Метод Фаедо–Гальоркіна для еволюційних включень з некоерцитивними Wλ-псевдомонотонними відображеннями

Розглянуто клас диференцiально-операторних включень I порядку з некоерцитивними Wλ-псевдомонотонними вiдображеннями. Методом Фаедо–Гальоркiна дослiджено проблему iснування розв’язання задачi Кошi для даних включень. Отримано важливi апрiорнi оцiнки розв’язкiв та їх похiдних. Дослiджено залежнiсть мн...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
1. Verfasser:	Касьянов, П.О.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України 2009
Schlagworte:	Математика
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7725
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Метод Фаедо–Гальоркіна для еволюційних включень з некоерцитивними Wλ-псевдомонотонними відображеннями / П.О. Касьянов // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 14-20. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7725
record_format	dspace
spelling	Касьянов, П.О. 2010-04-12T11:09:59Z 2010-04-12T11:09:59Z 2009 Метод Фаедо–Гальоркіна для еволюційних включень з некоерцитивними Wλ-псевдомонотонними відображеннями / П.О. Касьянов // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 14-20. — Бібліогр.: 14 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7725 517.9 Розглянуто клас диференцiально-операторних включень I порядку з некоерцитивними Wλ-псевдомонотонними вiдображеннями. Методом Фаедо–Гальоркiна дослiджено проблему iснування розв’язання задачi Кошi для даних включень. Отримано важливi апрiорнi оцiнки розв’язкiв та їх похiдних. Дослiджено залежнiсть множини розв’язкiв вiд параметра. Наведено приклад, що iлюструє запропонований пiдхiд до дослiдження розглянутої проблеми. We consider the first-order differential-operator inclusions with noncoercive Wλ-pseudomonotone noncoercive maps. The problem of the existence of solutions for the Cauchy problem for the given inclusions is investigated by using the Faedo–Galerkin method. The important a priori estimates for solutions and their derivatives have been obtained. The dependence on a parameter for the set of solutions is considered. An example illustrating the given approach is given. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Метод Фаедо–Гальоркіна для еволюційних включень з некоерцитивними Wλ-псевдомонотонними відображеннями The Faedo–Galerkin method for evolution inclusions with noncoercive Wλ-pseudomonotone maps Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Метод Фаедо–Гальоркіна для еволюційних включень з некоерцитивними Wλ-псевдомонотонними відображеннями
spellingShingle	Метод Фаедо–Гальоркіна для еволюційних включень з некоерцитивними Wλ-псевдомонотонними відображеннями Касьянов, П.О. Математика
title_short	Метод Фаедо–Гальоркіна для еволюційних включень з некоерцитивними Wλ-псевдомонотонними відображеннями
title_full	Метод Фаедо–Гальоркіна для еволюційних включень з некоерцитивними Wλ-псевдомонотонними відображеннями
title_fullStr	Метод Фаедо–Гальоркіна для еволюційних включень з некоерцитивними Wλ-псевдомонотонними відображеннями
title_full_unstemmed	Метод Фаедо–Гальоркіна для еволюційних включень з некоерцитивними Wλ-псевдомонотонними відображеннями
title_sort	метод фаедо–гальоркіна для еволюційних включень з некоерцитивними wλ-псевдомонотонними відображеннями
author	Касьянов, П.О.
author_facet	Касьянов, П.О.
topic	Математика
topic_facet	Математика
publishDate	2009
language	Ukrainian
publisher	Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
format	Article
title_alt	The Faedo–Galerkin method for evolution inclusions with noncoercive Wλ-pseudomonotone maps
description	Розглянуто клас диференцiально-операторних включень I порядку з некоерцитивними Wλ-псевдомонотонними вiдображеннями. Методом Фаедо–Гальоркiна дослiджено проблему iснування розв’язання задачi Кошi для даних включень. Отримано важливi апрiорнi оцiнки розв’язкiв та їх похiдних. Дослiджено залежнiсть множини розв’язкiв вiд параметра. Наведено приклад, що iлюструє запропонований пiдхiд до дослiдження розглянутої проблеми. We consider the first-order differential-operator inclusions with noncoercive Wλ-pseudomonotone noncoercive maps. The problem of the existence of solutions for the Cauchy problem for the given inclusions is investigated by using the Faedo–Galerkin method. The important a priori estimates for solutions and their derivatives have been obtained. The dependence on a parameter for the set of solutions is considered. An example illustrating the given approach is given.
