Функціонально-дискретний метод для нелінійних операторних та диференціальних рівнянь
Робота складається з двох частин, якi є значною мiрою незалежними, але водночас поєднанi важливою спiльною iдеєю: вони обидвi суттєво грунтуються на полiномах Адомяна. Перша частина присвячена чисельному методу для нелiнiйних операторних рiвнянь, який збiгається експоненцiально i забезпечує двосторо...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7727 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Функціонально-дискретний метод для нелінійних операторних та диференціальних рівнянь / В.Л. Макаров, I.П. Гаврилюк, I. I. Лазурчак, Д.О. Ситник // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 26-34. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859619235979853824 |
|---|---|
| author | Макаров, В.Л. Гаврилюк, І.П. Лазурчак, І.І. Ситник, Д.О. |
| author_facet | Макаров, В.Л. Гаврилюк, І.П. Лазурчак, І.І. Ситник, Д.О. |
| citation_txt | Функціонально-дискретний метод для нелінійних операторних та диференціальних рівнянь / В.Л. Макаров, I.П. Гаврилюк, I. I. Лазурчак, Д.О. Ситник // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 26-34. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. |
| collection | DSpace DC |
| description | Робота складається з двох частин, якi є значною мiрою незалежними, але водночас поєднанi важливою спiльною iдеєю: вони обидвi суттєво грунтуються на полiномах Адомяна. Перша частина присвячена чисельному методу для нелiнiйних операторних рiвнянь, який збiгається експоненцiально i забезпечує двостороннi наближення; друга частина — нелiнiйному диференцiальному рiвнянню другого порядку. Ми пропонуємо новий суперекспоненцiально збiжний метод з вбудованим механiзмом контролю збiжностi, яка таким чином може бути завжди забезпечена.
The paper is consists of two parts which are essentially independent but, despite this, are connected by an important idea: they both using Adomian’s polynomials. The first part is devoted to a new numerical method for nonlinear operator equations which converges exponentially and provides the two-sided approximations. The second part deals with a nonlinear differential equation. We propose a new super-exponentially convergent numerical method with an embedded convergence control mechanism so that the convergence can be ensured in either case.
|
| first_indexed | 2025-11-29T01:11:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.63
© 2009
Член-кореспондент НАН України В. Л. Макаров, I.П. Гаврилюк,
I. I. Лазурчак, Д. О. Ситник
Функцiонально-дискретний метод для нелiнiйних
операторних та диференцiальних рiвнянь
Робота складається з двох частин, якi є значною мiрою незалежними, але водночас
поєднанi важливою спiльною iдеєю: вони обидвi суттєво грунтуються на полiномах
Адомяна. Перша частина присвячена чисельному методу для нелiнiйних операторних
рiвнянь, який збiгається експоненцiально i забезпечує двостороннi наближення; друга
частина — нелiнiйному диференцiальному рiвнянню другого порядку. Ми пропонуємо но-
вий суперекспоненцiально збiжний метод з вбудованим механiзмом контролю збiжнос-
тi, яка таким чином може бути завжди забезпечена.
Останнiм часом велика кiлькiсть робiт присвячується методу декомпозицiї Адомяна (МДА)
для знаходження розв’язкiв як лiнiйних, так i нелiнiйних звичайних диференцiальних рiв-
нянь i рiвнянь у частинних похiдних. Викладемо сутнiсть МДА.
Якщо крайова (або початково-крайова) задача зведена до операторного рiвняння ви-
гляду
u = −A(u) + F, (1)
то МДА полягає у знаходженнi наближення до розв’язку рiвняння (1) за допомогою реку-
рентного процесу. Розв’язок шукається у виглядi ряду
u =
∞∑
j=0
u(j), (2)
а його члени визначаються формулами
u(j+1) = −Aj(u
(0), u(1), . . . , u(j)), j = 0, 1, . . . , A0(u
(0)) = A(u(0)), u(0) = F, (3)
де Aj(u
(0), u(1), . . . , u(j)) — полiноми Адомяна, що визначаються таким чином:
Aj(u
(0), u(1), . . . , u(j)) =
∑
α1+···+αj=j
A(α1)(u(0))
(u(1))α1−α2
(α1 − α2)!
