãèááñà äàåò âîç-
ìîæíîñòü ââåñòè â ðàññìîòðåíèå äîïîëíèòåëüíûå
òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïàðàìåòðû [5–8]. Çàìåòèì, ÷òî
ââåäåíèå èñòî÷íèêà �F â îáùåì ñëó÷àå íàðóøàåò èíâà-
ðèàíòíîñòü ðàâíîâåñíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî îïåðàòîðà
ïî îòíîøåíèþ ê òðàíñëÿöèÿì, òî åñòü [ � , � ]w Pk � 0, è ïî-
ýòîìó â ýòîì ñëó÷àå ìîæåò âîçíèêíóòü çàâèñèìîñòü
ïàðàìåòðà ïîðÿäêà îò êîîðäèíàòû. Êîíêðåòíàÿ ïðî-
ñòðàíñòâåííàÿ çàâèñèìîñòü ïàðàìåòðîâ ïîðÿäêà áóäåò
íàéäåíà íèæå ïðè ðàññìîòðåíèè íåîäíîðîäíûõ ìàã-
íèòíûõ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ.
Îïåðàòîðû ïàðàìåòðà ïîðÿäêà � ( )� a x ïðåäñòàâëÿ-
þò ñîáîé íåêîòîðûå îïðåäåëåííûå ëîêàëüíûå ôóíê-
öèè ïîëåâûõ îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ.
Ñôîðìóëèðóåì òðàíñôîðìàöèîííûå ñâîéñòâà îïåðà-
òîðîâ ïàðàìåòðà ïîðÿäêà. Óñëîâèå òðàíñëÿöèîííîé
èíâàðèàíòíîñòè èìååò âèä
i P x xk a k a[ � , � ( )] � ( )� �� �� . (8)
Ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ, ñâÿçàííûõ ñ ãðóïïîé ñïèíî-
âûõ ïîâîðîòîâ, ãåíåðàòîðàìè êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ îïå-
ðàòîðû ñïèíà �S� ( , , )� � x y z , îïåðàòîðû ïàðàìåòðà
ïîðÿäêà � ( )� a x ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèÿì
ýòîé ãðóïïû
i S x g xa ab b[ � , � ( )] � ( )� �� �� � , (9)
ãäå ( � )g gab ab� �� — íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå, çàâèñÿ-
ùèå îò òåíçîðíîé ðàçìåðíîñòè îïåðàòîðà ïàðàìåòðà
ïîðÿäêà. Ãåíåðàòîðû ãðóïïû ñïèíîâîé ñèììåòðèè �S�
óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì
i S S S[ � , � ] �
� � ��� ��� � ,
çäåñü ���� — àíòèñèììåòðè÷íûé òåíçîð Ëåâè–×èâè-
òà. Èç ôîðìóë (9), èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî ßêîáè äëÿ
îïåðàòîðîâ � , �S S� � è � ( )� x , ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèå
[ � , � ] �g g g� � ��� ��� � . (10)
Ñôîðìóëèðóåì ñâîéñòâà ñèììåòðèè ñîñòîÿíèÿ ðàâ-
íîâåñèÿ è ââåäåì äîïîëíèòåëüíûå òåðìîäèíàìè÷åñ-
êèå ïàðàìåòðû äëÿ âûðîæäåííûõ êîíäåíñèðîâàííûõ
Êëàññèôèêàöèÿ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ ìàãíåòèêîâ ñ âåêòîðíûì è êâàäðóïîëüíûì ïàðàìåòðàìè ïîðÿäêà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 11 1273
ñðåä. Ðàññìîòðèì âíà÷àëå òðàíñëÿöèîííî-èíâàðèàíò-
íûå ïîäãðóïïû íåíàðóøåííîé ñèììåòðèè H ïîëíîé
ãðóïïû ñèììåòðèè G. Òðàíñëÿöèîííàÿ èíâàðèàí-
òíîñòü îçíà÷àåò, ÷òî ðàâíîâåñíûé ñòàòèñòè÷åñêèé
îïåðàòîð óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ ñèììåòðèè
[ � , � ]w Pk � 0. (11)
Àíàëèç òðàíñëÿöèîííî-èíâàðèàíòíûõ ïîäãðóïï íåíà-
ðóøåííîé ñèììåòðèè ðàâíîâåñíûõ ñîñòîÿíèé â ñîîò-
âåòñòâèè ñ [7] îñóùåñòâèì èñõîäÿ èç ñîîòíîøåíèÿ
[ � , �( , )]w T Yb � 0, (12)
ãäå ãåíåðàòîð íåíàðóøåííîé (îñòàâøåéñÿ) ñèììåòðèè
�( , )T Yb ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ èí-
òåãðàëîâ äâèæåíèÿ (ãåíåðàòîðû ïîäãðóïïû H)
�( , ) � ( )T b Y b Y� � �
(13)
ñ äåéñòâèòåëüíûì ïàðàìåòðîì. Èç ðàâåíñòâ
i w T Y xaSp[ � , �( , )] � ( )b � � 0, i w P xk aSp[ � , � ] � ( )� � 0, (14)
ó÷èòûâàÿ àëãåáðàè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ (8)–(11) è
îïðåäåëåíèå (13), ïîëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, êîòîðûå çàäàþò ñòðóêòóðó
ïàðàìåòðà ïîðÿäêà â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ:
b g Y
x
Y
ab b
a
� � ��� �
�
�(
( )
)�
�
�
� 0,
� �k a x� ( ) 0. (15)
Ýòè óðàâíåíèÿ ñóùåñòâåííî óïðîùàþòñÿ, åñëè ïîëî-
æèòü âåêòîð Y� � 0. Ïðè ýòîì ïåðâîå èç äèôôåðåíöè-
àëüíûõ óðàâíåíèé (15) ïåðåõîäèò â ñèñòåìó ëèíåéíûõ
àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿ ïàðàìåòðà ïîðÿäêà
Tab b( )b � � 0, T b gab ab( )b � � � . (16)
Óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ íåòðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ
� a � 0 ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (16) ïðèâîäèò ê
ðàâåíñòâó
� �det Tab ( )b � 0, (17)
êîòîðîå íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèÿ íà äîïóñòèìûå çíà-
÷åíèÿ âåêòîðà b. Òàêèì îáðàçîì, â òðàíñëÿöèîííî-èí-
âàðèàíòíîì ñëó÷àå ðàâíîâåñíûé ñòàòèñòè÷åñêèé îïå-
ðàòîð Ãèááñà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òåðìîäèíàìè÷åñêèõ
ïàðàìåòðîâ è ïàðàìåòðîâ ãåíåðàòîðà íåíàðóøåííîé
ñèììåòðèè, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñîîòíîøåíèþ (17):
� � ( , )w w Y� b .
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ, êîòîðûå
íå îáëàäàþò ñâîéñòâîì òðàíñëÿöèîííîé èíâàðèàíò-
íîñòè (11). Ïðîñòðàíñòâåííóþ ñèììåòðèþ òàêèõ íå-
îäíîðîäíûõ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ îïðåäåëèì ñîîò-
íîøåíèåì
[ � , � ( , )]w P q Yk � 0, � ( , ) � � ( )P q Y P q Yk k k� � � �
, (18)
çäåñü qk� — íåêîòîðûå äåéñòâèòåëüíûå ïàðàìåòðû.