issn	1025-6415
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7725
citation_txt	Метод Фаедо–Гальоркіна для еволюційних включень з некоерцитивними Wλ-псевдомонотонними відображеннями / П.О. Касьянов // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 14-20. — Бібліогр.: 14 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT kasʹânovpo metodfaedogalʹorkínadlâevolûcíinihvklûčenʹznekoercitivnimiwλpsevdomonotonnimivídobražennâmi AT kasʹânovpo thefaedogalerkinmethodforevolutioninclusionswithnoncoercivewλpseudomonotonemaps
first_indexed	2025-11-27T02:56:09Z
last_indexed	2025-11-27T02:56:09Z
_version_	1850795639861936128
fulltext	УДК 517.9 © 2009 П.О. Касьянов Метод Фаедо–Гальоркiна для еволюцiйних включень з некоерцитивними Wλ-псевдомонотонними вiдображеннями (Представлено членом-кореспондентом НАН України М.О. Перестюком) Розглянуто клас диференцiально-операторних включень I порядку з некоерцитивними Wλ-псевдомонотонними вiдображеннями. Методом Фаедо–Гальоркiна дослiджено проб- лему iснування розв’язання задачi Кошi для даних включень. Отримано важливi апрi- орнi оцiнки розв’язкiв та їх похiдних. Дослiджено залежнiсть множини розв’язкiв вiд параметра. Наведено приклад, що iлюструє запропонований пiдхiд до дослiдження роз- глянутої проблеми. Диференцiально-операторнi рiвняння, включення та еволюцiйнi варiацiйнi нерiвностi є об’єктом iнтенсивних дослiджень упродовж останнiх десятилiть. Далеко не повний пере- лiк публiкацiй у цiй областi складають такi вiдомi монографiї, як [1–8] та багато iнших. Iнтерес до таких об’єктiв обумовлений у першу чергу їх широким практичним застосу- ванням. Зазвичай їх пов’язують iз задачами математичної фiзики, з диференцiальними рiвняннями в частинних похiдних, диференцiальнi оператори яких допускають розрив за фазовою змiнною, з диференцiальними рiвняннями з розривною правою частиною, iз зада- чами теорiї керування та оптимiзацiї та iн. У фiзицi та механiцi iмпульсом до вивчення ево- люцiйних рiвнянь та включень стали прикладнi задачi, пов’язанi з фазовими переходами й односторонньою провiднiстю границь речовин, поширенням електромагнiтних, акустичних, вiбро-, гiдро- та сейсмоакустичних хвиль, квантово-механiчними ефектами тощо [2, 3, 7, 9]. Останнi дослiдження з даного напрямку охоплюють квазiлiнiйнi рiвняння з однорiдними крайовими умовами або лiнеаризованi рiвняння з нелiнiйними умовами на межi областi, що зводяться до нелiнiйних диференцiально-операторних рiвнянь та включень. Проте лi- неаризованi об’єкти не завжди адекватно описують дослiджуваний процес. Тому виникає необхiднiсть у дослiдженнi еволюцiйних включень та варiацiйних нерiвностей з принципово вужчим набором властивостей. У роботi [1] розглядались такi об’єкти для некоерцитивних монотонних вiдображень, у роботах [10, 11] — для вiдображень з напiвобмеженою варiа- цiєю. Диференцiально-операторнi включення з некоерцитивними Wλ-псевдомонотонними вiдображеннями до цього часу систематично не вивчались. У данiй роботi розглядаються еволюцiйнi включення I порядку з некоерцитивними Wλ0 -псевдомонотонними вiдображеннями. Наше завдання полягає у розвиненнi некоер- цитивної теорiї для даних об’єктiв, а також в одержаннi нових результатiв про розв’я- знiсть, дослiдженнi множини розв’язкiв вiд параметра та обгрунтуваннi методу Фаедо– Гальоркiна. Одержанi в данiй роботi результати є новими як для еволюцiйних рiвнянь, так i для включень. 