· · · ×
×
(u(j−1))αj−1−αj
(αj−1 − αj)!
(u(j))αj
(αj)!
, αi > 0, (4)
послiдовнiсть αi — незростаюча, A(i)(u) — похiдна i-го порядку (у сенсi Фреше) вiд опера-
тора A. За наближення
m
u до розв’язку задачi (1) приймається вираз
m
u=
m∑
j=0
u(j).
МДА можна iнтерпретувати як функцiонально-дискретний (FD) метод, який вперше
був запропонований до розв’язування задачi Штурма–Лiувiлля в [1]. Покажемо, у чому
полягає суть даного методу.
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
Задача (1) занурюється у бiльш загальну задачу
u(t) = −tA(u(t)) + F, t ∈ [0, 1], (5)
розв’язок якої має очевидну властивiсть u(1) = u. Шукаємо розв’язок задачi (5) у виглядi
ряду
u(t) =
∞∑
j=0
tju(j), (6)
члени якого знаходяться з рекурентної послiдовностi задач (3), що одержується з рiвняння
∞∑
j=0
tju(j) = −tA
(
∞∑
j=0
tju(j)
)
+ F
шляхом застосування до обох його частин оператора
1
(j + 1)!
dj+1
dtj+1
i пiдстановки t = 0. Далi знаходяться достатнi умови на нелiнiйний оператор A, якi забезпе-
чують рiвномiрну збiжнiсть ряду (6) ∀ t ∈ [0, 1]. Щодо збiжностi МДА у роботi [2] наведена
теорема, доведення якої є неоптимальним, бо використовує технiку оцiнювання кожного
з членiв ряду (6), а результуюча оцiнка виявляється досить грубою. Значне покращення
в цьому напрямi можна отримати, використовуючи iдеологiю методу твiрних функцiй.
В [3] запропоновано модифiкацiю МДА. Члени ряду (2) шукаються за рекурентними
формулами
u(j+1) = −Aj(u
(0), u(1), . . . , u(j)), j = 0, 1, . . . , u(0) = F, (7)
де Aj(u
(0), u(1), . . . , u(j)) — модифiкованi полiноми Адомяна, що визначаються за формулою
Aj(u
(0), u(1), . . . , u(j)) = A(u(0) + · · · + u(j)) − A(u(0) + · · · + u(j−1)). (8)
У зазначенiй вище роботi для задачi Кошi
dky(t)
dtk
+ β(t)f(y(t)) = κ(t), t ∈ (0, T ),
dpy(t)
dtp
= cp − const, p = 0, k − 1,
було показано, що при умовi α = LMT k/k! < 1 модифiкований МДА збiгається зi швид-
кiстю геометричної прогресiї iз знаменником α i має мiсце оцiнка похибки
∣∣∣∣y(t) −
m∑
j=0
yj(t)
∣∣∣∣ 6
αm
1 − α
‖y1‖∞.
Тут L — стала Лiпшiца функцiї f(y), M = max
t∈[0,T ]
|β(t)|. Чисельнi експерименти на конкрет-
ному прикладi показали, що модифiкований МДА збiгається набагато швидше, нiж МДА.
Але автор роботи [3] не помiтив, що модифiкований МДА є фактично загальновiдомим
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 27
методом послiдовних наближень. Дiйсно, якщо позначити через um+1 = u(0) + · · · + u(m+1),
то з (7), (8) одержуємо, що
um+1 = −A(um) + F, m = 0, 1, . . . , u0 = F. (9)
Звiдси випливають висновки роботи [3] про переваги модифiкованого МДА у порiвняннi
з традицiйним, що цiлком узгоджується з висновками статтi [4] про переваги методу по-
слiдовних наближень.
Завданням даної роботи є двi мети. Перша з них — знаходження достатнiх умов, якi б за-
безпечували двостороннiсть методу (9) на конусi K, що належить банаховому простору X,
друга — побудова алгоритму з використанням загальної схеми FD-методу, який забезпечу-
вав би збiжнiсть, у той час коли звичайний метод послiдовних наближень є розбiжним.