Ãåíåðàòîð íåíàðóøåííîé ñèììåòðèè òàêèõ ñîñòîÿíèé
òåïåðü âêëþ÷àåò â ñåáÿ îïåðàòîð èìïóëüñà
�( , ) � ( ) �T Y b Y d Pi ib,d � �� �
. (19)
Ñîîòíîøåíèÿ
i w T Y xaSp[ � , �( , )] � ( )b,d � � 0,
i w P q Y xk aSp[ � , ( , )] � ( )� � 0 (20)
â ñîîòâåòñòâèè ñ (8)–(12) è (13) âåäóò ê ñâÿçÿì ïàðà-
ìåòðîâ, âõîäÿùèõ â îïðåäåëåíèå ãåíåðàòîðîâ íåíàðó-
øåííîé è ïðîñòðàíñòâåííîé ñèììåòðèè. Ýòè ñîîòíî-
øåíèÿ ñëåäóåò äîïîëíèòü äâóìÿ óñëîâèÿìè íà
ïàðàìåòðû íåíàðóøåííîé è ïðîñòðàíñòâåííîé ñèì-
ìåòðèè, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ñëåäñòâèåì òîæäåñòâ ßêî-
áè äëÿ îïåðàòîðîâ � , � , �w T Pk (q,Y) è � , � ( , ), � ( , )w P q Y P q Yi k :
Sp[ � , [ �( ), � ( , )]] � ( )w T , ,Y P q Y xk ab d � � 0,
Sp[ � , [ � ( , ), � ( , )]] � ( )w P q Y P q Y xi k a� � 0. (21)
Óðàâíåíèÿ (20),(21) ïîçâîëÿþò ðåøèòü çàäà÷ó î êëàñ-
ñèôèêàöèè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ êîíäåíñèðîâàííûõ
ñðåä â ïðîñòðàíñòâåííî-íåîäíîðîäíîì ñëó÷àå. Òàêèì
îáðàçîì, ðàâíîâåñíûé ñòàòèñòè÷åñêèé îïåðàòîð òå-
ïåðü ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïàðàìåò-
ðîâ, à òàêæå ïàðàìåòðîâ ãåíåðàòîðîâ íåíàðóøåííîé è
ïðîñòðàíñòâåííîé ñèììåòðèè: � � ( , , )w w Y q� b,d , ïðè-
÷åì äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ b d, è q íàõîäÿò-
ñÿ èç ñîîòíîøåíèé (20) è (21).
3. Ìàãíèòíûå êîíäåíñèðîâàííûå ñðåäû ñ
âåêòîðíûì ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà. Îäíîðîäíûå
ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ
Ðàññìîòðèì êîíäåíñèðîâàííûå ñðåäû ñ íàðóøåí-
íîé ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî ñïèíîâûõ ïîâîðîòîâ,
õàðàêòåðèçóåìûå âåêòîðíûì ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà
� � �� � �( , � ) �
� ( ) � ( , � )x w w x x w� �Sp .
Çäåñü � ( )� � x — ýðìèòîâ îïåðàòîð ïàðàìåòðà ïîðÿäêà,
ïîñòðîåííûé ëèíåéíûì îáðàçîì èç îïåðàòîðîâ ñïè-
íîâ ïîäðåøåòîê � ( ) � ( , � ( ))� �� �x x xn� s . Ýòîò âåêòîð-
íûé îïåðàòîð ïàðàìåòðà ïîðÿäêà óäîâëåòâîðÿåò îïå-
ðàòîðíûì ñîîòíîøåíèÿì
i S x x[ � , � ( )] � ( ),� � ��� ��� �� �
i P x xk k[ � , � ( )] � ( )� �� �� �� . (22)
Ïðèìåðàìè òàêèõ ñèñòåì ÿâëÿþòñÿ, â ÷àñòíîñòè, ìíî-
ãîïîäðåøåòî÷íûå ìàãíåòèêè, ñïèíîâûå ñòåêëà [9–15].
 ñîîòâåòñòâèè ñ êîíöåïöèåé êâàçèñðåäíèõ ðàâíîâåñ-
íûé ñòàòèñòè÷åñêèé îïåðàòîð ðàññìàòðèâàåìûõ ìàã-
íèòíûõ ñèñòåì èìååò âèä
1274 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 11
Ä.À. Äåìüÿíåíêî, Ì.Þ. Êîâàëåâñêèé
� exp( ( ) � � � ) �w Y Y H Y S Y F w� � � �� � � � �� �0 0 ,
� ( ( ) � ( ) )F d x f x x� �� 3
� �� h.c. ,
(23)
ãäå �H — ãàìèëüòîíèàí îáìåííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ
([ � , � ] )H S� � 0 .
Ââåäåì äèñêðåòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîñòðàíñò-
âåííîãî îòðàæåíèÿ è îáðàùåíèÿ âðåìåíè è âûïèøåì
ñîîòâåòñòâóþùèå òðàíñôîðìàöèîííûå ïðåîáðàçîâà-
íèÿ èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ è ïàðàìåòðà ïîðÿäêà îòíî-
ñèòåëüíî ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèé:
1) x x xi i i� � � � , t t t� � � ,
2) x x xi i i� � � , t t t� � � � .
Ïðåîáðàçîâàíèå ïðîñòðàíñòâåííîãî îòðàæåíèÿ îïðå-
äåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
� ' ( , ) � ( , ) �
� ( , ) �� � �x x xt t t� � � �P P . (24)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî [ � , � ( )]P 2 0� x � . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî îïå-
ðàòîð �P îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî ôàçîâîãî ìíîæèòå-
ëÿ, è çàìå÷àÿ, ÷òî ïðîèçâîëüíûé îïåðàòîð, êîììóòè-
ðóþùèé ñ îïåðàòîðàìè � ( , )� x t è � ( , )� �
x t , êðàòåí
åäèíè÷íîìó, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî �P 2 �1è, ñëåäîâàòåëü-
íî, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà �P ðàâíû �1. Îïå-
ðàòîð �P íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì ïðîñòðàíñòâåííîé
÷åòíîñòè.  ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèÿìè ïëîòíîñòåé
àääèòèâíûõ èíòåãðàëîâ äâèæåíèÿ � ( ), k x � ( )s x�
� ( ) � ( )( ) � ( )' '
s x x s xi i� �� �� �� � ,
� ( ) { � ( ) � ( ) � ( ) � ( )} � � � �� � � �i i ix i x x x x /� � � ��� � 2
â òåðìèíàõ ïîëåâûõ îïåðàòîðîâ è ñîîòíîøåíèåì (24)
ïîëó÷èì òðàíñôîðìàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ
� � ( ) � � ( )P P� � �a a ax x
� � � , (25)
ãäå ìíîæèòåëü
� � ��a a ak� � �
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîñòðàíñòâåííóþ ñèãíàòóðó
îïåðàòîðà � ( )� a x . Â ñèëó ëèíåéíîñòè îïåðàòîðà ïàðà-
ìåòðà ïîðÿäêà ïî ñïèíîâûì îïåðàòîðàì è ñîîòíîøå-
íèÿ (25) ïîëó÷èì äëÿ âåêòîðíîãî îïåðàòîðà ïàðàìåòðà
ïîðÿäêà òðàíñôîðìàöèîííîå ñîîòíîøåíèå
� � ( ) � � ( )P P� �� �x x
� � � . (26)
Ðàññìîòðèì òåïåðü äèñêðåòíîå ïðåîáðàçîâàíèå îá-
ðàùåíèÿ âðåìåíè
t t t� � � � .