1. Постановка задачi. Нехай V — рефлексивний банахiв простiр над полем дiйсних чисел; H — гiльбертiв простiр над полем дiйсних чисел зi скалярним добутком (·, ·), ото- 14 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1 тожнений зi спряженим простором H∗; {Vσ}σ>0 — ланцюжок гiльбертових просторiв над полем дiйсних чисел такий, що ∀σ1 > σ2 > 0 Vσ1 ⊂ Vσ2 , причому вкладення неперервне та щiльне. Нехай вкладення V ⊂ H компактне. Припустимо також, що ∃σ0 > 0 таке, що ∀σ > σ0 Vσ ⊂ V неперервно та щiльно. Тодi для всiх σ > σ0 одержимо такий ланцюжок неперервних та щiльних вкладень: Vσ ⊂ V ⊂ H ⊂ V ∗ ⊂ V ∗ σ , де V ∗ — спряжений до V простiр, V ∗ σ — спряжений до Vσ простiр вiдносно (·, ·). Зауважимо, що V0 ≡ H. Введемо позначення S = [0, T ] — скiнченний iнтервал часу, X = Lp0 (S;H) ⋂ Lp(S;V ), Xσ = Lp0 (S;Vσ), X∗ = Lq0 (S;H) + Lq(S;V ∗), X∗ σ = Lq0 (S;V ∗ σ ), Y ≡ Y ∗ = L2(S;H), де p0 > 2, 1 < p 6 p0, 1/p0 + 1/q0 = 1/p + 1/q = 1. Лiнiйний простiр W = {y ∈ X \| y′ ∈ X∗} (вiдповiдно, Wσ = {y ∈ X \| y′ ∈ X∗ σ}) є рефлексивним банаховим простором вiдносно норми ‖y‖W = ‖y‖X + ‖y′‖X∗ (вiдповiдно, ‖y‖Wσ = ‖y‖X + ‖y′‖X∗ σ ), де y′ — похiдна вiд елемента y ∈ X у сенсi простору скалярних розподiлiв D∗(S;V ∗ σ ) [1]. Для довiльних v ∈ X та f ∈ X∗ : f = f0 + f1, f0 ∈ Lq0 (S;H), f1 ∈ Lq(S;V ∗) розглянемо 〈f, v〉 = 〈f, v〉X = ∫ S (f0(τ), v(τ))Hdτ + ∫ S 〈f1(τ), v(τ)〉V dτ = ∫ S (f(τ), v(τ)) dτ. Тут 〈·, ·〉V : V ∗ × V → R — канонiчне спарювання, що збiгається на H × V зi скалярним добутком (·, ·) в H. Нехай Z — деякий нормований простiр, U ⊂ Z — непорожня множина. Зафiксуємо u ∈ U . Для багатозначних (у загальному випадку) вiдображень A : X ⇉ X∗, B : X×U ⇉ X∗ розглянемо задачу { y′ + A(y) + B(y, u) ∋ f, y(0) = 0, y ∈ W ⊂ C(S;H), (1) де f ∈ X∗ — довiльний фiксований елемент. Метою цiєї роботи є дослiдження базових властивостей розв’язуючого оператора та обгрунтування розв’язностi даної проблеми за допомогою методу Фаедо–Гальоркiна. 2. Клас H(X∗). Через H(X∗) позначимо сукупнiсть пiдмножин X∗ з такою властивiстю: B ∈ H(X∗), якщо для довiльної вимiрної множини E ⊂ S та довiльних u, v ∈ B виконується, що u + (v − u)χE ∈ B. Тут i далi для d ∈ X∗ (dχE)(τ) = d(τ)χE(τ) для м.в. τ ∈ S, χE(τ) = { 1, τ ∈ E, 0, iнакше. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 15 Лема 1. B ∈ H(X∗) тодi i тiльки тодi, коли ∀n > 1, ∀ {di} n i=1 ⊂ B та довiльних вимiрних попарно неперетинних пiдмножин {Ej} n j=1 множини S: n⋃ j=1 Ej = S виконується, що n∑ j=1 djχEj ∈ B. Зауважимо, що ∅, X∗ ∈ H(X∗); ∀ f ∈ X∗ {f} ∈ H(X∗); якщо K : S ⇉ V ∗ — довiльне багатозначне вiдображення, то {f ∈ X∗ \| f(t) ∈ K(t) для м.