1. Двостороннiй метод послiдовних наближень. Позначимо через Sr(a) замкнену
кулю в Банаховому просторi X Sr(d) = {x ∈ X : ‖x − a‖ 6 r}. Має мiсце
Теорема 1. Нехай оператор A задовольняє такi умови:
1) для всiх u, v ∈ Sr(a): ‖A(u) − A(v)‖ 6 q‖u − v‖, q ∈ (0, 1);
2) для всiх F ∈ Sr(a): ‖A(F )‖ 6 (1 − q)r.
Тодi рiвняння
u = −A(u) + F, A(0) = 0 (10)
має єдиний розв’язок u⋆ ∈ Sr(a), який може бути одержаний методом послiдовних на-
ближень
un+1 = −A(un) + F, n = 0, 1, . . . , (11)
з оцiнкою похибки
‖u⋆ − un‖ 6
qnr
1 − q
.
Далi нас цiкавлять умови, якi треба накласти на оператор A, щоб iтерацiйний процес
(11) забезпечував двостороннiсть наближень до u⋆.
Нехай K ⊂ X є конусом з введеним напiвпорядком �. Це означає, що якщо u − v ∈ K,
то будемо писати v � u. Далi вважатимемо, що:
3) F ∈ K;
4) оператор A є додатним, тобто A(K) ⊂ K;
5) iснує похiдна Фреше A′(v), яка має властивiсть ‖A′(v)‖ 6 q, 0 � A′(v)u ∀u, v ∈
∈ Sr(F )
⋂
K;
6) 0 � u1 = −A(u0) + F = −A(F ) + F .
Теорема 2. Нехай виконуються умови 2–6. Тодi iтерацiйний метод (11) збiгається до
єдиного розв’язку u⋆ рiвняння (10) i має властивiсть двостороннього наближення
u1 � u3 � · · · � u2k+1 � · · · � u⋆ � · · · � u2 � u0.
2. Загальна схема FD-методу з використанням полiномiв Адомяна. У випадку,
коли метод послiдовних наближень (9) є розбiжним, пропонується застосовувати загальну
28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
схему FD-методу з використанням полiномiв Адомяна. Цей пiдхiд викладемо на прикладi
задачi Дiрiхле для квазiлiнiйного диференцiального рiвняння другого порядку
u′′(x)−N(u(x))u(x) = −f(x), x ∈ (0, 1),
u(0) = u(1) = 0.
(12)
Вiдносно нелiнiйної функцiї N(u) : IR1 → IR1 будемо припускати, що
N(u) > 0, [uN(u)]′ > 0, N ′′(u) > 0, ∀u ∈ IR1.
Розiб’ємо промiжок [0, 1] сiткою ω̂ = {xi ∈ [0, 1], i = 0,K : 0 = x0 < x1 < · · · < xK−1 <
< xK = 1} i зануримо задачу (12) за певною аналогiєю iз задачею (5) у бiльш загальну
задачу
∂2u(x, t)
∂x2
−{N(u(xi−1, t))+t[N(u(x, t))−N(u(xi−1, t))]}u(x, t)=−f(x), x ∈ (0, 1),
u(0, t) = u(1, t) = 0, t ∈ [0, 1].
(13)
Ясно, що u(x, 1) = u(x), а при t = 0 одержуємо базову задачу
d2u(0)(x)
dx2
− N(u(0)(xi−1))u
(0)(x) = −f(x), x ∈ (xi−1, xi), i = 1,K, (14)
u(0)(0) = u(0)(1) = 0, [u(0)(x)]x=xi
= 0,
[
du(0)(x)
dx
]
x=xi
= 0, i = 1,K−1, (15)
де [v(x)]x=ξ = v(ξ + 0) − v(ξ − 0) означає стрибок функцiї v(x) у точцi x = ξ.
Остання задача, як i задача (13), належить до крайових задач з кусково-сталим ар-
гументом, якiй останнiм часом придiляється значна увага (див., напр., [5] i цитовану там
лiтературу).