Ýòîé îïåðàöèè ñîîòâåòñòâóåò ñëåäóþùåå ïðåîáðàçî-
âàíèå ïîëåâîãî îïåðàòîðà � ( , )� x t :
� ( , ) � ( , ) � ( , )*� � �x x xt t t� � � � T , (27)
ãäå T — óíèòàðíàÿ ìàòðèöà (TT� �1), äåéñòâóþùàÿ íà
ñïèíîâûå èíäåêñû � ( , )� x t è çíàê «*» ñëóæèò äëÿ îáîç-
íà÷åíèÿ îïåðàöèè êîìïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ. Ýòà îïå-
ðàöèÿ çàâèñèò îò âûáîðà áàçèñà â ãèëüáåðòîâîì ïðî-
ñòðàíñòâå. Åñëè âûáðàí îïðåäåëåííûé áàçèñ â
ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå, òî â íåì îïåðàöèÿ êîì-
ïëåêñíîãî ñîïðÿæåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
n n n n� �* *� � � .
Òàê êàê îïåðàòîðû � ( , )� x t è � ( , )�� x t óäîâëåòâîðÿþò îäè-
íàêîâûì ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì, òî îíè
ñâÿçàíû óíèòàðíûì îïåðàòîðîì �T, äåéñòâóþùèì â
ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå:
� ( , ) �
� ( , ) �
� ( , )*� � � ��� � �x x xt t tT T T . (28)
Çíàÿ âûðàæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ àääèòèâíûõ èíòåãðà-
ëîâ äâèæåíèÿ â òåðìèíàõ ïîëåâûõ îïåðàòîðîâ ðîæ-
äåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ è èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (27) ïðè
t = 0, ëåãêî óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü ñîîòíîøåíèé
� � ( ) � � ( )*T T� � �a a ax x
� � � . (29)
Çäåñü âåëè÷èíà
� � ��a a ak� � �
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âðåìåííóþ ñèãíàòóðó øðåäèí-
ãåðîâñêîãî îïåðàòîðà � ( )� a x . Ëåãêî âèäåòü, ÷òî
[ , � ( , )]T2 0� x t � .
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (28),(29) è ó÷èòûâàÿ ëèíåé-
íîñòü âåêòîðíîãî îïåðàòîðà ïàðàìåòðà ïîðÿäêà ïî
îïåðàòîðàì ïëîòíîñòè ñïèíà, íàéäåì çàêîí ïðåîáðà-
çîâàíèÿ îïåðàòîðà ïàðàìåòðà ïîðÿäêà ïðè ïðåîáðàçî-
âàíèè îáðàùåíèÿ âðåìåíè
� � ( ) � � ( )*T T� �� �x x
� � � . (30)
Ñîîòíîøåíèÿ (24)–(26) è (29),(30) ïîçâîëÿþò ïîëó-
÷èòü òðàíñôîðìàöèîííûå ñâîéñòâà ðàâíîâåñíîãî ñòà-
òèñòè÷åñêîãî îïåðàòîðà Ãèááñà (23) ïðè äèñêðåòíûõ
ïðåîáðàçîâàíèÿõ îòðàæåíèÿ ïðîñòðàíñòâà è îáðàùå-
íèÿ âðåìåíè
� �
� ( , , )( � � ) � ( , , )*PT PTw Y Y f w Y Y f0 0� �� � ��
� � � � . (31)
Äëÿ ïðîñòðàíñòâåííî-îäíîðîäíûõ ñîñòîÿíèé (11)
ãåíåðàòîð íåíàðóøåííîé ñèììåòðèè (13) ìàãíåòèêîâ
èìååò âèä
�( , ) � ( )T Y b Yb � � �
.
(Âî èçáåæàíèå íåäîðàçóìåíèé îáðàùàåì âíèìàíèå íà
ðàçëè÷íîå íàïèñàíèå îïåðàòîðîâ íåíàðóøåííîé ñèì-
ìåòðèè �( , )T Yb è óíèòàðíîãî îïåðàòîðà îáðàùåíèÿ
âðåìåíè �T.) Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòü ðàññìîòðåíèÿ,
Êëàññèôèêàöèÿ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ ìàãíåòèêîâ ñ âåêòîðíûì è êâàäðóïîëüíûì ïàðàìåòðàìè ïîðÿäêà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 11 1275
ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âåêòîð båäèíè÷íûé: b�
2 1� . Â ñèëó
óñëîâèÿ íåíàðóøåííîé ñèììåòðèè (12) è îïåðàòîðíîé
àëãåáðû (22) ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ, îïðåäåëÿþùèå ðàâ-
íîâåñíóþ ñòðóêòóðó ñïèíà è ïàðàìåòðà ïîðÿäêà
b Y
Y
� ��� � ��� �
�
�
� ��
�
�
�
!
!
"
#
$
$
� 0, � �k a x� ( ) 0. (32)
Òàê êàê ðàâíîâåñíûé ñòàòèñòè÷åñêèé îïåðàòîð Ãèááñà
çàâèñèò îò âåêòîðîâ b è Y: � � ( , )w w� Y b , òî ïëîòíîñòü
òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé
äâóõ ñêàëÿðíûõ èíâàðèàíòîâ � � �� �( , ( , )Y b) YbY 2 .
Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:
s
Y
Y b� � �
� �
�
�
2
2
Yb
. (33)
Ïîäñòàâëÿÿ (33) â (32), âèäèì, ÷òî óðàâíåíèÿ (32)
âûïîëíÿþòñÿ òîæäåñòâåííî ïðè ëþáûõ íàïðàâëåíèÿõ
âåêòîðà b.
1. Åñëè lim
Y Yb�
�
0
0
�
, òî ïðè b � 0, Y � 0 ðåàëèçóåòñÿ
ôåððîìàãíèòíîå óïîðÿäî÷åíèå.
2. ×àñòíûé ñëó÷àé, ïðè êîòîðîì b � 0, Y � 0 è
lim
Y Yb�
�
0
0
�
, ñîîòâåòñòâóåò àíòèôåððîìàãíèòíîìó
óïîðÿäî÷åíèþ.
3. Îáùàÿ ñèòóàöèÿ, êîãäà b � 0 è Y � 0, îòâå÷àåò
ôåððèìàãíèòíîìó óïîðÿäî÷åíèþ.
4. Íåîäíîðîäíûå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ
ìàãíèòíûõ ñðåä ñ âåêòîðíûì ïàðàìåòðîì
ïîðÿäêà
Èññëåäóåì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà ïðîñòðàíñòâåííàÿ
ñèììåòðèÿ ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ èìååò áîëåå ñëîæ-
íûé ïðîñòðàíñòâåííûé õàðàêòåð è îïðåäåëÿåòñÿ ðà-
âåíñòâîì (18). Ïðè ýòîì ãåíåðàòîð íåíàðóøåííîé
ñèììåòðèè ñîîòâåòñòâåííî èìååò âèä (19). Ñîãëàñíî
óñëîâèÿì ñèììåòðèè, çàïèøåì ñîîòíîøåíèÿ
i w T , Y xSp[ � , �( , )] � ( )b d �� � 0, i w P q Y xkSp[ � , � ( , )] � ( )� � � 0.
(34)
Îòêóäà ñëåäóþò óðàâíåíèÿ, óñòàíàâëèâàþùèå ðàâíî-
âåñíóþ ñòðóêòóðó ïàðàìåòðà ïîðÿäêà, è âîçíèêàþò
îãðàíè÷åíèÿ íà ïàðàìåòðû ãåíåðàòîðîâ íåíàðóøåí-
íîé ñèììåòðèè è ïðîñòðàíñòâåííîé ñèììåòðèè. Óñëî-
âèå ïðîñòðàíñòâåííîé ñèììåòðèè, âèä ãåíåðàòîðà
�Pk (18) è àëãåáðà (22) ïðèâîäÿò ê óðàâíåíèÿì
� �k kx q x� �� ��� � ��( ) ( ), t q xkj juv v� �� ��� �� ( ) � 0.