в. t ∈ S} ∈ H(X∗). 3. Класи багатозначних вiдображень. Розглянемо тепер основнi класи багатознач- них вiдображень. Нехай Y — деякий рефлексивний банахiв простiр над полем дiйсних чисел, Y ∗ — його топологiчно спряжений простiр, 〈·, ·〉Y : Y ∗ × Y → R — спарювання, A : Y ⇉ Y ∗ — строге багатозначне вiдображення, тобто A(y) 6= ∅ ∀ y ∈ X. Для нього визна- чимо верхню [A(y), ω]+ = sup d∈A(y) 〈d,w〉X i нижню [A(y), ω] _ = inf d∈A(y) 〈d,w〉X опорнi функцiї, де y, ω ∈ X, а також верхню ‖A(y)‖+ = sup d∈A(y) ‖d‖X∗ i нижню ‖A(y)‖ _ = inf d∈A(y) ‖d‖X∗ норми [3]. Позначимо через Cv(Y ) сiм’ю всiх непорожнiх замкнених опуклих обмежених пiдмножин з простору Y . Далi, yn ⇀ y в Y буде означати, що yn слабко збiгається до y в Y . Нехай W — деякий нормований простiр, неперервно вкладений в Y . Розглянемо пара- метризоване багатозначне вiдображення A : Y × U ⇉ Y ∗. Означення 1. Строге багатозначне вiдображення A : Y × U ⇉ Y ∗ називається: λ0-квазiмонотонним на W ×U , якщо для будь-якої послiдовностi {yn, an}n>0 ⊂ W ×U такої, що yn ⇀ y0 в W , an → a0 в Z, dn ⇀ d0 в Y ∗ при n → +∞, де dn ∈ coA(yn, an) ∀n > > 1, iз нерiвностi lim n→∞ 〈dn, yn − y0〉Y 6 0 випливає iснування пiдпослiдовностi {ynk , dnk }k>1 з {yn, dn}n>1, для якої виконується lim k→∞ 〈dnk , ynk − w〉Y > [A(y0, a0), y0 − w]− ∀w ∈ Y ; обмеженим, якщо для кожного L > 0 iснує таке l > 0, що ‖A(y, u)‖+ 6 l ∀ {y, u} ∈ Y × U : ‖y‖Y 6 L, ‖u‖Z 6 L; демiзамкненим, якщо з того, що {un}n>0 ⊂ U , un → u0 в Z, yn → y0 в Y , dn ⇀ d0 в Y ∗, де dn ∈ A(yn, un), n > 1, випливає, що d0 ∈ A(y0, u0). Мiркуваннями, аналогiчними до доведення леми 1 iз [12], можна одержати лему про λ0-квазiмонотоннiсть суми λ0-квазiмонотонних обмежених багатозначних вiдобра- жень. Лема 2. Нехай A, B : Y × U ⇉ Y ∗ — строгi обмеженi λ0-квазiмонотоннi на W × × U багатозначнi вiдображення. Тодi строге багатозначне вiдображення C = A + B : Y × × U ⇉ Y ∗ є також обмеженим i λ0-квазiмонотонним на W × U . Кожному багатозначному вiдображенню A : Y ⇉ Y ∗ поставимо у вiдповiднiсть пара- метризоване багатозначне вiдображення Â : Y × U ⇉ Y ∗ у такий спосiб: Â(y, u) = A(y), y ∈ Y , u ∈ U . 16 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1 Означення 2. Строге багатозначне вiдображення A : Y ⇉ Y ∗ називається: λ0-псевдомонотонним на W , якщо вiдповiдне Â : Y × U ⇉ Y ∗ є λ0-квазiмонотонним на W × U ; обмеженим, якщо вiдповiдне Â : Y × U ⇉ Y ∗ є обмеженим. Зауваження 1. Iдея переходу до пiдпослiдовностi в означеннi однозначного псевдомо- нотонного оператора була запропонована I. В. Скрипником у роботi [13]. Означення 3. Строге багатозначне вiдображення A : X ⇉ X∗ називається: оператором типу Вольтерра, якщо для довiльних u, v ∈ X, t ∈ S iз рiвностi u(s) = v(s) для м. в. s ∈ [0, t] випливає, що [A(u), ξt]+ = [A(v), ξt]+ ∀ ξt ∈ X: ξt(s) = 0 для м. в. s ∈ S\[0, t]; +(−)-коерцитивним, якщо iснує дiйсна функцiя γ : R+ → R така, що γ(s) → +∞ при s → +∞ та [A(y), y]+(−) > γ(‖y‖X )‖y‖X ∀ y ∈ X. 4. Метод