Шукаємо розв’язок задачi (13) у виглядi ряду
u(x, t) =
∞∑
j=0
tju(j)(x), (16)
коефiцiєнти якого знаходяться як розв’язки рекурентної системи задач з кусково-сталим
аргументом
d2u(j+1)(x)
dx2
− N(u(0)(xi−1))u
(j+1)(x) =
= N ′(u(0)(xi−1))u
(j+1)(xi−1)u
(0)(x) + F (j+1)(x), x ∈ (xi−1, xi), (17)
де
F (j+1)(x) =
j∑
p=1
Aj+1−p(u
(0)(xi−1), . . . , u
(j+1−p)(xi−1))u
(p)(x) +
+
j∑
p=0
[Aj−p(u
(0)(x), . . . , u(j−p)(x))−Aj−p(u
(0)(xi−1), . . . , u
(j−p)(xi−1))]u
(p)(x)+
+Aj+1(u
(0)(xi−1), . . . , u
(j)(xi−1), 0)u
(0)(x), (18)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 29
u(j+1)(0)=u(j+1)(1)=0,
[
u(j+1)(x)
]
x=xi
=0,
[
du(j+1)(x)
dx
]
x=xi
=0, i = 1,K − 1. (19)
Тут Aj(v1, . . . , vj) — полiноми Адомяна для нелiнiйної функцiї N(v), що визначаються фор-
мулою (4).
Розглянемо базову задачу (14)–(15), розв’язнiсть якої пов’язана з розв’язнiстю нелiнiйної
системи
u(0)(xi) =
1∫
0
G(xi, ξ,
−−−−−→
N(u(0)))f(ξ)dξ, i = 1,K − 1, (20)
де
−−−−−→
N(u(0)) = (N(u(0)(x1)), . . . , N(u(0)(xK−1))), а G(xi, ξ,
−−−−−→
N(u(0))) — функцiя Грiна, що вiд-
повiдає задачi (14), (15) при вiдомих значеннях u(0)(xi), i = 1,K − 1.
Нехай f(x) ∈ C[0, 1], тодi неперервний оператор
B(
−−→
u(0)) =
( 1∫
0
G(xi, ξ,
−−−−−→
N(u(0)))f(ξ)dξ
)K−1
i=1
переводить замкнену кулю S =
{−−→
u(0) ∈ IRK−1 : max
16i6K−1
|u
(0)
i | = ‖
−−→
u(0)‖1 6 r
}
у себе i, отже, за
теоремою Л. Брауера (див. [6]) у S знайдеться нерухома точка оператора B, тобто система
рiвнянь (20) буде мати розв’язок.
Задачу (17)–(19) перепишемо у виглядi
d2u(j+1)(x)
dx2
− [N(u(0)(xi−1)) + N ′(u(0)(xi−1))u
(0)(xi−1)]u
(j+1)(x) =
= N ′(u(0)(xi−1))[u
(j+1)(xi−1)u
(0)(x)| − |u(j+1)(x)u(0)(xi−1)] +
+ F (j+1)(x), x ∈ (xi−1, xi), i = 1,K, (21)
u(j+1)(0) = u(j+1) (1) = 0, j = 0, 1, . . . . (22)
Введемо позначення
q(x) = N(u(0)(xi−1)) + N ′(u(0)(xi−1))u
(0)(xi−1), x ∈ [xi−1, xi), i = 1,K. (23)
За допомогою функцiї Грiна G(x, ξ, q(·)), що вiдповiдає диференцiальному оператору
лiвої частини (21) з умовами (22), задачу (21), (22) можна перетворити до вигляду
u(j+1)(x) =
K∑
p=1
xp∫
xp−1
G(xi, ξ, q(·))
ξ∫
xp−1
du(j+1)(η)
dη
dηu(0)(ξ)dξN ′(u(0)(xk−1)) −
−
K∑
p=1
xp∫
xp−1
G(xi, ξ, q(·))
ξ∫
xp−1
du(0)(η)
dη
dηu(j+1)(ξ)dξN ′(u(j+1)(xp−1)) −
−
1∫
0
G(xi, ξ, q(·))F
(j+1)(ξ)dξ, i = 1,K. (24)
30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
Для того щоб одержати оцiнки для u(j+1)(x), нам потрiбно дослiдити функцiю Грiна
G(x, ξ, q(·)), для якої має мiсце явне зображення
G(xi, ξ, q(·)) =
1
v1(1)
{
v1(x)v2(ξ), x 6 ξ,
v1(ξ)v2(x), ξ 6 x,
(25)
де vα(x), α = 1, 2, є так званими шаблонними функцiями i вони визначаються, як розв’язки
задач Кошi
d2
dx2
vα(x) − N(u(0)(xi−1))vα(x) = 0, xi−1 < x < xi,
α = 1, 2, i = 1,K,
v1(0) = 0, v′1(0) = 1, v2(1) = 0, v′2(1) = −1.