(35)
Âòîðîå ñîîòíîøåíèå â (35) ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òðå-
áîâàíèÿ îòñóòñòâèÿ ëèíåéíîãî ïî êîîðäèíàòå ñëàãàå-
ìîãî â óñëîâèè ïðîñòðàíñòâåííîé ñèììåòðèè (18) è
ïåðâîãî ñîîòíîøåíèÿ â (35). Óñëîâèå íåíàðóøåííîé
ñèììåòðèè â (34), ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå âèä ãåíåðà-
òîðà (19), ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì
( ) ( )b d q xi i� � ��� ��� �� 0, a q xi ikl l� �� ��� �� ( ) � 0.
(36)
Äîïîëíèòåëüíûå ñâÿçè ïàðàìåòðîâ ãåíåðàòîðîâ ñèì-
ìåòðèè, ââåäåííûõ ñîîòíîøåíèÿìè (18), (19), óñòàíî-
âèì, èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî ßêîáè. Äëÿ îïåðàòîðîâ
� , � , �( , )w T P q Y , ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ñâîéñòâà ñèììåò-
ðèè, ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó
Sp[ � , [ �( , ), � ( , )]] � ( )w T , Y P q Y xkb d �� � 0.
Îòêóäà, ó÷èòûâàÿ (18),(19),(22), ïîëó÷àåì ñîîòíîøå-
íèÿ
( ) ( )b q b q xi i� � � � ��� ��� �� 0,
( ) ( )a t a t q xi kl l ki l� �� ��� �� � 0. (37)
Èñïîëüçóÿ äàëåå òîæäåñòâî ßêîáè äëÿ îïåðàòîðîâ
� , � , �w P Pi k è ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâî ïðîñòðàíñòâåííîé ñèì-
ìåòðèè (18), èìååì ñîîòíîøåíèå
Sp[ � , [ � ( , ), � ( , )]] � ( )w P q Y P q Y xi k �� � 0.
Îòñþäà ñëåäóþò óðàâíåíèÿ
( ) ( )t t t t q xij kl il kj l� �� ��� �� � 0,
( ) ( )q q q q xl i l i� � � � �� �� 0. (38)
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (35)–(38) ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò
äîïóñòèìóþ ñòðóêòóðó ïàðàìåòðîâ ãåíåðàòîðà ñèì-
ìåòðèè è âèä ïàðàìåòðà ïîðÿäêà â ðàâíîâåñèè. Íå
òðóäíî âèäåòü, ÷òî ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
� �� �� �%( ) ( ( )) ( )x a x� n 0 , % %( )x � �qx,
q q ni i� �� .
Çäåñü qk — âåêòîð ìàãíèòíîé ñïèðàëè, n� — îñü àíè-
çîòðîïèè â ñïèíîâîì ïðîñòðàíñòâå, ìàòðèöà t ik —
ïðîèçâîëüíà. Îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ïîâîðîòà ñâÿçà-
íà ñ óãëîì ñïèíîâîãî ïîâîðîòà ñîîòíîøåíèåì
a x x x�� �� ���% � %( ( )) (exp( ( ))) cos ( )� � � �
� � �n n x n x� � ��� �% � %( cos ( )) sin ( )1 , (39)
% %� �( ) ( ),x n x� n�
2 1� .
Ðàâíîâåñíûå çíà÷åíèÿ ïëîòíîñòè ñïèíà s x� ( ) çàâèñÿò
îò êîîðäèíàò: s x a x s� �� �( ) ( )� , ïðè÷åì âñÿ ïðîñòðàí-
ñòâåííàÿ çàâèñèìîñòü ñîäåðæèòñÿ â îðòîãîíàëüíîé
ìàòðèöå ïîâîðîòà a x��( ), îïðåäåëåííîé ðàâåíñòâàìè
(39). Òàêèì îáðàçîì, ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ ðàññìàò-
ðèâàåìîé íåîäíîðîäíîé ìàãíèòíîé ñèñòåìû ñî ñïîí-
òàííûì íàðóøåíèåì ñèììåòðèè îòíîñèòåëüíî ñïè-
íîâûõ ïîâîðîòîâ è ïðîñòðàíñòâåííûõ òðàíñëÿöèé
1276 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 11
Ä.À. Äåìüÿíåíêî, Ì.Þ. Êîâàëåâñêèé
õàðàêòåðèçóåòñÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèìè ñèëàìè Ya ,
âåêòîðîì ìàãíèòíîé ñïèðàëè q è óãëîì ñïèíîâîãî ïî-
âîðîòà �: � � ( , , )w w Y� q % . Òàêèå íåîäíîðîäíûå ìàãíèò-
íûå ñîñòîÿíèÿ ïîëó÷èëè íàçâàíèå ñïèðàëüíûõ ìàãíå-
òèêîâ [16–20].
5. Ìàãíèòíûå êîíäåíñèðîâàííûå ñðåäû ñ
êâàäðóïîëüíûì ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà.
Îäíîðîäíûå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ
Êâàäðóïîëüíûå ìàãíåòèêè îïèñûâàþòñÿ òåíçîð-
íûì ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà
Q x w wQ x�� ��( , � ) �
� ( )� Sp .
Çäåñü � ( )Q x�� — ýðìèòîâ îïåðàòîð ïàðàìåòðà ïîðÿäêà,
ââåäåííûé íàìè áèëèíåéíûì îáðàçîì èç îïåðàòîðîâ
ñïèíà ïîäðåøåòîê � ( ) � ( , � ( ))� �� �x x s xn� :
� ( ) ( � ( ) � ( ) � ( ) � ( ) �Q x s x s x s x s x sn n n n n�� � � � � �� ��� � �
1
2
2
3
2 ( )).x
(40)
Ýòîò îïåðàòîð ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì è áåñøïóðî-
âûì
� ( ) � ( )Q x Q x�� ��� , � ( )Q x�� � 0.
Êâàäðóïîëüíûé îïåðàòîð ïàðàìåòðà ïîðÿäêà â ñîîò-
âåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì (40) óäîâëåòâîðÿåò âûïèñàí-
íûì îïåðàòîðíûì ñîîòíîøåíèÿì:
i S Q x Q x Q x[ � , � ( )] � ( ) � ( ),� �� ��� �� ��� ��� �� � �
i P Q x Q xk k[ � , � ( )] � ( )�� ��� �� . (41)
Âèäèì, ÷òî ïðàâûå ñòîðîíû êâàíòîâûõ ñêîáîê Ïóàñ-
ñîíà (41) ëèíåéíû ïî êâàäðóïîëüíîìó îïåðàòîðó ïà-
ðàìåòðà ïîðÿäêà. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïðèâîäèò, êàê
ìû óâèäèì äàëåå, ê ëèíåéíûì óðàâíåíèÿì, êëàññèôè-
öèðóþùèì ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ ýòèõ ìàãíèòíûõ
ñèñòåì.
Ñîñòîÿíèå ðàâíîâåñèÿ ìàãíèòíîé êîíäåíñèðîâàí-
íîé ñðåäû îïèñûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèì îïåðàòîðîì
Ãèááñà (6), ïðè÷åì òåïåðü èñòî÷íèê (7) â ãèááñîâñêîé
ýêñïîíåíòå èìååò âèä
� ( ) � ( )F d x f x Q x� � 3
�� �� .