Фаедо–Гальоркiна. Нехай {hi}i>1 — повна система лiнiйно незалежних еле- ментiв з Vσ для деякого σ > σ0 i нехай Hn — лiнiйна оболонка множини {hi} n i=1, надiлена скалярним добутком, iндукованим з H. Згiдно з попереднiми мiркуваннями, H∗ n — спряже- ний до Hn простiр, ототожнений iз самим Hn; Xn := Lp0 (S;Hn), X∗ n = Lq0 (S;Hn) — спряже- ний до Xn простiр вiдносно бiлiнiйної форми 〈·, ·〉Xn = 〈·, ·〉X \|X∗ n×Xn , Yn ≡ Y ∗ n = L2(S;Hn), Wn := {y ∈ Xn \| y′ ∈ X∗ n}, де похiдну y′ вiд елемента y ∈ Xn розумiємо в сенсi простору розподiлiв D∗(S,Hn). Для довiльного n > 1 нехай In ∈ L(Xn;X) — канонiчне вкладен- ня Xn в X, I∗n — спряжений оператор до In. Позначимо через Pn оператор ортогонального проектування з H в Hn. Припустимо, що для деякого σ > σ0 даний оператор задовольняє такi умови: ‖Pn‖L(H;H) 6 1, ‖Pn‖L(Vσ ;Vσ) 6 1, ‖Pn‖L(V ∗ σ ;V ∗ σ ) 6 1. (2) Зауважимо, що як повну систему векторiв {hj}j>1, що задовольняє (2), можемо взяти так званий “спецiальний базис” для пари (Vσ; H) (дет. див. [4, 8]). Зауважимо також, що для всiх n > 1, f ∈ X∗ i для м. в. t ∈ S (I∗nf)(t) = Pnf(t). Нехай {un}n>1 ⊂ U , un → u в Z. Розв’язки задачi (1) будемо “наближати” розв’язками таких задач: { y′n + An(yn) + Bn(yn, un) ∋ fn, yn(0) = 0, yn ∈ Wn, де An := I∗nAIn : Xn ⇉ X∗ n, Bn(·, un) := I∗nB(·, un)In : Xn ⇉ X∗ n, fn := I∗nf ∈ X∗ n. 5. Основнi результати. Для доведення розв’язностi задачi (1) нам знадобиться ряд допомiжних тверджень, якi мають самостiйне значення. Далi нехай I : X → X∗ — тотожне вiдображення. Зафiксуємо λ ∈ R. Покладемо ϕλ(t) = e−λt, t ∈ S. Для довiльного y ∈ X∗ означимо yλ (як вiдображення з S в V ∗) у такий спосiб: yλ(t) = ϕλ(t)y(t) для м. в. t ∈ S. Зауважимо, що ∀ y ∈ X∗ (yλ)−λ = y. Визначимо також елемент ϕλy : (ϕλy)(t) = y(t)ϕλ(t) для м. в. t ∈ S. Розглянемо багатозначне вiдображення A : X → Cv(X ∗). Для фiксованого y ∈ X мно- жину Aλ(yλ) ∈ Cv(X ∗) визначимо за допомогою спiввiдношення [Aλ(yλ), ω]+ = [A(y) + λy, ωλ]+ ∀ω ∈ X. Зауважимо, що оскiльки функцiонал ω 7−→ [A(y)+λy, ωλ]+ пiвадитивний, додатно однорiд- ний та напiвнеперервний знизу як супремум лiнiйних неперервних функцiоналiв, то Aλ(yλ) визначена коректно. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 17 Твердження 1. Нехай A : X → Cv(X ∗) ⋂ H(X∗) — обмежене вiдображення вольтер- рiвського типу таке, що для деякого λA > 0 A + λAI є +-коерцитивним. Для деяких λB, α > 0 припустимо, що вольтеррiвське за першою змiнною багатозначне вiдображення B : X × U → Cv(X ∗) ⋂ H(X∗) задовольняє нерiвнiсть [B(y, a) + λBy, y]+ > −α(1 + ‖y‖X) ∀ y ∈ X, ∀ a ∈ U. Тодi iснує число β > 0 та обмежена знизу на обмежених множинах дiйсна неспадна функцiя γ : R+ → R така, що γ(r) → +∞ при r → +∞ i sup d∈A(y)+B(y,a) T∫ 0 e−2λτ (d(τ) + λy(τ), y(τ)) dτ > γ(‖y‖X)‖y‖X − β ∀ y ∈ X, ∀ a ∈ U. Тут λ = λA + λB. Розглянемо тепер багатозначнi вiдображення, якi дiють iз Xm в X∗ m, m > 1. Зауважимо, що вкладення Xm ⊂ Ym ⊂ X∗ m неперервнi, а вкладення Wm в Xm компактне [4, с. 70]. За рахунок компактностi вкладення Wm