(26)
Цi функцiї мають такi властивостi:
1) v1(x) є неспадною, невiд’ємною функцiєю на [0, 1];
2) v2(x) є незростаючою, невiд’ємною функцiєю на [0, 1];
3) v1(1) = v2(0),
4) v′1(x)v2(x) − v1(x)v′2(x) ≡ v1(1) = v2(0).
Використовуючи принцип максимуму та властивостi 1–4, приходимо до оцiнок
0 6 G(x, ξ, q(·)) 6 G(x, ξ, 0), (27)
∣∣∣∣
∂G(x, ξ, q(·))
∂x
∣∣∣∣ 6 1. (28)
За допомогою (27), (28) та з використанням припущень вiдносно функцiї N(u) з (24)
одержимо
‖u(j+1)‖1,∞,[0,1] 6 |h|‖u(0)‖1,∞,[0,1]N
′(‖u(0)‖1,∞,[0,1])‖u
(j+1)‖1,∞,[0,1] +
+ ‖F (j+1)‖1,∞,[0,1], |h| = hi
16i6K
(29)
або для достатньо малого |h|
‖u(j+1)‖1,∞,[0,1] 6 c1‖F
(j+1)‖1,∞,[0,1] (30)
з
c1 = [1 − |h|‖u(0)‖1,∞,[0,1]N
′(‖u(0)‖1,∞,[0,1])]
−1. (31)
Тут були використанi такi позначення для норм:
‖v‖0,∞,[0,1] = max
x∈[0,1]
|v(x)|, ‖v‖1,∞,[0,1] = max
{
max
x∈[0,1]
|v(x)|, max
x∈[0,1]
|v′(x)|
}
.
Далi нам знадобиться ряд допомiжних тверджень
Лема 1. Нехай функцiя N(u) є аналiтичною та
N(u) =
∞∑
i=1
aiu
2i, ai > 0, u(p)(x) ∈ C1[0, 1], p = 0, 1, . . . ,
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 31
тодi
‖Ak(N(u);u(0)(x), . . . , u(k)(x)) − Ak(N(u);u(0)(xi−1), . . . , u
(k)(xi−1))‖∞ 6
6 2h
∞∑
i=1
iaiAk(N(u); ‖u(0)‖1,∞, ‖u(1)‖1,∞, . . . , ‖u(k)‖1,∞) =
= hN ′(1)Ak(N(u); ‖u(0)‖1,∞,[0,1], ‖u
(1)‖1,∞,[0,1], . . . , ‖u
(k)‖1,∞,[0,1]). (32)
Лема 2. Нехай функцiя N(u) є аналiтичною та N(u) =
∞∑
j=1
aju
2j , тодi має мiсце
формула
Aj+1(N(u);V0, . . . , Vj , 0) =
1
(j + 1)!
{
dj+1
dzj+1
[N(f(z)) − (f(z) − V0)N
′(V0)]
}
z=0
,
j = 0, 1, . . . ,
(33)
де f(z) =
∞∑
j=0
zjVj .
Повертаючись до (30) i беручи до уваги (32), (33), одержуємо
‖u(j+1)‖1,∞ 6 c1
{
j∑
p=1
Aj+1|−|p(‖u
(0)‖1,∞, ‖u(1)‖1,∞, . . . , ‖u(j+1|−|p)‖1,∞)‖u(p)‖1,∞ +
+ hN ′(1)
j∑
p=0
Aj−p(‖u
(0)‖1,∞, . . . , ‖u(j−p)‖1,∞)‖u(p)‖1,∞ +
+
1
(j+1)!