Ðàññìîòðèì òðàíñôîðìàöèîííîå ñâîéñòâî êâàäðó-
ïîëüíîãî îïåðàòîðà ïàðàìåòðà ïîðÿäêà ïðè ïðåîáðà-
çîâàíèè ïðîñòðàíñòâåííîãî îòðàæåíèÿ (24). Ñîãëàñíî
ôîðìóëå (25) è îïðåäåëåíèþ (40), èìååì
� � ( ) � � ( )P PQ Q�� ��x x
� � � . (42)
Ïðè äèñêðåòíîì ïðåîáðàçîâàíèè îáðàùåíèÿ âðåìåíè
â ñèëó (28),(29) è (40) ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå
� � ( ) � � ( )*T TQ Q�� ��x x
� � . (43)
Ôîðìóëû (42),(43) ñîâìåñòíî ñ (25),(29) ïîçâîëÿþò
íàéòè òðàíñôîðìàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ïðè îòðàæå-
íèè êîîðäèíàò è îáðàùåíèè âðåìåíè äëÿ ñòàòèñòè÷åñ-
êîãî îïåðàòîðà Ãèááñà:
� �
� ( , , )( � � ) � ( , , )*PT PTw Y Y f w Y Y f0 0� �� � ��
� � � .
Âèäèì, ÷òî õàðàêòåð ïðåîáðàçîâàíèé ðàâíîâåñíîãî
ñòàòèñòè÷åñêîãî îïåðàòîðà ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò
òðàíñôîðìàöèîííûõ ñâîéñòâ èñòî÷íèêà, íàðóøàþùå-
ãî ñèììåòðèþ.  ÷àñòíîñòè, ïðè Y� � 0 ñòàòèñòè÷åñ-
êèé îïåðàòîð ÷åòåí îòíîñèòåëüíî TP-ïðåîáðàçîâàíèé.
� �
� ( , )( � � ) � ( , )*PT PTw Y f w Y f0 0�� ��
� � . (44)
Ñîîòíîøåíèÿ (44),(24),(25),(28),(29) ïðèâîäÿò ê ðà-
âåíñòâàì
Sp � ( , ) � ( )w Y f s x0 0�� � � , Sp � ( , ) � ( )w Y f Q x0 0�� �� � .
Ïÿòü íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò êâàäðóïîëüíîãî
ïàðàìåòðà ïîðÿäêà ìîãóò áûòü ïàðàìåòðèçîâàíû
ñîîòíîøåíèåì
Q x w Q x w e x w e x w�� � � ���( , � ) ( , � ) ( , � ) ( , � )� ��
!
"
#
$ �
1
3
� � ��
!
"
#
$Q x w f x w f x w( , � ) ( , � ) ( , � )� � ���
1
3
.
Çäåñü Q è �Q — ìîäóëè ïàðàìåòðà ïîðÿäêà, è âåêòîðû
d e f� � �, , îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííûé ðåïåð:
de � 0, df � 0, ef � 0, f
2 1� , d
2 1� , e
2 1� ,
e f d� � , f d e� � , d e f� � . (45)
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ââåäåííûå âåêòîðû óäîâëåòâî-
ðÿþò ðàâåíñòâó
e e f f d d� � � � � � ���� � � . (46)
Îïðåäåëèì ãåíåðàòîð îäíîîñíîé ñïèíîâîé ñèììåò-
ðèè è äâóõîñíîé ñïèíîâîé ñèììåòðèè ðàâåíñòâàìè
� ( ) � �
� � �e
e� �S S , (47)
� ( ) � � �
� � � �e f
e f, S S S� � � . (48)
Ýòè îïåðàòîðû, êàê ëåãêî âèäåòü, óäîâëåòâîðÿþò ðà-
âåíñòâàì
i[ � ( ), � ( )] � ( )
� � ��� ��e e e� � ,
i[ � ( , ), � ( , )] � ( , )
� � ��� ��e f e f e f� � .
Êëàññèôèêàöèÿ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ ìàãíåòèêîâ ñ âåêòîðíûì è êâàäðóïîëüíûì ïàðàìåòðàìè ïîðÿäêà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 11 1277
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå ãåíåðàòîðû íåíàðóøåííîé
ñèììåòðèè â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (18),(53),(54)
äëÿ îäíîîñíîãî è äâóõîñíîãî ñëó÷àåâ
� � ( ) �( )T b T ,� �� �
e b e ,
� � ( ) �( )T b , T , ,� �� �
e f b e f . (49)
Çàìåòèì, êðîìå òîãî, ÷òî äëÿ ïðîèçâîäíûõ, ñâÿçàííûõ
ñ åäèíè÷íûìè âåêòîðàìè e� è f � , ñïðàâåäëèâû ñîîò-
íîøåíèÿ
�
� � � �
e
e
f
f
e e f f d du
v
u
v
uv u v u v u v� . (50)
Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ôîðìóëû (50) ó÷èòûâàþò ñâÿ-
çè ñîîòíîøåíèé (45) äëÿ âåêòîðîâ e� è f � . Ñîîòíîøå-
íèÿ (50) ñïðàâåäëèâû, êàê ìû óâèäèì äàëåå, äëÿ äâóõ-
îñíûõ ìàãíèòíûõ ñèñòåì. Îäíàêî ïðè ðàññìîòðåíèè
îäíîîñíûõ ìàãíèòíûõ ñðåä, êîòîðûå õàðàêòåðèçóþò-
ñÿ îäíèì ñïèíîâûì âåêòîðîì, ñâÿçè òèïà (45) îòñóò-
ñòâóþò, è âìåñòî ôîðìóë (50) â ýòîì ñëó÷àå ñïðàâåä-
ëèâî ñîîòíîøåíèå
� � � &e
e
e e eu
v
uv u v uv� � ( ). (51)
Óñëîâèå íåíàðóøåííîé ñèììåòðèè (12) ñîâìåñòíî ñ
óñëîâèåì ïðîñòðàíñòâåííîé îäíîðîäíîñòè (11) â ñî-
îòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèÿìè (49) è àëãåáðàè÷åñêèìè
ñîîòíîøåíèÿìè (41) ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì äëÿ îäíî-
îñíîãî ñëó÷àÿ:
b Q Q e
Q
e
u v v u
uv
� � � � � � � ��� �
�
� � �� �
'
(
)
*)
+
,
)
-)
� 0,
� �k uvQ x( ) 0. (52)
Äëÿ äâóõîñíîãî ñëó÷àÿ ïîëó÷èì àíàëîãè÷íûì îáðà-
çîì óðàâíåíèÿ
b Q Q e
Q
e
f
Q
f
u v v u
uv uv
� � � � � � � ��� �
�
��� �
�
� � � �� �
�
'
(
)
*)
+
,
)
-)
� 0,
� �k uvQ x( ) 0. (53)
Î÷åâèäíî, ÷òî ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (52) è (53) íå çàâè-
ñÿò îò êîîðäèíàòû Q x Q Quv uv uv( ) ( )� �0 . Ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (53) èùåì â âèäå
Q Q e euv u v uv� ��
!
"
#
$
1
3
� . (54)
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (51), íàéäåì
� �& &Q
e
Q e e
v
v v
��
� � � �� �( ( ) ( ))e e .
Ïîäñòàâëÿÿ ýòó ôîðìóëó â óðàâíåíèå (52), âèäèì,
÷òî îíî òîæäåñòâåííî âûïîëíÿåòñÿ ïðè âñåõ çíà÷åíè-
ÿõ âåêòîðà b. Ìàãíèòíûå ñîñòîÿíèÿ ñ ïàðàìåòðîì ïî-
ðÿäêà âèäà (54), ñëåäóÿ ðàáîòå [21], íàçûâàåì îäíî-
îñíûå ñïèíîâûå íåìàòèêè.
Ïåðåéäåì ê íàõîæäåíèþ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (53) è
áóäåì èñêàòü åãî â âèäå
Q Q e e Q f fuv u v uv u v uv� ��
!
"
#
$ � � ��
!