в Xm, можна одержати такий результат. Твердження 2. Якщо багатозначне вiдображення A : Xm → Cv(X ∗ m) є λ0-псевдомоно- тонним на Wm, то Aλ є також λ0-псевдомонотонним на Wm. Для фiксованих u ∈ U та f ∈ X∗ через K(u, f) позначимо множину всiх розв’язкiв задачi (1). Нижченаведений результат стосується розв’язностi, залежностi розв’язкiв вiд параметра та обгрунтування методу Фаедо–Гальоркiна для задачi (1). Теорема 1. Нехай A : X → Cv(X ∗) ⋂ H(X∗) — λ0-псевдомонотонне на Wσ обмежене вiдображення типу Вольтерра; B : Y ×U → Cv(Y ∗) ⋂ H(Y ∗) — вольтеррiвське за першою змiнною, демiзамкнене багатозначне вiдображення, яке задовольняє умову “не бiльш нiж лiнiйного росту”: ∃c > 0: ‖B(y, u)‖+ 6 c(1 + ‖y‖Y ) ∀ {y, u} ∈ Y × U. Припустимо також, що для деякого σ > σ0 виконується (2) та для деякого λA > 0 вiдображення A + λAI є +-коерцитивним. Тодi для довiльних u ∈ U та f ∈ X∗ iснує принаймнi один розв’язок задачi (1), який можна одержати за допомогою методу Фаедо– Гальоркiна. Бiльше того, якщо {un}n>0 ⊂ U , un → u0 в Z, fn → f0 в X∗, то ⋂ n>1 ⋃ m>n K(um, fm) Xw ⊂ K(u0, f0). Тут M Xw — слабке замикання множини M ⊂ X в X. 6. Приклад. Розглянемо модельний приклад еволюцiйного включення I порядку, який частково зображує одержанi результати. Нехай Ω iз R n — обмежена область з регулярною границею ∂Ω [1], S = [0;T ], Q = Ω×S, ΓT = ∂Ω × S, p = p0 = q = 2. Для j = 1, 2 розглянемо вiдображення: θj : S × Ω × R → R. Припустимо, що ∀ y ∈ R вiдображення {t, x} → θj(t, x, y) вимiрне на Q. Нехай також для м. в. {t, x} ∈ Q вiдображення y → θj(t, x, y) напiвнеперервне знизу на R, якщо j = 1, а якщо j = 2, то y → θj(t, x, y) напiвнеперервне зверху на R. Припустимо, що для деякого C > 0, для кожного y ∈ R та для м. в. {t, x} ∈ Q −C(1 + \|y\|) 6 θ1(t, x, y) 6 θ2(t, x, y) 6 C(1 + \|y\|). 18 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1 Визначимо Φ: S × Ω × R → Cv(R) у такий спосiб: ∀ y ∈ R та для м. в. {t, x} ∈ Q Φ(t, x, y) = [θ1(t, x, y), θ2(t, x, y)]. Для довiльного f ∈ L2(S;H−1(Ω)) розглянемо задачу ∂y(x, t) ∂t −△y(x, t) + Φ(t, x, y(x, t)) ∋ f(x, t) м. с. на Q, y(x, 0) = 0 м. с. на Ω, y(x, t) = 0 м. с. на ΓT . Покладемо V = H1 0 (Ω) — простiр Соболєва [1], H = L2(Ω), V ∗ = H−1(Ω), Vσ = Hσ 0 (Ω), σ1 = 1, σ0 > 1, X = L2(S, V ), Y = L2(Q). Визначимо D : L2(Q) ⇉ L2(Q) так: D(u) = {v ∈ L2(Q)\|v(x, t) ∈ Φ(t, x, u(x, t)) для м. в.{x, t} ∈ Q}, u ∈ L2(Q). Твердження 3. За перерахованих вище умов D : L2(Q) → Cv(L2(Q)) ⋂ H(L2(Q)) — демiзамкнене багатозначне вiдображення, яке задовольняє умову ∃c > 0: ‖D(y)‖+ 6 c(1 + ‖y‖Y ) ∀ y ∈ Y. Визначимо вiдображення A : X → X∗. Для довiльного u ∈ X (Au)(t) = C(u(t)) для м. в. t ∈ S, C : V → V ∗ — енергетичне розширення оператора −∆ [1, 10, 11]. Як демiзамкнений оператор B : Y → Cv(Y ) ⋂ H(Y ) вiзьмемо оператор D. Внаслiдок твердження 3 з роботи [14] та перерахованих вище умов справедлива така теорема. Теорема 2. Для довiльного f ∈ X∗ iснує принаймнi один розв’язок y ∈ C(S;H) зада- чi (3), який можна одержати за допомогою методу Фаедо–Гальоркiна. 1. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифферен- циальные уравнения. – Москва: Мир, 1978. – 337 с. 2. Дейнека В. С., Сергиєнко И.В., Скопецкий В. В. Модели и методы решения задач с условиями со- пряжения. – Киев: Наук. думка, 1998. – 614 с. 3. Згуровский М.З., Мельник В.С., Новиков А.Н. Прикладные методы анализа и управления нелиней- ными процессами и полями. – Киев: Наук. думка, 2004. – 590 с. 4. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. – Москва: Мир, 1972. – 587 с. 5. Чикрий А.А. Конфликтно управляемые процессы. – Киев: Наук. думка, 1992. – 381 с. 6. Kasyanov P.O., Mel’nik V. S., Yasinsky V.V. Evolution inclusions and inequalities in Banach spaces with Wλ-pseudomonotone maps. – Київ: Наук. думка, 2007. – 308 с. 7. Sell G. R., You Yu. Dynamics of evolutionary equations. – Berlin: Springer, 2002. – 452 p. 8. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. – New York: Springer, 1988. – 643 p. 9. Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. – Москва: Наука, 1980. – 384 с. 10. Задоянчук Н.В., Касьянов П.О. Метод Фаедо–Гальоркiна для нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь II порядку з операторами Вольтера // Нелiнiйнi коливання. – 2007. – № 2. – С. 204–228. 11. Задоянчук Н.В., Касьянов П.О. Метод Фаедо–Гальоркiна для нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь II порядку з операторами Wλ0 -псевдомонотонного типу // Доп. НАН України. – 2006. – № 12. – С. 15–19. ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 19 12. Касьянов П.О., Мельник В.С. Метод Фаедо–Гальоркiна для диференцiально-операторних включень в банахових просторах з вiдображеннями wλ0 -псевдомонотонного типу // Зб. праць Iн-ту математики НАН України. – 2005. – 2, № 1. – С. 103–126. 13. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных элиптических граничных задач. – Москва: Наука, 1990. – 442 с. 14. Касьянов П.О., Мельник В.С. О разрешимости дифференциально-операторных включений и эволю- ционных вариационных неравенств, порожденных отображениями wλ0 -псевдомонотонного типа // Укр. мат. вiсн. – 2007. – 4, № 4. – С. 535–581. Надiйшло до редакцiї 09.06.2008Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка P.O. Kasyanov The Faedo–Galerkin method for evolution inclusions with noncoercive Wλ-pseudomonotone maps We consider the first-order differential-operator inclusions with noncoercive Wλ-pseudomonotone noncoercive maps. The problem of the existence of solutions for the Cauchy problem for the given inclusions is investigated by using the Faedo–Galerkin method. The important a priori estimates for solutions and their derivatives have been obtained. The dependence on a parameter for the set of solutions is considered. An example illustrating the given approach is given. 20 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1

Метод Фаедо–Гальоркіна для еволюційних включень з некоерцитивними Wλ-псевдомонотонними відображеннями

Institution

Ähnliche Einträge