[
dj+1
dzj+1
(
N
(
∞∑
s=0
zs‖u(s)‖1,∞
)
−
∞∑
s=1
zs‖u(s)‖1,∞N ′(‖u(0)‖1,∞)
)]
z=0
}
. (34)
Пiдставляючи в (34)
[N ′(1)h]−j‖u(j)‖1,∞ = vj, (35)
замiняючи vj на Vj та знак нерiвностi на знак рiвностi, ми одержуємо таку систему рiвнянь:
Vj+1 = c1
{
j∑
p=1
Aj+1−p(V0, . . . , Vj+1|−|p)Vp +
j∑
p=0
Aj−p(V0, . . . , Vj−p)Vp +
+
1
(j + 1)!
dj+1
dzj+1
(
N
(
∞∑
s=0
zsVs
))
z=0
− Vj+1N
′(V0)
}
, j = 0, 1, . . . ,
V0 = v0 = ‖u(0)‖1,∞,
(36)
32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
або
Vj+1 =
c1
c1 + N ′(V0)
{
j∑
p=1
Aj+1−p(V0, . . . , Vj+1−p)Vp +
j∑
p=0
Aj−p(V0, . . . , Vj−p)Vp +
+
1
(j + 1)!
dj+1
dzj+1
(
N
(
∞∑
s=0
zsVs
))
z=0
}
. (37)
Розв’язок цiєї системи мажорує розв’язок (34), тобто vj 6 Vj , j = 0, 1, . . .. Використовуючи
метод твiрних функцiй, з (37) одержуємо
f(z) − V0 =
c1
c1 + N ′(V0)
{[f(z) − V0][N(f(z)) − N(V0)] +
+ zf2(z)N ′(f(z)) + N(f(z)) − N(V0)}. (38)
З цього рiвняння одержуємо z як функцiю вiд f
z =
1
N(f)
{(
1
C̃
− N(f) + N(V0)
)
(f − V0) − N(f) + N(V0)
}
,
V0 6 f, C̃ =
c1
c1 + N ′(V0)
,
(39)
що дозволяє знайти таке fm, для якого z досягає свого максимуму zm = R. Iснування fm
гарантується умовами
|h|V0[N
′(V0)]
2 < 1, lim
f→∞
N(f) = ∞. (40)
Це максимальне значення zmax збiгається з радiусом збiжностi ряду (38), тобто ми маємо
RjVj = C
1
(j + 1)1+ε
, (41)
для довiльного додатного достатньо малого ε. Повертаючись до старих позначень, будемо
мати
‖u(j)‖1,∞ 6
C
(j + 1)1+ε
(
h
R
)j
, j = 0, 1, . . . , (42)
що приводить до достатнiх умов збiжностi ряду f(z) =
∞∑
j=0
zjVj
h
R
6 1. (43)
Таким чином, доведене таке твердження
Теорема 3. Нехай виконанi умови леми 1, тодi FD-метод для задачi (38) є суперзбiж-
ним (збiжним) при умовi, що
h < R (h = R), (44)
з оцiнкою похибки
‖u−
m
u ‖1,∞ 6
C
(1 + m)1+ε
(h/R)m+1
1 − h/R
, C =
∞∑
j=m+1
1
(j + 1)1+ε
. (45)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 33
1. Makarov V.L. A functional-difference method of arbitrary order of accuracy for solving the Sturm-Liouville
problem with piecewise-smooth coefficients // Soviet. Math. Dokl. – 1992. – 44, No 2. – P. 391–396.
2. Abbaoui K., Pujol M. J., Cherruault Y. et al. A new formulation of Adomian method: convergence result //
Kybernetes. – 2001. – 30, No 9–10. – P. 1183–1191.
3. El-Kalla I. L. Error analysis of Adomian series solution to a class of nonlinear differential equations //
Appl. Math. E-Notes. – 2007. – 7. – P. 214–221.
4. Рождественский Б.Л. Метод Пикара как метод решения задач математической физики // Числен-
ные методы механики сплошной среды. – 1974. – 5, № 2. – С. 96–103.
5. Akhmet M.U. Integral manifolds of differential equations with piecewise constant argument of generalized
type // Nonlinear Anal. – 2007. – 66, No 2. – P. 367–383.
6. Треногин В.А. Функциональный анализ. – Москва: Наука, 1980. – 496 с.