"
#
$
1
3
1
3
� � . (55)
Çàìåòèì, ÷òî, ñîãëàñíî (50), èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà
� �
Q
e
Qd d e e d
v
v
��
� � � �( ),
� �
Q
f
Q d d f d f
v
v
��
� � � �' ( ). (56)
Ïîäñòàâëÿÿ (56) è (57) â (54), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå
b Q e e e e f d e d e� ��� � � ��� � � � � � � �� �{ [ ( )]� � � �
� � � � � �Q f f f f e d f d f[ ( )]}� ���� � � ��� � � � � � � � 0.
(57)
Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé âåêòîðà b
èùåì åãî â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî îðòîíîðìèðîâàííîìó
ðåïåðó
b e f d� � �� � � , (58)
ãäå ÷èñëà � � �, , ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì � � �2 2 2 1� � � .
Ïîäñòàâëÿÿ (58) â (57), â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ðà-
âåíñòâî
� � � � �( )( )Q Q e f e f� � � � 0 . (59)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè Q Q� � ïàðàìåòð � � 0. Ýòî ðå-
øåíèå îïèñûâàåò äâóõîñíûé ñïèíîâûé íåìàòèê
Q Q e e Q f fuv u v uv u v uv� ��
!
"
#
$ � � ��
!
"
#
$
1
3
1
3
� � ,
è âåêòîð bèìååò âèä b e f� � �� �� � , ïðè÷åì � �2 2 1� � .
Äðóãîå ðåøåíèå ïîëó÷àåòñÿ èç (59), åñëè Q Q� �. Â
ýòîì ñëó÷àå âåêòîð b ïðîèçâîëåí.  ñèëó ñîîòíîøåíèÿ
(46) ïàðàìåòð ïîðÿäêà ïðèîáðåòàåò âèä îäíîîñíîãî
ñïèíîâîãî íåìàòèêà
Q Q d duv u v uv� � ��
!
"
#
$
1
3
� .
 ðàáîòå [22] ïîëó÷åíû íåëèíåéíûå äèíàìè÷åñêèå
óðàâíåíèÿ äëÿ ìàãíèòíîé ñèñòåìû ñ êâàäðóïîëüíûì
ïàðàìåòðîì ïîðÿäêà:
1278 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 11
Ä.À. Äåìüÿíåíêî, Ì.Þ. Êîâàëåâñêèé
� ,
� (
s
H
s
s Q
H
f
f
H
f
� ���
�
� .�
.�
��
��
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
!
!
"
#
$
$
�
2
1
2
�� �.� �� ��. . ��� �� ��� ��
�
� � � � �
�
�
� � �
'
(
)
)
*
)
)
) ( ) .s Q Q
H
s
(60)
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ïëîòíîñòü ýíåðãèè âûáå-
ðåì â ñëåäóþùåì âèäå:
�
/
� .� � �� � ��� � �
1
2
1
2
2 2s s Q s Q . (61)
Ïîêàæåì, ÷òî íàéäåííûå ðàâíîâåñíûå çíà÷åíèÿ êâàä-
ðóïîëüíîãî ïàðàìåòðà ïîðÿäêà è ñïèíà ñîîòâåòñòâóþò
ñòàöèîíàðíîìó ðåøåíèþ ïðèâåäåííûõ äèíàìè÷åñêèõ
óðàâíåíèé (60). Äåéñòâèòåëüíî, çíàÿ âèä ïëîòíîñòè
ýíåðãèè (61), ïîëó÷èì ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:
�
� �
H
s
s�
�
0
0,
�
�
.
��
��
H
f
f
s�
�
0
. (62)
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (62) â óðàâíåíèÿ (60) è ó÷èòû-
âàÿ âèä êâàäðóïîëüíîãî ïàðàìåòðà ïîðÿäêà, ëåãêî óáå-
äèòüñÿ, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà � , �s f� ��� �0 0, ñî-
îòâåòñòâóþùèå ñòàöèîíàðíîìó ñëó÷àþ.
6. Íåîäíîðîäíûå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ
ìàãíèòíûõ ñðåä ñ êâàäðóïîëüíûì ïàðàìåòðîì
ïîðÿäêà
Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê íåîäíîðîäíûì ñîñòîÿíèÿì
ðàâíîâåñèÿ (ñì. ôîðìóëó (18)). Îïåðàòîðû íåíàðó-
øåííîé è ïðîñòðàíñòâåííîé ñèììåòðèè èìåþò âèä
�( , , ) � ( , ) �T b d Pi ib,d e f e f� �� �
,
� ( , , ) � � ( , )P q P qk k ke f e f� � � �
. (63)
Íàáîð ïàðàìåòðîâ ãåíåðàòîðà íåíàðóøåííîé ñèì-
ìåòðèè âêëþ÷àåò â ñåáÿ âåêòîðû b, d, e, f. Òàê êàê äëÿ
êîìïîíåíò îïåðàòîðà èìïóëüñà ñïðàâåäëèâî ñîîòíî-
øåíèå [ � , � ]P Pi k � 0, òî ïîòðåáóåì, ÷òîáû è äëÿ êîìïî-
íåíò ãåíåðàòîðà ïðîñòðàíñòâåííîé ñèììåòðèè áûëî
ñïðàâåäëèâî àíàëîãè÷íîå ñîîòíîøåíèå
[ � ( , , ), � ( , , )]P q P qk ke f e f � 0. (64)
Ó÷èòûâàÿ ÿâíûé âèä âûðàæåíèÿ (63), ïðèõîäèì ê ñî-
îòíîøåíèþ
���� � �q qi k � 0,
êîòîðîå âûïîëíÿåòñÿ, åñëè òåíçîð qi�îáëàäàåò ñòðóê-
òóðîé
q q ni i� �� ,
ãäå qi — âåêòîð ìàãíèòíîé ñïèðàëè è n� — îñü ñïèíî-
âîé àíèçîòðîïèè. Ïîäñòàâëÿÿ ïîñëåäíåå âûðàæåíèå â
(63), ïîëó÷àåì, ñîãëàñíî (64), ñîîòíîøåíèÿ, îïðåäå-
ëÿþùèå äîïóñòèìûé âèä êâàäðóïîëüíîãî ïàðàìåòðà
ïîðÿäêà è âåêòîðà b:
i w T Y P q Q xkSp[ � , [ �( , ), � ( , , )]] � ( )b,d e f �� � 0,
i w T Y Q xSp[ � , �( , )] � ( )b,d �� � 0,
i w P q Q xkSp[ � , � ( , , )] � ( )e f �� � 0.
Èñïîëüçóÿ äàëåå êâàíòîâûå ñêîáêè (41), ïðèõîäèì ê
óðàâíåíèÿì íà ñòðóêòóðó êâàäðóïîëüíîãî ïàðàìåòðà
ïîðÿäêà è äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ âåêòîðà:
b F xuv
� � ( ) � 0, ( ) ( )b n� �� �F xuv 0,
� �k uv k
uvQ x q n F x( ) ( )� � , (65)
ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå
F x Q x Q xuv
u v v u� � � � � � �� �( ) ( ) ( )� � �
�
�
� ���� �
�
��� �
�
e
Q x
e
f
Q x
f
uv uv( ) ( )
.
Ïîêàæåì, ÷òî ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé (65) ÿâ-
ëÿåòñÿ ñëåäóþùèé âèä êâàäðóïîëüíîãî ïàðàìåòðà ïî-
ðÿäêà:
Q x Q m x m xuv u v uv( ) ( ) ( )� ��
!
"
#
$ �
1
3
�
� � ��
!
"
#
$Q l x l xu v uv( ) ( )
1
3
� , (66)
ãäå çàâèñÿùèå îò êîîðäèíàò âåêòîðû m( )x è l( )x îïðå-
äåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè
m e f( ) cos ( ) sin ( )x x x� �0 0 ,
l e f( ) sin ( ) cos ( )x x x� � �0 0 , (67)
0 0( )x � �qx
è âåêòîð n êîëëèíåàðåí d. Íà÷íåì ñ ïðîâåðêè òðåòüåãî
ñîîòíîøåíèÿ â (65). Â ñèëó îïðåäåëåíèÿ (67) âåêòîðû
m( )x è l( )x óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì
� � �k u k um x q l x( ) ( ), � �k u k ul x q m x( ) ( ).
Ïîýòîìó
� � � �k uv k u v v uQ x Q Q q l x m x l x m x( ) ( ' ) ( ( ) ( ) ( ) ( )).
(68)
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, òàê êàê
Êëàññèôèêàöèÿ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ ìàãíåòèêîâ ñ âåêòîðíûì è êâàäðóïîëüíûì ïàðàìåòðàìè ïîðÿäêà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 11 1279
� � � �
Q x
e
Qd d m x d m x x Q d d l xuv
u v v u u v
( )
( ( ) ( )) cos ( ) ( (
�
� �0 ) ( )) sin ( )� d l x xv u 0 ,
� � � �
Q x
f
Qd d m x d m x x Q d d l xuv
u v v u u v
( )
( ( ) ( )) sin ( ) ( (
�
� �0 ) ( )) cos ( )� d l x xv u 0 ,
òî
���� �
�
�
�
�e
Q x
e
f
Q x
f
Ql x d muv uv
u v
�
�
!
!
"
#
$
$
� �
( ) ( )
( )( ( ) ( )) ( )( ( ) ( ))x d m x Q m x d l x d l xv u u v v u� � � �� . (69)
Êðîìå òîãî, â ñèëó (66) ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå
� �� � � � � �u v v uQ x Q x( ) ( )� �Q m x m x m xu v v u( ( ) ( )) ( )� �� � � � �� � � �Q l x l x l xu v v u� � � � �� �( )( ( ) ( )). (70)
Èç ñîîòíîøåíèé (69),(70) íàéäåì
F x Q m x m x m x Q l x luv
u v v u u v� � � � � � � � �� � �( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )(� � � � ( ) ( )) ( )( ( ) ( ))x l x Ql x d m x d m xv u u v v u� � � ��� � �
� � �Q m x d l x d l xu v v u� ( )( ( ) ( )).
Ïóñòü ðàçëîæåíèå âåêòîðà b ïî îðòîíîðìèðîâàííîìó
ðåïåðó èìååò âèä:
b e f d� � �� � � .
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà
F x e F x fuv uv
� � � �( ) ( )� � 0,
F x d Q Q l x m x l x m xuv
u v v u� �( ) ( )( ( ) ( ) ( ) ( ))� � � � .
(71)
 ñèëó ôîðìóë (68),(71) âèäèì, ÷òî âñå òðè óðàâíåíèÿ
(65) âûïîëíÿþòñÿ ïðè � � 0 è Q Q� �.
 îäíîîñíîì ñëó÷àå, êîãäà, íàïðèìåð, Q � 0, � �Q 0,
ðåøåíèå îïèñûâàåò ìàãíèòíûå ñîñòîÿíèÿ, êîòîðûå,
ñëåäóÿ ðàáîòå [21], íàçûâàåì ñïèíîâûìè õîëåñòåðèêà-
ìè. Âåêòîð b e f� �� � îðòîãîíàëåí ñïèíîâîé îñè d.
 äâóõîñíîì ñëó÷àå, êîãäà Q � 0, � �Q 0, Q Q� �,
êâàäðóïîëüíûé ïàðàìåòð ïîðÿäêà îïèñûâàåò ìàãíèò-
íîå ñîñòîÿíèå, êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâîéíóþ
ìàãíèòíóþ ñïèðàëü. Âåêòîð b e f� �� � òàêæå îðòîãî-
íàëåí ñïèíîâîé îñè d.
Åñëè Q Q� �, òî âåêòîð b ïðîèçâîëåí, è ýòà ñèòóàöèÿ
ñîîòâåòñòâóåò îäíîîñíîìó êâàäðóïîëüíîìó ïàðàìåò-
ðó ïîðÿäêà ñ ìàãíèòíûì ñîñòîÿíèåì ñïèíîâîãî õîëåñ-
òåðèêà.
Çàêëþ÷åíèå
 çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî ïðîáëåìà ôàçîâûõ ïå-
ðåõîäîâ II ðîäà, îáû÷íî ðàññìàòðèâàåìàÿ íà îñíîâå
ôåíîìåíîëîãè÷åñêèõ ïîäõîäîâ, èçíà÷àëüíî ìîäåëüíî
çàâèñèìà. Ïðåäñòàâëåíèå î íåíàðóøåííîé è ïðîñò-
ðàíñòâåííîé ñèììåòðèè ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ðàì-
êàõ ïîäõîäà Ãèááñà â ñî÷åòàíèè ñ êîíöåïöèåé êâàçè-
ñðåäíèõ ïîçâîëÿåò ñôîðìóëèðîâàòü àëüòåðíàòèâíûé
ïîäõîä, ñâîáîäíûé îò êàêèõ-ëèáî ìîäåëüíûõ ïðåä-
ïîëîæåíèé. Â ðàáîòå ïðîâåäåíà êëàññèôèêàöèÿ ñîñ-
òîÿíèé ðàâíîâåñèÿ ìàãíèòíûõ ñðåä ñ âåêòîðíûì è
òåíçîðíûì ïàðàìåòðàìè ïîðÿäêà. Âûÿñíåíà äîïóñòè-
ìàÿ ñòðóêòóðà ïàðàìåòðîâ ïîðÿäêà â ñîñòîÿíèè ðàâíî-
âåñèÿ è âèä ãåíåðàòîðîâ íåíàðóøåííîé è ïðîñòðàí-
ñòâåííîé ñèììåòðèè.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ãðàíòà ÐÔÔÈ
¹ 05-02-16663.
1. Ë.Ä. Ëàíäàó, Ñîáðàíèå òðóäîâ, Íàóêà, Ìîñêâà (1969),
Ò. 1.
2. V.P. Mineev, Sov. Scient. Rev. Sec. A 2, 173 (1985).
3. F.W. Nijhoff, H.W. Capel, and A. den Breems, Physica
A130, 375 (1985).
4. N.N. Bogoliubov, Physica 26, 51 (1960).
5. À.È. Àõèåçåð, Ñ.Â. Ïåëåòìèíñêèé, Ìåòîäû ñòàòèñ-
òè÷åñêîé ôèçèêè, Íàóêà, Ìîñêâà (1977).
6. Í.Í. Áîãîëþáîâ (ìë.), Ì.Þ. Êîâàëåâñêèé, À.Ì. Êóðáà-
òîâ, Ñ.Â. Ïåëåòìèíñêèé, À.Í. Òàðàñîâ, ÓÔÍ 159, âûï. 4,
585 (1989).
7. Ì.Þ. Êîâàëåâñêèé, Ñ.Â. Ïåëåòìèíñêèé, Ý×Àß 33, 1357
(2002).
8. À.Ï. Èâàøèí, Ì.Þ. Êîâàëåâñêèé, Í.Í. ×åêàíîâà, ÔÍÒ
30, 920 (2004).
9. B.I. Halperin and P.C.Hohenberg, Phys. Rev. 188, 898
(1969).
10. Ä.Â. Âîëêîâ, À.À. Æåëòóõèí, Þ.Ï. Áëèîõ, ÔÒÒ 13,
1668 (1971).