Надiйшло до редакцiї 20.06.2008Iнститут математики НАН України, Київ
Corresponding Member of the NAS of Ukraine V.L. Makarov, I. P. Gavryljuk,
I. I. Lazurchak, D.O. Sytnyk
The functional-discrete-method for nonlinear operator and differential
equations
The paper is consists of two parts which are essentially independent but, despite this, are connected
by an important idea: they both using Adomian’s polynomials. The first part is devoted to a new
numerical method for nonlinear operator equations which converges exponentially and provides
the two-sided approximations. The second part deals with a nonlinear differential equation. We
propose a new super-exponentially convergent numerical method with an embedded convergence
control mechanism so that the convergence can be ensured in either case.
34 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-7727 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 1025-6415 |
| language | Ukrainian |
| last_indexed | 2025-11-29T01:11:22Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Макаров, В.Л. Гаврилюк, І.П. Лазурчак, І.І. Ситник, Д.О. 2010-04-12T11:13:29Z 2010-04-12T11:13:29Z 2009 Функціонально-дискретний метод для нелінійних операторних та диференціальних рівнянь / В.Л. Макаров, I.П. Гаврилюк, I. I. Лазурчак, Д.О. Ситник // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 26-34. — Бібліогр.: 6 назв. — укр. 1025-6415 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7727 517.63 Робота складається з двох частин, якi є значною мiрою незалежними, але водночас поєднанi важливою спiльною iдеєю: вони обидвi суттєво грунтуються на полiномах Адомяна. Перша частина присвячена чисельному методу для нелiнiйних операторних рiвнянь, який збiгається експоненцiально i забезпечує двостороннi наближення; друга частина — нелiнiйному диференцiальному рiвнянню другого порядку. Ми пропонуємо новий суперекспоненцiально збiжний метод з вбудованим механiзмом контролю збiжностi, яка таким чином може бути завжди забезпечена. The paper is consists of two parts which are essentially independent but, despite this, are connected by an important idea: they both using Adomian’s polynomials. The first part is devoted to a new numerical method for nonlinear operator equations which converges exponentially and provides the two-sided approximations. The second part deals with a nonlinear differential equation. We propose a new super-exponentially convergent numerical method with an embedded convergence control mechanism so that the convergence can be ensured in either case. uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України Математика Функціонально-дискретний метод для нелінійних операторних та диференціальних рівнянь The functional-discrete-method for nonlinear operator and differential equations Article published earlier |
| spellingShingle | Функціонально-дискретний метод для нелінійних операторних та диференціальних рівнянь Макаров, В.Л. Гаврилюк, І.П. Лазурчак, І.І. Ситник, Д.О. Математика |
| title | Функціонально-дискретний метод для нелінійних операторних та диференціальних рівнянь |
| title_alt | The functional-discrete-method for nonlinear operator and differential equations |
| title_full | Функціонально-дискретний метод для нелінійних операторних та диференціальних рівнянь |
| title_fullStr | Функціонально-дискретний метод для нелінійних операторних та диференціальних рівнянь |
| title_full_unstemmed | Функціонально-дискретний метод для нелінійних операторних та диференціальних рівнянь |
| title_short | Функціонально-дискретний метод для нелінійних операторних та диференціальних рівнянь |
| title_sort | функціонально-дискретний метод для нелінійних операторних та диференціальних рівнянь |
| topic | Математика |
| topic_facet | Математика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/7727 |
| work_keys_str_mv | AT makarovvl funkcíonalʹnodiskretniimetoddlânelíníinihoperatornihtadiferencíalʹnihrívnânʹ AT gavrilûkíp funkcíonalʹnodiskretniimetoddlânelíníinihoperatornihtadiferencíalʹnihrívnânʹ AT lazurčakíí funkcíonalʹnodiskretniimetoddlânelíníinihoperatornihtadiferencíalʹnihrívnânʹ AT sitnikdo funkcíonalʹnodiskretniimetoddlânelíníinihoperatornihtadiferencíalʹnihrívnânʹ AT makarovvl thefunctionaldiscretemethodfornonlinearoperatoranddifferentialequations AT gavrilûkíp thefunctionaldiscretemethodfornonlinearoperatoranddifferentialequations AT lazurčakíí thefunctionaldiscretemethodfornonlinearoperatoranddifferentialequations AT sitnikdo thefunctionaldiscretemethodfornonlinearoperatoranddifferentialequations |