11. B.I. Halperin and W.M. Saslow, Phys. Rev. B16, 2154
(1977).
12. À.Ô. Àíäðååâ, Â.È. Ìàð÷åíêî, ÓÔÍ 130, 39 (1980).
13. I.E. Dzyaloshinskii and G.E.Volovick, Ann. Phys. 125, 67
(1980).
14 Â.Ã. Áàðüÿõòàð, Â.Ã. Áåëûõ, Ò.Ê. Ñîáîëåâà, ÒÌÔ 77,
311 (1988).
1280 Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 11
Ä.À. Äåìüÿíåíêî, Ì.Þ. Êîâàëåâñêèé
15. Ì.Þ. Êîâàëåâñêèé, Ñ.Â. Ïåëåòìèíñêèé, ÒÌÔ 100, 59
(1994).
16. T.A. Kaplan, Phys. Rev. 124, 329 (1961).
17. Â.Ã. Áàðüÿõòàð, Ì.À. Càâ÷åíêî, Ë.À. Øèøêèí, ÔÒÒ 6,
1435 (1964).
18. Ñ.Â. Òÿáëèêîâ, Ìåòîäû êâàíòîâîé òåîðèè ìàãíåòèç-
ìà, Íàóêà, Ìîñêâà (1975).
19. È.Å. Äçÿëîøèíñêèé, ÆÝÒÔ 46, 1420 (1964); òàì æå
47, 336 (1964).
20. Þ.À. Èçþìîâ, Äèôðàêöèÿ íåéòðîíîâ íà äëèííîïåðèîäè-
÷åñêèõ ñòðóêòóðàõ, Ýíåðãîàòîìèçäàò, Ìîñêâà (1987).
21. À.Ô. Àíäðååâ, È.À. Ãðèùóê, ÆÝÒÔ 87, 467 (1984).
22. À.À. Èñàåâ, Ì.Þ. Êîâàëåâñêèé, Ñ.Â. Ïåëåòìèíñêèé,
Ý×Àß 27, 431 (1996).
Classification of equilibrium states of magnets
with vector and quadrupole order parameters
D.A. Demyanenko and M.Yu. Kovalevsky
The classification of equilibrium states of mag-
netic condensed media, the symmetry of which is
spontaneously broken relative to rotations in the spin
space and translations in the configuration space, is
carried out. The cases of vector and tensor order pa-
rameters are considered. The conditions of an unbro-
ken symmetry and a spatial symmetry of the equilib-
rium states is formulated. The connection of these
symmetry conditions with ferromagnetic, antiferro-
magnetic, ferrimagnetic and spiral magnetic states is
found out for the case of vector order parameter. The
connection of the above symmetry conditions with
quadrupole magnetic states — uniaxial and biaxial
magnetic nematics, magnetic cholesterics and dual
spiral magnetic — is established.
PACS. 75.40.Cx Static properties (order parameter,
static susceptibility, heat capacities, criti-
cal exponents,etc)
Keywords: magnets, phase conversions, order pa-
rameter, quasiaverages, symmetry, Gibbs distribu-
tion, spin nematic.
Êëàññèôèêàöèÿ ñîñòîÿíèé ðàâíîâåñèÿ ìàãíåòèêîâ ñ âåêòîðíûì è êâàäðóïîëüíûì ïàðàìåòðàìè ïîðÿäêà
Ôèçèêà íèçêèõ òåìïåðàòóð, 2007, ò. 33, ¹ 11 1281
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7720 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0132-6414 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:38:24Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Демьяненко, Д.А. Ковалевский, М.Ю. 2010-04-08T12:22:05Z 2010-04-08T12:22:05Z 2007 Классификация состояний равновесия магнетиков с векторным и квадрупольным параметрами порядка / Д.А. Демьяненко, М.Ю. Ковалевский // Физика низких температур. — 2007. — Т. 33, № 11. — С. 1271-1281. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0132-6414 PACS: 71.10.Fd; 03.65.Ud; 03.67.Mn; 05.70.Jk https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7720 Проведена классификация состояний равновесия магнитных конденсированных сред, симметрия которых спонтанно нарушена относительно поворотов в спиновом пространстве и трансляций в конфигурационном пространстве. Рассмотрены случаи векторного и тензорного параметров порядка, обладающих различными трансформационными свойствами при отражении времени. Сформулированы условия ненарушенной симметрии и пространственной симметрии состояний равновесия для таких сред. В случае векторного параметра порядка выяснена связь этих условий симметрии с пара-, ферро-, антиферро-, ферри- и спиральными магнитными состояниями. Выяснена связь указанных условий симметрии с квадрупольными магнитными состояниями - одно- и двухосными магнитными нематиками, магнитными холестериками и двойной магнитной спиралью. Проведено класифікацію станів рівноваги магнітних конденсованих середовищ, симетрія яких спонтанно порушена щодо поворотів у спіновому просторі й трансляцій у конфігураційному просторі. Розглянуто випадки векторного та тензорного параметрів порядку, які мають різні трансформаційні властивості при відбитті часу. Сформульовано умови непорушеної симетрії й просторової симетрії станів рівноваги для таких середовищ. У випадку векторного параметра порядку з’ясовано зв’язок цих умов симетрії з пара-, феро-, антиферо-, фери-і спіральними магнітними станами. З’ясовано зв’язок зазначених умов симетрії із квадрупольними магнітними станами — одно-та двохосьовими магнітними нематиками, магнітними холестериками й подвійною магнітною спіраллю. The classification of equilibrium states of magnetic condensed media, the symmetry of which is spontaneously broken relative to rotations in the spin space and translations in the configuration space, is carried out. The cases of vector and tensor order parameters are considered. The conditions of an unbroken symmetry and a spatial symmetry of the equilibrium states is formulated. The connection of these symmetry conditions with ferromagnetic, antiferromagnetic, ferrimagnetic and spiral magnetic states is found out for the case of vector order parameter. The connection of the above symmetry conditions with quadrupole magnetic states — uniaxial and biaxial magnetic nematics, magnetic cholesterics and dual spiral magnetic — is established. ru Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України Классификация состояний равновесия магнетиков с векторным и квадрупольным параметрами порядка Classification of equilibrium states of magnets with vector and quadrupole order parameters Article published earlier |
| spellingShingle | Классификация состояний равновесия магнетиков с векторным и квадрупольным параметрами порядка Демьяненко, Д.А. Ковалевский, М.Ю. |
| title | Классификация состояний равновесия магнетиков с векторным и квадрупольным параметрами порядка |
| title_alt | Classification of equilibrium states of magnets with vector and quadrupole order parameters |
| title_full | Классификация состояний равновесия магнетиков с векторным и квадрупольным параметрами порядка |
| title_fullStr | Классификация состояний равновесия магнетиков с векторным и квадрупольным параметрами порядка |
| title_full_unstemmed | Классификация состояний равновесия магнетиков с векторным и квадрупольным параметрами порядка |
| title_short | Классификация состояний равновесия магнетиков с векторным и квадрупольным параметрами порядка |
| title_sort | классификация состояний равновесия магнетиков с векторным и квадрупольным параметрами порядка |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7720 |
| work_keys_str_mv | AT demʹânenkoda klassifikaciâsostoâniiravnovesiâmagnetikovsvektornymikvadrupolʹnymparametramiporâdka AT kovalevskiimû klassifikaciâsostoâniiravnovesiâmagnetikovsvektornymikvadrupolʹnymparametramiporâdka AT demʹânenkoda classificationofequilibriumstatesofmagnetswithvectorandquadrupoleorderparameters AT kovalevskiimû classificationofequilibriumstatesofmagnetswithvectorandquadrupoleorderparameters |